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人教版八年级数学18.1勾股定理课时练

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数学：18.1勾股定理课时练（人教新课标八年级下）第一课时18.1勾股定理1. 在直角三角形ABC 中，斜边AB=1，则AB 222AC BC ++的值是（ ）A.2B.4C.6D.82. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米）， 却踩伤了花草．3. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．4. 如图所示，一根旗杆于离地面12m 处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m ，旗杆在断裂之前高多少m ？5. (2008年株洲市)如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米.6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?7. 如图所示，无盖玻璃容器，高18cm ，底面周长为60cm ， 在外侧距下底1cm 的点C 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上 口外侧距开口1cm 的F 处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛， 所走的最短路线的长度.8. 一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm ，AB=4cm ，BD=12cm 求CD 的长.9. 如图所示，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3， 求AB 的长.10. 如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m ,长13m ，宽2m 的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？ 第一课时答案：1.A ，提示：根据勾股定理得122=+AC BC ，所以AB 222AC BC ++=1+1=2； 2.4，提示：由勾股定理可得斜边的长为5m ，而3+4-5=2m ，所以他们少走了4步.3.1360，提示：设斜边的高为x ，根据勾股定理求斜边为1316951222==+ ，再利用面积法得，1360,132112521=⨯⨯=⨯⨯x x ；4. 解：依题意，AB=16m ，AC=12m ， 在直角三角形ABC 中,由勾股定理,222222201216=+=+=AC AB BC ,所以BC=20m ,20+12=32(m ), 故旗杆在断裂之前有32m 高. 5.86. 解:如图,由题意得,AC=4000米,∠C=90°,AB=5000米,由勾股定理得BC=30004000500022=-(米),所以飞机飞行的速度为5403600203=(千米/小时) 7. 解：将曲线沿AB 展开，如图所示，过点C 作CE ⊥AB 于E. 在R 90,=∠∆CEF CEF t ，EF=18-1-1=16（cm ）， CE=)(3060.21cm =⨯，由勾股定理，得CF=)(3416302222cm EF CE =+=+8. 解：在直角三角形ABC 中，根据勾股定理，得254322222=+=+=AB AC BC在直角三角形CBD 中，根据勾股定理，得CD 2=BC 2+BD 2=25+122=169，所以CD=13. 9. 解：延长BC 、AD 交于点E.（如图所示）∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°又∵CD=3，∴CE=6，∴BE=8， 设AB=x ，则AE=2x ，由勾股定理。

得338,8)2(222==-x x x 10. 如图，作出A 点关于MN 的对称点A ′，连接A ′B 交MN 于点P ，则A ′B 就是最短路线. 在Rt △A ′DB 中，由勾股定理求得A ′B =17km 11.解：根据勾股定理求得水平长为m 1251322=-，地毯的总长 为12+5=17（m ），地毯的面积为17×2=34（)2m ， 铺完这个楼道至少需要花为：34×18=612（元）12. 解：如图，甲从上午8：00到上午10：00一共走了2走了12千米，即OA =12．乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时， 走了5千米，即OB =5．在Rt △OAB 中，AB 2=122十52＝169，∴AB =13， 因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米．∵15＞13， ∴甲、乙两人还能保持联系．第二课时18.2勾股定理的逆定理 一、选择题A 题图1.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ ） A.9，12，15 B.43,1,45 C.0.2，0.3，0.4 D.40，41，9 2.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三个内角比为1∶2∶1 B.三边之比为1∶2∶5 C.三边之比为3∶2∶5 D. 三个内角比为1∶2∶33.已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ） A.2 B.102 C.10224或 D.以上都不对4. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）72425207152024257252024257202415(A)(B)(C)(D)A B C D二、填空题5. △ABC 的三边分别是7、24、25，则三角形的最大内角的度数是 .6.三边为9、12、15的三角形，其面积为 .7.已知三角形ABC 的三边长为c b a ,,满足18,10==+ab b a ，8=c ，则此三角形为 三角形.8.在三角形ABC 中，AB=12cm ，AC=5cm ，BC=13cm ，则BC 边上的高为AD= cm . 三、解答题9. 如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，CD =12，AD =13，求四边形ABCD 的面积.10. 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB =4，CE =41BC ，F 为CD的中点，连接AF 、AE ，问△AEF11. 如图，AB 为一棵大树，在树上距地面10m 的D C 处有一筐水果，一只猴子从D 处上爬到树顶A 处，利用拉在A 处的滑绳AC ，滑到C 处，另一只猴子从D 处 滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两猴子所经路程都是15m ， 求树高AB .12. 观察下列勾股数：第一组：3=2×1＋1， 4=2×1×（1+1）， 5=2×1×（1+1）+1； 第二组：5=2×2＋1， 12=2×2×（2+1）， 13=2×2×（2+1）+1； 第三组：7=2×3＋1， 24=2×3×（3+1）， 25=2×3×（3+1）+1； 第三组：9=2×4＋1， 40=2×4×（4+1）， 41=2×4×（4+1）+1； ……观察以上各组勾股数的组成特点，你能求出第七组的c b a ,,各应是多少吗？第n 组呢？ 18.2勾股定理的逆定理答案：一、1.C ；2.C ；3.C ，提示：当已经给出的两边分别为直角边时，第三边为斜边=;1026222=+当6为斜边时，第三边为直角边=242622=-；4. C ； 二、5.90°提示：根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的内角为 90°.6.54，提示：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面积为.5412921=⨯⨯7.直角，提示：2222222864182100,1002,100)(c b a ab b a b a ===⨯-=+=++=+得；8.1360，提示：先根据勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形，再利用面积法求得AD ⨯⨯=⨯⨯132151221；三、9. 解：连接AC ，在Rt △ABC 中， AC 2=AB 2＋BC 2=32＋42=25， ∴ AC =5. 在△ACD 中，∵ AC 2＋CD 2=25＋122=169， 而 AB 2=132=169，∴ AC 2＋CD 2=AB 2，∴ ∠ACD =90°． 故S 四边形ABCD =S △ABC ＋S △ACD =21AB ·BC ＋21AC ·CD =21×3×4＋21×5×12=6＋30=36. 10. 解：由勾股定理得AE 2=25，EF 2=5， AF 2=20，∵AE 2= EF 2 +AF 2， ∴△AEF 是直角三角形11. 设AD =x 米，则AB 为（10+x ）米，AC 为（15-x ）米，BC 为5米，∴(x +10)2+52=(15-x )2，解得x =2，∴10+x =12（米）12. 解：第七组，.1131112,112)17(72,15172=+==+⨯⨯==+⨯=c b a 第n 组， 1)1(2),1(2,12++=+=+=n n c n n b n a。

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18.1 勾股定理(一)

18.1 勾股定理(一)

bb E B 一、课时学习目标1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

重点、难点1．重点：勾股定理的内容及证明。

2．难点：勾股定理的证明。

二、课前预习导学引导学生阅读P64 定理的证明方法，达300余种。

这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

活动1、每位同学准备四个全等的直角三角形。

2、自主阅读课本本节内容。

画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有 勾2+股2=弦2对于任意的直角三角形也有这个性质吗？活动一：各小组成员选择自己最喜欢的拼图方法，验证勾股定理，活动二：各小组派代表上来展示自己的拼图，并说出它的特点。

（学生可能拼出如下图形）活动三、从你所拼的图形的面积构造等式验证勾股定理看是否能得出 ：c 2=a 2+b 2每一小组选一种图形写出验证的过程，小组间进行交流。

例1（补充）已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

分析：⑴让学生准备拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正 4×21ab ＋（b －a ）2=c 2，化简可证。

例2已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=___________________ 右边S=____________________左边和右边面积相等，即4×21ab ＋c 2=（a+b ）2化简可证。

18.1勾股定理习题课

18.1勾股定理习题课


B
3.如图甲壳虫在单位长度为1的正方体 A处嗅到了放置在正方体的B处位置上
D
B
B
的面包，甲壳虫沿着怎样的路线行走
C
才能很快地吃到面包？甲壳虫行走的
最短路线长是多少？
A
解：如图，沿着从A—D—B，或从A—
C—B的路线行走才能很快吃到面包。
画出正方体的平面展开图，如图所 示。最短路线长为：
AB 2212 5
解：如图，AB=5，BC=12
A
∵△ABC是直角三角形，
D C 12 5B
AC A B 2 B C 25 2 1 2 21 6 9 1 3
∴AD=13+5=18
答：吸管的长度为18㎝。
9. 如图将一根25厘米长的细木棒放入 长、宽、高分别为8厘米、6厘米和 10厘米的长方体无盖盒子中，则细木 棒露在盒外面的最短长度是多少厘 米．
A和B是这个台阶的两个相
A
对的端点，A点上有一只蚂
蚁，想到B点去吃可口的食
物。请你想一想，这只蚂蚁
B
从A点出发，沿着台阶面爬
到B点，最短线路是多少？
.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分
别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个
相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的
18.1勾股定理
练习
1.求出下列直角三角形中未知边的长．
B
A
10 6
C
A
8
C
2
30°
45°
2
2．在Rt△ABC中, ∠C=90°,
(1)已知: a=5, b=12, 求c;
(2)已知: a=7, c=25, 求b;
(3)已知: a=7, c=8, 求b ． 3 ．一直角三角形的一直角边长为7, 另两条边长为两个连续整数，求这个直 角三角形的周长．
八年级18.1 勾股定理(专题课时练含答案)-

八年级18.1 勾股定理(专题课时练含答案)-

DA18.1 勾股定理 (一)一、填空题:(每空2分,共64分)1.勾股定理的具体内容是： .2.如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示） ⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ； ⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；⑷三边之间的关系： . 3. Rt △ABC ，∠C=90°，a =8，b =15，则c = . 4. 在Rt △ABC ，∠B=90°，a =3，b =4，则c = .5.在Rt △ABC ，∠C=90°，c=10，a ：b =3：4，则a = ，b = .6.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 .7.已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 .8.已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为 ，面积为 .9.小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米. 10. 如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是 米.第10题图 第 11题图11.如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 .12.△ABC 中，AB=AC=25cm ，高AD=20cm,则BC= ，S △ABC = .bc a c b a E DCBA 13.△ABC 中，若∠A=2∠B=3∠C ，AC=32cm ，则∠A= 度，∠B= 度, ∠C= 度，BC= ，S △ABC = .14.△ABC 中，∠C=90°，AB=4，BC=32，CD ⊥AB 于D ，则AC= ，CD= ，BD= ，AD= ,S △ABC = .15.△ABC 的三边a 、b 、c ，若满足b 2= a 2＋c 2，则 =90°； 若满足b 2＞c 2＋a 2，则∠B 是 角； 若满足b 2＜c 2＋a 2，则∠B 是 角. 二、解答题(共38分)1.(9分) 已知：如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB=34，AC=4，AD 是BC 边上的高，求BC 的长.2. (9分)已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积.3.(10分)如图，原计划从A 地经C 地到B 地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A 地到B 地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？4. (10分)根据如图所示，利用面积法证明勾股定理.DC AC BA18.1 勾股定理 (二)一、填空题(每空3分,共45分)1.已知在Rt △ABC 中，∠B=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则⑴c = .（已知a 、b ，求c ）⑵a = .（已知b 、c ，求a ） ⑶b = .（已知a 、c ，求b ）2.在Rt △ABC ，∠C=90°，⑴如果a =7，c =25，则b =⑵如果∠A=30°，a =4，则b = ⑶如果∠A=45°，a =3，则c = ⑷如果c =10，a-b =2，则b = ⑸如果a 、b 、c 是连续整数，则a+b+c = ⑹如果b =8，a ：c =3：5，则c = . 3.对岸取一点A ，使AC 垂直江岸，测得BC=50米， ∠B=60°，则江面的宽度为 . 4.有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去 盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米. 5.一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P 、Q 两点，PQ=16厘米，且RP ⊥PQ ，则RQ = 厘米.6.在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，CD=3，AB= .7.在Rt △ABC 中，∠C=90°，S △ABC =30，c =13，且a ＜b ，则a = ，b = . 二、解答题(共55分)1. (8分)在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=310cm ，一动点P 从B 向C 以每秒2cm 的速度移动，问当P 点移动多少秒时，PA 与腰垂直.PQCB2.(10分) 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 在CB 的延长线上.求证：⑴AD 2－AB 2=BD ·CD ⑵若D 在CB 上，结论如何，试证明你的结论.D CB A3. (9分)已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，AB ⊥AC ，∠B=60°，CD=1cm ，求BC 的长.DCBA4. (10分)如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E 、F 分别为BD 、CD 中点，试求B 、C 两点之间的距离，钢索AB 和AE 的长度.（精确到1米）DCBAF E5. (10分)已知：如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AC=22， 求:（1）AB 的长；（2）S △ABC .CB A6. (8分)在数轴上画出表示－52,5 的点.18.1 勾股定理答案一、填空题1.略2.⑴∠A+∠B=90°；⑵CD=21AB ；⑶AC=21AB ；⑷AC 2+BC 2=AB 2 3.17 4.7 5. 6，8 6. 6，8，10 7. 4或34 8.3，3 9.2250 10.6，32 11.18米 12. 30cm ，300cm 2 13.90，60，30，4，32 14. 2，3，3，1，32 15.∠B ，钝角，锐角 二、解答题1.82.483.116004.提示：因为S 梯形ABCD = S △ABE + S △BCE + S △EDA ，又因为S 梯形ACDG =21（a +b ）2， S △BCE = S △EDA =21ab ，S △ABE =21c 2, 21（a +b ）2=2×21ab ＋21c 2.18.1 勾股定理 (二)答案一、填空题1.⑴c=22a b - ⑵a =22c b - ⑶b=22a c +2. ⑴24 ⑵43 ⑶32 ⑷6 ⑸12 ⑹103.350米4.22 5.20 6.4 7.5，12二、解答题1.5秒或10秒.2.提示：过A 作AE ⊥BC 于E.3.3324.83米，48米，32米5.提示：作AD ⊥BC 于D ，AD=CD=2，AB=4，BD=32，BC=2+32，S △ABC = =2+32；6.略.。

18.1 勾股定理(二)

18.1 勾股定理(二)

一、课时学习目标1．会用勾股定理进行简单的计算。

2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。

重点、难点 1．重点：勾股定理的简单计算。

2．难点：勾股定理的灵活运用。

二、课前预习导学1．使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。

让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。

并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。

2．让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

3．勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。

三、课堂研讨学习复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。

学习勾股定理重在应用。

例1（补充）在Rt △ABC ，∠C=90°⑴已知a=b=5,求c 。

⑵已知a=1,c=2, 求b 。

⑶已知c=17,b=8, 求a 。

⑷已知a ：b=1：2,c=5, 求a 。

⑸已知b=15，∠A=30°，求a ，c 。

体会由角转化为边的关系的转化思想。

例2．一株荷叶高出水面1m ，一阵风吹来，荷叶被吹得贴着水面，这时它偏离原来的位置有3m 远，求荷叶的高度和水面的深度。

例3（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

例4（补充）已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm 。

⑴求等边△ABC 的高。

⑵求S △ABC 。

三、课堂练习1．填空题⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。

⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。

⑶在Rt △ABC ，∠C=90°，c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= 。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 。

⑹已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为 ，面积为 。