人教版初中数学八年级上册第十二章角的平分线的性质(第2课时)

课题名称：12.3

角的平分线的性质（2）

一、教材依据：

人民教育出版社八年级数学第十二章第三节第二课时

二、设计思想：

1、指导思想：通过本节的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其它图形知识打好基础。

2、设计理念：问题情境——建立模型——解释、应用与拓展

3、教材分析：本节课是九年制义务教育课程标准实验教科书八年级上册12.3角平分线的性质的第二课时。本节课有着承上启下的作用，它有着十分重要的意义。

4、学情分析：八年级学生有一定的自学、探索能力，求知欲强。让同学们自己动手做，学生间相互探讨，积极性也被充分调动起来。

三、教学目标：

1、知识目标：了解角的平分线的判定定理；会利用角的平分线的判定进行证明与计算。

2、能力目标：在探究角的平分线的判定定理的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力。

3、情感态度与价值观：在探究作角的平分线的判定定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神。

四、教学重点：角的平分线的判定定理的证明及应用。

五、教学难点：角的平分线的判定。

六、教法学法选择：自主探索,合作交流的学习方式。

七、教学准备：圆规、三角尺

八、教学过程：

（一） 复习、回顾

1. 角平分线的作法（尺规作图）

①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；

②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；

③过点P作射线OP，射线OP即为所求。

2. 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）

如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，

∴PA＝PB．

（二）合作探究

角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

①推导：

已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．

求证：点P在∠MON的平分线上．

第2课时 角平分线的判定

1．掌握角平分线的判定定理．(重点)

2．会用角平分线的判定定理解决简单的实际问题．(难点)

一、情境导入

中新网和田2015年2月25日电，新疆考古团队近日在斯皮尔古城及周边发现迄今为止最早的园林之城．如图，某考古队为进行研究，寻找一座古城遗址．根据资料记载，该城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是3000m.根据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址．你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试．(比例尺为1∶100000)

二、合作探究

探究点一：角平分线的判定定理

【类型一】

角平分线的判定

如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．

解析：先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分线的判定可知AD是∠BAC的平分线．

证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED＝∠CFD，∴△BDE与△CDF是直角三角形．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵BE＝CF，BD＝CD，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE＝DF，∴AD是∠BAC的平分线．

方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．

【类型二】

角平分线性质和判定的综合

如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，下面给出四个结论，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解析：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC可得DE＝DF，由此易得△ADE≌△ADF，故∠ADE＝∠ADF，即①AD平分∠EDF正确；②AE＝AF正确；角平分线上的点到角的两边的距离相等，故③正确；∴④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等正确；①②③④都正确．故选D.

人教版义务教育课程标准实验教科书八年级上册

12.3 角的平分线的性质(2)教学设计

一、教材分析

（一）、地位作用：角的平分线的性质(2)是角的平分线的性质(1)的延续和发展，角的平分线的性质的研究过程为以后运用平分线的性质解决问题提供了思路和方法。

本课题设计思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，体现了数学学习的必然性。教材始终围绕着问题而展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考，探索问题中所包含的数学知识，而设计了第一个数学活动—折纸，让学生体验三角形角平分线交于一点的事实，并得出了进一步的猜想，紧接着推出第二个数学活动——尺规作图，以达到复习旧知和再次验证猜想的目的，猜想是否正确，还得进行证明，从而激发了学生学习的兴趣和欲望，使教学目标顺利达成。

（二）、教学目标

（1）、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”。

（2）、能应用这两个性质解决一些简单的实际问题。

（3）、通过折纸、画图、文字及符号的数学活动，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生的学习兴趣。

教学重、难点

教学重点：角平分线性质和判定的应用．

教学难点：运用角平分线性质和判定证明及解决实际问题．

突破难点的方法：

二、教学准备：多媒体课件、导学案、

三、教学过程：

教学内容与教师活动 学生活动 设计意图

一、 创设情景 引入课题

1、复习：会用尺规作角的平分线。

2、角的平分线的性质:

角的平分线上的点到角的两边的距离相等

用数学语言表述：

∵ OC是∠AOB的平分线

PD⊥OA，PE⊥OB 学生任意作一个角，并用尺规作出它的平分线

明题，明确学习任务 回忆所学知识，为新课做准备。

感知本节的学习内容 1OCBA2PDE

∴ PD＝PE

（板书）课题：角的平分线的性质(2)

阐述学习目标

二、自主探究 合作交流 建构新知

探究活动1：思考：反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？

来源网络，造福学生

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1 1 12.3 角的平分线的性质

教学目标 知识与技能 1.能够利用三角形全等，证明角平分线的性质和判定．

2.会用尺规作已知角的平分线．

3.能利用角平分线性质进行简单的推理，解决一些实际问题．

过程与方法

经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．

情感态度价值观 在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神

教学重点 角平分线画法、性质和判定．

教学难点 角的平分线的性质的探究

教学准备 平分角的仪器(自制)三角尺、多媒体课件等．

教学过程（师生活动） 设计理念

创设情境，导入新课 1.在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法，如何确定角的平分线？

2. 有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，为什么？

复习旧知识，回忆角的平分线的定义

让学生体验利用证明三角形全等的方法来对画法做出说明．

要求学生能说明所作的射线是角平分线的理由．

探索新知，建立模型 探究1.

(1)从上面对平分角的仪器的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法。已知什么？求作什么？

【已知：∠AOB

求作：∠AOB的平分线】

(2)把简易平分角的仪器放在角的两边.且平分角的仪器两边相等,从几何角度怎么画?

【以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA

从实验中抽象出几何模型,明确几何作图的基本思路和方法.

来源网络，造福学生

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2 2 于点M，交OB于点N.】

(3) 简易平分角的仪器BC=DC,从几何角度如何画

【分别以点M，N为圆心，大于二分之一MN长为半径画弧，两弧在角的内部交于点C.