2018最新五年级奥数.杂题.游戏与策略(ABC级).学生版

实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力，激发学生探索数学规律的兴趣，并通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因。

模块一、探索与操作【例 1】 将1—13这13个自然数分别写在13张卡片上，再将这13张卡片按一定的顺序从左至右排好．然后进行如下操作：将从左数第一张和第二张依次放到最后，将第三张取出而这张卡片上的数是1；再将下面的两张依次放到最后并取出下一张，取出的卡片上面的数是2；继续将下面的两张依次放到最后并取出下一张，取出的卡片上面的数是3……如此进行下去，直到取出最后一张是13为止．则13张卡片最初从左到右的顺序为 ．【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】填空【解析】 这13张卡片依次是原来的第3，第6，第9，第12，第2，第7，第11，第4，第10，第5，第1，第8，第13张，所以原来的顺序为11，5，1，8，10，2，6，12，3，9，7，4，13【答案】11，5，1，8，10，2，6，12，3，9，7，4，13【巩固】 在纸上写着一列自然数1，2，…，98，99．一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面．例如第一次操作后得到4，5，…，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，…，98，99，6，15．这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，则最后剩下的数是 ．【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】填空【解析】 第一轮：分33次划1～9，后面写上6，15，24，…，294共33个数．第二轮：分11次划去这33例题精讲知识框架游戏与策略个数，后面写上45，126，207，…，855，共11个数．之后的操作一次减少2个数，故还需操作5次．设这11个数为：1a ，2a ，…，11a ．则接下去的数是：123()a a a ++，456()a a a ++，789()a a a ++，1011123()a a a a a ++++，4567891011123()a a a a a a a a a a a ++++++++++．因此最后一数为：1231112994950a a a a ++++=+++=．【答案】4950。

一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集AB 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：知识结构容斥原理1．先包含——A B + 重叠部分AB 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分AB 减去．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】 实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？【巩固】 芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？【例 2】 某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了．这C BA C BA 例题精讲图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分AB 、BC 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++-A B B C A C --计算时都被减掉了．个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？【巩固】 四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了．一班有多少人两项比赛都没有参加？【例 3】 对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的有9人．这个班一共有多少人？【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？【例 4】 47名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的21人，两门都不在95分以上的有22人．问：两门都在95分以上的有多少人？【巩固】 有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语．问既懂英语会打篮球的两项都不会的会游泳的两项都会的BA只参加围棋比赛的只参加象棋比赛的两项比赛都参加的BA两门都不在95分以上的数学95分以上的两门95分以上的语文95分以上的又懂俄语的有多少人？【例 5】一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了．已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42人．这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？【巩固】四年级科技活动组共有63人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人．每个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？【例 6】某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？【巩固】某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？【例 7】四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．【巩固】五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．【例 8】在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕．2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕．问：⑴三种都带了的有几人？⑵只带了一种的有几个？【巩固】盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三样都要的只有1人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要．【例 9】 三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？【巩固】 如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．【例 10】 如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？【巩固】 如图所示，A 、B 、C 分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，CBA10露在外面的总面积为38．若A 与B 、B 与C 的公共部分的面积分别为8、7，A 、B 、C 这三张纸片的公共部分为3．求A 与C 公共部分的面积是多少？【例 11】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．【例 12】 某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？【巩固】 某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有人．ABC课堂检测【随练1】四(二)班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人．⑴问语文数学都写完的有多少人？⑵只写完语文作业的有多少人？【随练2】光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？【随练3】一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．家庭作业【作业1】四（1）班有46人，其中会弹钢琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班既会弹钢琴又会拉小提琴的至少有人。

第26题：循环小数∙∙321.的循环节有两位，那么2321⎪⎭⎫⎝⎛∙∙.的循环节有位．答案：9702位第27题：由1，2，3，4，5，6各一个组成的六位数使它是37的倍数，这个六位数最大是 .答案：654123解析：能被37整除数的规律：从个位开始每三位截取一个三位数，如这些三位数的和能够被37整除，则原数能被37整除。

要使得六位数最大，则前三位放654，剩下3、2、1，要使得两个三位数的和能被37整除，经常是654+123=777，777能被37整除，所以六位数最大为654123第28题：现有10个盒子，分别装有33，36，37，40，42，46，50，53，58，60个小球．甲先取走了两盒，其余各盒被乙、丙、丁三人所取走．已知乙取的球数是丁的3倍，丙取的球数是丁的4倍，那么甲取走的两盒中分别装有和个球．答案：37和50解析：假设丁的球数为1份，则乙为3份，丙为4份。

乙丙丁三人的总和一定为8的倍数，并且乙、丙、丁三人的小球数均用小盒中的球数凑出来。

10个盒子取走2个之后，所剩的小球数为8的倍数，经尝试可得，当取出为37和50时，剩余368个小球。

甲拿走37、50共87个小球；乙拿走40、53、58、33共184个小球；丙拿走60、42、36共138个小球，丁拿走46个小球。

第29题：在长方形ABCD的边AB、CD上分别有点P和点R。

已知AP＝2，PB＝1，BC＝4，CR＝2，RD＝1，DA＝4，直线BR与直线CP相交于点Q，直线AR与直线DP相交于点S，求四边形PQRS的面积。

答案：38解析：由AB ∥CD ，PS ：DS ＝AP ：RD ＝2：1，同理，PQ ：CQ ＝BP ：RC ＝1：2，根据等高模型可知，PCDPCS PQS S S S ∆∆∆∙⨯=∙=323131，由于64321=⨯⨯=∆PCDS ，所以3463231=⨯⨯=∆PQS S ，同理，34=∆RSQS ，两者相加得，四边形PQRS 的 面积为38第30题：莎士比亚的名著《威尼斯商人》中有这样一个情节：富家少女鲍西娅，不仅姿容绝世，而且有非常卓越的才能。

游戏策略知识框架实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力，激发学生探索数学规律的兴趣，并通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因。

例题精讲一、游戏与策略【例 1】A、B、C、D、E五个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里的玩具传给另外一个小朋友：A->C,B->E,C->A,D->B,E->D.开始A、B拿着福娃，C、D、E拿着福牛，传递完5轮时，拿着福娃的小朋友是（）.（A）C与D(B) A与D(C) C与E(D) A与B【巩固】下图是一座迷宫，请画出任意一条从A到B的通道。

A【例 2】请在5×5的棋盘中放入10个国际象棋中的皇后，使得标有数N的格子恰好受到N枚皇后的攻击．每个格最多一枚棋子，标有数的格子不能放棋子．如果有超过一枚皇后从同一方向攻击到某个格子，只计算最前方的那枚皇后（注：每只皇后可攻击同一行、同一列或同一斜线上的格子）．1745【巩固】下图是常见的正方体，我们可以看到三面共有3 9=27个变成为1的正方体，在这三面上有三条蛇。

每条有5个连续的正方形（每两个连续正方形有一条公共边）组成，不全在一个面上，每两条蛇互不接触（两条蛇的方格不能有公共点），请将这三条蛇画出来。

（用阴影将蛇所在的正方形画出来）【例3】将1—13这13个自然数分别写在13张卡片上，再将这13张卡片按一定的顺序从左至右排好．然后进行如下操作：将从左数第一张和第二张依次放到最后，将第三张取出而这张卡片上的数是1；再将下面的两张依次放到最后并取出下一张，取出的卡片上面的数是2；继续将下面的两张依次放到最后并取出下一张，取出的卡片上面的数是3……如此进行下去，直到取出最后一张是13为止．则13张卡片最初从左到右的顺序为．【巩固】在纸上写着一列自然数1，2，…，98，99．一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面．例如第一次操作后得到4，5，…，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，…，98，99，6，15．这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，则最后剩下的数是．【例4】有足够多的盒子依次编号0，1，2，…，只有0号是黑盒，其余的都是白盒．开始时把10个球放入白盒中，允许进行这样的操作：如果k号白盒中恰有k个球，可将这k个球取出，并给0号、1号、…，(1)k-号盒中各放1个．如果经过有限次这样的操作后，最终把10个球全放入黑盒中，那么4号盒中原有个球．【巩固】设有25个标号筹码，其中每个筹码都标有从1到49中的一个不同的奇数，两个人轮流选取筹码．当一个人选取了标号为x的筹码时，另一个人必须选取标号为99x-的最大奇因数的筹码．如果第一个被选取的筹码的编号为5，那么当游戏结束时还剩个筹码．【例5】今有101枚硬币，其中有100枚同样的真币和1枚伪币，伪币和真币的重量不同．现需弄清楚伪币究竟比真币轻还是重、但只有一架没有砝码的天平，那么怎样利用这架天平称两次，来达到目的？【巩固】9个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）?二、染色与操作【例6】六年级一班全班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫作它的邻座．如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？为什么？【巩固】图是学校素质教育成果展览会的展室，每两个相邻的展室之间都有门相通．有一个人打算从A室开始依次而入，不重复地看过各室展览之后，仍回到A室，问他的目的能否达到，为什么？A【例7】右图是某套房子的平面图，共12个房间，每相邻两房间都有门相通．请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗?【巩固】 有一次车展共6636⨯=个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?【例 8】 右图是半张中国象棋盘，棋盘上放有一只马．众所周知，马是走“日”字的．请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？【巩固】 一只电动老鼠从右图的A 点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转．当这只电动老鼠又回到A 点时，甲说它共转了81次弯，乙说它共转了82次弯．如果甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？【例 9】 能否用9个所示的卡片拼成一个66⨯的棋盘？马【巩固】 如右图，缺两格的88⨯方格有62个格，能否用31个图不重复地盖住它且不留空隙?【例 10】 在88⨯的网格正方形(如图1)中用图2形状的图形来覆盖，要求图2的分割线落在正方形的网格线上．为使所余部分不能再放下图2形状的图形，最少需用图2形状的图形 个．图1 图2【巩固】 用若干个22⨯和33⨯的小正方形能不能拼成一个1111⨯的大正方形？请说明理由．882211【例11】对于任意一个自然数n，当n为奇数时，加上121；当n为偶数时，除以2，这算一次操作．现在对231连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现100？为什么？【巩固】小牛对小猴说：“对一个自然数n进行系列变换：当n是奇数时，则加上2007；当n是偶数时，则除以2．现在对2004连续做这种变换，变换中终于出现了数2008．”小猴说：“你骗人！不可能出现2008．”请问：小牛和小猴谁说得对呢？为什么？课堂检测【随练1】你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的重量＋1.只称量一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？【随练2】右图是由14个大小相同的方格组成的图形．试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形？【随练3】 用9个14⨯的长方形能不能拼成一个66⨯的正方形？请说明理由．【随练4】 在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？【作业1】 在信息时代信息安全十分重要，往往需要对信息进行加密，若按照“乘3加1取个位”的方式逐位加密，明码“16”加密之后的密码为“49”，若某个四位明码按照上述加密方式，经过两次加密得到的密码是“2445”，则明码是 ．【作业2】 有大，中，小3个瓶子，最多分别可以装入水1000克，700克和300克.现在大瓶中装满水，希望通过水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出100克水的刻度线，问最少要倒几次水？家庭作业【作业3】 如右图，在55⨯方格的A 格中有一只爬虫，它每次总是只朝上下左右四个方向爬到相邻方格中．那么它能否不重复地爬遍每个方格再回到A 格中?【作业4】 你能把下面的图形分成7个大小相同的长方形吗？动手画一画．【作业5】 用若干个22⨯和33⨯的小正方形能不能拼成一个1111⨯的大正方形？请说明理由．【作业6】 对于表⑴，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为表⑵？为什么？A101000101(2)(1)987654321。

分列组合常识构造一、分列问题在现实生涯中经常会碰到如许的问题,就是要把一些事物排在一路,构成一列,盘算有若干种排法,就是分列问题．在排的进程中,不但与介入分列的事物有关,并且与各事物地点的先后次序有关．一般地,从个不合的元素中掏出()个元素,按照必定的次序排成一列,叫做从个不合元素中掏出个元素的一个分列．依据分列的界说,两个分列雷同,指的是两个分列的元素完整雷同,并且元素的分列次序也雷同．假如两个分列中,元素不完整雷同,它们是不合的分列;假如两个分列中,固然元素完整雷同,但元素的分列次序不合,它们也是不合的分列．分列的根本问题是盘算分列的总个数．从个不合的元素中掏出()个元素的所有分列的个数,叫做从个不合的元素的分列中掏出个元素的分列数,我们把它记做．依据分列的界说,做一个元素的分列由个步调完成：步调：从个不合的元素中任取一个元素排在第一位,有种办法;步调：从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位,有()种办法;……步调：从剩下的个元素中任取一个元素排在第个地位,有(种)办法;由乘法道理,从个不合元素中掏出个元素的分列数是,即,这里,,且等号右边从开端,后面每个因数比前一个因数小,共有个因数相乘．二、分列数一般地,对于的情形,分列数公式变成．暗示从个不合元素中取个元素排成一列所构成分列的分列数．这种个分列全体掏出的分列,叫做个不合元素的全分列．式子右边是从开端,后面每一个因数比前一个因数小,一向乘到的乘积,记为,读做的阶乘,则还可以写为：,个中．在分列问题中,有时刻会请求某些物体或元素必须相邻;求某些物体必须相邻的办法数量,可以将这些物体当作一个整体绑缚在一路进行盘算．三、组合问题日常生涯中有许多“分组”问题．如在体育比赛中,把参赛队分为几个组,从全班同窗中选出几人介入某项运动等等．这种“分组”问题,就是我们将要评论辩论的组合问题,这里,我们将侧重研讨有若干种分组办法的问题．一般地,从个不合元素中掏出个()元素构成一组不计较组内各元素的次序,叫做从个不合元素中掏出个元素的一个组合．从分列和组合的界说可以知道,分列与元素的次序有关,而组合与次序无关．假如两个组合中的元素完整雷同,那么不管元素的次序若何,都是雷同的组合,只有当两个组合中的元素不完整雷同时,才是不合的组合．从个不合元素中掏出个元素()的所有组合的个数,叫做从个不合元素中掏出个不合元素的组合数．记作．一般地,求从个不合元素中掏出的个元素的分列数可分成以下两步：第一步：从个不合元素中掏出个元素构成一组,共有种办法;第二步：将每一个组合中的个元素进行全分列,共有种排法．依据乘法道理,得到．是以,组合数．这个公式就是组合数公式．四、组合数的主要性质一般地,组合数有下面的主要性质：()这个公式的直不雅意义是：暗示从个元素中掏出个元素构成一组的所有分组办法．暗示从个元素中掏出()个元素构成一组的所有分组办法．显然,从个元素中选出个元素的分组办法恰是从个元素中选个元素剩下的()个元素的分组办法．例如,从人中选人开会的办法和从人中选出人不去开会的办法是一样多的,即．划定,．五、插板法一般用来解决求分化必定命量的无不同物体的办法的总数,应用插板法一般有三个请求：①所要分化的物体一般是雷同的：②所要分化的物体必须全体分完：③介入分物体的组至少都分到1个物体,不克不及有没分到物体的组消失．在有些标题中,已知前提与上面的三个请求其实不必定完整相符,对此应该对已知前提进行恰当的变形,使得它与一般的请求相符,再实用插板法．六、应用插板法一般有如下三种类型：⑴小我分个器械,请求每小我至少有一个．这个时刻我们只须要把所有的器械排成一排,在个中的个闲暇中放上个插板,所以分法的数量为．⑵小我分个器械,请求每小我至少有个．这个时刻,我们先发给每小我个,还剩下个器械,这个时刻,我们把剩下的器械按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数量为．⑶小我分个器械,许可有人没有分到．这个时刻,我们无妨先借来个器械,每小我多发1个,如许就和类型⑴一样了,不过这时刻物品总数变成了个,是以分法的数量为．例题精讲【例 1】4个男生2个女生6人站成一排合影留念,有若干种排法？假如请求2个女生紧挨着排在正中央有若干种不合的排法？【巩固】4男2女6小我站成一排合影留念,请求2个女的紧挨着有若干种不合的排法？【例 2】将A.B.C.D.E.F.G七位同窗在操场排成一列,个中学生B与C必须相邻．请问共有若干种不合的分列办法？【巩固】6名小同伙站成一排,若两人必须相邻,一共有若干种不合的站法？若两人不克不及相邻,一共有若干种不合的站法？【例 3】书架上有4本不合的漫画书,5本不合的童话书,3本不合的故事书,全体竖起排成一排,假如同类型的书不要离开,一共有若干种排法？假如只请求童话书和漫画书不要离开有若干种排法？【巩固】四年级三班举办六一儿童节联欢运动．全部运动由2个跳舞.2个演唱和3个小品构成．请问：假如请求同类型的节目持续表演,那么共有若干种不合的出场次序？【例 4】8人围圆桌会餐,甲.乙两人必须相邻,而乙.丙两人不得相邻,有几种坐法？【巩固】a,b,c,d,e五小我排成一排,a与b不相邻,共有若干种不合的排法？【例 5】一台晚会上有个演唱节目和个跳舞节目．求：⑴当个跳舞节目要排在一路时,有若干不合的安插节目标次序？⑵当请求每个跳舞节目之间至少安插个演唱节目时,一共有若干不合的安插节目标次序？【巩固】由个不合的独唱节目和个不合的合唱节目构成一台晚会,请求随意率性两个合唱节目不相邻,开端和最后一个节目必须是合唱,则这台晚会节目标编排办法共有若干种？【例 6】有10粒糖,分三天吃完,天天至少吃一粒,共有若干种不合的吃法？【巩固】小红有10块糖,天天至少吃1块,7天吃完,她共有若干种不合的吃法？【巩固】有12块糖,小光要6天吃完,天天至少要吃一块,问共有种吃法．【例 7】10只无差此外橘子放到3个不合的盘子里,许可有的盘子空着．请问一共有若干种不合的放法？【巩固】将个雷同的苹果放到个不合的盘子里,许可有盘子空着.一共有种不合的放法.【例 8】把20个苹果分给3个小同伙,每人起码分3个,可以有若干种不合的分法？【巩固】三所黉舍组织一次联欢晚会,共表演14个节目,假如每校至少表演3个节目,那么这三所黉舍表演节目数的不合情形共有若干种？【例 9】(1)小明有10块糖,天天至少吃1块,8天吃完,共有若干种不合吃法?(2)小明有10块糖,天天至少吃1块,8天或8天之内吃完,共有若干种吃法?【巩固】有10粒糖,天天至少吃一粒,吃完为止,共有若干种不合的吃法？【例 10】马路上有编号为,,,…,的十只路灯,为勤俭用电又能看清路面,可以把个中的三只灯关失落,但又不克不及同时关失落相邻的两只,在两头的灯也不克不及关失落的情形下,求知足前提的关灯办法有若干种？【巩固】黉舍新建筑的一条道路上有盏路灯,为了节俭用电而又不影响正常的照明,可以熄灭个中盏灯,但两头的灯不克不及熄灭,也不克不及熄灭相邻的盏灯,那么熄灯的办法共有若干种？【例 11】在四位数中,列位数字之和是4的四位数有若干？【巩固】大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有若干个？【例 12】所有三位数中,与456相加产生进位的数有若干个？【巩固】从1到2004这2004个正整数中,共有几个数与四位数8866相加时,至少产生一次进位？教室检测【随练1】某小组有12个同窗,个中男少先队员有3人,女少先队员有人,全组同窗站成一排,请求女少先队员都排一路,而男少先队员不排在一路,如许的排法有若干种？【随练2】把7支完整雷同的铅笔分给甲.乙.丙3小我,每人至少1支,问有若干种办法？【随练3】在三位数中,至少消失一个6的偶数有若干个？家庭功课【作业1】将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排,请求三盆红花互不相邻,共有种不合的放法.【作业2】黉舍合唱团要从个班中填补名同窗,每个班至少名,共有若干种抽调办法？【作业3】能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有个.【作业4】黉舍乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排拍照,请问：（1）假如请求男生不克不及相邻,一共有若干不合的站法？（2）假如请求女生都站在一路,一共有若干种不合的站法？【作业5】由0,1,2,3,4,5构成的没有反复数字的六位数中,百位不是2的奇数有个．【作业6】泊车站划出一排个泊车地位,今有辆不合的车须要停放,若请求残剩的个空车位连在一路,一共有若干种不合的泊车计划?教授教养反馈学生对本次课的评价○特殊知足○知足○一般家长看法及建议家长签字：。

实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力，激发学生探索数学规律的兴趣，并通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因。

一、游戏与策略【例 1】 A 、B 、C 、D 、E 五个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里的玩具传给另外一个小朋友：A ->C ,B ->E ,C ->A ,D ->B ,E ->D .开始A 、B 拿着福娃，C 、D 、E 拿着福牛，传递完5轮时，拿着福娃的小朋友是（）.（A ）C 与D (B ) A 与D (C ) C 与E (D ) A 与B【巩固】 下图是一座迷宫，请画出任意一条从A 到B 的通道。

例题精讲知识框架游戏策略【例 2】请在5×5的棋盘中放入10个国际象棋中的皇后，使得标有数N的格子恰好受到N枚皇后的攻击．每个格最多一枚棋子，标有数的格子不能放棋子．如果有超过一枚皇后从同一方向攻击到某个格子，只计算最前方的那枚皇后（注：每只皇后可攻击同一行、同一列或同一斜线上的格子）．1745【巩固】下图是常见的正方体，我们可以看到三面共有3 9=27个变成为1的正方体，在这三面上有三条蛇。

每条有5个连续的正方形（每两个连续正方形有一条公共边）组成，不全在一个面上，每两条蛇互不接触（两条蛇的方格不能有公共点），请将这三条蛇画出来。

（用阴影将蛇所在的正方形画出来）【例3】将1—13这13个自然数分别写在13张卡片上，再将这13张卡片按一定的顺序从左至右排好．然后进行如下操作：将从左数第一张和第二张依次放到最后，将第三张取出而这张卡片上的数是1；再将下面的两张依次放到最后并取出下一张，取出的卡片上面的数是2；继续将下面的两张依次放到最后并取出下一张，取出的卡片上面的数是3……如此进行下去，直到取出最后一张是13为止．则13张卡片最初从左到右的顺序为．【巩固】在纸上写着一列自然数1，2，…，98，99．一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面．例如第一次操作后得到4，5，…，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，…，98，99，6，15．这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，则最后剩下的数是．【例4】有足够多的盒子依次编号0，1，2，…，只有0号是黑盒，其余的都是白盒．开始时把10个球放入白盒中，允许进行这样的操作：如果k号白盒中恰有k个球，可将这k个球取出，并给0号、1号、…，(1)k-号盒中各放1个．如果经过有限次这样的操作后，最终把10个球全放入黑盒中，那么4号盒中原有个球．【巩固】设有25个标号筹码，其中每个筹码都标有从1到49中的一个不同的奇数，两个人轮流选取筹码．当一个人选取了标号为x的筹码时，另一个人必须选取标号为99x-的最大奇因数的筹码．如果第一个被选取的筹码的编号为5，那么当游戏结束时还剩个筹码．【例5】今有101枚硬币，其中有100枚同样的真币和1枚伪币，伪币和真币的重量不同．现需弄清楚伪币究竟比真币轻还是重、但只有一架没有砝码的天平，那么怎样利用这架天平称两次，来达到目的？。

遊戲與策略教學目標1.通過實際操作尋找題目中蘊含的數學規律2.在操作過程中，體會數學規律的並且設計最優的策略和方案3.熟練掌握通過簡單操作、染色、數論等綜合知識解決策略問題知識點撥實際操作與策略問題這類題目能夠很好的提高學生思考問題的能力，激發學生探索數學規律的興趣，並通過尋找最佳策略過程，培養學生的創造性思維能力，這也是各類考試命題者青睞的這類題目的原因。

例題精講模組一、探索與操作【例 1】將1—13這13個自然數分別寫在13張卡片上，再將這13張卡片按一定的順序從左至右排好．然後進行如下操作：將從左數第一張和第二張依次放到最後，將第三張取出而這張卡片上的數是1；再將下麵的兩張依次放到最後並取出下一張，取出的卡片上面的數是2；繼續將下麵的兩張依次放到最後並取出下一張，取出的卡片上面的數是3……如此進行下去，直到取出最後一張是13為止．則13張卡片最初從左到右的順序為．【考點】遊戲與策略 【難度】3星 【題型】填空【關鍵字】北京奧校杯【解析】 這13張卡片依次是原來的第3，第6，第9，第12，第2，第7，第11，第4，第10，第5，第1，第8，第13張，所以原來的順序為11，5，1，8，10，2，6，12，3，9，7，4，13【答案】11，5，1，8，10，2，6，12，3，9，7，4，13【例 2】 在紙上寫著一列自然數1，2，…，98，99．一次操作是指將這列數中最前面的三個數劃去，然後把這三個數的和寫在數列的最後面．例如第一次操作後得到4，5，…，98，99，6；而第二次操作後得到7，8，…，98，99，6，15．這樣不斷進行下去，最後將只剩下一個數，則最後剩下的數是 ．【考點】遊戲與策略 【難度】3星 【題型】填空【關鍵字】迎春杯【解析】 第一輪：分33次劃1～9，後面寫上6，15，24，…，294共33個數．第二輪：分11次劃去這33個數，後面寫上45，126，207，…，855，共11個數．之後的操作一次減少2個數，故還需操作5次．設這11個數為：1a ，2a ，…，11a ．則接下去的數是：123()a a a ++，456()a a a ++，789()a a a ++，1011123()a a a a a ++++，4567891011123()a a a a a a a a a a a ++++++++++．因此最後一數為：1231112994950a a a a ++++=+++=．【答案】4950【巩固】 在1，9，8，9後面寫一串這樣的數字：先計算原來這4個數的後兩個之和8+9=17，取個位數字7寫在1，9，8，9的後面成為1，9，8，9，7；再計算這5個數的後兩個之和9+7=16；取個位數字6寫在1，9，8，9，7的後面成為1，9，8，9，7，6；再計算這6個數的後兩個之和7+6=13，取個位數字3寫在1，9，8，9，7，6的後面成為1，9，8，9，7，6，3. 繼續這樣求和，這樣添寫，成為數串1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4…那麼這個數串的前398個數字的和是________.【考點】遊戲與策略 【難度】3星 【題型】填空【關鍵字】迎春杯，決賽【解析】 前16個數字是1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4，7，1，8，9可見除去前2個數字1、9後，每12個數字一組重複出現.因此前398個數字的和是1+9+（8+9+7+6+3+9+2+1+3+4+7+1）⨯398212-=10+60⨯33=1990【答案】1990【例 3】圓周上放有N枚棋子，如圖所示，B點的那枚棋子緊鄰A點的棋子．小洪首先拿走B點處的1枚棋子，然後沿順時針方向每隔1枚拿走2枚棋子，這樣連續轉了10周，9次越過A．當將要第10次越過A處棋子取走其他棋子時，小洪發現圓周上餘下20多枚棋子．若N是14的倍數，請精確算出圓周上現在還有多少枚棋子？【考點】遊戲與策略【難度】3星【題型】解答【解析】設圓周上餘a枚棋子，從第9次越過A處拿走2枚棋子到第10次將要越過A處棋子時，小洪拿了2a枚棋子，所以在第9次將要越過A處棋子時，圓周上有3a枚棋子．依次類推，在第8次將要越過A處棋子時，圓周上有23a枚棋子，…，在第1次將要越過A處棋子時，圓周上有93a枚棋子，在第1次將要越過A處棋子之間，小洪拿走了()92311a-+枚棋子，所以99102(31)1331N a a a=-++=-．1031590491N a a=-=-是14的倍數，N是2和7的公倍數，所以a必須是奇數；又()78435417843541N a a a=⨯+-=⨯+-，所以41a-必須是7的倍數．當21a=，25，27，29時，41a-不是7的倍數，當23a=時，4191a-=是7的倍數．所以，圓周上還有23枚棋子．【答案】23【例 4】有足夠多的盒子依次編號0，1，2，…，只有0號是黑盒，其餘的都是白盒．開始時把10個球放入白盒中，允許進行這樣的操作：如果k號白盒中恰有k個球，可將這k個球取出，並給0號、1號、…，(1)k-號盒中各放1個．如果經過有限次這樣的操作後，最終把10個球全放入黑盒中，那麼4號盒中原有 個球．【考點】遊戲與策略 【難度】3星 【題型】填空【關鍵字】兩岸四地，華杯賽【解析】 使用倒推法．最終各盒中依次有球(10，0，0，0，…)，前一次必然分的是1號盒中的球，否則1號盒中最終至少有1個球．所以，倒數第一次分前盒中依次有球(9，1，0，0，…)．依次倒推，為：(10，0，0，0，…)←(9，1，0，0，…)←(8，0，2，0，0，…)←(7，1，2，0，0，…)←(6，0，1，3，0，…)←(5，1，1，3，0，…)←(4，0，0，2，4，…)←(3，1，0，2，4，…)←(2，0，2，2，4，…)←(1，1，2，2，4，…)←(0，0，1，1，3，5…)，0號盒中此時為0個球，不能再倒推．所以，4號盒中原有3個球．【答案】3【例 5】 一個數列有如下規則：當數n 是奇數時，下一個數是1n +；當數n 是偶數時，下一個數是2n ．如果這列數的第一個數是奇數，第四個數是11，則這列數的第一個數是 ．【考點】遊戲與策略 【難度】3星 【題型】填空【解析】 本題可以進行倒推．11的前一個數只能是偶數22，22的前一個數可以是偶數44或奇數21，44的前一個是可以是偶數88或奇數43，而21的前一個只能是偶數42．由於這列數的第一個是奇數，所以只有43滿足．故這列數的第一個數是43．也可以順著進行分析．假設第一個數是a ，由於a 是奇數，所以第二個數是1a +，是個偶數，那麼第三個數是12a +，第四個數是11，11只能由偶數22得來，所以1222a +=，得到43a =，即這列數的第一個數是43． 【答案】43【巩固】 在資訊時代資訊安全十分重要，往往需要對資訊進行加密，若按照“乘3加1取個位”的方式逐位加密，明碼“16”加密之後的密碼為“49”，若某個四位明碼按照上述加密方式，經過兩次加密得到的密碼是“2445”，則明碼是 ．【考點】遊戲與策略 【難度】3星 【題型】填空【關鍵字】走美杯，初賽，六年級【解析】0～9這10個數字乘以3所得的數的個位數字互不相同是本題可以進行判斷的基礎．採用倒推法，可以得到經過一次加密之後的密碼是“7118”，再進行倒推，可以得到原來的明碼是2009.【答案】2009【例 6】設有25個標號籌碼，其中每個籌碼都標有從1到49中的一個不同的奇數，兩個人輪流選取籌碼．當一個人選取了標號為x的籌碼時，另一個人必須選取標號為99x-的最大奇因數的籌碼．如果第一個被選取的籌碼的編號為5，那麼當遊戲結束時還剩個籌碼．【考點】遊戲與策略【難度】3星【題型】解答【關鍵字】武漢,明星奧數挑戰賽【解析】解若x99x-5 4747 1313 4343 77 2323 1919 5當一個人拿到19時，下一個人就要拿5了，故遊戲結束，拿了7個．剩25718-=(個)．【答案】18【例 7】一個盒子裏有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚，我們對這些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果顏色相同，就補1枚黑色棋子回去；如果顏色不同，就補1枚白色的棋子回去．這樣的操作，實際上就是每次都少了1枚棋子，那麼，經過399次操作後，最後剩下的棋子是顏色(填黑或者白)【考點】遊戲與策略【難度】3星【題型】填空【關鍵字】北大附中，資優博雅杯【解析】由於起初白子200枚是偶數，若同色，補黑子1枚，白子仍為偶數；若異色，補白子1枚，白子仍為偶數．因此最後1枚不可能是白子，故應是黑子．【答案】黑【巩固】30粒珠子依8粒紅色、2粒黑色、8粒紅色、2粒黑色、的次序串成一圈．一只蚱蜢從第2粒黑珠子起跳，每次跳過6粒珠子落在下一粒珠子上．這只蚱蜢至少要跳幾次才能再次落在黑珠子上．【考點】遊戲與策略【難度】3星【題型】解答【關鍵字】走美杯，試題【解析】這些珠子按8粒紅色、2粒黑色、8粒紅色、2粒黑色、的次序串成一圈，那麼每10粒珠子一個週期，我們可以推斷出這30粒珠子數到第9和10、19和20、29和30、39和40、49和50粒的時候，會是黑珠子．剛才是從第10粒珠子開始跳，中間隔6粒，跳到第17粒，接下來是第24粒、31粒、38粒、45粒、52粒、59粒，一直跳到59粒的時候會是黑珠子，所以至少要跳7次．【答案】7次【巩固】在黑板上寫上1、2、3、4、……、2008，按下列規定進行“操怍”：每次擦去其中的任意兩個數a和b，然後寫上它們的差(大數減小數)，直到黑板上剩下一個數為止．問黑板上剩下的數是奇數還是偶數？為什麼？【考點】遊戲與策略【難度】3星【題型】解答【解析】根據等差數列求和公式，可知開始時黑板上所有數的和為123200820091004++++=⨯是一個偶數，而每一次“操作”，將a、b兩個數變成了()-，它們的和減少了2b，即減少了一個偶數．那麼從整體上看，a b總和減少了一個偶數，其奇偶性不變，還是一個偶數．所以每次操作後黑板上剩下的數的和都是偶數，那麼最後黑板上剩下一個數時，這個數是個偶數．【答案】偶數【例 8】桌上有一堆石子共1001粒。

数学游戏和取胜策略【例题选讲】例1．甲、乙两人轮流报数，必须报不大于2的自然数，把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数是20，谁就获胜。

如甲要取胜，应采用怎样的策略？例2．有1994个球，甲乙两人用这些球进行取球比赛。

比赛规则是：甲乙轮流取球，每人每次取1个，2个或3个，取最后一个球的人为失败者。

（1）甲先取，甲了为取胜，他应采取怎样的策略？（2）乙先拿了3个球，甲为了必胜，应当采取怎样的策略？例3．有两堆火柴，。

由两人轮流从其中任意一堆火柴中取出一根或几根，每次至少要取出一根，而且不能同时从两堆里取，谁最后取完，谁就获胜，问如何取确保获胜？例4．有三堆火柴，第一堆有一根，第二堆有二根，第三堆有三根，两人比赛，两人轮流只在一堆中取火柴，取的根数不限。

如果谁拿到最后一堆的最后一根谁胜，那么，取胜的对策是什么？【课内练习】1．有一堆棋子共53颗，甲乙两人轮流从中取走1颗或2颗棋子，规定谁拿走最后一颗棋子，谁获胜。

如果甲先拿，那么他有没有必胜的策略？2．桌上有100根火柴，甲乙两人轮流每次取走3~10根。

谁取走最后一根或几根火柴谁获胜。

甲先取，怎样才能获胜？3．甲乙二人轮流报数，必须报不大于6的自然数，把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数是2000，谁就获胜。

如果甲要取胜，是先报还是后报？报几？以后怎样报？4．桌上现有糖果111粒，甲乙两人轮流取糖果，每人每次可以取1粒或质数粒，取到最后一粒者获胜。

问甲取胜的对策是什么？5．两人轮流报数，规定每次报数都是不超过8的自然数，把两人报的数累加起不，谁先得到88谁就获胜，问先报数者有无必胜的策略？6．在黑板上写下数2，3，4……1994，甲先擦去其中一个数，然后，乙再擦去一个数，如此轮流下去。

若最后剩下的两个是互质数时，甲胜，若最后剩下的两个数不互质时，乙胜，试说明，甲先擦数，存在必胜的策略吗？7．甲乙两人轮流往一张圆桌上放同样大小的硬币，规定每人每次只能放一枚硬币，硬币平放且不能有重叠部分，放好的硬币不再移动。

五年级奥数.计数综合.排列组合（ABC级）⼀、排列问题在实际⽣活中经常会遇到这样的问题，就是要把⼀些事物排在⼀起，构成⼀列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，⽽且与各事物所在的先后顺序有关．⼀般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照⼀定的顺序排成⼀列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的⼀个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．根据排列的定义，做⼀个m 元素的排列由m 个步骤完成：步骤1：从n 个不同的元素中任取⼀个元素排在第⼀位，有n 种⽅法；步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取⼀个元素排在第⼆位，有(1n -)种⽅法； ……步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取⼀个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)⽅法；由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ?-?-??-+（）（）（），即121m n P n n n n m =---+（）（）（），这⾥，m n ≤，且等号右边从n 开始，后⾯每个因数⽐前⼀个因数⼩1，共有m 个因数相乘．⼆、排列数⼀般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =?-?-（）（）．表⽰从n 个不同元素中取n 个元素排成⼀列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式⼦右边是从n 开始，后⾯每⼀个因数⽐前⼀个因数⼩1，⼀直乘到1的乘积，知识结构排列组合记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =?-?-（）（）　．在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的⽅法数量，可以将这些物体当作⼀个整体捆绑在⼀起进⾏计算．三、组合问题⽇常⽣活中有很多“分组”问题．如在体育⽐赛中，把参赛队分为⼏个组，从全班同学中选出⼏⼈参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这⾥，我们将着重研究有多少种分组⽅法的问题．⼀般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成⼀组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的⼀个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，⽽组合与顺序⽆关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作mn C ．⼀般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步：第⼀步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成⼀组，共有mn C 种⽅法；第⼆步：将每⼀个组合中的m 个元素进⾏全排列，共有mm P 种排法．根据乘法原理，得到m m mn n m P C P =?．因此，组合数12)112321mmn nm mP n n n n m C m m m P ?-?-??-+==--（）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．四、组合数的重要性质⼀般地，组合数有下⾯的重要性质：m n mn n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表⽰从n 个元素中取出m 个元素组成⼀组的所有分组⽅法．n mn C -表⽰从n 个元素中取出(n m -)个元素组成⼀组的所有分组⽅法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组⽅法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组⽅法．例如，从5⼈中选3⼈开会的⽅法和从5⼈中选出2⼈不去开会的⽅法是⼀样多的，即3255C C =．规定1n nC =，01n C =．五、插板法⼀般⽤来解决求分解⼀定数量的⽆差别物体的⽅法的总数，使⽤插板法⼀般有三个要求：①所要分解的物体⼀般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组⾄少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题⽬中，已知条件与上⾯的三个要求并不⼀定完全相符，对此应当对已知条件进⾏适当的变形，使得它与⼀般的要求相符，再适⽤插板法．六、使⽤插板法⼀般有如下三种类型：⑴ m 个⼈分n 个东西，要求每个⼈⾄少有⼀个．这个时候我们只需要把所有的东西排成⼀排，在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数⽬为11m n C --．⑵ m 个⼈分n 个东西，要求每个⼈⾄少有a 个．这个时候，我们先发给每个⼈(1)a -个，还剩下[(1)]n m a --个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数⽬为1(1)1m n m a C ----．⑶ m 个⼈分n 个东西，允许有⼈没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个⼈多发1个，这样就和类型⑴⼀样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数⽬为11m n m C -+-．⼀．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：⼀类可以重复，另⼀类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使⽤住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学⽣报名参加数学、物理、化学竞赛，每⼈限报⼀科，有多少种不同的报名⽅法？（2）有4名学⽣参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投⼊4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34 （3）34【例2】把6名实习⽣分配到7个车间实习共有多少种不同⽅法？【解析】：完成此事共分6步，第⼀步；将第⼀名实习⽣分配到车间有7种不同⽅案，第⼆步：将第⼆名实习⽣分配到车间也有7种不同⽅案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同⽅案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A 、38 B 、83 C 、38A D 、38C【解析】：冠军不能重复，但同⼀个学⽣可获得多项冠军，把8名学⽣看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意⼀家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。