2019年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算练习新人教A版
- 格式：docx
- 大小：340.49 KB
- 文档页数：10
3.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算
1.已知空间四边形ABCD中,G为CD的中点,则+(+)等于( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:+(+)=+×(2)=+=.故选A.
2.下列命题中正确的个数是( A )
①若a与b共线,b与c共线,则a与c共线;
②向量a,b,c共面,即它们所在的直线共面;
③若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb.
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:①当b=0时,a与c不一定共线,故①错误;
②中a,b,c共面时,它们所在的直线平行于同一平面,不一定在同一平面内,故②错误;③当b为零向量,a不为零向量时,λ不存在.故 选A.
3.在平行六面体ABCDEFGH中,若=x-2y+3z,则x+y+z等于( C
)
(A) (B) (C) (D)1
解析:=++,则x=1,y=-,z=,故选C.
4.已知空间向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( A )
(A)A,B,D (B)A,B,C (C)B,C,D (D)A,C,D
解析:因为=+=2a+4b=2,所以A,B,D三点共线.故选A.
5.若空间中任意四点O,A,B,P满足=m+n,其中m+n=1,则( A )
(A)P∈AB (B)P∉AB
(C)点P可能在直线AB上 (D)以上都不对
解析:因为m+n=1,所以m=1-n,
所以=(1-n)+n,
即-=n(-),即=n,
所以与共线.又有公共起点A,所以P,A,B三点在同一直线上,即P∈AB.故选A.
6.若a与b不共线,且m=a+b,n=a-b,p=a,则( D )
(A)m,n,p共线 (B)m与p共线
(C)n与p共线 (D)m,n,p共面
解析:由于(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,即p=m+n,又m与n不共线,所以m,n,p共面.
7.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ等于( D )
(A) (B)9 (C) (D)
解析:因为a,b,c三向量共面,
所以存在实数m,n,使得c=ma+nb,
即7i+5j+λk=m(2i-j+3k)+n(-i+4j-2k).
所以所以λ=.
8.给出下列命题:
①若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0;②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;③若,共线,则AB∥CD;④对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面.其中不正确命题的个数是( C )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:显然①正确;若a,b共线,则|a|+|b|=|a+b|或|a+b|=||a|-|b||,故②错误;若,共线,
则直线AB,CD可能重合,故③错误;只有当x+y+z=1时,P,A,B,C四点才共面,故④错误.故选C.
9.下列命题:
①空间向量就是空间中的一条有向线段;
②不相等的两个空间向量的模必不相等;
③两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;
④向量与向量的长度相等.
其中真命题有 .
解析:①假命题,有向线段只是空间向量的一种表示形式,但不能把二者完全等同起来.
②假命题,不相等的两个空间向量的模也可以相等,只要它们的方向不相同即可.
③假命题,当两个向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点.
④真命题,与仅是方向相反,它们的长度是相等的.
答案:①
10.在直三棱柱ABCA1B1C1中,若=a,=b,=c,则=
.
解析:如图,
=-
=-=--(-)
=-c-(a-b)=-c-a+b.
答案:-c-a+b
11.已知点G是△ABC的重心,O是空间任一点,若++=λ,则λ的值为
.
解析:连接CG并延长交AB于D,则=2,
所以-=2(-),
即3=2+.又2=+,
所以3=++.
因此,λ的值为3.
答案:3
12.有下列命题:
①若∥,则A,B,C,D四点共线;
②若∥,则A,B,C三点共线;
③若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-e2,b=-e1+e2,则a∥b;
④若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0.
其中是真命题的序号是 (把所有真命题的序号都填上).
解析:根据共线向量的定义,若∥,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,故①错;∥且AB,AC有公共点A,所以②正确;由于a=4e1-e2= -4·(-e1+e2)=-4b,所以a∥b.故③正确;易知④也正确.
答案:②③④
13.如图所示,已知几何体ABCDA1B1C1D1是平行六面体.
(1)化简++,并在图中标出其结果;
(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点,设=α+β+γ,求α,β,γ的值.
解:(1)取DD1的中点G,过点G作DC的平行线GH,使GH=DC,连接AH (如图),
则++=.
(2)因为M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点,
所以=+=+
=(-)+(+)
=++,
所以α=,β=,γ=.
14.如图,H为四棱锥PABCD的棱PC的三等分点,且PH=HC,点G在AH上,AG=mAH.四边形ABCD为平行四边形,若G,B,P,D四点共面,求实数m的值.
解:连接BD,BG.
因为=-且=,
所以=-.
因为=+,
所以=+-=-++.
因为=,
所以==(-++)
=-++.
又因为=-,
所以=-++.
因为=m,
所以=m=-++.
因为=-+=-+,
所以=(1-)+(-1)+.
又因为B,G,P,D四点共面,
所以1-=0,
即m=.
15.求证:四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分.
已知:如图所示,在四面体ABCD中,E,F,G,H,P,Q分别是所在棱的中点.求证:EF,GH,PQ相交于一点O,且O为它们的中点.
证明:因为E,G分别为AB,AC的中点,
所以EGBC.
同时,HFBC,所以EGHF.
从而四边形EGFH为平行四边形,故其对角线EF,GH相交于一点O,且O为它们的中点.只要能证明向量=-,就可以说明P,O,Q三点共线且O为PQ的中点.
事实上,=+,=+.
因为O为GH的中点,
所以+=0.
又因为GPCD,QHCD,
所以=,=.
所以+=+++=0.
所以=-.
故PQ经过O点,且O为PQ的中点.
所以EF,GH,PQ相交于一点O,且O为它们的中点.
16.已知正方体ABCDA1B1C1D1的中心为O,则在下列各结论中正确的结论共有( C )
①+与+是一对相反向量;
②-与-是一对相反向量;
③+++与+++是一对相反向量;
④-与-是一对相反向量.
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
解析:利用图形及向量的运算可知②是相等向量,①③④是相反向量.故选C.
17.若P,A,B,C为空间四点,且有=α+β,则α+β=1是A,B,C三点共线的( C )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
解析:若α+β=1,则-=β(-),即=β,显然A,B,C三点共线;若A,B,C三点共线,则存在实数λ,使=λ,故-=λ(-),整理得=(1+λ)-λ,令α=1+λ,β=-λ,则α+β=1.故选C.
18.已知A,B,C三点共线,则对空间任一点O,存在三个不为零的实数λ,m,n,使λ+m+n=0,那么λ+m+n的值为 .
解析:因为A,B,C三点共线,
所以存在惟一实数k,使=k,
即-=k(-),
所以(k-1)+-k=0,
又λ+m+n=0,
令λ=k-1,m=1,n=-k,则λ+m+n=0.
答案:0
19.如图所示,在四面体OABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则=
(用a,b,c表示).
解析:=+=a+
=a+(-)=a+
=a+×(+)
=a+b+c.
答案:a+b+c
20.如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,点P是ABCD所在平面外的一点,连接PA,PB,PC,PD.设点E,F,G,H分别为△PAB,△PBC,△PCD,△PDA的重心.
(1)试用向量方法证明E,F,G,H四点共面;
(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系,并用向量方法证明你的判断.
(1)证明:分别连接PE,PF,PG,PH并延长,
交对边于点M,N,Q,R,连接MN,NQ,QR,RM,
因为E,F,G,H分别是所在三角形的重心,
所以M,N,Q,R是所在边的中点,且=,
=,=,
=.
由题意知四边形MNQR是平行四边形,
所以=+=(-)+(-)
=(-)+(-)
=(+).
