八年级数学人教版下册习题课件17.1 勾股定理第1课时 勾股定理

1/1 第十七章 勾股定理

17.1 勾股定理（第一课时 勾股定理的证明）

精选练习答案

一、单选题（共10小题)

1．（2020·山东青岛市·八年级期中）若实数m、n满足|m﹣3|+4n＝0，且m、n恰好是Rt的两条边长，则的周长是（ ）

A．5 B．5或7 C．12 D．12或7+7

【答案】D

【分析】

根据非负数的性质分别求出m、n，分4是直角边、4是斜边两种情况，根据勾股定理、三角形的周长公式计算，得到答案．

【详解】

∵|m﹣3|+4n＝0，

∴|m﹣3|＝0，4n＝0，

∴m﹣3＝0，n﹣4＝0，

解得，m＝3，n＝4，

当4是直角边时，斜边长＝2234＝5，

则△ABC的周长＝3+4+5＝12，

当4是斜边时，另一条直角边＝2243＝7，

则△ABC的周长＝3+4+7＝7+7，

故选：D．

2．（2020·吉林长春市·八年级期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代《周髀算经》中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分图形的面积为3，则较小两个正方形重叠部分图形的面积为（ ） 2/1

A．2 B．3 C．5 D．6

【答案】B

【分析】

由图①结合勾股定理可得三个正方形面积之间的关系，在图②中，可知两个小正方形的面积与阴影部分面积之和减去大正方形的面积即可得到重叠部分的面积．

【详解】

设以直角三角形三边为边长的正方形面积分别为S1，S2，S3，大小正方形重叠部分的面积为S，

则由勾股定理可得：S1+S2=S3，

在图②中，S1+S2+3-S=S3，

∴S=3，

故选：B．

3．（2020·广东清远市·八年级期末）下列各组数是勾股数的是（ ）

A．4，5，6 B．5，7，9 C．6，8，10 D．10，11，12

【答案】C

【分析】

根据勾股数的定义：满足222abc的三个正整数a、b、c叫做勾股数，逐一进行判断即可．

初中数学·人教版·八年级下册——第十七章 勾股定理

17.1 勾股定理

基础闯关全练

拓展训练

1.在△ABC中,∠C=90°,2∠A=∠B,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则a∶b∶c等于( )

A.1∶2∶1 B.1∶√2∶1

C.1∶√3∶2 D.1∶2∶√3

答案 C 设∠A=x°,则∠B=2x°,

∵△ABC中∠C=90°,

∴∠A+∠B=90°,即x°+2x°=90°,解得x=30,

∴∠A=30°,∠B=60°,

设a=1,∴c=2,

由勾股定理得b=√𝑐2-𝑎2=√4-1=√3,

∴a∶b∶c=1∶√3∶2.

故选C.

2.如图是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形,已知③号正方形的面积是1,那么①号正方形的面积是( )

A.4 B.8 C.16 D.32

答案 C 如图,根据勾股定理知④号正方形的边长为√12+12=√2,

则②号正方形的边长为√(√2)2+(√2)2=2,⑤号正方形的边长为√22+22=2√2,则①号正方形的边长为√(2√2)2+(2√2)2=4,

所以①号正方形的面积为4×4=16.

故选C.

3.(2016广西防城港期中)如图,长方体的长、宽、高分别为4 cm,3 cm,12 cm,则BD'= .

答案 13 cm

解析 连接BD,则BD=√42+32=5(cm),

故BD'=√52+122=13(cm).

4.(2016江西宜春高安期中)已知Rt△ABC中,∠C=90°,a+b=14 cm,c=10 cm,则Rt△ABC的面积等于 .

答案 24 cm2

解析 ∵Rt△ABC中,∠C=90°,a+b=14 cm,c=10 cm,

∴由勾股定理得a2+b2=c2,即(a+b)2-2ab=c2,

∴196-2ab=100,即ab=48,

则Rt△ABC的面积为12ab=24 cm2.

能力提升全练

拓展训练

1.图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.在Rt△ABC中,若直角边AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图乙所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是

第十七章 勾股定理

17．1 勾股定理

第1课时 勾股定理(1)

了解勾股定理的发现过程，理解并掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能应用勾股定理进行简单的计算．

重点

勾股定理的内容和证明及简单应用．

难点

勾股定理的证明．

一、创设情境，引入新课

让学生画一个直角边分别为3 cm和4 cm的直角△ABC，用刻度尺量出斜边的长．

再画一个两直角边分别为5和12的直角△ABC，用刻度尺量出斜边的长．

你是否发现了32＋42与52的关系，52＋122与132的关系，即32＋42＝52，52＋122＝132，那么就有勾2＋股2＝弦2.

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

由一学生朗读“毕达哥拉斯观察地面图案发现勾股定理”的传说，引导学生观察身边的地面图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么？

拼图实验，探求新知

1．多媒体课件演示教材第22～23页图17.1－2和图17.1－3，引导学生观察思考．

2．组织学生小组合作学习．

问题：每组的三个正方形之间有什么关系？试说一说你的想法．

引导学生用拼图法初步体验结论．

生：这两组图形中，每组的大正方形的面积都等于两个小正方形的面积和．

师：这只是猜想，一个数学命题的成立，还要经过我们的证明．

归纳验证，得出定理

(1)猜想：命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.

(2)是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢？这就需要对一个一般的直角三角形进行证明．到目前为止，对这个命题的证明已有几百种之多，下面我们就看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个定理的．

①用多媒体课件演示．

②小组合作探究：

a．以直角三角形ABC的两条直角边a，b为边作两个正方形，你能通过剪、拼把它拼成弦图的样子吗？

b．它们的面积分别怎样表示？它们有什么关系？

c．利用学生自己准备的纸张拼一拼，摆一摆，体验古人赵爽的证法．想一想还有什么方法？ 师：通过拼摆，我们证实了命题1的正确性，命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理．

勾股定理的历史

勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。那么大家知道多少勾股定理的别称呢？我可以告诉大家，有：毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。所谓勾股定理，就是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。”这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572?～公元前497?）于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。（右图为欧几里得和他的证明图）

中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？” 商高回答说：“ 数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩'得到的一条直角边‘勾'等于3，另一条直角边’股'等于4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。” 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。

在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公元50至100年间）（右图），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦”。 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图）。赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形