高数矩阵的概念及运算

高等数学教材矩阵矩阵作为高等数学中的重要概念，广泛应用于各个领域的数学问题中。

它不仅在线性代数中起着重要的作用，还在其他数学分支以及工程、物理等应用科学中扮演着重要角色。

本文将对矩阵的定义、运算和性质进行详细讲解，并探讨其在实际问题中的应用。

1. 矩阵的定义在数学中，矩阵是按照长方阵列排列的数的集合。

矩阵通常用大写字母表示，如A、B，其元素用小写字母表示，如a_ij，其中i表示行数，j表示列数。

矩阵的维度由行数和列数确定。

2. 矩阵的运算矩阵的运算包括加法、减法和乘法。

矩阵加法和减法遵循矩阵对应元素相加和相减的原则，要求两个矩阵具有相同的维度。

矩阵乘法是将矩阵A的每个元素与矩阵B的每列元素进行相乘，再将结果相加得到新矩阵的元素。

3. 矩阵的性质矩阵具有许多有用的性质。

比如，矩阵的转置可以通过将矩阵的行和列互换得到；矩阵的逆可以用来解线性方程组；矩阵的迹是指主对角线上元素的和；矩阵的秩可以用来判断矩阵的线性相关性。

4. 矩阵的应用矩阵在实际问题中有广泛的应用。

例如，在工程领域，矩阵可以用来描述力和力矩的关系，从而帮助解决结构力学问题。

在图像处理中，矩阵可以用来表示图像的像素点，进行图像的缩放、旋转等操作。

在机器学习中，矩阵被广泛应用于数据挖掘和模式识别等领域。

总结：高等数学教材中的矩阵是一门重要的数学概念，通过对矩阵的定义、运算和性质进行深入理解，我们可以更好地应用矩阵解决实际问题。

无论是在线性代数还是其他领域，矩阵都扮演着重要的角色，为问题的建模和求解提供了有效的工具。

希望本文的介绍能帮助读者更好地掌握矩阵的知识，提高数学应用能力。

矩阵知识点总结矩阵是线性代数中重要的概念和工具之一，广泛应用于数学、物理、工程、计算机科学等领域。

下面将对矩阵的基本知识点进行总结。

1. 矩阵的定义：矩阵是一个按照长和宽排列的矩形数组，其中的元素可以是任意类型的数值。

一个矩阵由行和列组成，通常记作A=[a_ij]。

2. 矩阵的运算：(1) 矩阵的加法和减法：对应元素相加或相减。

(2) 矩阵的乘法：矩阵乘法是一种非交换运算，两个矩阵相乘的结果是第一个矩阵的行乘以第二个矩阵的列。

(3) 矩阵的转置：将矩阵的行和列交换位置得到的新矩阵。

(4) 矩阵的数量乘法：将矩阵的每个元素同一个实数相乘得到的新矩阵。

3. 矩阵的特殊类型：(1) 方阵：行数和列数相等的矩阵。

(2) 零矩阵：所有元素都为零的矩阵。

(3) 对角矩阵：除了对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。

(4) 单位矩阵：对角线上的元素都为1，其他元素都为零的矩阵。

(5) 上三角矩阵：下三角（低三角）矩阵：除了对角线及其以上的元素外，其他元素都为零的矩阵。

4. 矩阵的性质：(1) 矩阵的加法和乘法满足结合律和分配律，但不满足交换律。

(2) 矩阵乘法的转置性质：(AB)^T = B^T A^T。

(3) 矩阵的逆：如果矩阵A的逆存在，记作A^(-1)，则A和A^(-1)的乘积等于单位矩阵：A A^(-1) = I。

(4) 矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大线性无关组数。

5. 矩阵的应用：(1) 线性方程组的解：通过矩阵的运算和逆矩阵可以解决线性方程组的求解问题。

(2) 向量空间的表示：矩阵可以表示向量空间内的线性变换和线性组合。

(3) 特征值和特征向量：矩阵的特征值和特征向量可以用于描述矩阵的性质和变换规律。

(4) 数据处理和机器学习：矩阵在数据处理和机器学习中广泛应用，用于存储和处理大量数据。

总的来说，矩阵是一种重要的数学工具，它的运算性质和特殊类型有助于解决线性方程组、描述线性变换和计算大量数据等问题。

高等数学教材矩阵在高等数学教材中，矩阵是一个重要的概念。

矩阵具有广泛的应用，并在许多领域中起着关键作用，如线性代数、概率论、计算机图形学等等。

本文将详细介绍矩阵的定义、基本运算、特殊矩阵等内容，以帮助读者更好地理解和应用矩阵。

一、矩阵的定义矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列。

其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。

矩阵中的每个元素可以是任意的数值，可以是实数或复数。

我们用大写字母A、B等来表示矩阵。

二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法：对于两个行数和列数相同的矩阵A和B，它们的和记作A + B，即A和B的对应元素相加得到新的矩阵。

2. 矩阵的数乘：将一个矩阵A的每个元素都乘以一个常数k，得到新的矩阵kA。

3. 矩阵的乘法：对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积记作AB，即A的行与B的列相乘，得到一个新的m行p列的矩阵。

三、特殊矩阵1. 零矩阵：所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。

2. 单位矩阵：主对角线上的元素均为1，其余元素均为0的矩阵称为单位矩阵，用I表示。

3. 对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其余元素都为0的矩阵称为对角矩阵。

4. 转置矩阵：将矩阵A的行和列对调得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作A^T。

四、矩阵的性质与定理1. 矩阵的加法具有交换律和结合律。

2. 数乘与矩阵的加法满足分配律。

3. 矩阵的乘法具有结合律，但一般不满足交换律。

4. 矩阵的转置满足转置的转置法则，即(A^T)^T = A。

五、矩阵的应用1. 线性方程组的求解：矩阵可用于解决线性方程组，通过矩阵的运算，可以转化为求解矩阵的逆或行列式等问题。

2. 矩阵的特征值与特征向量：通过矩阵的特征值和特征向量，可以研究矩阵的稳定性、振动问题等。

3. 矩阵在图像处理中的应用：计算机图形学中，矩阵可以用于表示和处理图像，如图像的旋转、缩放、平移等操作。

总结：矩阵是高等数学中的重要概念，具有广泛的应用。

矩阵的运算知识点总结一、矩阵的定义在开始讨论矩阵的运算知识点之前，首先需要了解矩阵的定义。

矩阵是由数个数按矩形排列组成的数组。

一般地，我们定义一个m×n矩阵A为一个m行n列的数组，其中每个元素aij（i行j列的元素）都是一个实数。

数学上通常用大写字母A、B、C、...表示矩阵。

例如，一个3×2矩阵可以表示为：A = [a11 a12a21 a22a31 a32]其中，a11、a12、a21、a22、a31、a32是矩阵的元素。

二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法当两个矩阵具有相同的行数和列数时，它们可以相加。

矩阵相加是将对应位置的元素相加得到新的矩阵。

例如，对于矩阵A和矩阵B相加，结果矩阵C的第i行第j列元素为：cij = aij + bij。

2. 矩阵的减法矩阵的减法定义与加法类似，对应位置的元素相减得到新的矩阵。

例如，对于矩阵A和矩阵B相减，结果矩阵C的第i行第j列元素为：cij = aij - bij。

3. 矩阵的数量乘法矩阵与一个实数相乘，是将矩阵的每个元素都乘以该实数。

例如，对于矩阵A和实数k相乘，结果矩阵B的元素为：bij = k * aij。

4. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行列互换得到新的矩阵。

例如，对于矩阵A的转置矩阵AT，有AT 的第i行第j列元素为A的第j行第i列元素。

5. 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中最重要的部分。

两个矩阵的乘法只有在满足第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才能进行。

如果A是一个m×p的矩阵，B是一个p×n的矩阵，它们的乘积为一个m×n的矩阵C。

矩阵的乘法运算过程中，结果矩阵C的第i行第j列元素为：cij = a(i,1)b(1,j) + a(i,2)b(2,j) + ... + a(i,p)b(p,j)。

以上就是矩阵的基本运算，矩阵运算的内容很广泛，包括了基本运算，特殊矩阵运算和矩阵运算的性质定理等。

第二讲 矩 阵一、矩阵的概念及其基本运算 1. 矩阵及其表示 ()()ij ijm n m na A a A ⨯⨯或或或基本矩阵:行矩阵 ()12,,,n A a a a =列矩阵 12n a a A a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭零矩阵 000000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭负矩阵 111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ∆---⎛⎫⎪---⎪=- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭方阵()ij n nA a ⨯=⊃()()()()()()0 00 1, ij ij ij ii ii ij jia i j a i j a i j a a i a i a a i j =∀>=∀<=∀≠⊃=∀⊃=∀=∀上三角矩阵下三角矩阵对角矩阵数量矩阵单位矩阵对称矩阵 (),ij ji a a i j ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=-∀⎪⎩反对称矩阵 特殊矩阵:可交换矩阵 AB BA =例如: 数量矩阵与任何同阶方阵都是可交换矩阵, 即()()kE A A kE =秩1矩阵 例如: 不为零的行矩阵和列矩阵21ni i a αα='=∑2112122122212n n n n n a a a a a a aa a a a a a a a αα⎛⎫⎪ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 其中()12,,,TT n a a a αο=≠2. 基本运算及其运算规律 相等 (1,2,,,1,2,,)ij ij a b i m j n ===A B B A =⇔= (交换律）, A B B C A C ==⇒= (传递律）加法 ()()()ijij ij ij m nm nm na b a b ⨯⨯⨯+=+A B B A +=+ (交换律）()()A B C A B C ++=++(结合律)()A O A A A O+=+-= (零矩阵的作用)数乘法 ()()ijij m nm nk a ka ⨯⨯=()()()()1A Akl A k lA k l A kA lA k A B kA lA==+=++=+（分配律）乘法 ()()()ijijij m pp nm na b c ⨯⨯⨯= （其中1pij ik kjk c a b==∑）()()AB C A BC =（结合律）()()()k AB kA B A kB ==（结合律） ()A B C AB AC +=+（左分配律）()A B C AC BC +=+（右分配律）m n n m m n m n A E E A A ⨯⨯⨯==（单位矩阵的乘法作用）m n n p m p p m m n p n A O O O A O ⨯⨯⨯⨯⨯⨯== (零矩阵的乘法作用)()()1 ,k k k l k llk kl kk k A A A A A A A A AB BA AB A B k l -+=====方阵的幂的性质)若则(以上与皆为正整数)(矩阵的转置 ()()T ijji m nn mA a A a ⨯⨯=⇒=()()()()TT TT T TTT TA AA B A B kA kA AB B A =+=+'==* 相等与加法运算的条件 * 乘法运算的条件* 乘法没有交换律 (例2.3, 例2.4, 例2.5)消去律 (例2.7)幂零律 (例如: 211,11A A O ⎛⎫==⎪--⎝⎭)3. 矩阵应用用矩阵表示线性变换 Y AX = 用矩阵表示线性方程组 AX B =二、逆矩阵1. 方阵行列式及其性质 方阵行列式 A A ⇒运算性质 TA A =11(0)n A AA A AAB BA A Bμμ--=≠===⋅2. 伴随矩阵及其性质伴随矩阵 1112121222*12Tn n n n nn A A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⇒⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭运算性质 **AA A A A E ==()()()()()***1*****2*1*(0)T T n n n A A kA k A k AB B A A AAA A---==≠===3. 逆矩阵及其性质若存在矩阵B , 使得AB BA E ==, 则称矩阵A 可逆, 称B 为A 的逆, 并记1B A -=.性质: 1)逆矩阵唯一.2)若,A B 是同阶可逆矩阵, 则AB 也是可逆矩阵, 且()111AB B A ---=.3)矩阵A 可逆的充要条件是0A ≠.且当0A ≠时, 11AA A-*=. 4)若A 可逆,数0k ≠, 则1*,,,T A A A kA -都可逆, 且()()()()()()11111**11111TT A A A A A A A AkA A k--------=====5)若A 可逆, 则()()()011(,)kk k k l k llk klA EA A A A A A A A k l ---+=====以上皆为整数4. 判定矩阵可逆的几个条件 (1)矩阵A 可逆的充要条件是0A ≠.(2)矩阵A 可逆的充要条件是, 存在矩阵B , 使得AB E BA E ==或. 5. 逆矩阵的计算方法(1)伴随矩阵法 当0A ≠时, 11AA A-*=. (2)初等变换法 ()()1 A E E A -→三、初等变换初等变换 P39初等矩阵 对单位矩阵实施一次初等变换后的矩阵 P39 初等矩阵有三种类型 []()(), P i j P i k P i j k +⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 初等矩阵是可逆矩阵 []()(),= 1 = 1P i j P i k k P i j k -+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦初等矩阵的逆矩阵分别为[][]()()()1111,=, = P i j P i j P i k P i P i j k P i j k k ---⎡⎤⎛⎫+=+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦初等变换的性质:定理1(P41 定理2.7)[],i j r r A B P i j A B ↔→⇔= （[],i jc c A B AP i j B ↔→⇔=）()()0i r kk A B P i k A B ⨯≠→⇔=⎡⎤⎣⎦ （()()0i c kk A B AP i k B ⨯≠→⇔=⎡⎤⎣⎦） (),i j r kr A B P i j k A B +→⇔=⎡⎤⎣⎦ （(),i jc kc A B AP i j k B +→⇔=⎡⎤⎣⎦）定理2(P44 定理 2.10) 任何矩阵A 都与形如rE O O O ⎛⎫⎪⎝⎭的矩阵等价（其中r 由A 唯一决定）. r E O O O ⎛⎫⎪⎝⎭称为矩阵A 的等价标准形. 推论（P44 定理2.12） 对于任意矩阵A , 一定存在可逆矩阵P Q 和, 使得r E O PAQ O O ⎛⎫=⎪⎝⎭. 推论（P44 定理2.11） 可逆矩阵的等价标准形是单位矩阵, 即可逆矩阵等于初等矩阵之积.6. 逆矩阵应用利用逆矩阵解线性方程组 01A AXB X A B ≠-==()()1A B E A B -→利用逆矩阵求逆线性变换 01A Y AX X A Y ≠-== 四、分块矩阵分块对角阵 12n A A A A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 其中(1,2,,)iA i n =是方阵分块对角阵的性质: (1) 12n A A A A =⋅;(2) 若0(1,2,,)i A i n ≠=, 则111121n A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 五、习题解答 1. P49 8. 提示: ()()()()()()112242222A E AE A E A E A E A E --+-=++-=-=()()()()()11122222442A E AE A E A E E E A E ---+-=++-=-+=2. P49 10.提示: 11010143100010143100100201001100201001001120010001120010X ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭010100100,001001010⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是第一种初等矩阵, 其逆是自己. 由定理2.7易得X . 3. P49 11.提示: ()()()()()111AB A B A E B A B A E A A E A E E E A E ---=+⇒-=⇒=-=--+=+-4. P50 13. 提示: ()()()()11111111nn P AP PAP P AP P AP P APP APP AP P A P --------===5. P49 12.提示: 运用P50 13.的结果：()1nP AP -=1n P A P -.6. P50 16.提示: 0***1A n n AA A E A A A A a ≠-=⇒== 7. P50 17. 提示: 设()ijn nA a ⨯=, 则0*210,1,,A nTTij j AA AA A E AA O a i n =====⇒==∑,A 是实数矩阵0,ij a ij A O ⇒=∀⇒=. 产生矛盾, 故0A ≠.8. P50 18. 证明: E A -可逆, 并求其逆. 提示: 方法一 验证法方法二 构造法假设E A -可逆, D 是其逆, 则()E A D E -=, 于是2232111k k k k D AD E AD A D A A D A D A A D A D A D E A A ----=-=-=+-==+++因此, E A -可逆, 且()11k E A E A A ---=+++.9. P50 19. 证明: E BA +可逆, 并求其逆. 提示: 方法一 验证法方法二 构造法假设E A -可逆, D 是其逆, 则()E A D E -=, 于是2232111k k k k D AD E AD A D A A D A D A A D A D A D E A A ----=-=-=+-==+++因此, E A -可逆, 且()11k E A E A A ---=+++.10. P50 22.结论: 与对角阵可交换的矩阵一定是对角阵. 11. P50 4结论: 上（下）三角矩阵的积是上（下）三角矩阵；对角矩阵的积是对角矩阵. 12. P51 5.提示: (1)一方面 12 =c c Amm nnn m m E B E BA B AE OE E E BA E BA --==⋅--另一方面 21 c c Bmm nn n E B E O AE AE AB E AB-=-=-(2)m n nE BE AB AE λλ-=121011() c c Am n n m n m m E BABOE E E BA E BAλλλλλλλλ-≠--=⋅-=-分块对角阵性质＝13. P51 6. 提示:()()()()()111211211211111111*********D CA B r A r r r r A Br A B E O EA B A O C D O E O D CA B CA E E O A A B D CA B CA D CA B CA O E D CA B CA D CA B -----------------------⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫+--- ⎪⎪ ⎪--⎝⎭六、知识扩展 1. 已知()11123,123αβ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 设A αβ'=, 求n A . 提示: ()()1nn nA αβαβαβ-'''==11111232332133312n n αβ--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪'== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2. 设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭, E 为2阶单位矩阵, 矩阵B 满足2BA B E =+, 求B . （2006 数四）提示: ()22BA B E B A E E =+⇒-=()111111221111B A E ---⎛⎫⎛⎫⇒=-== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭3. 设101020101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 而(2)n ≥为正整数, 求12n n A A --. （1999 数三 四） (答案: O )（可试着推测结果）提示:22020402202A A ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭()12222n n n A A A A A O --⇒-=-=4. 设010100001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 1B P AP -=, 其中P 为三阶可逆矩阵, 求200422B A -. (2004 数四) 提示: 24111A A E -⎛⎫⎪=-⇒=⇒ ⎪ ⎪⎝⎭200421200421232223.1B A P A P A P P A --⎛⎫⎪-=-=-= ⎪ ⎪-⎝⎭5. 设,,A B C 均为n 阶矩阵, 若,B E AB =+C A CA =+, 求B C -. （2005 数四） 提示: ()(),B E A E C E A A -=-=()() E A B C E A E A B C E-⎧⇒⎨--=-⎩⇒-=可逆 6. 设,,A B C 均为n 阶矩阵, 2,3A B ==-, 求*12A B-. （1998 数四） (答案: 2123n --)提示: 1*1*11222n n n A BA B AB---=⋅=. 7. 设矩阵211,3223A B A A E -⎡⎤==-+⎢⎥⎣⎦, 求1B -. （2002 数四）提示: 方法一 先求出B , 再计算1B -方法二 由232B A A E =-+()()()()11122B A E A E B A E A E ---⇒=--⇒=--8. 设A 是任一(3)n n ≥阶方阵, k 为常数, 求()*kA . （1998 数二）提示: 方法一 因为kA 的余子式1n ij ij A k A -=, 故()*1*n kA k A -=.方法二 加强条件法 如果是选择题, 可设A 可逆, 0k ≠, 则()()*111*1n n kA kA kA k A A k A k---==⋅=. 9. 已知n 阶矩阵,A B 满足1()()B E A E A -=+-,证明: E B +可逆, 并求其逆. 若1000230004500067A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦, 求1()E B -+. （2000 数二） 提示: 方法一 1()()B E A E A -=+-,()()()22B AB E A E A B E A E E A E B E⇒+=-⇒+++=⇒++= 故E B +可逆, 且()()112E B E A -+=+. 方法二 1()()B E A E A -=+-,()111()(2)2()2()B E A E E A B E A E B E E A ---⇒=+-+⇒=+-⇒+=+故E B +可逆, 且()()112E B E A -+=+. 10. 已知矩阵,A B 满足124A B B E -=-, 证明矩阵2A E -可逆. 若120120002B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求矩阵A .（2000 数二）提示: 由124A B B E -=-()()()()242428248AB B AA EB A E E A E B E E⇒-=⇒-=-+⇒--= 故2A E -可逆. 且()1284A E B E -=+-=11. 设矩阵X 满足*12,A X A X -=+ 求矩阵X . （1999 数二）提示: 由*12,A X A X -=+()()1222A X E AX A E A X E X A E A -⇒=+⇒-=⇒=- 12. 设矩阵A 的伴随矩阵*100001001010038A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 且113,ABA BA E --=+ 求矩阵B . (2000 数一) 提示: 113,ABA BA E --=+()()()()1*11**33333()n AB B A A E B A E A B E A E A B A E B A A E A A A---⇒-=⇒-=⇒-=⇒-=⇒=-=13. 矩阵X 满足AXA BXB AXB BXA E +=++, 矩阵100011110,101111110A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 求X . （2001数二）14. 已知n 阶矩阵,A B 满足条件AB B A -=, 求A . (若120210002B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦) (1999 数四） 提示: 由AB B A -=()()()1A EB E E A E B E -⇒--⇒=+-=15. 设矩阵,A B 满足关系式2AB A B =+, 求矩阵B . (若423110123A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 求B ) （1987 数三 四）16. 设矩阵,A B 满足*28A BA BA E =-, 求B .(若100020001A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求B ) （1998 数三 四）提示: 方法一*28A BA BA E =-,()()()**128(2,)2882A E BA E A E A B A E A BA A B A E A -⇒-=--⇒-=-⇒=--故，可逆方法二 若A 已知, 则A 必是可逆矩阵（方法一）, 则()()*11128282882A BA BA E A A B B A A E A B E B A E A ---=-⇒=-⇒-=-⇒=--17. 设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 求满足AQ C =的可逆矩阵Q . （2004 数一）提示: 因为3212,c c c c A B B C +↔→→, 所以()()()1,2,3,21AP B BP C ==()()()()()()0111,23,211,23,21100001AP P C Q P P ⎛⎫⎪⇒=⇒== ⎪ ⎪⎝⎭.18. 设A 为3阶矩阵, 将A 第2行加到第1行得B , 再将B 的第1列的-1倍加到第2列得到C , 记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 则（A ）1C P AP -=; (B )1C PAP -=; (C )TC P AP =; (D )TC PAP =. （2006 数一）(答案: B ) 提示:11211121,r r c c r r c c A B B C A C +-+-→→⇒→1C PAP -∴=19. 设212223111213311132123313a a a B a a a a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭, 111213212223313233,a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭试给出,A B 间的关系式. 并证明,A B 同时可逆或同时不可逆.提示:1232r r r r A B ↔+→()()() 3,211,2 B P P A B A∴==-20. 设A 为()2n n ≥阶可逆矩阵, 交换A 的第1行与第2行得矩阵B , **,A B 分别为,A B 的伴随矩阵, 证明: 交换*A 的第1列与第2列得矩阵*B -. （2005 数一 二）。

高等数学矩阵矩阵是高等数学中的重要概念之一，它在代数学、线性代数以及其他数学领域中起着重要作用。

矩阵由行和列组成，其中每个元素都可以是数字、符号或者是其他矩阵。

在本文中，我们将介绍矩阵的基本概念、运算规则以及一些常见的矩阵类型。

一、矩阵的基本概念矩阵是由m行n列的元素所组成的矩形阵列。

其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。

我们用大写字母来表示矩阵，比如A、B 等。

矩阵中的每个元素用小写字母加上下标来表示，比如a11表示矩阵A中第一行第一列的元素。

二、矩阵的运算规则1. 矩阵的加法：对应位置的元素相加，结果为一个新的矩阵，其行列数与原矩阵相同。

2. 矩阵的减法：对应位置的元素相减，结果为一个新的矩阵，其行列数与原矩阵相同。

3. 矩阵的乘法：矩阵乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。

矩阵相乘的结果为一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

4. 矩阵的数乘：将矩阵的每个元素与一个数相乘，结果为一个新的矩阵，其行列数与原矩阵相同。

三、常见的矩阵类型1. 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，记作O。

2. 单位矩阵：主对角线上的元素为1，其余元素为0的矩阵，记作I。

3. 方阵：行数等于列数的矩阵称为方阵。

4. 对角矩阵：主对角线以外的元素都为0的矩阵。

5. 上三角矩阵：主对角线及其以下的元素都不为0的矩阵。

6. 下三角矩阵：主对角线及其以上的元素都不为0的矩阵。

四、矩阵的应用领域1. 线性代数：矩阵在线性代数中起着至关重要的作用，它可以用来表示线性方程组、向量空间以及线性变换等概念。

2. 统计学：矩阵在统计学中用于处理大量的数据，如多元线性回归、主成分分析等。

3. 物理学：矩阵在物理学中用于描述物体的状态、运动以及相互作用等。

4. 电脑图形学：矩阵在电脑图形学中用于表示图像的变换、旋转、缩放等操作。

总结：矩阵作为高等数学中的重要概念，其应用广泛且不可忽视。

我们在学习和应用矩阵时，需要掌握矩阵的基本概念和运算规则，了解常见的矩阵类型，并将其运用于各个领域中。

高中数学中的矩阵定义及其运算法则矩阵是一种常见的数学工具，可以描述线性方程组、向量、转化为矢量空间等等。

在高中数学中，矩阵是一个重要的概念。

本文将会引导您深入了解矩阵的定义、性质及其运算法则。

一、矩阵的定义矩阵可以用一个矩形的数字表格表示，该表格中的每一个数字称为矩阵的一个元素。

矩阵的大小由它的行数和列数来确定。

例如，一个名为A的矩阵可以写作：A = [a11 a12 a13][a21 a22 a23][a31 a32 a33]在上面的矩阵中，a11、a12、a13等数字是矩阵的元素，第一行的三个数字是第一行中的三个元素。

同样，第一列的三个数字是第一列中的三个元素。

二、矩阵的特殊矩阵有几种特殊的矩阵在高中数学中具有重要的地位，下面是其中一些：1. 零矩阵零矩阵也称为零矩阵或零矩阵，表示所有元素都是0。

例如：0 0 00 0 00 0 02. 单位矩阵单位矩阵也称为单位矩阵或标准矩阵，表示矩阵的对角线上的元素都是1和其他元素都是0。

例如：1 0 00 1 00 0 13. 对称矩阵如果一个矩阵A等于其转置矩阵AT，则称矩阵A是对称矩阵。

例如：1 2 32 0 43 4 5三、矩阵的运算法则在高中数学中，矩阵的运算法则包括加法、减法、数与矩阵的乘法和矩阵之间的乘法。

这里将一一介绍。

1. 矩阵的加法矩阵的加法规则很简单，对应元素相加。

例如，如果有两个矩阵A和B：A = [1 2 3]B = [2 4 6][4 5 6] [2 2 2][7 8 9] [1 1 1]A和B的和是：A +B = [3 6 9][6 7 8][8 9 10]2. 矩阵的减法矩阵的减法规则也很简单，对应元素相减。

例如，如果有两个矩阵A和B：A = [1 2 3]B = [2 4 6][4 5 6] [2 2 2][7 8 9] [1 1 1]A和B的差是：A -B = [-1 -2 -3][2 3 4][6 7 8]3. 数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法非常简单，只需要将每个元素乘以该数即可。

矩阵的基本概念与运算矩阵是线性代数学科中的基础工具，这是因为矩阵可以用来表示线性变换和线性方程组。

对于矩阵的基本概念与运算，我们需要从以下几个方面来分析。

一、矩阵的基本概念1、定义与记法矩阵是一个由m行n列元素排成的矩形阵列，常用大写字母表示，如A、B、C等。

其中，阵列中的m表示矩阵的行数，n则表示矩阵的列数。

因此，一个m行n列的矩阵可以写成：$A_{m×n}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}& \cdots&a_{mn}\\\end{bmatrix}$其中，$a_{ij}$ 表示矩阵 A 中第 i 行第 j 列的元素。

2、矩阵的类型按照元素类型可以将矩阵分为实矩阵、复矩阵和布尔矩阵等。

按照矩阵的形状，矩阵可以分为方矩阵、长方矩阵和列矩阵等。

二、矩阵的基本运算1、矩阵的加法假设有两个矩阵 $A_{m×n}$ 和 $B_{m×n}$，它们对应位置相加的结果记作 $C=A+B$，则：$C_{ij}=A_{ij}+B_{ij}$2、矩阵的数乘假设有一个矩阵 $A_{m×n}$ 和一个数 $\lambda$，则它们的乘积记作 $B=\lambda A$，则：$B_{ij}=\lambda A_{ij}$3、矩阵的乘法假设有两个矩阵 $A_{m×n}$ 和 $B_{n×p}$，它们的乘积记作$C=AB$，则：$C_{ij}=\sum_{k=1}^n A_{ik}B_{kj}$矩阵乘法需要满足结合律，但不满足交换律，也就是说，$AB$ 与 $BA$ 不一定相等。

矩阵的性质与运算法则矩阵作为数学中的重要概念，在现代科学技术发展中起到了举足轻重的作用。

在线性代数、图像处理、机器学习等领域中都有广泛的应用。

本文将讨论矩阵的性质与运算法则，包括矩阵的基本概念、运算法则、矩阵转置、矩阵乘法、矩阵求逆等内容。

矩阵的基本概念矩阵是由数个行列组成的方便计算的数学对象，一般用大写字母表示。

矩阵按照元素个数和元素类型的不同，可以分为实数矩阵和复数矩阵两种。

一个m×n的矩阵，可以用两个下标i和j（1≤i≤m,1≤j≤n）来表示矩阵中的每个元素，其中i表示该元素所在的行数，j表示该元素所在的列数。

矩阵的运算法则矩阵加减法是一种常见的矩阵运算法则。

对于同型的两个矩阵A和B，它们的和矩阵C的每个元素Cij= Aij+ Bij。

矩阵加减法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。

矩阵转置矩阵转置是把一个矩阵的行与列对换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。

对于一个m×n的矩阵A，其转置矩阵AT为一个n×m的矩阵，其中ATij= Aji。

矩阵转置有以下性质：(AT)T=A，(AB)T=BTAT，(A+B)T=AT+BT。

矩阵乘法矩阵乘法是矩阵运算中比较重要的一种计算方法。

对于两个矩阵A和B，如果A的列数等于B的行数（即A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵），则可以定义A和B的乘积C为一个m×p的矩阵，其中Cij=Σk=1nAikBkj。

矩阵乘法不满足交换律，即AB≠BA，但满足结合律，即A(BC)=(AB)C。

矩阵求逆矩阵求逆是指对于一个可逆矩阵A，求出其逆矩阵A-1，使得AA-1= A-1A=I，其中I为单位矩阵。

只有方阵才能求逆，且只有行列式不为0的矩阵才是可逆矩阵。

矩阵求逆有以下性质：(A-1)-1=A，(AB)-1=B-1A-1，(AT)-1=(A-1)T。

总结矩阵的性质与运算法则一般是线性代数中必须掌握的内容。

矩阵的定义及其运算规则矩阵是数学中的一种重要工具，用于表示数字和符号的矩形阵列。

矩阵由m行n列的数字或符号排列组成，每个数字或符号称为矩阵的元素。

矩阵通常用大写字母表示，例如A，B，C等。

矩阵的大小由它的行数和列数决定，并用m×n表示。

矩阵的运算规则包括加法、减法、数乘和乘法四种运算。

1.加法：对应位置上的元素相加对于相同大小的两个矩阵A和B，它们的加法定义如下：A+B=C其中C的元素由对应位置上的两个矩阵元素相加得到。

2.减法：对应位置上的元素相减对于相同大小的两个矩阵A和B，它们的减法定义如下：A-B=D其中D的元素由对应位置上的两个矩阵元素相减得到。

3.数乘：矩阵的每个元素与一个标量相乘对于一个矩阵A和一个实数k，它们的数乘定义如下：kA=E其中E的元素由矩阵A的每个元素与k相乘得到。

4.乘法：矩阵的行与列的对应元素相乘后求和对于两个矩阵A（m×n）和B（n×p），它们的乘法定义如下：AB=F其中F是一个m×p的矩阵，F的每个元素由矩阵A的其中一行与矩阵B的对应列的元素相乘后求和得到。

矩阵的运算满足以下一些基本性质：1.加法的交换律：A+B=B+A2.加法的结合律：(A+B)+C=A+(B+C)3.加法的零元素：存在一个零矩阵O，满足A+O=A4.减法的定义：A-B=A+(-B)5.数乘的结合律：(k1k2)A=k1(k2A)6.数乘的分配律：(k1+k2)A=k1A+k2A7.数乘的分配律：k(A+B)=kA+kB8.乘法的结合律：(AB)C=A(BC)9.乘法的分配律：A(B+C)=AB+AC和(A+B)C=AC+BC10.乘法的分配律：k(AB)=(kA)B=A(kB)矩阵的运算在应用中具有广泛的应用，包括线性代数、计算机图形学、优化、概率论等。

通过矩阵的运算规则，可以对线性方程组进行求解、描述线性变换、优化问题、图像处理等。

矩阵的运算规则是学习线性代数和其他数学领域的重要基础知识。

东北大学高数教材解析
东北大学高数教材解析
一、微积分方面
1.微积分的概念：微积分是数学中对函数的一种分析，它给出了函数的变化趋势，通过研究函数的极限、连续性、微分、积分，使我们充分了解函数的性质和研究函数的应用。

2.推导公式：为了更清晰地观察函数的变化趋势，我们要推出有关微积分的各种公式，如极限的定义，导数的定义，导数的求法，积分的定义，积分的求法等等，建立适当的函数关系模型，根据不同情况进行分析和求解。

3.应用：微积分一般应用于物理、化学、数学、经济学等各种学科，需要我们了解函数的变化趋势，进行曲线拟合、最优化分析等，来达到对问题的求解。

二、线性代数方面
1.矩阵的概念：矩阵是数学中的一种表示数据的方法，它可以有效地表示向量和线性变换的关系，是线性代数学科的基础。

2.求解方法：矩阵是线性代数学科解决多元函数的基础工具，因此，为了更好地解决复杂的多元函数，我们还可以使用矩阵对其进行求解，
具体可以使用行列式求解，行列式展开求解，向量分析，矩阵逆的求解，联立方程的求解等。

3.应用：矩阵在线性代数学科中应用较为广泛，它可以用于系统稳定分析、概率统计、状态估计、最优解决方案的求取、多项式的拟合等。

三、概率论方面
1.概率的概念：概率是研究不确定事件出现的可能性，是数量和因素关系的描述，它具有客观性和可测性，是研究统计数据分析的重要工具。

2.概率模型：概率模型是研究不确定事件出现的可能性时具有重要意义，比如伯努利模型，二项式模型，多项式模型，泊松模型，正态模型等，都可以用于概率分析。

3.应用：概率论在模拟、统计学、信息科学、经济学等多个领域都有着广泛的应用，它可以用于模拟实际问题，统计分析数据，评估风险，
预测可能性等。

矩阵的基本运算与性质知识点矩阵是线性代数中重要的概念之一，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。

本文将介绍矩阵的基本运算与性质知识点，包括矩阵的定义、加法、数乘、乘法、转置、逆矩阵等内容。

一、矩阵的定义矩阵是由m行n列数字组成的一个矩形数组，通常用大写字母表示。

其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。

例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：A = [a11 a12a21 a22a31 a32]其中a11, a12, a21等表示矩阵中的元素。

二、矩阵的加法对于两个同型矩阵A和B，即行数和列数相等的矩阵，可以进行加法运算。

加法的结果是一个同型矩阵C，其每个元素等于相应位置的两个矩阵元素之和。

例如，对于两个3行2列的矩阵A和B，其加法C可以表示为：C = A + B = [a11 + b11 a12 + b12a21 + b21 a22 + b22a31 + b31 a32 + b32]三、矩阵的数乘矩阵的数乘是指将一个数与矩阵的每个元素相乘。

结果是一个与原矩阵同型的矩阵。

例如，将一个3行2列的矩阵A乘以一个数k，得到的结果可以表示为：C = kA = [ka11 ka12ka21 ka22ka31 ka32]四、矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个m行n列的矩阵A与一个n行p列的矩阵B 相乘，得到一个m行p列的矩阵C。

矩阵乘法的定义是，C的第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。

例如，对于一个2行3列的矩阵A和一个3行2列的矩阵B，其乘法C可以表示为：C = AB = [a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12b22 + a13b32a21b11 + a22b21 + a23b31 a21b12 + a22b22 + a23b32]五、矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列对换得到的新矩阵。

如果原矩阵为A，转置后的矩阵表示为A^T。

例如，对于一个3行2列的矩阵A，其转置矩阵表示为：A^T = [a11 a21 a31a12 a22 a32]六、逆矩阵对于一个n阶矩阵A，如果存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称矩阵A可逆，矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^-1。

第一讲 矩阵概念及运算一、矩阵概念矩阵是本课程的一个重要概念，在生产活动和日常生活中，我们常常用数表表示一些量或关系，如工厂中的产量统计表，市场上的价目表等等.例1 某户居民第二季度每个月水（单位：吨）、电（单位：千瓦时）、天然气（单位：立方米）的使用情况，可以用一个三行三列的数表表示为 水 电 气⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡16210101519010141659由例1以及教材中的例子可以看到，对于不同的问题可以用不同的数表来表示，我们将这些数表统称为矩阵.定义2.1 有m ⨯n 个数排列成一个m 行n 列，并括以方括弧（或圆括弧）的数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211 称为m 行n 列矩阵，简称m ⨯n 矩阵.矩阵通常用大写字母A , B , C …表示. 记作[]n m ij a A ⨯=其中a ij (i = 1, 2, …, m ；j = 1, 2, …, n )称为矩阵A 的第i 行第j 列元素. 注：矩阵的行数m 与列数n 可能相等，也可能不等. 特别地，当m = 1时，即A = []n a a a 11211 称为行矩阵.当n = 1时，即A = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡12111m a a a称为列矩阵.当m = n 时，即A = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 称为n 阶矩阵，或n 阶方阵. (再介绍几个特殊矩阵)所有元素全为零的m ⨯n 矩阵，称为零矩阵，记作O m n ⨯或O .例如4月5月 6月43⨯O =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000000000主对角线上的元素是1，其余元素全部是零的n 阶矩阵，称为n 阶单位矩阵，记作I n 或I . 如E 2 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001， E 3 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001（零矩阵和单位矩阵在下面的矩阵运算中，将起着类似于数0和数1在数的加法和乘法中的作用.）二、矩阵运算（对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容.） 1．相等定义2.2 如果两个矩阵[]n m ij a A ⨯=，[]p s ij b B ⨯=满足：(1) 行、列数相同，即 p n s m ==,；(2) 对应元素相等，即a ij = b ij (i = 1, 2, …, m ；j = 1, 2, …, n )， 则称矩阵A 与矩阵B 相等，记作 A = B （由定义2.2可知，用等式表示两个m ⨯n 矩阵相等，等价于元素之间的m ⨯n 个等式.）例如，矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡232221131211a a a a a a ，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--412503 那么A = B ，当且仅当a 11 = 3，a 12 = 0，a 13 = -5，a 21 = -2，a 22 = 1，a 23 = 4而C = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211c c c c 因为B , C 这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵C 中的元素c 11, c 12, c 21, c 22取什么数都不会与矩阵B 相等.2．加法定义2.3 设[]n m ij a A ⨯=，[]p s ij b B ⨯=是两个m ⨯n 矩阵，则称矩阵C = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a221122222221211112121111为A 与B 的和，记作C = A + B = []ij ij b a +（由定义2.3可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.） 同样，我们可以定义矩阵的减法：D = A - B = A + (-B ) =[]ij ij b a - 称D 为A 与B 的差.例2 设矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---152403，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--130432 求A + B ，A - B .解A +B = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---152403+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--130432 = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-+-+11)3(5024430)2(3=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-022031A -B = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---152403-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--130432 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----------11)3(5024430)2(3=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----282835矩阵加法满足的运算规则是什么？设A , B , C , O 都是m ⨯n 矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则 1. 加法交换律： A + B = B + A ； 2. 加法结合律： (A + B ) + C = A + (B + C ) ； 3. 零矩阵满足： A + O = A ； 4. 存在矩阵-A ，满足：A -A = A + (-A ) = O .3．数乘定义2.4 设矩阵[]n m ij a A ⨯=，λ为任意实数，则称矩阵[]n m ij c C ⨯=为数λ与矩阵A 的数乘，其中),2,1;,,2,1(n j m i a c ij ij ===λ，记为C =λA（由定义2.4可知，数λ乘一个矩阵A ，需要用数λ去乘矩阵A 的每一个元素.特别地，当λ = -1时，λA = -A ，得到A 的负矩阵.）例3 设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--062504713那么，用2去乘矩阵A ，可以得到2⨯A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯0262225202)4(272)1(232=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--012410081426数乘矩阵满足的运算规则是什么？对数k , l 和矩阵A = []n m ij a ⨯，B =[]n m ij b ⨯满足以下运算规则：1. 数对矩阵的分配律：k (A + B ) = kA + kB ；2. 矩阵对数的分配律：( k + l ) A = kA + lA ；3. 数与矩阵的结合律：( k l ) A = k (lA ) = l (kA ) ；4. 数1与矩阵满足： 1A = A .例4 设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-610523，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--712834，求3A - 2B . 解 先做矩阵的数乘运算3A 和2B ，然后求矩阵3A 与2B 的差. 3A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯⨯⨯-⨯⨯63130353)2(333= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-18301569 2B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯72)1(22282)3(242= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--14241668 ∴ 3A - 2B = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-18301569-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--14241668= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--4541014．乘法某地区甲、乙、丙三家商场同时销售两种品牌的家用电器，如果用矩阵A 表示各商场销售这两种家用电器的日平均销售量（单位：台），用B 表示两种家用电器的单位售价（单位：千元）和单位利润（单位：千元）： I II 单价 利润A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡91811251020 B = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2.158.05.3 用矩阵C = []23⨯ijc 表示这三家商场销售两种家用电器的每日总收入和总利润，那么C 中的元素分别为c c c 112131203510512025351151425183595108=⨯+⨯==⨯+⨯==⨯+⨯=⎧⎨⎪⎩⎪.... ，c c c 1222322008101228250811123321808912252=⨯+⨯==⨯+⨯==⨯+⨯=⎧⎨⎪⎩⎪........ 即C =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡323122211211c c c c c c = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯2.198.018595.3182.1118.0255115.3252.1108.0205105.320 甲乙 丙 I II总 收 入 总利 润=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2.251082.335.14228120其中，矩阵C 中的第i 行第j 列的元素是矩阵A 第i 行元素与矩阵B 第j 列对应元素的乘积之和.定义2.5 设A =[]ij a 是一个m ⨯s 矩阵，B =[]ij b 是一个s ⨯n 矩阵，则称m ⨯n矩阵C =[]ij c 为矩阵A 与B 的乘积，记作 C = AB .其中c ij = a i 1b 1 j + a i 2b 2 j + … + a i s b s j =a b ik kj k s-∑1 (i = 1, 2, …, m ；j = 1, 2, …, n ).（由定义2.5可知：）(1) 只有当左矩阵A 的列数等于右矩阵B 的行数时，A , B 才能作乘法运算AB ；(2) 两个矩阵的乘积AB 亦是矩阵，它的行数等于左矩阵A 的行数，它的列数等于右矩阵B 的列数；(3) 乘积矩阵AB 中的第i 行第j 列的元素等于A 的第i 行元素与B 的第j 列对应元素的乘积之和，故简称行乘列的法则.例5 设矩阵 A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--530412， B = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--10789，计算AB . 解 AB = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--530412⎥⎦⎤⎢⎣⎡--10789 = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯+-⨯-⨯+⨯⨯+-⨯--⨯+⨯-⨯-+-⨯-⨯-+⨯105)8(3)7(59310)8(4)7(09410)1()8(2)7()1(92= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---26832362625在例5中，能否计算BA ？由于矩阵B 有2列，矩阵A 有3行，B 的列数≠A 的行数，所以BA 是无意义的.例6 设矩阵 A = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2142，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1122， 求AB 和BA . 解 AB = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2142⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1122 = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+-⨯-⨯+⨯⨯+-⨯-⨯+⨯12)2(1)1(22114)2(2)1(422 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0000BA = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1122⎥⎦⎤⎢⎣⎡2142= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯-⨯+⨯-⨯-+⨯⨯-+⨯214111212)2(421)2(22 = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2142由例5、例6可知，当乘积矩阵AB 有意义时，BA 不一定有意义；即使乘积矩阵AB 和BA 有意义时，AB 和BA 也不一定相等.因此，矩阵乘法不满足交换律，在以后进行矩阵乘法时，一定要注意乘法的次序，不能随意改变.在例6中矩阵A 和B 都是非零矩阵（A ≠O , B ≠O ）,但是矩阵A 和B 的乘积矩阵AB 是一个零矩阵（AB = O ），即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.因此，当AB = O ，不能得出A 和B 中至少有一个是零矩阵的结论.一般地，当乘积矩阵AB = AC ，且A ≠O 时，不能消去矩阵A ，而得到B = C .这说明矩阵乘法也不满足消去律.那么矩阵乘法满足哪些运算规则呢？矩阵乘法满足下列运算规则： 1. 乘法结合律：（AB ）C = A （BC ）； 2. 左乘分配律：A （B + C ） = AB + AC ； 右乘分配律：（B + C ）A = BA + CA ； 3. 数乘结合律：k （AB ）= （k A ）B = A （k B ），其中k 是一个常数.5．转置定义2.6 把将一个m ⨯n 矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211 的行和列按顺序互换得到的n ⨯m 矩阵，称为A 的转置矩阵，记作A '，即A ' = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn n nm m a a a a a a a a a 212221212111 由定义2.6可知，转置矩阵A '的第i 行第j 列的元素等于矩阵A 的第j 行第i 列的元素，简记为A '的（i ，j ）元 = A 的（j ，i ）元矩阵的转置满足下列运算规则： 1. )(''A = A ；2. )('+B A =A ' +B '；3. )('kA = k A ' , ( k 为实数)；4. )('AB =B 'A '.运算规则1—3都容易验证.若要了解运算规则4的证明4. )('AB =B 'A '. 证 设矩阵A =[]ij a 是m ⨯s 矩阵，B =[]ij b 是s ⨯n 矩阵，那么AB 是m ⨯n 矩阵， )('AB 是n ⨯m 矩阵；同样B '是n ⨯s 矩阵，A '是s ⨯m 矩阵，那么B 'A '是n ⨯m 矩阵.)('AB 的(,)i j 元 = AB 的(,)j i 元 =a b jk ki k s=∑1B T A T的(,)i j 元 =[(,)][(,)]Bi k A k j TT k s的元的元=∑1=[(,)][(,)]B k i A j k k s 的元的元=∑1=b a ki jk k s=∑1=a b jk ki k s=∑1∴ (AB )T 的(,)i j 元 = B T A T的(,)i j 元，（i =1, 2, …, n ；j =1, 2, …, m ）. 故矩阵转置满足 ( AB )T =B T A T .例7 设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--232014，B = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4312，验证矩阵)('AB =B 'A '. 解 AB = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--232014⎥⎦⎤⎢⎣⎡4312=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡508605，)('AB = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡580065 且A '= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--221304，B '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4122 B 'A '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4122⎥⎦⎤⎢⎣⎡--221304=⎥⎦⎤⎢⎣⎡580065 ∴ )('AB =560085⎛⎝ ⎫⎭⎪= B 'A '例8 证明：)('ABC = A B C ''' 证 )('A B C =])[('C AB =)(''AB C =A B C '''（由例8可知，）矩阵转置的运算规则4可以推广到多个矩阵相乘的情况，即)(21'k A A A = 12A A A k'''。

矩阵知识点总结1. 矩阵的概念矩阵是数学中的一种特殊形式的数组，是由m×n个数排成m行、n列所组成的数表。

矩阵通常用大写字母表示，例如A、B、C等。

其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。

矩阵中的每个数称为元素，用小写字母表示，如a[i][j]表示矩阵A中第i行第j列的元素。

2. 矩阵的基本性质(1) 矩阵的相等：两个矩阵A和B相等，当且仅当它们的对应元素都相等，即A[i][j]=B[i][j]。

(2) 矩阵的加法和减法：两个矩阵A和B相加减的规则是对应元素相加减，即A[i][j] ±B[i][j]。

(3) 矩阵的数乘：矩阵A的数乘是指将A的每个元素都乘以同一个数k，即kA[i][j]。

(4) 矩阵的乘法：两个矩阵A和B的乘法不是对应元素相乘，而是按照特定的规则进行计算，具体的规则将在后面介绍。

3. 矩阵的运算(1) 矩阵的转置：矩阵A的转置记作A^T，就是将A的行和列互换得到的新矩阵。

即A^T[i][j]=A[j][i]。

(2) 矩阵的加法和减法：两个矩阵A和B相加减时，要求它们的行数和列数都相等，然后对应元素相加减。

(3) 矩阵的数乘：矩阵A的数乘是将A的每个元素都乘以同一个数k。

(4) 矩阵的乘法：矩阵A和矩阵B的乘法是指矩阵A的行与矩阵B的列进行内积运算，得到一个新的矩阵C。

其中，矩阵A的列数要等于矩阵B的行数，即A(m×n)B(n×p)=C(m×p)。

4. 矩阵的特殊类型(1) 方阵：行数和列数相等的矩阵称为方阵，通常用大写字母表示，如A、B、C等。

(2) 对角矩阵：只有主对角线上有非零元素的矩阵称为对角矩阵，其他位置的元素都为零。

(3) 单位矩阵：主对角线上的元素都为1，其他位置的元素都为0的n阶方阵称为单位矩阵，记作I。

(4) 零矩阵：所有元素都为0的矩阵称为零矩阵，通常用0表示。

5. 矩阵的应用(1) 线性方程组的解法：线性方程组可以通过矩阵的方法进行求解，将系数矩阵与未知数矩阵进行组合，然后通过矩阵的运算得到方程组的解。

矩阵的基本概念与运算一、矩阵的基本概念矩阵是线性代数中的一种基本工具，它是由一组数按照矩形排列而成的表格结构。

矩阵由行和列组成，行表示矩阵的水平方向，列表示矩阵的垂直方向。

一个m行n列的矩阵可记作A = [aij]，其中i代表行号，j代表列号，aij表示矩阵A在第i行第j列的元素。

二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法给定两个相同大小的矩阵A和B，它们的和矩阵C可以通过循环计算得到。

对应元素相加即可，即Ci,j = Ai,j + Bi,j。

2. 矩阵的数乘给定一个矩阵A和一个实数k，实数k与矩阵A的乘积矩阵B可以通过循环计算得到。

每个元素都乘以k，即Bi,j = k * Ai,j。

3. 矩阵的乘法矩阵的乘法涉及到两个矩阵A和B，前提是A的列数等于B的行数。

它们的乘积矩阵C可以通过循环计算得到。

行乘以列的规则是Ci,j = Σ(Ai,k * Bk,j)，其中k代表循环的次数，Σ表示累加求和。

三、矩阵的特殊类型1. 零矩阵全为零的矩阵称为零矩阵，记作0。

2. 单位矩阵主对角线上元素全为1，其余元素全为0的矩阵称为单位矩阵，记作I。

3. 对角矩阵除了主对角线上的元素外，其余元素都为零的矩阵称为对角矩阵。

4. 转置矩阵将矩阵A的行变成列，列变成行得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作A^T。

四、矩阵的性质与应用1. 可逆矩阵如果一个方阵A存在一个方阵B，使得AB=BA=I，那么矩阵A称为可逆矩阵。

可逆矩阵的逆矩阵记作A^-1。

2. 矩阵的秩一个矩阵的秩是指矩阵中非零行的最小数目。

秩反映了矩阵所包含的独立行或列的数量。

3. 矩阵的应用矩阵在许多科学和工程领域中都有广泛的应用，例如线性方程组的解法、图像处理、数据压缩、网络分析等。

五、总结矩阵是线性代数中重要的数学工具，由行和列组成。

矩阵的基本运算包括加法、数乘和乘法，可以通过循环计算得到。

矩阵的特殊类型包括零矩阵、单位矩阵、对角矩阵和转置矩阵。

可逆矩阵和秩是矩阵的重要性质。