考研数学三(线性方程组与矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷2(题

考研数学三（线性方程组与矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷2 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 设三阶矩阵A的特征值为－1，1，2，其对应的特征向量为a1，a2，a3，令P＝(3a2，－a3，2a1)，则P－1AP等于( )．

A．

B．

C．

D．

正确答案：C

解析：显然3a1，－a3，2a1也是特征值1，2，－1的特征向量，所以P－1AP＝，选

C． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

2． 设A，B为n阶矩阵，且A，B的特征值相同，则( )．

A．A，B相似于同一个对角矩阵

B．存在正交阵Q，使得QTAQ＝B

C．r(A)＝r(B)

D．以上都不对

正确答案：D

解析：令A＝，B＝显然A，B有相同的特征值，而r(A)≠r(B)，所以A，B，C都不对，选

D． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

填空题

3． 设A＝，｜A｜＞0且A*的特征值为－1，－2，2，则a11＋a22＋a33＝_____________．

正确答案：－2

解析：因为｜A*｜＝｜A｜2＝4，且｜A｜＞0，所以｜A｜＝2，又AA*＝｜A｜E＝2E，所以A－1＝A*，从而A－1的特征值为－，－1，1，根据逆矩阵之间特征值的倒数关系，得A的特征值为－2，－1，1，于是a11＋a22＋a33＝－2－1＋1＝－2． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

4． 设三阶矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝－，λ3＝，其对应的特征

向量为a1，a2，a3，令P＝(2a3，－3a1，－a2)，则P－1(A－1＋2E)P＝_____________．

正确答案：

解析：P－1(A－1＋2E)P＝P－1A－1P＋2E，而P－1A－1P＝，所以P－1(A－1＋2E)P＝． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

5． 设λ1，λ2，λ3是三阶矩阵A的三个不同特征值，a1，a2，a3分别是属于特征值λ1，λ2，λ3的特征向量，若a1，A(a1＋a2)，A2(a1＋a2＋a3)线性无关，则λ1，λ2，λ3满足_____________．

正确答案：≠0

解析：令x1a1＋x2A(a1＋a2)＋x3A2(a1＋a2＋a3)＝0，即(x1＋λ1x2＋λ21x3)a1＋(λ2x2＋λ22x3)a2＋λ23x3a3＝0，则有 x1＋λ1x2＋λ21x3＝0，λ2x2＋λ22x3＝0，λ23x3＝0，因为x1，x2，x3只能全为零，所以≠0λ2λ3≠0． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

设A＝相似于对角矩阵．求：

6． a及可逆矩阵P，使得P－1AP＝A，其中A为对角矩阵；

正确答案：｜λE－A｜＝0λ1＝λ2＝1，λ3＝－1．因为A相似于对角阵，所以r(E－A)＝1a＝－2A＝．(E－A)X＝0基础解系为ξ1＝(0，1，0)T，ξ2＝(1，0，1)T，(－E－A)X＝0基础解系为ξ3＝(1，2，－1)T，令P＝(ξ1，ξ2，ξ3)，则P－1AP＝diag(1，1，－1)． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

7． A100．

正确答案：P－1A100P＝A100＝PP－1＝E． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

设A＝，β＝，方程组AX＝β有解但不唯一．

8． 求a；

正确答案：因为方程组AX＝β有解但不唯一，所以｜A｜＝0，从而a＝－2或a＝1．当a＝－2时，，r(A)＝r()＝2＜3，方程组有无穷多解；当a＝1时，，r(A)＝1＜r()，方程组无解，故a＝－2． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

9． 求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角阵；

正确答案：由｜λE－A｜＝λ(λ＋3)(λ－3)＝0得λ1＝0，λ2＝3，λ3＝－3．由(0E－A)X＝0得λ1＝0对应的线性无关的特征向量为ξ1＝；由(3E－A)X＝0得λ2＝3对应的线性无关的特征向量为ξ2＝；由(－3E－A)X＝0得λ3＝－3对应的线性无关的特征向量为ξ3＝．令P＝，则P－1AP＝． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

10． 求正交阵Q，使得QTAQ为对角阵．

正确答案：令γ1＝，γ2＝，γ3＝，取Q＝，则QTAQ＝． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

设矩阵A＝．

11． 若A有一个特征值为3，求a；

正确答案：｜λE－A｜＝(λ2－1)[λ2－(a＋2)λ＋2a－1]，把λ＝3代入上式得a＝2，于是A＝，A2＝． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

12． 求可逆矩阵P，使得PTA2P为对角矩阵．

正确答案：由｜λE－A2｜＝0得A2的特征值为λ1＝λ2＝λ2＝1，λ4＝9．当λ1时，由(E－A2)X＝0得a1＝(1，0，0，0)2T，a2＝(0，l，0，0)T，a3＝(0，0，－1，1)T；当λ＝9时，由(9E－A2)X＝0得a4＝(0，0，1，1)T．将a1，a2，a3正交规范化得β1＝(1,0,0,0)T,β2＝(0，1，0，0)T，β3＝(0，0，)T，将a4规范化得β4＝(0，0，)T．令P＝(β1，β2，β3，β4)＝，则PTA2P＝． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

设矩阵A=可逆，a＝为A*对应的特征向量．

13． 求a，b及a对应的A*的特征值；

正确答案：显然a也是矩阵A的特征向量，令Aa＝λ1a，则有，解得，所以A＝，｜A｜＝12，设A的另外两个特征值为λ2，λ3，由得λ2＝λ3＝2．a对应的A*的特征值为＝4． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

14． 判断A可否对角化．

正确答案：2E－A＝，因为r(2E－A)＝2，所以λ2＝λ3＝2只有一个线性无关的特征向量，故A不可以对角化． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

设A为三阶矩阵，ξ1，ξ2，ξ3是三维线性无关的列向量，且Aξ1＝－ξ1＋2ξ2＋2ξ3，Aξ2＝2ξ1－ξ2－2ξ3，Aξ3＝2ξ1－2ξ2－ξ3．

15． 求矩阵A的全部特征值；

正确答案：A(ξ1，ξ2，ξ3)＝(ξ1，ξ2，ξ3)，因为ξ1，ξ2，ξ3线性无关，所以(ξ1，ξ2，ξ3)可逆，故A～＝

B．由｜λE－A｜＝｜λE－B｜＝(λ＋5)(λ－1)2＝0，得A的特征值为－5，1，1． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

16． 求｜A*＋2E｜．

正确答案：因为｜A｜＝－5，所以A*的特征值为1，－5，－5，故A*＋2E的特征值为3，－3，－3．从而｜A*＋2E｜＝27． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

17． 设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B＝(A*)2－4E的特征值为0，5，32． 求A－1的特征值并判断A－1是否可对角化．

正确答案：设A的三个特征值为λ1，λ2，λ3，因为B＝(A*)2－4E的三个特征值为0，5，32，所以(A*)@的三个特征值为4，9，36，于是A*的三个特征值为2，3，6．又因为｜A*｜＝36＝｜A｜3－1，所以｜A｜＝6．由＝2，＝3，＝6，得λ1＝3，λ2＝2，λ3＝1，由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以A－1的特征值为1，．因为A－1的特征值都是单值，所以A－1可以相似对角化． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

设A＝的一个特征值为λ1＝2，其对应的特征向量为ξ1＝．

18． 求常数a，b，c；

正确答案：由Aξ1＝2ξ1，得解得 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

19． 判断A是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵．若不可对角化，说明理由．

正确答案：由｜λE－A｜＝＝0，得λ1＝λ2＝2，λ3＝－1．由(2E－A)X＝0，得a1＝，a2＝，由(－E－A)X＝0，得a3＝，显然A可对角化，令P＝，则P－1AP＝． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

设二维非零向量口不是二阶方阵A的特征向量．

20． 证明：a，Aa线性无关；

正确答案：a，Aa线性相关，则存在不全为零的数k1，k2，使得k1a＋k2Aa＝0，显然k2≠0，所以Aa＝－a，与已知矛盾，所以a，Aa线性无关． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

21． 若A2a＋Aa－6a＝0，求A的特征值，讨论A可否对角化；

正确答案：由A2a＋Aa－6a＝0，得(A2＋A－6E)a＝0，因为a≠0，所以r(A2＋A－6E)＜2，从而｜A2＋A－6E｜＝0，即｜3E＋A｜·｜2E－A｜＝0，则｜3E＋A｜＝0或｜2E－A｜＝0． 若｜3E＋A｜≠0，则3E＋A可逆，由(3E＋A)(2E－A)a＝0，得(2E－A)a＝0，即Aa＝2a，矛盾；若｜2E－A｜≠0，则2E－A可逆，由(2E－A)(3E＋A)a＝0，得(3E＋A)a＝0，即Aa＝－3a，矛盾，所以有｜3E＋A｜＝0且｜2E－A｜＝0，于是二阶矩阵A有两个特征值－3，2，故A可对角化． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

设A是三阶矩阵，a1，a2，a3为3个三维线性无关的列向量，且满足Aa1＝a2＋a3，Aa2＝a1＋a3，Aa3＝a1＋a2．

22． 求矩阵A的特征值；

正确答案：因为a1，a2，a3线性无关，所以a1＋a2＋a3≠0，由A(a1＋a2＋a3)＝2(a1＋a2＋a3)，得A的一个特征值为λ1＝2；又由A(a1－a2)＝－(a1－a2)，A(a2－a3)＝－(a2－a3)，得A的另一个特征值为λ2＝－1．因为a1，a2，a3线性无关，所以a1－a2与a2－a3也线性无关，所以λ2＝－1为矩阵A的二重特征值，即A的特征值为2，－1，－1． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

23． 判断矩阵A可否对角化．

正确答案：因为a1－a2，a2－a3为属于二重特征值－1的两个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量