大一高数复习资料

高等數學

第一章 函數與極限

第一节 函數

●函數基礎（高中函數部分相關知識）（▲▲▲）

●鄰域（去心鄰域）（▲）

第二节 數列的極限

●數列極限的證明（▲）

〖題型 〗已知數列nx，證明limnxxa

〖證明 〗N語言

1．由nxa化簡得gn，

∴Ng

2．即對0，Ng，當Nn時，始終有不等式nxa成立，

∴axnxlim

第三节 函數的極限

●0xx時函數極限的證明（▲）

〖題型 〗已知函數xf，證明Axfxx0lim

〖證明 〗語言

1．由fxA化簡得00xxg，

∴g

2．即對0，g，當00xx時，始終有不等式fxA成立，

∴Axfxx0lim

●x時函數極限的證明（▲）

〖題型 〗已知函數xf，證明Axfxlim

〖證明 〗X語言

1．由fxA化簡得xg，

∴gX

2．即對0，gX，當Xx時，始終有不等式fxA成立，

∴Axfxlim

第四节 無窮小與無窮大

●無窮小與無窮大的本質（▲）

函數xf無窮小0limxf

函數xf無窮大xflim

●無窮小與無窮大的相關定理與推論（▲▲） （定理三）假設xf為有界函數，xg為無窮小，則lim0fxgx

（定理四）在引數的某個變化過程中，若xf 為無窮大，則1fx為無窮小；反之，若xf為無窮小，且0fx，則xf1為無窮大

〖題型 〗計算：0limxxfxgx（或x）

1．∵fx≤M∴函數fx在0xx的任一去心鄰域,0xU內是有界的；

（∵fx≤M，∴函數fx在Dx上有界；）

2．0lim0xgxx即函數xg是0xx時的無窮小；

（0limxgx即函數xg是x時的無窮小；）

3．由定理可知0lim0xxfxgx

（lim0xfxgx）

第五节 極限運算法則

●極限的四則運算法則（▲▲）

（定理一）加減法則

（定理二）乘除法則

關於多項式px、xq商式的極限運算

設：nnnmmmbxbxbxqaxaxaxp110110

則有0lim00baxqxpx

mnmnmn

（特別地，當00lim0xxfxgx（不定型）時，通常分子分母約去公因式即約去可去間斷點便可求解出極限值，也可以用羅比達法則求解）

〖題型 〗求值233lim9xxx

〖求解示例〗解：因為3x，從而可得3x，所以原式23333311limlimlim93336xxxxxxxxx

其中3x為函數239xfxx的可去間斷點

倘若運用羅比達法則求解（詳見第三章第二節）： 解：00233323311limlimlim9269xLxxxxxxx

●連續函數穿越定理（複合函數的極限求解）（▲▲）

（定理五）若函數xf是定義域上的連續函數，那麼，00limlimxxxxfxfx

〖題型 〗求值：93lim23xxx

〖求解示例〗22333316limlim9966xxxxxx

第六节 極限存在準則及兩個重要極限

●夾迫準則（P53）（▲▲▲）

第一個重要極限：1sinlim0xxx

∵2,0x，xxxtansin∴1sinlim0xxx

（特別地，000sin()lim1xxxxxx）

●單調有界收斂準則（P57）（▲▲▲）

第二個重要極限：exxx11lim

（一般地，limlimlimgxgxfxfx，其中0limxf）

〖題型 〗求值：11232limxxxx

〖求解示例〗

第七节 無窮小量的階（無窮小的比較）

●等價無窮小（▲▲）

1．~sin~tan~arcsin~arctan~ln(1)~1UUUUUUUe

2．UUcos1~212

（乘除可替，加減不行）

〖題型 〗求值：xxxxxx31ln1lnlim20

〖求解示例〗

第八节 函數的連續性

●函數連續的定義（▲）

●間斷點的分類（P67）（▲） ）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特別地，可去間斷點能在分式中約去相應公因式）

〖題型 〗設函數xaexfx2 ，00xx應該怎樣選擇數a，使得xf成為在R上的連續函數？

〖求解示例〗

1．∵2010000feeefaafa

2．由連續函數定義efxfxfxx0limlim00

∴ea

第九节 閉區間上連續函數的性質

●零點定理（▲）

〖題型 〗證明：方程fxgxC至少有一個根介於a與b之間

〖證明 〗

1．（建立輔助函數）函數xfxgxC在閉區間,ab上連續；

2．∵0ab（端點異號）

3．∴由零點定理，在開區間ba,內至少有一點，使得0，即0fgC（10）

4．這等式說明方程fxgxC在開區間ba,內至少有一個根

第二章 導數與微分

第一节 導數概念

●高等數學中導數的定義及幾何意義（P83）（▲▲）

〖題型 〗已知函數baxexfx1 ，00xx在0x處可導，求a，b

〖求解示例〗

1．∵0010fefa，00001120012feefbfe

2．由函數可導定義0010002ffafffb

∴1,2ab

〖題型 〗求xfy在ax處的切線與法線方程 （或：過xfy圖像上點,afa處的切線與法線方程）

〖求解示例〗

1．xfy，afyax|

2．切線方程：yfafaxa

法線方程：1yfaxafa

第二节 函數的和（差）、積與商的求導法則

●函數和（差）、積與商的求導法則（▲▲▲）

1．線性組合（定理一）：()uvuv

特別地，當1時，有()uvuv

2．函數積的求導法則（定理二）：()uvuvuv

3．函數商的求導法則（定理三）：2uuvuvvv

第三节 反函數和複合函數的求導法則

●反函數的求導法則（▲）

〖題型 〗求函數xf1的導數

〖求解示例〗由題可得xf為直接函數，其在定於域D

上單調、可導，且0xf；∴11fxfx

●複合函數的求導法則（▲▲▲）

〖題型 〗設2arcsin122lnxyexa，求y

〖求解示例〗

第四节 高階導數

●1nnfxfx（或11nnnndydydxdx）（▲）

〖題型 〗求函數xy1ln的n階導數

〖求解示例〗1111yxx，

12111yxx，

……

第五节 隱函數及參數方程型函數的導數

●隱函數的求導（等式兩邊對x求導）（▲▲▲）

〖題型 〗試求：方程yexy所給定的曲線C：xyy在點1,1e的切線方程與法線方程

〖求解示例〗由yexy兩邊對x求導

即yyxe化簡得1yyey

∴eey11111

∴切線方程：exey1111 法線方程：exey111

●參數方程型函數的求導

〖題型 〗設參數方程tytx，求22dxyd

〖求解示例〗1.ttdxdy2.22dydydxdxt

第六节 變化率問題舉例及相關變化率（不作要求）

第七节 函數的微分

●基本初等函數微分公式與微分運算法則（▲▲▲）

第三章 中值定理與導數的應用

第一节 中值定理

●引理（費馬引理）（▲）

●羅爾定理（▲▲▲）

〖題型 〗現假設函數fx在0,上連續，在0,

上可導，試證明：0,，

使得cossin0ff成立

〖證明 〗

1．（建立輔助函數）令sinxfxx

顯然函數x在閉區間0,上連續，在開區間0,上可導；

2．又∵00sin00f

即00

3．∴由羅爾定理知

0,，使得cossin0ff成立

●拉格朗日中值定理（▲）

〖題型 〗證明不等式：當1x時，xeex

〖證明 〗

1．（建立輔助函數）令函數xfxe，則對1x，顯然函數fx在閉區間1,x上連續，在開區間1,x上可導，並且xfxe；

2．由拉格朗日中值定理可得，1,x使得等式11xeexe成立，

又∵1ee，∴111xeexeexe，

化簡得xeex，即證得：當1x時，xeex

〖題型 〗證明不等式：當0x時，ln1xx

〖證明 〗

1．（建立輔助函數）令函數ln1fxx，則對0x，函數fx在閉區間0,x上連續，在開區