高数一总复习资料
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第一章 函数及其图形
例 1： （ ） .
A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x ≤1}
注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题 的解题策略与技巧》 ，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。
例 2：函数 的定义域为（ ） .
解：由于对数函数 lnx 的定义域为 x>0，同时由分母不能为零知 lnx ≠ 0，即 x≠1。由根式内 要非负可知 即要有 x>0、x≠1 与 同时成立，从而其定义域为 ，
即应选 C。
例 3：下列各组函数中，表示相同函数的是（ ）
解： A 中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当 |x|>1 时，两函数取得不同 的值。
B 中的函数是相同的。因为 对一切实数 x 都成立，故应选 B。 C 中的两个函数是不同的。因为 的定义域为 x≠-1 ，而 y=x 的定义域为（ - ∞，
+∞）。
D 中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（ - ∞， 0）∪（ 0，+∞）和（ 0，
+∞）。
例 4：设
解：在 令 t=cosx-1 ，得 又因为 -1≤cosx≤1，所以有 -2 ≤ cosx-1 ≤ 0，即-2 ≤ t ≤ 0，从而有
f（2） 没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中 例 6：函数 是（ ）。
A．偶函数 B ．有界函数 C ．单调函数 D．周期函数
解：由于 ，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（ A）
不正确。由函数在 x=0，1，2 点处的值分别为 0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函 数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。
事实上，对任意的 x，由
于任意的 x，有 ，可得 ，从而有 。可见，对 因此，所给函数是有界的，即应选择 B
例 7：若函数 f(x) 满足 f(x+y)=f(x)+f(y), 则 f(x) 是( )。
A．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 Ｄ．奇偶性不确定
解：因为 f(x+y)=f(x)+f(y) ，故 f(0)= f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0) ，可知 f(0)=0 。在
f(x+y)=f(x)+f(y) 中令 y = -x ，得 0 = f(0) = f(x-x) = f[ x+(-x) ] = f(x)+f(-x) 所以有
f(-x) = - f(x) ，即 f(x) 为奇函数，故应选 A 。
例 8 ：函数 的反函数是(
B．
D．
于是， 是所给函数的反函数，即应选 C。
例 9 ： 下列函数能复合成一个函数的是( )。
A． B．
C． D．
解：在 (A)、(B)中，均有 u=g(x) ≤0，不在 f (u) 的定义域内，不能复合。在 (D)中， u=g(x)=3 也不满足 f(u) 的定义域 ，也不能复合。只有 (C)中 的定
义域内，可以复合成一个函数，故应选 C。
例 10 ：函数 可以看成哪些简单函数复合而成： A．
C．
解： 解： ，三个简单函数复合而成
第二章 极限与连续
例 1：下列数列中，收敛的数列是（ ）
A. B. C. D.
解：（ A）中数列为 0，1，0，1，⋯⋯其下标为奇数的项均为 0，而下标为偶数的项均为 1，即奇偶数项分别趋于不同的常数值，从而可知该数列没有极限，是发散的。
由于 ，故（ B）中数列发散。
由于正弦函数是一个周期为 的周期函数，当 时， 并不能无限趋近 于一个确定的值，因而（ C）中数列也发散。
由于 ，故（ D）中数列收敛。
例 2：设 ，则 a=（ ）
解：假设 =0，则所给极限为
母趋于有限值 3，所以极限为∞，不是 1/5 ，因而 ≠0。
当 ≠ 0 时，所给极限为
式，那么，当 时，A.0 B.1 C.3 D.1/3
，其分子趋于∞，而分
，故应选 C。
般地，如果有理函数 ， 其中 、 分别为 n的 k次、l 次多项 当 k=l 时，f (n) 的极限为 、 的最高次项的系数之比；
当 k 当 k>l 时， f (n) 的极限为∞。 对于当 x→∞(或+∞，－∞)时 x 的有理分式函数 的极限，也有类似的结 果。 A. 0 B. 1 C. π D. n 解 利用重要极限 ， 故应选 C。 注：第一重要极限 的本质是 ，这里的 可以想象为一个空的筐 子，里面可以填入任意以零为极限的表达式(三个 填入的内容要相同)。 类似地， 第二重要极限 可以看作是 ，其中 可以同时填入 相同的任意趋于无穷大的表达式。 例 4. 求 解法 1 例 3. 例 5. A. 0 B. 1 C. 1/2 D. 1/4 注意 本题属于“∞ - ∞”型，是个未定式，不能简单地认为它等于 0 或认为是∞，对于此类 问题一般需要将函数进行通分，然后设法进行化简，进而求出其极限值。 例 7. 当 x → 0 时， A. 同阶无穷小量 B. 解：由于 可知 是 x 的同阶无穷小量，所以应选 A。 例 8. 当 等价的无穷小量是 ( ) 解：由于解法 3 解：由于 , 故应选 D。 的( )。 高阶无穷小量 C. 低价无穷小量 D. 较低阶的无穷小量 A. B. C. D. 可知 的高阶无穷小量， 同时 等价的无穷小量， 所以选 D。 例 9. 下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的是 ( ) A. B. C. D. 解：由于 所以应选 A. 例 10．要使函数 在 x=0处连续， f (0)应该补充定义的数值是 ( ) A.1/2 B.2 C.1 D.0 要使函数 f (x)在 x=0 处连续，必须有 因此要令 f(0)=1. 故应选 C。 求 k，使 f (x)连续 解：由于函数 f (x)在(- ∞， 0)和( 0，+∞)两区间内均由初等函数表示，而且在这两 个区间内均有定义，因此在这两个区间内是连续的。函数是否连续取决于它在 x=0 处是否连 续。要让 f (x)在 x=0 处连续，必须 解： 例 11． 设 例 12．证明方程 在区间（ 1，2）内必有一根。 上连续，另外 f（1）=-1<1 ，f（2）=13>0， f （x）在［1，2］上连续，故由零点 在区间（ 1,2 ）内必有 一个根 第三章 导数和微分 例 1：讨论函数 由于 = 又由 可知 证：令 ，由于 f （x）是初等函数，它在区间（ - ∞， +∞ 存在定理知，存在 例 4 ：例 2 ： 例 3：分段函数 处是否连续？是否可导？为什么？ 例 5 ： 例 6 ： 例 9 ： 例 10 ：例 7： 例 8 ： 例 11 ：证明曲线 xy=1 （x>0 ，y>0） 上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是 个常数 . 例 12 ： 例 13 ： 第四章 中值定理与导数应用 例 1：下列各函数中，在区间 [-1 ，1] 上满足罗尔定理所有条件的是 ( ) 例 2 ： 例 3 ： 例 4 ： 例 5 ：
