函数级数和

函数项级数收敛和一致收敛的判别函数项级数收敛和一致收敛的判别函数项级数是指将一列函数相加得到的级数，例如：$%sum%limits_{n=1}^%infty f_n(x)$。

如果该级数在某个区间内收敛，则称该级数在该区间内收敛，否则称该级数在该区间内发散。

函数项级数的收敛性可以分为点态收敛和一致收敛两种。

点态收敛是指对于每一个$x$，级数$%sum%limits_{n=1}^%inftyf_n(x)$都收敛，而一致收敛则是指存在一个收敛的函数$S(x)$，使得对于任意$%epsilon>0$，存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，对于所有$x$都有$|%sum%limits_{k=1}^n f_k(x)-S(x)|<%epsilon$。

下面将介绍函数项级数的一致收敛的判别方法：一、Weierstrass判别法Weierstrass判别法是判定函数项级数一致收敛的最常用方法之一。

其基本思想是将原函数项级数中的每一项$f_n(x)$都用一个上界函数$M_n(x)$来代替，并且要求这个上界函数满足以下两个条件：1. 对于任意$n$和$x$，都有$|f_n(x)|%leq M_n(x)$。

2. 上界函数$M_n(x)$的函数项级数$%sum%limits_{n=1}^%infty M_n(x)$在该区间内收敛。

如果满足上述条件，则原函数项级数在该区间内一致收敛。

二、Abel判别法Abel判别法是另一种判定函数项级数一致收敛的方法。

其基本思想是将原函数项级数表示为两个部分的乘积：$%sum%limits_{n=1}^%infty a_n(x)b_n(x)$，其中$a_n(x)=%sum%limits_{k=1}^n f_k(x)$，$b_n(x)$是一个单调有界函数。

如果满足以下两个条件，则原函数项级数在该区间内一致收敛：1. 函数$a_n(x)$在该区间内一致有界。

2. 函数$b_n(x)$在该区间内一致收敛到某个函数$B(x)$。

高等数学中的级数及解题方法在数学学科中，级数是一个综合性较强的概念，是指由无穷多项组成的无穷级数。

其可以说是数学研究中最重要的一类问题之一，其中又分为数列级数和函数级数两种。

在解题时，我们通常采用求和的方法，将求和问题转化为极限问题，再通过已知的数列或函数列求其极限值，从而求出级数的和。

下面，本文将就高等数学中的级数及解题方法进行详细的介绍。

一、数列级数的概念数列级数是指由数列的无穷项组成的和。

当数列的项在无限增加时，其和也就趋向于无限大或无限小。

例如，以下为一个数列级数的示例：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$其中，$\frac{1}{n}$ 为数列的通项公式，$\sum$ 符号表示求和，$n$ 为变量，表示从 $1$ 到无穷大的所有自然数。

针对此类数列级数的求和问题，我们通常采用以下两种方法：1.求极限法当数列级数的通项公式为一个有界数列时，可以采用直接求和的方法，例如：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$在此类情况下，我们可以通过变换数列项得到一个几何级数形式：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$其中，$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$ 为几何级数的求和公式。

2.比较法当数列级数的通项公式无法直接求出其和的时候，我们可以采用比较法进行求解。

具体来讲，我们需要构造一个同类比较数列或级数，从而比较其大小关系，进而得到数列级数的极限值。

例如：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$其中，$p\geq 1$，$n$ 为变量，表示从 $1$ 到无穷大的所有自然数。

针对此类数列级数的求和问题，我们可以采用以下的比较系列：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \leq\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$其中，两个级数在极限时均为无穷大。

函数项级数的收敛和一致收敛的区别哎呀，今天咱们聊聊函数项级数的收敛和一致收敛这俩家伙。

听起来是不是有点晦涩？别担心，我会尽量把这话说得简单明了，让你轻松理解。

想象一下，你正在参加一个聚会，有两个小伙伴，一个是收敛，另一个是一致收敛。

他们俩虽然都挺靠谱，但性格上可是有不少区别哦。

收敛这位小伙伴，乍一看还真让人觉得亲切。

他就是那种比较随和的家伙，时不时就能让你心里觉得舒服。

他的主要特点就是，随着某个参数不断变化，他的表现会慢慢趋向一个特定的值。

比方说，你想让他表演个节目，他就会努力地调整自己的表演，直到最终达到你想要的效果，嘿，听起来不错吧？但问题来了，收敛有时候也挺慢吞吞的，尤其在某些情况下，可能需要耐心等待好久才能看到效果，真是有点让人抓狂。

而一致收敛就不同了，这小子可是行动迅速！他是那种一上场就能让你眼前一亮的角色。

他的特点就是不管参数怎么变，他始终能保持一致，给你一个稳定的表现。

就好像你在看一个魔术表演，无论观众坐在哪个位置，魔术师的表演总是一样精彩。

这种一致性让人觉得特别安心，就像一个老朋友，让你可以随时依赖。

要是收敛是个温柔的慢人，那么一致收敛就是个干脆利落的快手。

有意思的是，虽然这俩家伙都能让你看到最终的结果，但过程却大相径庭。

收敛就像在走一条蜿蜒的小路，时不时还有点坑坑洼洼的，需要你小心翼翼地迈步。

而一致收敛则像是在一条平坦的大道上，走起来畅通无阻，真是爽快！不过，得注意的是，收敛有时候会让你看到一些奇怪的现象，可能你明明在等着他趋向一个值，他却在某个点上停下来，让你有点摸不着头脑。

再说了，收敛和一致收敛之间的区别在于他们的“友情”。

收敛可能会和你保持一种“各自为政”的关系，在某个点上，你的结果和他们的行为可以有点距离。

而一致收敛则是“齐心协力”的完美配合，真是一拍即合。

想象一下，大家在一起玩游戏，一致收敛总是能让所有人同步快乐，而收敛就可能有些人跟不上节奏，变得有点尴尬。

还要提一句，这两位小伙伴在数学界可是非常重要的，大家都想和他们建立良好的关系。

函数项级数的应用函数项级数是数学中的一个重要概念，它在实际问题的求解中有着广泛的应用。

本文将介绍函数项级数的定义及其应用领域，并通过具体例子展示其解决问题的能力。

一、函数项级数的定义函数项级数是指由一系列函数项按特定规律排列而成的级数。

形式上，函数项级数可以表示为：S(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + ...其中，f1(x)，f2(x)，f3(x)等为函数项，x为自变量，S(x)为级数的和。

函数项级数的求和可以通过数列的部分和逐渐逼近的方式进行。

二、函数项级数的应用函数项级数在数学的各个分支以及其他领域中都有着广泛的应用。

以下是函数项级数在实际问题中的几个应用领域。

1. 近似计算函数项级数可以用来近似计算某些复杂函数的值。

例如，我们可以利用泰勒级数来近似计算指数函数、三角函数等。

通过截取级数的前几项，可以得到函数在某个点附近的近似值，从而简化计算过程。

2. 物理问题的建模与求解函数项级数在物理问题的建模与求解中有着广泛的应用。

例如，某个物理问题可以通过级数展开的形式进行描述，进而通过求和得到问题的解析解。

函数项级数的求和性质可以帮助我们解决各种物理问题，如天体力学、电磁场分布等。

3. 信号处理函数项级数在信号处理领域也有着重要的应用。

例如，傅里叶级数是一种将周期信号拆解为基本频率的级数展开形式，通过傅里叶级数可以实现信号的频域分析、滤波和合成等操作。

4. 统计学函数项级数在统计学中也有一定的应用。

例如，通过泊松级数可以描述在给定时间间隔中某个事件发生的概率。

通过控制级数的求和次数，我们可以得到不同精度的概率估计，用于解决统计学问题。

5. 金融学在金融学中，函数项级数常常用于建立金融模型，对金融市场进行预测和分析。

例如，布莱克-斯科尔斯期权定价模型就是基于波动率的函数项级数展开，用于计算期权的价格。

三、函数项级数的实例下面通过几个具体的例子来展示函数项级数的应用。

1. 求解三角函数可以将三角函数利用泰勒级数展开，从而实现对三角函数的近似求解。

级数求和的八种方法一、列方程法：列方程法是通过将级数的部分项与一些已知的函数进行比较，然后列出方程，并求解得到级数的和。

常用的列方程法有以下几种：1.等差级数：等差级数是指级数的每一项与前一项之间的差都相等的级数。

求等差级数和的方法有两种常用的方式：（1）利用等差级数的通项公式：对于等差级数来说，其通项公式可以表示为：an = a1 + (n - 1)d，其中a1是首项，d是公差，n是项数。

利用这个通项公式，可以列出等差级数的部分和Sn的表达式，然后求解得到 Sn 的值。

（2）利用等差级数的求和公式：等差级数的求和公式是 Sn = (a1 + an)n/2，其中n表示级数的项数，a1表示首项，an表示末项。

将对应的值代入公式，即可求得等差级数的和。

2.等比级数：等比级数是指级数的每一项与前一项之间的比例都相等的级数。

求等比级数和的方法有以下两种常见的方式：（1）利用等比级数的通项公式：对于等比级数来说，其通项公式可以表示为：an = a1 * q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。

利用这个通项公式，可以列出等比级数的部分和Sn的表达式，然后求解得到 Sn 的值。

（2）利用等比级数的求和公式：等比级数的求和公式是Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，其中a1表示首项，q表示公比，n表示级数的项数。

将对应的值代入公式，即可求得等比级数的和。

二、借助公式法：由于有些级数的部分和难以直接计算，可以利用已知的级数求和公式，借助一些已知级数的和，表示成新的级数的和。

常见的借助公式法有以下几种：1.幂级数的求和公式：幂级数是指级数的每一项都是幂函数的项。

对于幂级数来说，有一些常用的求和公式，可以将一个复杂的幂级数表示成一个已知幂级数的和，从而利用已知的幂级数求和公式得到级数的和。

2.三角函数级数的求和公式：三角函数级数是指级数的每一项都是一个三角函数的项。

对于三角函数级数来说，有一些常用的求和公式，可以将一个复杂的三角函数级数表示成一个已知三角函数级数的和，从而利用已知的三角函数级数求和公式得到级数的和。

三角函数的级数展开与级数和计算三角函数是数学中重要的函数之一，可以通过级数展开的方式进行求解和计算。

在本文中，将介绍三角函数的级数展开方法以及如何计算级数和。

注意，本文的格式将以说明文的形式展示，并提供示例来帮助读者理解。

一、正弦函数的级数展开与级数和计算正弦函数可以用无穷级数展开，其级数展开形式如下：sin x = x - (x^3/3!) + (x^5/5!) - (x^7/7!) + ...其中，x为角度（弧度制），!表示阶乘。

根据该级数展开形式，我们可以计算正弦函数的级数和。

例如，给定角度为π/4，我们可以通过计算前n项的和来近似计算sin(π/4)的值。

具体计算过程如下：sin(π/4) ≈ π/4 - (π/4)^3/3! + (π/4)^5/5! - (π/4)^7/7! + ...二、余弦函数的级数展开与级数和计算余弦函数也可以用无穷级数展开，其级数展开形式如下：cos x = 1 - (x^2/2!) + (x^4/4!) - (x^6/6!) + ...同样地，我们可以根据该级数展开形式计算余弦函数的级数和。

例如，给定角度为π/3，我们可以通过计算前n项的和来近似计算cos(π/3)的值。

具体计算过程如下：cos(π/3) ≈ 1 - (π/3)^2/2! + (π/3)^4/4! - (π/3)^6/6! + ...三、正切函数的级数展开与级数和计算正切函数同样可以用无穷级数展开，其级数展开形式如下：tan x = x + (x^3/3) + (2x^5/15) + (17x^7/315) + ...根据该级数展开形式，我们可以计算正切函数的级数和。

例如，给定角度为π/6，我们可以通过计算前n项的和来近似计算tan(π/6)的值。

具体计算过程如下：tan(π/6) ≈ π/6 + (π/6)^3/3 + (2(π/6)^5/15) + (17(π/6)^7/315) + ...四、级数展开与级数和计算的应用三角函数的级数展开与级数和计算在数学和工程等领域中有着广泛的应用。

1.7方程式法 (3)1.8原级数转化为子序列求和 (3)1.9数项级数化为函数项级数求和 (3)1.10化数项级数为积分函数求原级数和 (4)1.11三角型数项级数转化为复数系级数 (4)1.12构造函数计算级数和 (5)1.13级数讨论其子序列 (5)1.14裂项法求级数和 (6)1.15裂项+分拆组合法 (7)1.16夹逼法求解级数和 (7)2函数项级数求和 (8)2.1方程式法 (8)2.2积分型级数求和 (8)2.3逐项求导求级数和 (9)2.4逐项积分求级数和 (9)2.5将原级数分解转化为已知级数 (10)2.6利用傅里叶级数求级数和 (10)2.7三角级数对应复数求级数和 (11)2.8利用三角公式化简级数 (12)2.9针对2.7的延伸 (12)2.10添加项处理系数 (12)2.11应用留数定理计算级数和 (13)2.12利用Beta函数求级数和 (14)参考文献 (15)级数求和的常用方法级数要首先考虑敛散性，但本文以级数求和为中心，故涉及的级数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题.由于无穷级数求和是个无穷问题，我们只能得到一个n →∞的极限和.加之级数能求和的本身就困难，故本文只做一些特殊情况的讨论，而无级数求和的一般通用方法，各种方法主要以例题形式给出，以期达到较高的事实性.1数项级数求和1.1等差级数求和等差级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公差，并运用公式可求和.11((1)22n n a a n n s na d +-=+=），其中1a 为首项，d 为公差 证明：12=++...+n s a a a ①，21s=+...++n a a a ② ①+②得：()12-112(+++...+(+)n n n s a a a a a a =+） 因为等差级数11...+n n a a a a +==所以1(2n n a a s +=）此证明可导出一个方法“首尾相加法”见1.2. 1.2首尾相加法此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同，便化为一简易级数求和. 例1:求01235...(21)n n n n n c c c n c +++++.解：01235...(21)n n n n n s c c c n c =+++++，210(21)...53n n n n n s n c c c c =++++，两式相加得：21012(22)(...)(1)2n n n n n n s n c c c c n +=++++=+⋅，即： 01235...(21)(1)2n n n n n n c c c n c n +++++=+.1.3等比级数求和等比级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公比并运用公式可求和.当q =1，1s na =；当q ≠1，1(1)1n a q s q-=-，其中1a 为首项，q 为公比.证明：当q =1，易得1s na =，当q ≠1，11111=++...+n s a a q a q - ①， 2111=++...+n qs a q a q a q ②， ①-②得11(1)n q s a a q -=-.可以导出一种方法“错位相减”见下1.4 1.4错位相减法此方法通常适用于等差与等比级数混合型，通过乘以等比级数公比q ，再与原级数四则运算后化为等差或等比级数求和.例2：计算212n n -∑.解： 2313521...2222n n s -=++++ ①，21352121 (222)n n s --=++++ ②， ②-①得： 121121************n n n k k k n k k k k k n s s s -===---=-=+-=+-=∑∑∑111121121213122212n n n n n n -----+-=---，lim n s →∞=3.1.5蕴含型级数相消法此类型级数本身各项之间有蕴含关系，通过观察可知多项展开会相互之间相消部分项，从而化简级数求和.例3：计算1ni =∑.解：将各项展开可得：(1...s =-+++++11==lim n s →∞= 1.6有理化法求级数和对于一些级数通项含有分式根式的级数，我们可以仿照数学中经常使用的方法“有理化”处理，以期达到能使得级数通项化简，最后整个级数都较容易求和.例4：计算1n ∞=.解：可以看出此级数含根式较多，因此尝试运用有理化的方法去处理，即通项n a =对其分母有理化得：−−−−=−分母有理化，则原级数可以采用本文中的1.5“蕴含型级数相消法”，则可以快速求得级数和的极限为1. 1.7方程式法此型级数通过一系列运算能建立级数和的方程式，通过解方程求解级数和.准确建立方程是关键问题，方程类型不固定，有类似与微分方程之类的，故要视具体情况建立方程，解方程也要准确，才能求出级数和.例5：计算2cos cos 2...cos n q q n q θθθ+++，其中1q <. 解：记2cos cos 2...cos =nq q n s q θθθ+++= =1cos nk k k q θ∑两边同时乘以cos 2q θ得即：+1222cos cos+1cos )(cos )2=n n n n q s q s q q q s q θθθθ+•++-+-（）（ 解此方程得：2122cos cos(1)cos =12cos n n q n q n q q s q q θθθθ++-++-+-22lim cos 12cos n q q s q q θθ→∞-=+-. 1.8原级数转化为子序列求和若下列条件成立[1]:（1）当n →∞时级数的通项0n a →（2）级数各项没有破坏次序的情况而得新序列n 1n b ∞=∑收敛于原级数 .例6：计算11111111111++-1+++-+++-+ (2345627893)（）（）（）.解：lim 0n n a →∞=Q ，应用欧拉公式1111++...ln 23n c n e n++=++，其中c 为欧拉常数，0()n e n →→∞111111+++...+-1--...-2332s n n=3ln 3ln n n n n e e =-+-，lim ln3n s →∞=.1.9数项级数化为函数项级数求和数项级数化为相应函数项级数，再通过函数项级数求和，并赋予函数未知数相应未知数后记得相应原级数的和.例7：求级数和11135...n n ∞=••••∑（2-1）.解：建立函数项级数2111()135...n n s x x n ∞-==••••∑（2-1）由函数敛散性知识可知其收敛域为(,)-∞+∞，将函数项级数逐项求导可得：'2211()1135...n n s x x n ∞-==+••••∑（2-3）=211111()135...n n x x xs x n ∞-=+=+••••∑（2-1），由此可知()s x 满足微分方程'()()1s x xs x -=，且易知(0)0s =，解此常微分方程得：221122()xx t dt s x ee-=⎰，令1x =则可以求出原级数和：211122s t eedt =⎰.1.10化数项级数为积分函数求原级数和将原级数通过化简，构造积分极限式，从而转化为积分求原级数和也不失为一种好方法，构造积分式子是关键，一般原级数中通过四则运算将n 与积分中的分割相联系从而构造分割，建立级数与积分式子的桥梁.例8：计算11k n k ∞=+∑，其中()n →∞. 解：记1011111lim =ln21+1n n n k k dx s k n k n x n∞→∞==−−−−−−−−→==←−−−−−−−−++∑∑⎰分子分母同时除以构造分割建立级数与积分的桥梁. 1.11三角型数项级数转化为复数系级数将三角型数项级数转化为复数域上的级数，由于复数的实部对应于数项级数，从而转化为求复数系级数进而求原级数和.例9[7]：设2cos cos 2...cos = n s q q n q θθθ+++，求s .解：由于1cos =nk k s q k θ=∑，令(cos sin )i z qe q i θθθ==+为复数，其中0,1,2...k =(cos sin )k k ik k z q e q k i k θθθ==+，其中1,2...k =，得：2...+cos (sin )sin 2...sin nn q n i q qq n θθθθ++++而另一方面1111(cos(+1)sin(+1))11(cos sin )n n z q n i n z q i θθθθ++--+=--+=211-2cos q q θ+ ｛1221cos cos(1)cos(1)cos sin(1)sin n n n q q n q n q n θθθθθθ+++⎡⎤--+++++⎣⎦+ 212sin cos(1)sin sin(1)sin(1)cos n n n i q q n q n q n θθθθθθ+++⎡⎤-+-+++⎣⎦g g ｝取实部对应原级数和即得：12211(1cos cos(1)cos )1-2cos n n q qs q q n q n θθθθ+++=--+++即： 当n →∞，且1q <时22lim cos 12cos n q q s q q θθ→∞-=+-.1.12构造函数计算级数和将级数各项转化为其它函数式子化简级数并求原级数和，关键在于各项的化简函数是否基本统一，如何选择函数式子才能有效化简，将级数参数化为函数式子中的未知数，并无一般的通用函数，选择函数视具体情况而定，下面我们先看一个例子感受这种方法，并从中体会这种方法.例10[7]：请计算下面的级数式子：记2323=1-+......)1111nn t t t t s t t t t t ++++++++（）(，其中1t →-.解：构造函数式子：1()11x x xe f x e e --==++,此函数在[0,)+∞单调递减. 由于000(1)ln(1)|ln 211x xx x x e d e dx dx e e e--+∞+∞-+∞---+==-+=++⎰⎰， 令ln h t =-，满足11lim limln t t h t →→==0ln 1111hthe t eeh h----=-=-=g ，ln ln ()()1()11k t k hk kt k hk t e e f kh t e e ----===+++. 代入题目中的级数式子得：23231lim 1-+......)111n n t t t t t t t t t t -→+++++++（）(+1= 011lim ()h h k e h f kh h -∞→=-∑=0011lim ()ln 21h xx h k e e h f kh dx h e --∞+∞-→=-==+∑⎰.1.13级数讨论其子序列引理[1]：数列}{n s 收敛的充分必要条件是}{n s 的任一子序列都收敛且有相同的极限.特别的：数列}{n s 收敛于s 的充分必要条件是两个互补的子列}{2n s ,}{12-n s ,收敛于同一极限.推广可得：定理[1]：若级数∑∞=1n n a 通项满足当n →∞时， 0→n a （收敛判别的必要条件），∑∞=1n n a 收敛于s 的充分必要条件是：部分和}{n s 的一个子序列}{np s 收敛于s ，其中p 满足：p 是某个正整数p =1，2，…将级数分情况讨论，化为多个子序列之和，利用原级数收敛则级数任意添加括号得到的级数和收敛于原级数和原理，通过求各个子序列之和求解原级数和，关键在于如何分解原级数为不同子序列，然而子序列相对于原级数来说易求些，这样方法才行之有效，这和1.6的“原级数转化为子序列求和”是不同的.分情况讨论在三角中讨论角的大小我们已不陌生，下面我们就看一个这样讨论角的幅度的例题.例11[6]：计算：12cos32nn n π∞=∑. 解：记12cos32n n n s π∞==∑，由级数敛散性知识可知，该级数绝对收敛.按幅度角的讨论将级数分解为：1{|3,0,1,2...}A n n k k ===，2{|31,0,1,2...}A n n k k ==+=，3{|32,0,1,2...}A n n k k ==+=.则：1232222coscos cos cos 3333=++2222n n n n n n A n A n A n n n n ππππ∞∞∞∞=∈∈∈∑∑∑∑1115(1)148718=--=-g ，所以：12cos23127n n n s π∞==-=-∑. 1.14裂项法求级数和针对级数是分数形式，且满足分母为多项乘积形式，且各项之间相差一个相同的整数，裂项后各项就独立出来，而原来各项之间相差整数则裂项后新级数等价于求解某一个级数，其余新级数照此可求出，从而原级数和可以求出. 裂项一般形式：1111()()(+)x m x n n m x m x n=-+-++，此处m n >.例12：计算111...123234(1)(2)s n n n =+++++g g g g g g . 解:记1(1)(2)n a n n n =++g g ，111[]2(1)(1)(2)n a n n n n =-+++ 针对11(1)nk k k =⋅+∑同理采用裂项法记111(1)1n b n n n n ==-++则11(1)nk k k =+∑=11-1n +，111lim lim[1-]1(1)1nn n k k k n →∞→∞===++∑，所以 111111lim lim [](1)(2)2(1)(1)(2)nnn n k k k k k k k k k →∞→∞===++++++∑∑= 11111111lim lim()2(1)2(1)2n n n n k k k k k k +→∞→∞==--++∑∑=1111(1)2224--=. 1.15裂项+分拆组合法将裂项与分拆组合法合用在一起，运用裂项法分拆级数，再将分拆重新组合级数，由新级数返回求原级数和.例13：计算1(+1)(+2)n nn n n ∞=∑（+3）.解：11235+1+2+3(+1)(+2)n n n n n n n ++-=Q（+3）111111251()(+1)(+2)3+1+2+33(+1)(+2)n n n n n n n n n n n n n ∞∞∞===∴=+--∑∑∑（+3）（+3）=1125111()()3233464+--=. 1.16夹逼法求解级数和在数学分析中运用夹逼法则求解极限，在求极限和中我们也可以借鉴此方法，运用两个级数逼近原级数，最后两逼近级数和等于原级数和.例14[8]：设m 为一给定的正整数，求221,1n m nm n ∞=≠-∑. 解：12222221,11111m Nm m Nm Nn m n n n m s m n m n m n+-++=≠==+==+---∑∑∑ 1111111111[ (21122121)m Nn m m m m m m m m n m n +=+=++++++++-+-+--+∑] 21112...2122+1m m N m N N N m N +++++++Q<<且∞→N 时，2lim 0+1N mN →∞=，且2lim 0+2N m N m →∞=，所以23lim 04m N N s m +→∞=-，即2221,134n m n m nm ∞=≠=--∑ 2 函数项级数求和函数项级数和依据未知数x 的而定，因此在收敛域内寻找一个新函数去刻画级数和.2.1方程式法类似于数项级数，函数项级数建立方程，通过方程求解求函数项级数和.例15：计算函数项级数23456()1 (21324135246)x x x x x s x x =+++++++g g g g g g 解：由函数项级数收敛性知识可知题中函数项级数收敛半径为+∞，逐项求导得3'2()1 (2)x s x x x =++++即：'()1()s x xs x =+(0)1s =Q解此微分方程得：2222()(1)x t x s x e e dt -=+⎰.2.2积分型级数求和积分型级数求和显然直接求和会带来困难，通常积分也积不出来，所以要转化，将积分式子化简是个想法，通过变量替换等积分技术化简积分式子，再求级数和，所以关键在于处理积分式子，下面我们看个例题.例16：计算级数(21)220x k k k eππ∞+-=∑⎰.解：因为(2,(21x k k ππ∈+）），作变量替换t k x +=π2得：再根据：'22tt ee dt --=⎰⎰C +得：(422204tt tk ee e πππππ-+--=-+⎰⎰⎰）=4042|2eeπππ--=84042|24eeec ππππ---=.所以原级数=8211t k k eee ππππ∞----==-∑⎰. 2.3逐项求导求级数和根据幂级数逐项求导收敛半径不变原理，对原级数逐项求导后化为一些易求和的幂级数，再往回求积分，从而求原级数和.易知的级数往往是通过泰勒展式或者麦克劳林展式获得的。

级数求和的常用方法摘要级数理论及应用无论对数学学科本身还是在其他科学技术及理论的发展中都有极为重要的影响和作用，而级数求和是级数理论及应用的主要内容之一.由于级数求和的方法比较多，技巧性很强，一般很难掌握其规律，是学习的一个难点，因此掌握一些常用的级数求和方法就显得尤为重要.通过例题，分别针对常用的数项级数和函数项级数求和进行分析和讨论，试图通过对例题的分析和解决，展示级数求和的常用方法和思想，进而探索级数求和的规律，理解级数理论即合理应用，打下良好的基础，为学习者起到抛砖引玉的方法.关键词：数项级数；函数项级数；求和；常用方法Summation of series method in common useAbstractProgression theory and application still are having the most important effect and function on the development of science and technology and theory disregarding logarithmic discipline per se, but summation of series is one of progression theory and applicative main content. Method of summation of series is comparatively many, the dexterity is very strong, in general very difficult to have its law in hand, be a difficult point studying, have some summation of series in common use method in hand therefore appearing especially important right away. Carry out analysis and discuss that by the fact that the example , difference are aimed at several progression and function item summation of series in common use, try to pass the analysis checking an example and solve, show summation of series method and thought in common use , probe and then the summation of series law , understand that progression theory is that reasonableness applies , lays down fine basis, in order the learner gets the method arriving at a modest spur to induce someone to come forward with his valuable contributions.Key words: Count progression; function series; Sue for peace; Method in common use目录引言................................................ 错误!未定义书签。