初中数学之将军饮马的6种模型(培优)

将军饮马问题的11个模型及例题将军饮马问题是一个经典的逻辑问题，涉及到将军如何用有限数量的马和酒到达目的地。

本文将介绍将军饮马问题的11个模型及相应的例题。

1. 直线模型将军与目的地之间没有障碍物，可以直线前进。

此时，将军只需将马拉到目的地即可。

例题1：将军与目的地之间距离为10公里，马的速度为每小时5公里，将军能否在2小时内到达目的地？2. 单个障碍物模型在将军与目的地之间存在一个障碍物，将军可以绕过该障碍物。

例题2：将军与目的地之间距离为15公里，马的速度为每小时4公里，障碍物位于距离将军起点5公里处，将军能否在3小时内到达目的地？3. 多个障碍物模型在将军与目的地之间存在多个障碍物，将军需要逐一绕过这些障碍物。

例题3：将军与目的地之间距离为20公里，马的速度为每小时6公里，障碍物位于距离将军起点分别为5公里、10公里和15公里的位置，将军能否在4小时内到达目的地？4. 跳跃模型将军可以让马跳过障碍物，从而直接到达目的地。

例题4：将军与目的地之间距离为12公里，马的速度为每小时8公里，将军在距离起点6公里处设置一个障碍物，将军能否在2小时内到达目的地？5. 限时模型将军需要在规定的时间内到达目的地。

例题5：将军与目的地之间距离为30公里，马的速度为每小时10公里，将军需要在3小时内到达目的地，是否可能？6. 守备模型目标地点有守备军，将军需要巧妙规避守备军。

例题6：将军与目的地之间距离为25公里，马的速度为每小时7公里，目的地有一支守备军位于距离目标地点10公里处，将军能否在4小时内到达目的地？7. 短平快模型将军不借助马匹，直接徒步走到目的地。

例题7：将军与目的地之间距离为8公里，将军的步行速度为每小时2公里，将军能否在4小时内到达目的地？8. 时间窗模型将军只能在规定时间范围内到达目的地。

例题8：将军与目的地之间距离为18公里，马的速度为每小时6公里，将军需要在3小时到4小时之间到达目的地，是否可能？9. 兵变模型将军需要利用敌军马匹达到目的地。

将军饮马模型“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现． 模型1：直线与两定点模型作法结论lB A当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使P A ＋PB 最小．lPAB连接AB 交直线l 于点P ，点P即为所求作的点．P A ＋PB 的最小值为ABl AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得P A ＋PB 最小．lPB'AB作点B 关于直线l 的对称点B '， 连接AB '交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．P A ＋PB 的最小值为AB 'l AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最大．lPAB连接AB 并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最大值为ABlAB当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最大．l B'AB P作点B 关于直线I 的对称点B '，连接AB '并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最大值为AB 'l AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最小．l PAB连接AB ，作AB 的垂直平分线交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最小值为0模型实例例1：如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，则PD ＋PE 最小值是 ．EBC ADP解答：如图所示，∵点B 与点D 关于AC 对称，∴当点P 为BE 与AC 的交点时，PD ＋PE 最小，且线段BE 的长． ∵正方形ABCD 的面积为12，∴其边长为23∵△ABE 为等边三角形，∴BE ＝AB ＝23PD ＋PE 的最小值为3例2：如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，∠BCD ＝15°，P 为CD 上的动点，则PA PB -的最大值是多少？DPPA'B解答：如图所示，作点A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′C ，连接A ′B 并延长交CD 于点P ，则点P 就是PA PB -的值最大时的点，PA PB -＝A ′B ．∵△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC 等于4，∴∠ACB ＝90°． ∵∠BCD ＝15°，∴∠ACD ＝75°．∵点A 、A ′关于CD 对称，∴AA ′⊥CD ，AC ＝CA ′， ∵∠ACD ＝∠DCA ′＝75°，∴∠BCA ′＝60°．∵CA ′＝AC ＝BC ＝4，∴△A ′BC 是等边三角形，∴A ′B ＝BC ＝4．∴PA PB -的最大值为4． 练习1．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值是 ．DACB E解：解：过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C '，使O C '=OC ，连接D C '，交AB 于E ，连接C 'B ，此时DE+CE=DE+E C '=D C '的值最小．连接B C '，由对称性可知∠C 'BE=∠CBE=45°，∴∠CB C '=90°，∴B C '⊥BC ， ∠BC C '=∠B C 'C=45°，∴BC=B C '=2，∵D 是BC 边的中点，∴BD=1， 根据勾股定理可得：D C '=5，故EC+ED 的最小值是5． 2．如图，点C 的坐标为（3，y ），当△ABC 的周长最短时，求y 的值．xyB (2,0)A (0,3)O解：解：（1）作A 关于x=3的对称点A′，连接A′B 交直线x=3与点C ． ∵点A 与点A′关于x=3对称，∴AC=A′C ．∴AC+BC=A′C+BC ．当点B 、C 、A′在同一条直线上时，A′C+BC 有最小值，即△ABC 的周长有最小值． ∵点A 与点A′关于x=3对称，∴点A′的坐标为（6，3）．设直线BA′的解析式y=kx+b，将点B和点A′的坐标代入得：k＝34，b＝−32．∴y=34x-32．将x=3代入函数的解析式，∴y的值为3 43．如图，正方形ABCD中，AB＝7，M是DC上的一点，且DM＝3，N是AC上的一动点，求|DN－MN|的最小值与最大值．C解：解：当ND=NM时，即N点DM的垂直平分线与AC的交点，|DN-MN|=0，因为|DN-MN|≤DM，当点N运动到C点时取等号，此时|DN-MN|=DM=3，所以|DN-MN|的最小值为0，最大值为3于D ，点C 、点D 即为所求．PB OAQ点P 、Q 在∠AOB 内部，在OB 边上找点D ，OA 边上找点C ，使得四边形PQDC 周长最小．分别作点P 、Q 关于OA 、OB 的对称点P ′、Q ′，连接P ′Q ′，分别交OA 、OB 于点C 、D ，点C 、D 即为所求．PC ＋CD ＋DQ 的最小值为P ′Q ′，所以四边形PQDC 周长的最小值为PQ ＋P ′Q ′模型实例如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点P ，且10OP =.在OA 上有一点Q ，OB 上 一点R ．若立△PQR 周长最小，则最小周长是多少？解答如图，作点P 分别关于OA 、OB 的对称点E 、F ，连接EF ，分别交OA 、OB 于点Q 、R ，连接OE 、OF 、PE 、PF .EQ OP =，FR RP =．△PQR 的周长的最小值为EF 的长.由对称性可得∠EOQ=∠POQ ，∠FOR=∠POR ， ∠EOF=2∠AOB=60°． △EOF 是正三角形．10EF OE OP ===．即△PQR 周长最小值为10.模型2/角与定点1．已知，40MON °?，P 为MON Ð内一定点，A 为OM 上的点，B 为ON 上的点，当△PAB 的周长取最小值时：OBAP(1)找到A 、B 点，保留作图痕迹；(2)求此时APB Ð等于多少度.如果∠MON =θ，∠APB 又等于多少度？ON1.解答（1）做点P 分别关于OM ON 、的对称点E F 、，连接EF 分别交OM ON 、于点A B 、．点A B 、即为所求，此时△PAB 的周长最小．（２）∵点E 与点P 关于直线OM 对称，点F 与点P 关于ON 对称， ∴∠E ＝∠APE ，∠F =∠BPF ，∠CPD =180°-∠MON =140°． ∴在△EFP 中，∠E +∠F =180°-140°=40°， ∴∠CPA +∠BPD =40°．∴∠APB =100°．如果∠MON =θ， ∴∠CPD =180°-θ，∠E +∠F =θ． 又∵∠PAB =2∠E ，∠PBA =2∠F ∴∠PAB +∠PBA =2（∠E +∠F ）=2θ ∴∠APB =180°-2θ．ONE2．如图，四边形中ABCD ，110BAD °?,90B D °??，在BC 、CD 上分别找 一点M 、N ，使△AMN 周长最小，并求此时+AMN ANM ∠∠的度数．A DBMN2．解答如图，作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A''，连接A A'''与BC、CD的交点即为所求的点M、N．此时△AMN周长最小．∵∠BAD=110°，∴∠A'+∠A''=180°-110°=70°．由轴对称的性质得：∠A'=∠A AM'，∠A''=∠A AN''，∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A'')=2×70°=140°．3．如图，在x轴上找一点C，在y轴上找一点D，使AD CD BC++最小，并求直线CD的解析式及点C、D的坐标．yxOB(3,1)A(1,3)3．解答作点A关于y轴的对称点A'，点B关于x轴的对称点B'，连接A B''分别交x轴、y轴于点C、D，此时AD CD BC++最小．由对称性可知A'（-1,3），B'（3，-1）．易求得直线A B''的解析式为2y x=-+，即直线CD的解析式2y x=-+．当0y=时，2x=，∴点C坐标为（2,0）．当0x=时，2y=，∴点D坐标为（0,2）．xy (1，3)(3，1)OB 'BA 'AD C4．如图，20MON°?，A 、B 占分别为射线OM 、ON 上两定点，且2OA =，4OB =，点P 、Q 分别为射线OM 、ON 上两动点，当P 、Q 运动时，线段AQ PQ PB ++ 的最小值是多少？ONMAB4．解答作A 点关于ON 的对称点A '，点B 关于OM 的对称点B '，连接A B ''，分别交OM ON 、于点P Q 、，连接OA '、OB '．则AQ PQ PB A Q PQ PB A B ''''++=++=，此时AQ PQ PB ++最小． 由对称可知，PB PB '=，AQ A Q '=，2OA OA '==，4OB OB '==，20MOB NOA MON ''∠=∠=∠=︒． 60A OB ''∠=︒．作A D '⊥OB '于点D ， 在Rt △ODA '中，∴1OD =，3A D '= ∴413B D '=-=，23A B ''= ∴AQ PQ PB ++的最小值是23．模型作法结论如图，在直线l上找M、N两点(M在左)，使得AM＋MN＋NB最小，且MN＝d.将A向右平移d个单位到A′，作A′关于l的对称点A"，连接A"B与直线l交于点N，将点N向左平移d个单位即为M，点M，N即为所求.AM＋MN＋NB的最小值为A"B＋d如图，l1∥l2，l1、l2间距离为d，在l1、l2分别找M、N两点，使得MN⊥l1，且AM＋MN＋NB最小．将A向下平移d个单位到A，连接A′B交直线l2于点N，过点N作MN⊥l1，连接AM.点M、N即为所求．AM＋MN＋NB的最小值为A'B＋d.例题：在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA＝6，OC＝4，D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF＝2.当四边形BDEF的周长最小时，求点E的坐标．解答：如图，将点D向右平移2个单位得到D'(2，2)，作D'关于x轴的对称点D"(2，－2)，连接BD"交x轴于点F，将点F向左平移2个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，且四边形BDEF周长最小.理由：∵四边形BDEF的周长为BD＋DE＋EF＋BF，BD与EF是定值.∴BF＋DE最小时，四边形BDEF周长最小，∵BF＋ED＝BF＋FD'＝BF＋FD"＝BD"ABl2l1A′NMABl2l1BAlM NA′A"BAld设直线BD "的解析式为y ＝kx ＋b ，把B (6，4)，D "(2，－2)代入，得6k ＋b ＝4，2k ＋b ＝－2，解得k ＝32，b ＝－5，∴直线BD "的解析式为y ＝32x －5．令y ＝0，得x ＝103，∴点F 坐标为(103，0)．∴点E 坐标为(43，0)．练习1．在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A (3，0)，B (0，4)，D 为边OB 的中点． (1)若E 为边OA 上的一个动点，求△CDE 的周长最小值；(2)若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝1，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．解答：(1)如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，连接CD '与x 轴交于点E ，连接DE ，由模型可知△CDE 的周长最小．∵在矩形OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为OB 的中点， ∴D (0，2)，C (3，4)，D '(0，－2).设直线CD '为y ＝kx ＋b ，把C (3，4)，D '(0，－2)代入， 得3k ＋b ＝4，b ＝－2，解得k ＝2，b ＝－2， ∴直线CD '为y ＝2x －2. 令y ＝0，得x ＝1， ∴点E 的坐标为(1，0). ∴OE ＝1，AE ＝2.利用勾股定理得CD ＝13，DE ＝5，CE ＝25， ∴△CDE 周长的最小值为13＋35．(2)如图，将点D 向右平移1个单位得到D '(1，2)，作D '关于x 轴的对称点D ″(1，－2)，连接CD ″交x 轴于点F ，将点F 向左平移1个单位到点E ，此时点E 和点F 为所求作的点，且四边形CDEF 周长最小．理由：∵四边形CDEF 的周长为CD ＋DE ＋EF ＋CF ，CD 与EF 是定值，∴DE ＋CF 最小时，四边形BDEF 周长最小，∴DE ＋CF ＝D 'F ＋CF ＝FD ″＋CF ＝CD ″， 设直线CD ″的解析式为y ＝kx ＋b ，把C (3，4)，D (1，－2)代入，得3k ＋b ＝4，k ＋b ＝－2，解得k ＝3，b ＝－5．∴直线CD ″的解析式为y ＝3x －5， 令y ＝0，得x ＝53，∴点F 坐标为(53，0)，∴点E 坐标为(23，0)．112．村庄A 和村庄B 位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A 与B 之间的距离最短？解答：设l 1和l 2为河岸，作BD ⊥l 2，取BB '等于河宽，连接AB '交l 1于C 1，作C 1C 2⊥l 2于C 2， 则A →C 1→C 2→B 为最短路线，即A 与B 之间的距离最短.AB l 2l 1。

最值问题之将军饮马问题最值问题是老师们最爱考的热门题型之一，综合性较强，需要一定的基本功，一般考察时一般放在压轴位置。

模型讲解【基本模型】问题：在直线l上找一点P，使得P A＋PB的值最小解析：连接AB，与直线l交点即为点P(两点之间线段最短)【拓展模型1】问题：在直线/上找一点P，使得P A＋PB的值最小解析：点A作关于l的对称点A'，连接BA'，与直线l的交点即为点P，此时P A＋PB的最小值即为线段BA′的长度．【练习】1、尺规作图：在直线MN上找一点P，使得∠APN＝∠BPN．(保留作图痕迹)【模型拓展2】1、如图，已知点P为定点，定长线段AB在直线MN上运动，在什么位置时，P A＝PB最小？思维转化：将线段AB移动，点P不动，理解为线段AB不动，点P在直线CD上移动，将模型转化为最基本模型【模型拓展3】问题：∠MON内一定点A，点P、Q分别为OM、ON上的动点，求△APQ周长的最小值．解析：点A作关于ON和OM的对称点A1、A2，，连接A1A2，与ON、OM交点即为Q、P，线段A1A2的长度即为△APQ周长的最小值．基本结论：①△A1OA2必为等腰三角形，且腰长等于线段OA的长．②∠A1OA2＝2∠MON．四边形ABPQ周长最小的模型，最小值即为线段AB＋A'B'的长度和．【模型拓展4】问题：求AB＋BC＋CD的最小值问题解析：作点A关于ON的对称点A'，点D关于OM的对称点D′，连接A'D′，最小值即为线段A'D'的长度．(作点A和点D的对称点的过程中，也可以直接将OM、ON整个对称过去，使得图形更加完整)【模型拓展5】MN垂直两平行线，求AM＋MN＋NB的最小值模型．其中MN 为定值，故只需求AM ＋NB 的最小值，将点A 向下平移MN 的长度得到A ′，连接A ′B ，线段A ′B 的长度即为AM ＋NB 的最小值直线l 上有一长度不变线段MN 移动，求AM ＋MN ＋NB 最小值的模型．将A 点向右平移MN 的长度，以此转化为基本模型，最小值即为MN ＋A 2B【例题讲解】例题1、如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(3，点C 的坐标为(12，0)，点P 为斜边OB 上的一动点，则P A ＋PC 的最小值为 ．解：作A 关于OB 的对称点D ，连接CD 交OB 于P ，连接AP ，过D 作DN ⊥OA 于N ，则此时P A ＋PC 的值最小，∵DP ＝P A ，∴P A ＋PC ＝PD ＋PC ＝CD ，∵B (3，∴AB OA ＝3，∵tan ∠AOB ＝AB OA AOB ＝30°，∴OB ＝2AB ＝ 由三角形面积公式得：12×OA ×AB ＝12×OB ×AM ，∴AM ＝32，∴AD ＝2×32＝3，∵∠AMB ＝90°，∠B ＝60°，∴∠BAM ＝30°，∵∠BAO ＝90°，∴∠OAM ＝60°，∵DN ⊥OA ，∴∠NDA ＝30°，∴AN ＝12AD ＝32，由勾股定理得：DN ，∵C (12，0)，∴CN ＝3﹣12﹣32＝1，在Rt △DNC 中，由勾股定理得：DC ，即P A＋PC．【思考】若把题中条件点“C的坐标为(12，0)”改为“点C为OA边上一动点”，其它条件不变，那么此时P A＋PC最小值又是多少呢？解答：∵P A＋PC＝PC＋PD＝CD≥DN，∴P A＋PC．例题2、某长方体的长、宽、高分别为4、3、5，(1)如图1，点A、B分别为该长方体的两个顶点，已知蚂蚁从点A沿长方体侧面爬到点B，则最短路线长是多少？(2)如图2，点A、C分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短长度是．(3)如图2，点A、C分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕三圈到达点C，那么所用细线最短长度是．(4)如图3，已知圆柱高4米，底面周长1米．如果用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈(如图)，那么螺旋形花圈的长至少米．答案：例题3、如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE上分别找一点M、N．(1)当△AMN的周长最小时，∠AMN＋∠ANM＝；(2)求△AMN的周长最小值．解：作A 关于BC 和ED 的对称点A ′，A ″，连接A ′A ″，交BC 于M ，交ED 于N ，则A ′A ″即为△AMN 的周长最小值．⑴作EA 延长线的垂线，垂足为H ，∠BAE ＝120°，∴∠AA ′A ″＋∠AA ″A ′＝60°，∠AA ′A ″＝∠A ′AM ，∠AA ″A ′＝∠EAN ，∴∠CAN ＝120°－∠AA ′A ″－∠AA ″A ′＝60°，也就是说∠AMN ＋∠ANM ＝180°－60°＝120°.⑵过点A ′作EA 延长线的垂线，垂足为H ，∵AB ＝BC ＝1，AE ＝DE ＝2，∴AA ′＝2BA ＝2，AA ″＝2AE ＝4，则Rt △A ′HA 中，∵∠EAB ＝120°，∴∠HAA ′＝60°，∵A ′H ⊥HA ，∴∠AA ″H ＝30°，∴AH ＝12AA ′＝1，∴A ′H ，A ″H ＝1＋4＝5，∴A ′A ″＝例题4、如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边BC 上且CE ＝1MN 在AC 上运动．(1)求四边形BMNE 周长最小值；(2)当四边形BMNE 的周长最小时，则tan ∠MBC 的值为 ．解：作EF ∥AC 且EF DF 交AC 于M ，在AC 上截取MN DF 交BC 于P ，作FQ ⊥BC 于Q ，作出点E 关于AC 的对称点E ′，则CE ′＝CE ＝1，将MN 平移至E ′F ′处，则四边形MNE ′F ′为平行四边形，当BM ＋EN ＝BM ＋FM ＝BF ′时，四边形BMNE 的周长最小，由∠FEQ ＝∠ACB ＝45°，可求得FQ ＝EQ ＝1，∵∠DPC ＝∠FPQ ，∠DCP ＝∠FQP ，∴△PFQ ∽△PDC ， ∴PQ PQ QE EC ++＝PQ CD ，∴2PQ PQ +＝14，解得：PQ ＝23，∴PC ＝83，由对称性可求得tan∠MBC＝tan∠PDC＝23．例题5、在平面直角坐标系中，已知点A(一2，0)，点B(0，4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OB A．如图，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连接A'B、BE'．当AB＋BE'取得最小值时，求点E'的坐标．【提示】将△AEO向右平移转化为△AEO不动，点B向左平移，则点B移动的轨迹为一平行于x轴的直线，所以作点E关于该直线的对称点E1，连接AE1，与该直线交点F即为最小时点B的位置，求出BF长度即可求出点E向右平移的距离．例题6、如图，已知正比例函数y＝kx(k＞0)的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为(0，4)，P为y轴上的一个动点，M、N为函数y＝kx(k＞0)的图像上的两个动点，则AM＋MP＋PN的最小值为．解：如图所示，直线OC 、y 轴关于直线y ＝kx 对称，直线OD 、直线y ＝kx 关于y 轴对称，点A ′是点A 关于直线y ＝kx 的对称点．作A ′E ⊥OD 垂足为E ，交y 轴于点P ，交直线y ＝kx 于M ，作PN ⊥直线y ＝kx 垂足为N ，∵PN ＝PE ，AM ＝A ′M ，∴AM ＋PM ＋PN ＝A ′M ＋PM ＋PE ＝A ′E 最小(垂线段最短)，在RT △A ′EO 中，∵∠A ′EO ＝90°，OA ′＝4，∠A ′OE ＝3∠AOM ＝60°，∴OE ＝12OA ′＝2，A ′E ．∴AM ＋MP ＋PN 的最小值为【巩固练习】1、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为 ．2、在菱形ABCD 中，对角线AC ＝6，BD ＝8，点E 、F 、P 分别是边AB 、BC 、AC 上的动点，PE ＋PF 的最小值是 ．3、如图，在边长为2的等边△ABC 中，D 为BC 的中点，E 是AC 边上一点，则BE ＋DE 的最小值为 ．4、如图，钝角三角形ABC 的面积为9，最长边AB ＝6，BD 平分∠ABC ，点M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM ＋MN 的最小值为 ．5、如图，在△ABC 中，AM 平分∠BAC ，点D 、E 分别为AM 、AB 上的动点，(1)若AC ＝4，S △ABC ＝6，则BD ＋DE 的最小值为(2)若∠BAC ＝30°，AB ＝8，则BD ＋DE 的最小值为 ．(3)若AB ＝17，BC ＝10，CA ＝21，则BD ＋DE 的最小值为 ．AB C DEM6、如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，S △ABC ＝，点P 、Q 、K 分别为线段AB 、BC 、AC 上任意一点，则PK ＋QK 的最小值为 ．7、如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点M 在⊙O 上，∠MAB ＝20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点，则PM ＋PN 的最小值为 ．B8、如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是．9、如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm ．10、如图，菱形OABC中，点A在x轴上，顶点C的坐标为(1，动点D、E分别在射线OC、OB上，则CE＋DE＋DB的最小值是．11、如图，点A(a，1)、B(－1，b)都在双曲线y＝－3x(x＜0)上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形P ABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是．12、如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是．13、如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是．14、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，过D作DE⊥BC于点E．(1)点P是边BC上的一个动点，在线段BC上找一点P，使得AP＋PD最小，在下图中画出点P；(2)在(1)的条件下，连接CD交AP于点Q，求AQ与PQ的数量关系；AC E D15、在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边AD 的中点．(1)如图1，若E 为AB 上的一个动点，当△CGE 的周长最小时，求AE 的长．(2)如图2，若E 、F 为边AB 上的两个动点，且EF ＝4，当四边形CGEF 的周长最小时，求AF 的长．16、图1，图2为同一长方体房间的示意图，图2为该长方体的表面展开图．(1)蜘蛛在顶点A ′处，①苍蝇在顶点B 处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点C 处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD 爬行的最近路线A 'GC 和往墙面BB 'C 'C 爬行的最近路线A 'HC ，试通过计算判断哪条路线更近？(2)在图3中，半径为10dm 的OM 与D 'C '相切，圆心M 到边CC ′的距离为15dm ，蜘蛛P 在线段AB 上，苍蝇Q 在OM 的圆周上，线段PQ 为蜘蛛爬行路线．若PQ 与OM 相切，试求PQ 的长度的范围．17.如图，抛物线21242y x x =-++交y 轴于点B ，点A 为x 轴上的一点，OA =2，过点A 作直线MN ⊥AB 交抛物线与M 、N 两点.（1）求直线AB 的解析式；（2）将线段AB 沿y 轴负方向平移t 个单位长度，得到线段11A B ，求11MA MB +取最小值时实数t 的值.参考答案1.解：连接BD，∵点B与D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB＝又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝．2.解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝6，BD＝8，∴AB＝5，作E关于AC的对称点E′，作E′F⊥BC于F交AC于P，连接PE，则E′F即为PE＋PF的最小值，∵12⋅AC⋅BD＝AD⋅E′F，∴E′F＝245，∴PE＋PF的最小值为245.3.解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE＋ED的最小值，∵B、B′关于AC的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形ABC是边长为2，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD BD＝CD＝1，BB′＝2AD＝，作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G＝AD，在Rt△B′BG中，BG＝3，∴DG＝BG﹣BD＝3﹣1＝2，在Rt△B′DG中，B′D故BE ＋ED4.解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M ，过点M 作MN ⊥BC 于N ，∵BD 平分∠ABC ，ME ⊥AB 于点E ，MN ⊥BC 于N ，∴MN ＝ME ，∴CE ＝CM ＋ME ＝CM ＋MN 是最小值．∵三角形ABC 的面积为9，AB ＝6，∴12×6 CE ＝9，∴CE ＝3．即CM ＋MN 的最小值为3．5.H E'A C DEM提示：作点E 关于AM 的对称点E ′，BH ⊥AC 于H ，易知BD ＋DE 的最小值即为BH 的长.答案：(1)3；(2)4；(3)8．6.解：如图，过A 作AH ⊥BC 交CB 的延长线于H ，∵AB ＝CB ＝4，S △ABC ＝AH ＝∴cos ∠HAB ＝AH ABHAB ＝30°，∴∠ABH ＝60°，∴∠ABC ＝120°， ∵∠BAC ＝∠C ＝30°，作点P 关于直线AC 的对称点P ′，过P ′作P ′Q ⊥BC 于Q 交AC 于K ，则P′Q的长度＝PK＋QK的最小值，∴∠P′AK＝∠BAC＝30°，∴∠HAP′＝90°，∴∠H＝∠HAP′＝∠P′QH＝90°，∴四边形AP′QH是矩形，∴P′Q＝AH＝即PK＋QK的最小值为7.解：作点N关于AB的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，则MN′与AB的交点即为PM＋PN的最小时的点，PM＋PN的最小值＝MN′，∵∠MAB＝20°，∴∠MOB＝2∠MAB＝2×20°＝40°，∵N是弧MB的中点，∴∠BON＝12∠MOB＝12×40°＝20°，由对称性，∠N′OB＝∠BON＝20°，∴∠MON′＝∠MOB＋∠N′OB＝40°＋20°＝60°，∴△MON′是等边三角形，∴MN′＝OM＝OB＝12AB＝182⨯＝4，∴PM＋PN的最小值为4，8.解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′＋M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H＝M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离，∵AB＝4，∠BAC＝45°，∴BH＝AB⋅sin45°＝4＝∵BM＋MN的最小值是BM′＋M′N′＝BM′＋M′H＝BH＝9.解：沿过A 的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH ，过C 作CQ ⊥EF 于Q ，作A 关于EH 的对称点A ′，连接A ′C 交EH 于P ，连接AP ，则AP ＋PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE ＝A ′E ，A ′P ＝AP ，∴AP ＋PC ＝A ′P ＋PC ＝A ′C ，∵CQ ＝12×18cm ＝9cm ，A ′Q ＝12cm ﹣4cm ＋4cm ＝12cm ，在Rt △A ′QC 中，由勾股定理得：A ′C ＝15cm ，故答案为：15．10.解：连接AC ，作B 关于直线OC 的对称点E ′，连接AE ′，交OC 于D ，交OB 于E ，此时CE ＋DE ＋BD 的值最小，∵四边形OCBA 是菱形，∴AC ⊥OB ，AO ＝OC ，即A 和C 关于OB 对称，∴CE ＝AE ，∴DE ＋CE ＝DE ＋AE ＝AD ，∵B 和E ′关于OC 对称，∴DE ′＝DB ，∴CE ＋DE ＋DB ＝AD ＋DE ′＝AE ′，过C 作CN ⊥OA 于N ，∵C (1)，∴ON ＝1，CN由勾股定理得：OC ＝2，即AB ＝BC ＝OA ＝OC ＝2，∴∠CON ＝60°，∴∠CBA ＝∠COA ＝60°， ∵四边形COAB 是菱形，∴BC ∥OA ，∴∠DCB ＝∠COA ＝60°，∵B 和E ′关于OC 对称，∴∠BFC ＝90°，∴∠E ′BC ＝90°﹣60°＝30°，∴∠E ′BA ＝60°＋30°＝90°，CF ＝12BC ＝1，由勾股定理得：BF E ′F ，在Rt △EBA 中，由勾股定理得：AE ′＝4，即CE ＋DE ＋DB 的最小值是4．11.解：把点A(a，1)、B(﹣1，b)代入y＝﹣3x(x＜0)得a＝﹣3，b＝3，则A(﹣3，1)、B (﹣1，3)，作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，所以C点为(﹣3，﹣1)，D点为(1，3)，连结CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形P ABQ的周长最小，设直线CD的解析式为y＝kx＋b，则313k bk b-+=-⎧⎨+=⎩，解得12kb=⎧⎨=⎩，所以直线CD的解析式为y＝x＋2．12.解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝12∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM＋PN＋MN＝5，∴DM＋CN＋MN＝5，即CD＝5＝OP，∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOB＝30°；13.解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M ′N ′，即为MP ＋PQ ＋QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N ′OQ ＝∠M ′OB ＝30°，∠ONN ′＝60°，∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′＝90°，∴在Rt △M ′ON ′中，M ′N ′14.A'AB PC EDQA'A B P C E D解：(1)作点A 关于BC 的对称点A ′，连DA ′交BC 于点P.(2)由(1)可证得PA 垂直平分CD ，∴AQCQ ＝3PQ15.解：(1)∵E 为AB 上的一个动点，∴作G 关于AB 的对称点M ，连接CM 交AB 于E ，那么E 满足使△CGE 的周长最小； ∵在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边AD 的中点，∴AG ＝AM ＝4，MD ＝12， 而AE ∥CD ，∴△AEM ∽△DCM ，∴AE ：CD ＝MA ：MD ，∴AE ＝CD MA MD＝2； (2)∵E 为AB 上的一个动点，∴如图，作G 关于AB 的对称点M ，在CD 上截取CH ＝4，然后连接HM 交AB 于E ，接着在EB 上截取EF ＝4，那么E 、F 两点即可满足使四边形CGEF 的周长最小．∵在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边AD 的中点，∴AG ＝AM ＝4，MD ＝12，而CH ＝4，∴DH ＝2，而AE∥CD，∴△AEM∽△DHM，∴AE：HD＝MA：MD，∴AE＝HD MAMD⨯＝23，∴AF＝4＋23＝143．16.解：(1)①根据“两点之间，线段最短”可知：线段A′B为最近路线，如图1所示．②Ⅰ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形ABCD在同一平面内，如图2①．在Rt△A′B′C中，∠B′＝90°，A′B′＝40，B′C＝60，∴ACⅡ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形BCC′B′在同一平面内，如图2②．在Rt△A′C′C中，∠C′＝90°，A′C′＝70，C′C＝30，∴A′C＝ABCD爬行的最近路线A′GC更近；(2)过点M作MH⊥AB于H，连接MQ、MP、MA、MB，如图3．∵半径为10dm的⊙M与D′C′相切，圆心M到边CC′的距离为15dm，BC′＝60dm，∴MH＝60﹣10＝50，HB＝15，AH＝40﹣15＝25，根据勾股定理可得AM，MB∴50≤MP∵⊙M 与PQ 相切于点Q ，∴MQ ⊥PQ ，∠MQP ＝90°，∴PQ当MP ＝50时，PQ当MP时，PQ55．∴PQ 长度的范围是≤PQ ≤55dm ．17.解：（1）依题意，易得B （0，4），A （2，0），则AB 解析式：42+-=x y（2）∵AB ⊥MN∴直线MN ：121-=x y 与抛物线联立可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=12142212x y x x y 解得：M （-2，-2）将AB 向负方向平移t 个单位后，A 1（2，-t ），B 1（0，4-t ） 则A 1关于直线x =-2的对称点A 2为（-6，-t ）当A 2、M 、B 1三点共线时，11MA MB +取最小值 ∴314=t。

中考数学“将军饮马”类题型大全一．求线段和最值1（一）两定一动型例1：如图，AM⊥EF，BN⊥EF，垂足为M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝4m，P是EF上任意一点，则PA＋PB的最小值是______m．分析：这是最基本的将军饮马问题，A，B是定点，P是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点A关于EF的对称点A’，根据两点之间，线段最短，连接A’B，此时A’P＋PB即为A’B，最短．而要求A’B，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决．解答：作点A关于EF的对称点A’，过点A’作A’C⊥BN的延长线于C．易知A’M＝AM＝NC＝5m，BC＝9m，A’C＝MN＝12m，在Rt⊥A’BC中，A’B＝15m，即PA＋PB的最小值是15m．变式：如图，在边长为2的正三角形ABC中，E，F，G为各边中点，P为线段EF上一动点，则⊥BPG周长的最小值为_________．分析：考虑到BG为定值是1，则⊥BPG的周长最小转化为求BP＋PG的最小值，又是两定一动的将军饮马型，考虑作点G关于EF的对称点，这里有些同学可能看不出来到底是哪个点，我们不妨连接AG，则AG⊥BC，再连接EG，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得AE＝EG，则点A就是点G关于EF的对称点．最后计算周长时，别忘了加上BG的长度．解答：连接AG，易知PG＝PA，BP＋PG＝BP＋PA，当B，P，A三点共线时，BP＋PG＝BA，此时最短，BA＝2，BG＝1，即⊥BPG周长最短为3.2（二）一定两动型例2：如图，在⊥ABC中，AB＝AC＝5，D为BC中点，AD＝5，P为AD上任意一点，E为AC 上任意一点，求PC＋PE的最小值．分析：这里的点C是定点，P，E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，由于⊥ABC是等腰三角形，AD是BC中线，则AD垂直平分BC，点C关于AD的对称点是点B，PC＋PE＝PB＋PE，显然当B，P，E三点共线时，BE更短．但此时还不是最短，根据“垂线段最短” 只有当BE⊥AC时，BE最短．求BE时，用面积法即可．解答：作BE⊥AC交于点E，交AD于点P，易知AD⊥BC，BD＝3，BC＝6，则AD·BC＝BE·AC，4×6＝BE·5，BE＝4.8变式：如图，BD平分⊥ABC，E，F分别为线段BC，BD上的动点，AB＝8，⊥ABC的周长为20，求EF＋CF的最小值________．分析：这里的点C是定点，F，E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，我们习惯于“定点定线作对称”，但这题这样做，会出现问题．因为点C的对称点C’必然在AB上，但由于BC长度未知，BC’长度也未知，则C’相对的也是不确定点，因此我们这里可以尝试作动点E关于BD的对称点．解答：如图，作点E关于BD的对称点E’，连接E’F，则EF＋CF＝E’F＋CF，当E’，F，C三点共线时，E’F＋CF＝E’C，此时较短．过点C作CE’’⊥AB于E’’，当点E’ 与点E’’重合时，E’’C最短，E’’C为AB边上的高，E’’C＝5.（三）两定两动型例3：如图，⊥AOB＝30°，OC＝5，OD＝12，点E，F分别是射线OA，OB上的动点，求CF＋EF＋DE的最小值.分析：这里的点C，点D是定点，F，E是动点，属于两定两动的将军饮马模型，依旧可以用“定点定线作对称”来考虑．作点C关于OB的对称点，点D关于OA的对称点．解答：作点C关于OB的对称点C’，点D关于OA的对称点D’，连接C’D’．CF＋EF＋DE＝C’F＋EF＋D’E，当C’，F，E，D’四点共线时，CF＋EF＋DE＝C’D’最短．易知⊥D’OC’＝90°，OD’＝12，OC’＝5，C’D’＝13，CF＋EF＋DE最小值为13．变式：（原创题）如图，斯诺克比赛桌面AB宽1.78m，白球E距AD边0.22m，距CD边1.4m，有一颗红球F紧贴BC边，且距离CD边0.1m，若要使白球E经过边AD，DC，两次反弹击中红球F，求白球E运动路线的总长度．本题中，点E和点F是定点，两次反弹的点虽然未知，但我们可以根据前几题的经验作出，即分别作点E关于AD边的对称点E’，作点F关于CD边的对称点F’，即可画出白球E的运动路线，化归为两定两动将军饮马型．解答：作点E关于AD边的对称点E’，作点F关于CD边的对称点F’，连接E’F’，交AD于点G，交CD于点H，则运动路线长为EG＋GH＋HF长度之和，即E’F’长，延长E’E交BC于N，交AD于M，易知E’M＝EM＝0.22m，E’N＝1.78＋0.22＝2m，NF’＝NC＋CF’＝1.4＋0.1＝1.5m，则Rt⊥E’NF’中，E’F’＝2.5m，即白球运动路线的总长度为2.5m．小结：以上求线段和最值问题，几乎都可以归结为“两定一动”“一定两动”“两定两动”类的将军饮马型问题，基本方法还是“定点定线作对称”，利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”的2条重要性质，将线段和转化为直角三角形的斜边，或者一边上的高，借助勾股定理，或者面积法来求解．当然，有时候，我们也需学会灵活变通，定点对称行不通时，尝试作动点对称．（二）求角度例1:P为⊥AOB内一定点，M，N分别为射线OA，OB上一点，当⊥PMN周长最小时，⊥MPN ＝80°．（1）⊥AOB＝_____°（2）求证：OP平分⊥MPN分析：这又是一定两动型将军饮马问题，我们应该先将M，N的位置找到，再来思考⊥AOB的度数，显然作点P关于OA的对称点P’，关于OB的对称点P’’，连接P’P’’，其与OA交点即为M，OB交点即为N，如下图，易知⊥DPC与⊥AOB互补，则求出⊥DPC的度数即可．（1）法1：如图，⊥1＋⊥2＝100°，⊥1＝⊥P’＋⊥3＝2⊥3，⊥2＝⊥P’’＋⊥4＝2⊥4，则⊥3＋⊥4＝50°，⊥DPC ＝130°，⊥AOB＝50°．再分析：考虑到第二小问要证明OP平分⊥MPN，我们就连接OP，则要证⊥5＝⊥6，显然很困难，这时候，考虑到对称性，我们再连接OP’，OP’’，则⊥5＝⊥7，⊥6＝⊥8，问题迎刃而解．解答：（1）法2：易知OP’＝OP’’，⊥7＋⊥8＝⊥5＋⊥6＝80°，⊥P’OP’’＝100°，由对称性知，⊥9＝⊥11，⊥10＝⊥12，⊥AOB＝⊥9＋⊥10＝50°（2）由OP’＝OP’’，⊥P’OP’’＝100°知，⊥7＝⊥8＝40°，⊥5＝⊥6＝40°，OP平分⊥MPN．变式：如图，在五边形ABCDE中，⊥BAE＝136°，⊥B＝⊥E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得⊥AMN的周长最小时，则⊥AMN＋⊥ANM的度数为________．分析：这又是典型的一定两动型将军饮马问题，必然是作A点关于BC、DE的对称点A′、A″，连接A′A″，与BC、DE的交点即为⊥AMN周长最小时M、N的位置．解答：如图，⊥⊥BAE＝136°，⊥⊥MA′A＋⊥NA″A＝44°由对称性知，⊥MAA′＝⊥MA′A，⊥NAA″＝⊥NA″A，⊥AMN＋⊥ANM＝2⊥MA′A＋2⊥NA″A＝88°思考题：1.如图所示，正方形ABCD的边长为6，⊥ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为_______．2.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3．P为矩形ABCD内一点，若矩形ABCD面积为⊥PAB 面积的4倍，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为________．。

初中数学将军饮马问题的六种常见模型将军饮马问题——线段和最短一．六大模型1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。

2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。

3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。

使△P AB的周长最小4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。

使四边形P AQB的周长最小。

5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小第 1 页共10 页第 2 页 共 10 页 6. .如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小二、常见题目【1】、三角形1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，AE =2，求EM +EC 的最小值解： ∵点C 关于直线AD 的对称点是点B ，∴连接BE ，交AD 于点M ，则ME +MD 最小，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH =22BC CH -=2263-=33在直角△BHE 中，BE =22BH EH - =22(33)1+=272．如图，在锐角△ABC 中，AB =42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点， 则BM +MN 的最小值是____．解：作点B 关于AD 的对称点B '，过点B '作B 'E ⊥AB 于点E ，交AD 于点F ，则线段B 'E 长就是BM ＋ＭＮ的最小值在等腰Rt △AEB '中，根据勾股定理得到，B 'E = 43．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值解：作AB关于AC的对称线段AB'，过点B'作B'N⊥AB，垂足为N，交AC于点M，则B'N = MB'+MN = MB+MN. B'N的长就是MB+MN的最小值，则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2，∠ANB'= 90°，∠B' = 30°。

初三培优专题（1） “平移后将军饮马”问题【引例】已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为x 轴上一动点，求P A +PB 的最小值和此时P 点的坐标；点的坐标；（2）P 为x 轴上一动点，求PBPA 的值最大时P 点的坐标；点的坐标；（3）（平移后“将军饮马”）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；点的坐标；方法：解决的关键还是抓不变的CD ，一抓其长度不变，将“三动线段”转化为“两动线段”；二抓CD 方向及长度不变，利用平移，构造平行四边形，将其转化为“两定一动”型“将军饮马”问题，在动点的数量上减少了1。

答案（答案（11）（）（22，0） （2）（）（-2-2-2，，0）（3）13+1 ，(53,0)yxBOA yxBOA yxBOA CD【例】（2013年成都中考）在平面直角坐标系中，已知抛物线21(2y x bx c b =-++，c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(0,1)-，C 的坐标为(4,3)，直角顶点B 在第四象限． （1）如图，若该抛物线过A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q ． ()i 若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标；()ii 取BC 的中点N ，连接NP ，BQ ．试探究PQNP BQ +是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）Q 等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(0,1)-，C 的坐标为(4,3) ∴点B 的坐标为(4,1)-．Q 抛物线过(0,1)A -，(4,1)B -两点， ∴1116412c b c =-⎧⎪⎨-⨯++=-⎪⎩，解得：2b =，1c =-， ∴抛物线的函数表达式为：21212y x x =-+-．（2）方法一：)(0i A Q ，1)-，(4,3)C ，∴直线AC 的解析式为：1y x =-．设平移前抛物线的顶点为0P ，则由（1）可得0P 的坐标为(2,1)，且0P 在直线AC 上． Q 点P 在直线AC 上滑动，∴可设P 的坐标为(,1)m m -，则平移后抛物线的函数表达式为：21()12y x m m =--+-．解方程组：211()(1)2y x yx m m =-⎧⎪⎨=--+-⎪⎩， 解得111x m y m =⎧⎨=-⎩，2223x m y m =-⎧⎨=-⎩ (,1)P m m ∴-，(2,3)Q m m --．过点P 作//PE x 轴，过点Q 作//QF y 轴，则(2)2PE m m =--=，(1)(3)2QF m m =---=． 022PQ AP ∴==．若以M 、P 、Q 三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况： ①当PQ 为直角边时：点M 到PQ 的距离为22（即为PQ 的长）． 由(0,1)A -，(4,1)B -，0(2,1)P 可知，0ABP ∆为等腰直角三角形，且0BP AC ⊥，022BP =．如答图1，过点B 作直线1//l AC ，交抛物线21212y x x =-+-于点M ，则M 为符合条件的点．∴可设直线1l 的解析式为：1y x b =+， (4,1)B -Q ，114b ∴-=+，解得15b =-，∴直线1l 的解析式为：5y x =-．解方程组251212y x y x x =-⎧⎪⎨=-+-⎪⎩，得：1141x y =⎧⎨=-⎩，2227x y =-⎧⎨=-⎩ 1(4,1)M ∴-，2(2,7)M --．②当PQ 为斜边时：2MP MQ ==，可求得点M 到PQ 的距离为2． 如答图2，取AB 的中点F ，则点F 的坐标为(2,1)-． 由(0,1)A -，(2,1)F -，0(2,1)P 可知：0AFP ∆为等腰直角三角形，且点F 到直线AC 的距离为2．过点F 作直线2//l AC ，交抛物线21212y x x =-+-于点M ，则M 为符合条件的点．∴可设直线2l 的解析式为：2y x b =+， (2,1)F -Q ，212b ∴-=+，解得23b =-， ∴直线2l 的解析式为：3y x =-．解方程组231212y x y x x =-⎧⎨=-+-⎪⎩，得：111525x y ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，221525x y ⎧=-⎪⎨=--⎪⎩ 3(15M ∴+，25)-+，4(15M -，25)--． 综上所述，所有符合条件的点M 的坐标为：1(4,1)M -，2(2,7)M --，3(15M +，25)-+，4(15M -，25)--．方法二：(0,1)A Q ，(4,3)C ， :1AC l y x ∴=-，Q 抛物线顶点P 在直线AC 上，设(,1)P t t -，∴抛物线表达式：21()12y x t t =--+-，AC l ∴与抛物线的交点(2,3)Q t t --，Q 以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形，(,1)P t t -，①当M 为直角顶点时，(,3)M t t -，212132t t t -+-=-，15t ∴=±，1(15M ∴+，52)-，2(15M -，25)--，②当Q 为直角顶点时，点M 可视为点P 绕点Q 顺时针旋转90︒而成， 将点(2,3)Q t t --平移至原点(0,0)Q '，则点P 平移后(2,2)P '， 将点P '绕原点顺时针旋转90︒，则点(2,2)M '-，将(0,0)Q '平移至点(2,3)Q t t --，则点M '平移后即为点(,5)M t t -，∴212152t t t -+-=-，14t ∴=，22t =-，1(4,1)M ∴-，2(2,7)M --，③当P 为直角顶点时，同理可得1(4,1)M -，2(2,7)M --， 综上所述，所有符合条件的点M 的坐标为：1(4,1)M -，2(2,7)M --，3(15M +，25)-+，4(15M -，25)--．)PQii NP BQ+存在最大值．理由如下：由)i 知22PQ =为定值，则当NP BQ +取最小值时，PQNP BQ +有最大值．如答图2，取点B 关于AC 的对称点B '，易得点B '的坐标为(0,3)，BQ B Q ='． 连接QF ，FN ，QB '，易得//FN PQ ，且FN PQ =， ∴四边形PQFN 为平行四边形． NP FQ ∴=．222425NP BQ FQ B Q FB ∴+=+''=+=…． ∴当B '、Q 、F 三点共线时，NP BQ +最小，最小值为25．∴PQ NP BQ +的最大值为2210525=． 【变式1】（2019•沈阳）•沈阳）如图，如图，如图，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，抛物线抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点(2,3)D --和点(3,2)E ，点P 是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE 和抛物线的表达式； （2）在y 轴上取点(0,1)F ，连接PF ，PB ，当四边形OBPF 的面积是7时，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，的条件下，当点当点P 在抛物线对称轴的右侧时，在抛物线对称轴的右侧时，直线直线DE 上存在两点M ，N （点M 在点N 的上方），且22MN =，动点Q 从点P 出发，沿P M N A →→→的路线运动到终点A ，当点Q 的运动路程最短时，请直接写出此时点N 的坐标．解：（1）将点D 、E 的坐标代入函数表达式得：34229322a b a b -=-+⎧⎨++=⎩，解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故抛物线的表达式为：213222y x x =-++，同理可得直线DE 的表达式为：1y x =-⋯①；（2）如图1，连接BF ，过点P 作//PH y 轴交BF 于点H ，将点FB 代入一次函数表达式，同理可得直线BF 的表达式为：114y x =-+，设点213(,2)22P x x x -++，则点1(,1)4H x x -+，211131412221722224OBF PFBOBPF SS S PH BO x x x ∆∆⎛⎫=+=⨯⨯+⨯⨯=+-+++-= ⎪⎝⎭四边形， 解得：2x =或32， 故点(2,3)P 或3(2，25)8；（3）当点P 在抛物线对称轴的右侧时，点(2,3)P ，过点M 作//A M AN '，过作点A '直线DE 的对称点A ''，连接PA ''交直线DE 于点M ，此时，点Q 运动的路径最短，22MN =Q ，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点(1,2)A '，A A DE '''⊥，则直线A A '''过点A '，则其表达式为：3y x =-+⋯②，联立①②得2x =，则A A '''中点坐标为(2,1)， 由中点坐标公式得：点(3,0)A ''，同理可得：直线A P ''的表达式为：39y x =-+⋯③， 联立①③并解得：52x =，即点5(2M ，3)2， 点M 沿ED 向下平移22个单位得：1(2N ，1)2-．【变式2】（2019•深圳）如图抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)A -，点(0,3)C ，且OB OC =． （1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D 、E 在直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值．（3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3:5两部分，求点P 的坐标．解：（1）OB OC =Q ，∴点(3,0)B ， 则抛物线的表达式为：22(1)(3)(23)23y a x x a x x ax ax a =+-=--=--，故33a -=，解得：1a =-，故抛物线的表达式为：223y x x =-++⋯①， 函数的对称轴为：1x =；（2）ACDE 的周长AC DE CD AE =+++，其中10AC =、1DE =是常数， 故CD AE +最小时，周长最小，取点C 关于函数对称点(2,3)C '，则CD C D ='， 取点(1,1)A '-，则A D AE '=，故：CD AE A D DC +='+'，则当A '、D 、C '三点共线时，CD AE A D DC +='+'最小，周长也最小，四边形ACDE 的周长的最小值10110110113AC DE CD AE A D DC A C =+++=++'+'=++''=++；（3）如图，设直线CP 交x 轴于点E ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3:5两部分，又11:():():22PCB PCA C P C P S S EB y y AE y y BE AE ∆∆=⨯-⨯-=Q ， 则:BE AE ，3:5=或5:3，则52AE =或32，即：点E 的坐标为3(2，0)或1(2，0)，将点E 、C 的坐标代入一次函数表达式：3y kx =+， 解得：6k =-或2-，故直线CP 的表达式为：23y x =-+或63y x =-+⋯② 联立①②并解得：4x =或8（不合题意值已舍去），故点P 的坐标为(4,5)-或(8,45)-．【变式3】如图，二次函数24y x x =-的图象与x 轴、直线y x =的一个交点分别为点A 、B ，CD 是线段OB 上的一动线段，且2CD =，过点C 、D 的两直线都平行于y 轴，与抛物线相交于点F 、E ，连接EF ．（1）点A 的坐标为 ，线段OB 的长= ； （2）设点C 的横坐标为m①当四边形CDEF 是平行四边形时，求m 的值；②连接AC 、AD ，求m 为何值时，ACD ∆的周长最小，并求出这个最小值．解：（1）24y x x =-Q 中，令0y =，则204x x =-，解得10x =，24x =，(4,0)A ∴， 解方程组24y x y x x =⎧⎨=-⎩，可得00x y =⎧⎨=⎩或55x y =⎧⎨=⎩，(5,5)B ∴，225552OB ∴=+=． 故答案为：(4,0)，52；（2）①Q 点C 的横坐标为m ，且////CF DE y 轴，(,)C m m ∴，2(,4)F m m m -，又2CD =Q ，且CD 是线段OB 上的一动线段，(2D m ∴+，2)m +，(2E m +，2(2)4(2))m m +-+，2(4)CF m m m ∴=--，22[(2)4(2)]DE m m m =+-+-+， Q 当四边形CDEF 是平行四边形时，CF DE =，22(4)2[(2)4(2)]m m m m m m ∴--=+-+-+，解得52m =；②如图所示，如图所示，过点过点A 作CD 的平行线，的平行线，过点过点D 作AC 的平行线，的平行线，交于点交于点G ，则四边形ACDG是平行四边形，AC DG ∴=，作点A 关于直线OB 的对称点A '，连接A D '，则A D AD '=，∴当A '，D ，G 三点共线时，A D DG A G ''+=最短，此时AC AD +最短， (4,0)A Q ，2AG CD ==， (0,4)A '∴，(42G +，2)，设直线A G '的解析式为y kx b =+，则42(42)b k b =⎧⎪⎨=++⎪⎩，解得94274k b ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线A G '的解析式为94247y x -=-+， 解方程组94247y x y x =⎧⎪⎨-=-+⎪⎩，可得12221222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，1(222D ∴+，122)2+， 2CD =Q ，且CD 是线段OB 上的一动线段，1(222C ∴-，122)2-， ∴点C 的横坐标1222m =-， 由(4,0)A ，1(222C -，122)2-可得，2211(422)(022)322AC =-++-+=， 由(4,0)A ，1(222D +，122)2+可得，2211(422)(22)322AD =--++=， 又2CD =Q ，ACD∴∆的周长2338CD AC AD =++=++=， 故当1222m =-时，ACD ∆的周长最小，这个最小值为8．【变式4】（2016年福建龙岩压轴）如图，在直角坐标系中，抛物线259()28y a x =-+与M e 交于A ，B ，C ，D 四点，点A ，B 在x 轴上，点C 坐标为(0,2)-． （1）求a 值及A ，B 两点坐标；（2）点(,)P m n 是抛物线上的动点，当CPD ∠为锐角时，请求出m 的取值范围； （3）点E 是抛物线的顶点，M e 沿CD 所在直线平移，点C ，D 的对应点分别为点C '，D '，顺次连接A ，C '，D '，E 四点，四边形AC D E ''（只要考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时圆心M '的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）Q 抛物线259()28ya x =-+经过点(0,2)C -，2592(0)28a ∴-=-+，12a ∴=-，2159()228y x ∴=--+，当0y =时，2159()0228x --+=，14x ∴=，21x =， A Q 、B 在x 轴上， (1,0)A ∴，(4,0)B ．（2）由（1）可知抛物线解析式为2159()228y x =--+，C ∴、D 关于对称轴52x =对称，(0,2)C -Q ， (5,2)D ∴-，如图1中，连接AD 、AC 、CD ，则5CD =，(1,0)A Q ，(0,2)C -，(5,2)D -，5AC ∴=，25AD =，222AC AD CD ∴+=， 90CAD ∴∠=︒，CD ∴为M e 的直径，∴当点P 在圆外部的抛物线上运动时，CPD ∠为锐角， 0m ∴<或14m <<或5m >．（3）存在．如图2中，将线段C A '平移至D F '，则5AF C D CD =''==，(1,0)A Q ，(6,0)F ∴，作点E 关于直线CD 的对称点E '，连接EE '正好经过点M ，交x 轴于点N ，Q 抛物线顶点5(2，9)8，直线CD 为2y =-， 5(2E ∴'，4141))8-， 连接E F '交直线CD 于H ，AE Q ，C D ''是定值，AC ED ∴'+'最小时，四边形AC D E ''的周长最小，AC D E FD D E FD E D E F '+'='+'='+'''Q …， 则当点D '与点H 重合时，四边形AC D E ''的周长最小，设直线E F '的解析式为y kx b =+，5(2E 'Q ，41)8-，(6,0)F ， ∴可得411232814y x =-， 当2y =-时，19041x =， 190(41H ∴，2)-，5(2M Q ，2)-， 1901554141DD ∴'=-=， Q 51517524182-=， 175(82M ∴'，2)-【变式5】（2014广州中考数学）已知平面直角坐标系中两定点(1,0)A -、(4,0)B ，抛物线22(0)y ax bx a =+-≠过点A ，B ，顶点为C ，点(P m ，)(0)n n <为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；（2）当APB ∠为钝角时，求m 的取值范围； （3）若32m >，当APB ∠为直角时，将该抛物线向左或向右平移5(0)2t t <<个单位，点C 、P 平移后对应的点分别记为C '、P '，是否存在t ，使得首位依次连接A 、B 、P '、C '所构成的多边形的周长最短？若存在，构成的多边形的周长最短？若存在，求求t 的值并说明抛物线平移的方向；的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，若不存在，若不存在，请说请说明理由．解：（1）Q 抛物线22(0)y ax bx a =+-≠过点A ，B ，∴2016420a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线的解析式为：213222y x x =--； 221313252()22228y x x x =--=--Q ， 3(2C ∴，25)8-．（2）如图1，以AB 为直径作圆M ，则抛物线在圆内的部分，能使APB ∠为钝角，3(2M ∴，0)，M e 的半径52=．P 'Q 是抛物线与y 轴的交点，2OP ∴'=，2252MP OP OM ∴'='+=，P ∴'在M e 上，P ∴'的对称点(3,2)-，∴当10m -<<或34m <<时，APB ∠为钝角．（3）方法一：存在；抛物线向左或向右平移，因为AB 、P C ''是定值，所以A 、B 、P '、C '所构成的多边形的周长最短，只要AC BP '+'最小；第一种情况：抛物线向右平移，AC BP AC BP '+'>+， 第二种情况：向左平移，如图2所示，由（2）可知(3,2)P -，又3(2C Q ，25)8- 3(2C t '∴-，25)8-，(3,2)P t '--， 5AB =Q ，(2,2)P t ∴''---，要使AC BP '+'最短，只要AC AP '+''最短即可， 点C '关于x 轴的对称点3(2C t ''-，25)8， 设直线P C ''''的解析式为：y kx b =+， 2(2)253()82t k bt k b -=--+⎧⎨=-+⎪⎩， 解得412841132814k b t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ∴直线414113282814y x t =++， 当P ''、A 、C ''在一条直线上时，周长最小， 4141130282814t ∴-++=1541t ∴=． 故将抛物线向左平移1541个单位连接A 、B 、P '、C '所构成的多边形的周长最短． 方法二：AB Q 、P C ''是定值，A ∴、B 、P '、C '所构成的四边形的周长最短，只需AC BP '+'最小， ①若抛物线向左平移，设平移t 个单位，3(2C t ∴'-，2525))8-，(2,2)P t ''---， Q 四边形P ABP '''为平行四边形， AP BP ∴''='，AC BP '+'最短，即AC AP '+''最短，C '关于x 轴的对称点为3(2C t ''-，25)8， C ''，A ，P ''三点共线时，AC AP '+''最短，AC AP K K'''=，2502831212t t +=-++-+， 1541t ∴=． ②若抛物线向右平移，同理可得1541t =-， ∴将抛物线向左平移1541个单位时，A 、B 、P '、C '所构成的多边形周长最短．。

将军饮马模型讲解【模型1】如图，定点A，B分布在定直线l的两侧，在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小.【作法】如图，连接AB，与直线l的交点即为所求点P.【模型2】如图，定点A，B分布在定直线的同侧，在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小.【作法】如图，作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点即为所求点P.【模型3】如图，点P为角内一点，在射线l1，l2上分别找点M，N，使得△PMN的周长最小.【作法】如图，分别作点P关于两直线l1，l2的对称点P'和P"，连接P' P"，与两射线的交点即为所求点M，N.【模型4】如图，P，Q为角内的两个定点，在射线l1，l2上分别找点M，N，使得四边形PQMN的周长最小.【作法】如图，分别作点Q，P关于直线l1，l2的对称点Q'和P'，连接Q'P'，与两射线的交点即为所求点M，N.【模型5】如图，直线m∥n，A，B分别为m上方和n下方的定点(直线AB不与m垂直)，在m，n上分别求点M，N，使得MN⊥m，且AM+MN+BN的值最小.【作法】如图，将点A向下平移，使AA'=MN，连接A'B，交n于点N，过点N作MN⊥m于点M，则点M和点N即为所求.【模型6】如图，定点A，B分布在直线l的同侧，长度为a(a为定值）的线段MN在l上移动(点M在点N的左边)，在直线l上求两点M，N(点M在左)，使得MN=a，并使得AM+MN+NB的值最小.【作法】如图，将点A向右平移a个单位长度得到点A'，作点A'关于l的对称点A"，连接A"B，交直线l于点N，将点N向左平移a个单位长度得到点M，则点M和点N即为所求.典型例题典例1如图，∠AOB=30"，OC为∠AOB内部的一条射线，P为射线OC上一点，OP=4，点M，N分别为OA，OB边上的动点，则△PMN周).长的最小值为( ).A.2B.4C.8D.4√3典例2如图，BD平分∠ABC，E，F分别为线段BC，BD上的动点，AB=8，△ABC的面积为20，求EF+CF的最小值.典例3四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为( ).A.80°B.90°C.100°D.130°初露锋芒1.如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄.欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( ).2.如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，D,E 分别是BC ，AC 的中点，点P 是线段AD 上的一个动点.当△PCE 的周长最小时，点P 的位置是( ).A.AD 与BE 的交点处B.AD 的中点处C.A 点处D.D 点处3.如图，∠AOB=60°，点P 是∠AOB 内的定点，且OP= √3，点M ，N 分别是射线OA ，OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是( ).A.3√62B. 3√32C.6D.34. 如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，点P 线段EF 上一个动点，连接BP 、GP ，则△BPG 周长的最小值是________.感受中考1.(2016江苏苏州中考真题)矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为(3，4)，D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为( ).A.(3，1)B.(3，43) c.(3,53) D.(3,2)2.(2020贵州毕节中考模拟)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 的中点，点P 是边BC 上的动点，点Q 是对角线AC 上的动点(包括端点A ，C ），则EP+PQ 的最小值是__________.参考答案典例1【答案】B【解析】如图，作点P关于OA的对称点P1，作点P关于OB的对称点P2，连接P1 P2，与OA的交点为点M，与OB的交点为点N,则PM=P1M,PN=P2N.此时，△PMN的周长最小，为PM+MN+PN=P1M +MN+P2N=P1P2.连接OP1，OP2，则OP1=OP2=OP=4.又∵∠P1OP2=2∠AOB=60°，∴△OP1P2是等边三角形，∴P1P2=OP1=4.∴△PMN周长的最小值是4.故选B.典例2【答案】5【解析】如图，作E关于BD对称交于点E'，则EF= E'F∴EF+CF= E'F+ CF∴当C E'⊥AB时，EF+CF最小.∵S△ABC= 12×AB×C E'=12×8×C E' =20C E'=5∴EF+CF的最小值为5.典例3【答案】C【解析】如图，延长线段AB到点A'使得BA'=AB，延长线段AD到点A"使得DA"=AD，连接A'A"，与BC.CD分别交于点M，N，此时△AMN的周长最小.∴点A，A'关于直线BC对称，点A，A"关于直线CD对称.∵BA=BA',MB⊥AB. ∴MA=MA'.同理，NA=NA"，∴∠A'=∠MAB，∠A"=∠NAD.∵∠AMN=∠A'+∠MAB=2∠A', ∠ANM=∠A"+∠NAD=2∠A",∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A").又∵∠BAD=130°, ∴∠A'+∠A"=180°-∠BAD=50°，∴∠AMN+∠ANM=100°.故选C.初露锋芒1. 【答案】D .【解析】根据两点之间，线段最短，作点P 关于直线L 的对称点P '，连接QP '交直线L 于点M 即可.故选D.2. 【答案】A【解析】∵EC 的长度固定，∴△PCE 的周长大小与PE+PC 的值有关， ∴当PE+PC 的值最小时，△PCE 的周长最小. 连接BE ，交AD 于点P '，如图，此时BP '+P 'E 的值最小，即BP+PE 的值最小. ∵点C 关于直线AD 的对称点为点B. ∴此时PE+PC 的值最小，∴当点P 在BE 与AD 的交点处时，△PCE 的周长最小. 故选A.3. 【答案】D.【解析】如图，分别作点P 关于射线OA. OB 的对称点C ，D ，连接CD 分别交OA ，OB 于点M ，N ，连接OC ，OD ， 则MP=MC ，NP=ND ，OC=OD=OP=√3, ∠BOP=∠BOD.∠AOP=∠AOC,∴PN+PM+MN=ND+MC+MN=DC.∠COD=∠BOP +∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°,∴∠OCD=∠ODC=30°.作OH ⊥CD 于点H ，则CH=DH.∵∠OCH=30°. ∴OH= 12 0C= √32, ∴CH=√3OH= 32，∴CD=2CH=3, 即△PAMN 周长的最小值是3.故选D.4. 【答案】3.【解析】要使△PBG 的周长最小，而BG=1一定，只要使BP+PG 最短即可，如图：连接AG 交EF 于M ，因为等边△ABC ，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，所以AG ⊥BC,EF ∥BC,则AG ⊥EF ，AM=MG,A 、G 关于EF 对称，即当P 和E 重合时，此时BP+PG 最小，即△PBG 的周长最小，AP =PG ，BP=BE ，最小值是：PB+ PG+ BG= AE+BE+ BG=AB+BG=2+1=3感受中考1.【答案】B【解析】如图，作点D 关于直线AB 的对称点H ，连接CH 交AB 于点E ，此时△CDE 的周长最小.∵B(3，4)，四边形OABC 是矩形，∴A(3,0)，C(0,4).∵D 是OA 的中点，∴D( 32，0)，H( 92，0). 设直线CH 的解析式为y=kx + b ，把C(0，4).H( 92，0)代人y= kx + b , 得{4=b 0= 92k + b 解得{k =−89b =4 ∴直线CH 的解析式为y=−89x+4， 当x=3时；y= 43， ∴点E 的坐标为(3，43). 故选B.2. 【答案】3√2【解析】如图，作点B关于BC的对称点E'，作E'Q'⊥AC于点Q'，交BC于点P.∴PE=PE'.∴PQ+PE=PE'+PQ.分析知，当Q与Q'重合时，PE+PQ的值最小(垂线段最短)，∵四边形ABCD是正方形，∴∠E'AQ'=45°.∵AE'=6，∴E'Q'=3√2∴PE+PQ的最小值为3√。

中考数学：'将军饮马'所有模型及变式——终极篇以微课堂初中精品微课，数学奥林匹克国家一级教练执教。

一、模型展现(1)直线型模型1：在直线l上求作点P，使PA＋PB最小．原理：两点之间，线段最短．PA＋PB最小值即为AB长．模型2：在直线l上求作点P，使PA＋PB最小．原理：和最小，同侧转异侧．两点之间，线段最短．模型3：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最大．原理：两边之差小于第三边，|PA－PB|最大值即为AB长．模型4：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最大．原理：差最大，异侧转同侧．两边之差小于第三边．变式：在直线l上求作点P，使l平分∠APB，与此作法相同．模型5：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最小．原理：|PA－PB|最小为0，中垂线上的点到线段两端的距离相等．(2)角型模型6：在OA，OB上求作点M，N，使△PMN周长最小．原理：作两次对称，两点之间，线段最短．模型7：在OA，OB上求作点M，N，使四边形PQMN周长最小．原理：P，Q分别作对称，两点之间，线段最短．模型8：在OA，OB上求作点M，N，(1)使PM＋MN最小．(2)使PN＋MN最小．原理：先连哪个点，就先做关于那个点所在射线的对称点．垂线段最短．模型9：P，Q为OA，OB的定点，在OA，OB上求作点M，N，使PN＋NM ＋MQ最小．原理：两点之间，线段最短，PN＋NM＋MQ最小值即为P’Q’的长．(3)平移型模型10：在直线l上求作点M，N，使MN＝a，且AM＋MN＋NB最小．原理：将l上的MN转化到B’B．(问题情境：将军从军营A出发，去河边l饮马，饮马完在河边牵马散步a米，回军营B．可以转化为饮完马，直接去军营B，在到达之前散步．)模型11(造桥选址)：直线l1∥l2，在l1上求作点M，在l2上求作点N，使MN⊥l1，且AM＋MN ＋NB最小．原理：将MN转化为AA’．(可以理解为在A处先走过桥的路，再直达点B．)二、典型例题例1：(模型2)从点A(0，2)发出的一束光线，经x轴反射，过点B(4，3)，求从点A到点B所经过的路径长．解析：例2：(模型4)已知点A(1，3)、B(3，－1)，点M在x轴上，当AM－BM最大时，点M的坐标为______解析：例3：(模型10)如图，当四边形PABN的周长最小时，a＝______解析：例4：(模型11)解析：例5：(结合勾股)如图，在等边△ABC中，AB＝6，N为AB上一点，且AN＝2，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM＋MN的最小值是_____解析：小结：所有类型已归纳完，更多内容，详见八上11讲期中专题一将军饮马类题型全覆盖暑假特辑10《轴对称》之“将军饮马”（上）暑假特辑11《轴对称》之“将军饮马”（下）本讲思考题：已知点A(－3，－4)和B(－2，1)．(1)试在y轴上求一点P，使PA＋PB的值最小(2)试在y轴上求一点P，使|QA－QB|的值最大(3)若C(0，m)，D(0，m－2)，当m为何值时，四边形ABCD的周长最小．答案：(1) P (0，－1)(2) Q (0，11)(3) m = －0.2End欢迎收看《以微课堂》微课，欢迎收看《以微课堂》微课，作者简介：四星级重点中学高级教师、数学名师。

将军饮马问题，掌握这⼗个数学模型就够了“将军饮马”问题是初中数学中⾮常重要的数学知识和⼏何模型，也是求线段最值问题的最常⽤数学模型。

将军饮马问题是⼀个有故事的数学问题，故事⼤意如下：唐朝诗⼈李颀的诗《古从军⾏》开头两句说：'⽩⽇登⼭望烽⽕，黄昏饮马傍交河。

'诗中隐含着⼀个有趣的数学问题。

传说亚历⼭⼤城有⼀位精通数学和物理的学者，名叫海伦，⼀天，⼀位罗马将军专程去拜访他，向他请教⼀个百思不得其解的问题。

将军每天从军营A出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样⾛才能使路程最短？从此，这个被称为'将军饮马'的问题⼴泛流传。

将军饮马问题的最基础模型探究：这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它。

抽象为数学模型：直线l同侧有两个定点A、B,请在直线l上找⼀点C,使AC+BC最⼩。

假设点A、B在直线l的异侧就好了，这样我们就可以利⽤【点到点最值模型：两点之间线段最短】找到点C的位置了。

即连接AB交直线l于点C。

因此，我们可以找点A关于直线l的对称点，连接A’B交直线l于点C，点C即为所求！如果将军在河边的另外任⼀点C'饮马，所⾛的路程就是AC'+C'B，但是AC'+C'B=A'C'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB.故在点C处饮马，路程最短。

要点概述：1.初中数学线段最值问题可以总结为三类，点与点、点与线和线与线之间的最值，⼀般需要⽤到以下知识点：2.将军饮马问题的核⼼思想，它的核⼼思想是“化折为直”，“化折为直”是初中数学最重要的⼀个解题思想，将军饮马，费马点，胡不归，阿⽒圆等最值问题，都⽤到“折化直”的数学转换思想。

化折为直的⽅法有轴对称，平移，构造⼦母相似三⾓形，三⾓函数转换等等，将军饮马问题⼤都采⽤的是轴对称来实现“折化直”的⽬标。

初中数学几何模型（十）将军饮马模型1、两定一动：在直线l上作一点P，使AP+BP最短。

如图：作法：作点A关于直线l的对称点A1，连接A1B，与l的交点就是所求作的P点。

即：AP+BP=A1B（两点之间，线段最短。

）2、一定两动：在∠AOB的两边上分别求点M、N，使△PMN周长最小。

作法：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，与OA交于点M，与OB交于点N，点M、N为所求作的点。

即：PM+MN+PN=P1P2（两点之间，线段最短。

），此时，△PMN周长最小。

3、两定两动：（1）如图，点P、Q使是∠AOB内的两个定点，在∠AOB的两边上分别求作点M、N，使四边形PMNQ周长最小。

作法：作点P关于OA的对称点P1，作点Q关于OB的对称点Q1；连接P1Q1，与OA交于点M，与OB交于点N，点M、N即为所求作的点。

即：PM+MN+NQ=P1Q1，（两点之间，线段最短。

）此时，四边形PMNQ周长最小。

（2）如图，点A、B在直线l外，在直线l上求两点M、N（M在左），使得MN=a，并使AM+MN+NB最短。

作法：如图，将点A向右平移a个单位到A1，作点A1关于直线l 的对称点A2，连接A2B，与直线l交于点N，将点N向左平移a个单位即为点M。

即：AM+MN+NB=a+A2B（两点之间，线段最短。

），此时，AM+MN+NB最短。

4、点-线：点与直线的连线中，垂线段最短。

如图，点P在∠AOB内，在OA、OB上分别取M、N，使得PM+PN 最小。

作法：过点P作关于OA的对称点P1，过点P1作OB的垂线，交OA于点M，交OB于点N。

点M、N即为所求作的点。

即：PM+MN=P1M+MN=P1N（点直线的距离垂线段最短），此时，PM+PN最小。

5、PA—PB型：三角形两边之差小于第三边。

如图，点A、B在直线l两侧，在直线l上取点P，使得|PA-PB|最大。

作法：过点B作关于直线l的对称点B1，连接A B1并延长交直线l于一点，即为所求的点P。

初三培优专题（1） “平移后将军饮马”问题【引例】已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为x 轴上一动点，求P A +PB 的最小值和此时P 点的坐标；（2）P 为x 轴上一动点，求PB PA 的值最大时P 点的坐标；（3）（平移后“将军饮马”）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；【例】（2013年成都中考）在平面直角坐标系中，已知抛物线21(2y x bx c b =-++，c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(0,1)-，C 的坐标为(4,3)，直角顶点B 在第四象限． （1）如图，若该抛物线过A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q ．()i 若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标；()ii 取BC 的中点N ，连接NP ，BQ ．试探究PQNP BQ+是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）Q 等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(0,1)-，C 的坐标为(4,3) ∴点B 的坐标为(4,1)-．Q 抛物线过(0,1)A -，(4,1)B -两点，∴1116412c b c =-⎧⎪⎨-⨯++=-⎪⎩，解得：2b =，1c =-，∴抛物线的函数表达式为：21212y x x =-+-．（2）方法一：)(0i A Q ，1)-，(4,3)C ，∴直线AC 的解析式为：1y x =-．设平移前抛物线的顶点为0P ，则由（1）可得0P 的坐标为(2,1)，且0P 在直线AC 上． Q 点P 在直线AC 上滑动，∴可设P 的坐标为(,1)m m -，则平移后抛物线的函数表达式为：21()12y x m m =--+-．解方程组：211()(1)2y x y x m m =-⎧⎪⎨=--+-⎪⎩， 解得111x m y m =⎧⎨=-⎩，2223x m y m =-⎧⎨=-⎩(,1)P m m ∴-，(2,3)Q m m --．过点P 作//PE x 轴，过点Q 作//QF y 轴，则(2)2PE m m =--=，(1)(3)2QF m m =---=．0PQ AP ∴==．若以M 、P 、Q 三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况： ①当PQ 为直角边时：点M 到PQ的距离为PQ 的长）． 由(0,1)A -，(4,1)B -，0(2,1)P 可知，0ABP ∆为等腰直角三角形，且0BP AC ⊥，0BP =．如答图1，过点B 作直线1//l AC ，交抛物线21212y x x =-+-于点M ，则M 为符合条件的点．∴可设直线1l 的解析式为：1y x b =+， (4,1)B -Q ，114b ∴-=+，解得15b =-， ∴直线1l 的解析式为：5y x =-．解方程组251212y x y x x =-⎧⎪⎨=-+-⎪⎩，得：1141x y =⎧⎨=-⎩，2227x y =-⎧⎨=-⎩ 1(4,1)M ∴-，2(2,7)M --．②当PQ 为斜边时：2MP MQ ==，可求得点M 到PQ． 如答图2，取AB 的中点F ，则点F 的坐标为(2,1)-． 由(0,1)A -，(2,1)F -，0(2,1)P 可知：0AFP ∆为等腰直角三角形，且点F 到直线AC．过点F 作直线2//l AC ，交抛物线21212y x x =-+-于点M ，则M 为符合条件的点．∴可设直线2l 的解析式为：2y x b =+， (2,1)F -Q ，212b ∴-=+，解得23b =-， ∴直线2l 的解析式为：3y x =-．解方程组231212y x y x x =-⎧⎪⎨=-+-⎪⎩，得：1112x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩2212x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩3(1M ∴+2-+，4(1M2--． 综上所述，所有符合条件的点M 的坐标为：1(4,1)M -，2(2,7)M --，3(1M，2-，4(1M -，2-．方法二：(0,1)A Q ，(4,3)C ， :1AC l y x ∴=-，Q 抛物线顶点P 在直线AC 上，设(,1)P t t -，∴抛物线表达式：21()12y x t t =--+-，AC l ∴与抛物线的交点(2,3)Q t t --，Q 以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形，(,1)P t t -，①当M 为直角顶点时，(,3)M t t -，212132t t t -+-=-，1t ∴=±1(1M ∴2)，2(1M ，2-，②当Q 为直角顶点时，点M 可视为点P 绕点Q 顺时针旋转90︒而成， 将点(2,3)Q t t --平移至原点(0,0)Q '，则点P 平移后(2,2)P '， 将点P '绕原点顺时针旋转90︒，则点(2,2)M '-，将(0,0)Q '平移至点(2,3)Q t t --，则点M '平移后即为点(,5)M t t -，∴212152t t t -+-=-，14t ∴=，22t =-，1(4,1)M ∴-，2(2,7)M --，③当P 为直角顶点时，同理可得1(4,1)M -，2(2,7)M --， 综上所述，所有符合条件的点M 的坐标为：1(4,1)M -，2(2,7)M --，3(1M ，2-，4(1M -，2-．)PQ ii NP BQ+存在最大值．理由如下：由)i 知PQ =为定值，则当NP BQ +取最小值时，PQNP BQ+有最大值．如答图2，取点B 关于AC 的对称点B '，易得点B '的坐标为(0,3)，BQ B Q ='． 连接QF ，FN ，QB '，易得//FN PQ ，且FN PQ =， ∴四边形PQFN 为平行四边形． NP FQ ∴=．NP BQ FQ B Q FB ∴+=+''==…∴当B '、Q 、F 三点共线时，NP BQ +最小，最小值为∴PQNP BQ += 【变式1】（2019•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点(2,3)D --和点(3,2)E ，点P 是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE 和抛物线的表达式； （2）在y 轴上取点(0,1)F ，连接PF ，PB ，当四边形OBPF 的面积是7时，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，当点P 在抛物线对称轴的右侧时，直线DE 上存在两点M ，N （点M 在点N 的上方），且MN =，动点Q 从点P 出发，沿P M N A →→→的路线运动到终点A ，当点Q 的运动路程最短时，请直接写出此时点N 的坐标．解：（1）将点D 、E 的坐标代入函数表达式得：34229322a b a b -=-+⎧⎨++=⎩，解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故抛物线的表达式为：213222y x x =-++，同理可得直线DE 的表达式为：1y x =-⋯①；（2）如图1，连接BF ，过点P 作//PH y 轴交BF 于点H ，将点FB 代入一次函数表达式，同理可得直线BF 的表达式为：114y x =-+，设点213(,2)22P x x x -++，则点1(,1)4H x x -+，211131412221722224OBF PFB OBPF S S S PH BO x x x ∆∆⎛⎫=+=⨯⨯+⨯⨯=+-+++-= ⎪⎝⎭四边形，解得：2x =或32， 故点(2,3)P 或3(2，25)8；（3）当点P 在抛物线对称轴的右侧时，点(2,3)P ，过点M 作//A M AN '，过作点A '直线DE 的对称点A ''，连接PA ''交直线DE 于点M ，此时，点Q 运动的路径最短，MN =Q 2个单位，故点(1,2)A '，A A DE '''⊥，则直线A A '''过点A '，则其表达式为：3y x =-+⋯②，联立①②得2x =，则A A '''中点坐标为(2,1)， 由中点坐标公式得：点(3,0)A ''，同理可得：直线A P ''的表达式为：39y x =-+⋯③， 联立①③并解得：52x =，即点5(2M ，3)2，点M 沿ED 向下平移1(2N ，1)2-．【变式2】（2019•深圳）如图抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)A -，点(0,3)C ，且OB OC =． （1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D 、E 在直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值．（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，求点P的坐标．解：（1）OB OC=Q，∴点(3,0)B，则抛物线的表达式为：22(1)(3)(23)23y a x x a x x ax ax a=+-=--=--，故33a-=，解得：1a=-，故抛物线的表达式为：223y x x=-++⋯①，函数的对称轴为：1x=；（2）ACDE的周长AC DE CD AE=+++，其中AC=、1DE=是常数，故CD AE+最小时，周长最小，取点C关于函数对称点(2,3)C'，则CD C D='，取点(1,1)A'-，则A D AE'=，故：CD AE A D DC+='+'，则当A'、D、C'三点共线时，CD AE A D DC+='+'最小，周长也最小，四边形ACDE的周长的最小值111AC DE CD AE A D DC A C=++++'+'=+''=（3）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，又11:():():22PCB PCA C P C PS S EB y y AE y y BE AE∆∆=⨯-⨯-=Q，则:BE AE，3:5=或5:3，则52AE=或32，即：点E 的坐标为3(2，0)或1(2，0)，将点E 、C 的坐标代入一次函数表达式：3y kx =+， 解得：6k =-或2-，故直线CP 的表达式为：23y x =-+或63y x =-+⋯② 联立①②并解得：4x =或8（不合题意值已舍去）， 故点P 的坐标为(4,5)-或(8,45)-．【变式3】如图，二次函数24y x x =-的图象与x 轴、直线y x =的一个交点分别为点A 、B ，CD 是线段OB 上的一动线段，且2CD =，过点C 、D 的两直线都平行于y 轴，与抛物线相交于点F 、E ，连接EF ．（1）点A 的坐标为 ，线段OB 的长= ； （2）设点C 的横坐标为m①当四边形CDEF 是平行四边形时，求m 的值；②连接AC 、AD ，求m 为何值时，ACD ∆的周长最小，并求出这个最小值．解：（1）24y x x =-Q 中，令0y =，则204x x =-，解得10x =，24x =，(4,0)A ∴，解方程组24y x y x x =⎧⎨=-⎩，可得00x y =⎧⎨=⎩或55x y =⎧⎨=⎩，(5,5)B ∴，OB ∴=故答案为：(4,0)，（2）①Q 点C 的横坐标为m ，且////CF DE y 轴， (,)C m m ∴，2(,4)F m m m -，又2CD =Q ，且CD 是线段OB 上的一动线段，(D m ∴m ，(E m +2(4(m m +-+，2(4)CF m m m ∴=--，2[(4(DE m m m =+-+， Q 当四边形CDEF 是平行四边形时，CF DE =，22(4)[(4(m m m m m m ∴--=+-，解得52m =；②如图所示，过点A 作CD 的平行线，过点D 作AC 的平行线，交于点G ，则四边形ACDG 是平行四边形，AC DG ∴=，作点A 关于直线OB 的对称点A '，连接A D '，则A D AD '=，∴当A '，D ，G 三点共线时，A D DG A G ''+=最短，此时AC AD +最短， (4,0)A Q ，2AG CD ==，(0,4)A '∴，(4G +，设直线A G '的解析式为y kx b =+，则4(4b k b =⎧⎪=+，解得4k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线A G '的解析式为947y x -=-+，解方程组947y x y x =⎧⎪⎨-=-+⎪⎩，可得22x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，(2D ∴，2+， 2CD =Q ，且CD 是线段OB上的一动线段，(2C ∴2，∴点C的横坐标2m =由(4,0)A，(2C2-可得，3AC =， 由(4,0)A，(2D2+可得，3AD ， 又2CD =Q ，ACD ∴∆的周长2338CD AC AD =++=++=，故当2m =ACD ∆的周长最小，这个最小值为8．【变式4】（2016年福建龙岩压轴）如图，在直角坐标系中，抛物线259()28y a x =-+与M e 交于A ，B ，C ，D 四点，点A ，B 在x 轴上，点C 坐标为(0,2)-．（1）求a 值及A ，B 两点坐标；（2）点(,)P m n 是抛物线上的动点，当CPD ∠为锐角时，请求出m 的取值范围； （3）点E 是抛物线的顶点，M e 沿CD 所在直线平移，点C ，D 的对应点分别为点C '，D '，顺次连接A ，C '，D '，E 四点，四边形AC D E ''（只要考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时圆心M '的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）Q 抛物线259()28y a x =-+经过点(0,2)C -，2592(0)28a ∴-=-+，12a ∴=-，2159()228y x ∴=--+，当0y =时，2159()0228x --+=，14x ∴=，21x =， A Q 、B 在x 轴上， (1,0)A ∴，(4,0)B ．（2）由（1）可知抛物线解析式为2159()228y x =--+，C ∴、D 关于对称轴52x =对称，(0,2)C -Q ， (5,2)D ∴-，如图1中，连接AD 、AC 、CD ，则5CD =，(1,0)A Q ，(0,2)C -，(5,2)D -，AC ∴=AD =， 222AC AD CD ∴+=， 90CAD ∴∠=︒，CD ∴为M e 的直径，∴当点P 在圆外部的抛物线上运动时，CPD ∠为锐角， 0m ∴<或14m <<或5m >．（3）存在．如图2中，将线段C A '平移至D F '，则5AF C D CD =''==，(1,0)A Q ，(6,0)F ∴，作点E 关于直线CD 的对称点E '，连接EE '正好经过点M ，交x 轴于点N ，Q 抛物线顶点5(2，9)8，直线CD 为2y =-， 5(2E ∴'，41)8-， 连接EF '交直线CD 于H ，AE Q ，C D ''是定值，AC ED ∴'+'最小时，四边形AC D E ''的周长最小，AC D E FD D E FD E D E F '+'='+'='+'''Q …，则当点D '与点H 重合时，四边形AC D E ''的周长最小，设直线E F '的解析式为y kx b =+，5(2E 'Q ，41)8-，(6,0)F ， ∴可得411232814y x =-， 当2y =-时，19041x =， 190(41H ∴，2)-，5(2M Q ，2)-， 1901554141DD ∴'=-=， Q 51517524182-=， 175(82M ∴'，2)-【变式5】（2014广州中考数学）已知平面直角坐标系中两定点(1,0)A -、(4,0)B ，抛物线22(0)y ax bx a =+-≠过点A ，B ，顶点为C ，点(P m ，)(0)n n <为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；（2）当APB ∠为钝角时，求m 的取值范围；（3）若32m >，当APB ∠为直角时，将该抛物线向左或向右平移5(0)2t t <<个单位，点C 、P 平移后对应的点分别记为C '、P '，是否存在t ，使得首位依次连接A 、B 、P '、C '所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．解：（1）Q 抛物线22(0)y ax bx a =+-≠过点A ，B ，∴2016420a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线的解析式为：213222y x x =--； 221313252()22228y x x x =--=--Q ， 3(2C ∴，25)8-．（2）如图1，以AB 为直径作圆M ，则抛物线在圆内的部分，能使APB ∠为钝角，3(2M ∴，0)，M e 的半径52=．P 'Q 是抛物线与y 轴的交点，2OP ∴'=，52MP ∴'=， P ∴'在M e 上，P ∴'的对称点(3,2)-，∴当10m -<<或34m <<时，APB ∠为钝角．（3）方法一：存在；抛物线向左或向右平移，因为AB 、P C ''是定值，所以A 、B 、P '、C '所构成的多边形的周长最短，只要AC BP '+'最小；第一种情况：抛物线向右平移，AC BP AC BP '+'>+， 第二种情况：向左平移，如图2所示，由（2）可知(3,2)P -，又3(2C Q ，25)8- 3(2C t '∴-，25)8-，(3,2)P t '--， 5AB =Q ，(2,2)P t ∴''---，要使AC BP '+'最短，只要AC AP '+''最短即可，点C '关于x 轴的对称点3(2C t ''-，25)8， 设直线P C ''''的解析式为：y kx b =+， 2(2)253()82t k b t k b -=--+⎧⎪⎨=-+⎪⎩， 解得412841132814k b t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩∴直线414113282814y x t =++， 当P ''、A 、C ''在一条直线上时，周长最小， 4141130282814t ∴-++= 1541t ∴=． 故将抛物线向左平移1541个单位连接A 、B 、P '、C '所构成的多边形的周长最短． 方法二：AB Q 、P C ''是定值， A ∴、B 、P '、C '所构成的四边形的周长最短，只需AC BP '+'最小， ①若抛物线向左平移，设平移t 个单位，3(2C t ∴'-，25)8-，(2,2)P t ''---， Q 四边形P ABP '''为平行四边形， AP BP ∴''='，AC BP '+'最短，即AC AP '+''最短，C '关于x 轴的对称点为3(2C t ''-，25)8， C ''，A ，P ''三点共线时，AC AP '+''最短，AC AP K K '''=，2502831212t t +=-++-+， 1541t ∴=． ②若抛物线向右平移，同理可得1541t =-， ∴将抛物线向左平移1541个单位时，A 、B 、P '、C '所构成的多边形周长最短．。

将军饮马问题模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿营。

问如何行走才能使总的路程最短。

模型一(两点在河的异侧)：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。

方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。

模型二(两点在河的同侧)：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。

方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B'，连接AB',与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB'的长。

模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。

数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小。

方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P'、P''，连接P'P''，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P'P''的长。

模型四如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。

数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。

方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P'、Q'，连接P'Q'，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P'Q')的长。

第10讲 最值问题之将军饮马问题最值问题是老师们最爱考的热门题型之一，综合性较强，需要一定的基本功，一般考察时一般放在压 轴位置。

模型讲解【基本模型】问题：在直线I 上找一点P ,使得FA + PB 的值最小 解析：连接AB ，与直线I 交点即为点P （两点之间线段最短）【拓展模型1】问题：在直线/上找一点P ,使得PA + PB 的值最小【练习】1、尺规作图：在直线 MN 上找一点P ,使得/ APN = Z BPN .（保留作图痕迹）A■甘 ----------------------- jV【模型拓展2】1、如图，已知点 P 为定点，定长线段 AB 在直线MN 上运动，在什么位置时，PA = PB 最小? JF M /V T ! y打 M. 弋厂一'青 ◎…皿 ----------------- ° * f;/思维转化：将线段 AB 移动，点P 不动，理解为线段 AB 不动，点P 在直线CD 上移动，将模型转化为 最基本模型【模型拓展3】问题：/ J MON 内一定点A ,点P 、Q 分别为0M 、ON 上的动点，求△ APQ 周长的最小值.PA + PB 的最小值即为线段 BA 的长度.I 的交点即为点P ,此时基本结论:① 厶A 1OA 2必为等腰三角形，且腰长等于线段 OA 的长.② / A I OA 2= 2/ MON .四边形ABPQ 周长最小的模型，最小值即为线段 AB + A' B'的长度和.【模型拓展4】问题：求AB + BC + CD 的最小值问题解析：作点A 关于ON 的对称点A'，点D 关于OM 的对称点D ',连接A' D '，最小值即为线段 A' D' 的长度.（作点A 和点D 的对称点的过程中，也可以直接将 OM 、ON 整个对称过去，使得图形更加完整）【模型拓展5】MN 垂直两平行线，求 AM + MN + NB 的最小值模型.A l 、A 2,连接A I A 2，与ON 、OM 交点即为Q 、P ,线段A I A 2的长度即为△ APQ 周长的最小值.其中MN为定值，故只需求AM + NB的最小值，将点A向下平移MN的长度得到A：连接A'B,线段A'B的长度即为AM + NB的最小值直线I上有一长度不变线段MN移动，求AM + MN + NB最小值的模型.将A点向右平移MN的长度，以此转化为基本模型，最小值即为MN + A2B【例题讲解】例题1、如图，在平面直角坐标系中，Rt△ OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3 , 3), 点C的坐标为(1, 0)，点P为斜边0B上的一动点，贝U PA + PC的最小值为________________ .解：作A关于0B的对称点D,连接CD交0B于P,连接AP，过D作DN丄0A于N, 则此时PA + PC的值最小，•/ DP = FA,A PA+ PC= PD + PC = CD , v B(3 , 3)，二AB = 3 , 0A= 3,•/ tan/A0B = AB= 3A0B = 30°,「. 0B = 2AB= 2 3 ,0A 311 3 3由三角形面积公式得：1X 0A X AB= 1X 0B X AM AM = 3AD = 2X 3= 3,2 2 2 2v/ AMB = 90°,/B= 60 ° ,A/ BAM = 30°,v/BA0 = 90°,「./ 0AM = 60°,•/ DN 丄OA ,•••/ NDA = 30 °,「. AN= 1 AD = 3，由勾股定理得：DN= 33 ,2 2 2v C( 1, 0) ,• CN = 3 - 1- 3= 1，在Rt △ DNC 中，由勾股定理得：DC = 31,2 2 2 2即PA + PC 的最小值是 31 . 2【思考】若把题中条件点“ C 的坐标为(1 , 0) ”改为“点C 为OA 边上一动点”，其它条件不变，那么此时 2PA + PC 最小值又是多少呢？解答：••• PA + PC = PC + PD = CD > DN = 3 3 ,二 PA + PC 的最小值为 3 3 .2 2例题2、某长方体的长、宽、高分别为4、3、5, (1) 如图1,点A 、B 分别为该长方体的两个顶点，已知蚂蚁从点A 沿长方体侧面爬到点B ,则最短路线 长是多少？ (2) 如图2,点A 、C 分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点到达点C ,那么所用细线最短长度是 ____________ .(3) 如图2,点A 、C 分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点到达点C ,那么所用细线最短长度是 ____________ . (4) 如图3,已知圆柱高4米，底面周长1米•如果用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3 旋形花圈的长至少 米.A 开始经过 A 开始经过4个侧面缠绕一圈 4个侧面缠绕三圈圈(如图)，那么螺 答案：(1) ⑵ ⑶ 74 221 1789 16例题3、如图, BC 、 ABCDE 中，/ BAE = 120°,/ B =Z E = 90°, AB = BC = 1 , AE = DE = 2，在在五边形 DE 上分别找一点 M 、N .(1) 当厶AMN 的周长最小时，/ AMN + / ANM =(2) 求厶AMN 的周长最小值.E解：作A关于BC和ED的对称点A: A〃，连接A'A〃，交BC于M，交ED于N,则A'A〃即为△ AMN的周长最小值.⑴作EA 延长线的垂线，垂足为H，/ BAE = 120 °, •/ AA'A〃 + / AA 〃A'= 60°,/ AAA〃=/ A AM , / AA〃A'=/ EAN,.・./ CAN = 120。

将军饮马五大模型七类题型(模型梳理与题型分类讲解)第一部分【知识点归纳】【理论依据】路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题。

【方法原理】1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.【基本模型】【模型一：两定交点型】如图1，直线l和l的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小；图1【模型二：两定一动型】如图2，直线l和l的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小(同侧转化为异侧)；图2【模型三：一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。

使△P AB 的周长最小。

图3【模型四：两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。

使四边形P AQB的周长最小。

图4【模型五：一定两动(垂线段最短)型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使P A 与点P到射线OM的距离之和最小。

图5【模型六：一定两动，找(作)对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小。

图6【题型目录】【题型1】两定一动型.......................................................3;【题型2】一定两动(两点之间线段最短)型...................................6;【题型3】一定两动(垂线段最短)型.........................................9；【题型4】两定两动型.......................................................12;【题型5】一定两动(等线段)转化型.........................................14;【题型6】直通中考.........................................................18;【题型7】拓展延伸.........................................................21;第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】两定一动型；1.(23-24八年级上·河北廊坊·期中)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，AC=16，BC=20，将△ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重合．(1)线段CD的长是；(2)若点E是射线BM上一动点，则△CDE周长的最小值是．2.(22-23八年级上·广西南宁·期末)如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5，则AB 的长为．3.(23-24八年级下·河南郑州·阶段练习)如图，在△ABC中，AB=AC．在AB、AC上分别截取AP、PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点AQ，使AP=AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于12R，作射线AR，交BC于点D．已知BC=5，AD=6．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为．【题型2】一定两动(两点之间线段最短)型；4.(23-24七年级下·陕西西安·期末)如图，在锐角△ABC中，∠ABC=30°，AC=4，△ABC的面积为5，P为△ABC内部一点，分别作点P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，连接P1P2，PP3，则2P1P2+ PP3的最小值为．5.(23-24八年级上·北京海淀·期中)如图，已知∠MON=30°，在∠MON的内部有一点P，A为OM上一动点，B为ON上一动点，OP=a，当△P AB的周长最小时，∠APB=度，△P AB的周长的最小值是．6.(22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末)如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=5，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于5，则α=()A.30°B.45°C.60°D.90°【题型3】一定两动型(垂线段最短)；7.(2024八年级上·全国·专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是()A.2.4B.3C.4D.58.(23-24七年级下·广东深圳·期末)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，点D为垂足，E、F分别是AD、AB上的动点．若AB=6，△ABC的面积为12，则BE+EF的最小值是()A.2B.4C.6D.89.(23-24八年级·江苏·假期作业)如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,AD=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．【题型4】两定两动型；10.(22-23八年级上·湖北武汉·期末)如图，∠AOB=20°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM=α，∠OQN=β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β的数量关系正确的是()A.β-α=30°B.β+α=210°C.β-2α=30°D.β+α=200°【题型5】一定两动(等线段)转化型；11.(23-24九年级下·广西南宁·开学考试)如图，△ABC是等边三角形，AB=4．过点A作AD⊥BC于点D，点P是直线AD上一点，以CP为边，在CP的下方作等边△CPQ，连接DQ，则DQ的最小值为．12.(23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=6，BC=10，D、E分别是AB、BC上的动点，且CE=BD，连接AE、CD，则AE+CD的最小值为．13.(2024·安徽合肥·二模)如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，AB=8，O是AC的中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，OE的最小值为()A.42B.433 C.32D.2第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型6】直通中考14.(2023·辽宁锦州·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD、AE，使AD=AE．②分别以点D和点E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点M．③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则CP+12AP的最小值是．15.(2020·新疆·中考真题)如图，在△ABC中，∠A=90°,∠B=60°,AB=4，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为．【题型7】拓展延伸16.(2024·辽宁葫芦岛·二模)在△ABC中，∠ABC=60°，BC=4，AC=5，点D，E在AB，AC边上，且AD=CE，则CD+BE的最小值是．17.(23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习)如图，等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，点N为BD上一点，点M为BC上一点，且BN=MC，若当AM+AN的最小值为4时，AB的长度是．将军饮马五大模型七类题型(模型梳理与题型分类讲解)第一部分【知识点归纳】【理论依据】路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题。

将军饮马的六种常见模型将军饮马问题——线段和最短一．六大模型1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。

2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。

3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。

使△P AB的周长最小4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。

使四边形P AQB的周长最小。

5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小6. .如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小二、常见题目Part 1、三角形1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，AE =2，求EM +EC 的最小值解： ∵点C 关于直线AD 的对称点是点B ，∴连接BE ，交AD 于点M ，则ME +MD 最小，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH =22BC CH -=2263-=33在直角△BHE 中，BE =22BH EH - =22(33)1+=272．如图，在锐角△ABC 中，AB =42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点， 则BM +MN 的最小值是____．解：作点B 关于AD 的对称点B '，过点B '作B 'E ⊥AB 于点E ，交AD 于点F ，则线段B 'E 长就是BM ＋ＭＮ的最小值在等腰Rt △AEB '中，根据勾股定理得到，B 'E = 43．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值解：作AB关于AC的对称线段AB'，过点B'作B'N⊥AB，垂足为N，交AC于点M，则B'N= MB'+MN = MB+MN. B'N的长就是MB+MN的最小值，则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2，∠ANB'= 90°，∠B' = 30°。