高中数学 典型例题 指数对数的导数 新课标

(每日一练)高中数学第四章指数函数与对数函数知识总结例题高中数学第四章指数函数与对数函数知识总结例题单选题1、若2x =3，2y =4，则2x+y 的值为（ ） A ．7B ．10C ．12D ．34 答案：C分析：根据指数幂的运算性质直接进行求解即可. 因为2x =3，2y =4，所以2x+y =2x ⋅2y =3×4=12， 故选：C2、函数①y =a x ；②y =b x ；③y =c x ；④y =d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，√3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）A ．54，√3，13，12B ．√3，54，13，12C ．12，13，√3，54，D ．13，12，54，√3， 答案：C分析：根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.由题图，直线x =1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而√3>54>12>13. 故选：C ．3、已知函数f(x)={x −2,x ∈(−∞,0)lnx,x ∈(0,1)−x 2+4x −3,x ∈[1,+∞) ，若函数g(x)=f(x)−m 恰有两个零点，则实数m 不可能．．．是（ ）A ．−1B ．0C ．1D ．2 答案：D解析：依题意画出函数图象，函数g(x)=f(x)−m 的零点，转化为函数y =f(x)与函数y =m 的交点，数形结合即可求出参数m 的取值范围；解：因为f(x)={x −2,x ∈(−∞,0)lnx,x ∈(0,1)−x 2+4x −3,x ∈[1,+∞)，画出函数图象如下所示， 函数g(x)=f(x)−m 的有两个零点，即方程g(x)=f(x)−m =0有两个实数根，即f(x)=m ，即函数y =f(x)与函数y =m 有两个交点，由函数图象可得m ≤0或m =1，故选：D小提示：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．4、中国茶文化博大精深，某同学在茶艺选修课中了解到，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某种绿茶用80℃左右的水泡制可使茶汤清澈明亮，营养也较少破坏.为了方便控制水温，该同学联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是θ1℃，环境温度是θ0℃，则经过t分钟后物体的温度θ℃将满足θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.该同学通过多次测量平均值的方法得到初始温度为100℃的水在20℃的室温中，12分钟以后温度下降到50℃.则在上述条件下，100℃的水应大约冷却( )分钟冲泡该绿茶(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1)A．3B．3.6C．4D．4.8答案：B分析：根据题意求出k的值，再将θ＝80℃，θ1＝100℃，θ0＝20℃代入θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt即可求得t的值.由题可知：50=20+(100−20)e−12k⇒(e−k)12=38⇒e−k=(38)112，冲泡绿茶时水温为80℃，故80=20+(100−20)⋅e−kt⇒(e−k)t=34⇒t⋅ln e−k=ln34⇒t=ln 3 4ln(38)112=12(ln3−2ln2)ln3−3ln2≈12(1.1−2×0.7)1.1−3×0.7=3.6.故选：B.5、设函数f(x)=lg(x2+1)，则使得f(3x−2)>f(x−4)成立的x的取值范围为（）A．(13,1)B．(−1,32)C．(−∞,32)D．(−∞,−1)∪(32,+∞)答案：D分析：方法一 :求出f(3x−2),f(x−4)的解析式,直接带入求解.方法二 : 设t=x2+1，则y=lgt，判断出f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数,由f(3x−2)>f(x−4)得|3x−2|>|x−4|，解不等式即可求出答案.方法一 :∵f(x)=lg(x2+1)∴由f(3x−2)>f(x−4)得lg[(3x−2)2+1]>lg[(x−4)2+1]，则(3x−2)2+1>(x−4)2+1，解得x<−1或x>32.方法二 :根据题意，函数f(x)=lg(x2+1)，其定义域为R，有f(−x)=lg(x2+1)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，设t=x2+1，则y=lgt，在区间[0,+∞)上，t=x2+1为增函数且t≥1，y=lgt在区间[1,+∞)上为增函数，则f (x )=lg (x 2+1)在[0,+∞)上为增函数，f (3x −2)>f (x −4)⇒f (|3x −2|)>f (|x −4|)⇒|3x −2|>|x −4|， 解得x <−1或x >32，故选：D ．6、已知函数f(x)=3|x|+x 2+2，则f(2x −1)>f(3−x)的解集为（ ） A ．(−∞,43)B ．(43,+∞)C ．(−2,43)D ．(−∞,−2)∪(43,+∞) 答案：D分析：根据函数奇偶性可得f(x)为偶函数，根据解析式直接判断函数在[0,+∞)上的单调性，则可结合奇偶性与单调性解不等式得解集.解：因为f(x)=3|x|+x 2+2，则x ∈R所以f(−x)=3|−x|+(−x)2+2=3|x|+x 2+2=f(x)，则f(x)为偶函数，当x ⩾0时，f(x)=3x +x 2+2，又y =3x ，y =x 2+2在[0,+∞)上均为增函数，所以f(x)在[0,+∞)上为增函数，所以f(2x −1)>f(3−x)，即|2x −1|>|3−x|，解得x <−2或x >43， 所以f(2x −1)>f(3−x)的解集为(−∞,−2)∪(43,+∞).故选：D.7、已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )=2x +x 2，则f (2)+f (−1)=（ ） A ．11B ．5C ．−8D ．−5 答案：B分析：利用奇函数的定义直接计算作答.奇函数f (x )，当x >0时，f (x )=2x +x 2，所以f (2)+f (−1)=f(2)−f(1)=22+22−(21+12)=5. 故选：B8、已知函数f(x)={log 12x,x >0,a ⋅(13)x,x ≤0,若关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,0)∪(0,1)B ．(−∞,0)∪(1,+∞)C ．(−∞,0)D ．(0,1)∪(1,+∞) 答案：B分析：利用换元法设t =f (x )，则等价为f (t )=0有且只有一个实数根，分a <0,a =0,a >0 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a 的取值范围. 令f(x)=t ，则方程f[f(x)]=0等价于f(t)=0，当a =0时，此时当x ≤0时，f (x )=a ⋅(13)x=0，此时函数有无数个零点，不符合题意； 当a ≠0，则f(x)=a ⋅(13)x≠0，所以由f(t)=log 12t =0，得t =1，则关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根等价于关于x 的方程f(x)=1有且只有一个实数根，作出f(x)的图象如图：当a <0时，由图象可知直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，恒满足条件； 当a >0时，要使直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，则只需要当x ≤0时，直线y =1与f(x)=a ⋅(13)x的图象没有交点，因为x ≤0 时，f (x )=a ⋅(13)x∈[a,+∞)，此时f (x ) 最小值为a ，所以a >1，综上所述，实数a 的取值范围是(−∞,0)∪(1,+∞)， 故选：B.9、设m ，n 都是正整数，且n >1，若a >0，则不正确的是（ ） A ．a mn =√a m nB ．(a 12+a −12)2=a +a −1C ．a−m n=√a mnD ．a 0=1答案：B解析：由指数运算公式直接计算并判断. 由m ，n 都是正整数，且n >1，a >0，、得(a 12+a −12)2=(a 12)2+2a 12⋅a −12+(a −12)2=a +a −1+2，故B 选项错误， 故选：B.10、函数f (x )={|2x −1|,x ≤2−x +5,x >2，若函数g (x )=f (x )−t (t ∈R )有3个不同的零点a ，b ，c ，则2a +2b +2c的取值范围是（ ）A ．[16,32)B ．[16,34)C ．(18,32]D ．(18,34) 答案：D分析：作出函数y=f(x)的图象和直线y=t，它们的交点的横坐标即为g(x)的零点，利用图象得出a,b,c的性质、范围，从而可求得结论．作出函数y=f(x)的图象和直线y=t，它们的交点的横坐标即为g(x)的零点，如图，则1−2a=2b−1，4<c<5，2a+2b=2，2c∈(16,32)，所以18<2a+2b+2c<34．故选：D．小提示：关键点点睛：本题考查函数零点问题，解题关键是把函数零点转化为函数图象与直线的交点的横坐标，从而可通过作出函数图象与直线，得出零点的性质与范围．多选题11、设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a>0)，则下列说法正确的是（）A．若f(x)=x有实根，则方程f(f(x))=x有实根B．若f(x)=x无实根，则方程f(f(x))=x无实根)<0，则函数y=f(x)与y=f(f(x))都恰有2个零点C．若f(−b2a))<0，则函数y=f(x)与y=f(f(x))都恰有2零点D．若f(f(−b2a答案：ABD分析：直接利用代入法可判断A选项的正误；推导出f(x)−x>0对任意的x∈R恒成立，结合该不等式可判断B 选项的正误；取f (x )=x 2−x ，结合方程思想可判断C 选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断D 选项的正误.对于A 选项，设f (x )=x 有实根x =x 0，则f(f (x 0))=f (x 0)=x 0，A 选项正确； 对于B 选项，因为a >0，若方程f (x )=x 无实根，则f (x )−x >0对任意的x ∈R 恒成立， 故f(f (x ))>f (x )>x ，从而方程f(f (x ))=x 无实根，B 选项正确；对于C 选项，取f (x )=x 2−x ，则f (12)=−14<0，函数y =f (x )有两个零点， 则f(f (x ))=[f (x )]2−f (x )=0，可得f (x )=0或f (x )=1，即x 2−x =0或x 2−x =1. 解方程x 2−x =0可得x =0或1，解方程x 2−x −1=0，解得x =1±√52. 此时，函数y =f(f (x ))有4个零点，C 选项错误；对于D 选项，因为f (f (−b2a ))<0，设t =f (−b2a )，则t =f (x )min ， 因为f (t )<0且a >0，所以，函数f (x )必有两个零点，设为x 1、x 2且x 1<x 2， 则x 1<t <x 2，所以，方程f (x )=x 1无解，方程f (x )=x 2有两解，因此，若f (f (−b 2a))<0，则函数y =f (x )与y =f(f (x ))都恰有2零点，D 选项正确.故选：ABD.小提示：思路点睛：对于复合函数y =f [g (x )]的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数u =g (x )和外层函数y =f (u )； （2）确定外层函数y =f (u )的零点u =u i (i =1,2,3,⋯,n )；（3）确定直线u =u i (i =1,2,3,⋯,n )与内层函数u =g (x )图象的交点个数分别为a 1、a 2、a 3、⋯、a n ，则函数y =f [g (x )]的零点个数为a 1+a 2+a 3+⋯+a n .12、关于函数f(x)=ln(1+x)−ln(3−x)，下列结论正确的是（ ） A ．f(x)在(−1,3)上单调递增B ．y =f(x)的图象关于直线x =1对称 C ．y =f(x)的图象关于点（1，0）对称D ．f(x)的值域为R 答案：ACD分析：先求出函数f(x)的定义域，化简f(x)得f(x)=ln x+13−x ， 令t(x)=x+13−x ，根据复合函数的单调性和值域；化简函数得到f(1+x)=−f(1−x)，f(1+x)≠f(1−x)，所以得到y =f(x)的图象关于点（1，0）对称，最终得到答案.函数f(x)的定义域是（-1，3），f(x)=ln x+13−x ．令t(x)=x+13−x =−4x−3−1(x ≠3)，易知t(x)在（-1，3）上单调递增， 所以t(x)>t(−1)=0，所以f(x)=lnt(x)在（-1，3）上单调递增， 且值域为R ．故A ，D 正确．当x ∈(−2,2)时，1+x ∈(−1,3)，1−x ∈(−1,3)，f(1+x)=ln 2+x2−x ，f(1−x)=ln 2−x2+x ，所以f(1+x)=−f(1−x)，f(1+x)≠f(1−x)．所以y =f(x)的图象关于点（1，0）对称．故B 错误，C 正确.故选：ACD ．小提示：本题考查复合函数的性质，涉及到函数的单调性和对称性,属于基础题型.13、下列各式化简运算结果为1的是（ ） A ．log 53×log 32×log 25B ．lg √2+12lg5 C ．log √a a 2(a >0且a ≠1)D ．e ln3−(0.125)−13答案：AD分析：根据指对数的运算性质依次分析各选项即可得答案. 解：对于A 选项，原式=lg3lg5×lg2lg3×lg5lg2=1； 对于B 选项，原式=12lg2+12lg5=12lg(2×5)=12；对于C 选项，原式=2lg √a a =2×2=4； 对于D 选项，原式=3−813=3−2=1. 故选：AD.14、（多选）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1％，而这种溶液最初的杂质含量为2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477） A ．6B ．9C ．8D ．7 答案：BC分析：因为每过滤一次杂质含量减少13,所以每过滤一次杂志剩余量为原来的23,由此列式可解得.设经过n 次过滤，产品达到市场要求，则 2100×(23)n⩽11000，即(23)n⩽120，由 nlg 23⩽−lg20，即 n(lg2−lg3)⩽−(1+lg2)，得 n ⩾1+lg2lg3−lg2≈7.4， 故选BC ．小提示：本题考查了指数不等式的解法,属于基础题.15、已知函数y =log a (x +c )(a,c 为常数，其中a >0,a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是（ ）A ．a >1B ．0<a <1C ．c >1D ．0<c <1 答案：BD分析：根据对数函数的图象判断．由图象知0<a <1，可以看作是y =log a x 向左移动c 个单位得到的，因此0<c <1， 故选：BD ． 填空题16、已知函数f (x )=x 2−2|x |−1，若关于x 的方程f (x )=x +m 有四个根，则实数m 的取值范围为______． 答案：(−54,−1)分析：分离变量，画出特定函数的图像即可.由f (x )=x +m ，得m =f (x )−x =x 2−2|x |−x −1 令g (x )=x 2−2|x |−x −1={x 2−3x −1,x ≥0x 2+x −1,x <0，画出图像<m<−1时，方程m=f(x)−x有四解，由图可知，当−54即方程f(x)=x+m有四个根.,−1)故答案为:(−5417、已知a=lg5，用a表示lg20=__________.答案：2−a分析：直接利用对数的运算性质求解因为a=lg5，=lg100−lg5=2−a，所以lg20=lg1005所以答案是：2−a(x2−5x+6)的单调递减区间为___________.18、函数f(x)=log12答案：(3,+∞)分析：利用对数型复合函数性质求解即可.由题知：x2−5x+6>0，解得x>3或x<2.t为减函数.令t=x2−5x+6，则y=log12(x2−5x+6)为增函数，所以t∈(−∞,2)，t=x2−5x+6为减函数，f(x)=log12t∈(3,+∞)，t=x2−5x+6为增函数，f(x)=log12(x2−5x+6)为减函数.所以函数f(x)=log12(x2−5x+6)的单调递减区间为(3,+∞).所以答案是：(3,+∞)解答题19、已知函数f(x)=2x−12|x|.（1）若f(x)=2，求2x的值；（2）若2t f(2t)+mf(t)≥0，对于任意t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围.答案：（1）√2+1；（2）m≥−5.分析：（1）当x<0时，f(x)=0≠2，舍去；当x⩾0时，f(x)=2x−12x=2，即(2x)2−2·2x−1=0，2x>0．基础即可得出．（2）当t∈[1，2]时，2t f(2t)+mf(t)⩾0，即2t(22t−122t )+m(2t−12t)⩾0，即m(22t−1)⩾−(24t−1)．化简解出即可得出．解：（1）当x<0时，f(x)=0≠2，舍去；当x⩾0时，f(x)=2x−12x=2，即(2x)2−2·2x−1=0，2x>0．解得2x=1+√2，（2）当t∈[1，2]时，2t f(2t)+mf(t)⩾0，即2t(22t−122t )+m(2t−12t)⩾0，即m(22t−1)⩾−(24t−1)．因为22t−1>0，所以m⩾−(22t+1)．由t∈[1,2]，所以−(22t+1)∈[−17,−5]．故m的取值范围是[−5,+∞)．20、已知函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )+g (x )=2x+1． （1）求函数f (x )，g (x )的解析式；（2）若对任意x ∈[1,+∞)，不等式f (2x )≥mg (x )−2恒成立，求实数m 的最大值； 答案：（1）f(x)=2x +2−x ，g(x)=2x −2−x ；（2）4． 分析：（1）根据函数的奇偶性构造方程组可解得结果；（2）代入解析式，换元后化为m ≤t +4t对t ∈[32,+∞)恒成立，利用基本不等式求出t +4t的最小值可得解.（1）∵f (x )+g (x )=2⋅2x ，用−x 代替x 得f (−x )+g (−x )=2⋅2−x ， 则{f(x)+g(x)=2⋅2x f(x)−g(x)=2⋅2−x， 解方程组得：f (x )=2x +2−x ，g (x )=2x −2−x ．（2）由题意可得f(2x)=22x +2−2x =(2x −2−x )2+2≥m (2x −2−x )−2对任意x ∈[1,+∞)恒成立， 令t =2x −2−x ，x ∈[1,+∞)，因为t =2x −2−x 在x ∈[1,+∞)单调递增，故t ≥32 则m ≤t 2+4t=t +4t对t ∈[32,+∞)恒成立因为t +4t≥2√t ⋅4t=4，当且仅当t =2时，等号成立.故m ≤4，即实数m 的最大值为4.小提示：名师点评本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若k ≥f(x)在[a,b]上恒成立，则k ≥f(x)max ； ②若k ≤f(x)在[a,b]上恒成立，则k ≤f(x)min ； ③若k ≥f(x)在[a,b]上有解，则k ≥f(x)min ； ④若k ≤f(x)在[a,b]上有解，则k ≤f(x)max .。

高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题单选题1、已知a=lg2，10b=3，则log56=（）A．a+b1+a B．a+b1−aC．a−b1+aD．a−b1−a答案：B分析：指数式化为对数式求b，再利用换底公式及对数运算性质变形. ∵a=lg2,0b=3，∴b=lg3，∴log56=lg6lg5=lg2×3lg102=lg2+lg31−lg2=a+b1−a．故选：B．2、函数f(x)=|x|⋅22−|x|在区间[−2,2]上的图象可能是（）A．B．C．D．答案：C分析：首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值判断即可；解：∵f(−x)=|x|⋅22−|x|=f(x)，∴f(x)是偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，B选项；∵f(1)=2=f(2)，∴f(x)在[0,2]上不单调，排除D选项．故选：C3、式子√m⋅√m 43√m 56m >0)的计算结果为（ ）A ．1B ．m 120C ．m 512D ．m 答案：D分析：由指数运算法则直接计算可得结果.√m⋅√m 43√m 56=m 12⋅m 43m 56=m 12+43−56=m .故选：D.4、若f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,5]B ．[32,5) C ．(32,5)D ．(1,5) 答案：B分析：由题意得{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ，解不等式组可求得答案因为f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，所以{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ，解得32≤a <5，故选：B5、函数f (x )=√3−x +log 13(x +1)的定义域是（ ）A ．[−1,3)B ．(−1,3)C ．(−1,3]D ．[−1,3] 答案：C分析：由题可得{3−x ≥0x +1>0，即得.由题意得{3−x ≥0x +1>0，解得−1<x ≤3， 即函数的定义域是(−1,3].故选：C.6、下列函数中是增函数的为（ ）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍. 对于D ，f (x )=√x 3为R 上的增函数，符合题意， 故选：D.7、下列计算中结果正确的是（ ） A ．log 102+log 105=1B ．log 46log 43=log 42=12C ．(log 515)3=3log 515=−3D ．13log 28=√log 283=√33答案：A分析：直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；解：对于A ：log 102+log 105=log 10(2×5)=log 1010=1，故A 正确； 对于B ：log 46log 43=log 36，故B 错误；对于C ：(log 515)3=(log 55−1)3=(−log 55)3=−1，故C 错误； 对于D ：13log 28=13log 223=13×3log 22=1，故D 错误； 故选：A8、荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把(1−1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255.若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过(参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956) （ ）天．A ．200天B ．210天C ．220天D ．230天 答案：D分析：根据题意可列出方程100×0.99x =1.01x ，求解即可.设经过x 天“进步”的值是“退步”的值的100倍，则100×0.99x=1.01x，即(1.010.99)x =100，∴x =log 1.010.99100=lg lg 1.010.99=lg lg 10199=2lg−lg≈22.0043−1.9956=20.0087≈230．故选：D ． 多选题9、已知函数f(x)=1−2x 1+2x，则下面几个结论正确的有（ ）A ．f(x)的图象关于原点对称B ．f(x)的图象关于y 轴对称C ．f(x)的值域为(−1,1)D ．∀x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2,f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0恒成立答案：ACD分析：利用奇函数的定义和性质可判断AB 的正误，利用参数分离和指数函数的性质可判断CD 的正误. 对于A ，f(x)=1−2x1+2x ，则f(−x)=1−2−x1+2−x =2x −11+2x =−f(x)， 则f(x)为奇函数，故图象关于原点对称，故A 正确.对于B ，计算f(1)=−13，f(−1)=13≠f(1)，故f(x)的图象不关于y 轴对称，故B 错误. 对于C ，f(x)=1−2x1+2x =−1+21+2x ，1+2x =t,t ∈(1,+∞)，故y =f(x)=−1+2t ，易知：−1+2t ∈(−1,1)，故f(x)的值域为(−1,1),故C 正确. 对于D ，f(x)=1−2x1+2x =−1+21+2x ，因为y =1+2x 在R 上为增函数，y =−1+21+t 为(1,+∞)上的减函数， 由复合函数的单调性的判断法则可得f (x )在R 上单调递减，故∀x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0恒成立，故D 正确.故选：ACD.小提示：方法点睛：复合函数的单调性的研究，往往需要将其转化为简单函数的复合，通过内外函数的单调性结合“同增异减”的原则来判断.10、设函数f (x )=ax 2+bx +c (a,b,c ∈R,a >0)，则下列说法正确的是（ ） A ．若f (x )=x 有实根，则方程f(f (x ))=x 有实根 B ．若f (x )=x 无实根，则方程f(f (x ))=x 无实根 C ．若f (−b 2a)<0，则函数y =f (x )与y =f(f (x ))都恰有2个零点D ．若f (f (−b 2a))<0，则函数y =f (x )与y =f(f (x ))都恰有2零点答案：ABD分析：直接利用代入法可判断A 选项的正误；推导出f (x )−x >0对任意的x ∈R 恒成立，结合该不等式可判断B 选项的正误；取f (x )=x 2−x ，结合方程思想可判断C 选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断D 选项的正误.对于A 选项，设f (x )=x 有实根x =x 0，则f(f (x 0))=f (x 0)=x 0，A 选项正确； 对于B 选项，因为a >0，若方程f (x )=x 无实根，则f (x )−x >0对任意的x ∈R 恒成立， 故f(f (x ))>f (x )>x ，从而方程f(f (x ))=x 无实根，B 选项正确；对于C 选项，取f (x )=x 2−x ，则f (12)=−14<0，函数y =f (x )有两个零点， 则f(f (x ))=[f (x )]2−f (x )=0，可得f (x )=0或f (x )=1，即x 2−x =0或x 2−x =1. 解方程x 2−x =0可得x =0或1，解方程x 2−x −1=0，解得x =1±√52. 此时，函数y =f(f (x ))有4个零点，C 选项错误；对于D 选项，因为f (f (−b2a ))<0，设t =f (−b2a )，则t =f (x )min ， 因为f (t )<0且a >0，所以，函数f (x )必有两个零点，设为x 1、x 2且x 1<x 2， 则x 1<t <x 2，所以，方程f (x )=x 1无解，方程f (x )=x 2有两解，因此，若f(f(−b))<0，则函数y=f(x)与y=f(f(x))都恰有2零点，D选项正确.2a故选：ABD.小提示：思路点睛：对于复合函数y=f[g(x)]的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u)；（2）确定外层函数y=f(u)的零点u=u i(i=1,2,3,⋯,n)；（3）确定直线u=u i(i=1,2,3,⋯,n)与内层函数u=g(x)图象的交点个数分别为a1、a2、a3、⋯、a n，则函数y=f[g(x)]的零点个数为a1+a2+a3+⋯+a n.11、(多选题)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km 但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是（）A．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元B．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元C．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km答案：BCD分析：根据题意分别计算各个选项的情况，即可得答案.对于A选项：出租车行驶4km，乘客需付费8+1×2.15+1=11.15元，故A错误；对于B选项：出租车行驶10 km，乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45元，故B正确；对于C选项：乘出租车行驶5km，乘客需付费8+2×2.15+1=13.30元，乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45，故C正确；对于D选项：设出租车行驶x km时，付费y元，由8+5×2.15+1=19.75<22.6，知x>8，因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6，解得x=9，故D正确.故选：BCD.小提示：本题考查函数模型的应用，解题要点为认真审题，根据题意逐一分析选项即可，属基础题.12、若log2m=log4n，则（）A．n=2m B．log9n=log3mC．lnn=2lnm D．log2m=log8(mn)答案：BCD分析：利用对数运算化简已知条件，然后对选项进行分析，从而确定正确选项.依题意log2m=log4n，所以m>0,n>0,log2m=log22n=12log2n=log2n12，所以m=n 12,m2=n，A选项错误.log9n=log32m2=22log3m=log3m，B选项正确.lnn=lnm2=2lnm，C选项正确.log8(mn)=log23m3=33log2m=log2m，D选项正确.故选：BCD13、在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标相等的点称之为“完美点”，下列函数的图象中存在完美点的是（）A．y=﹣2x B．y=x﹣6C．y=3xD．y=x2﹣3x+4答案：ACD分析：横纵坐标相等的函数即y=x，与y=x有交点即存在完美点，依次计算即可.横纵坐标相等的函数即y=x，与y=x有交点即存在完美点，对于A,{y=xy=−2x，解得{x=0y=0，即存在完美点(0,0)，对于B,{y=xy=x−6，无解，即不存在完美点，对于C,{y=xy=3x，解得{x=√3y=√3或{x=−√3y=−√3，即存在完美点(√3,√3)，(−√3,−√3)对于D,{y=xy=x2−3x+4，x2−3x+4=x,即x2−4x+4=0，解得x=2，即存在完美点(2,2).故选：ACD.填空题14、化简(√a−1)2+√(1−a)2+√(1−a)33=________.答案：a-1分析：根据根式的性质即可求解.由(√a−1)2知a-1≥0，a≥1.故原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1.所以答案是：a-115、对数型函数f(x)的值域为[0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，则满足题意的一个函数解析式为______．答案：f(x)=|log2(x+1)|（答案不唯一，满足f(x)=|log a(x+b)|，a>1，b≥1即可）分析：根据题意可利用对数函数的性质和图像的翻折进行构造函数.∵函数f(x)的值域为[0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，∴满足题意的一个函数是f(x)=|log2(x+1)|．所以答案是：f(x)=|log2(x+1)|（答案不唯一）16、函数y＝log a(x＋1)－2(a>0且a≠1)的图象恒过点________．答案：(0，－2)分析：由对数函数的图象所过定点求解．解：依题意，x+1=1，即x＝0时，y＝log a(0＋1)－2＝0－2＝－2，故图象恒过定点(0，－2)．所以答案是：(0，－2)解答题17、（1）计算0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1；（2）若x 12+x−12=√6，求x 2+x −2的值．答案：（1）-5；（2）14.分析：（1）由题意利用分数指数幂的运算法则，计算求得结果． （2）由题意两次利用完全平方公式，计算求得结果． （1）0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1=0.3﹣1﹣36+33+1−13=103−36+27+1−13=−5．（2）若x 12+x −12=√6，∴x +1x +2＝6，x +1x =4，∴x 2+x ﹣2+2＝16，∴x 2+x ﹣2＝14．18、已知函数f (x )=2x −12x +1．(1)判断并证明f (x )在其定义域上的单调性；(2)若f (k ⋅3x )+f (3x −9x +2)<0对任意x ≥1恒成立，求实数k 的取值范围． 答案：(1)f (x )在R 上单调递增；证明见解析 (2)(−∞,43)分析：（1）设x 2>x 1，可整理得到f (x 2)−f (x 1)=2(2x 2−2x 1)(2x 2+1)(2x 1+1)>0，由此可得结论；（2）利用奇偶性定义可证得f (x )为奇函数，结合单调性可将恒成立的不等式化为k <g (x )=3x −23x −1，由g (x )单调性可求得g (x )≥43，由此可得k 的取值范围.（1）f (x )在R 上单调递增，证明如下： 设x 2>x 1，∴f (x 2)−f (x 1)=2x 2−12x 2+1−2x 1−12x 1+1=(2x 2−1)(2x 1+1)−(2x 2+1)(2x 1−1)(2x 2+1)(2x 1+1)=2(2x 2−2x 1)(2x 2+1)(2x 1+1)；∵x 2>x 1，∴2x 2−2x 1>0，又2x 2+1>0，2x 1+1>0，∴f (x 2)−f (x 1)>0， ∴f (x )在R 上单调递增. （2）∵f (−x )=2−x −12−x +1=1−2x1+2x =−f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数，由f(k⋅3x)+f(3x−9x+2)<0得：f(k⋅3x)<−f(3x−9x+2)=f(9x−3x−2)，由（1）知：f(x)在R上单调递增，∴k⋅3x<9x−3x−2在[1,+∞)上恒成立；当x≥1时，3x≥3，∴k<3x−23x−1在[1,+∞)上恒成立；令g(x)=3x−23x−1，∵y=3x在[1,+∞)上单调递增，y=23x在[1,+∞)上单调递减，∴g(x)在[1,+∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)=3−23−1=43，∴k<43，即实数k的取值范围为(−∞,43).。

新高考数学计算题型精练指数与对数运算1．求值：(1))20.51π316-⎛⎫+- ⎪⎝⎭；(2)2ln 31274e log 9log 8lg 4lg 25-⋅++．【答案】(1)0(2)12【详解】（1）原式123493711041644⎛⎫=+-=+-= ⎪⎝⎭（2）原式ln923e log 3log 2lg10091212=+⋅+=++=．2．计算(1)1223182π4-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(2)2log 321log lg 2lg 528--+【答案】(1)5(2)1-【详解】（1）()1122222333132282π214154233--⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++++-++=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）()2log 321log lg 2lg 523lg 2lg 5318--+=--++=-3．求值：(1)(213103531732248---⎛⎫⎛⎫++-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)2ln3427elog 9log 8lg4lg25-⋅++．【答案】(1)3(2)10【详解】（1）(213103531732248---⎛⎫⎛⎫++-⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()1132533353122224--=+-⨯+⨯123233122222=+-⨯+⨯12331882+=+-+12=+3=；（2）原式ln 923elog 3log 2lg10091210=-⋅+=-+=；综上，（1）原式=3；（2）原式=10.4．计算:(1)341lg2lg 3lg5log 2log 94-+-⨯；(2)21log 3231lglog 3log log 52100+-⨯++.【答案】(1)2(2)4【详解】（1）341lg2lg 3lg5log 2log 94-+-⨯2232log 9lg2lg23lg5log 2log 4-=-+-⨯32lg22lg23lg5log 2log 3=++-⨯3(lg2lg5)1=+-3lg101=-31=-2=.（2）21log 3231lglog 3log log 52100+-⨯+2log 322222log log 512log 322log 5log 32=--⨯++⨯112622=--++4=.5．求下列各式的值：(1)()10.52332770.02721259-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋－；(2)55557log 352log log 7log 1.83-+-.【答案】(1)9100(2)2【详解】（1）原式210.5332333351053-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦95510033=+-9100=（2）原式5555499log 35log log 7log 95=-+-5499log 35795⎛⎫=÷⨯÷ ⎪⎝⎭5log 252==6．计算：(2)()()2266661log 2log 33log 2log log 23⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭【答案】(1)4-(2)1【详解】（11128125lg 25lg10lg10-⨯⨯=⨯()2lg10112=⨯-4=-；（2）()()2266661log 2log 33log 2log log 23⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭()()226666log 2log 33log 2log =++⨯()()22666log 2log 33log 2log =++⨯()()226666log 2log 32log 2log 3=++⨯()266log 2log 3=+1=．7．计算或化简下列各式：(1)()1223164⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(2)228393(log 3log 9)(log 4log 8log 2)(lg 2)lg 20lg5+++++⨯【答案】(1)3(2)172【详解】（1）原式221111111113332362362222255122ln e 333233422++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-++⨯⨯=-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）原式=()22233322log 3log 32log 2log 2log 2lg 2lg 20lg 533⎛⎫⎛⎫+++++⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()22235915log 3log 2lg 2lg 20lg5lg 2lg 21lg5322=⨯++⨯=+++⨯()()()215151517lg 2lg 2lg5lg5lg 2lg 2lg5lg5lg 2lg52222=+++=+++=++=8．计算下列各式的值：(1)2237828-⎛⎫--+⎪⎝⎭；(2)2log 331log 27lg2100++．【答案】(1)1π4+(2)92【详解】（1）02237828-⎛⎫--+⎪⎝⎭()23321213π2=-+-+141π34=-+-+1π4=+；（2）21log 33223311l 2og 27lg 2log 3lg10ln e 332310092-++=+++=-=++．9．计算下列各式的值：(1)213112726-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)3332log 2log 32log 8-+.【答案】(1)5.5(2)0【详解】（1）原式230.52120.54 5.5=-+-=-+=；（2）原式3333348log 4log 32log 8log log 1032⨯=-+===.10．计算下列两个小题：(1)ln 31e2lg15lg 3++；(2)0.25608π+．【答案】(1)4(2)75【详解】（1）ln 3111e2lg15lg 3lg 2lg15lg 3lg 2154333⎛⎫++=+++=+⨯⨯= ⎪⎝⎭.（2）660.750.2650.25085221289π17=⨯+⨯+=+⨯=++.11．求下列式子的值：(1)()()12623129.684-⎛⎫+--- ⎪⎝⎭.(2)ln334lg252lg2log 16log 3e +-⋅+.【答案】(1)0(2)3【详解】（1）()()()()126203122332129.68931912412 1.05444--⎛⎫+--- ⎪⎝⎭⎛⎫⎡⎤+--- ⎪⎣⎦⎝⎭==+--=（2）ln33434lg252lg2log 16log 3e lg25lg42log log 33lg1002324233+-⋅++-⋅+=-+=-+==12．计算与化简：(1)453log 27log 8log 25⨯⨯(2)12271112333662228a a b a b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(3)10220.51392(0.01)54-⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4)222lg5lg8lg5lg20(lg2)3++⋅+.【答案】(1)9(2)b -(3)5140(4)3【详解】（1）原式3lg 33lg 22lg 592lg 2lg 5lg 3=⨯⨯=；（2）原式12711122363262328a b b-+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪==- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）原式131511421040=+⨯-=（4）原式()()22lg 52lg 2lg 5lg 52lg 2lg 2=++++()()22lg 5lg 2lg 2lg 5=+++2213=+=13．（1）21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48---+；（2）log 535﹣2log 573+log 57﹣log 595.【答案】（1）12；（2）2【详解】解：（1）21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48---+1﹣2327()8+2.25＝32﹣1﹣2333(2⎡⎤⎢⎥⎣⎦+2.25＝32﹣1﹣94+94＝12；（2）log 535﹣2log 573+log 57﹣log 595＝log 5[35÷（499）×7÷95]＝log 5（35×949×7×59）＝log 525＝2．14．化简求值：(1)2133325-⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(2)7log 2log lg 25lg 47++.【答案】(1)12-(2)112【详解】（1）原式1213331182212122-=-⨯+=-+=-.（2）原式331311log 3lg100222222=++=++=.15．化简或求值：(1)0.5207120.1π93-⎛⎫+-+⎪⎝⎭；(2)7lg142lg lg 7lg183-+-；【答案】(1)101；(2)0；(3)1.【详解】（1）0.5207120.1π93-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭1225151100110011019333⎛⎫=+-+=+-+= ⎪⎝⎭；（2）7lg142lg lg 7lg183-+-27lg14lg lg 7lg183⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭9lg 1471849⎛⎫=⨯⨯÷ ⎪⎝⎭lg1=0=；（3211-=.16．计算：(1))()1211610.259-⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2)25lg 42lg 5log 5log 8lg10++⨯+．【答案】(1)23-(2)6【详解】（1）原式4214333=--+=-（2）原式2lg 5lg8lg 4lg 51lg 2lg 5=++⨯+3222log 813log 26=++=+=17．计算下列各式的值：(1)()6221103321642e 453π-⎛⎫⎛⎫+--+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)ln 2352log 27lg2lg5log 16log e ---⋅．【答案】(1)2023(2)2【详解】（1）()6221103321642e π453-⎛⎫⎛⎫+--+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭611223243245⎛⎫=+-+⨯ ⎪⎝⎭232345=+⨯2023=．（2）()ln 235log 27lg2lg5log 16log e-+-⋅ln25=31log 16log e --⋅()ln 2521=24log 2log 5e =2222-⋅+-+=2．18．计算下列各题：(1)()20.5312816410.751627---⎛⎫⎛⎫+-÷+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)()70log 23log lg 25lg 479.8+++-.【答案】(1)94(2)132【详解】（1）原式20.523814279999116364416164⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-÷+=-+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）原式323100313log 3lg lg 4212lg 4lg 43422=++++=+-++=.19．化简求值(1)1131227(0.002)2)8--⎛⎫+- ⎪⎝⎭；(2)()266661log 3log 2log 18log 4⎡⎤-+⨯÷⎣⎦．【答案】(1)372-(2)1【详解】（1）原式)113131232271350010285002-⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3372022=+-=-.（2）原式()()266666612log 3log 3log log 63log 43⎡⎤=-++⋅⨯÷⎢⎥⎣⎦()()()26666612log 3log 31log 31log 3log 4⎡⎤=-++-+÷⎣⎦()()22666612log 3log 31log 3log 4⎡⎤=-++-÷⎣⎦()666666621log 3log 6log 3log 212log 2log 2log 2--====.20．（1）计算：1222301322(2.5)3483-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）已知7log 23log 27lg252lg27x a =++-，求33x xx xa a a a--++的值．【答案】（1）12；（2）739．【详解】（1）原式123232223333391991122222444212⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--+=-+=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎡⎤⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎭⎦⎝⎭．（2）()33log 32lg52lg2232lg5lg223223x a =++-=++-=+-=，所以()()()()3322331xx xx x xx xx x x xx xa a aa a a a a a a a a a a -------++⋅-++==+++()()()22222222117311131.39xxxxxx aaaa aa --⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21．求值：(1))1213250.02719-⎛⎫+-⎪⎝⎭；(2)2350.2log 27log 82log 10log 4⨯--．【答案】(1)4(2)7【详解】（1）)()12131121233255351020.02710.31149310333---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-=+-=+-=+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）()13322350.25555ln 3ln 23ln 33ln 2log 27log 82log 10log 42log 25log 22log 212log 292ln 2ln 3ln 2ln 3-⨯--=⨯-⨯-=⨯-++=-=.22．求值：()1220348π49-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭;(2)3323log 54log 2log 3log 4-+⋅.【答案】(1)172；(2)5.【详解】（11215321022532233317(2)(2)1[(]22122248(π4)()9-=++++-+=++=+.（2）322332332322log 454log 54log 2log 3log 4log log 3log 3log 23252log 3-+⋅=+⋅=+=+=.23．计算下列式子(1)()7l 0o 2g lg25+lg4l 79og .8+++-2334lo g log ⨯【答案】(1)132(2)8-【详解】（1）()7l 0o 2g lg25+lg4l 79og .8+++-3233133lg1002122122log =+++=+++=.（22334lo g log ⨯()222log lo 4lg100036281312g log =-⨯=--=-⨯-.24．计算：()031438162-⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭；(2)223lg 2lg 5log log 64++-．【答案】(1)118(2)-2【详解】（1）原式()13314334311111122124488⨯⎛⎫⨯- ⎪⨯⎝⎭⎛⎫=---+=-++= ⎪⎝⎭（2）原式()22lg 25log 32log 312=⨯+---=-25．计算：223327-⋅+；(2)()()()221004lg 2log 2lg 5lg 23++-．【答案】(1)27-(2)1【详解】（1）依题意，223327⋅+()22233433=--⋅+(2224332=--⋅+(224272=--+231227=-+=-（2）()()()221004lg 2log 2lg 5lg 23++-()()4lg 2lg 2lg 5lg 2lg 5lg 23lg100⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭4lg 2lg 2lg 5lg 232⎛⎫=++- ⎪⎝⎭43lg 25lg 322=⋅+52lg 2lg2=+25lg 2lg 2=+5lg 412⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭26．求值：(1)01310.0277-⎛⎫+- ⎪⎝⎭；(2)ln 21lg20lg4lg e 5-++.【答案】(1)73；(2)2.【详解】（1）()()111341334170.0270.3120.31273---⎛⎫+-+-=+-=⎪⎝⎭；（2）ln 21201lg20lg4lg e lg 2lg122545⎛⎫-++=⨯+=+= ⎪⎝⎭.27．求值：(1)))2202220223272264-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭；(2)()9log 1620427log 9log 643lg 2lg 5lg 12022lg 5⨯++⨯+++．【答案】(1)3(2)7【详解】（1）原式()20222162113999++-=++=.（2）原式()3log 4223log 3log 43lg 2lg 5lg 2lg 524lg 2lg 5lg 2lg 5=⨯++⨯++=++++6lg 2lg5617=++=+=.28．计算(1))2log 3lg12lg1001-+-(2))0.523124-⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】(1)2；(2)1π3-.【详解】（1）)2log 3lg12lg1001-+-)32lg101=-+-321=-+2=；（2）)0.523124-⎛⎫+ ⎪⎝⎭20.5233233π22-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦13π322-⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭1π3=-.29．计算下列各式的值：(1)11421481⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(2)33252log 2log 12l 8og 5log -+⨯.【答案】(1)143(2)2【详解】（1）114211423314813⎛⎫ ⎪⎝⎭=+-=．（2）33252log 2log 12l 8og 5log -+⨯321log log 32381==-+=+．30．求下列各式的值：(1)134440.06425--⎛⎫---⋅⎪⎝⎭(2)2log 3232lg25lg8log 27log 223+-⨯+．【答案】(1)1516(2)2【详解】（1）原式1159151910.41621616=--⨯=--=．（2）原式()232lg52lg23log 3log 232lg5lg2332=+-⨯+=+-+=．31．求解下列问题：(1)2433641)27--⎛⎫++ ⎪⎝⎭；(2)2log 3491lg2log 27log 8100--⋅．【答案】(1)2916(2)74-【详解】（1）2433641)27--⎛⎫++ ⎪⎝⎭24333324123--⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦224123--⎛⎫=++ ⎪⎝⎭9129116416=++=.（2）2log 3491lg2log 27log 8100--⋅221233223lg10ln e 3log 3log 2-=-+-⋅2313323log 3log 2222=--+-⋅192324=--+-74=-.32．计算下列各式的值：(1)2log 23log lg 5lg 22++．(2)cos 20sin 50cos50cos70︒︒-︒︒．【答案】(1)72(2)12【详解】（1）2log 2317log lg 5lg 22lg10222++=++=；（2）cos 20sin 50cos50cos70cos 20sin 50cos50sin 20︒︒-︒︒=︒︒-︒︒()1sin 50202=︒-︒=.33．计算下列各式，写出演算过程(1)1222318324272-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(2)5525lg 42lg 52log 10log 20log 5log 8++---⋅.【答案】(1)72(2)12-【详解】（1）解：原式23324344722392992⎡⎤⎛⎫=-+=+-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）解：原式()225101ln 53ln 211lg 45log 213202ln 2ln 522=⨯+--⋅=+--=-.34．化简求值：(1)213240330.250.53π)0.0648---⎛⎫⨯--+ ⎪⎝⎭(2)2log 314319lg 25lg 2log 9log 822-++-⨯++．【答案】(1)7318；(2)4.【详解】（1）213240330.250.53π)0.0648---⎛⎫⨯---++ ⎪⎝⎭212433331132124225---⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯--++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦45731129218=--++=；（2）2log 314319lg 25lg 2log 9log 822-++-⨯++2221221log 322233312log 3lg 5lg 2log 3log 2ln e 22=++-⨯++323314log 3lg 5lg 2log 33log 222=++-⨯++()32314lg 52log 33log 222=+⨯-⨯++41324=+-+=.35．求值：(1)()11202929.3log 443-⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)5log 2lg2lg5lg15+++【答案】(1)1(2)3【详解】（1）()111222029233339.3log 412121432222-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+=--+=--+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）5log 2lg 2lg 5lg15lg1002123+++=++=+=.36．化简求值：1020.5+(2)0.21log 53212lg5log 25lg 4-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.【答案】(1)3(2)2【详解】（1）原式3322=++=（2）原式155log 522lg5log 22lg 25=-++()15log 52112lg 5lg 2log 255-⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭151log 511552⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=11255=-+2=37．计算下列各式的值：(1)1013352943-⎛⎫⎛⎫⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)1433log lg 253log 3lg 43+-+【答案】(1)3(2)1【详解】（1）解：113352943-⎛⎫⎛⎫⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112133334413355⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11213333443355+⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）1433log lg 253log 3lg 4+-+343331log 3log 32lg53log 32lg 24=-+-⨯+3312(lg5lg 2)44=-++-12lg101=-+=.38．化简求值：(1)312log 14lg 2lg529-⎛⎫++- ⎪⎝⎭；(2)71113sin cos tan 634πππ++.【答案】(1)32(2)1【详解】（1）原式()1220233lg 25211322-⎡⎤⎛⎫=+⨯-=+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）原式πππsin πcos 4πtan2ππ634⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππsincos tan π634⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭11πtan 1224=-++=39．化简或求值(1)11034781(0.064)()()|0.1|816---++-(2)7lg142lg lg 7lg183-+-【答案】(1)3110(2)0(3)5π-【详解】（1）11034781(0.064)()()|0.1|816---++-1310.10.42=-++53112210=-++1310=+31.10=（2）27lg142lg lg 7lg1837lg14lg lg 7lg1839lg 1471849lg10.-+-⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭⎛⎫=⨯⨯÷ ⎪⎝⎭==（3）325.πππ+=-+-=--=-40．计算求值(1)2ln 38916log 27log 6log 6e ⨯÷+；(2)419log 8log 34--【答案】(1)11(2)2-【详解】（1）2ln 38916log 27log 6log 6e⨯÷+ln92361log 3log 64log 2e 2=⨯⨯+62236log 22log 392log 3log 2911log 3=⨯+=⨯+=；（2）419log 8log 34--2331log 2log 322=---314222=+-=-.41．计算：(1)()110520.01321π---+；(2)3log 22log 8lg 2lg53++-．【答案】(1)5(2)2【详解】（1）()110520.01321102125π---+=---=；（2）()3log 22log 8lg 2lg 53lg 25223=+++-⨯-=．42．计算：(1)1123182427-⎛⎫-+ ⎛⎫ ⎪⎝⎪⎭⎝⎭(2)2lg 2lg 2lg5(lg5)+⋅+.【答案】(1)94(2)1【详解】（1）解：1123182427-⎛⎫-+ ⎛⎫ ⎪⎝⎪⎭⎝⎭1132233223-⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ =⎪⎝⎭⎢⎥⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦1123223323232⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎛⎫= ⎪⎝⎝⎭⎭⎝⎭33992244-+==.（2）解：2lg 2lg 2lg5(lg5)+⋅+()lg 2lg5lg 2lg5=++()lg 2lg 5lg 25=+⋅⨯()lg 2lg 5lg 251=+=⨯=.43．化简求值：)2138227--⎛⎫++⎪⎝⎭；(2)3log 211lg 9lg 240292361lg 27lg 35+-+-+.【答案】π(2)3【详解】（1）原式2335259π32π3π4344⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫=-+-=-+++-= ⎪⎝⎭．（2）原式32log 21lglg10lg 3lg 24083414336lg8lg10lg 9lg 5+-=+=+=-+=-+.44．求值：(1)230323(8)π)-+-；(2)()22824log 27(lg 5)(lg 2)lg 5lg log 16log 9+-+⨯．【答案】(1)2(2)0【详解】（1）2331032223(π)3313212-=-+⨯=-+=（2）()22824log 27(lg 5)(lg 2)lg 5lg log 16log 9+-+⨯32322222log 3(lg 5)(lg 2)2lg 5lg 2log 3=+-+⨯2(lg 5lg 2)1110=+-=-=45．计算：(1)ln 2lg252lg2e ++(2)()20.5133890.1252749--⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)4(2)19【详解】（1）原式lg25lg42lg1002224=++=+=+=.（2）原式2132(0.5)3()332313724712939⨯⨯-⨯-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.46．（1）求值：3204161)++；（2）求值：5log 2lg25lg45log +++．【答案】（1）12；（2）112．【详解】（1）原式()343432132112=++=++=（2）原式()323lg 2542log 3=⨯++3lg10022=++112=47．求值：(1)()1430513π38-⎛⎫-- ⎪⎝⎭；(2)()2273log 8log 7log log 81+⨯．【答案】(1)4(2)5【详解】（1）()143015545143π32312381-+⎛⎫-- =+=⎝+⎭-⎪-=；（2）()2273274log 8log 7log log 813log 7log +⨯=+⨯273log 72l 5og 22==++=⨯.48．（1）)1334ln 22811e 162022⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()314163log 4log 2log log 3⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】（1）5；（2）12．【详解】（1）原式31442433333214152222⨯⎛⎫⎛⎫=++-=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）原式()(3344341log 4log 2log log log 2log 32=-=⨯=．49．计算：(1)212232327(1)(()[(3)]28--+⋅+-；(2)232lg5lg 4log 3log 4log +-⋅+【答案】(1)5(2)32【详解】（1）22122233323272349(1)()()[(3)]1()[()]3135283294--+⋅+-=+⋅+=+⨯+=（2）232lg5lg 4log 3log 4log +-⋅+lg 32lg 23332lg 52lg 22(lg 5lg 2)2lg 2lg 3222=+-⨯+=+-+=50．计算下列各式的值：(1)2ln 21elglg 202--；(2)232lg 25lg8log 27log 23+-⨯.【答案】(1)3.(2)1-.【详解】（1）22ln 2ln 2111e lg lg 20e (lg lg 20)4lg(20)4lg10413222--=-+=-⨯=-=-=.（2）2232323232lg 25lg8log 27log 2lg(258)log 27log 2lg103log 3log 22313+-⨯=⨯-⨯=-⨯=-=-.51．化简下列各式：(1)75sincos cos(5)tan 224ππππ++-+；(2)24log 32log 0.252lg 42lg 5⋅++++⋅【答案】(1)-1(2)1592【详解】（1）原式3sincos cos 11011122πππ=+++=-+-+=-.（2）原式421log 322242221log ln e 2lg 4lg55123)log (lg 24lg 4-=++++=++++1159281lg100222=-+++-=.52．计算下列各式的值：(1)()2223327389.682--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)07log 2(9.8)log lg25lg47+-++.【答案】(1)3；(2)132【详解】（1）原式2323334122⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3=（2）原式()323log 3lg 25421=+⨯++3232=++132=53．计算求值：(1))()140231101108200-⎛⎫-++- ⎪⎝⎭；(2)(42log 923lg 2lg 250082log 9log 4⨯+⨯++⋅．【答案】(1)36(2)9【详解】（1）原式()()43431010220236⎡⎤=++-=+-=⎣⎦；（2）原式()2log 3212lg 32lg 2lg 22lg 528lg 524lg 2lg 3⎛⎫=++⨯++⋅ ⎪⎝⎭()22lg 2lg 52lg 22lg 5342lg 5lg 2lg 52lg 27=++++=+++()2lg 5lg 27279=++=+=.54．计算下列各式的值：(1)(332212234-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)5log 3333322log 4log log 2527-++【答案】(1)1(2)6【详解】（1）(33332221392213424-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭33233233331112222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）5log 3333322log 4log log 2527-++23332log 423log 27333627⎛⎫=÷⨯+=+=+= ⎪⎝⎭55．求下列各式的值：(1)1220.2531222854--⎛⎫⎛⎫+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)158311lglog 9log 125log 10032+--.【答案】(1)56-(2)163-【详解】（1）()112112220.25344311315222812212544266---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯-=+⨯-⨯=+-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）3235158352311516lglog 9log 125log lg10log 9log 5log 22231003233--+--=---=---+=-.56．化简求值：())13320,0a b a b ->>；(2)7log 52225lg5lg 2lg 2lg5log 5log 47+++⨯+.【答案】(1)1(2)7【详解】（1）因为0,0a b >>()31332221b a ab --⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，()31333222a a b b --=，所以原式332233221a b a b--==；（2）7log 52225lg5lg 2lg 2lg5log 5log 47+++⨯+()25lg 5lg 2lg 2lg 5log 5log 25=+++⨯+()25lg 5lg 2lg 2lg 5log 5log 25=+++⨯+lg 5lg 2157=+++=.57．计算：(1)21304816π27-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)3ln 22552lg 4lg log 5log 4e 8++⋅+.【答案】(1)154-(2)11【详解】（1）解：原式()231344291521524344-⎡⎤⎛⎫=-+-=--=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）解：原式()32ln 25ln 52ln 2lg 4e 128118ln 2ln 5⎛⎫=⨯+⋅+=++= ⎪⎝⎭.58．计算：(1)5log 3311845log 11log 27log 2log 8-⋅++；(2)若33m m --=99m m -+的值.【答案】(1)116(2)9914m m -+=.【详解】（1）原式31122133log 113log 3log 2log 232=-⨯++131133326=-++=.（2）将等式33m m --=99212m m -+-=，则9914m m -+=.。

考点02 指数与对数的运算一．指数运算1．根式(1)根式的概念(2)两个重要公式∈na n＝⎩⎨⎧a(n为奇数)，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a(a≥0)，－a(a<0)(n为偶数)；∈(na)n＝a(注意a必须使na有意义)．2．有理指数幂(1)分数指数幂的表示∈正数的正分数指数幂是mna＝n a m(a>0，m，n∈N*，n>1)；∈正数的负分数指数幂是mna＝1mna＝1na m(a>0，m，n∈N*，n>1)；∈0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义．(2)有理指数幂的运算性质∈a s a t＝a s＋t(a>0，t，s∈Q)；∈(a s)t＝a st(a>0，t，s∈Q)；∈(ab)t＝a t b t(a>0，b>0，t∈Q)．二．对数的概念(1)对数的定义∈一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么称b是以a为底N的对数，记作b＝log a N，知识理解其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．∈底数的对数是1，即log a a ＝1,1的对数是0，即log a 1＝0. (2)几种常见对数4.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ∈log a Na＝N (a >0且a ≠1，N >0)； ∈log a a N ＝N (a >0且a ≠1)．(2)对数的重要公式∈换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1，N >0)；∈log a b ＝1log b a (a ，b 均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么∈log a (MN )＝log a M ＋log a N ；∈log a MN＝log a M －log a N ；∈log a M n ＝n log a M (n∈R )；∈log m na M ＝n mlog a M考向一 根式【例1】（2020·全国练习）化简下列各式：（1 （21)x；（3【答案】（1）1（2）原式2,13,24, 3.x x x <⎧=⎨-⎩（3）【解析】（1）原式|3||2|321=+=-=. （2）原式|1||3|x x =-+-，考向分析当13x ≤<时，原式132x x =-+-=； 当3x ≥时，原式1324x x x =-+-=-.∴原式2,13,24, 3.x x x <⎧=⎨-⎩（3）原式=||==+==【举一反三】1．=_____________.【答案】3【解析】化简得：)22-+2=+故答案为：3. 2．（2020·四川省冕宁中学校）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（ ）A ．()()120x x =-≥ B ()130x x =≤C ．)340xx -=>D ．)130xx -=≠【答案】C【解析】A. ()()120x x =-≥，故错误；B.()130xx =-≤，故错误；C. )340x x-==>,故正确；D. )130x x-=≠，故错误；故选：C3．下列各式正确的是（）Aa=B．01a=C4=-Dπ=-【答案】D【解析】对于Aa=，当a为负数时等式不成立，故A不正确；对于B，01a=，当0a=时无意义，故B不正确；对于C4=-，左边为正，右边为负，故C不正确；对于Dπ=-，故D正确.故选：D.考向二指数运算【例2】（2020·浙江课时练习）计算下列各式：（1）1220.531222(0.01)54--⎛⎫⎛⎫+⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）20.53207103720.12392748π--⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（3）11430.753237(0.064)(2)16|0.01|8---⎛⎫⎡⎤--+-++-⎪⎣⎦⎝⎭.【答案】（1）1615；（2）100；（3）14380.【解析】（1）原式11221411116114910061015⎛⎫⎛⎫=+⨯-=+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）原式122322516437390.12748-⎛⎫⎛⎫=++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5937100310031648=++-+=. （3）原式1430.41(2)20.1---=-+-++10111143141681080=-+++=.【举一反三】（1）（214）12−(−2)0−(278)−23+(32)−2（2）(214)12−(−9.6)0−(827)23+(32)−2．（3）[(0.06415)−2.5]23−√3383−π0；（4） (235)0+2−2⋅(214)−12−(0.01)0.5（5）12616(2018)449-︒⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭（6）)()46030.251648201149⎛⎫+-⨯-- ⎪⎝⎭0.50934-+（﹣﹣【答案】（1）12.（2）12（3）0（4）1615（5）99π+；（6）1007)43π+ 【解析】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质， 可得：（214）12−(−2)−(278)−23+(32)−2=[(32)2]12−(−2)−[(32)3]−23+(32)−2=32−1−49+49=12，故答案为：12（2）(214)12−(−9.6)0−(827)23+(32)−2=(94)12−1−(23)3×23+(23)2=32−1=12． （3）[(0.06415)−2.5]23−√3383−π0=0.43×15×(−2.5)×23−32−1=52−32−1=0.（4）(235)0+2−2⋅(214)−12−(0.01)0.5=1+122√94√0.01=1+14×23−110=1615（5）原式12616(2018)41081739949ππ-︒⎛⎫=+--⨯+=+-+-=+ ⎪⎝⎭（6）原式43133234447232422142727211004⎛⎫=⨯+-⨯-⨯-=⨯+---= ⎪⎝⎭.（7）原式241133ππ=+-+=+；考向三 指对数的转化【例3】将下列指数式与对数式互化.（1）31327-=； （2）3416x -=；（3）12log 83=-； （4）log (11a =-.【答案】（1）31log 327=-.（2）163log 4x =-.（3）3182-⎛⎫= ⎪⎝⎭.（4）11a -=+【解析】因为由x a b =可得log ,0,1,0a x b a a b =>≠>，所以 (1)由31327-=可得31log 327=-； (2)由3416x -=可得163log 4x =-； 由log ,0,1,0a x b a a b =>≠>可得x a b =，所以(3)由12log 83=-可得3182-⎛⎫= ⎪⎝⎭；(4)由log (11a +=-可得11a -=+ 【举一反三】1．（2020·上海课时练习）将下列指数式改为对数式： （1）2139-=，对数式为_____________； （2）128=___________； （3）3481x -=，对数式为_____________； （4）9x e =，对数式为_____________.【答案】31log 29=- 81log 2= 813log 4=-x ln9=x【解析】(1) 利用互化公式可得，2139-=31log 29⇔=-.(2) 利用互化公式可得，128=81log 2⇔=(3) 利用互化公式可得，3481x -=813log 4x ⇔=-(4) 利用互化公式可得，9x e =ln9x ⇔=.故答案为: 31log 29=-；81log 2=；813log 4=-x ；ln9=x .2．（2020·全国课时练习）用对数的形式表示下列各式中的x ： （1）1025x =；（2）212x =；（3）56x =；（4）146x=. 【答案】（1）lg 25x =；（2）2log 12x =；（3）5log 6x =；（4）41log 6x =. 【解析】（1） 1025x =根据指数式与对数式的相互转化,log ,Na ab b N ==∴ lg 25x =（2）212x =根据指数式与对数式的相互转化,log ,Na ab b N ==∴2log 12x = （3）56x =根据指数式与对数式的相互转化,log ,Na ab b N ==∴5log 6x =（4）146x =根据指数式与对数式的相互转化,log ,Na ab b N ==∴41log 6x =考点四 对数式求值【例4】（2020·全国课时练习）求下列各式中x 的值： （1）642log 3x =-； （2）log 86x =； （3）lg100x =； （4）2ln e x -=.【答案】（1）116；（2；（3）2；（4）2- 【解析】（1）因为642log 3x =-所以()2232331644416x ---====.（2）因为log 86x =,所以68x =.又0x >所以()1113626822x ====（3）因为1g100x =所以210100,1010xx==于是2x = （4）因为2ln e x -=所以22ln ,xe x e e -=-=于是2x =-【举一反三】1．（2020·宁县第二中学）方程()2log 121x -=的解x =__________ 【答案】12-【解析】∵22log (12)1log 2x -==，∴122x -=，∴12x =-经检验12x =-满足120x ->故答案为：12-.2．（2019·安徽金安·六安一中）已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么12x -＝( ) A ．13B ．36C ．33D ．24【答案】D【解析】∵()732log log log 0x ⎡⎤⎣⎦＝，∴()32log log 1x =，∴2log 3x =，∴8x =． ∴121248x-==．故选D ． 3.求下列各式中的x 的值．(1)log 2(log 3x )＝0；(2)log 5(log 2x )＝1；(3)log (3＋1)23－1＝x . 【答案】（1）3 （2）32 （3）1【解析】 (1)因为log 2(log 3x )＝0，所以log 3x ＝1，所以x ＝3. (2)因为log 5(log 2x )＝1，所以log 2x ＝5，所以x ＝25＝32. (3)23－1＝23＋12＝3＋1，所以log (3＋1)23－1＝log (3＋1)(3＋1)＝1，所以x ＝1.考点五 对数运算或化简【例5】（2020·上海课时练习）计算下列各式： （1）41log 16=___________； （2）log 125=_________； （3）23log 3log ⨯=_________；（4）93log 8log 2=________； （5）345678log 4log 5log 6log 7log 8log 9⨯⨯⨯⨯⨯=________．【答案】-2346 32 2【解析】（1）2441log log 4216-==-； （2）225553254332log log log 52===（3）12322232333log 38log 3log 2log 3log 26log 3log 2612⨯=⨯=⨯⨯=⨯= （4）239333333log 2log log 832log 2log 2log 222=== （5）345678log 4log 5log 6log 7log 8log 9⨯⨯⨯⨯⨯lg 4lg5lg 6lg 7lg8lg9lg3lg 4lg5lg 6lg 7lg8=⨯⨯⨯⨯⨯ 2lg 9lg 32lg 32lg 3lg 3lg 3==== 故答案为：2-；34；6；32；2.【举一反三】1．（2020·四川达州·高三其他（文））计算ln 2231lg 2lg5e ----=______．【答案】0【解析】由题意(()1233ln 22231lg 2lg532lg 2lg532lg100e ---⎡⎤⎛⎫⎢⎥---=--+=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故答案为：0.2．（2020·石嘴山市第三中学）49log 43log lg 25lg 47+++=______. 【答案】154【解析】根据对数的运算性质及换底公式化简可得49log 43log lg 25lg 473+++ ()773log 44log 4933log lg 25473=+⨯+711log 42423log 3lg107-=++1152244=-++=，故答案为：154. 3. log 2748＋log 212－12log 242； 【答案】－12【解析】原式＝log 27×1248×42＝log 2212-＝－12.4.(lg2)3＋3lg2·lg5＋(lg5)3. 【答案】1【解析】原式＝(lg2＋lg5)[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg2·lg5＝(lg2)2＋2lg2·lg5＋(lg5)2＝(lg2＋lg5)2＝1.一．化简或计算下列指数式（1）()11222512220.0134-⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2（3） （4）122303112163125π--⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（5 （6）014133270.06480.018-⎛⎫--++- ⎪⎝⎭.（7） （8）21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48-----+（9 （10）0.752231(0.25)816--⎛⎫+- ⎪⎝⎭强化练习（11）()1620162020449-⎛⎫+--⨯+ ⎪⎝⎭（12）21348)0.0081π-++（13）01430.75337(0.064)(2)168---⎛⎫⎡⎤--+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭（14）1210951)(3)254π--⎛⎫-++- ⎪⎝⎭； （15）1 1.51223311(0.001)(27)49---⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】（1）1615；（2）-2 （3）0（4）41 （5）0.5； （6）17.6 （7）6；（8）12.（9）23π-；（10）12（11）99π+（12）1.3；（13）2716（14（15）44【解析】（1）原式11221411116114910061015⎛⎫⎛⎫=+⨯-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）原式2222=-++=-．（3）原式1141233=⋅ 133==0=（4）原式()()()2123133363513695141----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-+=+-+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦（5）原式530.50.522=--=； （6）原式45120.117.62=-++=.（7）原式1223==⨯111111111113336332362233223236--+++=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=.（8）原式1223232223333331()1()()1()()2222222----⎡⎤⎡⎤=--+=--+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.（9）原式3323πππππ=-+-=-+=-；（10）原式()3243243223164111244282122---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=⎢⎥= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎦+⎥-⎝⎭⎢⎣；（11）原式237231434π=⨯+-⨯+-10817399ππ=+-+-=+；（12）210348)0.0081π-++()21113134423624123102++-⎛⎫=-+⨯+ ⎪⎝⎭120.32 1.3=-++=（13）01430.75337(0.064)(2)168---⎛⎫⎡⎤--+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭()10.7533431(410)1216---=⨯-++51112168=-++2716= （14）1210951)(3)254π--⎛⎫-++- ⎪⎝⎭11232335411543-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦5533=-= （15）1 1.51223311(0.001)(27)49---⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()1233331322221131.302---⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎡⎤=+-+⎣⎦⎥⎣⎦⎣⎦，10922744=+-+=.二．化简或计算下列对数式 （1）21log 31324lg 22493+- （2）ln 2145log 22lg 4lg 8e +++（3）lg 32lg 21lg1.2+- （4）ln 216643log 22log 2log 2e +++． (5)3log 18662log 2log 93250(lg 4lg 25)++++.（6）7114log 335508111log 4log 0.012log 71642e -⎛⎫+⋅⋅-+-+ ⎪⎝⎭. （7）2634181log 362-⎛⎫+- ⎪⎝⎭（8）233371log 7log 21log 7log 3--（9）2233318log 752log 52-⎛⎫++- ⎪⎝⎭．（10）31log 225lg 2lg 230.252-+++. 【答案】（1）132（2）52.（3）1（4）52（5）520（6）3（7）29 ；（8）0（9）9（10）5【解析】（1）原式()()115lg 22lg 72lg 22lg 7lg52322=--+++⨯，11lg 2lg5622=++，113622=+= （2）ln 2145log 22lg 4lg 8e +++2232log 22lg2lg5lg22-=++-+ 14lg 2lg53lg 222=-++-+ 3lg 2lg52=++52= （3）lg32lg 21lg3lg 41lg12lg10lg1.2lg1.2lg1.2+-+--==12lg101lg1.2== （4）原式66132log 2log 222=-+++613log (4)222=-+⨯+1122=-++52=（5）原式6log (49)182502218500520=⨯++⨯=++= （6）7114log 335508111log 4log 0.012log 71642e -⎛⎫+⋅⋅-+-+ ⎪⎝⎭14455431lg32lg 211log 100log 1124lg343lg 22-⎛⎫=+⨯⨯++-+ ⎪⎝⎭15311122log 10012443-⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯+⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21121333=++-+=. （7）2634181log 362-⎛⎫+- ⎪⎝⎭34224623log 6⨯=+- 343229+-=，（8）233371log 7log 21log 7log 3--()2333333log 7log 7log log 7log 7=+--()3333log 7log 7log lo 13g 7-=+-0=（9）原式=()()232333333212log 3552log 542log 32log 52log 512++⨯⨯-=+++-⎛⎫⎪⎝⎭4419=++=，故答案为：9.（10）31212log 222551lg 2lg 230.25lg lg 22222--⎡⎤⎛⎫+++=+++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦151lg 42lg10414522-⎛⎫=⨯++=+=+= ⎪⎝⎭故答案为：5。

高中数学导数新课标内容
在高中数学中，导数是微积分学的基础概念之一，它描述了函数在某
一点处的变化率。

新课标下的高中数学导数内容主要包括以下几个方面：
1. 导数的概念：导数是函数在某一点处的切线斜率，它反映了函数值
随自变量变化的快慢。

2. 导数的几何意义：在函数图像上，导数表示的是曲线在某一点处的
切线斜率。

3. 导数的计算：对于基本初等函数，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，新课标要求学生能够熟练掌握它们的导数公式，并能运
用这些公式进行导数的计算。

4. 导数的运算法则：包括导数的加减法、乘法、除法以及复合函数的
求导法则。

5. 高阶导数：对于函数的导数再次求导，得到的结果称为高阶导数。

6. 导数在实际问题中的应用：新课标强调导数在实际问题中的应用，
如最优化问题、物理运动学问题等。

7. 微分的概念：微分是导数的另一种表述，它描述了函数在某一点处
的微小变化量。

8. 微分的应用：微分在近似计算、误差分析等方面有广泛应用。

9. 导数与函数的单调性、极值和最值：导数可以用来研究函数的单调性，通过求导数的符号变化来确定函数的单调区间；同时，导数的零点可以用来寻找函数的极值点，进而研究函数的最值问题。

10. 导数与曲线的凹凸性：通过二阶导数的符号，可以判断曲线在某一点的凹凸性，这对于理解函数图像的局部行为非常重要。

新课标下的高中数学导数内容不仅要求学生掌握理论知识，还强调了导数在解决实际问题中的应用，以及与其他数学分支的联系。

通过这些内容的学习，学生能够更好地理解函数的变化规律，为进一步学习高等数学打下坚实的基础。

高中数学指数与对数问题解析实例与分析在高中数学学习中，指数与对数是一个非常重要的知识点。

它们广泛应用于科学、工程、经济等领域，对于学生的数学素养和解题能力的培养至关重要。

本文将通过具体的例子，来分析指数与对数问题的解题技巧和考点，并指导学生和家长如何应对这类题目。

一、指数问题的解析实例与分析指数问题是指涉及指数运算的数学题目。

下面我们来看一个例子：例题1：已知2^x = 16，求x的值。

解析：这是一个典型的指数方程题目。

我们可以将16写成2的幂次形式，即16=2^4，然后将等式两边的底数取对数，得到x=log2(16)=4。

所以，x的值为4。

这个例子展示了指数问题的解题思路。

首先，我们要将指数方程转化为底数相同的等式，然后再通过取对数来求解。

这是解决指数问题的一种基本方法。

除了指数方程，指数函数也是高中数学中常见的题型。

下面我们来看一个例子：例题2：已知f(x)=2^x-1，求f(3)的值。

解析：这是一个指数函数的题目。

我们将3代入函数中，得到f(3)=2^3-1=8-1=7。

所以，f(3)的值为7。

这个例子告诉我们，在求函数值时，我们只需要将自变量代入函数中进行计算即可。

同时，要注意指数函数的特点，即底数为正数且不等于1。

二、对数问题的解析实例与分析对数问题是指涉及对数运算的数学题目。

下面我们来看一个例子：例题3：已知log2(x)=3，求x的值。

解析：这是一个典型的对数方程题目。

我们可以将等式转化为指数形式，即2^3=x。

所以，x的值为8。

这个例子展示了对数问题的解题思路。

我们要将对数方程转化为指数形式，然后再进行求解。

除了对数方程，对数函数也是高中数学中常见的题型。

下面我们来看一个例子：例题4：已知g(x)=log2(x+1)，求g(7)的值。

解析：这是一个对数函数的题目。

我们将7代入函数中，得到g(7)=log2(7+1)=log2(8)。

由于8可以写成2的幂次形式，即8=2^3，所以g(7)=log2(8)=3。

黄冈中学高考数学典型例题详解指数、对数函数指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.●难点磁场(★★★★★)设f (x )=log 2xx -+11,F (x )=x-21+f (x ). (1)试判断函数f (x )的单调性，并用函数单调性定义，给出证明； (2)若f (x )的反函数为f －1(x ),证明：对任意的自然数n (n ≥3),都有f －1(n )>1+n n ; (3)若F (x )的反函数F －1(x ),证明：方程F －1(x )=0有惟一解.●案例探究［例1］已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点.(1)证明：点C 、D 和原点O 在同一条直线上； (2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目.知识依托：(1)证明三点共线的方法：k OC =k OD .(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A 点坐标. 错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题.技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A 的坐标.(1)证明：设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,由题意知：x 1>1,x 2>1,则A 、B 纵坐标分别为log 8x 1,log 8x 2.因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =,点C 、D 坐标分别为(x 1,log 2x 1),(x 2,log 2x 2),由于log 2x 1=2log log 818x ===2log log log ,log 38282218xx x 3log 8x 2,所以OC 的斜率：k 1=118212log 3log x x x x =, OD 的斜率：k 2=228222log 3log x x x x =，由此可知：k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一条直线上.(2)解：由BC 平行于x 轴知：log 2x 1=log 8x 2 即：log 2x 1=31log 2x 2,代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2得：x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1>1知log 8x 1≠0,∴x 13=3x 1.又x 1>1,∴x 1=3,则点A 的坐标为(3，log 83).［例2］在xOy 平面上有一点列P 1(a 1,b 1),P 2(a 2,b 2),…,P n (a n ,b n )…,对每个自然数n 点P n 位于函数y =2000(10a )x(0<a <1)的图象上，且点P n ,点(n ,0)与点(n +1,0)构成一个以P n 为顶点的等腰三角形.(1)求点P n 的纵坐标b n 的表达式；(2)若对于每个自然数n ,以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围；(3)设C n =lg(b n )(n ∈N *),若a 取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{C n }前多少项的和最大？试说明理由.命题意图：本题把平面点列，指数函数，对数、最值等知识点揉合在一起，构成一个思维难度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力.属★★★★★级题目.知识依托：指数函数、对数函数及数列、最值等知识.错解分析：考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口. 技巧与方法：本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运用相关的知识点去解决问题.解：(1)由题意知：a n =n +21,∴b n =2000(10a )21+n .(2)∵函数y =2000(10a )x(0<a <10)递减，∴对每个自然数n ,有b n >b n +1>b n +2.则以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n +2+b n +1>b n ,即(10a )2+(10a)－1>0,解得a <－5(1+2)或a >5(5－1).∴5(5－1)<a <10.(3)∵5(5－1)<a <10,∴a =7∴b n =2000(107)21+n .数列{b n }是一个递减的正数数列，对每个自然数n ≥2,B n =b n B n －1.于是当b n ≥1时，B n <B n －1,当b n <1时，B n ≤B n －1,因此数列{B n }的最大项的项数n 满足不等式b n ≥1且b n +1<1,由b n =2000(107)21+n ≥1得：n ≤20.8.∴n =20.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法有：(1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题.此类题目要求考生熟练掌握函数的图象和性质并能灵活应用.(2)综合性题目.此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力. (3)应用题目.此类题目要求考生具有较强的建模能力.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)定义在(－∞,+∞)上的任意函数f (x )都可以表示成一个奇函数g (x )和一个偶函数h (x )之和，如果f (x )=lg(10x +1),其中x ∈(－∞,+∞),那么( )A.g (x )=x ,h (x )=lg(10x +10－x +2)B.3.(★★★★★)已知函数f (x )=⎩⎨⎧<<--≥)02( )(log )0( 22x x x x .则f -－1(x －1)=_________.4.(★★★★★)如图，开始时，桶1中有a L 水，t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y = ae －nt ,那么桶2中水就是y 2=a －ae －nt ,假设过5分钟时，桶1和桶2的水相等，则再过_________分钟桶1中的水只有8a .三、解答题5.(★★★★)设函数f (x )=log a (x －3a )(a >0且a ≠1),当点P (x ,y )是函数y =f (x )图象上的点时，点Q (x －2a ,－y )是函数y =g (x )图象上的点.(1)写出函数y =g (x )的解析式；(2)若当x ∈［a +2,a +3］时，恒有|f (x )－g (x )|≤1,试确定a 的取值范围.6.(★★★★)已知函数f (x )=log a x (a >0且a ≠1),(x ∈(0,+∞)),若x 1,x 2∈(0,+∞),判断21［f (x 1)+f (x 2)］与f (221x x +)的大小，并加以证明.7.(★★★★★)已知函数x ,y满足x ≥1,y ≥1.log a 2x +log a 2y =log a (ax 2)+log a (ay 2)(a >0且a ≠1),求log a (xy )的取值范围.8.(★★★★)设不等式2(log 21x )2+9(log 21x )+9≤0的解集为M ，求当x ∈M 时函数f (x )=(log 22x )(log 28x )的最大、最小值.参考答案 难点磁场解：(1)由xx-+11>0,且2－x ≠0得F (x )的定义域为(－1，1)，设－1＜x 1＜x 2＜1,则F (x 2)－F (x 1)=(122121x x ---)+(11222211log 11log x x x x -+--+) )1)(1()1)(1(log )2)(2(212122112x x x x x x x x -++-+---=, ∵x 2－x 1>0,2－x 1>0,2－x 2>0,∴上式第2项中对数的真数大于1. 因此F (x 2)－F (x 1)>0,F (x 2)>F (x 1),∴F (x )在(－1，1）上是增函数.(2)证明：由y =f (x )=x x -+11log 2得：2y =1212,11+-=-+y y x x x, ∴f －1(x )=1212+-x x ,∵f (x )的值域为R ，∴f -－1(x )的定义域为R .当n ≥3时，f -1(n )>1221111221112121+>⇔+->+-⇔+>+-⇔+n n n n n n n n n n . 用数学归纳法易证2n >2n +1(n ≥3),证略.(3)证明：∵F (0)=21,∴F －1(21)=0,∴x =21是F －1(x )=0的一个根.假设F －1(x )=0还有一个解x 0(x 0≠21),则F -1(x 0)=0,于是F (0)=x 0(x 0≠21).这是不可能的，故F -1(x )=0有惟一解.歼灭难点训练一、1.解析：由题意：g (x )+h (x )=lg(10x +1)①又g (－x )+h (－x )=lg(10－x +1).即－g (x )+h (x )=lg(10－x +1)②由①②得：g (x )=2x,h (x )=lg(10x +1)－2x . 答案：C2.解析：当a >1时，函数y =log a x 的图象只能在A 和C 中选，又a >1时，y =(1－a )x 为减函数.答案：B二、3.解析：容易求得f- －1(x )=⎩⎨⎧<-≥)1( 2)1( log 2x x x x ,从而：f －1(x －1)=⎩⎨⎧<-≥--).2( ,2)2(),1(log 12x x x x答案：⎩⎨⎧<-≥--)2( ,2)2(),1(log 12x x x x4.解析：由题意，5分钟后，y 1=ae －nt ,y 2=a －ae －nt ,y 1=y 2.∴n =51l n 2.设再过t 分钟桶1中的水只有8a ,则y 1=ae －n (5+t )=8a,解得t =10. 答案：10三、5.解：(1)设点Q 的坐标为(x ′,y ′),则x ′=x －2a ,y ′=－y .即x =x ′+2a ,y =－y ′.∵点P (x ,y )在函数y =log a (x －3a )的图象上，∴－y ′=log a (x ′+2a －3a ),即y ′=log aax -21,∴g (x )=log aa x -1.(2)由题意得x －3a =(a +2)－3a =－2a +2>0;a x -1=aa -+)3(1>0,又a >0且a ≠1,∴0＜a ＜1,∵|f (x )－g (x )|=|log a (x －3a )－log aax -1|=|log a (x 2－4ax +3a 2)|·|f (x )－g (x )|≤1,∴－1≤log a (x 2－4ax +3a 2)≤1,∵0＜a ＜1,∴a +2>2a .f (x )=x 2－4ax +3a 2在［a +2,a +3］上为减函数，∴μ(x )=log a (x 2－4ax +3a 2)在［a +2,a +3］上为减函数，从而［μ(x )］max =μ(a +2)=log a (4－4a ),［μ(x )］mi n =μ(a +3)=log a (9－6a ),于是所求问题转化为求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-<<1)44(log 1)69(log 10a a a aa 的解.由log a (9－6a )≥－1解得0＜a ≤12579-,由log a (4－4a )≤1解得0＜a ≤54, ∴所求a 的取值范围是0＜a ≤12579-.6.解：f (x 1)+f (x 2)=log a x 1+log a x 2=log a x 1x 2,∵x 1,x 2∈(0,+∞),x 1x 2≤(221x x +)2(当且仅当x 1=x 2时取“=”号)， 当a >1时，有log a x 1x 2≤log a (221xx +)2,∴21log a x 1x 2≤log a (221x x +)，21(log a x 1+log a x 2)≤log a 221x x +, 即21[f (x 1)+f (x 2)］≤f (221x x +)(当且仅当x 1=x 2时取“=”号) 当0＜a ＜1时，有log a x 1x 2≥log a (221xx +)2,∴21(log a x 1+log a x 2)≥log a 221x x +,即21［f (x 1)+f (x 2)］≥f (221x x +)(当且仅当x 1=x 2时取“=”号）.7.解：由已知等式得：log a 2x +log a 2y =(1+2log a x )+(1+2log a y ),即(log a x －1)2+(log a y －1)2=4,令u =log a x ,v =log a y ,k =log a xy ,则(u －1)2+(v －1)2=4(uv ≥0),k =u +v .在直角坐标系uOv 内，圆弧(u －1)2+(v －1)2=4(uv ≥0)与平行直线系v =－u +k 有公共点，分两类讨论.(1)当u ≥0,v ≥0时，即a >1时，结合判别式法与代点法得1+3≤k ≤2(1+2); (2)当u ≤0,v ≤0,即0＜a ＜1时，同理得到2(1－2)≤k ≤1－3.x 综上，当a >1时，log a xy 的最大值为2+22，最小值为1+3；当0＜a ＜1时，log a xy 的最大值为1－3，最小值为2－22.8.解：∵2(21log x )2+9(21log x )+9≤0∴(221log x +3)( 21log x +3)≤0.∴－3≤21log x ≤－23.即21log (21)－3≤21log x ≤21log (21)23-∴(21)23-≤x ≤(21)－3,∴22≤x ≤8即M ={x |x ∈［22,8］}又f (x )=(log 2x －1)(log 2x －3)=log 22x －4log 2x +3=(log 2x －2)2－1.∵22≤x ≤8,∴23≤log 2x ≤3∴当log 2x =2,即x =4时y mi n =－1;当log 2x =3,即x =8时，y max =0.。

指数函数与对数函数●知识网络●范题精讲一、指数及对数运算 【例1】 (1)已知2121-+xx =3,求32222323++++--x x x x 的值；(2)已知lg(x +y )+lg(2x +3y )－lg3=lg4+lg x +lg y ,求yx的值. (1)分析:由分数指数幂运算性质可求得2323-+x x 和x 2+x－2的值.解:∵2121-+x x =3，∴)(3)(2121321212323x x x x xx +-+=+--=33－3×3=18.x 2+x －2=(x +x －1)2－2=［(22121)-+xx －2］2－2=(32－2)2－2=47.∴原式=52347218=++.(2)分析:注意x 、y 的取值范围，去掉对数符号，找到x 、y 的关系式. 解:由题意可得x >0,y >0,由对数运算法则得 lg(x +y )(2x +3y )=lg(12xy ), 则(x +y )(2x +3y )=12xy . (2x －y )(x －3y )=0, 即2x =y 或x =3y . 故21=y x 或yx =3. 评注:条件代数式的求值问题包括以下三个方面:(1)若条件简单,结论复杂,可从化简结论入手用上条件;(2)若条件复杂,结论简单,可从化简条件入手,转化成结论的形式;(3)若条件与结论的复杂程度相差无几时,可同时对它们进行化简,直到找出它们之间的联系为止.对于齐次方程的化简,也可在方程两边同除以某一齐次项,把方程转化成要求的代数式为未知数的方程的形式.二、指数函数、对数函数的性质应用 【例2】 已知函数y =a1log (a 2x )·log a 2(ax1)(2≤x ≤4)的最大值为0，最小值为－81，求a 的值.解:y =a1log (a 2x )·log a 2(ax1) =－log a (a 2x )［－21log a (ax )］ =21(2+log a x )(1+log a x ) =21(log a x +23)2－81,∵2≤x ≤4且－81≤y ≤0,∴log a x +23=0,即x =23-a 时，y min =－81.∵x ≥2>1,∴23-a>10<a <1.又∵y 的最大值为0时，log a x +2=0或log a x +1=0,即x =21a 或x =a 1.∴21a =4或a 1=2.又∵0<a <1,∴a =21.评注:(1)若不注意发现隐含条件"0<a <1"则会造成不必要的分类讨论.(2)在最值问题中以二次函数为内容的最值最常见，而且许多表面上非二次函数最值问题通过适当变形都可以转化为二次函数最值.三、指数函数、对数函数图象的应用【例3】 已知a ＞0，且a ≠1，函数y =a x 与y =log a (－x )的图象只能是下图中的解法一:首先，曲线y =a x 只可能在上半平面，y =log a (－x )只可能在左半平面上，从而排除A 、C.其次，从单调性着眼,y =a x 与y =log a (－x )的增减性正好相反，又可排除D. ∴应选B.解法二:若0＜a ＜1，则曲线y =a x 下降且过点(0,1)，而曲线y =log a (－x )上升且过(－1，0),以上图象均不符合这些条件.若a ＞1，则曲线y =a x 上升且过点(0，1)，而曲线y =log a (－x )下降且过(－1，0)，只有B 满足条件.解法三:如果注意到y =log a (－x )的图象关于y 轴的对称图象为y =log a x ，又y =log a x 与y =a x互为反函数(图象关于直线y =x 对称)，则可直接选定B.评注:要养成从多角度分析问题，解决问题的习惯，培养思维的灵活性. 四、函数应用举例【例4】 某企业实行裁员增效，已知现有员工a 人，每人每年可创纯利润1万元，据评估在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的43，设该企业裁员x 人后纯收益为y 万元.(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围;(2)当140<a ≤280时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益.(注：在保证能获得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁)解:(1)由题意可得y =(a －x )(1+0.01x )－0.4x =－1001x 2+(100a －100140)x +a . ∵a －x ≥43a x ≤4a , 即x 的取值范围是(0, 4a]中的自然数.(2)∵y =－1001［x －(2a －70)］2+1001 (2a－70)2+a且140<a ≤280,∴2a －70∈(0,4a].∴当a 为偶数时，x =2a－70,y 取最大值;当a 为奇数时，x =21+a －70或x =21-a －70.∵尽可能少裁人，∴x =21-a －70.评注:应用题的解题过程:还原推理演算指数函数与对数函数测试卷说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.已知集合A ={y |y =log 2x ,x ＞1},B ={y |y =(21)x,x ＞1},则A ∩B 等于 A.{y |0＜y ＜21} B.{y |0＜y ＜1}C.{y |21＜y ＜1} D. ∅解析:∵y =log 2x ,x ＞1,∴y ＞0,即A ={y |y ＞0}.又∵y =(21)x ,x ＞1,∴0＜y ＜21,即B ={y |0＜y ＜21＝. ∴A ∩B ={y |y ＞0}∩{y |0＜y ＜21}={y |0＜y ＜21}.答案:A2.函数y =21log (x 2－6x +17)的值域是A.RB.［8，+∞)C.(－∞,－3)D.［－3,+∞)解析:y =21log ［(x －3)2+8］≤21log 8=－3. 答案:C3.下列结论中正确的个数是①当a ＜0时，232)(a =a 3 ②n n a =|a | ③函数y =21)2(-x －(3x －7)0的定义域是(2, +∞) ④若100a =5,10b =2,则2a +b =1A.0B.1C.2D.3解析:取a =－2，可验证①不正确； 当n 为奇数时，②不正确；③y =21)2(-x －(3x －7)0的定义域应是［2，37］∪(37，+∞); ④由100a =5,得102a =5. (1) 又10b =2, (2)(1)×(2)得102a +b =10. ∴2a +b =1,此命题正确. 答案:B 4.函数y =xx --2)1(log 2的定义域是A.(1，2］C.(2，+∞)D.(－∞,2) 解析:由题意得⎩⎨⎧>->-02,01x x 1＜x ＜2.答案:B5.设有两个命题:①关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对于一切x ∈R 恒成立，②函数f (x )=－(5－2a )x 是减函数，若此二命题有且只有一个为真命题，则实数a 的范围是A.(－2,2)B.(－∞,2)C.(－∞,－2)D.(－∞,－2]解析:①等价于Δ=(2a )2－16<0－2<a <2.②等价于5－2a >1a <2. ①②有且只有一个为真， ∴a ∈(－∞,－2). 答案:C6.二次函数y =ax 2+bx 与指数函数y =(ab )x的图象只可能是解析:由y =(a b )x 的图象知0＜a b＜1, ∴－21＜－a b 2＜0,即二次函数y =ax 2+bx 的对称轴在－21到0之间.答案:A7.已知函数y =f (x )的反函数为f －1(x )=2x +1,则f (1)等于 A.0 B.1 C.－1D.4解析:令f (1)=x ,则f －1(x )=1,令2x +1=1, ∴x =－1. 答案:C8.若定义在区间(－1，0)内的函数f (x )=log 2a (x +1)满足f (x )>0,则a 的取值范围是A.(0,21) B.(0,21] C.( 21,+∞)D.(0,+∞)解析:f (x )=log 2a (x +1)>0=log 2a 1. ∵x ∈(－1,0),∴0＜x +1<1. ∴0<2a <1,即0<a <21. 答案:A9.右图是指数函数①y =a x ,②y =b x ,③y =c x ,④y =d x 的图象,则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是A.a ＜b ＜1＜c ＜d cC.1＜a ＜b ＜c ＜d c解析:因为任何底数的一次幂都是底数本身,所以,可作直线x =1,它同各个图象相交,交点的纵坐标就是各指数函数的底数.答案:B10.设lg2=a ,lg3=b ,则log 512等于A.a ba ++12 B.a ba ++12 C.ab a -+12D.ab a -+12解析:log 512=a ba g -+=-+=⨯=122lg 13lg 2lg 2210lg 3215lg 12lg 2.答案:C第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.方程xx3131++-=3的解是_________. 解析:由xx3131++-=3得3·32x +2·3x －1=0.∴3x =31或3x =－1(舍). ∴x =－1. 答案:－112.1992年底世界人口达到54.8亿,若人口的年平均增长率为1%,经过x 年后世界人口数为 y 亿,则y 与x 的函数解析式为_________.解析:1992年底世界人口为54.8亿. 1年后的人口数为y 1=54.8+54.8×1%=54.8×(1+1%); 2年后的人口数为y 2=54.8×(1+1%)+54.8×(1+1%)×1%=54.8×(1+1%)2; 3年后的人口数为 y 3=54.8×(1+1%)3; ……x 年后的人口数为y =54.8×(1+1%)x . 答案:y =54.8×(1+1%)x13.若不等式3x 2－2ax>(31)x +1对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为_______. 解析:由题意知x 2－2ax >－x －1恒成立, 即x 2－(2a －1)x +1>0恒成立. 故Δ=(2a －1)2－4<0－2321<<a . 答案:－2321<<a 14.关于x 的方程7x +1－7x ·a －a －5=0有负根，则a 的取值范围是_________.解法一:由7x +1－7x·a －a －5=0得a =17571+-+x x =7－1712+x ，∵x ＜0，∴1＜7x +1＜2. ∴6＜1712+x＜12. ∴－5＜a ＜1.解法二:由7x +1－7x ·a －a －5=0得7x =aa -+75. ∵x ＜0,∴0＜7x ＜1.∴0＜aa -+75＜1. 解得－5＜a ＜1. 答案:－5＜a ＜1三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分8分)一种放射性元素,最初的质量为500 g,按每年10%衰减. (1)求t 年后,这种放射性元素质量ω的表达式;(2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期).(精确到0.1.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771)解:(1)最初的质量为500 g.经过1年后,ω=500(1－10%)=500×0.91;经过2年后,ω=500×0.9(1－10%)=500×0.92; 由此推知,t 年后,ω=500×0.9t . (2)解方程500×0.9t =250, 0.9t =0.5, lg0.9t =lg0.5, t lg0.9=lg0.5, t =13lg 22lg 9.0lg 5.0lg --=≈6.6(年), 即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.16.(本小题满分10分)甲、乙两人解关于x 的方程:log 2x +b +c log x 2=0,甲写错了常数b ，得到根41、81；乙写错了常数c ，得到根21、64.求这个方程真正的根. 解:原方程可变形为log 22x +b log 2x +c =0. 由于甲写错了常数b ，得到的根为41和81， ∴c =log 241·log 281=6.由于乙写错了常数c ,得到的根为21和64, ∴b =－(log 221+log 264)=－5.故原方程为log 22x －5log 2x +6=0. 因式分解得(log 2x －2)(log 2x －3)=0. ∴log 2x =2或log 2x =3，即x =4或x =8. 17.(本小题满分12分)试讨论函数f (x )=log a11-+x x (a ＞0且a ≠1)在(1,+∞)上的单调性,并予以证明.分析:本题考查复合函数单调性的判定方法,判定的法则是同增异减,判定的关键是分清函数的复合过程.解:设u =11-+x x ,任取x 2＞x 1＞1,则 u 2－u 1=11111122-+--+x x x x =)1)(1()1)(1()1)(1(122112---+--+x x x x x x=)1)(1()(21221---x x x x .∵x 1＞1,x 2＞1,∴x 1－1＞0,x 2－1＞0.又∵x 1＜x 2,∴x 1－x 2＜0. ∴)1)(1()(21221---x x x x ＜0,即u 2＜u 1.当a ＞1时,y =log a x 是增函数,∴log a u 2＜log a u 1, 即f (x 2)＜f (x 1);当0＜a ＜1时,y =log a x 是减函数,∴log a u 2＞log a u 1, 即f (x 2)＞f (x 1).综上可知,当a ＞1时,f (x )=log a11-+x x 在(1,+∞)上为减函数;当0＜a ＜1时,f (x )=log a11-+x x 在(1,+∞)上为增函数.18.(本小题满分12分)设f (x )=lg 3421ax x ++，且当x ∈(－∞,1］时f (x )有意义，求实数a 的取值范围.解:欲使x ∈(－∞,1]时，f (x )有意义，需1+2x +4x a ＞0恒成立，也就是a ＞ －［(21)x +(41)x］(x ≤1)恒成立. ∵u (x )=－［(21)x +(41)x ］在(－∞,1］上是增函数，∴当x =1时，［u (x )］max =－43.于是可知，当a ＞－43时，满足题意,即a 的取值范围为(－43，+∞).19.(本小题满分12分)某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y 是研究时间t 的函数，记作y =f (t ).(1)写出函数y =f (t )的定义域和值域；(2)在所给坐标系中画出y =f (t )(0≤t <6)的图象；(3)写出研究进行到n 小时(n ≥0，n ∈Z )时，细菌的总数有多少个(用关于n 的式子表示). 解:(1)y =f (t )定义域为t ∈［0,+∞), 值域为{y |y =2n ,n ∈N *}.(2)0≤t <6时，为一分段函数y =⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤<≤).6(4 8),4(24),2(0 2t t t 图象如下图.xy O876543211 2 3 4 5 6(3)n 为偶数时，y =122+n ;n 为奇数时，y =1212+-n .∴y =⎪⎩⎪⎨⎧+-+.2,2 121 12为奇数为偶数n n n n。