考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷4(题后含答案及解析)

考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷4 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 已知A是3阶矩阵，r(A)=1，则λ=0( )

A．必是A的二重特征值．

B．至少是A的二重特征值．

C．至多是A的二重特征值．

D．一重、二重、三重特征值都有可能．

正确答案：B

解析：A的对应λ的线性无关特征向量的个数≤特征值的重数．r(A3×3)=1，即r(0E-A)=1，(0E—A)x=0必有两个线性无关特征向量．故λ=0的重数≥2．至少是二重特征值，也可能是三重．例如，但λ=0是三重特征值．所以应选

B． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

2． 设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有一特征值等于( )

A．

B．

C．

D．

正确答案：B

解析：因为λ为A的非零特征值，所以λ2为A2的特征值，为(A2)一1的特征值。因此的特征值为所以应选

B． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

3． 3阶矩阵A的特征值全为零，则必有( )

A．秩r(A)=0．

B．秩r(A)=1．

C．秩r(A)=2．

D．条件不足，不能确定．

正确答案：D

解析：本题考查下列矩阵由于它们的特征值全是零，而秩分别为0，1，2．所以仅由特征值全是零是不能确定矩阵的秩的．所以应选

D． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

4． 设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )

A．λE—A=λE—

B．

B．A与B有相同的特征值和特征向量．

C．A和B都相似于一个对角矩阵．

D．对任意常数t，tE一A与tE一B相似．

正确答案：D

解析：因为由A与B相似不能推得A=B，所以选项A不正确．相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故选项B也不正确．对于选项C，因为根据题设不能推知A，B是否相似于对角阵，故选项C也不正确．综上可知选项D E确．事实上，因A与B相似，故存在可逆矩阵P，使P一1AP=B于是 P一1(tE一A)P=tE—P一1AP=tE—

B．可见对任意常数t，矩阵tE一A与tE一B相似．所以应选

D． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

5． n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的( )

A．充分必要条件．

B．必要而非充分条件．

C．充分而非必要条件．

D．既非充分也非必要条件．

正确答案：B

解析：由A一B，即存在可逆矩阵P，使P一1AP=B，故｜λE一B｜=｜λE一P一1AP｜=｜P一1(λE一A)P｜=｜P一1｜｜λE一A｜｜P｜=｜λE一A｜，即A与B有相同的特征值．但当A，B有相同特征值时，A与B不一定相似，虽然A，B有相同的特征值λ1=λ2=0，但由于r(A)≠r(B)，A，B不可能相似．所以，相似的必要条件是A，B有相同的特征值．所以应选

B． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

6． 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P一1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )

A．P一1α

B．PTα．

C．Pα．

D．(P一1)Tα

正确答案：B

解析：设β是矩阵(P一1AP)一1属于λ的特征向量，并考虑到A为实对称矩阵AT=A，有(P一1AP)Tβ=λβ，即PTA(P一1)β=λβ．把四个选项中的向量逐一代入上式替换β，同时考虑到Aα=λα，可得选项B正确，即左端=PTA(P一1)T(PT)=PTλα=PTλα=λPTα=右端．所以应选

B． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

7． n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的( )

A．充分必要条件．

B．充分而非必要条件．

C．必要而非充分条件．

D．既非充分也非必要条件．

正确答案：A

解析：若，则有可逆矩阵P使P一1AP=AP=A，或AP=PA．令P=(γ1，γ2，…，γn)，即从而有Aγi=αiγi，i=1，2，…，n．由P可逆，即有γi≠0，且γ1，γ2，…，γn线性无关．根据定义可知γ1，γ2，…，γn是A的n个线性无关的特征向量．反之，若A有n个线性无关的特征向量α1,α2……αn，且满足Aαi=λiαi，i=1，2，…，n．那么，用分块矩阵有由于矩阵P=(α1,α2……αn)可逆，所以P一1AP=A，即A与对角矩阵A相似．所以应选A． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

8． n阶矩阵A和B具有相同的特征向量是A和B相似的( )

A．充分必要条件．

B．充分而非必要条件．

C．必要而非充分条件．

D．既非充分又非必要条件．

正确答案：D

解析：根据相似矩阵的定义，由A～B可知，存在可逆矩阵P使P一1AP=B：若Aα=λα，α≠0，有B(P一1α)=(P一1AP)(P一1α)=P一1Aα=λ(P一1α)，即α是A的特征向量，P一1α是B的特征向量，即矩阵A与B的特征向量不同．相反地，若矩阵A与B有相同的特征向量，且它们属于不同的特征值，即Aα=λα，Bα=μα，λ≠μ，因为矩阵A与B的特征值不同，所以矩阵A和B不可能相似．所以矩阵A与B有相同的特征向量对于A～B来说是既非充分又非必要，故选

D． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

9． 设三阶矩阵A的特征值是0，1，一1，则下列命题中不正确的是( )

A．矩阵A—E是不可逆矩阵．

B．矩阵A+E和对角矩阵相似．

C．矩阵A属于1与一1的特征向量相互正交．

D．方程组Ax=0的基础解系由一个向量构成．

正确答案：C

解析：因为矩阵A的特征值是0，1，一1，所以矩阵A—E的特征值是一1，0，一2．由于λ=0是矩阵A—E的特征值，所以A一E不可逆．故命题A正确．因为矩阵A+E的特征值是1，2，0，矩阵A+E有三个不同的特征值，所以A+E可以相似对角化．命题B正确．(或由A一A→A+E～A+E而知A+E可相似对角化)．因为矩阵A有三个不同的特征值，知因此，r(A)=r(A)=2，所以齐次方程组Ax=0的基础解系由n—r(A)=3—2=1个解向量构成，即命题D正确．命题C的

错误在于，若A是实对称矩阵，则不同特征值的特征向量相互正交，而一般n阶矩阵，不同特征值的特征向量仅仅线性无关并不正交． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

10． 已知A是一个3阶实对称正定的矩阵，那么A的特征值可能是( )

A．3，i，一1．

B．2，一1，3．

C．2，i，4．

D．1，3，4．

正确答案：D

解析：因为实对称矩阵的特征值都是实数，故选项A，C都不正确；又因为正定矩阵的特征值均为正数，故选项B也不正确；应用排除法，答案为

D． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

11． 下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( )

A．

B．

C．

D．

正确答案：D

解析：选项A是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化．选项B是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化．选项C是秩为1的矩阵，因为｜λE—A｜=λ3一4λ2，可知矩阵的特征值是4，0，0．对于二重根λ=0，由秩r(0E—A)=r(A)=1可知齐次方程组(OE—A)x=0的基础解系有3一1=2个线性无关的解向量，即λ=0有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化．选项D是上三角矩阵，主对角线上的元素1，1，一1就是矩阵的特征值，对于二重特征值λ=1，由秩可知齐次方程组(E—A)x=0只有3—2=1个线性无关的解，亦即λ=1，只有一个线性无关的特征向量，故矩阵必不能相似对角化，所以应当选

D． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

12． 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )

A．λ1≠0．

B．λ2≠0．

C．λ1=0．

D．λ2=0．

正确答案：B

解析：令k1α1，+k2A(α1+α2)=0，则k1α1+k2λ1α1+k2λ2α2=0，即(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0．因为α1，α2线性无关，于是有当λ2≠0时，显然有k1=0，k2=0，此时α1，A(α1+α2)线性无关；反过来，若α1，A(α1+α

2)线性无关，则必然有λ2≠0(否则，α1与A(α1+α2)=λ1α1，线性相关)，故应选

B． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

填空题

13． 设有二重特征根，则a=__________．

正确答案：

解析：如果λ=2是二重根，则有λ=2的时候，λ2一2λ一2(a一2)的值为0，可得a的值为2．如果λ2一2λ一2(a—2)=0是完全平方，则有(λ一1)2=0，满足λ=1是一个二重根，此时一2(a—2)=1，． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

14． 已知λ=12是的特征值，则a=____________．

正确答案：4

解析：因为λ=12是A的特征值，因此｜12E—A｜=0，即所以a=4． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

15． 设A是3阶矩阵，如果矩阵A的每行元素的和都是2，则矩阵A必定有特征向且___________.

正确答案：(1，1，1)T

解析：已知矩阵A的每行的元素的和都是2，因此有，所以可见矩阵A必定有特征向量(1，1，1)T． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

16． 设α=(1，一l，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是__________.

正确答案：k(1，一1，1)T，k≠0

解析：令B=αβT，因为矩阵B的秩是1，且βTα=a+1，由此可知矩阵B的特征值为a+1，0，0．那么A=E+B的特征值为a+2，1，1．因为λ=3是矩阵A的特征值，因此a+2=3，可得a=1．那么就有Bα=(αβT)α=α(βTα)=2α．α=(1，一1，1)T是矩阵B属于特征值λ=2的特征向量，因此也就是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

17． 已知矩阵和对角矩阵相似，则a=________．

正确答案：一2

解析：因为所以矩阵A的特征值分别为2，3，3，可见矩阵A的特征值有重根，已知矩阵A和对角矩阵相似，因此对应于特征根3有两个线性无关的特征向量，因此可得(3E—A)x=0有两个线性无关的解，因此矩阵3E一A的秩为1．因此可见a=一2． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量