【回放讲义】初二数学-将军饮马模型(一)-苏科版

将军饮马模型将军饮马问题是一类最值问题，常常与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合出现在中考和竞赛中。

该问题主要利用构造对称图形的方法来解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等问题。

通常作为压轴题出现。

模型1：直线与两定点模型作法结论A当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小。

连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点。

当两定点A、B在直线l同侧时，先作点B关于直线l的对称点B'，再在直线l上找一点P，使PA＋PB最小。

连接AB'交直线l于点P，点P即为所求作的点。

当两定点A、B在直线l同侧时，先作点B关于直线l的对称点B'，再在直线l上找一点P，使PA PB最大。

连接AB'并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点。

当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PA PB最大。

作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点。

当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使PA PB最小。

连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于点P，点P即为所求作的点。

例1：如图，正方形ABCD的面积是12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，则PD＋PE最小值是23.解答：如图所示，点B与点D关于对角线AC对称。

因此，当点P为BE与AC的交点时，PD＋PE最小，且线段BE 的长。

由于正方形ABCD的面积为12，其边长为23.因为△ABE为等边三角形，所以BE＝AB＝23.因此，PD＋PE的最小值为23.例2：如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则PA PB的最大值是A′B。

解答：如图所示，作点A关于CD的对称点A′，连接A′C，连接A′B并延长交CD于点P，则点P就是PA PB的值最大时的点，PA PB＝A′B。

将军饮马(作对称点求最短线段终极版)背景知识：早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．常用知识点：两点之间线段最短，垂线段最短，三角形三边关系，轴对称，平移；解题思路：找对称点，变折线为直线。

常见模型：一、两定点一动点型：如图：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小。

解题思路：连接AB，与直线的交点为点Q，即此时点P运动到点Q处，最小值为AB.证明：运用三角形三边关系：两边之和大于第三边，当A、P、B三点共线可取等于。

在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小.解题思路：作定点B关于直线l的对称点C,连接AC,交直线于点Q，当点P运动到点Q，最小值为AC.证明：关键是作其中一个定点的对称点，使得PB=PC，求PA+PB的最小值，即求PA+PC的最小值。

再转化为上述题型。

PA-值最大。

引申1：此题型也可以求PB解题思路：延长AB交直线l于点Q,当点P运动到点Q，PBPA-最大值为AB.证明：三角形任意两边之差小于第三边，当A、B、P三点共线可取等于.(提示：如果两定点不在直线的同侧，可以作其中一个定点关于直线l的对称点)PA-值最小。

引申2：此题型也可以求PB解题思路：连接AB，作AB的垂直平分线角l于点P.证明：垂直平分线上的点到线段的两端距离相等，可得PA=PB二.两动点一定点型（两动点在角的两边上）如图，在∠MON 的内部有一点A ，在OM 上找一点B ，在ON 上找一点C ，使得△BAC 周长最短．解题思路：作点A 关于OM 的对称点'A ，作点A 关于ON 的对称点''A ，连接'''A A ，与OM 交于点B ， 与ON 交于点C ，连接AB ，AC ，此△ABC 周长最短．证明：两点之间，线段最短变式1：如图：在∠MON 的内部有一点A ，在OM 上找一点B ，在ON 上找一点C ，使得AB ＋BC 最短．解题思路:作点A 关于OM 的对称点'A ，过点'A 作C A '⊥ON ，交OM 于点B ，交ON 于点C,即为所求。

第1讲将军饮马模型➢知识点睛“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。

一、定直线与两定点模型作法结论A、在直线l异侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA+最小.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA+最小.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最大.PBA、在直线l异侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最大.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最小.PB二、角到定点模型作法结论点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得PCD ∆周长最小.点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得MN PN +最小.点Q P 、在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得四边形PMNQ 周长最小.点M 在AOB ∠的外部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小.点M 在AOB ∠的内部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小.点Q P 、分别在AOB ∠的边OB OA 、是，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得MQ MN PN ++最小.二、两定点一定长模型作法结论如图在直线l 上找上两点N M 、（M 在左），使NB MN AM ++最小,且d MN =.如图，21//l l ，21l l 、之间的距离为d ，在21l l 、上分别找N M 、两点，使1l MN ⊥，且NB MN AM ++最小.如图，21//l l ，43//l l ,21l l 、之间的距离为1d ，43//l l 之间的距离为2d ，在21l l 、上分别找N M 、两点，使1l MN ⊥，在43l l 、上分别找Q P 、两点，使3l PQ ⊥且QB PQ NP MN AM ++++最小.如图，在⊙O 上找一点N ，在直线l 找一点M ,使得MN AM +最小.➢ 精讲精练例1：如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值．P OBAMN例2：如图，正方形ABCD 的边长是4，M 在DC 上，且DM =1， N 是AC 边上的一动点，则△DMN 周长的最小值．例3：如图，在Rt △ABO 中，∠OBA =90°，A （4,4），点C 在边AB 上，且AC :CB =1:3，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为( )A ．(2,2)B ．5(2，5)2C ．8(3，8)3D ．(3,3)第3题图 第4题图 第5题图例4：如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7例5：如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________． PDCBAA BCDMNNMDCBA例6：如图，在Rt △ABD 中，AB =6，∠BAD =30°，∠D =90°，N 为AB 上一点且BN =2AN ， M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值．例7：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ． D ．第7题图 第8题图 第9题图例8：如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是( ) A B ．2 C ．D ．4例9：如图，在菱形ABCD 中，AC =BD =6，E 是BC 的中点，P 、M 分别是AC 、AB 上的动点，连接PE 、PM ，则PE +PM 的最小值是( ) A ．6B ．C ．D ．4.5NMDBA E AFCDBNM DCBAEPDCBAM例10：如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5），D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是( ) A ．4(0,)3B ．5(0,)3C ．(0,2)D ．10(0,)3第10题图 第11题图 第12题图例11：如图，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =3，动点P 满足13PAB ABCD S S ∆=矩形，则点P 到A 、B 两点距离之和PA +PB 的最小值为( ) A ．B ．C ．D 例12：如图，矩形ABCD 中，AB =10，BC =5，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE =CG ，BF =DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为( )A ．B ．C ．D ．例13：如图，∠AOB =60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是( )A B C ．6D ．3第13题图 第14题图 CBH FGEDCB AA BMOPN例14：如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3,0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为 ．例15：如图，已知正比例函数y =kx （k >0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°，定点A 的坐标为（0，4），P 为y 轴上的一个动点，M 、N 为函数y =kx （k >0）的图像上的两个动点，则AM +MP +PN 的最小值为___________．第15题图例16：如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点B 在原点，点A 、C 在坐标轴上，点D 的坐标为（6，4），E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 边上两个动点，且PQ =2，要使四边形APQE 的周长最小，则点P 的坐示应为______________．例17：如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =4，AC 为对角线，E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点，且EF ⊥AC 于点M ，连接AF 、CE ，求AF +CE 的最小值．AB CD EFMx例18：如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，求PD+PE 的最小值。

第1讲将军饮马模型➢知识点睛一、“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题, 会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合, 在近年的中考和竞赛中经常出现, 而且大多以压轴题的形式出现。

二、定直线与两定点模型作法结论当两定点在直线异侧时, 在直线上找上点, 使最小.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最小.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最大.当两定点在直线异侧时, 在直线上找上点, 使最大.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最小.二、角到定点模型作法结论点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得周长最小.点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得最小.点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得四边形周长最小.点在的外部, 在射线上找一点, 使与点到射线的距离和最小.点在的内部, 在射线上找一点, 使与点到射线的距离和最小.点分别在的边是, 在上找一点, 在上找一点,使得最小.三、两定点一定长模型作法结论如图在直线上找上两点（在左）, 使最小,且.如图, , 之间的距离为, 在上分别找两点, 使, 且最小.如图, , ,之间的距离为, 之间的距离为, 在上分别找两点, 使, 在上分别找两点, 使且最小.如图, 在⊙上找一点, 在直线找一点,使得最小.➢精讲精练例1: 如图, 点P是∠AOB内任意一点, ∠AOB=30°, OP=8, 点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PMN周长的最小值.例2: 如图, 正方形ABCD 的边长是4, M 在DC 上, 且DM=1, N 是AC 边上的一动点, 则△DMN 周长的最小值.A ．例3: 如图, 在Rt △ABO 中, ∠OBA=90°, A （4,4）, 点C 在边AB 上, 且AC:CB=1:3, 点D 为OB 的中点, 点P 为边OA 上的动点, 当点P 在OA 上移动时, 使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为 B. ,C ．,D ．第3题图 第4题图 第5题图例4: 如图, 在△ABC 中, AC=BC, ∠ACB=90°, 点D 在BC 上, BD=3, DC=1, 点P 是AB 上的动点, 则PC+PD 的最小值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7例5：如图, 在等边△ABC 中, AB=6, N 为AB 上一点且BN=2AN, BC 的高线AD 交BC 于点D, M 是AD 上的动点, 连结BM, MN, 则BM+MN 的最小值是___________．A BCDMN例6: 如图, 在Rt △ABD 中, AB=6, ∠BAD=30°, ∠D=90°, N 为AB 上一点且BN=2AN, M 是AD 上的动点, 连结BM, MN, 则BM+MN 的最小值.例7: 如图, 在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°, AC=6. AB=12, AD 平分∠CAB, 点F 是AC 的中点, 点E 是AD 上的动点, 则CE+EF 的最小值为 A. 3 B. 4 C.D.第7题图 第8题图 第9题图A ．例8: 如图, 在锐角三角形ABC 中, BC=4, ∠ABC=60°, BD 平分∠ABC, 交AC 于点D, M 、N 分别是BD, BC 上的动点, 则CM+MN 的最小值是B. 2C.D. 4例9: 如图, 在菱形ABCD 中, AC=, BD=6, E 是BC 的中点, P 、M 分别是AC.AB 上的动点, 连接PE 、PM, 则PE+PM 的最小值是A. 6B.C.D. 4.5E AFCDBNM DCBAEPDCBAMA ．例10: 如图, 矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5）, D 是OB 的中点, E 是OC 上的一点, 当△ADE 的周长最小时, 点E 的坐标是B. C. D.第10题图 第11题图 第12题图例11: 如图, 在矩形ABCD 中, AB=6, AD=3, 动点P 满足, 则点P 到A.B 两点距离之和PA+PB 的最小值为A. B. C. D.例12: 如图, 矩形ABCD 中, AB=10, BC=5, 点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上, 且AE=CG, BF=DH, 则四边形EFGH 周长的最小值为A. B. C. D.例13: 如图, ∠AOB=60°, 点P 是∠AOB 内的定点且OP=, 若点M 、N 分别是射线OA.OB 上异于点O 的动点, 则△PMN 周长的最小值是A. B. C. 6 D. 3第13题图 第14题图CBH FGEDCB AABMOPN例14: 如图, ∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合, 点P 是OA 上的一动点, 点N （3,0）是OB 上的一定点, 点M 是ON 的中点, ∠AOB=30°, 要使PM+PN 最小, 则点P 的坐标为 .例15：如图, 已知正比例函数y=kx （k>0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°, 定点A 的坐标为（0, 4）, P 为y 轴上的一个动点, M 、N 为函数y=kx （k>0）的图像上的两个动点, 则AM+MP+PN 的最小值为___________．第15题图例16: 如图, 在平面直角坐标系中, 矩形ABCD 的顶点B 在原点, 点A.C 在坐标轴上, 点D 的坐标为（6, 4）, E 为CD 的中点, 点P 、Q 为BC 边上两个动点, 且PQ=2, 要使四边形APQE 的周长最小, 则点P 的坐示应为______________.例17：如图, 矩形ABCD 中, AD=2, AB=4, AC 为对角线, E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点, 且EF ⊥AC 于点M,连接AF 、CE, 求AF+CE 的最小值．x例18: 如图, 正方形ABCD的面积是12, △ABE是等边三角形, 点E在正方形ABCD内, 在对角线AC上有一点P, 求PD+PE的最小值。

初二数学将军饮马问题
在古罗马时代，有一位将军带着他的两个士兵从A城出发，前往B城。

但是，中间隔着一条河，他们需要找到一个渡口过河。

问题是：将军和两个士兵分别有不同的渡河时间，他们希望选择一个渡口，使得所有人过河的时间总和最短。

假设将军过河需要 t1 分钟，士兵甲需要 t2 分钟，士兵乙需要 t3 分钟。

根据题目，我们可以建立以下数学模型：
1. 将军从A城到B城的时间为 t1 分钟。

2. 士兵甲从A城到B城的时间为 t2 分钟。

3. 士兵乙从A城到B城的时间为 t3 分钟。

为了使所有人过河的时间总和最短，我们需要找到一个渡口的位置，使得将军和士兵甲、乙过河的时间总和最小。

用数学方程表示，我们需要找到一个渡口位置 x，使得：
t1 + t2 + t3 + x 最小。

其中，x 是渡口到B城的距离。

计算结果为：x = -12 分钟
所以，为了使所有人过河的时间总和最短，他们应该选择一个渡口位置，使得将军和士兵甲、乙过河的时间总和最小。

在这种情况下，所有人过河的时间总和最短为：-9 分钟。

专题02 最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。

利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造桥）再也不是问题！模型1.将军遛马模型【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。

【模型解读】已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA +PQ +QB 的值最小。

（原理用平移知识解）（1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线m 同侧：如图1 如图2（1）如图1，过A 点作AC ∥m ,且AC 长等于PQ 长，连接BC ,交直线m 于Q ,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。

（2）如图2，过A 点作AE ∥m ,且AE 长等于PQ 长，作B 关于m 的对称点B ’,连接B ’E ,交直线m 于Q ,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。

【最值原理】两点之间线段最短。

例1．（2023·黑龙江·九年级校考期中）问题背景（1）如图（1），在公路l 的一侧有A ，B 两个工厂，A ，B 到公路的垂直距离分别为1km 和3km ，A ，B 之间的水平距离为3km ．现需把A 厂的产品先运送到公路上然后再转送到B 厂，则最短路线的长是_____km ．问题探究（2）如图（2），ACB △和DEF V 是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，90ACB DEF Ð=Ð=°，点A ，D 重合，点B ，F 重合，将ACB △沿直线AB 平移，得到A C B ¢¢¢△，连接QQ P【答案】（1）5km （2）存在，最小值为25（3）最短路线长为15km【分析】（1）根据最短路径的作法，找出最短路径A B ¢，再利用矩形的性质，求出BE 和A E ¢利用勾股定理即可求出最短路径；（2）根据平移的性质可知四边形CQEC ¢和AQEA ¢均为平行四边形，再利用最短路径作法得出则 AQ A Q ¢=，AQ BQ A Q ¢=\+\ 当点Q 与点P 重合时， AQ 连接AA ¢， 交l 于点C ， 过点由平移知CC AB ¢∥，CC QE ¢\∥．又 CQ EC ¢∥，\四边形 CQEC ¢是平行四边形，CC QE \¢=，CQ EC =¢由平移知CC AA ¢¢=，AA QE\¢=又n AB ∥，\四边形 AQEA ¢是平行四边形，AQ A E \=¢1A E C E AQ CQ QA CQ \+=+=+³¢¢\当点Q 与点P 重合时， A E C E ¢+¢过点C 作 1CG A A ^交 1A A 的延长线于点2AC AE ==Q ，2CG \=，13A G =例3．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形ABCD 中，42AB BC ==，，G 是AD 的中点，线段EF 在边AB 上左右滑动；若1EF =，则GE CF +的最小值为____________．【答案】【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解．【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，∴G'E=GE，AG=AG'，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，∵CH=EF=1，∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，+的最小值为∴HG¢===GE CF【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键．【答案】35【分析】连接BD与AC交于点O，延长Q四边形ABCD是菱形，AC\\=+=，由平移性质知，246OM\+=FM FD\=，DF DE AF当点A、F、M三点共线时，\+的最小值为：AMDF DE模型2.将军过桥（造桥）模型【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。

“将军饮马”模型一、模型背景“将军饮马”模型：动点在直线上运动，所引出的线段和、差的最值问题往往通过轴对称进行等量代换，转化成两点之间的距离或点到直线的距离，或利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求得最值核心知识点：两点之间线段最短、垂线段最短二、模型内容（一）线段和最值1. 两定一动型(异侧)点A、B为平面内两个定点，点P为直线l上一动点，求P A+PB的最小值理论依据：2. 两定一动型(同侧)点A、B为平面内两个定点，点P为直线l上一动点，求P A+PB的最小值理论依据：3. 一定两动型点A为平面内定点，点P、Q分别是直线l1、l2上的动点，求AP+PQ+AQ的最小值理论依据：4. 一定两动型（变式）点A为平面内定点，点P、Q分别是直线l1、l2上的动点，求PQ+AQ的最小值理论依据：5. 两定两动型点A、B为平面内两个定点，点P、Q分别是直线l1、l2上的动点，求四边形APQB周长的最小值理论依据：（二）线段差最值6. 两定一动型(同侧)−的最大值点A、B为平面内两个定点，点P为直线l上一动点，求PA PB理论依据：7. 两定一动型(异侧)−的最大值点A、B为平面内两个定点，点P为直线l上一动点，求PA PB理论依据：三、模型应用1．如图，在ABC ∆中，3AB =，4AC =，EF 垂直平分BC ，点P 为直线EF 上的任一点，则AP BP +的最小值是______.2．如图，正方形ABCD 的面积为64，ABE ∆是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为______.3．如图所示，已知121(,)(2,)2A yB y 为反比例函数1y x =图象上的两点，动点(,0)P x 在x 轴正半轴上运动，当||AP BP −的值最大时，连接OA ，AOP ∆的面积是_______.4．如图，C 为马，D 为帐篷，牧马人牵马，先到草地边牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线．5．（1）如图1，在等边ABCBC=．点P、D、E分别为边BC、AB、AC上（均不与端点重∆中，6合）的动点．①当点P为BC的中点时，在图1中，作出PDE∆的周长的最∆的周长最小，并直接写出PDE∆，使PDE小值；②如图2，当2∆的周长的最小值．PB=时，求PDE（2）如图3，在等腰ABC=，4BC=，点P、Q、R分别为边BC、AB、∠=︒，AB ACBAC∆中．30∆周长的最小值并简要说明理由．AC上（均不与端点重合）的动点，求PQR。

苏版初二上册13将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题 眼）。

所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法确实是作轴对称。

而最短距离 是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。

比如题目经常会显现线段 a+b 如此 的条件或者问题。

一旦显现能够快速联想到将军饮马问题，然后利用轴对称解题。

将军饮马故事“将军饮马”问题是数学问题中的经典题目，要紧转化成“两点之间线段最短问题” 原题：如图，一位将军，从A 地动身，骑马到河边给马饮水，然后再到B 地，问如何样选择饮水的地点，才能使所走的路程最短？模型一：一条定直线，同侧两定点在直线l 的同侧有两点A,B,在L 上求一点P ，使得PA+PB 值最小。

一样做法：作点 A （B ）关于直线的对称点，连接 A ’B ，A ’B 与直线交点即为所求点。

A ’B 即为最短距离 。

理由：A ’为 A 的对称点，因此不管 P 在直线任何位置都能得到 AP =A ’P 。

因此 PA+PB=PA ’+PB 。

如此问题就化成了求 A ’到 B 的最短距离，直截了当相连就能够了。

例一：某供电部门预备在输电主干线L 上连接一个分支线路，分支点为M ，同时向新落成的A 、B 两个居民小区送电。

已知两个居民小区A 、B 分别到主干线的距离AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4千米。

（1）假如居民小区A 、B 位于主干线L 的两旁，如图（1）所示，那么分支点M 在什么地点时总路线最短？最短线路的长度是多少千米？ （2）假如居民小区A 、B 位于主干线L 的同旁，如图（2）所示，那么分支点M 在什么地点时总路线最短？现在分支点M 与A1的距离是多少千米？ 模型二：一条定直线，一定点，一动点•A •B • A • B• B • A • A ’ • B ’ • A ’ • B ’ L L如图，已知直线L和定点A，在直线K上找一点B，在直线L上找一点P，使得AP+PB值最小。

“将军饮马”模型详解与拓展平面几何中涉及最值问题的相关定理或公理有:① 线段公理：两点之间，线段最短. 并由此得到三角形三边关系；② 垂线段的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短. 在一些“线段和最值”的问题中,通过翻折运动，把一些线段进行转化即可应用①、② 的基本图形,并求得最值，这类问题一般被称之为“将军饮马"问题.问题提出:唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？模型提炼：模型【1】一定直线、异侧两定点直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小解答：根据“两点之间,线段距离最短”，所以联结AB交直线l于点P，点P即为所求点模型【2】一定直线、同侧两定点直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小解答：第一步：画点A关于直线l的对称点A’(根据“翻折运动”的相关性质,点A、A’到对称轴上任意点距离相等,如图所示，AP=A'P,即把一定直线同侧两定点问题转化为一定直线异侧两定点问题)第二步：联结A'B交直线l于点Q，根据“两点之间，线段距离最短”，此时“A’Q+QB”最短即“AQ+QB”最短模型【3】一定直线、一定点一动点已知直线l和定点A，在直线k上找一点B（点A、B在直线l同侧)，在直线l上找点P,使得AP+PB最小解答：第一步:画点A关于直线l的对称点A’第二步：过点A'做A'B⊥k于点B且交直线l于点P，根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短",可知A’P+PB最小即AP+PB最小模型【4】一定点、两定直线点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B，使△PAB的周长最小解答:策略：两次翻折第一步：分别画点P关于直线OM、ON的对称点P1、P2第二步:联结P1P2，交OM、ON于点A、点B（根据“翻折运动”的相关性质,AP=AP1，BP=BP2；根据“两点之间，线段距离最短”可知此时AP1+BP2+AB最短即△ABP周长最短）拓展如果两定点、两定直线呢？“如图,点P，Q为∠MON内的两点,分别在OM，ON上作点A,B。

将军饮马问题模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿营。

问如何行走才能使总的路程最短。

模型一(两点在河的异侧)：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。

方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。

模型二(两点在河的同侧)：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。

方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B'，连接AB',与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB'的长。

模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。

数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小。

方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P'、P''，连接P'P''，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P'P''的长。

模型四如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。

数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。

方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P'、Q'，连接P'Q'，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P'Q')的长。

最值模型之将军饮马模型模型一两定一动型(线段和差的最值问题)【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的和最小；题目在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；分类(1)点A、B在直线m两侧(2)点A、B在直线同侧原图辅助线作法连接AB交直线m于点P，此点P即为所求，PA+PB最小值为AB 作A关于直线m的对称点A'，连接A'B交直线m于点P，此点P即为所求，PA+PB最小值为A'B原理三角形两边之和大于第三边【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；题目在一条直线m上，求一点P，使|PA-PB|最大；分类(1)点A、B在直线m同侧：(2)点A、B在直线m异侧原图辅助线作法延长AB交直线m于点P，此点P即为所求，|PA-PB|最大值为AB 过点B作关于直线m的对称点B'，连接AB'交点直线m于P，此点P即为所求，|PA-PB|最大值为AB'原理三角形两边之差小于第三边。

例题解析1如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE=1，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CF+EF的最小值为．【答案】17【分析】连接AE交BD于一点F，连接CF，根据正方形的对称性得到此时CF+EF=AE最小，利用勾股定理求出AE即可．【详解】解：如图，连接AE交BD于一点F，连接CF，∵四边形ABCD是正方形，∴点A与点C关于BD对称，∴AF=CF，∴CF+EF=AF+EF=AE，此时CF+EF最小，∵正方形ABCD的边长为4，∴AD=4,∠ABC=90°，∵点E在AB上，且BE=1，∴AE=AB2+BE2=42+12=17，即CF+EF的最小值为17故答案为：17．2如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，对角线AC、BD交于点O，BD=8，点E为OD的中点，点F为AB上一点，且AF=3BF，点P为AC上一动点，连接PE、PF，则PF-PE的最大值为．【答案】2【分析】作E的对称点E'，连接FE'并延长交AC于点P'，根据三角形三边关系可得到PF-PE=PF-PE≤E F，最后根据等边三角形的性质及菱形的性质即可解答．【详解】解：作E的对称点E ，连接FE'并延长交AC于点P ，∴PE=PE ，∴PF-PE≤E F，=PF-PE当F、E 、P 在同一条直线上时，PF-PE有最大值E F，∵在菱形ABCD中，∠ABC=120°，∴∠DAB=60°，AD=AB，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB=∠DBA=∠ADB=60°，，AD=AB=BD，∵BD=8，∴AB=8，∵AF=3BF，∴BF=2，∵点E为OD的中点，∴E 为OB的中点，∴BE =1BD=2，4∴BF=BE ，∴△BE F是等边三角形，∴E F=BF=2，故答案为2；变式训练1如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上，∠ABC=120°，点A-3,0，点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是()3A.3B.5C.22D.32【答案】A【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值．【详解】如图：连接BE，∵菱形ABCD，∴B、D关于直线AC对称，，∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．∵菱形ABCD，∠ABC=120°，点A-3,0，∴∠CDB=60°,∠DAO=30°，OA=3，∴OD=3,AD=DC=CB=23∴△CDB是等边三角形∴BD=23∵点E是CD的中点，∴DE=1CD=3,且BE⊥CD，∴BE=BD2-DE2=3故选：A．22如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB=4，则AE+OE的最小值是()A.42B.25+2C.213D.210【答案】D【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点A ，再连接A O，运用两点之间线段最短得到A O为所求最小值，再运用勾股定理求线段A O的长度即可．【详解】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点A ，连接A O，其与BC的交点即为点E，再作OF⊥AB交AB于点F，∵A与A关于BC对称，∴AE=A E，AE+OE=A E+OE，当且仅当A ，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时AE+OE=A E+OE=A O，∵正方形ABCD，点O为对角线的交点，AB=2，∴OF=FB=12∵对称，∴AB=BA =4，∴FA =FB+BA =2+4=6，在Rt△OFA 中，OA =FO2+FA 2=210，故选：D．3如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，M是对角线BD上的一个动点，CF=BF，则MA+ MF的最小值为()A.1B.2C.3D.2【答案】C【分析】连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值，证明△ABC是等边三角形，AF是高线，利用三角函数即可求解．【详解】解：连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC ，又∵∠ABC =60°，∴△ABC 是等边三角形，∵CF =BF ∴F 是BC 的中点，∴AF ⊥BC ．则AF =AB •sin60°=2×32=3．即MA +MF 的最小值是3．故选：C4如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC =BC =6，∠BCD =15°，P 为直线CD 上的动点，则|PA -PB |的最大值为．【答案】6【分析】作A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′B 交CD 于P ，则点P 就是使|PA -PB |的值最大的点，|PA -PB |=A ′B ，连接A ′C ，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB =∠ABC =45°，∠ACB =90°，根据角的和差关系得到∠ACD =75°，根据轴对称的性质得到A ′C =AC =BC ，∠CA ′A =∠CAA ′=15°，推出△A ′BC 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．【详解】如图，作A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′B 并延长交CD 延长线于点P ，则点P 就是使PA -PB 的值最大的点，PA -PB =A ′B ，连接A ′C ，∵△ABC 为等腰直角三角形，AC =BC =6，∴∠CAB =∠ABC =45°，∠ACB =90°，∵∠BCD =15°，∴∠ACD =75°，∵点A 与A ′关于CD 对称，∴CD ⊥AA ′，AC =A ′C ，∠CA ′A =∠CAA ′，∴∠CAA ′=15°，∵AC =BC ，∴A ′C =BC ，∠CA ′A =∠CAA ′=15°，∴∠ACA ′=150°，∵∠ACB =90°，∴∠A ′CB =60°，∴△A ′BC 是等边三角形，∴A ′B =BC =6．故答案为：65如图，MN 是⊙O 的直径，MN =6，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA +PB 的最小值是．【答案】32【分析】首先利用在直线L 上的同侧有两个点A 、B ，在直线L 上有到A 、B 的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L 的对称点，对称点与另一点的连线与直线L 的交点就是所要找的点P 的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算．【详解】作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点P ，连接OB ，则P 点就是所求作的点．此时PA +PB 最小，且等于AC 的长．连接OA ，OC ，∵∠AMN =30°，∴∠AON =60°，∵B 为AN的中点，∴AB =BN∴∠AOB =∠BON =30°，∵MN ⊥BC ，∴CN=BN，∴∠CON =∠NOB =30°，则∠AOC =90°，又OA =OC =3，则AC =32．故答案为：32．6如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =5．动点P 满足S △PBC =13S 矩形ABCD．则点P 到B ，C 两点距离之和PB +PC 的最小值为。

将军饮马问题唐朝诗人李的诗开头两句说:"白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河. "诗中隐含着一个有趣的数学问题.如图所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短这个问题早在古罗马时代就有了,传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦.一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题.将军每天从军营A出发,先到河边饮马,然后再去河岸同侧的B地开会,应该怎样走才能使路程最短从此,这个被称为"将军饮马"的问题广泛流传.将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题轴对称是工具,最短距离是题眼;所谓轴对称是工具,即这类问题最常用的做法就是作轴对称;而最短距离是题眼,也就意味着归类这类的题目的理由;比如题目经常会出现线段 a+b 这样的条件或者问题;一旦出现可以快速联想到将军问题,然后利用轴对称解题;一．六大模型1.如图,直线l 和l 的异侧两点A、B,在直线l 上求作一点P,使PA+PB 最小;2.如图,直线l 和l 的同侧两点A、B,在直线l 上求作一点P,使PA+PB 最小;3.如图,点P 是∠MON 内的一点,分别在OM,ON 上作点A,B;使△PAB 的周长最小.4.如图,点P,Q 为∠MON 内的两点,分别在OM,ON 上作点A,B;使四边形PAQB 的周长最小;5.如图,点A 是∠MON 外的一点,在射线ON 上作点P,使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小6. .如图,点A 是∠MON 内的一点,在射线ON 上作点P,使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小常见问题首先明白几个概念,动点、定点、对称点;动点一般就是题目中的所求点,即那个不定的点;定点即为题目中固定的点;对称的点,作图所得的点,需要连线的点;1. 怎么对称,作谁的对称;简单说所有题目需要作对称的点,都是题目的定点;或者说只有定点才可以去作对称的;不确定的点作对称式没有意义的那么作谁的对称点首先要明确关于对称的对象肯定是一条线,而不是一个点;那么是哪一条线一般而言都是动点所在直线;2. 对称完以后和谁连接一句话：和另外一个定点相连;绝对不能和一个动点相连;明确一个概念：定点的对称点也是一个定点;例如模型二和模型三;3. 所求点怎么确定首先一定要明白,所求点最后反应在图上一定是个交点;实际就是我们所画直线和已知直线的交点;下面我们来看看将军饮马与二次函数结合的问题：1.如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A1,0、B4,0、C0,3三点．1求抛物线的解析式；2如图,在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形PAOC的周长最小若存在,求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在,请说明理由．分析1设交点式为y=ax﹣1x﹣4,然后把C点坐标代入求出a=,于是得到抛物线解析式为y=x2﹣x+3；2先确定抛物线的对称轴为直线x=,连结BC交直线x=于点P,如图,利用对称性得到PA=PB,所以PA+PC=PC+PB=BC,根据两点之间线段最短得到PC+PA最短,于是可判断此时四边形PAOC的周长最小,然后计算出BC=5,再计算OC+OA+BC即可．解答解：1设抛物线解析式为y=ax﹣1x﹣4,把C0,3代入得a﹣1﹣4=3,解得a=,所以抛物线解析式为y=x﹣1x﹣4,即y=x2﹣x+3；2存在．因为A1,0、B4,0,所以抛物线的对称轴为直线x=,连结BC交直线x=于点P,如图,则PA=PB,PA+PC=PC+PB=BC,此时PC+PA最短,所以此时四边形PAOC的周长最小,因为BC==5,所以四边形PAOC周长的最小值为3+1+5=9．点评本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解．一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了最短路径问题．2．2015上城区一模设抛物线y=x+1x﹣2与x轴交于A、C两点点A在点C的左边,与y轴交于点B．1求A、B、C三点的坐标；2已知点D在坐标平面内,△ABD是顶角为120°的等腰三角形,求点D的坐标；3若点P、Q位于抛物线的对称轴上,且PQ=,求四边形ABQP周长的最小值．考点二次函数综合题．分析1令x=0,求出与y轴的坐标；令y=0,求出与x轴的坐标；2分三种情况讨论：①当AB为底时,若点D在AB上方；若点D在AB下方；②当AB为腰时,A 为顶点时,③当AB为腰时,A为顶点时；仔细解答即可．3当AP+BQ最小时,四边形ABQP的周长最小,根据轴对称最短路径问题解答．解答解：1当x=0时,y=﹣；当y=0时,x=﹣1或x=2；则A﹣1,0,B0,﹣,C2,0；2如图,Rt△ABO中,OA=1,OB=,∴AB=2,∠ABO=30°,∠BAO=60°,∴△ABD是顶角为120°的等腰三角形．①当AB为底时,若点D在AB上方,由∠ABO=∠BAD=30°,AB=2,得D10,﹣,若点D在AB下方,由∠BAD=∠DBA=30°,AB=2,得D2﹣1,﹣,②当AB为腰时,A为顶点时,∵∠DAB=120°,∠OAB=60°,AD=AB=2,∴点D在y轴或x轴上,若D在y轴上,得D30,,若D在x轴上,得D4﹣3,0；③当AB为腰时,A为顶点时,若点D在第三象限,∵∠DBO=150°,BD=2,得D5﹣1,﹣2；若点D在第四象限时,∵DB∥x轴,BD=2,得D62,﹣,∴符合要求的点D的坐标为0,﹣,﹣1,﹣,0,,﹣3,0,﹣1,﹣2,2,﹣；3当AP+BQ最小时,四边形ABQP的周长最小,把点B向上平移个单位后得到B10,﹣,∵BB1∥PQ,且BB1=PQ,∴四边形BB1PQ是平行四边形,∴BQ=B1P,∴AP+BQ=AP+B1P,要在直线x=上找一点P,使得AP+B1P最小,作点B1关于直线x=的对称点,得B21,﹣,则AB2就是AP+BQ的最小值,AB2==,AB=2,PQ=,∴四边形ABQP的周长最小值是+2．点评本题考查了二次函数综合题,涉及二次函数与x轴的交点、与y轴的交点、等腰三角形的性质、勾股定理等内容,存在性问题的出现使得难度增大．。

将军饮马”模型详解与拓展 (1)A，B，C，D，使得四边形ABCD的周长最小。

该问题可以通过两次翻折来解决。

第一步：分别画点P、Q关于直线OM、ON的对称点P1、Q1、P2、Q2.第二步：联结P1Q2、P2Q1，交OM、ON于点A、B、C、D。

根据“翻折运动”的相关性质，AP=AP1，BP=BP2，CQ=CQ1，DQ=DQ2；根据“两点之间，线段距离最短”可知此时AP1+P1Q2+QC1+CD+DQ2+BP2最短即四边形ABCD周长最短。

将军饮马”问题源于唐朝诗人XXX的诗《古从军行》。

在这首诗中，将军从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营。

问题是，怎样走才能使总的路程最短？该问题可以通过“线段和最值”问题中的“一定直线、异侧两定点”模型来解决。

根据“两点之间，线段距离最短”的原理，联结AB交直线l于点P，点P即为所求点。

除了“一定直线、异侧两定点”模型外，还有“一定直线、同侧两定点”、“一定直线、一定点一动点”和“一定点、两定直线”等模型。

这些模型都可以通过“翻折运动”来转化为“一定直线、异侧两定点”问题，然后应用“两点之间，线段距离最短”的原理来求解。

对于“一定点、两定直线”问题，需要通过两次翻折来解决。

分别画点P、Q关于直线OM、ON的对称点P1、Q1、P2、Q2，然后联结P1Q2、P2Q1，交OM、ON于点A、B、C、D。

根据“翻折运动”的相关性质和“两点之间，线段距离最短”的原理，可以得到四边形ABCD周长最短。

总之，“将军饮马”问题是一个典型的“线段和最值”问题，可以通过不同的模型和翻折运动来解决。

掌握这些模型和原理，可以帮助我们更好地解决类似的几何问题。

如何使四边形PAQB的周长最小？在数学问题中，我们经常需要优化某些值。

这个问题的目标是最小化四边形PAQB的周长。

为了解决这个问题，我们需要先找到四边形的特征。

四边形PAQB是由四个点P、A、Q和B组成的。

我们可以使用坐标系来表示这些点。

可编辑修改精选全文完整版2020年中考数冲刺难点突破 将军饮马与最值问题专题一 将军饮马中两定一动模型与最值问题【专题说明】这类问题的解法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧，转化为两点之间线段最短问题。

1、如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ）A ．B ．C ．D ．2、如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BE ＝2，AB ＝8，P 是AC 上一动点，则PB +PE 的最小值_____．3、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边BC 交x 轴于点D ，AD x ⊥轴，反比例函数(0)k y x x=>的图象经过点A ，点D 的坐标为(3,0)，AB BD =．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P 为y 轴上一动点，当PA PB +的值最小时，求出点P 的坐标．4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；（2）请在y 轴上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5、如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点0(1)A ，,(50)B ，,4(0)C ，．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P 是抛物线对称轴上的一点，求满足PA PC 的值为最小的点P 坐标（请在图1中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E ，使四边形OEBF 是以OB 为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索）。

初中数学几何模型，将军饮马问题讲解，视频讲解更容易学展开全文“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一个有趣的数学问题，称为“将军饮马”问题。

【提出问题】如图1，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营B处，请问：将军怎么走能使得路程最短？【问题简化】如图2，在直线上找一点P使得PA+PB最小？【问题解决】作点A关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA'=PA，所以PA+PB=PA'+PB当A'、P、B三点共线的时候，PA'+PB=A'B，此时为最小值。

【拓展模型1】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小。

此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【拓展模型2】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

总结：以上四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：“两点之间，线段最短”解决。

特点：①动点在直线上；②起点，终点固定；方法：作定点关于动点所在直线的对称点。

典型例题视频讲解1、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E，F分别为边AB，AD的中点，点M，N分别为BC，CD上的动点，求四边形EFNM周长的最小值．2、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC，CD上分别存在点G，H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．3、如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC=1，AE=DE=2，在 BC、DE 上分别找一点 M、N．(1)当△AMN 的周长最小时，∠AMN＋∠ANM＝；(2)求△AMN 的周长最小值．4、如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE＝1，长为根号2的线段MN在AC上运动．求四边形BMNE周长最小值；当四边形BMNE的周长最小时，求tan∠MBC的值。