高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.4 空间向量的直角坐标运算

1．了解空间向量坐标的定义．

2．掌握空间向量的坐标运算．

3．会利用向量的坐标关系，判定两个向量共线或垂直．

4．会计算向量的长度及两向量的夹角．

1．空间向量的坐标表示

(1)单位正交基底．

建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引________向量i，j，k，这三个互相________的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做单位正交基底．

单位向量i，j，k都叫做________．

【做一做1－1】设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，则|e1|＋|e2|＋|e3|＝__________.

(2)空间向量的坐标表示．

在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在______实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组__________叫做向量a在此直角坐标系中的坐标．上式可简记作a＝__________.

【做一做1－2】向量0的坐标为__________．

向量的坐标与点的坐标表示方法不同，如

向量a＝(x，y，z)，点A(x，y，z)．

2．空间向量的直角坐标运算

(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则容易得到

a＋b＝____________；

a－b＝____________；

λa＝______________；

a·b＝____________.

(2)向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，

则AB＝OB－OA＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．

【做一做2】设a＝(1,2,3)，b＝(1,1,1)，则2a＋b＝__________.

3．空间向量平行和垂直的条件

2016-2017学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示高效测评 新人教A版选修2-1

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．以下四个命题中正确的是( )

A．空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示

B．若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量

C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB→·AC→＝0

D．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底

解析： 使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A不正确；△ABC为直角三角形并不一定是AB→·AC→＝0，可能是BC→·BA→＝0，也可能是CA→·CB→＝0，故C不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D不正确，故选B.

答案： B

2．在空间中平移△ABC到△A1B1C1，连接对应顶点，设AA1→＝a，AB→＝b，AC→＝c，E是BC1的中点，则AE→＝( )

A.12a－23b＋12c B．－23a＋12b＋12c

C.12a＋12b＋12c D.23a＋23b－12c

解析：

如图所示，

AE→＝AB→＋BE→

＝AB→＋12(BB1→＋BC→)

＝AB→＋12(BB1→＋AC→－AB→)

＝12AB→＋12BB1→＋12AC→

＝12a＋12b＋12c.

答案： C

3．若向量MA→，MB→，MC→的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量MA→，MB→，MC→成为空间一组基底的关系是( )

A.OM→＝13OA→＋13OB→＋13OC→

B.MA→＝MB→＋MC→

C.OM→＝OA→＋OB→＋OC→

D.MA→＝2MB→－MC→

解析： 对于选项A，由结论OM→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(x＋y＋z＝1)⇔M，A，B，C四点共面知，MA→，MB→，MC→共面；对于B，D选项，易知MA→，MB→，MC→共面，故只有选项C中MA→，MB→，MC→不共面．

3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题． 2.理解基底、基向量的概念．

3．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中正确写出向量的坐标．

[学生用书P57]

1．空间向量基本定理

条件 三个不共面的向量a，b，c和空间任一向量p

结论 存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc

2.基底

(1)条件：三个向量a，b，c不共面．

(2)结论：{a，b，c}叫做空间的一个基底．

(3)基向量：基底中的向量a，b，c都叫做基向量．

(1)基底选定后，空间所有向量均可由基底惟一表示．

(2)构成基底的三个向量a，b，c中，没有零向量，其中的每个向量称为基向量．

3．空间向量的正交分解及其坐标表示

单位正交基底

有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，记作e1，e2，e3

空间直角坐标系 以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz

空间向量的坐标表示 对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．( )

(2)若{a，b，c}为空间一个基底，则{－a，b，2c}也可构成空间一个基底．( )

(3)若向量AP→的坐标为(x，y，z)，则点P的坐标也为(x，y，z)．( ) (4)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．( )

答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√

下列各组向量能构成一个基底的是( )

A．长方体ABCD­A1B1C1D1中的向量AB→，AC→，AD→

B．三棱锥A­BCD中的向量AB→，AC→，AD→

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

课后篇巩固提升

1.设向量a,b,c不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )

A.{a+b,b-a,a} B.{a+b,b-a,b}

C.{a+b,b-a,c} D.{a+b+c,a+b,c}

解析由已知及向量共面定理,易得a+b,b-a,c不共面,故可作为空间的一个基底.

答案C

2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD1的中点为M,B1D1的中点为N,若以{}为单位正交基底,则的坐标为( )

A. B.

C. D.

解析)-)==0,故.

答案C

3.在四面体O-ABC中,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为( )

A. B.

C. D.

解析如图所示,连接AG1交BC于点E,则E为BC中点,)=-2),-2).

因为=3=3(),所以OG=OG1.

则)=.

答案A

4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=1,AA1=3,已知向量a在基底{}下的坐标为(2,1,-3).若分别以的方向为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系,则a的空间直角坐标为( )

A.(2,1,-3) B.(-1,2,-3)

C.(1,-8,9) D.(-1,8,-9)

解析a=2-3=2-3=8j-i-9k=(-1,8,-9).

答案D

5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,A1C1与B1D1的交点为E,则= .

解析如图,)

=)=-a+b+c.

答案-a+b+c

6.若a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3,若e1,e2,e3不共面,当d=αa+βb+γc时,α+β+γ= .

解析由已知d=(α+γ)e1+(α+β)e2+(γ+β)e3,

所以故有α+β+γ=3.

答案3

7.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,建立如图所示的空间直角坐标系,点M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1,则的坐标为