2020_2021学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算学案含解析新人教
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高考
- 1 - / 8 3．1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算
内 容 标 准 学 科 素 养
1.理解空间向量的概念．
2.掌握空间向量的加法、减法运算. 利用直观抽象
提升逻辑推理
授课提示：对应学生用书第51页
[基础认识]
知识点一 空间向量的概念
预习教材P84－85，思考并完成以下问题
如图，一块均匀的正三角形的钢板质量为500 kg，在它的顶点处分别受力F1，F2，F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60°，且|F1|＝|F2|＝|F3|＝200 kg.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力至少为多大时，才能提起这块钢板？
图中的三个力F1，F2，F3是既有大小又有方向的量，它们是不在同一平面内的向量．因此，解决这个问题需要空间向量的知识．事实上，不同在一个平面内的向量随处可见．例如，正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量OA→，OB→，OC→就是不同在一个平面内的向量(如图)．
知识梳理 (1)空间向量的定义
在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．
(2)空间向量及其模的表示方法 高考
- 2 - / 8 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记为AB→，其模记为|a|或|AB→|.
(3)特殊向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量 模为1的向量叫做单位向量
相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
知识点二 空间向量的加法、减法运算
预习教材P85－86，思考并完成以下问题
平面向量的加、减法满足怎样的运算法则？
提示：加法有三角形法则和平行四边形法则，减法有三角形法则．
空间中任意两个向量都可以平移到一个平面内，成为同一平面内的两个向量．
已知空间向量a，b，我们可以把它们移到同一个平面α内，以任意点O为起点，作向量OA→＝a，OB→＝b.那么a＋b和a－b如图所示．
知识梳理 (1)空间向量的加法、减法
类似于平面向量，定义空间向量的加法和减法运算(如图)：
OB→＝OA→＋AB→＝a＋b；
CA→＝OA→－OC→＝a－b. 高考
- 3 - / 8 (2)空间向量加法的运算律
空间向量的加法运算满足交换律及结合律：
①交换律：a＋b＝b＋a；
②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
[自我检测]
1．下列命题正确的是( )
A．若向量a与b的方向相反，则称向量a与b为相反向量
B．零向量没有方向
C．若a是单位向量，则|a|＝1
D．若向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则不一定有m＝p
答案：C
2．已知空间四边形ABCD中，AB→＝a，BC→＝b，AD→＝c，则CD→等于( )
A．a＋b－cB．c－a－b
C．c＋a－bD．c＋a＋b
答案：B
授课提示：对应学生用书第52页
探究一 空间向量及相关概念的理解
[例1] 给出下列命题：①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD1→与BC1→是相等向量；④在空间四边形ABCD中，AB→与CD→是相反向量；⑤在三棱柱ABCA1B1C1中，与AA1→的模一定相等的向量一共有4个．其中正确命题的序号为________．
[解析]①错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一定相等； 高考
- 4 - / 8 ②正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；
③正确，AD1→与BC1→的模相等，方向相同；
④错误，空间四边形ABCD中，AB→与CD→的模不一定相等，方向也不一定相反；
⑤错误，在三棱柱ABCA1B1C1中，与AA1→的模一定相等的向量是A1A→，BB1→，B1B→，CC1→，C1C→，一共有5个．
[答案]②③
方法技巧 解决空间向量相关概念的问题时，注意以下几点：
(1)向量的两个要素是大小与方向，两者缺一不可；
(2)单位向量的方向虽然不一定相同，但长度一定为1；
(3)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；
(4)由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的，但向量的模是可以比较大小的．
跟踪探究 1.下列说法正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反
B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C．两个向量相等，若它们的起点相同，则其终点不一定相同
D．若|a|>|b|，|b|>|c|，则a>c
解析：对于A，由|a|＝|b|可得a与b的长度相同，但方向不确定；对于B，a与b是相反向量，则它们的模相等，故B正确；对于C，两向量相等，若它们的起点相同，则它们的终点一定相同，故C错；对于D，向量不能比较大小，故D错．
答案：B
探究二 空间向量的加法与减法运算
[教材P86练习3]在图中，用AB→，AD→，AA′→表示A′C→，BD′→及DB′→. 高考
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解析：A′C→＝A′A→＋AC→＝A′A→＋AB→＋AD→＝AB→＋AD→－AA′→；
BD′→＝BD→＋DD′→＝BA→＋BC→＋DD′→＝－AB→＋AD→＋AA′→；
DB′→＝DB→＋BB′→＝DA→＋DC→＋AA′→＝－AD→＋AB→＋AA′→.
[例2] 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式运算结果为BD1→的是( )
①A1D1→－A1A→－AB→；
②BC→＋BB1→－D1C1→；
③AD→－AB→－DD1→；
④B1D1→－A1A→＋DD1→.
A．①②B．②③
C．③④D．①④
[解析]①A1D1→－A1A→－AB→＝AD1→－AB→＝BD1→；
②BC→＋BB1→－D1C1→＝BC1→＋C1D1→＝BD1→；
③AD→－AB→－DD1→＝BD→－DD1→＝BD→－BB1→＝B1D→≠BD1→；
④B1D1→－A1A→＋DD1→＝BD→＋AA1→＋DD1→＝BD1→＋AA1→≠BD1→，故选A.
[答案]A
方法技巧 1.空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接，从而便于运算． 高考
- 6 - / 8 (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．
2．化简空间向量的常用思路
(1)分组：合理分组，以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简．
(2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则，若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．
(3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)．
跟踪探究 2.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量AC1→的是________(填序号)．
①(AB→＋BC→)＋CC1→；②(AA1→＋A1D1→)＋D1C1→；③(AB→＋BB1→)＋B1C1→；④(AA1→＋A1B1→)＋B1C1→.
解析：①(AB→＋BC→)＋CC1→＝AC→＋CC1→＝AC1→；②(AA1→＋A1D1→)＋D1C1→＝AD1→＋D1C1→＝AC1→；③(AB→＋BB1→)＋B1C1→＝AB1→＋B1C1→＝AC1→；④(AA1→＋A1B1→)＋B1C1→＝AB1→＋B1C1→＝AC1→.所以所给四个式子的运算结果都是AC1→.
答案：①②③④
授课提示：对应学生用书第53页
[课后小结]
空间向量的加法、减法运算法则与平面向量相同，在空间向量的加法运算中，如下事实常帮助我们简化运算：
(1)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和；
(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0. 高考
- 7 - / 8 [素养培优]
1．对空间向量的有关概念理解不清致误
下列说法中，错误的个数为( )
(1)若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同．
(2)若向量AB→，CD→满足|AB→|＝|CD→|，AB→与CD→同向，则AB→>CD→.
(3)若两个非零向量AB→，CD→满足AB→＋CD→＝0，则AB→，CD→互为相反向量．
(4)AB→＝CD→的充要条件是A与C重合，B与D重合．
A．1 B．2
C．3 D．4
易错分析 向量相等，则向量的方向相同，模相等，但表示它们的有向线段的起点未必相同，终点也未必相同．
故(1)(4)错误．
反过来，方向相同，模相等的向量是相等向量，只能用“＝”连接，故(2)错误．
自我纠正 (1)错误，两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关．
(2)错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．
(3)正确，由AB→＋CD→＝0，得AB→＝－CD→，所以AB→，CD→互为相反向量．
(4)错误，由AB→＝CD→，|AB→|＝|CD→|，且AB→，CD→同向，但A与C，B与D不一定重合．
故一共有3个错误命题，正确答案为C.
答案：C
2．对向量减法的三角形法则理解记忆不清致误
在长方体ABCDA1B1C1D1中，化简DA→－DB→＋B1C→－B1B→＋A1B1→－A1B→.
易错分析 DA→－DB→＋B1C→－B1B→－B1B→＋A1B1→－A1B→＝AB→＋CB→＋B1B→＝DC→＋DA→＋B1B→＝DB→＋D1D→＝D1B→.
