范德蒙行列式的相关应用（一）范德蒙行列式在行列式计算中的应用 范德蒙行列式的标准规范形式是：1222212111112111()n n n i j n i j n n n nx x x D x x x x x x x x ≥>≥---==-∏根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式包括一些非范德蒙行列式利用各种方法将其化为范德蒙行列式，然后利用范德蒙行列式的结果，把它计算出来。
常见的化法有以下几种：1.所给行列式各列（或各行）都是某元素的不同次幂，但其幂次数排列与范德蒙行列式不完全相同，需利用行列式的性质（如提取公因式，调换各行（或各列）的次序，拆项等）将行列式化为范德蒙行列式。
例1 计算222111222333nn n nD n n n =解 n D 中各行元素都分别是一个数自左至右按递升顺序排列，但不是从0变到n r -。
而是由1递升至n 。
如提取各行的公因数，则方幂次数便从0变到1n -.[]21212111111222!!(21)(31)(1)(32)(2)(1)13331n n n n D n n n n n n nn n ---==-------!(1)!(2)!2!1!n nn =--例2 计算1111(1)()(1)()1111n n n n n n a a a n a a a n D a a a n ---+----=--解 本项中行列式的排列规律与范德蒙行列式的排列规律正好相反，为使1n D +中各列元素的方幂次数自上而下递升排列，将第1n +列依次与上行交换直至第1行，第n 行依次与上行交换直至第2行第2行依次与上行交换直至第n 行，于是共经过(1)(1)(2)212n n n n n ++-+-+++=次行的交换得到1n +阶范德蒙行列式：[][](1)21111(1)211111(1)(1)()(1)()(1)(1)(2)()2(1)((1))!n n n n n n n nn n nk aa a n D a a a n a a a n a a a a a n a a a a n a n k ++---+=--=-----=--------------=∏ 若n D 的第i 行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含相同分行（列）；且n D 中含有由n 个分行（列）组成的范德蒙行列式，那么将n D 的第i 行（列）乘以-1加到第1i +行（列），消除一些分行（列）即可化成范德蒙行列式： 例3 计算1234222211223344232323231122334411111sin 1sin 1sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin D +Φ+Φ+Φ+Φ=Φ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+Φ解 将D 的第一行乘以-1加到第二行得：123422221122334423232323112233441111sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin ΦΦΦΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+Φ再将上述行列式的第2行乘以-1加到第3行，再在新行列式中的第3行乘以-1加到第4行得：12342222141234333412341111sin sin sin sin (sin sin )sin sin sin sin sin sin sin sin i j j i D ≤<≤ΦΦΦΦ==Φ-ΦΦΦΦΦΦΦΦΦ∏例4 计算211122222111111111nnnn nnx x x x x x D x x x ++++++=+++ （1）解 先加边，那么22111111222222222210001111111111111111111n n nn n n n nnnnnx x x x x x D x x x x x x x x x x x x ---+++=+++=+++ 再把第1行拆成两项之和，2211111122111120001111nnn n nnnnnnx x x x x x D x x x x x x =-11111112()(1)()()[2(1)]nnk j i k j j k ni j k nnnk j i i j k ni i x xx x x x x x x x x ≤<≤=≤<≤≤<≤===----=---∏∏∏∏∏∏2.加行加列法各行（或列）元素均为某一元素的不同方幂，但都缺少同一方幂的行列式，可用此方法： 例5 计算2221233312121113n n nnn nx x x D x x x x x x =解 作1n +阶行列式：122222121333312121111n nn nnnn n nz x x x z x x x D z x x x z x x x +==1()()ni j k i l k j nx z x x =≤<≤--∏∏由所作行列式可知z 的系数为D -，而由上式可知z 的系数为：211211(1)()()nn n j k i n j k li x x x x x x -=≥>≥--∑∏通过比较系数得：1211()()nn j k i n j k li D x x x x x x =≥>≥=-∑∏ 3.拉普拉斯展开法运用公式D =1122n n M A M A M A ++来计算行列式的值：例6 计算111111122122111000010010000100100001n n n n n n n n nnx x y y x x D y y x x y y ------=解 取第1，3，21n -行，第1，3，21n -列展开得： 11111111222211111111n n n n n n nn nnx x y y x x y y D x x y y ------==()()j i j i n j i lx x y y ≥>≥--∏4.乘积变换法 例7 设121(0,1,22)nk k k k k ni i s x xx x k n ==+++==-∑，计算行列式1112122n n n nn s s s s s s D s s s ---=解11121111222111nnn iii i nnn n iiii i i nnnn n n ii i i i nxxxxxD xxx -=====--====∑∑∑∑∑∑∑∑211111221222222122111122111111()n n n nn n n n nnnnj i l i j nx x x x x x x x x x x x x xxx x x x x -----≤<≤==-∏例8 计算行列式000101011101()()()()()()()()()n n n n n n n n nnnn n n n a b a b a b a b a b a b D a b a b a b ++++++=+++解 在此行列式中，每一个元素都可以利用二项式定理展开，从而变成乘积的和。
【DOC】行列式的展开法则行列式是线性代数中的重要概念之一，它可以用于求解线性方程组、矩阵的逆、矩阵的秩等问题。
展开法则是求解行列式的一种方法，其基本思想是利用行列式的性质，在行（或列）上进行化简，直到得到一个简单的行列式，然后根据行列式的性质进行计算。
本文将介绍行列式的展开法则及其相关性质。
一、定义行列式是一个由数构成的方阵，其计算方式如下：$$ \begin{vmatrix}a_{11}& a_{12}& \cdots&a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}& \cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{\sigma}\operatorname{sgn}(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma( 2)}\cdots a_{n\sigma(n)} $$其中，$\sigma$ 是从 $n$ 个数 $1,2,\cdots,n$ 中选取 $n$ 个数的一个排列，$\operatorname{sgn}(\sigma)$ 是排列 $\sigma$ 的逆序数，$a_{i\sigma(i)}$ 是第$i$ 行 $\sigma(i)$ 列的元素。
例如，当 $n=2$ 时，行列式为：$$ \begin{vmatrix}a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\\\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} $$二、展开法则1. 拉普拉斯展开法则拉普拉斯展开法则是行列式展开法则中最基本的一种。
它的基本思想是：对于一个$n$ 阶行列式 $D$，选取其中任意一行（或一列）进行展开，得到 $n-1$ 阶行列式，然后递归地对 $n-1$ 阶行列式进行展开，直到得到 $2$ 阶行列式为止，在计算过程中交替改变符号。
