高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.5 空间向量运算的坐标表示学

3.1.5 空间向量运算的坐标表示

[目标] 1.掌握空间向量的坐标运算.2.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直.3.掌握向量长度，两向量夹角和两点间距离公式．

[重点] 利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直、夹角和距离问题．

[难点] 立体几何问题坐标化、代数化．

知识点一 空间向量的加减和数量积运算的坐标表示

[填一填]

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)．

(2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)．

(3)λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)．

(4)a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.

[答一答]

1．如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算间的关系？

提示：空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多了一项竖坐标，其法则与横、纵坐标一致．

知识点二 夹角与距离公式

[填一填]

在空间直角坐标系中，设A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，则

(1)模：|a|＝a·a＝a21＋a22＋a23 .

(2)夹角：cosa，b＝a·b|a||b|

＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23.

(3)垂直：若a⊥b，则有a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.

(4)平行：若b≠0，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)． (5)AB→＝(b1－a1，b2－a2，b3－a3)．

(6)dAB＝|AB→|＝a1－b12＋a2－b22＋a3－b32.

[答一答]

2．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，则a1b1＝a2b2＝a3b3对吗？

提示：不一定正确，因为b1，b2，b3可能为0，只有b1≠0，b2≠0，b3≠0时才有a1b1＝a2b2＝a3b3成立．

3．空间向量的夹角与距离公式与平面向量的夹角与距离公式有什么不同？

提示：空间向量的夹角公式及空间向量长度的坐标计算公式分别类似于平面向量的夹角公式及平面向量长度的坐标计算公式，只是都多了一个竖坐标．

1．应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线．

2．判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.

3．用向量法求两异面直线所成角时，首先依据题设取异面直线上的方向向量，然后求出两向量的夹角，若夹角为锐角则该角就是两异面直线的夹角，若向量夹角为钝角，则该角的补角就是两异面直线所成的角．

4．用向量法求空间两点间的距离时，首先依据题意求出由两点组成的向量的坐标，再利用|a|＝a2求出两点间的距离．

类型一 空间向量的坐标运算

【例1】 在△ABC中，A(2，－5,3)，AB→＝(4,1,2)，BC→＝(3，－2,5)．

(1)求顶点B，C的坐标；

(2)求CA→·BC→；

(3)若点P在AC上，且AP→＝12PC→，求点P的坐标． 【解】 (1)设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，所以AB→＝(x－2，y＋5，z－3)，BC→＝(x1－x，y1－y，z1－z)．

因为AB→＝(4,1,2)，所以 x－2＝4，y＋5＝1，z－3＝2，解得 x＝6，y＝－4，z＝5，

所以点B的坐标为(6，－4,5)．

因为BC→＝(3，－2,5)，

所以 x1－6＝3，y1＋4＝－2，z1－5＝5，解得 x1＝9，y1＝－6，z1＝10，

所以点C的坐标为(9，－6,10)．

(2)因为CA→＝(－7,1，－7)，BC→＝(3，－2,5)，

所以CA→·BC→＝－21－2－35＝－58.

(3)设P(x，y，z)，则AP→＝(x－2，y＋5，z－3)，PC→＝(9－x，－6－y,10－z)，

于是有(x－2，y＋5，z－3)＝12(9－x，－6－y,10－z)，

所以 x－2＝129－x，y＋5＝12－6－y，z－3＝1210－z，解得 x＝133，y＝－163，z＝163，

故点P的坐标为133，－163，163.

向量的坐标即终点坐标减去起点的对应坐标.反之求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点.在原点时，向量的坐标与原坐标相同.不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标.

已知向量a＝(1，－2,4)，求同时满足以下三个条件的向量x.

①a·x＝0；②|x|＝10；③x与向量b＝(1,0,0)垂直．

解：设x＝(x，y，z)，由三个条件知

 x－2y＋4z＝0x2＋y2＋z2＝100，x＝0∴ x＝0y＝45z＝25或 x＝0y＝－45z＝－25，

∴x＝(0,45，25)或(0，－45，－25)．

类型二 坐标形式下的平行与垂直

【例2】 (1)已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，求x、y的值．

(2)已知：a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，求x＋y的值．

【分析】 (1)∵a∥b，∴a＝λb，λ一定存在，故可设λ.

(2)a⊥b，∴a·b＝0，再加上条件|a|＝6，可求x、y的值．

【解】 (1)∵a∥b，∴a＝λb.

即 2＝3λ，4＝λx，5＝λy.∴ λ＝23，x＝6，y＝152.

即x＝6，y＝152.

(2)∵a⊥b且|a|＝6，

即 2×2＋4y＋2x＝0，22＋42＋x2＝6.

∴ x＝4，y＝－3，或 x＝－4，y＝1.∴x＋y＝1或－3.

1要熟练掌握两个向量平行和垂直的充要条件，借助空间向量可将立体几何中的平行、垂直问题转化为向量的坐标运算. 2在应用坐标形式下的平行条件时，一定要注意结论成立的前提条件.在条件不明确时，要分类讨论.

如图所示，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．过B作BM⊥AC1于M，求点M的坐标．

解：解法一：设M(x，y，z)，由题图可知：A(a,0,0)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)，则AC1→＝(－a，a，a)，AM→＝(x－a，y，z)，BM→＝(x－a，y－a，z)．

∵BM⊥AC1，∴BM→·AC1→＝0，

∴－a(x－a)＋a(y－a)＋az＝0，

即x－y－z＝0.①

又∵AC1→∥AM→，∴x－a＝－λa，y＝λa，z＝λa，

即x＝a－λa，y＝λa，z＝λa.②

由①②得x＝2a3，y＝a3，z＝a3.∴M2a3，a3，a3.

解法二：设AM→＝λAC1→＝(－aλ，aλ，aλ)，

∴BM→＝BA→＋AM→＝(0，－a,0)＋(－aλ，aλ，aλ)

＝(－aλ，aλ－a，aλ)． ∵BM⊥AC1，∴BM→·AC1→＝0，

即a2λ＋a2λ－a2＋a2λ＝0，解得λ＝13，

∴AM→＝－a3，a3，a3，

DM→＝DA→＋AM→＝2a3，a3，a3.

∴M点坐标2a3，a3，a3.

类型三 坐标形式下的夹角与距离

【例3】 在长方体AC1中，底面ABCD是边长为4的正方形，A1C1与B1D1交于N，BC1与B1C交于点M，且AM→⊥BN→，建立空间直角坐标系．

(1)求AA1→的长；

(2)求cos〈BN→，AD1→〉．

【分析】 关键是建立合适的直角坐标系，先求出AA1→的长，然后运用夹角公式求解．

【解】 (1)如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AA1＝a，

则B(4,4,0)，N(2,2，a)，

A(4,0,0)，M(2,4，a2)，

∴BN→＝(－2，－2，a)，

AM→＝(－2,4，a2)，由BN→⊥AM→得BN→·AM→＝0，

∴4－8＋a22＝0，a＝22，∴AA1→的长为22，

(2)由(1)可得BN→＝(－2，－2,22)， AD1→＝(－4,0,22)，

∴cos〈BN→，AD1→〉＝BN→·AD1→|BN→||AD1→|＝63.

利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的解题步骤：

1根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；

2利用题设条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；

3利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角.要注意两角范围不一致，若异面直线AB、CD所成角为α，则cosα＝|cosAB→，CD→|.

如图，直三棱柱ABC­A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．

(1)求BN→的长；

(2)求cos〈BA1→，CB1→〉的值． 解：以C为原点，以CA→、CB→、CC1→为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Cxyz.

(1)依题意，得B(0,1,0)，N(1,0,1)．

∴|BN→|＝1－02＋0－12＋1－02＝3.

(2)依题意，

得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)．

∴BA1→＝(1，－1,2)，CB1→＝(0,1,2)，

∴BA1→·CB1→＝3.|BA1→|＝6，|CB1→|＝5.

∴cos〈BA1→，CB1→〉＝BA1→·CB1→|BA1→||CB1→|＝3010.

类型四 素养提升

构建空间直角坐标系的策略

坐标法是利用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的重要方法，运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系．

抓住空间几何图形的结构特征，充分利用图形中的垂直关系(或在图形中构造垂直关系)是我们构建空间直角坐标系时的重要依据．常见的建系策略有：

(1)利用共顶点的互相垂直的三条棱，构建空间直角坐标系；

(2)利用线面垂直关系，构建空间直角坐标系；

(3)利用面面垂直关系，构建空间直角坐标系．

【例4】 如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．

求证：FH∥平面EDB.