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2017年宜阳一高数学高二期末备考卷

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2017年05月15日数学组的高中数学组卷一．选择题（共12小题）1．在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知i为虚数单位，则z=i+i2+i3+…+i2017=（）A．0 B．1 C．﹣i D．i3．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是（）A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数4．数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定5．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A．10 B．11 C．12 D．136．已知椭圆=1长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．87．已知z=2x+y，其中实数x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．4 D．8．对任意a∈[﹣1，1]，函数f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于0，则x 的范围是（）A．x＜1或x＞2 B．1＜x＜2 C．x＜1或x＞3 D．1＜x＜39．双曲线的离心率为2，则的最小值为（）A．B．C．2 D．110．已知数列{a n}中a n=（n∈N*），将数列{a n}中的整数项按原来的顺序组成数列{b n}，则b2018的值为（）A．5035 B．5039 C．5043 D．504711．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．3 B．C．D．12．设f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（x）＞2f（x）（x∈R），f（）=e（e 为自然对数的底数），则不等式f（lnx）＜x2的解集为（）A．（0，）B．（0，）C．（，）D．（，）二．填空题（共4小题）13．若不等式ax2+bx+2＜0的解集为{x|}，则a+b=．14．若不等式x2﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是．15．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，6）都在曲线y=bx2﹣附近波动．经计算x i=11，y i=13，x i2=21，则实数b的值为．16．正实数x，y满足：+=1，则x2+y2﹣10xy的最小值为．三．解答题（共6小题）17．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．18．已知正项数列{a n}满足：a1=，a n+1=．（Ⅰ）求通项a n；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n•a n=3（1﹣），求数列{b n}的前n和．19．一个多面体的直观图和三视图如图所示，E，F分别为PB，PC中点．（1）证明：EF∥平面PAD；（2）求三棱锥E﹣ABC的体积．20．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1，C2的方程化成普通方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ＞0，O≤θ＜2π）．21．设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．22．已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．2017年05月15日数学组的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2016•潍坊模拟）在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先根据sinA=sinB时，则有A=B，推断出三角形一定为等腰三角形，进而可知sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的充分条件；同时△ABC为等腰三角形时，不一定是A=B，则sinA和sinB不一定相等，故可推断出sinA=sinB是△ABC 为等腰三角形的不必要条件．【解答】解：当sinA=sinB时，则有A=B，则△ABC为等腰三角形，故sinA=sinB 是△ABC为等腰三角形的充分条件，反之，当△ABC为等腰三角形时，不一定是A=B，若是A=C≠60时，则sinA≠sinB，故sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的不必要条件．故选A．【点评】本题主要考查了必要条件，充分条件，与充要条件的判断．解题的时候注意条件的先后顺序．2．（2017•贵阳一模）已知i为虚数单位，则z=i+i2+i3+…+i2017=（）A．0 B．1 C．﹣i D．i【分析】利用等比数列的求和公式、复数的周期性即可得出．【解答】解：z====i，故选：D．【点评】本题考查了等比数列的求和公式、复数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（2015•洛阳一模）下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是（）A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数【分析】根据三段论推理的标准形式，逐一分析四个答案中的推导过程，可得出结论．【解答】解：对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式；故选：B【点评】本题主要考查推理和证明，三段论推理的标准形式，属于基础题．4．（2017•宝清县一模）数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定【分析】由于{b n}是等差数列，可得b4+b10=2b7．已知a6=b7，于是b4+b10=2a6．由于数列{a n}是正项等比数列，可得a3+a9=≥=2a6．即可得出．【解答】解：∵{b n}是等差数列，∴b4+b10=2b7，∵a6=b7，∴b4+b10=2a7，∵数列{a n}是正项等比数列，∴a3+a9=≥=2a6，∴a3+a9≥b4+b10．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的性质、基本不等式的性质，属于中档题．5．（2016•河南模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A．10 B．11 C．12 D．13【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第1次执行循环体后，S=2，k=2，不满足退出循环的条件，第2次执行循环体后，S=6，k=3，不满足退出循环的条件，第3次执行循环体后，S=14，k=4，不满足退出循环的条件，第4次执行循环体后，S=30，k=5，不满足退出循环的条件，第5次执行循环体后，S=62，k=6，不满足退出循环的条件，第6次执行循环体后，S=126，k=7，不满足退出循环的条件，第7次执行循环体后，S=254，k=8，不满足退出循环的条件，第8次执行循环体后，S=510，k=9，不满足退出循环的条件，第9次执行循环体后，S=1022，k=10，不满足退出循环的条件，第10次执行循环体后，S=2046，k=11，满足退出循环的条件，故输出的k值为11，【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6．（2017•南开区模拟）已知椭圆=1长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．8【分析】根据椭圆=1的长轴在x轴上，焦距为4，可得10﹣m﹣m+2=4，即可求出m的值．【解答】解：∵椭圆=1的长轴在x轴上，焦距为4，∴10﹣m﹣m+2=4，解得m=4，满足题意．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查学生的计算能力，是基础题．7．（2017•河南一模）已知z=2x+y，其中实数x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．4 D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y 的最大值是最小值的4倍，建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得：，即A（1，1），此时z=2×1+1=3，当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得：，即B（a，a），此时z=2×a+a=3a，∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，∴3=4×3a，即a=，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．8．（2015春•西夏区校级期末）对任意a∈[﹣1，1]，函数f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于0，则x的范围是（）A．x＜1或x＞2 B．1＜x＜2 C．x＜1或x＞3 D．1＜x＜3【分析】把二次函数的恒成立问题转化为y=a（x﹣2）+x2﹣4x+4＞0在a∈[﹣1，1]上恒成立，再利用一次函数函数值恒大于0所满足的条件即可求出x的取值范围．【解答】解：原问题可转化为关于a的一次函数y=a（x﹣2）+x2﹣4x+4＞0在a ∈[﹣1，1]上恒成立，只需，∴，∴x＜1或x＞3．故选C．【点评】此题是一道常见的题型，把关于x的函数转化为关于a的函数，构造一次函数，因为一次函数是单调函数易于求解，对此类恒成立题要注意．9．（2017•榆林一模）双曲线的离心率为2，则的最小值为（）A．B．C．2 D．1【分析】根据基本不等式，只要根据双曲线的离心率是2，求出的值即可．【解答】解：由于已知双曲线的离心率是2，故，解得，所以=a+≥2=，最小值是．故选A．【点评】本题考查双曲线的性质及其方程．双曲线的离心率e和渐近线的斜率之间有关系，从这个关系可以得出双曲线的离心率越大，双曲线的开口越大．10．（2017•广西一模）已知数列{a n}中a n=（n∈N*），将数列{a n}中的整数项按原来的顺序组成数列{b n}，则b2018的值为（）A．5035 B．5039 C．5043 D．5047【分析】由a n=（n∈N*），n∈N*，可得此数列为，，，，，，，，，，，，，…．可得a n的整数项为：，，，，，，…．即整数：2，3，7，8，12，13，…．其规律就是各项之间是+1，+4，+1，+4，+1，+4这样递增的，可得其通项公式．【解答】解：由a n=（n∈N*），n∈N*，可得此数列为，，，，，，，，，，，，，…．a n的整数项为：，，，，，，…．即整数：2，3，7，8，12，13，…．其规律就是各项之间是+1，+4，+1，+4，+1，+4这样递增的，=2+5（n﹣1）=5n﹣3，∴b2n﹣1b2n=3+5（n﹣1）=5n﹣2．由2n=2018，解得n=1009，∴b2018=5×1009﹣2=5043．故选：C．【点评】本题考查了递推式的应用、观察分析猜想归纳数列通项公式、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（2017•本溪模拟）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．3 B．C．D．【分析】如图所示，由抛物线C：y2=8x，可得焦点为F，准线l方程，准线l与x 轴相交于点M，|FM|=4．经过点Q作QN⊥l，垂足为N则|QN|=|QF|．由QN∥MF，可得=，即可得出．【解答】解：如图所示由抛物线C：y2=8x，可得焦点为F（2，0），准线l方程为：x=﹣2，准线l与x轴相交于点M，|FM|=4．经过点Q作QN⊥l，垂足为N则|QN|=|QF|．∵QN∥MF，∴==，∴|QN|=3=|QF|．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题、平行线分线段成比例，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（2016•重庆模拟）设f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（x）＞2f（x）（x ∈R），f（）=e（e为自然对数的底数），则不等式f（lnx）＜x2的解集为（）A．（0，）B．（0，）C．（，）D．（，）【分析】构造函数F（x）=，求出导数，判断F（x）在R上递增．原不等式等价为F（lnx）＜F（），运用单调性，可得lnx＜，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集．【解答】解：可构造函数F（x）=，F′（x）==，由f′（x）＞2f（x），可得F′（x）＞0，即有F（x）在R上递增．不等式f（lnx）＜x2即为＜1，（x＞0），即＜1，x＞0．即有F（）==1，即为F（lnx）＜F（），由F（x）在R上递增，可得lnx＜，解得0＜x＜．故不等式的解集为（0，），故选：B．【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查构造法的运用，以及单调性的运用，对数不等式的解法，属于中档题．二．填空题（共4小题）13．（2016春•枣庄校级月考）若不等式ax2+bx+2＜0的解集为{x|}，则a+b=2．【分析】根据不等式与对应方程的关系，结合根与系数的关系，求出a、b的值即可得出结论．【解答】解：∵不等式ax2+bx+2＜0的解集为{x|}，∴对应方程ax2+bx+2=0的两个实数根是和，由根与系数的关系，得；，解得a=12，b=﹣10；∴a+b=2．故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系以及根与系数的关系应用问题，是基础题目．14．（2012•上海）若不等式x2﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是（﹣∞，2）．【分析】根据题意，分离参数，利用函数的单调性，即可得到实数k的取值范围．【解答】解：不等式x2﹣kx+k﹣1＞0可化为（1﹣x）k＞1﹣x2∵x∈（1，2）∴k＜=1+x∴y=1+x是一个增函数∴k＜1+1=2∴实数k取值范围是（﹣∞，2）故答案为：（﹣∞，2）【点评】本题考查一元二次不等式的应用，解题的关键是分离参数，利用函数的单调性确定参数的范围．15．（2016•赣州一模）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，6）都在曲线y=bx2﹣附近波动．经计算x i=11，y i=13，x i2=21，则实数b的值为．【分析】求出各对应点的坐标，代人曲线方程，可以求出实数b的值．【解答】解：根据题意，把对应点的坐标代人曲线y=bx2﹣的方程，即y1=b﹣，y2=b﹣，…，y6=b﹣，∴y1+y2+…+y6=b（++…+）﹣×6；又y i=13，x i2=21，∴13=b×21﹣6×，解得b=．故答案为：．【点评】本题考查了求回归方程系数的应用问题，是基础题目．16．（2016•杭州校级模拟）正实数x，y满足：+=1，则x2+y2﹣10xy的最小值为﹣36．【分析】由+=1得x+y=xy，则x2+y2﹣10xy=（xy﹣6）2﹣36，根据二次函数的性质即可求出．【解答】解：由+=1得x+y=xy，平方得x2+y2+2xy=（xy）2，即x2+y2=﹣2xy+（xy）2，则x2+y2﹣10xy=（xy）2﹣2xy﹣10xy=（xy）2﹣12xy=（xy﹣6）2﹣36，当xy=6时，有最小值，即最小值为﹣36，故答案为：﹣36．【点评】本题考查了基本不等式以及二次函数的性质的应用，属于基础题．三．解答题（共6小题）17．（2015•新课标Ⅰ）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．【分析】（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出．（II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：＞0，代入可得（bk）2=2ak•ck，∴b2=2ac，∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB===．（II）由（I）可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=，∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=．==1．∴S△ABC【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（2014•浙江三模）已知正项数列{a n}满足：a1=，a n+1=．（Ⅰ）求通项a n；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n•a n=3（1﹣），求数列{b n}的前n和．【分析】（Ⅰ）观察数列的递推公式，利用递推公式即可求出数列通项．（Ⅱ）求出数列{b n}的通项，利用公式法和错位相减法求出数列{b n}的前n和．【解答】解：（Ⅰ）∵，即，∴=+=，∴．（Ⅱ）∵，∴b n==2n﹣，∴S n=b1+b2+…b n=（2+4+…+2n）=，令，则，两式相减得：=1+…+=﹣=2（1）﹣，∴∴．【点评】本题主要考察了求解数列的通项以及求和方法，属于中档题．19．（2010秋•香坊区校级期末）一个多面体的直观图和三视图如图所示，E，F 分别为PB，PC中点．（1）证明：EF∥平面PAD；（2）求三棱锥E﹣ABC的体积．【分析】（1）由三视图可得PA⊥面ABCD，且ABCD 为矩形，由三角形的中位线的性质可得EF∥BC，从而有EF∥AD，证得EF∥平面PAD．（2）E到平面ABC的距离等于，△ABC的面积等于矩形ABCD面积的一半，代入三棱锥的体积公式进行运算．【解答】解：（1）由三视图可得PA⊥面ABCD，且ABCD 为矩形，PA=，AB=，AD=2．∵E，F分别为PB，PC中点，∴EF∥BC，∴EF∥AD，而AD⊂平面PAD，EF不在平面PAD内，故有EF∥平面PAD．（2）E到平面ABC的距离等于=，△ABC的面积为=，故三棱锥E﹣ABC的体积为•（）•=••=．【点评】本题考查证明线面平行的方法，三棱锥的体积公式，根据三视图判断几何体的形状是解题的关键．20．（2013秋•银川校级月考）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1，C2的方程化成普通方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ＞0，O≤θ＜2π）．【分析】（1）把给出的参数方程移项后两边平方作和即可化为普通方程；把给出的极坐标方程两边同时乘以ρ，利用ρ2=x2+y2，ρsinθ=y即可化极坐标方程为普通方程；（2）联立方程组求解交点的直角坐标，然后直接化为极坐标．【解答】解：（1）由，得，平方作和得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25．由ρ=2sinθ，得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2﹣2y=0．∴C1的普通方程为（x﹣4）2+（y﹣5）2=25，C2的普通方程为x2+y2﹣2y=0；（2）联立，解得：或．∴C1与C2交点的坐标为（0，2），（1，1）．化极坐标为：（2，），（）．【点评】本题考查了参数方程化普通方程，极坐标方程化普通方程，考查了点的直角坐标化极坐标，训练了二元二次方程组的解法，是基础的计算题．21．（2014•新课标Ⅱ）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．22．（2017•广东一模）已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．【分析】（1）易求f′（x）=a+1+lnx，依题意知，当x≥e时，a+1+lnx≥0恒成立，即x≥e时，a≥（﹣1﹣lnx）max，从而可得a的取值范围；（2）依题意，对任意x＞1恒成立，令则，再令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），易知h（x）在（1，+∞）上单增，从而可求得g（x）min=x0∈（3，4），而k∈z，从而可得k的最大值．【解答】解：（1）∵f（x）=ax+xlnx，∴f′（x）=a+1+lnx，又函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，∴当x≥e时，a+1+lnx≥0恒成立，∴a≥（﹣1﹣lnx）max=﹣1﹣lne=﹣2，即a的取值范围为[﹣2，+∞）；（2）当x＞1时，x﹣1＞0，故不等式k（x﹣1）＜f（x）⇔k＜，即对任意x＞1恒成立．令则，令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则在（1，+∞）上单增．∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，∴存在x0∈（3，4）使h（x0）=0，即当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增．令h（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，即lnx0=x0﹣2，=x0∈（3，4），∴k＜g（x）min=x0且k∈Z，即k max=3．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值，着重考查等价转化思想与函数恒成立问题，属于难题．第21页（共21页）。

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2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题理(2)

2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题理(2)

数学试卷（理数）时间：120分钟总分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知为实数，，则的值为A.1B.C.D.2.“”是“直线和直线平行”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.下列说法正确的是A.一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B.“”与“”不等价C.“若，则全为”的逆否命题是“若全不为0，则”D.一个命题的否命题为假，则它的逆命题一定为假4.若，，，，则与的大小关系为A. B. C. D.5.已知命题及其证明：(1)当时，左边，右边，所以等式成立；(2)假设时等式成立，即成立，则当时，，所以时等式也成立．由(1)(2)知，对任意的正整数等式都成立．经判断以上评述A.命题，推理都正确B.命题正确，推理不正确C.命题不正确，推理正确D.命题，推理都不正确6.椭圆的一个焦点是，那么等于A.B.C.D.7.设函数（其中为自然对数的底数），则的值为A. B. C. D.8.直线（为参数）被曲线截得的弦长是A. B. C. D.9.已知函数在上为减函数，则的取值范围是A. B. C. D.10.一机器狗每秒前进或后退一步，程序设计师让机器狗以前进步，然后再后退步的规律移动，如果将此机器狗放在数轴的原点，面向数轴的正方向，以步的距离为个单位长，令表示第秒时机器狗所在位置的坐标．且，那么下列结论中错误的是A. B.C. D.11.已知A、B、C、D四点分别是圆与坐标轴的四个交点,其相对位置如图所示.现将沿轴折起至的位置,使二面角为直二面角,则与所成角的余弦值为A.B.C.D.12.点在双曲线上，、是这条双曲线的两个焦点，，且的三条边长成等差数列，则此双曲线中等于A.3B.4C.5D.6二、填空题（每小5分，满分20分）13.若，则__________.14.在三角形ABC中，若三个顶点坐标分别为，则AB边上的中线CD的长是__________．15.已知F1、F2分别是椭圆的左右焦点，A为椭圆上一点，M为AF1中点，N为AF2中点，O为坐标原点，则的最大值为__________．16.已知函数，过点作函数图象的切线，则切线的方程为。

湖南省益阳市桃江县17学年高二数学下学期期末统考试题理1707210114

湖南省益阳市桃江县17学年高二数学下学期期末统考试题理1707210114

2016—2017学年度第二学期期末考试试卷高二理科数学（时量：120分钟 满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，则(1)i i -=（ ） A ．1i -B ．1i -+C ．1i --D ．1i +2．若*n N ∈，且n ≤19，则（20-n ）(21-n )……(100-n )等于（ ）A ．80100n A -B ．n n A --20100C ．81100n A -D ．8120n A -3．在一次试验中事件A 出现的概率为p ，则在n 次独立重复试验中A 出现k 次的概率（ ）A. 1－k pB. ()k n kp p --1C. 1－()kp -1 D. ()kn k k n pp C --14．在相关分析中，对相关系数r ，下列说法正确的是（ ） A.r 越大，线性相关程度越强 B.r 越小，线性相关程度越强C.r 越大，线性相关程度越弱，r 越小，线性相关程度越强D.1r ≤且r 越接近1，线性相关程度越强，r 越接近0，线性相关程度越弱5 ．某科研机构为了研究中年人秃发与心脏病是否有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表：根据表中数据得到22775(204505300)25750320455K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈15.968，因为2K ≥10.828,则断定秃发与心脏病有关系,那么这种判断出错的可能性为（ ） 附表：A ．0.1B ．0.05C ．0.01D ．0.0016. 五位同学去听同时进行．．．．的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数是（ ） A ．54B ．5×4×3×2C ．45D ．5×47．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a b c ，，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）A ．假设a b c ，，都是偶数B ．假设a b c ，，都不是偶数C ．假设a b c ，，至多有一个是偶数D ．假设a b c ，，至多有两个是偶数 8．曲线32153y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角是 （ ） A.6πB.3πC.4πD.34π 9．设袋中有80个红球，20个白球．若从袋中任取10个球，则其中恰好有6个红球的概率为（ ）A ．10100610480C C C ⋅B ．10100420680C C C ⋅ C ．10100620480C C C ⋅ D ．10100410680C C C ⋅ 10.四名师范毕业生全部分配到3所中学任教，每校至少有1名，则不同的分配方案有（ ）A. 18种B. 36种C. 54种D. 72种11.随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，则下列结论不正确的是（ ）A. (||)(||)(||)(0)P a P a P a a ξξξ<=<+=> B ．(||)2()1(0)P a P a a ξξ<=<-> C ．(||)12()(0)P a P a a ξξ<=-<> D ．(||)1(||)(0)P a P a a ξξ<=->> 12.函数()2ln(3)8f x x x =+，则0(12)(1)limx f x f x∆→-∆-∆的值为（ ）A ．-20B ．-10C ．10D ．20二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设随机变量X 等可能取1，2，3，...，n 这n 个值，如果(4)0.4P X ≤=，则n 等于 . 14．定理:“平行于同一直线的两直线平行”,可用符号语言表示为:“∵a b ∥，b c ∥，∴a c ∥”,这个推理称为 . (填“归纳推理”、“类比推理”、“演绎推理”之一) 15．220(3)10,x k dx k +==⎰则 ．16．已知)(x g 是各项系数均为整数的多项式，2()21f x x x =-+，且满足432(())24131116f g x x x x x =++++，则)(x g 的各项系数之和为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10分）现有2名男生和3名女生．(Ⅰ)若其中2名男生必须相邻排在一起，则这5人站成一排，共有多少种不同的排法? (Ⅱ)若男生甲既不能站排头，也不能站排尾, 这5人站成一排，共有多少种不同的排法?18. (本小题满分12分)(Ⅰ) 比较下列两组实数的大小：① 2－1与2－3； ② 2－3与6－5； (Ⅱ) 类比以上结论，写出一个更具一般意义的结论，并给出证明.19．(本小题满分12分)在二项式1032⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中， (Ⅰ)写出其中含2x 的项；(Ⅱ)如果第r 3项和第2+r 项的二项式系数相等，求r 的值．20. (本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中， AB ＝AC ＝AA 1，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，N 是BC 的中点，点P 在线段A 1B 1上运动． （Ⅰ）求证：PN ⊥AM ；（Ⅱ）试确定点P 的位置，使直线PN 和平面ABC 所成的角最大．21.（本小题满分12分）设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程20x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）．(Ⅰ)求方程20x bx c ++=有实根的概率；(Ⅱ)求ξ的分布列和数学期望；(Ⅲ)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程20x bx c ++=有实根的概率．M NC 1 B 122．（本小题满分12分） 已知函数()1ax x ϕ=+，a 为正常数． (Ⅰ) 若()ln ()f x x x ϕ=+，且92a =，求函数()f x 的单调增区间； (Ⅱ) 若()|ln |()g x x x ϕ=+，且对任意12,(0,2]x x ∈，12x x ≠，都有2121()()1g x g x x x -<--，求a 的的取值范围．2016—2017学年度第二学期期末考试试卷高二数学(理)参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．D 2．C 3．D 4． D 5． D 6． C 7．B 8．D 9．B 10．B 11．C 12．A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．10 14．演绎推理 15．1 16．5 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 17.解：(1) 24!48⨯= ………………………5分(2) 34!72⨯= ………………………10分18. (本小题满分12分)(Ⅰ) 解法一：① (2+3)2－(2+1)2=26－4＞0. 故2+3＞2+1，即2－1＞2－3.② (2+5)2－(6+3)2=45－218=220－218＞0. 故2+5＞6+ 3，即2－3＞6－5. 解法二：分子有理化，略………………………6分(Ⅱ) 一般结论：若n 是正整数，则1+n －n ＞3+n －2+n .或：函数()f x =(0,)+∞上单调递减；或：若正数,,,a b c d 满足：,a b a c >>，且a d b c +=+，则证明从略. ………………………12分19．(本小题满分12分)解：（1）k K k x C T -+=10101kx ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-32=k k k k xC 3410102)1(-- 令10-34k=2得k=6 ∴含2x 的项是63410610662)1(∙--xC =261062x C =13440x 2．…………6分（2）∵1101310+-=r r C C ． ∴3r-1=r+1或 r-1+r+1=10∴r=1或r=25舍去．∴r=1 ． …………12分20. (本小题满分12分) 方法一：几何法(Ⅰ) 取AC 的中点Q ，连结A 1Q ，易知AM ⊥A 1Q ，又PN 在平面A 1C 内的射影为A 1Q ，所以AM ⊥PN. ………………6分(Ⅱ) 作PD ⊥AB 于D ，连结DN ，则PND ∠为直线PN 和平面ABC 所成的角。

2016-2017年江西省宜春市高二(上)期末数学试卷(文科)及答案

2016-2017年江西省宜春市高二(上)期末数学试卷(文科)及答案

2016-2017学年江西省宜春市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分共60分．）1．（5分）设a，b是非零实数，若a＞b，则一定有（）A．B．C．D．ab＞b22．（5分）已知命题p：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”，则￢p是（）A．∀x∉R，x2﹣x+2＞0B．∃x0∈R，x02﹣x0+2≤0C．∃x0∈R，D．∃x0∉R，3．（5分）对于常数m、n，“关于x的方程x2﹣mx+n=0有两个正根”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分不必要条件4．（5分）数列{a n}满足a1=2，a2=1，并且．则a10+a11=（）A．B．C．D．5．（5分）设a＞，b＞0，若a+b=2，则的最小值为（）A．3+2B．6C．9D．36．（5分）若关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞a2+2a有实数解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）7．（5分）已知函数且a n=f（n）+f（n+1），则a1+a2+…+a99等于（）A．0B．100C．﹣101D．﹣998．（5分）已知抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，过点F且倾斜角为150°的直线l与抛物线在第一、二象限分别交于A，B两点，则等于（）A．3B．C．D．9．（5分）已知实数x，y满足，则z的最大值与最小值之差为（）A．5B．1C．4D．10．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a10+a9=6a8，若存在两项a m，a n使得，则的最大值为（）A．B．C．D．11．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，且，则△ABC的面积为（）A．B．C．或D．或12．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（1）=3，对任意x∈R，都有f（x）+f'（x）＜2，则不等式e x•f（x）＞2e x+e的解集为（）A．{x|x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|x＜﹣1或x＞1}D．{x|x＜﹣1或0＜x＜1}二、填空题（本大题共4小题，每小题5分共20分．）13．（5分）已知△ABC中，，则角A=．14．（5分）已知不等式ax2+5x+b＜0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则不等式bx2+5x+a ＞0的解集为．15．（5分）设F1，F2为双曲线的两个焦点，已知点P在此双曲线上，且．若此双曲线的离心率等于，则点P到y轴的距离等于．16．（5分）①的最小值为6；②当a＞0，b＞0时，；③最大值为；④当且仅当a，b均为正数时，恒成立．以上命题是真命题的是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．其中第17题10分，第18-22题每题12分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x|+3．（1）解不等式f（x）≥0；（2）若对任意实数x，都有f（x）≥a﹣3|x|，求实数a的取值范围．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知B≠，且3cosC+c•cosB=（1）求b的值；（2）若B=，求△ABC周长的范围．19．（12分）在等差数列{a n}中，2a7﹣a8=6且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a1，a2，a4成等比数列，求数列{a n•2}的前n项和S n．20．（12分）“莫以宜春远，江山多胜游”，近年来，宜春市在旅游业方面抓品牌创建，推进养生休闲度假旅游产品升级，明月山景区成功创建国家5A级旅游景区填补了赣西片区的空白，某投资人看到宜春旅游发展的大好前景后，打算在宜春投资甲，乙两个旅游项目，根据市场前期调查，甲，乙两个旅游项目五年后可能的最大盈利率分别为100%和80%，可能的最大亏损率分别为40%和20%，投资人计划投资金额不超过5000万，要求确保亏损不超过1200万，问投资人对两个项目各投资多少万元，才能使五年后可能的盈利最大？21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C与双曲线共焦点，且点P（1，2）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）过定点A（2，0）作一条动直线与椭圆C相交于P，Q．O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值及取得最大值时直线PQ的方程．22．（12分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣（1+）x，其中a≠0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：当n≥2时，恒成立．2016-2017学年江西省宜春市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分共60分．）1．（5分）设a，b是非零实数，若a＞b，则一定有（）A．B．C．D．ab＞b2【解答】解：A．取a=，b=﹣1，则a+=﹣，b+=﹣1+2=1，不成立；B．∵a，b是非零实数，a＞b，∴=＞0，成立；C．取a=2，b=﹣1不成立；D．取a=2，b=﹣1，不成立．故选：B．2．（5分）已知命题p：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”，则￢p是（）A．∀x∉R，x2﹣x+2＞0B．∃x0∈R，x02﹣x0+2≤0C．∃x0∈R，D．∃x0∉R，【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”，则￢p是∃x0∈R，，故选：C．3．（5分）对于常数m、n，“关于x的方程x2﹣mx+n=0有两个正根”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分不必要条件【解答】解：若关于x的方程x2﹣mx+n=0有两个正根，则，故m＞0，且n＞0，m＞2，若方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，则m＞0且n＞0且m≠n，故既不充分也不必要条件，故选：D．4．（5分）数列{a n}满足a1=2，a2=1，并且．则a10+a11=（）A．B．C．D．【解答】解：由，得，∴数列{}为等差数列，又a1=2，a2=1，∴数列{}的公差为d=，则，∴．则a10+a11=．故选：C．5．（5分）设a＞，b＞0，若a+b=2，则的最小值为（）A．3+2B．6C．9D．3【解答】解：∵a＞，b＞0，a+b=2，∴2a﹣1+2b=3，则===3，当且仅当b=2a﹣1=1时取等号．故选：D．6．（5分）若关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞a2+2a有实数解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【解答】解：∵|x+1|﹣|x﹣2|≤|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，∴﹣3≤|x+1|﹣|x﹣2|≤3，由不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞a2+2a有实数解，知3＞a2+2a，解得﹣1＜a＜3．故选：B．7．（5分）已知函数且a n=f（n）+f（n+1），则a1+a2+…+a99等于（）A．0B．100C．﹣101D．﹣99【解答】解：∵函数且a n=f（n）+f（n+1），∴a2n=f（2n）+f（2n+1）=﹣（2n）2+（2n+1）2=4n+1，a2n﹣1=f（2n﹣1）+f（2n）=（2n﹣1）2﹣（2n）2=1﹣4n．∴a2n+a2n=2．﹣1则a1+a2+…+a99=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a97+a98）+a99=2×49+1﹣4×50=﹣101．故选：C．8．（5分）已知抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，过点F且倾斜角为150°的直线l与抛物线在第一、二象限分别交于A，B两点，则等于（）A．3B．C．D．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=﹣（y﹣）则：，消去x可得12y2﹣20py+3p2=0，点A在第一象限，解得：y1=，y2=，∴===3，故选：A．9．（5分）已知实数x，y满足，则z的最大值与最小值之差为（）A．5B．1C．4D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，﹣1）．联立，解得B（2，）．令t=x+2y﹣4，化为，由图可知，当直线过A时，t有最小值为﹣4；过B时，t有最大值为1．∴z的最大值为4，最小值为0，最大值与最小值之差为4．故选：C．10．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a10+a9=6a8，若存在两项a m，a n使得，则的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：设各项均为正数的等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a10+a9=6a8，∴a8（q2+q）=6a8，解得q=2．∵存在两项a m，a n使得，∴=4a1，化为：m+n=6．则==，令=t∈{1，2，5}，（m，n∈N*）．则f（t）=2t+，f（1）=3，f（2）=，f（5）=．∴最大值为=．故选：B．11．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，且，则△ABC的面积为（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵，可得：ccosA=b﹣bcosC，∴由正弦定理可得：sinCcosA=sinB﹣sinBcosC，∴sinCcosA=sinAcosC+cosAsinC﹣sinBcosC，可得：sinAcosC=sinBcosC，∴cosC=0，或sinA=sinB，∴当cosC=0时，由C∈（0，π），可得：C=，又，可得：B=，c=2b=4，可得：S△ABC===2；当sinA=sinB时，由于A，B为三角形内角，可得A=B=，C=π﹣A﹣B=，△ABC为等边三角形，可得：S△ABC===．故选：D．12．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（1）=3，对任意x∈R，都有f（x）+f'（x）＜2，则不等式e x•f（x）＞2e x+e的解集为（）A．{x|x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|x＜﹣1或x＞1}D．{x|x＜﹣1或0＜x＜1}【解答】解：令g（x）=e x f（x）﹣2e x﹣e，则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣2e x=e x[f（x）+f′（x）﹣2]，∵f（x）+f′（x）＜2，∴f（x）+f′（x）﹣2＜0，∴g′（x）＜0，即g（x）在R上单调递减，又f（1）=3，∴g（1）=ef（1）﹣2e﹣e=0，故当x＜1时，g（x）＞g（1），即e x f（x）﹣2e x﹣e＞0，整理得e x f（x）＞2e x+e，∴e x f（x）＞2e x+e的解集为{x|x＜1}．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分共20分．）13．（5分）已知△ABC中，，则角A=60°，或120°．【解答】解：∵，∴由正弦定理可得：sinA===，又∵a＞b，A为三角形内角，即A∈（30°，180°），∴A=60°，或120°．故答案为：60°，或120°．14．（5分）已知不等式ax2+5x+b＜0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则不等式bx2+5x+a ＞0的解集为（﹣，）．【解答】解：因为ax2+5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}根据一元二次不等式求解集的方法可得ax2+5x+b=a（x+3）（x﹣2）且a＜0，解得a=5，b=﹣30．则不等式bx2+5x+a＞0变为﹣30x2+5x+5＞0，即6x2﹣x﹣1＜0，解得：﹣＜x＜，故答案为：（﹣，）．15．（5分）设F1，F2为双曲线的两个焦点，已知点P在此双曲线上，且．若此双曲线的离心率等于，则点P到y轴的距离等于2．【解答】解：∵双曲线的离心率等于，∴，∴a=2，c=．设|PF1|=m，|PF2|=n，则由余弦定理可得24=m2+n2﹣mn，∴24=（m﹣n）2+mn，∴mn=16．设P的纵坐标为y，则由等面积可得，∴|y|=2，代入双曲线方程，可得|x|=2，故答案为2．16．（5分）①的最小值为6；②当a＞0，b＞0时，；③最大值为；④当且仅当a，b均为正数时，恒成立．以上命题是真命题的是②③．【解答】解：①取x=﹣1时，=﹣2＜6，因此是假命题；②当a＞0，b＞0时，≥4，当且仅当a=b＞0时取等号，是真命题；③，∴y=≤=，当且仅当x=时取等号．因此其最大值为，是真命题；④当且仅当0时，恒成立，因此是假命题．以上命题是真命题的是②③．故答案为：②③．三、解答题（本大题共6小题，共70分．其中第17题10分，第18-22题每题12分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x|+3．（1）解不等式f（x）≥0；（2）若对任意实数x，都有f（x）≥a﹣3|x|，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）≥0，即|x﹣2|﹣|2x|+3≥0，x≤0时，2﹣x+2x+3≥0，解得：0≥x≥﹣5，0＜x＜2时，2﹣x﹣2x+3≥0，解得：0＜x≤，x≥2时，x﹣2﹣2x+3≥0，解得：x≤1，无解，综上，不等式的解集是[0，]；（2））若对任意实数x，f（x）≥a﹣3|x|，即对任意实数x，|x﹣2|﹣|2x|+3≥a﹣3|x|，即a≤|x﹣2|+|x|，而|x﹣2|+|x|≥|x﹣2﹣x|=2，故a≤2．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知B≠，且3cosC+c•cosB=（1）求b的值；（2）若B=，求△ABC周长的范围．【解答】解：由可得：⇔3sinBcosC+c•sinBcosB=3sin（B+C）⇔3sinBcosC+c•sinBcosB=3sinBcosC+3sinCcosB⇔c•sinBcosB=3sinCcosB∵，∴cosB≠0，∴c•sinB=3sinC．正弦定理可得：bsinC=3sinC，∴b=3（2）由（1）得b=3，B=，∴0＜A+C正弦定理可得：a=2sinA，c=2sinC，那么：△ABC周长l=3+2（sinA+sinC）=3[sinA+sin（﹣A）]=3[sinA+sin cosA﹣sinAcos）]=[sinA+cosA]=sinA+3cosA+3=6sin（A+）+3，∵∴＜A+＜sin（A+）∈（，1]∴△ABC周长的范围是（6，9]19．（12分）在等差数列{a n}中，2a7﹣a8=6且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a1，a2，a4成等比数列，求数列{a n•2}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵2a7﹣a8=6且．∴2（a1+6d）﹣（a1+7d）=6，=1，解得：d=1，a1=1，或d=，a1=．∴a n=n或a n==．（2）∵a1，a2，a4成等比数列，∴a n=n．∴a n•2=n•2n．数列{a n•2}的前n项和S n=2+2×22+3×23+…+n•2n，2S n=22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，∴﹣S n=2+22+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=（1﹣n）•2n+1﹣2，∴S n=（n﹣1）•2n+1+2．20．（12分）“莫以宜春远，江山多胜游”，近年来，宜春市在旅游业方面抓品牌创建，推进养生休闲度假旅游产品升级，明月山景区成功创建国家5A级旅游景区填补了赣西片区的空白，某投资人看到宜春旅游发展的大好前景后，打算在宜春投资甲，乙两个旅游项目，根据市场前期调查，甲，乙两个旅游项目五年后可能的最大盈利率分别为100%和80%，可能的最大亏损率分别为40%和20%，投资人计划投资金额不超过5000万，要求确保亏损不超过1200万，问投资人对两个项目各投资多少万元，才能使五年后可能的盈利最大？【解答】解：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知：，目标函数z=x+0.8y．上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域．联立，解得A（1000，4000），由z=x+0.8y，得y=，由图可知，当直线y=过A时，z有最大值为z=1000+0.8×4000=4200．答：投资人用1000万元投资甲项目、4000万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C与双曲线共焦点，且点P（1，2）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）过定点A（2，0）作一条动直线与椭圆C相交于P，Q．O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值及取得最大值时直线PQ的方程．【解答】解：（1）双曲线，焦点坐标为（0，﹣），（0，），设椭圆方程为：（a＞b＞0），a2=b2+3，将P（1，2）代入椭圆方程：，解得：b2=3，a2=6，∴椭圆的标准方程为：；（2）设直线AB方程为x=my+2，代入椭圆方程，整理得：（1+2m2）y2+8my+2=0，△=64m2﹣8（1+2m2）＞0，解得：m2＞，S△OPQ=丨x1y2﹣x2y1丨=丨（my1+2）y2﹣（my2+2）y1丨=丨y2﹣y1丨，===，令t=，m2=，S△OPQ====≤=，当且仅当t=，t=2时，m=±，三角形△OPQ面积的最大值，最大值为，此时的直线方程为x=±y+2．22．（12分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣（1+）x，其中a≠0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：当n≥2时，恒成立．【解答】解：（1）∵函数f（x）=lnx+x2﹣（1+）x，∴函数f′（x）=+x﹣（1+）=，若a＜0，则当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，即此时函数f（x）的单调递增区间为（0，1）；函数f（x）的单调递减区间为（1，+∞）；若0＜a＜1，则当x∈（0，1）∪（，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（1，）时，f′（x）＜0，即此时函数f（x）的单调递增区间为（0，1）和（，+∞）；函数f（x）的单调递减区间为（1，）；当a=1时，f′（x）≥0恒成立，即此时函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；若a＞1，则当x∈（0，）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（，1）时，f′（x）＜0，即此时函数f（x）的单调递增区间为（0，）和（1，+∞）；函数f（x）的单调递减区间为（，1）；证明：（2）由（1）得当a=﹣时，f（x）=﹣lnx+x2+x，在（0，1）上递减，在（1，+∞）时递增；则f（x）=﹣lnx+x2+x≥f（1）=1，即3lnx+2≤x2+x=x（x+1），当x≥2时，＞=，故＞（1﹣）+（）+…+=1﹣=。

(完整版)2017年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

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高二（上）数学期末试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，均为单选题，每小题5分，共60分）1．抛物线y2=4x上一点M到准线的距离为3，则点M的横坐标x为（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知向量，，若与平行，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣63．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a8•a10•a12等于（）A．16 B．32 C．64 D．2564．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=±B．y=C．x=D．y=5．已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．16．为了得到函数y=3cos2x的图象，只需将函数的图象上每一点（）A．横坐标向左平动个单位长度B．横坐标向右平移个单位长度C．横坐标向左平移个单位长度D．横坐标向右平移个单位长度7．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．8．抛掷一枚均匀的硬币4次，出现正面次数多余反面次数的概率是（）A．B．C．D．9．已知l是双曲线的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C 的两个焦点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．12 B．C．D．10．已知直线y=﹣2x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x﹣4y=0上，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．已知直线l过点（﹣1，0），l与圆C：（x﹣1）2+y2=3相交于A，B两点，则弦长的概率为（）A．B．C．D．12．设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，已知点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|=2|BF1|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆+=1的长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于．14．函数f（x），x∈R，满足如下性质：f（x）+f（﹣x）=0，f（+x）=f（﹣x），f（1）=3，则f（2）=．15．函数给出下列说法，其中正确命题的序号为．（1）命题“若α=，则cosα=”的逆否命题；（2）命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1；（3）“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；（4）命题p：“，使”，命题q：“在△ABC中，若使sinA＞sinB，则A＞B”，那么命题（¬p）∧q为真命题．16．抛物线C：y2=4x的交点为F，准线为l，p为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l交C于点M，线段MF为抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知数列{a n}是公差为正数的等差数列，其前n项和为S n，a1=1，且3a2，S3，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．如图是某市有关部门根据对某地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000．请根据该图提供的信息解答下列问题：（图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求样本中月收入在[2500，3500）的人数；（2）为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1500，2000）的这段应抽多少人？（3）试估计样本数据的中位数．19．如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB= AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．20．已知向量，，其中ω＞0，函数，其最小正周期为π．（1）求函数f（x）的表达式及单调减区间；（2）在△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为其面积，若f（）=1，b=1，S△ABC=，求a的值．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点M（1，），F1，F2是椭圆C的两个焦点，|F1F2|=2，P是椭圆C上的一个动点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点P在第一象限，且•≤，求点P的横坐标的取值范围；（Ⅲ）是否存在过定点N（0，2）的直线l交椭圆C交于不同的两点A，B，使∠AOB=90°（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．22．已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；（2）若直线y=k（x﹣1）与（1）中的轨迹Γ交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS=∠OTR？说明理由．高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，均为单选题，每小题5分，共60分）1．抛物线y2=4x上一点M到准线的距离为3，则点M的横坐标x为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】首先求出p，准线方程，然后根据，直接求出结果．【解答】解：设M（x，y）则2P=4，P=2，准线方程为x==﹣1，解得x=2．选B．2．已知向量，，若与平行，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣6【考点】平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：=（﹣3，3+2m），∵与平行，∴3+2m+9=0，解得m=﹣6．故选：D．3．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a8•a10•a12等于（）A．16 B．32 C．64 D．256【考点】等比数列的性质．【分析】由a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，根据韦达定理即可求出a1和a19的积，而根据等比数列的性质得到a1和a19的积等于a102，由数列为正项数列得到a10的值，然后把所求的式子也利用等比数列的性质化简为关于a10的式子，把a10的值代入即可求出值．【解答】解：因为a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，所以a1•a19=a102=16，又此等比数列为正项数列，解得：a10=4，则a8•a10•a12=（a8•a12）•a10=a103=43=64．故选C4．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=±B．y=C．x=D．y=【考点】双曲线的标准方程；椭圆的标准方程．【分析】先根据椭圆方程和双曲线方程分别表示出c，令二者相等即可求得m和n的关系，进而利用双曲线的方程求得双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵椭圆和双曲线有公共焦点∴3m2﹣5n2=2m2+3n2，整理得m2=8n2，∴=2双曲线的渐近线方程为y=±=±x故选D5．已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】直线与平面垂直的性质；简单空间图形的三视图．【分析】画出满足条件的四棱锥的直观图，可令棱锥PA⊥矩形ABCD，进而可得可得△PAB 和△PAD都是直角三角形，再由由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，又得到了两个直角三角形△PCB 和△PCD，由此可得直角三角形的个数．【解答】解：满足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直，画出满足条件的直观图如图四棱锥P﹣ABCD所示，不妨令PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥CB，PA⊥CD，故△PAB 和△PAD都是直角三角形．又矩形中CB⊥AB，CD⊥AD．这样CB垂直于平面PAB内的两条相交直线PA、AB，CD垂直于平面PAD内的两条相交直线PA、AD，由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，∴CB⊥PB，CD⊥PD，故△PCB 和△PCD都是直角三角形．故直角三角形有△PAB、△PAD、△PBC、△PCD共4个．故选A．6．为了得到函数y=3cos2x的图象，只需将函数的图象上每一个点（）A．横坐标向左平动个单位长度B．横坐标向右平移个单位长度C．横坐标向左平移个单位长度D．横坐标向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数=3cos2（x+）的图象上每一个点横坐标向右平移个单位长度，可得函数y=3cos2x的图象，故选：B．7．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．【考点】循环结构．【分析】框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，在输入n的值为10后，对i的值域n的值大小加以判断，满足i≤n，执行，i=i+2，不满足则跳出循环，输出S．【解答】解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，判断2≤10成立，执行，i=2+2=4；判断4≤10成立，执行=，i=4+2=6；判断6≤10成立，执行，i=6+2=8；判断8≤10成立，执行，i=8+2=10；判断10≤10成立，执行，i=10+2=12；判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．故选A．8．抛掷一枚均匀的硬币4次，出现正面次数多余反面次数的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】抛掷一枚均匀的硬币4次，相当于进行4次独立重复试验，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出出现正面次数多余反面次数的概率．【解答】解：抛掷一枚均匀的硬币4次，相当于进行4次独立重复试验，∴出现正面次数多余反面次数的概率：p==．故选：D．9．已知l是双曲线的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C 的两个焦点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．12 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设P的坐标，利用PF1⊥PF2，建立方程，求出P的坐标，则△PF1F2的面积可求．【解答】解：由题意，设P（y，y），∵PF1⊥PF2，∴（﹣y，﹣y）•（y，﹣y）=0，∴2y2﹣6+y2=0，∴|y|=，∴△PF1F2的面积为=2．故选D．10．已知直线y=﹣2x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x﹣4y=0上，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】将直线y=﹣2x+1与直线x﹣4y=0联立，求得中点坐标，由A，B在椭圆上，两式相减可知=﹣×=﹣，则=2，求得a2=2b2，椭圆的离心率e===．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可知：，解得：，则线段AB的中点（，），则x1+x2=，y1+y2=，由A，B在椭圆上，+=1， +=1，两式相减，得+=0，=﹣×=﹣，∴=2，即a2=2b2，椭圆的离心率e===，故选D．11．已知直线l过点（﹣1，0），l与圆C：（x﹣1）2+y2=3相交于A，B两点，则弦长的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】先找出使弦长|AB|=2时的情况，再求直线与圆相切时的情形，根据几何概型的概率公式求解即可【解答】解：圆心C是（1，0）半径是，可知（﹣1，0）在圆外要使得弦长|AB|≥2，设过圆心垂直于AB的直线垂足为D，由半径是，可得出圆心到AB的距离是1，此时直线的斜率为，倾斜角为30°，当直线与圆相切时，过（﹣1，0）的直线与x轴成60°，斜率为，所以使得弦长的概率为：P==，故选：C．12．设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，已知点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|=2|BF1|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的性质求出A，B的坐标，代入椭圆方程，结合1=b2+c2，即可求出椭圆的方程．【解答】解：由题意椭圆，a=1，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x轴，∴|AF2|=b2，∴A点坐标为（c，b2），设B（x，y），则∵|AF1|=2|F1B|，∴（﹣c﹣c，﹣b2）=2（x+c，y）∴B（﹣2c，﹣b2），代入椭圆方程可得：4c2+b2=1，∵1=b2+c2，∴b2=，∴x2+=1．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆+=1的长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于4．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆+=1的长轴在x轴上，焦距为4，可得10﹣m﹣m+2=4，即可求出m的值．【解答】解：∵椭圆+=1的长轴在x轴上，焦距为4，∴10﹣m﹣m+2=4，解得m=4故答案为：4．14．函数f（x），x∈R，满足如下性质：f（x）+f（﹣x）=0，f（+x）=f（﹣x），f（1）=3，则f（2）=﹣3．【考点】函数的值．【分析】推导出f（x+3）=﹣f（x+）=f（x），由f（1）=3，得f（2）=f（﹣1）=﹣f（1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x），x∈R，满足如下性质：f（x）+f（﹣x）=0，f（+x）=f（﹣x），∴f（x+3）=﹣f（x+）=f（x）∵f（1）=3，f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣3．故答案为：﹣3．15．函数给出下列说法，其中正确命题的序号为①②④．（1）命题“若α=，则cosα=”的逆否命题；（2）命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1；（3）“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；（4）命题p：“，使”，命题q：“在△ABC中，若使sinA＞sinB，则A＞B”，那么命题（¬p）∧q为真命题．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1），原命题为真，逆否命题为真命题；（2），命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1，；（3），“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件；（4），判断命题p、命题q的真假即可【解答】解：对于（1），∵cos=，∴原命题为真，故逆否命题为真命题；对于（2），命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1，为真命题；对于（3），“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件，故为假命题；对于（4），x∈（0，）时，sinx+cosx=，故命题p为假命题；在△ABC中，若sinA＞sinB⇒2RsinA＞2RsinB⇒a＞b⇒A＞B，故命题q为真命题那么命题（¬p）∧q为真命题，正确．故答案为：①②④16．抛物线C：y2=4x的交点为F，准线为l，p为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l交C于点M，线段MF为抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=．【考点】抛物线的简单性质．【分析】过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，|PF|=|PM|，求出P的坐标，可得cos∠MNQ=，即可得到．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，∵PF的斜率为，∴可得P（4，4）．∴M（﹣1，4），∴cos∠MFO=∴cos∠MNQ=∴=故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知数列{a n}是公差为正数的等差数列，其前n项和为S n，a1=1，且3a2，S3，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设出等差数列的公差，由3a2，S3，a5成等比数列列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；（2）求出等差数列的前n项和，代入，利用裂项相消法求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d（d＞0），则a2=1+d，S3=3+3d，a5=1+4d，∵3a2，S3，a5成等比数列，∴，即（3+3d）2=（3+3d）•（1+4d），解得d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）由（1）得：，∴=，∴=．18．如图是某市有关部门根据对某地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000．请根据该图提供的信息解答下列问题：（图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求样本中月收入在[2500，3500）的人数；（2）为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1500，2000）的这段应抽多少人？（3）试估计样本数据的中位数．【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．【分析】（1）根据频率分布直方图，求出各段的频率，然后再求[2500，3500）的人数；（2）根据抽样方法，选取抽样的人数，（3）根据求中位数的方法即可．【解答】解：（1）∵月收入在[1000，1500]的频率为0.0008×500=0.4，且有4000人，∴样本的容量n=，月收入在[1500，2000）的频率为0.0004×500=0.2，月收入在[2000，2500）的频率为0.0003×500=0.15，月收入在[3500，4000）的频率为0.0001×500=0.05，∴月收入在[2500，3500）的频率为；1﹣（0.4+0.2+0.15+0.05）=0.2，∴样本中月收入在[2500，3500）的人数为：0.2×10000=2000．（2）∵月收入在[1500，2000）的人数为：0.2×10000=2000，∴再从10000人用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[1500，2000）的这段应抽取（人）．（3）由（1）知月收入在[1000，2000）的频率为：0.4+0.2=0.6＞0.5，∴样本数据的中位数为：=1500+250=1750（元）．19．如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB= AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）通过证明BC1平行平面A1CD内的直线DF，利用直线与平面平行的判定定理证明BC1∥平面A1CD（Ⅱ）证明DE⊥平面A1DC，作出二面角D﹣A1C﹣E的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点，又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF，因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）因为直棱柱ABC﹣A1B1C1，所以AA1⊥CD，由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，又AA1∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB1A1，设AB=2，则AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，CD=，A1D=，DE=，A1E=3故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D，所以DE⊥平面A1DC，又A1C=2，过D作DF⊥A1C于F，∠DFE为二面角D﹣A1C﹣E的平面角，在△A1DC中，DF==，EF==，所以二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．sin∠DFE=．20．已知向量，，其中ω＞0，函数，其最小正周期为π．（1）求函数f（x）的表达式及单调减区间；（2）在△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为其面积，若f（）=1，b=1，S△ABC=，求a的值．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论．=，求得c=4，再利用余弦定理求（2）由f（）=1，求得A=，根据S△ABC得a=的值．【解答】解：（1）函数=cos2ωx+sinωxcosωx﹣=cos2ωx+sin2ωx=sin（2ωx+），其最小正周期为=π，∴ω=1，f（x）=sin（2x+）．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）在△ABC中，∵f（）=sin（A+）=1，=bc•sinA=•1•c•=，∴A=，又b=1，S△ABC∴c=4，∴a===．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点M（1，），F1，F2是椭圆C 的两个焦点，|F1F2|=2，P是椭圆C上的一个动点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点P在第一象限，且•≤，求点P的横坐标的取值范围；（Ⅲ）是否存在过定点N（0，2）的直线l交椭圆C交于不同的两点A，B，使∠AOB=90°（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆经过点M（1，），|F1F2|=2，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设P（x，y），则=（3x2﹣8），由此能求出点P的横坐标的取值范围．（Ⅲ）设直线l的方程为y=kx+2，联立，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出直线的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点M（1，），F1，F2是椭圆C的两个焦点，|F1F2|=2，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）∵c=，F1（﹣，0），F2（），设P（x，y），则=（﹣）•（）=x2+y2﹣3，∵，∴=x2+y2﹣3==（3x2﹣8），解得﹣，∵点P在第一象限，∴x＞0，∴0＜x＜，∴点P的横坐标的取值范围是（0，]．（Ⅲ）当直线l的斜率不存在时，直线l即为y轴，A、B、O三点共线，不符合题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，联立，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，由△=（16k）2﹣48（1+4k2）＞0，解得，，，∵∠AOB=90°，∴=0，∵=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+2）（kx2+2）==0，解得k2=4，满足k2＞，解得k=2或k=﹣2，∴直线l的斜率k的值为﹣2或2．22．已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；（2）若直线y=k（x﹣1）与（1）中的轨迹Γ交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS=∠OTR？说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）连结QF，运用垂直平分线定理可得，|QP|=|QF|，可得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2，由椭圆的定义即可得到所求轨迹方程；（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由直线的斜率之和为0，化简整理，即可得到存在T（4，0）．【解答】解：（1）连结QF，根据题意，|QP|=|QF|，则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2，故动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为，可知a=2，c=1，∴，所以点Q的轨迹Γ的方程为；（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2）联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理有①，其中△＞0恒成立，由∠OTS=∠OTR（显然TS，TR的斜率存在），故k TS+k TR=0即②，由R，S两点在直线y=k（x﹣1）上，故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1）代入②得，即有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0③，将①代入③，即有：④，要使得④与k的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．2017年2月24日。

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