考研数学二(线性方程组、矩阵的特征值与特征向量)模拟试卷1(题
- 格式：doc
- 大小：41.00 KB
- 文档页数：9
考研数学二（线性方程组、矩阵的特征值与特征向量）模拟试卷1 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设n元齐次线性方程组Ax＝0的系数矩阵A的秩为r，则Ax＝0有非零解的充分必要条件是
A．r＝n．
B．r≥n．
C．r＜n．
D．r＞n．
正确答案：C 涉及知识点：线性方程组
2． 设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax＝0仅有零解的充分条件是
A．A的列向量线性无关．
B．A的列向量线性相关．
C．A的行向量线性无关．
D．A的行向量线性相关．
正确答案：A 涉及知识点：线性方程组
3． 设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组(I)：Ax＝0和(Ⅱ)：ATAx＝0必有
A．(Ⅱ)的解是(I)的解，(I)的解也是(Ⅱ)的解．
B．(Ⅱ)的解是(I)的解，但(I)的解不是(Ⅱ)的解．
C．(I)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(I)的解．
D．(I)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(I)的解．
正确答案：A 涉及知识点：线性方程组
4． 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x＝0
A．当n＞m时仅有零解．
B．当n＞m时必有非零解．
C．当m＞n时仅有零解．
D．当m＞n时必有非零解．
正确答案：D 涉及知识点：线性方程组
5． 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠0，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线
性方程组Ax＝b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax＝0的基础解系
A．不存在．
B．仅含一个非零解向量．
C．含有两个线性无关的解向量．
D．含有三个线性无关的解向量．
正确答案：B 涉及知识点：线性方程组
6． 设A是m×n矩阵，Ax＝0是非齐次线性方程组Ax＝b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是
A．若Ax＝0仅有零解，则Ax＝b有唯一解．
B．若Ax＝0有非零解，则Ax＝b有无穷多解．
C．若Ax＝b有无穷多个解，则Ax＝0仅有零解．
D．若Ax＝b有无穷多个解，则Ax＝0有非零解．
正确答案：D 涉及知识点：线性方程组
7． 非齐次线性方程组Ax＝b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则
A．r＝m时，方程组Ax＝b有解．
B．r＝n时，方程组Ax＝b有唯一解．
C．m＝n时，方程组Ax＝b有唯一解．
D．r＜n时，方程组Ax＝b有无穷多解．
正确答案：A 涉及知识点：线性方程组
8． 设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组Ax＝b的三个解向量，且r(A)＝3，α1＝(1，2，3，4)T，α2＋α3＝(0，1，2，3)T，C表示任意常数，则线性方程组Ax＝b的通解x为
A．
B．
C．
D．
正确答案：C 涉及知识点：线性方程组
9． 设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A*的特征值之一是
A．λ－1｜A｜n．
B．λ－1｜A｜．
C．λ｜A｜．
D．λ｜A｜n．
正确答案：B 涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量
10． 设λ＝2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于
A．．
B．．
C．．
D．．
正确答案：B 涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量
11． 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P－1AP)T属于特征值λ的特征向量是
A．P－1α．
B．PTα．
C．Pα．
D．(P－1)Tα．
正确答案：B 涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量
12． n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的
A．充分必要条件．
B．充分而非必要条件．
C．必要而非充分条件．
D．既非充分也非必要条件．
正确答案：B 涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量
13． 设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则
A．λE－A＝λE－
B．
B．A与B有相同的特征值和特征向量．
C．A与B都相似于一个对角矩阵．
D．对任意常数t，tE－A与tE－B相似．
正确答案：D 涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量
14． 设矩阵．已知矩阵A相似于B，则r(A－2E)与r(A－E)之和等于
A．2．
B．3
C．4
D．5
正确答案：C 涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量
填空题
15． 若线性方程组 有解，则常数a1，a2，a3，a4应满足条件________．
正确答案：a1＋a2＋a3＋a4＝0； 涉及知识点：线性方程组
16． 设 其中ai≠aj(i≠j，i，j＝1，2，…，n)，则线性方程ATx＝B的解是________．
正确答案：利用克莱姆法则，得唯一解(1，0，…，0)T； 涉及知识点：线性方程组
17． 设A＝(aij)3×3是实正交矩阵，且a11＝1，b＝(1，0，0)T，则线性方程组Ax＝b的解是________．
正确答案：(1，0，0)T； 涉及知识点：线性方程组
18． 设方程有无穷多个解，则a＝________．
正确答案：-2 涉及知识点：线性方程组
19． 矩阵的非零特征值是_______．
正确答案：4；涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量
20． 矩阵的非零特征值是_______．
正确答案：4． 涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
21． 解线性方程组
正确答案：(3，－8，0，6)T＋k(－1，2，1，0)T． 涉及知识点：线性方程组
22． 已知线性方程组问k1和k2各取何值时，方程组无解?有唯一解?有无穷多组解?在方程组有无穷多解的情形下，试求出一般解．
正确答案：k1≠2，有唯一解；k1＝2，k2≠1，无解；k1＝2，k2＝1，有无穷多解：(－8，3，0，2)T＋k(0，－2，1，0)T． 涉及知识点：线性方程组
23． 已知线性方程组 (1)a，b为何值时，方程组有解? (2)方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系； (3)方程组有解时，求出方程组的全部
解．
正确答案：(1)a＝1，b＝3； (2)η1＝(1，－2，1，0，0，)T，η2＝(1，一2，0，1，0)T，η3＝(5，－6，0，0，1)T； (3)(－2，3，0，0，0)T＋k1η1＋k2η2＋k3η3． 涉及知识点：线性方程组
24． k为何值时，线性方程组 有唯一解、无解、有无穷多组解?在有解的情况下，求出其全部解．
正确答案：k≠－1且k≠4有唯一解；k＝－1时无解；k＝4时有无穷多解． 涉及知识点：线性方程组
25． 设线性方程组 (1)证明：若a1，a2，a3，a4两两不相等，则此线性方程组无解； (2)设a1＝a3＝k，a2＝a4k(k≠0)，且已知β1，β2是该方程组的两个解，其中β＝(－1，1，1)T，β2＝(1，1，－1)T．写出此方程组的通解．
正确答案：(1)利用系数矩阵和增广矩阵的秩不相等即可证明； (2)β1＋k(－2，0，2)T． 涉及知识点：线性方程组
26． 对于线性方程组 讨论λ为何值时，方程组无解、有唯一解和有无穷多组解．在方程组有无穷多组解时，试用其导出组的基础解系表示全部解．
正确答案：当λ≠1且λ≠－2时，方程组有唯一解；当λ＝－2时，方程组无解；当λ＝1时，方程组有无穷多组解：(－2，0，0)T＋k1(－1，1，0)T＋k2(－1，0，1)T． 涉及知识点：线性方程组
27． 已知线性方程组 讨论参数p，t取何值时，方程组有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解．
正确答案：当t≠2时，方程组无解； 当t＝2时，方程组有解，进一步， 若p≠－8，则通解为(－1，1，0，0)T＋k(－1，－2，0，1)T； 若p＝－8，则通解为(－1，1，0，0)T＋k1(4，－2，1，0)T＋k2(－1，－2，0，1)T． 涉及知识点：线性方程组
28． 已知下列非齐次线性方程组(I)，(II)：(1)求解方程组(I)，用其导出组的基础解系表示通解；(2)当方程组中的参数m，n，t为何值时，方程组(I)与(Ⅱ)同解?
正确答案：(1)(－2，－4，－5，0)T＋k(1，1，2，1)T； (2)m＝2，n＝4，t＝6。 涉及知识点：线性方程组
29． 设，A＝αβT，B＝βTα，其中βT是β的转置，求解方程2B2A2 x＝A4x＋B4x＋γ．
正确答案：＋k(1，2，1)T． 涉及知识点：线性方程组
30． 设线性方程组 已知(1，－1，1，－1)T是该方程组的一个解，试求 (1)方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； (2)该方程组满足x2＝x3的全部解．
正确答案：(1)当时，方程组的全部解为＋k(－2，1，－1，2)T； 当时，全部解为＋k1(1，－3，1，0)T＋k2(－1，－2，0，2)T； (2)当时，方程组的解为(－1，0，0，1)T； 当时，全部解为． 涉及知识点：线性方程组
31． 已知3阶矩阵B≠0，且B的每一列向量都是以下方程组的解 (1)求λ的值； (2)证明｜B｜＝0．
正确答案：(1)λ＝1； (2)用反证法． 涉及知识点：线性方程组
32． 设α1，α2，α3是齐次线性方程组Ax＝0的一个基础解系．证明α1＋α2，α2＋α3，α3＋α1也是该方程组的一个基础解系．
正确答案：证明此向量组是Ax＝0的解，线性无关即可(个数3已满足要求)． 涉及知识点：线性方程组
33． 已知α1，α2，α3，α4是线性方程组Ax＝0的一个基础解系，若β1＝α1＋tα2，β2＝α2＋tα3，β3＝α3＋tα4，β4＝α4＋tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是Ax＝0的一个基础解系．
正确答案：t≠±1． 涉及知识点：线性方程组
34． 设齐次线性方程组 其中a≠0，b≠0，n≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解，有无穷多组解．在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解．
正确答案：当a≠b且a≠(1－n)b时，方程组只有零解；当a＝b时，通解为k1(－1，1，0，…，0)T＋k2(－1，0，1，…，0)T＋…＋kn－1(－1，0，0，…，1)T；当a＝(1－n)b时，通解为k(1，1，1，…，1)T． 涉及知识点：线性方程组
