初三数学上册(人教版)第二十三章旋转23.3知识点总结含同步练习及答案

23.1图形的旋转一．选择题1．如图所示的是正十二角形体，因为其独特的对称美，所以2019年在英国举办的第60界国际数学奥林匹克的会标，就选用了正十二角形体，若将它绕自身中心旋转一定角度后能与原图重合，则这个角度不可能是（）A．60°B．90°C．120°D．180°2．如图，△OAB绕某点旋转到△OCD的位置，则旋转中心是（）A．点A B．点B C．点O D．无法确定3．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是（）A．75°B．45°C．60°D．30°4．如图，是一个纸折的小风车模型，将它绕着旋转中心旋转下列哪个度数后不能与原图形重合（）A．90°B．135°C．180°D．270°5．如图，用左面的三角形连续的旋转可以得到右面的图形，每次旋转（）度．A．60B．90C．120D．1506．下列图形中，绕某个点旋转72度后能与自身重合的是（）A．B．C．D．7．如图，在Rt△AOB中，∠O＝90°，以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转得△ACD，记旋转角为α，∠ABO为β，当旋转后满足BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（）A．α＝βB．α＝2βC．α+β＝90°D．α+2β＝180°8．如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转α度（0＜α＜180），得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α的值为（）A．50B．60C．90D．1209．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论：①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC；其中一定正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．②③④10．如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C 为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB+DA．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题11．如图，已知点D为等边三角形ABC的AC边的中点，BC＝4，点B绕着点D顺时针旋转180°的过程中，点B的对应点为点B'，连接B'C、B'D，当△B'DC的面积为时，∠B'DB为．12．等边△EBC中，EC＝BC＝6cm，点O在BC上，且OC＝4cm，动点P从点E沿射线EC以2cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．则当点F运动s时，点F恰好落在射线EB上．13．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任何一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O 点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝78°，则∠AOB等于度．14．时钟的时针不停地旋转，从上午6时到上午10时，时针旋转的旋转角是度．15．如图，△ABP是由△ACD按顺时针方向旋转某一角度得到的，若∠BAP＝60°，则在这转过程中，旋转中心是，旋转的角度为．三．解答题16．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，连接OP，求OP的最小值．17．如图，正方形ABCD内一点E，△ADE绕点A顺时针旋转能与△ABF重合，若AE＝3．（1）求∠EAF的度数；（2）求EF的长．18．如图，△ABC中，∠B＝19.11°，∠ACB＝40.89°，AB＝6，△ABC逆时针旋转一定角度后能与△ADE重合，且点C恰好为AD的中点．（1）指出旋转中心，并求出旋转的度数；（2）求出∠BAE的度数和AE的长．19．已知△ABC为等边三角形．（1）如图，P为△ABC外一点，∠BPC＝120°，连接P A，PB，PC，求证：PB+PC＝P A；（2）如图，P为△ABC内一点，若P A＝12，PB＝5，PC＝13，求∠APB的度数．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：∵正十二角形体的中心角为30°，∴观察图象可知，旋转角是30°的偶数倍数时，可以与本身重合，故选：B．2．【解答】解：由题意得△OAB绕某点旋转到△OCD的位置，则旋转中心是点O．故选：C．3．【解答】解：如图，由题意及旋转变换的性质得：∠AOC＝∠BOD＝45°，∵∠AOB＝15°，∴∠AOD＝45°+15°＝60°，故选：C．4．【解答】解：图案可以被平分成四部分，因而每部分被分成的圆心角是90°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转90度的整数倍，就可以与自身重合，故选：B．5．【解答】解：根据图形可得出：这是一个由基本图形绕着中心连续旋转3次，每次旋转120度角形成的图案．故选：C．6．【解答】解：A．旋转90°后能与自身重合，不合题意；B．旋转72°后能与自身重合，符合题意；C．旋转60°后能与自身重合，不合题意；D．旋转45°后能与自身重合，不合题意；故选：B．7．【解答】解：∵把△ABO顺时针旋转得△ACD，∴△AOB≌△ADC，∠BAC＝∠OAD＝α，∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，在△ABC中，∠ABC＝（180°﹣α），∵BC∥OA，∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，∴β+（180°﹣α）＝90°，整理得，α＝2β．故选：B．8．【解答】解：如图，连接AA1，CC1，作AA1，CC1的垂直平分线交于点O，∵CC1，AA1的垂直平分线交于点O，∴点O是旋转中心，由图形可得：∠AOA1＝90°∴旋转角α度＝90°故选：C．9．【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，∴AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故①错误，③正确；∴∠ACD＝∠BCE，∴∠A＝∠ADC＝，∠CBE＝，∴∠A＝∠EBC，故④正确；∵∠A+∠ABC不一定等于90°，∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故②错误．故选：C．10．【解答】解：如图，①设∠1＝x度，则∠2＝（60﹣x）度，∠DBC＝（x+60）度，故∠4＝（x+60）度，∴∠2+∠3+∠4＝60﹣x+60+x+60＝180度，∴D、A、E三点共线；故①正确；②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，∴△CDE为等边三角形，∴∠E＝60°，∴∠BDC＝∠E＝60°，∴∠CDA＝120°﹣60°＝60°，∴DC平分∠BDA；故②正确；③∵∠BAC＝60°，∠E＝60°，∴∠E＝∠BAC．故③正确；④由旋转可知AE＝BD，又∵∠DAE＝180°，∴DE＝AE+AD．∵△CDE为等边三角形，∴DC＝DB+BA．故④正确；故选：A．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：如图，若点B'在AC的左侧时，过点B'作BN⊥AC，交CA于点N，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC＝4，又∵点D是CD的中点，∴BD⊥AC，CD＝AD＝2，BD＝CD＝2，∵△B'DC的面积为，∴×CD×B'N＝，∴×2×B'N＝，∴B'N＝，∵点B绕着点D顺时针旋转180°，∴B'D＝BD＝2，∴DN＝＝＝，∴DN＝B'N＝，∴∠NDB'＝∠DB'N＝45°，∴∠BDB'＝45°，在点B'在AC的右侧时，∠B''DA＝45°，∴∠BDB''＝135°，综上所述：∠B'DB＝45°或135°，故答案为：45°或135°．12．【解答】解：如图，∵由旋转知，OP＝OF，∵△BCE是等边三角形，∴∠CBE＝∠BCE＝60°，∴∠OCP＝∠FBO＝120°，∠CPO+∠COP＝60°，∵∠POF＝120°，∴∠COP+∠BOF＝60°，∴∠CPO＝∠BOF，在△BOF和△PCO中，，∴△BOF≌△PCO（AAS），∴CP＝OB，∵EC＝BC＝6cm，OC＝4cm，∴OB＝BC﹣OC＝2（cm），∴CP＝2cm，∴EP＝CE+CP＝8（cm），∴点P运动的时间t＝8÷2＝4（s），故答案为：4．13．【解答】解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，∵∠DCE＝∠O+∠CDO＝2∠O，∴∠DEC＝2∠O，∵∠BDE是△ODE的外角，∴∠BDE＝∠O+2∠DEC＝3∠O＝78°，∴∠AOB＝26°，故答案为：26．14．【解答】解：∵时针从上午的6时到10时共旋转了4个格，每相邻两个格之间的夹角是30°，∴时针旋转的旋转角＝30°×4＝120°．故答案为：120．15．【解答】解：旋转中心为点A，旋转角为∠BAC＝∠BAP+∠P AC＝60°+30°＝90°；故答案为A，90°．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：如图，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F，∴∠AED＝60°，∴AO＝OE＝3，∴OE＝，∵△ADE和△ABP是等边三角形，∴AB＝AP，AD＝AE，∠BAP＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠P AE，在△ADB和△AEP中，∴△AEP≌△ADB（SAS），∴∠AEP＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，∴OF＝OE＝3，∠OFE＝30°，∴点P在直线EF上运动，当OP⊥EF时，OP最小，∴OP＝OF＝，则OP的最小值为，17．【解答】解（1）∵△ADE绕点A顺时针旋转能与△ABF重合，∴∠DAB＝∠EAF＝90°；（2）∵△ADE绕点A顺时针旋转能与△ABF重合，∴AE＝AF＝3，∠EAF＝90°，∴EF＝AE＝3．18．【解答】解：（1）∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣19.11°﹣40.89°＝120°，即∠BAD＝120°，所以旋转中心为点A，旋转的度数为120°；（2）∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，∴∠EAD＝∠BAC＝120°，AE＝AC，AD＝AB＝6，∴∠BAE＝360°﹣120°﹣120°＝120°，∵点C恰好成为AD的中点，∴AC＝AD＝3，∴AE＝3．19．【解答】证明：（1）如图1，延长BP至点E，使得PE＝PC，连接CE，∵∠BPC＝120°，PE＝PC，∴∠CPE＝60°，∴△CPE为等边三角形，∴CP＝PE＝CE，∠PCE＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠BCA＝60°，∴∠ACB＝∠ECP，∴∠ACB+∠BCP＝∠ECP+∠BCP，即：∠ACP＝∠BCE，在△ACP和△BCE中，，∴△ACP≌△BCE（SAS），∴AP＝BE，∵BE＝BP+PE＝BP+PC，∴PB+PC＝P A；（2）如图2，将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到△CBP'，连接PP'，由旋转知，△APB≌△CP′B，∴∠BP A＝∠BP′C，P′B＝PB＝5，P′C＝P A＝12，∠PBP'＝∠ABC＝60°，又∵P′B＝PB＝5，∴△PBP′是等边三角形，∴∠PP′B＝60°，PP′＝523.3课时学习图案设计一．选择题1．如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方格有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列是国内几所知名大学的图标，若不考虑图标上的文字、字母和数字，其中既可以通过翻折变换，又可以通过旋转变换得到的图形是（）A．清华大学B．浙江大学C．北京大学D．中南大学3．一个图形无论经过平移变换，还是经过旋转变换，下列说法：a．对应线段平行，b．对应线段相等，c．图形的形状和大小都没有发生变化，d．对应角相等，其中正确的是（）A．a．b．c．B．b．c．d．C．a．b．d．D．a．c．d．4．如图，点A，B在方格纸的格点位置上，若要再找一个格点C，使它们所构成的三角形为轴对称图形，则这样的格点C在图中共有（）A．4个B．6个C．8个D．10个5．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7 个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有（）A．4 种B．3 种C．2 种D．1 种6．“飞流直下三千尺”、“坐地日行八万里（只考虑地球自转）”如果只从数学角度看，它们分别蕴含的图形变换是（）A．平移、对称B．对称、旋转C．平移、旋转D．旋转、对称7．将如图所示“你最棒”的微信图案通过平移后可以得到的图案是（）A．B．C．D．8．如图的四个图形中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（）个．A．1B．2C．3D．49．一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是（）A．B．C．D．10．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图1），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是（）A．13B．14C．15D．16二．填空题11．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有种．12．图中能通过基本图形旋转得到的有（请填写序号）13．如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要在其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色的小方格图案成轴对称图形，这样的白色小方格有个，请在图中设计出一种方案．14．如图，这个图形是由“基本图案”ABCDE绕着点顺时针依次旋转次得到的，则每次旋转的角度为．15．如图，在网格图中，平移图A，使它与图B拼合成一个长方形，应将图A向（填“左”或“右”）平移格；再向（填“上”或“下”）平移格．三．解答题16．如图，△ABC的三个顶点在网格上（1）画出三角形关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；（2）直接写出点A1的坐标为．17．如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点AB的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2，请在图中作出△A2OB2，并直接写出这时点A2的坐标．18．如图，图中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC在方格纸中的位置如图所示．（1）请在图中建立平面直角坐标系，使得A，B两点的坐标分别为A（2，﹣1），B（1，﹣4），并写出C点坐标；（2）在图中作出△ABC绕坐标原点旋转180°后的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标：（3）在图中作出△ABC绕坐标原点顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出A2，B2，C2的坐标．19．阅读下列材料，完成相应学习任务旋转对称把正n边形绕着它的中心旋转°的整数倍后所得的正n边形重合．我们说，正n边形关于其中心有°的旋转对称．一般地，如果一个图形绕着某点O旋转角α（0＜α＜360°）后所得到的图形与原图形重合，则称此图形关于点O有角α的旋转对称．图1就是具有旋转对称性质的一些图形．任务：（1）如图2，正六边形关于其中心O有的旋转对称，中心对称图形关于其对称中心有的旋转对称；（2）图3是利用旋转变换设计的具有旋转对称性的一个图形，将该图形绕其中心至少旋转与原图形重合；（3）请以图4为基本图案，在图5中利用平移、轴对称或旋转进行图案设计，使得设计出的图案是中心对称图形．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：如图所示：，共3个，故选：C．2．【解答】解：A、是既可以通过翻折变换，又可以通过旋转变换得到的图形，正确；B、可以通过翻折变换，但不可以通过旋转变换得到的图形，错误；C、可以通过翻折变换，但不可以通过旋转变换得到的图形，错误；D、不可以通过翻折变换，但可以通过旋转变换得到的图形，错误；故选：A．3．【解答】解：a、经过旋转变换对应线段不一定平行，b、无论经过平移变换，还是经过旋转变换，对应线段相等，c、无论经过平移变换，还是经过旋转变换，图形的形状和大小都没有发生变化，d、无论经过平移变换，还是经过旋转变换，对应角相等，综上所述，说法正确的是b、c、d．故选：B．4．【解答】解：如图所示，这样的格点C在图中共有10个，故选：D．5．【解答】解：在1，2，3处分别涂黑都可得一个轴对称图形．故选：B．6．【解答】解：根据平移和旋转定义可知：“飞流直下三千尺”是平移；“坐地日行八万里”是旋转．故选：C．7．【解答】解：将如图所示“你最棒”的微信图案通过平移后可以得到的图案是，故选：C．8．【解答】解：图形①可以分别旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；图形②可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；图形③可以旋转180°得到，不可以经过轴对称得到，故此选项错误；图形④可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合．故既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有3个．故选：C．9．【解答】解：先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是B，故选：B．10．【解答】解：如图1，连接AC，CF，则AF＝3，∴两次变换相当于向右移动3格，向上移动3格，又∵MN＝20，∴20÷3＝，（不是整数）∴按A﹣C﹣F的方向连续变换10次后，相当于向右移动了10÷2×3＝15格，向上移动了10÷2×3＝15格，此时M位于如图所示的5×5的正方形网格的点G处，再按如图所示的方式变换4次即可到达点N处，∴从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是10+4＝14次，故选：B．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：如图，有三种方案，故答案为3．12．【解答】解：四幅图中，能通过基本图形旋转得到的有：（1）（2）（3）（4）．故答案为：（1）（2）（3）（4）．13．【解答】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．故答案为：4．14．【解答】解：根据旋转的性质，可知：在点D处有6个角，故360°÷6＝60°，所以它的旋转角为60°．即这个图形是由“基本图案”ABCDE绕着点D顺时针依次旋转5次得到的，则每次旋转的角度为60°．故答案为：D、5、60°．15．【解答】解：∵A图形在B图形的左边可知应先向右平移图形A，点C距点D4个格，∴应先向右平移4个格，此时点C与点D重合，∵点D距点E2个格，∴向上平移2格．故答案为：右，4，上，2．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）点A1的坐标为（1，﹣3）．故答案为（1，﹣3）．17．【解答】解：如图所示：A2（﹣2，3）；．18．【解答】解：（1）坐标系如图所示，C（3，﹣3）；（2）△A1B1C1如图所示，A1（﹣2，1），B1（﹣1，4），C1（﹣3，3）；（3）△A2B2C2如图所示，A（﹣1，﹣2），B（﹣4，﹣1），C2（﹣3，﹣3）．19．【解答】解：（1）正六边形关于其中心O有60°的旋转对称，中心对称图形关于其对称中心有180°的旋转对称；故答案为：60°；180°；（2）∵360°÷5＝72°。

九年级数学上册第二十三章旋转知识点汇总单选题1、下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．答案：B分析：根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可．解：∵A中的图形旋转180°后不能与原图形重合，∴A中的图象不是中心对称图形，∴选项A不正确；∵B中的图形旋转180°后能与原图形重合，∴B中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，∴选项B正确；∵C中的图形旋转180°后能与原图形重合，∴C中的图形是中心对称图形，也是轴对称图形，∴选项C不正确；∵D中的图形旋转180°后不能与原图形重合，∴D中的图形不是中心对称图形，∴选项D不正确；故选：B．小提示：本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．2、有一个正n边形旋转90∘后与自身重合，则n为（）A．6B．9C．12D．15答案：C分析：根据选项求出每个选项对应的正多边形的中心角度数，与90∘一致或有倍数关系的则符合题意．如图所示，计算出每个正多边形的中心角，90∘是30∘的3倍，则可以旋转得到．A.B.C.D.观察四个正多边形的中心角，可以发现正12边形旋转90°后能与自身重合故选C．小提示：本题考查正多边形中心角与旋转的知识，解决本题的关键是求出中心角的度数并与旋转度数建立关系．3、如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF=45°，连接EF，则BF 的长为（）A．2B．3√2C．3D．2√22答案：A分析：把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，首先证明△AFE≌△AGE，进而得到EF＝FG，问题即可解决．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∴把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图：∴∠BAF＝∠DAG，AB=AG∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAF＋∠DAE＝∠DAG＋∠DAE=45°，∴∠EAF＝∠EAG，∵∠ADG＝∠ADC＝∠B＝90°，∴∠EDG＝180°，点E、D、G共线，在△A FE和△AGE中，AG＝AF，∠FAE＝∠EAG，AE＝AE，∴△AFE≌△AGE（SAS），∴EF＝EG，即：EF＝EG＝ED＋DG，∵E为CD的中点，边长为6的正方形ABCD，∴CD＝BC＝6，DE＝CE＝3，∠C＝90°，∴设BF＝x，则CF＝6−x，EF＝3＋x，在Rt△CFE中，由勾股定理得：EF2＝CE2＋CF2，∴（3＋x）2＝32＋（6−x）2，解得：x＝2，即BF＝2，故选：A．小提示：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其性质的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．4、如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B=30°，∠C= 90°，则∠BAC′为（）A．90°B．60°C．45°D．30°答案：B分析：根据直角三角形两锐角互余，求出∠BAC的度数，由旋转可知∠BAC=∠B′AC′，在根据平角的定义求出∠BAC′的度数即可．∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=90°−∠B=90°−30°=60°，∵由旋转可知∠BAC=∠B′AC′=60°，∴∠BAC′=180°−∠BAC−∠B′AC′=180°−60°−60°=60°，故答案选：B．小提示：本题考查直角三角形的性质以及图形的旋转的性质，找出旋转前后的对应角是解答本题的关键．5、将△AOB绕点O旋转180∘得到△DOE，则下列作图正确的是（）A．B．C．D．答案：D分析：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.解：观察选项中的图形，只有D选项为△ABO绕O点旋转了180°.小提示：本题考察了旋转的定义.6、如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是（）A．B．C．D．答案：B分析：根据绕点B按顺时针方向旋转90°逐项分析即可．A、Rt△A′O′B是由Rt△AOB关于过B点与OB垂直的直线对称得到，故A选项不符合题意；B、Rt△A′O′B是由Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到，故B选项符合题意；C、Rt△A′O′B与Rt△AOB对应点发生了变化，故C选项不符合题意；D、Rt△AOB是由Rt△AOB绕点B按逆时针方向旋转90°后得到，故D选项不符合题意．故选：B．小提示：本题考查旋转变换．解题的关键是弄清旋转的方向和旋转的度数．7、如图，先将该图沿着它自己的右边缘翻折，再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转180°，之后所得到的图形是（）A．B．C．D．答案：A分析：将图沿着它自己的右边缘翻折，则圆在正方形图形的右上角，然后绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转180°，则圆在正方形的左下角，利用此特征可对四个选项进行判断．先将图沿着它自己的右边缘翻折，得到，再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转180°，之后所得到的图形为．故选：A小提示：本题考查了利用旋转设计图案：由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换一些复合图案．8、在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（）A．Q(3,240°)B．Q(3,−450°)C．Q(3,600°)D．(3,−120°)答案：B分析：根据中心对称的性质解答即可．解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°），由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°），故选：B．小提示：本题考查了中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答．9、如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A'B'C，连接AA'，若∠1=25°，则∠BAA'的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°答案：B分析：根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′=45°，再根据三角形的内角和定理可得结果．∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC=A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CA′A=45°，∠CA′B′=20°=∠BAC∴∠BAA′=180°-70°-45°=65°，故选：B．小提示：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．10、如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△ADE，若点D恰好在BC的延长线上，则∠BDE的度数为（）A．100°B．80°C．70°D．60°答案：B分析：由旋转的性质可知∠B=∠ADE，AB=AD，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B=∠BDA=∠ADE=40°，从而可求得∠BDE=80°．解：由旋转的性质可知：∠B=∠ADE，AB=AD，∠BAD=100°．∵AB=AD，∠BAD=100°，∴∠B=∠BDA=40°，∴∠ADE=40°，∴∠BDE=∠BDA+∠ADE=40°+40°=80°．故选B．小提示：本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．由旋转的性质得到△ABD为等腰三角形是解题的关键．填空题11、如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是__.答案：38°分析：根据旋转变换的性质得到∠AOD=31°，∠BOC=31°，结合图形，计算即可．解：由旋转的性质可知，∠AOD=31°，∠BOC=31°，∴∠DOB=∠AOC−∠AOD−∠BOC=38°，所以答案是：38°．小提示：本题考查的是旋转变换的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．12、在平面直角坐标系内，点P(−3,2)关于原点的对称点Q的坐标为______．答案：(3,−2)分析：根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，即可直接作答．根据中心对称性质可知：点P (−3,2)关于原点的对称点Q 的坐标为(3,−2)，故答案为(3,−2)．小提示：本题考查了关于原点对称点的坐标，属于基础问题，熟记知识点是解题关键．13、点O 是平行四边形ABCD 的对称中心，AD ＞AB ，E 、F 分别是AB 边上的点，且EF ＝12AB ；G 、H 分别是BC 边上的点，且GH ＝13BC ；若S 1,S 2分别表示∆EOF 和∆GOH 的面积，则S 1,S 2之间的等量关系是______________答案：2S 1＝3S 2分析：过点O 分别作OM ⊥BC ，垂足为M ，作ON ⊥AB ，垂足为N ，根据点O 是平行四边形ABCD 的对称中心以及平行四边形的面积公式可得AB•ON=BC•OM ，再根据S 1=12EF•ON ，S 2=12GH•OM ，EF ＝12AB ，GH ＝13BC ，则可得到答案．过点O 分别作OM ⊥BC ，垂足为M ，作ON ⊥AB ，垂足为N ，∵点O 是平行四边形ABCD 的对称中心，∴S 平行四边形ABCD =AB •2ON ， S 平行四边形ABCD =BC•2OM ，∴AB•ON=BC•OM ，∵S 1=12EF•ON ，S 2=12GH•OM ，EF ＝12AB ，GH ＝13BC ，∴S 1=14AB•ON ，S 2=16BC•OM ， ∴2S 1＝3S 2，故答案为2S 1＝3S 2．小提示：本题考查了平行四边形的面积，中心对称的性质，正确添加辅助线、准确表示出图形面积是解题的关键．14、如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋转75°，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点B″的坐标为___________．答案：(−√2,√6+1)##(−√2,1+√6)分析：连接OB，OB′由题意可得∠BOB′=75°，可得出∠COB′=30°，可求出B′的坐标，即可得出点B″的坐标．解：如图：连接OB，OB′，作B′M⊥y轴∵ABCO是正方形，OA=2∴∠COB=45°，OB=2√2∵绕原点O逆时针旋转75°∴∠BOB′=75°∴∠COB′=30°∵OB′=OB=2√2∴MB′=√2，MO=√6∴B′(−√2,√6)∵沿y轴方向向上平移1个单位长度∴B″(−√2,√6+1)所以答案是：(−√2,√6+1)小提示：本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握网格结构，准确确定出对应点的位置是解题的关键．15、如图，P是正△ABC内的一点，若将△PAB绕点A逆时针旋转到△P1AC，则∠PAP1等于________度．答案：60分析：利用旋转的性质即可得出答案．解：∵△ABC是正三角形，∴∠CAB=60°，由旋转的性质可知，∠PAP1=∠CAB=60°．所以答案是：60．小提示：本题考查正三角形的性质和旋转的性质，由旋转的性质得出∠PAP1=∠CAB是解题的关键．解答题16、如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点．（1）求该二次函数的解析式；（2）过点P作PQ⊥x轴，分别交线段AB、抛物线于点Q，C，连接AC．若OP＝1，求△ACQ的面积；（3）如图2，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．当点D在抛物线上时，求点D的坐标．答案：（1）y=16x2−16x−2；（2）SΔACQ=34；（3）D(3,−1)或D(−8,10)分析：（1）将B(0,−2)代入y=a(x+3)(x−4)，即可求解；（2）先求直线AB的解析式为y=12x−2，则Q(1,−32)，C(1,−2)，可求SΔACQ=SΔACP−SΔAPQ=34；（3）设P(t,0)，过点D作x轴垂线交于点N，可证明ΔPND≅ΔBOP(AAS)，则D(t+2,−t)，将D点代入抛物线解析式得−t=16(t+2+3)(t+2−4)，求得D(3,−1)或D(−8,10)．解：（1）将B(0,−2)代入y=a(x+3)(x−4)，∴a=16，∴y=16(x+3)(x−4)=16x2−16x−2；（2）令y=0，则16(x+3)(x−4)=0，∴x=−3或x=4，∴A(4,0)，设直线AB的解析式为y=kx+b，∴{b=−24k+b=0，∴{k=1 2b=−2，∴y=12x−2，∵OP=1，∴P(1,0)，∵PQ⊥x轴，∴Q(1,−32)，C(1,−2)，∴AP=3，∴SΔACQ=SΔACP−SΔAPQ=12×3×2−12×3×32=34；（3）设P(t,0)，如图2，过点D作x轴垂线交于点N，∵∠BPD=90°，∴∠OPB+∠NPD=90°，∠OPB+∠OBP=90°，∴∠NPD=∠OBP，∵BP=PD，∴ΔPND≅ΔBOP(AAS)，∴OP=ND，BO=PN，∴D(t+2,−t)，∴−t=16(t+2+3)(t+2−4)，解得t=1或t=−10，∴D(3,−1)或D(−8,10)．小提示：本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法求抛物线解析式，三角形面积，全等三角形判定和性质，旋转的性质等，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论，数形结合．17、如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边AD上（P不与A,D重合），连接PB,PC．将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PE，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PF．连接EF,EA,FD．（1）求证：PD2；①ΔPDF的面积S=12②EA=FD；（2）如图2，EA.FD的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围．答案：（1）①见详解；②见详解；（2）4≤MN＜2√5分析：（1）①过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，证明△PFG≌△CPD，即可得到结论；②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，证明△PEH≌△BPA，结合△PFG≌△CPD，可得GD=EH，同理：FG=AH，从而得△AHE≌△FGD，进而即可得到结论；（2）过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，可得∠AMD=90°，EF，HG= 2AD=8，EH+FG=AD=4，然后求出当点P与点D重合时，EF最大值=4√5，当点P与AD的中点重合MN=12时，EF最小值= HG=8，进而即可得到答案．（1）①证明：过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，∵∠FPG+∠PFG=90°，∠FPG+∠CPD=90°，∴∠FPG=∠CPD，又∵∠PGF=∠CDP=90°，PC=PF，∴△PFG≌△CPD（AAS），∴FG=PD，∴ΔPDF的面积S=12PD⋅FG=12PD2；②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，∵∠EPH+∠PEH=90°，∠EPH +∠BPA=90°，∴∠PEH =∠BPA，又∵∠PHE=∠BAP=90°，PB=PE，∴△PEH≌△BPA（AAS），∴EH=PA，由①得：FG=PD，∴EH+FG=PA+PD=AD=CD，由①得：△PFG≌△CPD，∴PG=CD，∴PD+GD= CD= EH+FG，∴FG+GD= EH+FG，∴GD=EH，同理：FG=AH，又∵∠AHE=∠FGD，∴△AHE≌△FGD，∴EA=FD；（2）过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，由（1）得：△AHE≌△FGD，∴∠HAE=∠GFD，∵∠GFD+∠GDF=90°，∴∠HAE+∠GDF=90°，∵∠HAE=∠MAD，∠GDF=∠MDA，∴∠MAD+∠MDA=90°，∴∠AMD=90°，∵点N是EF的中点，∴MN=1EF，2∵EH=DG=AP，AH=FG=PD，∴HG=AH+DG+AD=PD+AP+AD=2AD=8，EH+FG=AP+PD=AD=4，当点P与点D重合时，FG=0，EH=4，HG=8，此时EF最大值=√42+82=4√5，当点P与AD的中点重合时，FG=2，EH=2，HG=8，此时EF最小值= HG=8，∴MN的取值范围是：4≤MN＜2√5．小提示：本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，添加辅助线，构造直角全等的直角三角形，是解题的关键．18、如图，△AOB中，OA=OB=6，将△AOB绕点O逆时针旋转得到△COD．OC与AB交于点G，CD分别交OB、AB 于点E、F．(1)∠A与∠D的数量关系是：∠A______∠D；(2)求证：△AOG≌△DOE；(3)当A，O，D三点共线时，恰好OB⊥CD，求此时CD的长．答案：(1)=(2)证明见解析(3)6√3，详见解析分析：（1）根据旋转性质及等腰三角形性质即可得答案；（2）由旋转性质知∠AOB=∠DOC，可证得∠AOG=∠DOE，结合OA=OB及（1）中结论，得证；（3）分两种情况讨论，设∠A=x°，先利用三角形内角和求出x的值，再借助勾股定理求出CD的长度即可．（1）解：由旋转知，∠A=∠C，∠B=∠D，∵OA=OB，∴OC=OD，∠A=∠B=∠C=∠D∴∠A=∠D，所以答案是：=．（2）证明：由旋转知，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，∴∠AOB－∠BOC=∠COD－∠BOC，即∠AOG=∠DOE，∵OA=OB，∴OA=OB=OC=OD，又∵∠A=∠D，∴△AOG≌△DOE．（3）解：分两种情况讨论，①如图所示，设∠A=∠B=∠C=∠D=x°，则∠DOB=2x°，∵OB⊥CD，∴∠OED=90°，∴x+2x=90°，解得：x=30，即∠D=30°，在Rt△ODE中，OE=3，由勾股定理得：DE=√62−32=3√3，∵OC=OD，OE⊥CD，∴CD=2DE=6√3．②当D与A重合时，如图所示，同理，得：CD=6√3．综上所述，当A，O，D三点共线时，OB⊥CD，此时CD的长为6√3．小提示：本题考查了旋转的性质、等腰三角形性质、全等三角形的判定、勾股定理等知识点，解题关键是利用旋转性质得到边、角的关系．。

第二十三章—旋转一、旋转变换1、旋转的定义把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转。

点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P＇,那么这两个点叫做这个旋转的对应点。

2、旋转的性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。

（旋转中心就是各对应点所连线段的垂直平分线的交点。

）（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

（3）旋转前、后的图形全等。

3、作旋转后的图形的一般步骤（1）明确三个条件：旋转中心，旋转方向，旋转角度；（2）确定关键点，作出关键点旋转后的对应点；（3）顺次连结。

4、欣赏较复杂旋转图形图形是由什么基本图形，以哪个点为中心，按哪个方向（顺时针或逆时针）旋转多少度，连续旋转几次，便得到美丽的图案。

5、有关图形旋转的一些计算题和证明题例题练习1.将叶片图案旋转180°后，得到的图形是( )2.如图，在等腰直角△ABC中，B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则等于（）A.60°B.105°C.120°D.135°3.如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在位置，A点落在位置，若，则的度数是()A.50°B.60°C.70°D.80°4.数学来源于生活,下列生活中的运动属于旋转的是 ( )A.国旗上升的过程B.球场上滚动的足球C.工作中的风力发电机叶片D.传输带运输东西5.如图,将方格纸中的图形绕点O逆时针旋转90°后得到的图形是 ( )6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=30°,点D、E分别为AB、AC上的点,且DE∥BC.将△ADE绕点A逆时针旋转至点B、A、E在同一条直线上,连接BD、EC.下列结论:①△ADE的旋转角为120°;②BD=EC;③BE=AD+AC;④DE⊥AC.其中正确的为( )A.②③B.②③④C.①②③D.①②③④7.如图,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,且点D恰好在AC上,∠BAE=∠CDE=136°,则∠C的度数是（）8.如图,以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF,连接BE、CF.(1)求证:△FAC≌△BAE;(2)图中可以通过旋转△BAE而得到△FAC,请你说出旋转中心、旋转方向和旋转角的度数.9.如图,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上的动点(不与B,C重合),将线段AE 绕点E顺时针旋转90°得到线段EF,连接AF,EF、AF分别与CD交于点M、N,连接EN,作FG⊥BC交BC的延长线于点G.(1)求证:BE=CG;(2)若BE=2,DN=3,求EN的长.二、中心对称图形1、中心对称的定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。

旋转基础练习附答案时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．如图J23-1-1，将△ABC旋转至△CDE，则下列结论中一定成立的是()A．AC＝CE B．∠A＝∠DEC C．AB＝CD D．BC＝EC2．如图J23-1-2，将三角尺ABC(其中∠ABC＝60°，∠C＝90°)绕点B按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于()A．120°B．90°C．60°D．30°图J23-1-1 图J23-1-2 图J23-1-3 图J23-1-4二、填空题(每小题4分，共8分)3．如图J23-1-3，△ABC绕点C旋转后得到△CDE，则∠A的对应角是__________，∠B＝________，AB＝________，AC＝________.4．如图J23-1-4，AC⊥BE，AC＝EC，CB＝CF，则△EFC可以看作是△ABC绕点________按________方向旋转了__________度而得到的．三、解答题(共11分)5．如图J23-1-5，△ABC是直角三角形，延长AB到点E，使BE＝BC，在BC上取一点F，使BF＝AB，连接EF，△ABC旋转后能与△FBE重合，请回答：(1)旋转中心是哪一点？(2)旋转了多少度？(3)AC与EF的关系如何？图J23-1-5基础知识反馈卡·23.2.1时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．下列图形绕某点旋转180°后，不能与原来图形重合的是()2．如图J23-2-1，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是()A．OC＝OC′B．OA＝OA′C．BC＝B′C′D．∠ABC＝∠A′C′B′图J23-2-1 图J23-2-2 图J23-2-3二、填空题(每小题4分，共8分)3．如图J23-2-2，△ABC和△A′B′C′关于点O成中心对称，如果连接线段AA′，BB′，CC′，它们都经过点_____，且AB＝________，AC＝________，BC＝________.4．如图J23-2-3，将等边△ABD沿BD中点旋转180°得到△BDC.现给出下列命题：①四边形ABCD是菱形；②四边形ABCD是中心对称图形；③四边形ABCD是轴对称图形；④AC＝BD.其中正确的是________(写上正确的序号)．三、解答题(共11分)5．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图J23-2-4所示，将△ABC沿y 轴翻折得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点O旋转180°得到△A2B2C2.请依次画出△A1B1C1和△A2B2C2.图J23-2-4基础知识反馈卡·23.2.2时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共9分)1．若点A(n,2)与点B(－3，m)关于原点对称，则n－m＝()A．－1 B．－5C．1 D．52．点P关于原点的对称点为P1(3,4)，则点P的坐标为()A．(3，－4) B．(－3，－4)C．(－4，－3) D．(－3,4)3．若点A(2，－2)关于x轴的对称点为B，点B关于原点的对称点为C，则点C的坐标是()A．(2,2) B．(－2,2)C．(－1，－1) D．(－2，－2)二、填空题(每小题4分，共8分)4．点A(－2,1)关于y轴对称的点坐标为________，关于原点对称的点的坐标为________．5．若点A(2，a)关于x轴的对称点是B(b，－3)，则ab的值是________．三、解答题(共8分)6．如图J23-2-5，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB 关于原点对称的图形．图J23-2-5基础知识反馈卡·23.3时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共9分)1．下列选项中，能通过旋转把图a变换为图b的是()2．图J23-3-1的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的有()图J23-3-1A．1个B．2个C．3个D．4个3．在下图右侧的四个三角形中，不能由左侧的三角形经过旋转或平移得到的是()二、填空题(每小题4分，共8分)4．正六边形可以看成由基本图形________经过________次旋转而成．5．如图J23-3-2，一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是__________；在前16个图案中“”有______个．图J23-3-2三、解答题(共8分)6．认真观察图J23-3-3中的四个图案，回答下列问题：图J23-3-3(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1：____________________；特征2：____________________________.(2)请你在图J23-3-4中设计出你心中最美的图案，使它也具备你所写出的上述特征．图J23-3-4基础知识反馈卡·23.2.11．B 2.D3．O A′B′A′C′B′C′ 4.①②③5．解：如图DJ1.图DJ1基础知识反馈卡·23.2.21．D 2.B 3.D4．(2,1)(2，－1) 5.66．解：如图DJ2.图DJ2基础知识反馈卡·23.31．A 2.D 3.B4．正三角形 65. 56．解：(1)是轴对称图形是中心对称图形(2)如图DJ3(答案不唯一)．图DJ3以下不需要可以删除人教版初中数学知识点总结必备必记目录七年级数学（上）知识点 (1)第一章有理数 (1)第二章整式的加减 (3)第三章一元一次方程 (4)第四章图形的认识初步 (5)七年级数学（下）知识点 (6)第五章相交线与平行线 (6)第六章平面直角坐标系 (8)第七章三角形 (9)第八章二元一次方程组 (12)第九章不等式与不等式组 (13)第十章数据的收集、整理与描述 (13)八年级数学（上）知识点 (14)第十一章全等三角形 (14)第十二章轴对称 (15)第十三章实数 (16)第十四章一次函数 (17)第十五章整式的乘除与分解因式 (18)八年级数学（下）知识点 (19)第十六章分式 (19)第十七章反比例函数 (20)第十八章勾股定理 (21)第十九章四边形 (22)第二十章数据的分析 (23)九年级数学（上）知识点 (24)第二十一章二次根式 (24)第二十二章一元二次根式 (25)第二十三章旋转 (26)第二十四章圆 (27)第二十五章概率 (28)九年级数学（下）知识点 (30)第二十六章二次函数 (30)第二十七章相似 (32)第二十八章锐角三角函数 (33)第二十九章投影与视图 (34)七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章有理数一．知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成)0pq,p(pq≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a、b互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a(a)0a()0a(aa或⎩⎨⎧<-≥=)0a(a)0a(aa；绝对值的问题经常分类讨论；5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若a≠0，那么a的倒数是a1；若ab=1⇔ a、b 互为倒数；若ab=-1 a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a .13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字. 请判断下列题的对错,并解释.1.近似数25.0的精确度与近似数25一样.2.近似数4千万与近似数4000万的精确度一样.3.近似数660万,它精确到万位.有三个有效数字.4.用四舍五入法得近似数6.40和6.4是相等的.5.近似数3.7x10的二次与近似数370的精确度一样.1、错。