2012矩阵论复习题

矩阵理论习题与答案矩阵理论习题与答案矩阵理论是线性代数中的重要内容之一，它在数学、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。

为了帮助读者更好地理解和掌握矩阵理论，本文将介绍一些常见的矩阵理论习题，并提供详细的答案解析。

一、基础习题1. 已知矩阵A = [[2, 3], [4, 5]]，求A的转置矩阵。

答案：矩阵的转置是将其行和列互换得到的新矩阵。

所以A的转置矩阵为A^T = [[2, 4], [3, 5]]。

2. 已知矩阵B = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，求B的逆矩阵。

答案：逆矩阵是指与原矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵。

由于B是一个2×3的矩阵，不是方阵，所以不存在逆矩阵。

3. 已知矩阵C = [[1, 2], [3, 4]]，求C的特征值和特征向量。

答案：特征值是矩阵C的特征多项式的根，特征向量是对应于每个特征值的线性方程组的解。

计算特征值和特征向量的步骤如下：首先，计算特征多项式：det(C - λI) = 0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。

解特征多项式得到特征值λ1 = 5，λ2 = -1。

然后，将特征值代入线性方程组 (C - λI)x = 0，求解得到特征向量：对于λ1 = 5，解得特征向量v1 = [1, -2]。

对于λ2 = -1，解得特征向量v2 = [1, -1]。

所以C的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1，对应的特征向量为v1 = [1, -2]，v2 = [1, -1]。

二、进阶习题1. 已知矩阵D = [[1, 2], [3, 4]]，求D的奇异值分解。

答案：奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。

计算奇异值分解的步骤如下：首先，计算D的转置矩阵D^T。

然后，计算D和D^T的乘积DD^T，得到一个对称矩阵。

接下来，求解对称矩阵的特征值和特征向量。

将特征值构成对角矩阵Σ，特征向量构成正交矩阵U。

最后，计算D^T和U的乘积D^TU，得到正交矩阵V。

矩阵论复习题1设A 、B 均为n 阶正规矩阵，试证A 与B 酉相似的充分必要条件是A 与B 的特征值相同。

证明: 充分性：A 与B 的特征值相同，A 、B 均为n 阶正规矩阵，则有11,A P IP B Q IQ --== 故11111,,A P QIQ P R Q P R P Q -----==令= A 与B 酉相似 必要性:A,B 为n 阶正规矩阵，存在初等变换R,1A RBR -=11,,,I E PQ A P IP B Q EQ --==为对角矩阵，存在初等变换111,I PAP E QRAR Q ---== ，因为I,E 为对角矩阵，故I=E 。

因此A 与B 的特征值相同。

#2 作出下列矩阵的奇异值分解10(1)A 0111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦011(2)A 200-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (1)632- 6 3 2101263011,130 2 6 311206333T B AA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应，特征值对应 2221 2 2,131222 2 2TC A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应故263 2 6 32210263 2 203 2 6 3220063 2 20 33HA ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2) 2010,240401T B AA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应， 0040012201-1,2-400- 2 20-11022- 2 2T C A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应，特征值对应 0101022200A 001 2202022022H⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3.求下列矩阵A 的满秩分解123002111021A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭112211001230010,021110102111001230010,021101100001001230=010021-11-11L L A L L L A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦故4 设A 、B 均为n 阶Hermite 正定矩阵，证明：若B A ≥且BA AB =，则33B A ≥.证明：由于A 、B 均为n 阶Hermite 正定矩阵，且BA AB =，则AB 与BA 均为n 阶Hermite 正定矩阵。

一．（10分）已知n n C ⨯中的两种范数a ⋅和b ⋅，对于n n C A ⨯∈，证明b a A A A +=是n n C ⨯中的范数. 解：⑴非负性：由于b a ⋅⋅,是两种范数，故当A=0时，0,0==b a A A ，所以000=+=+=b a A A A ； 当A ≠0时，0,0>>b a A A ，所以0>+=b a A A A⑵齐性：()A A A A A A A A b a b a b a ααααααα=+=+=+= ⑶三角不等式：B A B A B A B A B A B A b b a a b a +=+++≤+++=+二．(每小题10分,共20分)已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101121103A ,()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=002t e t b , 1. 求At e2. 用矩阵函数方法求微分方程()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+=T x t b t Ax t x dt d1,0,10的解.解：1. ()1112113det ----=-λλλλA I ()()3211132-=----=λλλλ显然, )det(A I -λ的一阶子式的公因子为1, 容易知道)det(A I -λ 的二阶子式的公因子为2-λ,所以A的最小多项式为()()()23222-=--=λλλλm ,即()()022=-=I A A m ,设()()()b a g m e f t ++==λλλλλ,则()a te f t =='λλ 对于特征值2=λ有()()⎩⎨⎧=='+==a te f b a e f t t 22222,()⎩⎨⎧+-==ttet b te a 2212 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+=+=t t t t t t e bI aA e t At1010122. ()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰--ds e s s s ss s e e ds s b e x e t x s t s At t As At 001010110102020 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=t t e t e t At 1001012三．(15分)用Givens 变换求⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2100421132403100A 的QR 分解. 解：()T01001=β,构造()s c T ,13=,1101sin ,0100cos 22232132223211=+=+===+=+==xx x s x x x c θθ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=210031002340421121421132403100100000010010010013A T⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=21312A , 构造),(12s c T , ()21sin ,21111cos 222122222211=+==-=+--=+==x x x s x x x c θθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=1052212131111121212A T⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2/1002/12/1002/10010010013122T T I T ,⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==2/12/100000100102/12/100TT Q ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2/12/522344211R四．(10分)用Gerschgorin 定理证明⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=8110260110410100A 至少有两个实特征值. 解：A 的4个盖尔圆为:{}1|1≤=z z G ,{}2114|2=+≤-=z z G , {}3216|3=+≤-=z z G , {}2118|4=+≤-=z z G ,它们构成的两个连通部分为11G S =,4322G G G S =.易见,1S ,2S 都关于实轴对称且各含有1个和3个特征值,因为实矩阵的复特征值必成对出现, 故1S ,2S 必各含有一个实特征值,从而A 至少含有2个实特征值.五．(20分)已知⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=221221*********A ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=44111b 1. 求A 的满秩分解.2. 求+A3. 用广义逆矩阵的方法判别方程组b Ax =是否相容.4. 求方程组b Ax =的极小范数解或极小范数最小二乘解并指出所求解的类型.解 1。

第三章 Jordan 标准形一、基本要求1、理解λ-矩阵的定义，可逆的条件，初等变换及等价．2、会求λ-矩阵(数字矩阵)的Smith 标准形，不变因子，初等因子组，行列式因子．3、掌握矩阵的Jordan 标准形的定义，会求矩阵的Jordan 标准形及其相似变换矩阵．4、掌握Hamilton-Cayley 定理的内容．5、理解最小多项式的定义，会计算矩阵的最小多项式．6、理解幂等矩阵的定义及性质．二、基本内容1、求方阵的Jordan 标准形设n n C A ⨯∈的全体初等因子为i m i )(λλ-，);,,2,1(21n m m m s i s =+++= ，对应第i 个初等因子i m i )(λλ-的Jordan 块为i J ，那么A 的Jordan 标准形为),,,(21s J J J diag J =，求A 的全体初等因子常用下面三种方法．(1) 行列式因子法1) 计算A E -λ的行列式因子),,2,1)((n k D k =λ； 2) 计算A E -λ的不变因子)1)(;,,2,1()()()(01===-λλλλD n k D D d k k k ；3) 对)(,),(),(21λλλn d d d 分解因式，全体不可约因式(一次因式方幂)为A 的全体初等因子．(2) 初等变换法1) 用初等变换将A E -λ化为对角矩阵))(,),(),((21λλλn f f f diag ，其中),,2,1)((n k f k =λ是首1多项式；2) 对)(,),(),(21λλλn f f f 分解因式，全体不可约因式为A 的全体初等因子． (3) 特征多项式分析法1) 计算A 的特征多项式)det()(A E -=λλϕ；2) 求出)(λϕ的全体不可约因式);,,2,11()(21n r r r l l r i i =+++=- λλ；3) 对于)(λϕ的第i 个不可约因式i r i )(λλ-，有1=i r 时，i λλ-是A 的一个初等因子；1>i r 时，i r i )(λλ-是A 的)(A E rank n i --λ个初等因子的乘积．在特征多项式分析法中，当3≤i r 时，一定能够确定出i r i )(λλ-是几个初等因子的乘积；而当3>i r 时，不一定能够确定出i r i )(λλ-是几个初等因子的乘积，此时该方法可能失效．2、求可逆矩阵P ，使得J AP P =-1确定相似变换矩阵P 一般比较困难(尽管P 是存在的)．在特殊情形下，可以通过求解一系列线性方程组来获得P ．例如，在A 的初等因子组中，当j i λλ≠(j i ≠)时，划分),,,(),()()(2)(121i m i i i s ix x x P P P P P==， 那么，i P 的列向量如下计算：0)(=-x A I i λ的一个非零解为)(1i x ；)(1)(i i x x A I -=-λ的一个解为)(2i x ；)(1)(i m i ix x A I --=-λ的一个解为)(i m i x ． 3、方阵的最小多项式(1) 方阵是其特征多项式的矩阵根．(2) 方阵的最小多项式整除它的零化多项式．(3) 方阵的最小多项式与它的特征多项式有相同的零点(不计重数)．(4) 设n 阶方阵A 的特征多项式为)(λϕ，特征矩阵A I -λ的1-n 阶行列式因子为)(1λ-n D ，则A 的最小多项式为)()()(1λλϕλ-=n D m ．(5) 设n 阶方阵A 的全体初等因子为),1()(,,)(),1()(,,)(),1()(,,)(11221111221111s s t t t t rs r s t ll t k k r r l l k k ≤≤≤--≤≤≤--≤≤≤--λλλλλλλλλλλλ其中，s λλλ,,,21 互不相同，则A 的最小多项式为s t t t rs l k m )()()()(2121λλλλλλλ---= ．三、典型例题例1、设)(λA 为一个5阶-λ矩阵，其秩为4，初等因子为,1,1,,,22--λλλλλ3)1(,1++λλ，试求)(λA 的不变因子及其Smith 标准形．解 因为)(λA 的秩为4，所以可知其有四个不变因子1)(,)(),1)(1()(,)1)(1()(1223324==+-=+-=λλλλλλλλλλλd d d d于是立即得到其Smith 标准形⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=322)1)(1()1)(1(1λλλλλλλJ ． 例2、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=322045132634206,321106252321A A ， 分别求1A E -λ与2A E -λ的Smith 标准形以及1A 与2A 的不变因子、行列式因子．解 首先求出1A E -λ的Smith 标准形为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--2)2(21λλ，再求出2A E -λ的Smith 标准形为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--2)2(21λλ， 于是1A 的不变因子为2)2(,2,1--λλ，2A 的不变因子与1A 的相同．1A 的行列式因子为2)2(,2,1--λλ，2A 的行列式因子与1A 的相同．【评注】由此题目可知不同矩阵的Smith 标准形、不变因子以及行列式因子可能相同．例3、已知E A k =(k 为正整数)，证明：A 与对角矩阵相似．证 只要证明A 的每一个Jordan 块都是一阶的，那么A 必与对角矩阵相似．设A 的Jordan 标准形为i i n n i i i i s a a a J J J J J ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11,21 那么存在相似变换矩阵P 使得J AP P =-1．因此E P A P J k k ==-1，于是有i ii k n n k i k iki k i ki k i E a ka a ka a J =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯--11 ， 故i J 必为一阶子块，即n s =．所以A 与对角矩阵相似．例4、试写出Jordan 标准形均为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200120001J的两个矩阵B A ,．解 用两种方法求解此题．方法一 相似变换矩阵的方法．对于任意一个可逆矩阵P ，矩阵1-PJP 均与矩阵J 相似，从而其Jordan 标准形必为J ，于是任取两个不同的可逆矩阵P ，即可得到两个矩阵B A ,．方法二 矩阵秩的方法．设A (或B )的Jordan 标准形为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200120001， 从而A (或B )得Smith 标准形为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--)1()2(112λλ． 由此可知A (或B )的行列式因子为2321)2)(1()(,1)(,1)(--===λλλλλD D D ．这样的矩阵A (或B )有很多，取表达式较为简单的矩阵，下列任何一种矩阵都可以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1**02*002,2**02*001,2**01*002， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100*20**2,200*20**1,200*10**2， 下面分析“*”处元素取何值时才能保证以1为主对角元的Jordan 块只有一个，以2为主对角元的Jordan 块也只有一个．根据求矩阵Jordan 标准形的方法，只要使2)2(=-E A r 或2)2(=-E B r即可．例如⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010102,100129002 均可以．但⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200120011,150020002 都不可以．例5、已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=203003b c a A ， (1) 求A 的所有可能的Jordan 标准形．(2) 给出A 可对角化条件．解 首先计算特征多项式)2()3(2--=-λλλA E ． 当3=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-100000b c a A E λ． 若0=a ，则A E -λ的秩为1．A 的属于3=λ的线性无关的特征向量有两个，因此A 的Jordan 标准形为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=233J ． 若0≠a ，则A E -λ的秩为2．A 的属于3=λ的线性无关的特征向量有一个，因此A 的Jordan 标准形为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2313J ． 因此当0=a 时，A 可对角化．例6、设A 和B 都为n 阶幂等矩阵，且)()(),()(B N A N B R A R ==，证明A =B ． 证 因A 和B 都是幂等矩阵，则A 和B 的特征值都为0或1，且A 和B 都可对角化．又因为)()(B R A R =，就有r B r A r ==)()(，当1=λ时，A 与B 有r 个线性无关的特征向量，设为r ααα,,,21 ；当0=λ，0,0==BX AX ，且因)()(B N A N =，故A ，B 有r n -个线性无关的特征向量n r r ααα ,,21++，构成矩阵),,,,,,(121n r r P ααααα +=，使得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==--0011111 BP P AP P ，故B A =．例7、A 为n 阶方阵，证明T A 与A 有相同的Jordan 标准形． 证 设有可逆矩阵P ，使得i i nn i ii i m J J J J J AP P ⨯-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==λλλ11,211 ， ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡===--T m TTTT T T T J J J J P A P AP P2111)()(， 其中ii nn i ii Ti J ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλ11． 令in i Q ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111 ， 有1-==i i T i Q Q Q ，且i i T i T i J Q J Q =，再令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m Q Q Q Q21， 故J Q J Q Q P A P Q T T T T T T T ==--11)()(，即J PQ A PQ T T T =-1])[()(．令1])[(-=T PQ C ，于是AP P J C A C T 11--==．故T A 与A 相似同一个J ．例8、举例说明，即使两个n 阶矩阵A ，B 有相同的特征多项式和相同的最小多项式，但A 与B 不一定相似．解 例如矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000000000000010,0000100000000010 B A ．则0,0,224===-=-B A B E A E λλλ，矩阵A 和B 的最小多项式)()(λλB A m m =2λ=，但矩阵A 和B 不相似．例9、求下列各矩阵的Jordan 标准形．(1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---112020021； (2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3104252373； (3) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----0167121700140013． 解 (1) )1)(2)(1()det(+--=-λλλλA E ，A 有3个不同的特征值，从而A的Jordan 标准形为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-121． (2) ))()(1()det(i i A E +--=-λλλλ，A 有3个不同的特征值，从而A 的Jordan标准形为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-i i1． (3) 写出特征矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----+--=-λλλλλ167121700140013A E ． 容易求得A 的行列式因子4421)1()(,1)(,1)(-===λλλλD D D ．位于A E -λ的第2，3，4行与第1，2，4列处的三阶子式为1747671170142+-=---+λλλλ，它与)(4λD 互质，所以1)(3=λD ，从而A 的不变因子为4)1(,1,1,1-λ．于是A 的初等因子为4)1(-λ，A 的Jordan 标准形为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111111J ． 例10、已知,2126617215111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=A 求可逆矩阵P 使J AP P =-1． 解 采用行列式因子法求A 的初等因子组．A 的特征矩阵为.2126617215111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-----+=-λλλλA E 易见A E D -=λλ,1)(1的1，2行与2，3列处的2阶子式为4172111-=----λλ，而它的2，3行与1，2列处的2阶子式为)23(2266215+=--λλ，这两个多项式互质，故1)(2=λD ．直接计算可得)1()(23+=λλλD ．于是，不变因子为)1()()()(,1)()()(,11)()(223312211+======λλλλλλλλλλD D d D D d D d ． 故A 的初等因子组为1,2+λλ，从而A 的Jordan 标准形为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1010J ． 0)0(=-⋅x A E 的一个非零解为T x )4,3,1()1(1-=； )1(1)0(x x A E -=-⋅的一个解为T x )2,2,1()1(2--=； 0)1(=-⋅-x A E 的一个非零解为T x )1,1,1()2(1-=．于是可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==124123111),,()2(1)1(2)1(1x x x P ， 且有J AP P =-1．例11、求下列矩阵的Jordan 标准形及其相似变换矩阵P ．(1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----211212112 (2) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-200120010201012解 (1) 记⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=211212112A ， 首先求出A 的Jordan 标准形⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--=-2)1(11211212112λλλλλλA E ， 那么A 的初等因子为2)1(),1(--λλ，故A 的Jordan 标准形为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1111J ．再设],,,[321X X X P =由J AP P =-1得J X X X X X X A ],,[],,[321321=由此可得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=-0)()(0)(3321X A E X X A E X A E首先解第一个方程，可得基础解系为T T ]1,0,1[,]0,1,1[21==ηξ，不妨选取T X ]0,1,1[1=，但是不能简单选取T X ]1,0,1[3=，因为3X 还要保证非齐次线性方程组33)(X X A E -=-有解．又由于第三个方程与第一个方程是同解方程组，所以其的任意解具有形式T c c c c c c X ),,()(212122113+=+=ηξ．为了使第二个方程有解，可选21,c c 的值使下面的两个矩阵的秩相等⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-2121111222111,111222111c c c c A E 只要选取1,221-==c c 即可．于是T X ]1,2,1[3-=，将其代入第二个方程，并解之得T X ]1,1,1[2=．容易验证321,,X X X 线性无关，所以取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110121111P 且有J AP P =-1．(2) 记⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2000120010201012A ． 首先求出A 的Jordan 标准形⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=-3)2(2112000120010201012λλλλλλλA E ． 那么A 的初等因子为3)2(,2--λλ，故A 的Jordan 标准形为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=221212J ． 再求相似变换矩阵P ，设],,,,[4321X X X X P =由J AP P =-1即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=221212],,,[],,,[43214321X X X X X X X X A ， 于是可得方程组.2,2,2,24432321211X AX X X AX X X AX X AX =+=+==先求解线性方程组112X AX =和442X AX =，这是同解线性方程组，可得其全部解为2121,,]0,1,0,0[]0,0,0,1[k k k k T T +不全为零．为使2122X X AX +=有解，取T X ]0,0,0,1[1=，求出32)2(X X E A =-的全部解为T l l ]0,,1,[21，为了使3232X X AX +=有解，取1,021==l l ，再求解T X X E A ]0,1,1,0[)2(23==-，其全部解为T m m ],0,,0[21．于是取T T T T X X X X ]0,1,0,0[,]1,0,1,0[,]0,1,1,0[,]0,0,0,1[4321====．从而⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100101001100001P 且有J AP P =-1．例12、已知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2000310020111001A ， 求可逆矩阵P ，使J AP P =-1． 解 采用两种方法求A 的初等因子组(1) 初等变换法⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=-20003100100120112000310020111001λλλλλλλλλA E ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------→20003100210)1(0000120003100210)1(0201122λλλλλλλλλ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→00200130)1(03000012000310030)1(0000122λλλλλλ ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------→)2()1(31000)1(10000300001)2()1(31020)1(130003000012222λλλλλλλλλ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→)2()1(000010000100001)2()1(3100001000010000122λλλλλλ A 的初等因子组为2,)1(,12---λλλ．(2) 特征多项式分析法 容易求得A 的特征多项式为)2()1()det()(3--=-=λλλλϕA E因为2)1(=-⋅A E rank ，所以)(λϕ的不可约因式3)1(-λ是A 的4-2=2个初等因子的乘积，这两个初等因子只能是1-λ和2)1(-λ，因此A 的初等因子组为2,)1(,12---λλλ．综上所述，可写出A 的Jordan 标准形为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=21111J ． 下面计算相似变换矩阵P ．A 的初等因子1-λ和2)1(-λ有相同的零点(不考虑重数)，容易求出齐次线性方程组0)1(=-⋅x A E (1) 的一个基础解系为T T p p )0,1,1,0(,)0,1,1,0(21-==，因为非齐次线性方程组)2,1()1(=-=-⋅i p x A E i无解，所以选取齐次线性方程组(1)的另一个非零解为T k k k k p k p k p )0,,,0(212122113+-=+= (21,k k 不全为零)使得非齐次线性方程组3)1(p x A E -=-⋅ (2) 有解，并由此求得021=+k k ．取11=k 时12-=k ，从而T p )0,0,2,0(3=，非齐次线性方程组(2)的一个解为T p )0,0,0,2(4=，于是可得.,,4)2(23)2(11)1(1p X p X p X ===而齐次线性方程组0)2(=-X A E 的一个非零解为T X )1,3,3,1()3(1=，因此⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==1000300130211200),,,()3(1)2(2)2(1)1(1X X X X P ， 且有J AP P =-1． 例13、求E A A A A A A g 462819)(3457-++--=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=201034011A ．解 0)(),2()1(254)(223=--=-+-=-=A f A E f λλλλλλλ．462819)(3457-++--=λλλλλλg ．令c b a f g +++=λλλϕλλ2)()()(，则cE bA aA cE bA aA A A f A g ++=+++=22)()()(ϕ．用待定系数法求c b a ,,．⎪⎩⎪⎨⎧=++==+='=++=.2424)2(,162)1(,11)1(c b a g b a g c b a g 解得8,22,3-==-=c b a ，故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-+-=2431904364016218223)(2E A A A g ． 例14、A ∽J ，求A 的最小多项式，其中⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯212515015566J ． 解 方法一 24)2()5()(--=-=-=λλλλλJ E A E f ．因为0)2(,0)5(,0)5(232=-=-≠-E J J J J J ，故23)2()5()(--=λλλϕ，0)2()5()(23=--=E A E A A ϕ，故23)2()5()(--=λλλA m 是J 的最小多项式，也是A 的最小多项式．方法二 由A 的最小多项式与J 的关系知，特征值5=λ对应的Jordan 块最高阶为3，2=λ对应的Jordan 块最高阶为2，故23)2()5()(--=λλλA m ．例15、3C 中，线性变换在某一基下的矩阵为A ，且A 的特征多项式为)1)(2()(2+-==-λλλλA m A E ， 令}0)({},0)2({221=+==-=ββααE A W E A W ，(1) 证明21,W W 是A 的不变子空间，且213W W C ⊕=．(2) 在子空间21,W W 选取适当的基，合并为3C 的一组基，使T 在此基下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=010100002B ． 证 (1) ))()(2()(i i m A +--=λλλλ，可见1W 是A 的特征值2=λ的特征子空间，1W 是A 的不变子空间．当i =λ时，则存在21W ∈β，使;11ββi A =i -=λ，则存在22W ∈β，使22ββi A -=，于是有],[212ββL W =，且2W 是A 的不变子空间，}0{21=W W ，故213W W C ⊕=．(2) 设2=λ对应的特征向量为α，i i -==λλ,对应的特征向量21,ββ，则有基21,,ββα，使得A T ~),,(),,(2121ββαββα=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=i iA 2~． 由11ββi T =，令1,1-=+=i iY X β，Y X ,为线性无关的实向量．Y iX iTY TX iY X T T -=+=+=)(1β，可得⎩⎨⎧=-=.,X TY Y TX故有=-==),,2(),,(),,(X Y TY TX T Y X T ααα⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-010100002),,(Y X α． T 在基Y X ,,α下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=010100002B ． 例16、用矩阵的Jordan 标准形求解线性微分方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+-=+-=+-=32132122118834x x x dtdx x x dtdx x x dt dx 这里321,,x x x 都是t 的函数．解 对方程组的系数矩阵A 求出其Jordan 标准形J 以及相似变换矩阵P ，且J AP P =-1，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=188034011A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100010011J ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=124012001P ，作变量替换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡221321y y y P x x x ，那么原方程组可化为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡3221321321321'''y y y y y y y J y y y dt dy dt dy dt dy 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+=3322211y dtdy y dt dy y y dt dy 可求得t t t t e k y e k y te k e k y -==+=3322211,,，于是⎪⎩⎪⎨⎧+++=++=+=-,)24(4)(,)12(2)(,)(3213212211t t t t t t t e k e t k e k t x e t k e k t x te k e k t x 其中321,,k k k 为任意常数．四、教材习题同步解析1、用初等变换把下列λ-矩阵化为Smith 标准形．1) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-λλλλλλ352223 2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2)1()1(λλλλ 解 1)、 21[(1)]32232[1,2]3222323[1,2]522352533523λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 222050(103)0(103)33λλλλλλλλλλ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 2)、3222(1)(1)(1)00020(1)(2)1021λλλλλλλλλλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭22(1)1(1)(1)1(1)λλλλλλλλ+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→+→+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭． 2、求出下列矩阵的不变因子和行列式因子．1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2)1()1(λλλλ 2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----a b b a b a n λλλ121 ，其中11,-n b b 都是不为0的常数．解 1) 易知32321)1()(),1()(,1)(+=+==λλλλλλλD D D ，所以22331221)1()()()(),1()()()(,1)(+==+===λλλλλλλλλλλD D d D D d d ．2) 易知121()()()1,()()n n n D D D D a λλλλλ-=====- ，所以 121()()()1,()()n n n d d d d a λλλλλ-=====- ．3、求下列矩阵的若当标准形．1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---502613803； 2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212044010； 3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---544446235； 4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----8411362331； 5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---568236013 ； 6)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011231221 ； 7)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---496375254 ；8)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---01121413；9)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000210032104321．解 1) 先求A E -λ的初等因子，使用初等变换得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+---=-2)1(00010001111613803502613803λλλλλλλλλλA E ， 所以初等因子是2)1(),1(++λλ，因而A 的Jordan 标准形为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1111J 或⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---11112)1010440440212122E A λλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭221001004(2)00(2)0122002λλλλλλ-⎛⎫⎛⎫⎪⎪--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭所以行列式因子3321)2()(,2)(,1)(-=-==λλλλλD D D ；不变因子2321)2()(,2)(,1)(-=-==λλλλλd d d ；初等因子组2)2(,2--λλ；Jordan 标准形为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2122或⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2212．3) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321[若当块次序可有不同]；4) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11111； 5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+i i 221；6) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1112；7) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0101； 8) 将A 写成分块形式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A A A ， 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0112,141321A A ．先分别求出21,A A 的初等因子 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-21)1(11413λλλλA E ，初等因子为2)1(-λ． ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-22)1(1112λλλλA E ，初等因子为2)1(-λ． 所以A 的初等因子为2)1(-λ，2)1(-λ．故Jordan 标准形为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111 9) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111111． 4、求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=130901025017A 的Jordan 标准形，并求变换矩阵P ． 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→-2)2)(3(11λλλA E ，因此A ～⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2123，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-21231J AP P ，PJ AP =，令),,(321x x x P =，可得 32322112,2,3x x Ax x Ax x Ax +===2321)2(,0)2(,0)3(x x A E x A E x A E -=-=-=- 由齐次线性方程组0)3(=-x A E ，可求得T x )0,1,0(1=； 由齐次线性方程组0)2(=-x A E ，可求得T x )3,0,5(2=； 把2x 代入2)2(x x A E -=-，可求得T x )1,0,2(3=．所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=130001250P ．5、已知3阶矩阵A 具有3重特征根1，是否可以说A 的若当标准形一定为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111J ，如果不一定，请说出此时A 的若当形有几种可能？都是什么样子？解 不一定；题设条件确定了A 的特征多项式为3)1()(-=λλψ．也就是说，A 的初等因子之积应为3)1(-λ．此时，初等因子组尚有如下一些可能：ⅰ)3)1(-λ；ⅱ)2)1(),1(--λλ；ⅲ))1(),1(),1(---λλλ．因此，相应的若当形也有三种可能，即ⅰ)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11111；ⅱ)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111；ⅲ)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111． 6、求下列矩阵1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=221041040A ；2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-311111002；3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----211212112； 4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011212213；5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----444174147的最小多项式．解 1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→-2)2(21λλλA E ，故最小多项式为23)2()(+=λλd ． 2),311111002⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλA E 其行列式因子为 ,1)(1=λD ),2()(2-=λλD .)2(3111)2()(33-=----=λλλλλD 不变因子为.)2()(,2)(,1)(2321-=-==λλλλλd d d 故Jordan 标准形为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2122，最小多项式2)2()(-=λλϕ． 3) ,211212112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--=-λλλλA E 因),1()(,1)(21-==λλλD D A E D -=λλ)(3,)1(3-=λ故()22211)(,1)(,1)(-=-==λλλλλd d d ，故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1211J ，最小多项式2)1()(-=λλϕ． 4) )2()1(2--λλ；5) )12)(3(--λλ．7、方阵A 满足0=k A (k 为正整数)，试说明A 的最小多项式取何种形式？ 解 )0()(k l l ≤≤=λλϕ．8、设方阵A 满足E A =2，能否说)1)(1()(-+=λλλϕ一定是A 的最小多项式？如果已知1和-1都是A 的特征根，情况又怎样呢？解 提示：12-λ是A 的致零多项式，故最小多项式有三种可能：)1)(1(,1,1-+-+λλλλ．当1与-1均为A 的特征根时，最小多项式就是12-λ．9、已知方阵A 的特征多项式为)1()1()(2-+=λλλϕ，A 的最小多项式为1)(23+--=λλλλϕ．请给出A 的一个若当形，并简要说明原因．解 特征多项式为4次多项式，故知A 为4阶矩阵，A 的特征根为11-=λ(二重)，12=λ(二重)．由最小多项式)1()1()(2-+=λλλϕ可知A 的若当形J 中有两个若当小块为)1(,11121-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=J J ． 因为J 的主对角线上应是A 的全部特征根，所以J 中还有另一个若当小块)1(3-=J ．于是，A 的一个若当形为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11111J ．。

练习一一﹑选择题1、对于()212,x x R ∀∈，下列变换是2R 上的线性变换的是 ( D )．(A) ()()21212,,T x x x x =； (B) ()()21212,,T x x x x =；(C) ()()1212,,0T x x x x =； (D) ()()1212,,T x x x x =-. 2、设()(),A B λλ为两个n 阶λ-矩阵，则 ( D ).(A) 若()A λ满秩，则()A λ必可逆； (B) ()A λ可逆当且仅当()0A λ≠；(C) 若()A λ与()B λ秩相等，则()A λ与()B λ等价；(D) 若()A λ与()B λ等价，则()A λ与()B λ具有相同的不变因子. 3、设()n n ij A a C ⨯=∈，则下列不能构成矩阵范数的是( A )．(A) ,max ij i ja ； (B) ,max ij i jn a ⋅； (C) 1max nij ij a =∑； (D) 1max nij j i a =∑.4、设n n A C ⨯∈，H A 为A 的共轭转置矩阵，()A ρ为A 的谱半径，A 为A 的范数，则下列说法不正确的是( C )．(A)()[]()kk A A ρρ=； (B) ()()H H A A AA ρρ=；(C) 若()1A ρ<，必有E A -可逆； (D) 若A 为收敛矩阵，必有()1A ρ<. 5、设V 为酉空间，C λ∈，,V αβ∈且(),αβ为α与β的內积，则下列说法不正确的是( B )．(A) ()(),,λαβλαβ=； (B) ()(),,αλβλαβ=； (C) ()()(),,,αβγαβαγ+=+； (D) ()()(),,,βγαβαγα+=+.二﹑填空题1、已知100231120012233002A -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则A 的LDU 分解为 .2、设sin ()2cost t t te A t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则0()x A t dt ⎰=21cos 1sin x x x xe e xx ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.3、设矩阵2242t tt At tt t e te te e te e te ⎡⎤-=⎢⎥-+⎣⎦ ，则矩阵A =1143-⎛⎫⎪-⎝⎭.4、矩阵100110111A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 相对于矩阵范数∞ 的条件数为 6 .5、设11122122⎛⎫=⎪⎝⎭x x X x x ，(),A a b =，则()d AX dX =0000a a b b ⎛⎫⎪⎝⎭. 6、已知101112003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则543258884A A A A A E -+-+- =001102002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.7、已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=987654321A ，则A 的正奇异值的个数为 2 .三、计算题已知 1(1,3,2,1)T α=-，2(1,0,0,2)T α=，1(0,1,1,3)T β=，2(3,2,1,6)T β=--， 且112{,}V span αα=，212{,}V span ββ=，求12V V +与12V V 的基和维数. 解：因为1212{,}V V span αα+=+12{,}span ββ=1212{,,,}span ααββ而12121103100130120102(,,,)2011001112360000ααββ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭初等行变换 由于121,,ααβ是向量组1212,,,ααββ的一个极大线性无关组，所以和空间的维数是3，基为121,,ααβ且21212βααβ=--. 由行最简形知12dim()2,dim()2,V V ==又121212dim()dim dim dim()V V V V V V +=+- 故12dim()1V V =311100222110201236001212A ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由21212βααβ=--得()12121223,3,2,3TV V ξααββ=-=+=--∈所以()3,3,2,3T--为12V V 的一组基。

矩阵试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零元素的个数B. 矩阵中最大的线性无关行（列）向量组的个数C. 矩阵的行数D. 矩阵的列数答案：B2. 若矩阵A与矩阵B相等，则下列说法正确的是：A. A和B的行列式相等B. A和B的迹相等C. A和B的行列式和迹都相等D. A和B的行列式和迹都不相等答案：C3. 矩阵的转置是指：A. 将矩阵的行变成列B. 将矩阵的列变成行C. 将矩阵的行和列互换D. 将矩阵的元素取相反数答案：C4. 对于任意矩阵A，下列说法正确的是：A. A的行列式等于A的转置的行列式B. A的行列式等于A的逆矩阵的行列式C. A的行列式等于A的逆矩阵的转置的行列式D. 以上说法都不正确答案：A5. 若矩阵A是可逆矩阵，则下列说法正确的是：A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式可以是任意非零值答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若矩阵A的行列式为-2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为____。

答案：1/22. 设矩阵A为2x2矩阵，且A的行列式为3，则矩阵A的转置的行列式为____。

答案：33. 若矩阵A的秩为2，则矩阵A的行向量组的____。

答案：线性无关4. 设矩阵A为3x3矩阵，且A的行列式为0，则矩阵A是____。

答案：奇异矩阵三、解答题（每题10分，共30分）1. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}\]，求矩阵A的行列式。

答案：\(\begin{vmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{vmatrix} = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2\)2. 设矩阵B=\[\begin{bmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{bmatrix}\]，求矩阵B的逆矩阵。

参考答案一（20分） V 表示实数域上次数不超过2的多项式构成的线性空间。

对2()f x ax bx c V ∀=++∈，在V 上定义变换：2[()]3(223)(4)T f x ax a b c x a b c =++++++（1）验证T 是V 上的线性变换；（2）求V 的基2,,1x x 到基2(1),1,1x x --的过渡矩阵P ； （3）求T 在基2,,1x x 下的表示矩阵A ； （4）在V 中定义内积1(,)()()f g f t g t dt =⎰，求基2,,1x x 的度量矩阵G 。

解：（1）设22111222(),()f x a x b x c g x a x b x c =++=++2121212()()()f g a a x b b x c c +=+++++[]212121212()3()2()2()3()T f g a a x a a b b c c x +=+++++++[]121212()()4()a a b b c c ++++++()()2111111132234a x a b c x a b c =++++++()()2222222232234a x a b c x a b c +++++++()()T f T g =+类似可验证: ()()T kf kT f =或把T 写成：2300[()][,,1]223114a T f x x x b c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（1）再来验证就更方便了。

（2）由22100(1),1,1,,1210111x x x x ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤--=-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦得基2,,1x x 到基2(1),1,1x x --的过渡矩阵为100210111P ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（3） 由22()321T x x x =++,()21T x x =+,(1)34T x =+得T 在基1,,2x x 下的表示矩阵为：300223114A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（4） 11431112210011,54g x dx g g x dx =====⎰⎰11221331220011,33g x dx g g x dx =====⎰⎰11233233001,12g g xdx g dx =====⎰⎰ 故度量矩阵11154311143211132G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二（20分） 设311121210A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（1）求A 的行列式因子、不变因子、初等因子； （2）求A 的Jordan 标准形J ； （3）求可逆矩阵P 使1P AP J -=；（4）计算Ate 并求解微分方程组。

1矩阵论2012年试题一、填空题：（每个空3分，共27分）1、设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=i i i i i A 1013122131,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111X ,其中1-=i ，则______,1=AX .______1=A 2、设矩阵1000030012-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P P A ，则______;)(dim =A N .______)(λA m 3、矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000a a a a a a A ，则a 满足条件______时，矩阵幂级数∑∞=0k k A 收敛. 4、论矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=221132332211A ，则A 的LDV 分解为.______= 5、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3/10002/10001A ,)sin(A 的Jordan 矩阵______;)sin(=A J.______)sin(lim =∞>-n n A6、设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=201a A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1203B ，则矩阵方程0=+XB AX 有非零解的条件是.______≠a 二、（15分）设线性空间3R 上的线性变换T 在基},,{321e e e 下的变换矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A ， （1） 求变换T 在基},3,{321e e e 下的变换矩阵.（2） 求变换T 在基},,{3211e e e e +下的变换矩阵.2 三、（15分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000012A（1）求矩阵A 的奇异值分解.（2）求矩阵A 的P M -广义逆+A .四、（15分）设⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111,011L W 是空间3R 的子空间，（1）求空间3R 上的正交投影变换P ，使得P 的象空间.)(W P R =（2）求空间3R 的向量T ]3,2,1[=α在投影变换P 下的象.五、（15分）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=502613803A ，计算矩阵函数.At e六、证明题：（1）（7分）设A 是可逆矩阵，n σ是矩阵A 的最小奇异值，证明 nA σ121=-（2）（6分）设矩阵A 和B 都是n 阶方阵，证明)()()(B rank A rank B A rank ⋅=⊗。

矩阵论试题(整理)（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）矩阵论试题（06，12）一.(18分填空：设1.A-B的Jordan标准形为J=2.是否可将A看作线性空间V2中某两个基之间的过渡矩阵（）。

3.是否可将B看作欧式空间V2中某个基的度量矩阵。

（）4.（），其中。

5.若常数k使得kA为收敛矩阵，则k应满足的条件是（）。

6.AB的全体特征值是（）。

7.（）。

8.B的两个不同秩的{1}-逆为。

二.(10分设,对于矩阵的2-范数和F-范数，定义实数，（任意）验证是中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容。

三.(15分已知。

1.求；2.用矩阵函数方法求微分方程满足初始条件x(0的解。

四.(10分用Householder变换求矩阵的QR分解。

五.（10分）用Gerschgorin定理隔离矩阵的特征值。

（要求画图表示）六.(15分已知。

1.求A的满秩分解；2.求A+；3.用广义逆矩阵方法判断线性方程组Ax=b是否有解；4.求线性方程组Ax=b的极小范数解，或者极小范数最小二乘解x0。

（要求指出所求的是哪种解）七.(15分已知欧式空间R22的子空间R22中的内积为V中的线性变换为T(X=XP+XT, 任意XV，1.给出子空间V的一个标准正交基；2.验证T是V中的对称变换；3.求V的一个标准正交基，使T在该基下的矩阵为对角矩阵.八.(7分设线性空间V n的线性变换T在基下的矩阵为A，T e表示V n的单位变换，证明：存在x00，使得T(x0=(T e-T(x0的充要条件是为A的特征值.矩阵论试题（07，12）一.(18分填空：1.矩阵的Jordan标准形为J=2.设则3.若A是正交矩阵，则cos(A=4.设，A+是A的Moore-Penrose逆，则(-2A, A+=5.设，则AB+I2I3的全体特征值是（）。

6.设向量空间R2按照某种内积构成欧式空间，它的两组基为和且与的内积为则基的度量矩阵为（）。

2012矩阵论复习题1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ⋅=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为k x x k =⊗问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由.2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为),(112211y x y x y x y x +++=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为)2)1(,(2121x k k kx kx x k -+=⊗ 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由.3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim .4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间,)}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='=证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim .5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有j i i T +=)( j i j T -=2)(1)确定T 在基},{j i 下的矩阵;2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵.6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵;2)求T 的零空间和像空间的维数.7.在线性空间)(3R P 中321)(x x x a x f +++= 3221)(x x ax x f +++= 32321)(x x x x f +++= 讨论)(),(),(321x f x f x f 的线性相关性.8.在22R ⨯中求由基(I) 12101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 20122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 32112A -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 41312A ⎛⎫= ⎪⎝⎭到基(II) 11210B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 21111B -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 31211B -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 41101B --⎛⎫= ⎪⎝⎭的过渡矩阵. 9.已知 1(1,2,1,0)α= 2(2,1,0,1)α=- 1(1,1,1,1)β=- 2(1,1,3,7)β=- 设1212(,)(,)V L L ααββ=⋂, 求线性空间V 的维数和基.10.在)(2R P 中, 对任意的)()(),(2R P x g x f ∈定义内积为⎰=10)()())(),((dx x g x f x g x f 若取)(2R P 的一组基},,1{2x x ,试用Schmidt Gram -正交化方法,求)(2R P 的一组标准正交基.11. 在2[]P x 中，内积定义为：120,()(),,[].f g f x g x dx f g P x <>=∀∈⎰ （1）如果()612+-=x x x f ，计算f ；（2）证明：任一线性多项式()bx a x g +=，都正交于()612+-=x x x f . 12.设A 是n n C ⨯上的n 阶方阵,x 是n C 上的n 维列向量,证明：22||||||||||||F Ax A x ≤⋅. 13.设n n C A ⨯∈,并且满足E A A H =,计算2||||A 和F A ||||.14. 设 101202011A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的秩分解.15.已知122112012422A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的最大秩分解。

第二章内积空间一、基本要求1、掌握欧氏空间和酉空间的定义与性质，掌握Hermite 矩阵的定义，理解欧氏(酉)空间中度量的概念．2、掌握线性无关组的Schmidt 正交化与对角化方法，理解标准正交基的性质．3、理解Hermite 二次型的定义．4、掌握在一组基下的度量矩阵的概念，标准正交基下度量矩阵的性质及两组标准正交基下的度量矩阵的关系．5、了解欧氏子空间的定义．6、掌握正交矩阵与酉矩阵的定义与性质，理解正交(酉)变换与正交(酉)矩阵的关系．7、掌握对称矩阵与Hermite 矩阵的定义与性质，理解对称(Hermite) 变换与对称(Hermite) 矩阵的关系．8 、掌握矩阵可对角化的条件，会求一个正交( 酉)矩阵把实对称(Hermite) 矩阵化为对角形矩阵，会求一组标准正交基使线性变换在该基下对应的矩阵是对角形矩阵．二、基本内容1、内积空间设数域F上的线性空间V n(F)，若V n(F)中任意两个向量，都有一个确定的数与之对应，记为( , ) ，且满足下列三个条件⑴对称性：(，)(，)，其中(，)表示对数(，)取共轭;称V n (C)为酉空间.H A (a ”)m n ? B (b ij )m n , (A, B) tr(A B)i 1在实多项式空间P n ［x ］及［a,b ］上连续函数空间C ［a,b ］中，函数f(x),g(x) 的内积为b(f(x),g(x)) a f(x)g(x)dx2、向量的长度、夹角、正交性定义| | V (-)，称为 的长度，长度为 1的向量称为单位向量,/I 是的单位向量.长度有三个性质：(1) 非负性：I I 0，且(，)00 ；(2) 齐次性：|k | k|| ,k 表示数k 的绝对值； (3) 三角不等式:线性性:k 2 2, )k 1 ( 1?) k 2(2?)；正定性: (,)0,当且仅当0 时，(,)则称(， )为向量与的内积.当FR 时，称V n (R)为 欧氏空间；当F C 时,其中注意：在R 中, 通常的几个内积:(1) R n中，(，c n中,(X 1,X 2,,X n )T,,k ) k(,); nX i Y ii 1n ____X i y ii 1(力”2, 在C n 中，(,k)k(,,y n )T.R mn 中,n ___a ijb ij .定理（Cauchy-Schwarz 不等式）（,）与的夹角定义为arccos(,)当（，）0时，称与正交，记若非零向量组s两两正交，即（i jj) 0，称s是一个正交组；又若1,i 1,2,,s，则称s为标准正交组，即(i, j)1,i0,ij,j.定理（勾股定理）)0,即3、标准正交基标准正交基指欧氏（酉）空间中由两两正交的单位向量构成的基.构造方法：对欧氏（酉）空间的一个基进行Schmidt正交化可得正交基，再对正交基进行单位化可得标准正交基.把线性无关向量s正交化为s正交向量组:2,3,,s.再把i单位化：i i,i 1,2,,s，则,s为标准正交组.在标准正交组1, 2, ,n下，向量可表为:X1 1 X2 2 X n n (,1)1 2)2 坐标X i （ , i ）表示在i上的投影长度.4、基的度量矩阵度量矩阵是以欧氏(酉)空间的基中第i个元素与第j个元素的内积为i行j列元素构成的方阵.设欧氏(酉)空间V的一个基为x「X2, , X n，令a j (x「X j)(i,j 1,2, ,n),则该基的度量矩阵为A (a ij)nn •基的度量矩阵是实对称(Hermite)正定矩阵，它的阶数等于欧氏(酉)空间的维数，正交基的度量矩阵是对角矩阵，标准正交基的度量矩阵是单位矩阵.设酉空间V的一个基为x1,x2, , x n，该基的度量矩阵为A , x, y V在该基下的坐标(列向量)分别为与，那么x与y的内积(x, y) T A •当V为欧氏空间时，(x,y) T A•当此基为标准正交基，酉空间V的x与y的内积(x, y) T，欧氏空间V的x与y 的内积(x, y) T•设欧氏空间V n的两个基分别为(I )X i,X2, ,X n和(n ) y i , y2, , y n，且由基(i )改变为基(n )的过渡矩阵为c,基(I)的度量矩阵为A，基(n)的度量矩阵为B，则有：(1)B C T AC •(2)基(I )是标准正交基的充要条件是 A I •(3)若基(i)与基(n)都是标准正交基，则C是正交矩阵.(4)若基(i)(或(n))是标准正交基，C是正交矩阵，则基(n)(或基(i))是标准正交基.5、正交变换与对称变换(i )关于正交变换，下面四种说法等价：1)T是欧氏空间V n的正交变换，即对于任意的x V n，有(Tx,Tx) (x,x) ；2)对于任意的x, y V n，有(Tx,Ty) (x, y)；3)T在V n的标准正交基下的矩阵为正交矩阵；4)T将V n的标准正交基变换为标准正交基.(ii )关于对称变换，下面两种说法等价：1)T是欧氏空间V n的对称变换，即对于任意的x, y V n，有(Tx, y) (x,Ty);2)T在V n的标准正交基下的矩阵为对称矩阵.(iii)若T是欧氏空间V n的对称变换，则T在V n的某个标准正交基下的矩阵为对角矩阵.(i v )在欧氏空间V n中，若正交变换T的特征值都是实数，则T是对称变换.6、相似矩阵(1)A C nn相似于上(下)三角矩阵.(2)A C n n相似于Jordan 标准形矩阵.(3)A C n n酉相似于上三角矩阵.(4)设 A C n n，则A H A AA H的充要条件是存在酉矩阵P ，使得P H AP (对角矩阵).(5)设A C n n的特征值都是实数，则A T A AA T的充要条件是存在正交矩阵Q ，使得Q T AQ .(6)实对称矩阵正交相似于对角矩阵.三、典型例题例1、在R n中,设(1, 2, , n), ( 1, 2, , n)，分别定义实数(，)如下:')2；ni)( j)；j 1判断它们是否为R n中与的内积.(k ,n((ki 1i)2i2)12知，当k 0且（，0 时，（k 积.(2)取(1, ,0) 0 ,故该实数不是R n中与的内积.例2、R n中，向量组nk(i 1i2) k（,）0,k( ）.故该实数不是R n中n线性无关的充要条件是与的内l) l) 2)2)n)n)l) 2)n) 证方法一设An），则(i，j) A TA A T A A2 0n线性无关.(x1 1 X2 2 X n n , i )0,i 1,2, ,n , 即X1( 1, 1)Xn (1,n) 0,X1( 2, 1) X n( 2 ,n) 0,X1( n, 1) X n( n ,n) 0,齐次方程组仅有零解的充要条件是系数矩阵的行列式(i, j) 0,即1, 2, , n线性无关.例3、设欧氏空间P[t]3中的内积为1(f,g) 1 f (t)g(t)dt(1)求基i,t,t2的度量矩阵.⑵ 采用矩阵乘法形式计算f(t) 1 t t2与g(t) 1 4t 5t2的内积.解(1)设基1,t,t2的度量矩阵为A @訂3 3，根据内积定义计算a0(i j)an (1,1) 1dt12 ,a12 (1,t)1tdt 01一2、12 .2 1 2 2a13 (1,t ) t2dt13，a22 (t,t) t2dt13，21 a23 (t,t ) t3dt1 0 ,a33 (t2,t 2) 1t4dt125 .由度量矩阵的对称性可得a j a ji (i j) ，于是有2 0 2 3A 0 2 3 0 .2 3 0 2 5(2) f(t)和g(t)在基1,t,t 2下的坐标分别为(1,1,1)T, (1, 4, 5)T，那么2 02 31(f,g) T A(1, 1,1) 0 2 3 0 4 0 .2 3 0 2 5 5例4、欧氏空间P[t]3中的多项式f (t)和g(t)的内积为1(f, g) 1 f(t)g(t)dt ,取f i(t) t，记子空间W L(f i(t))・(1)求W T的一个正交基；(2)将W T分解为两个正交的非零子空间的和.解⑴设g(t) k o k i t kf W T，则有(f i,g) 0,即1 12，1 f i (t)g (t)dt 1 t(k o k1t k2t )dt 0也就是k1 0 .于是可得W T{g(t)g(t) k o k2t2,k o,k2 R}.取W T的一个基为1,t2，并进行正交化可得g1(t) 1,2 (t2,gj~t2g2(t) t- g1那么，g1（t）,g2（t）是W T的正交基.⑵令V1 L(g1(t))M L(g2(t))，则« 与5 正交，且W T« J .例5、已知欧氏空间V2的基治,X2的度量矩阵为采用合同变换方法求V2的一个标准正交基（用已知基表示）.解因为A对称正定，所以存在正交矩阵Q，使得Q T AQ（对角矩阵），计算得1 0 1 1 10 9 , Q 2 1 1 ,113 1C Q—,3^2 3 1则有C T AC E .于是，由（y1,y2）（X1,X2）C可得V2的一个标准正交基为设,V nn nX i i ,y j j ，i 1j 1则(nn,)(X i i , y jj)i 1 j 1(T( ),T( nn))(XT( i ),y j T(i 1j 1n nn nX i y j ( i , j )，i 1 j 1n nj))約」仃(i ),T( j ))i 1 j 1例6、在欧氏空间中，定义与的距离为：d(,) ，试问：保持距离不变的变换是否为正交变换？答 不一定，例如R 2中向量的平移变换：(x,y) R 2,T(x,y) (x 1, y 1)，i(X i , y i ),2区皿)R 2,T( i )(X i 1,y i1),T( 2) (X 2 ly 1)，d(T( i ),T( 2)) T( 1) T( 2) J(x i X 2)2 (y i y ?)2| 1 2d( 1, 2).虽然保持距离不变，但平移变换不是线性变换，更不是正交变换.例7、设i , 2,, n 与1, 2, , n 是门维欧氏空间两个线性无关的向量组,证明存在正交变换T ，使T( i ) i ,i 1,2, ,n 的充要条件是(i, j) (i, j ), i, jh 2, , n-证必要性因为T 是正交变换：(T( i ),T( j )) ( i , j )，又已知T( i ) iy i,2(XiX 2), y 2312(XX 2) •故有(i , j ) ( i , j ) •充分性 定义变换T ，使得T( i ) i一的•下证T 是正交变换•已知(i , j )1,2, ,n ，则T 是线性变换，且是唯 (i , j )，则有仃 i ,T j )( i , j )，w( i , j )-例8、设1, 2, 3是欧氏空间V3的一组标准正交基，求出V3的一个正交变换T ,使得1T( 1)—(2 1 2 2 3),31T( 2) -(2 1 2 2 3).3解设T( 3) X1 1 X2 2 X3 3，使得T( 1),T( 2),T( 3)是标准正交的，因T( 1),T( 2)已标准正交，则只要满足(T( 3),T( 1)) 0,(T( 3),T( 2)) 0,T( 3) 1，即2x1 2x2 x30,2X1 X2 2x3 0,x； x；x； 1.1解得X1 1.3,X2 2 3,X3 2 3 ，即T( 3) -( 1 2 2 2 3)，得3T( J,T( 2),T( 3)是标准正交基.因T把标准正交基变为标准正交基，故T是正交变换.另法设T( 3)的坐标为(X1,X2,X3)T，由2 3 X12 3(T( 1),T( 2),T( 3)) ( 1, 2, 3) 2 3 1 3 X2 ( 1, 2, 3)A1 323 X3T是正交变换A为正交阵•由A T A E，解得1x1 1 3 , x2 x3 2 3，则T(3) 3 ( 1 2 2 23)-—例9、设x o是欧氏空间V中的单位元素，定义变换T (x) x 2(x,X o)X o (x V)(1)验证T是线性变换；(2)验证T既是正交变换，又是对称变换;(3)验证x o是T的一个特征向量，并求其对应的特征值.证(1) 设x,y V ，k,l R，则有T(kx ly) (kx ly) 2(kx ly,x0)x0=k[x 2(x,x0)x0] l[y 2(y,x0)x0]= k(T(x)) l(T(y))，故T是线性变换.(2) 因为2(T(x),T(x)) (x,x) 4(x,x0)(x,x0) 4(x,x0) (x0,x0) (x,x)所以T是正交变换.设y V，则T(y) y 2(y,X o)x。

矩阵论试题一．设n x x x ,,,21 是欧氏空间nV 中的一组向量，),(y x 表示x 与y 的内积，令111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n x x x x x x x x x x x x A x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦试证明0)det(≠A 的充要条件为向量12,,,n x x x 线性无关。

证明：若11220n n l x l x l x +++=，则用(1,2,,)i x i n =依次与此式作内积有：1122(,)(,)(,)0i i n n i l x x l x x l x x +++= (1,2,,)i n =即111221112122221122(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0n n n nn n n n n l x x l x x l x x l x x l x x l x x l x x l x x l x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 此式仅有零解的充分必要条件为det()0A ≠，故12,,n x x x 线性无关的充分必要条件为det()0A ≠二．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3112A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆02.05.00A试估计下述值∞-∞--∆+-111)(AA A A解： 1311125A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭ ，145A -∞=， 2 1.51.23A A ⎛⎫+∆= ⎪⎝⎭1553 1.51714() 1.222104.2721A A -⎛⎫-⎪-⎛⎫+∆== ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭，1119()70A A A --∞-+∆=， 111()190.3456A A A A----+∆=≈。

三．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=442101002A ，求tA e 和)(R t e A ∈。

解 3200111(2)(2)044244I A λλλλλλλλ--=-=-=-=----容易验证A 的最小多项式为2()(2)m λλ=-，取2()(2)ϕλλ=-， （1）令()t f e λλ=，设()()()f g a b λϕλλλ=++，则有22(2)(2)t t f e f te ⎧=⎨'=⎩ 即 222tta b e b te⎧+=⎨=⎩ 从而22(12),t t a t e b te =-=，于是22()(12)t tt e te γλλ=-+，故22()()(12)tA t t e f A A t e I te A γ===-+2((12))t t I tA e =-+2100122412t t t t e t t t ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-+⎝⎭（2）2100111243A e e ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭（在（1）的tAe 中令1t =即可）四．设nm C A ⨯∈，试叙述A 的奇异分解指的是什么？并试求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111001A 的奇异值分解式。