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大创项目总结报告大全(5篇)大创项目总结报告篇一（一）研究背景历史上著名的统计学家蒲丰（buffon）和皮尔逊（pearson）曾进行过大量抛硬币的试验，其结果如下表所示: 总次数出现正面次数出现正面的频率德-摩根 2048 1061 0.5181 蒲丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 可见出现正面的频率总是在0.5附近摆动。
并且随着试验次数的增加，它会逐渐稳定于0.5这个数字。
人们发现在做大量重复随机实验时，随着次数的增加，事件的频率就会在一个固定数的附件摆动，有一定的稳定性。
a.h.柯尔莫哥洛夫在1933年给出了概率的公理化定义。
每个中小学生都对扔硬币实验很感兴趣，有亲手尝试的欲望。
但由于实验的枯燥费时，亲手实验的愿望一直没有实现。
自从20世纪90年代美国率先开始数学实验以来，数学实验改变了人们传统的数学思维方式，数学是可以借助计算机去探索和发现的。
近十年来，国内外已有不少的数学实验教材和一些好的数学实验范例，但是这需要一定的计算机编程能力，如mathematica编程,matlab编程等，才能实现人机对话，因此数学实验只能在具有一定数学知识和较高计算机编程能力的特定人群中使用，不能“飞入寻常巷陌家”。
计算机仿真技术是以多门学科和理论为基础，以计算机及其相应的软件为工具，通过虚拟实验来分析和解决实际问题的综合性技术。
计算机模拟(simulation)早期被称为蒙特卡罗方法，是一种利用随机实验解决随机问题的方法。
估算圆周率的物理实验。
现在，计算机仿真技术已经广泛应用于机械制造、航空航天、交通运输、船舶工程、经济管理、工程建设、军事仿真和医疗卫生等领域。
（二）研究目的研发《单机版投硬币计算机模拟实验系统》，光盘储存，携带方便，能在pc机上实验，并给出统计数据，用以说明：实验总次数越多，就越能说明概率的统计定义的合理性。
EXCEL演示大数定律1 引言大数定律又称大数法则、大数率，它是概率论与数理统计学的基本定律之一。
通俗地说，这个定律就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件发生的频率趋于一个稳定值，这个稳定值就是随机事件发生的概率。
比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多，达到上万次甚至几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。
所以，我们说抛硬币这一事件中，正面和反面出现的概率都是0.5，而掷骰子事件中每个面出现的概率都是1/6。
要见证大数定律，就要作大量实验。
而上万次的实验太费时费力了。
为了在教学中，让学生更深刻地认识大数定律，我们可利用EXCEL作直观的虚拟实验演示。
以下，由易到难介绍几种演示大数定理的方法。
2、运用EXCEL函数演示大数定律要模拟随机现象，就要产生随机分布的随机数。
EXCEL的RAND()函数就能产生0～1之间(大于等于0且小于1)的随机数。
假设，实验中观察的随机事件发生概率是P，那么可用RAND()产生的小于P值的随机数代表事件发生，而RAND()产生的大于或等于P值的随机数就代表事件没发生。
下面开始具体的模拟演示。
设数字1代表事件发生，数字0代表事件没发生。
打开EXCEL（本文使用的是EXCEL2003），新建工作簿。
在新工作表Sheet1的A1单元格内输入文字：“随机事件结果”，B1输入：“随机事件发生频率”，C1中输入：“事件概率P值”。
C2中为P值输入一个具体数值，如0.3。
A2中输入公式：=IF(RAND()<C2,1 ,0)，回车后得到1或0。
这里运用了IF()函数，如果RAND()产生的随机数小于C2中的概率值，A2中值为1，这代表概率为P＝C2的随机事件发生了。
否则A2中值为0，这代表概率为P＝C2的随机事件发没发生。
我们完成了一次随机实验。
要重复实验，只需选中A2单元格，用填充柄将A2内容向下拖拉复制即可。
《概率论与数理统计》MATLAB上机实验实验报告一、实验目的1、熟悉matlab的操作。
了解用matlab解决概率相关问题的方法。
2、增强动手能力，通过完成实验内容增强自己动手能力。
二、实验内容1、列出常见分布的概率密度及分布函数的命令，并操作。
概率密度函数分布函数(累积分布函数) 正态分布normpdf(x,mu,sigma) cd f(‘Normal’,x, mu,sigma);均匀分布（连续）unifpdf(x,a,b) cdf(‘Uniform’,x,a,b);均匀分布（离散）unidpdf(x,n) cdf(‘Discrete Uniform’,x,n);指数分布exppdf(x,a) cdf(‘Exponential’,x,a);几何分布geopdf(x,p) cdf(‘Geometric’,x,p);二项分布binopdf(x,n,p) cdf(‘Binomial’,x,n,p);泊松分布poisspdf(x,n) cdf(‘Poisson’,x,n);2、掷硬币150次，其中正面出现的概率为0.5，这150次中正面出现的次数记为X(1) 试计算X=45的概率和X≤45 的概率；(2) 绘制分布函数图形和概率分布律图形。
答:(1)P(x=45)=pd =3.0945e-07P(x<=45)=cd =5.2943e-07(2)3、用Matlab软件生成服从二项分布的随机数，并验证泊松定理。
用matlab依次生成(n=300,p=0.5),(n=3000,p=0.05),(n=30000,p=0.005)的二项分布随机数，以及参数λ=150的泊松分布，并作出图线如下。
由此可以见得，随着n的增大，二项分布与泊松分布的概率密度函数几乎重合。
因此当n足够大时，可以认为泊松分布与二项分布一致。
4、 设22221),(y x e y x f +−=π是一个二维随机变量的联合概率密度函数，画出这一函数的联合概率密度图像。
抛硬币试验“抛”出了什么
此题设计目的是使学生理解随机抛掷一枚硬币时“出现正面和出现反面的可能性是相同的”，从而说明在比赛前用抛硬币的方法来决定谁先开球对比赛双方都是公平的。
问题的关键是：怎样才能让学生明白“出现正面和出现反面的可能性是相同的”即“它们的可能性都是1/2”呢？
问了几个同事，大家都说“一看就知道，硬币只有两面，抛一次不是正面就是反面，出现正面和反面的可能性都是1/2”。
我也是这样想的。
不过，“一看就知道”的东西，为什么历史上那么多著名的数学家还要通过做成千上万次的试验来证明呢？这里面究竟隐藏着什么？
在配套的《教师教学用书》第173页，有这样一段话：
掷一枚硬币时，既可能出现正面，也可以出现反面，预先作出确定的判断是不可能的，但如果硬币均匀，直观上会感到出现正面与出现反面的机会应该相等，即在大量重复试验中正面朝上的频率，应该接近50%。
为了验证这点，在概率论的发展历史上，曾有许多著名的数学家也做过这个实验。
难道说我们的判断靠的就是“直观”，是一种感觉？这种感觉对不对，还得靠“验证”？
可新的问题又来了，就算科学家做了成千上万次的试验不是也没有证明正面和反面的可能性都是1/2吗？何况，课堂上我们让孩子做得有限的数十，上百次试验。
说白了，做实验不但得不到结果，还会推翻最初的“直观”感觉。
问题越来越多，需要继续查资料：。
基于EXCEL VBA的随机模拟在概率论教学中的应用孙晓玲【摘要】古典概型知识是概率论课程的教学重难点之一,古典概型定义中随机事件的表示方法缺少对问题的直观描述,致使学生在处理习题时难以建立题目的概率模型.应用Excel软件辅助概率论教学能把抽象的概率理论和问题背景进行有机结合,加深学生对随机现象本质的理解.将Excel随机模拟的方法用于概率习题的近似求解,能提高学生处理应用题的建模能力,加深对事件分解的认识,从而有效提升学生的实践能力.Excel中利用VBA编程的手段,能对随机数模拟的方式进行精确控制,具有更高的效率.课堂实践表明利用Excel VBA进行概率解题的模拟是教学内容创新与解题方法创新的有效途径.【期刊名称】《黄山学院学报》【年(卷),期】2018(020)005【总页数】4页(P122-125)【关键词】随机模拟;Excel;概率教学;Visual Basic for Applications【作者】孙晓玲【作者单位】合肥师范学院数学与统计学院,安徽合肥230601【正文语种】中文【中图分类】G642.00 引言概率论与数理统计是研究随机现象的数学学科，主要训练学生从复杂的，带有随机噪音的实际现象中找到背后蕴藏的统计规律性，因此课程教学中训练学生对于随机性的认识和计算就显得十分重要。
随着大数据科学的蓬勃发展，从海量数据中提取到有用的信息已成为近代统计科学的重要任务，推进实践教学成为概率论教学的改革方向。
概率论基本理论主要是告诉我们该如何正确认识和利用随机性，但是在一般教学过程中对于随机性的训练却明显不足。
例如传统古典概型的题目注重对排列组合公式的应用和分析，对样本空间和随机事件的关系讨论的比较抽象。
使用随机事件描述随机现象，理论上能够促进学生对学科内容的把握，但对学生理解随机性本身的特性还有待改进。
不同于线性代数和高等数学等课程，概率论在古典概型这一部分不易做到数形结合，对学生理解题目背后的规律以及概率思想的内涵极为不利。
㊀㊀㊀㊀㊀㊀抛硬币试验误差模型及分布规律抛硬币试验误差模型及分布规律Һ高㊀宏㊀（清华大学精密仪器系，北京㊀１０００８４）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文针对抛硬币试验结果离散性较大的问题，引入了绝对误差㊁相对误差和频率误差等概念，用随机过程分析方法建立了抛硬币试验误差的数学模型，从空间和时间两个维度给出了抛硬币试验误差的统计规律，证明了多组抛硬币试验绝对误差的标准差与试验次数的平方根成正比，多组抛硬币试验的相对误差和频率误差与试验次数的平方根成反比，以及单组抛硬币试验的绝对误差与试验次数成正比等结论，可从理论上对抛硬币试验中出现的各种误差现象及问题进行解释．ʌ关键词ɔ抛硬币试验；误差模型；频率稳定性；概率统计定义一㊁引㊀言抛硬币试验是概率论课程引出频率稳定性和概率统计定义的重要教学内容．抛硬币试验由于操作简便㊁容易理解，成为概率论课程中介绍随机现象具有统计规律的经典案例，也还能通过观察分析引出频率和概率的统计定义，形象说明频率与概率之间的联系与区别，以便让学生在生动有趣的随机试验过程中建立良好的概率直觉．但是实际的抛硬币试验结果却表明，在试验次数相同的情况下，不同小组的试验结果离散性很大，而且无论抛多少次，硬币正反两面出现的次数总是有较大的差距，抛硬币试验的次数越多，正反两面出现的次数并不是越来越接近，而是相差越来越大，反而让学生对随机现象的统计规律感到困惑．本文建立了抛硬币试验的误差模型，并给出了误差分布的规律．二㊁抛硬币试验误差定义抛硬币试验的目的，是让学生通过抛硬币的试验过程，一方面体验随机事件的不确定性，另一方面体验大量重复试验中的统计规律，即硬币出现正面和反面的次数大致相等，各占总试验次数的比例（频率）会稳定于０．５．理想的抛硬币试验结果是：当试验次数较大时，硬币出现正面和反面的次数完全相等，即正面出现次数与反面出现次数之差等于零．但是在实际的抛硬币试验中，很少会出现这种情况．因此，我们将抛硬币试验结果中硬币正面出现次数与反面出现次数之差定义为绝对误差．绝对误差＝正面出现次数－反面出现次数．（１）绝对误差可能是正值，也可能是负值．正值表明硬币正面出现的次数多于反面出现的次数，负值表明硬币正面出现的次数少于反面出现的次数．定义相对误差为绝对误差与总试验次数之比，有相对误差＝绝对误差总试验次数．（２）在抛硬币试验中，频率是指硬币正面出现的次数与总试验次数之比．随着试验次数的增加，频率将越来越接近概率０．５，因此，定义频率误差为实际频率与０．５之差．频率误差＝实际频率－０．５．（３）由式（１）可推导出硬币正面出现的次数为正面出现次数＝１２（总试验次数＋绝对误差）．（４）因此，有频率误差＝１２相对误差．（５）三㊁抛硬币试验误差模型设有Ｎ组同学做抛硬币试验，每组的试验次数均为ｎ，规定所有人在同一时刻抛出硬币，而且抛硬币的时间间隔相等，则抛硬币试验可看作一个随时间演变的随机过程．观察其中第ｊ组的抛硬币试验过程，设ｘｊ（ｉ）为第ｊ组第ｉ次的抛硬币结果，如果出现正面，令ｘｊ（ｉ）＝１，如果出现反面，令ｘｊ（ｉ）＝－１，则ｘｊ（ｉ）为第ｊ组抛硬币试验的一个时间序列．虽然事先无法准确预知每次抛掷硬币将出现正面还是反面，但是每次抛出只会出现一个结果，即ｘｊ（ｉ）与ｉ一一对应，因此，ｘｊ（ｉ）是ｉ的函数，亦即随机过程的一个样本函数．设Ｘ（ｉ）为第ｉ次抛硬币试验的随机变量，则所有Ｎ组第ｉ次抛硬币的结果ｘ１（ｉ），ｘ２（ｉ）， ，ｘｊ（ｉ）， ，ｘＮ（ｉ）就是随机变量Ｘ（ｉ）在ｉ时刻的状态．图１为Ｎ组抛硬币试验记录曲线．所有Ｎ组试验记录曲线在ｉ时刻的取值就是随机变量Ｘ（ｉ）在ｉ时刻的状态．随机过程即可看成所有样本函数ｘｊ（ｉ）的集合，也可看成所有随机变量Ｘ（ｉ）的集合．图１㊀抛硬币试验随机过程由于每次抛硬币的结果互不相关，因此，随机变量Ｘ（ｉ）独立同分布，设Ｐ［Ｘ（ｉ）＝１］＝Ｐ［Ｘ（ｉ）＝－１］＝１２，Ｙ（０）＝０，则抛硬币试验绝对误差的随机变量模型为Ｙ（ｎ）＝Ｘ（１）＋Ｘ（２）＋ ＋Ｘ（ｎ），（６）因此，Ｎ组抛硬币试验的绝对误差Ｙ（ｎ）是大量独立同㊀㊀㊀㊀㊀分布随机变量之和．根据中心极限定理，当ｎ很大时，Ｙ（ｎ）服从或近似服从正态分布．由于Ｅ［Ｘ（ｉ）］＝０，Ｄ［Ｘ（ｉ）］＝１，因此，Ｙ（ｎ）的数学期望和方差为Ｅ［Ｙ（ｎ）］＝０，（７）Ｄ［Ｙ（ｎ）］＝ｎ，（８）这表明Ｎ组抛硬币试验的绝对误差Ｙ（ｎ）服从参数为（０，ｎ）的正态分布．设ｙ（０）＝０，则单组抛硬币试验绝对误差的样本函数模型为ｙ（ｎ）＝ｘ（１）＋ｘ（２）＋ ＋ｘ（ｎ）．（９）注意：ｙ（ｎ）是单组的第ｎ次抛硬币试验结果（绝对误差），是一个确定的数，Ｙ（ｎ）是所有Ｎ组的ｎ次抛硬币试验结果，是一组试验数据，即［ｙ（１），ｙ（２）， ，ｙ（ｎ）］．式（９）的样本函数模型ｙ（ｎ）也可看作一个质点的随机游走模型．假设质点只能在数轴ｙ的整数点上移动（图２），从原点开始抛硬币，如果硬币正面向上，ｘ（１）＝１，质点向右移动１个单位，如果硬币反面向上，ｘ（１）＝－１，则质点向左移动１个单位．式（９）的ｙ（ｎ）即可看成第ｎ次抛硬币后正面出现次数与反面出现次数之差，也可看成随机游走的质点在第ｎ步时的位置．图２㊀质点随机游走位移从式（９）可以看出，抛硬币试验的绝对误差或随机游走位移ｙ（ｎ）不仅与当前时刻的ｘ（ｎ）有关，而且与之前所有时刻的ｘ（１），ｘ（２）， ，ｘ（ｎ－１）都有关，这表明ｙ（ｎ）具有很强的记忆性．将式（９）改写为ｙ（ｎ）＝１ｎðｎｉ＝１ｘ（ｉ）[]㊃ｎ＝ｘ（ｎ）㊃ｎ，（１０）式中ｘ（ｎ）为时间序列ｘ（１），ｘ（２）， ，ｘ（ｎ）的算数平均值，其物理意义表示随机游走的质点在区间［０，ｎ］上的平均速度．根据大数定律，算数平均值ｘ（ｎ）反映了时间序列ｘ（１），ｘ（２）， ，ｘ（ｎ）中的确定性部分，当ｎ充分大时，ｘ（ｎ）趋于一个常数，因此，单组抛硬币试验的绝对误差ｙ（ｎ）与试验次数ｎ成正比，或一个质点的随机游走位移ｙ（ｎ）与步数ｎ成正比．四㊁抛硬币试验误差分析１．绝对误差绝对误差是指抛硬币试验结果中正面出现次数与反面出现次数之差．由式（８）抛硬币试验绝对误差Ｙ（ｎ）的方差等于ｎ，可得Ｎ组抛硬币试验绝对误差Ｙ（ｎ）的标准差为σｎ＝ｎ．（１１）由正态分布的性质，Ｙ（ｎ）落在区间［－３σｎ，＋３σｎ］内的概率为９９．７３％．式（１１）表明，Ｎ组抛硬币试验数据绝对误差的标准差与总试验次数ｎ的平方根成正比，因此，抛硬币试验次数ｎ越大，正面出现次数与反面出现次数之差也越大．２．相对误差相对误差是绝对误差与总试验次数之比，因此，相对误差落在区间－３σｎｎ，＋３σｎｎéëêùûú内的概率为９９．７３％，由于σｎｎ＝ｎｎ＝１ｎ，（１２）因此，Ｎ组抛硬币试验的相对误差与试验次数ｎ的平方根成反比，随着抛硬币试验次数ｎ的增大，相对误差趋于零．３．频率误差频率误差是指抛硬币试验实际频率与概率０．５之差，式（５）表明频率误差等于相对误差的１２，因此，频率误差与试验次数ｎ的平方根成反比，随着抛硬币试验次数ｎ的增大，频率误差也趋于零．表１给出了多组抛硬币试验不同试验次数时的绝对误差（ʃ３σｎ）㊁相对误差和频率误差的值．表１㊀抛硬币试验误差（ʃ３σｎ）次数（ｎ）绝对误差相对误差频率误差１０９．５９４．９％０．４７４２０１３．４６７．１％０．３３５３０１６．４５４．８％０．２７４４０１９．０４７．４％０．２３７５０２１．２４２．４％０．２１２６０２３．２３８．７％０．１９４７０２５．１３５．９％０．１７９８０２６．８３３．５％０．１６８９０２８．５３１．６％０．１５８１００３０．０３０．０％０．１５０５００６７．１１３．４％０．０６７１０００９４．９９．５％０．０４７１００００３００．０３．０％０．０１５１０００００９４８．７０．９％０．００５图３为８组不同抛硬币试验（次数ｎ＝１００）的绝对误差模拟试验曲线．图３㊀抛硬币试验绝对误差模拟实验曲线㊀㊀㊀㊀㊀㊀从抛硬币试验的误差分析可以得出以下结论：（１）多组抛硬币试验绝对误差的标准差与试验次数ｎ的平方根成正比，随着试验次数ｎ的增加，硬币正反两面出现的次数之差逐渐增大；（２）多组抛硬币试验的相对误差和频率误差与试验次数ｎ的平方根成反比，随着试验次数ｎ的增加，相对误差和频率误差越来越小，当试验次数ｎ充分大时，相对误差和频率误差趋于零，即频率趋于概率０．５；（３）单组抛硬币试验的绝对误差与试验次数ｎ成正比，随着试验次数ｎ的增加，正反两面出现的次数之差越来越大．五㊁错误应用案例分析抛硬币试验结果说明，随着抛硬币试验次数的增大，硬币正反面出现的频率逐渐稳定于概率０．５．数值０．５是指在试验次数ｎ充分大的条件下，刻画硬币正反面出现事件可能性大小的一个数量指标．对于ｎ＝１时的单次抛硬币试验结果，不是频率为１，就是频率为０，不存在频率稳定性．因此，我们不能用概率０．５来描述单次抛出硬币后的结果，这就如同物理学不能用温度来度量一个分子的动能一样．随机过程理论用抛硬币试验来定义图２所示的一维简单随机游走．设一个质点从原点出发，抛掷一枚质量均匀的硬币，用ｘ（ｉ）表示第ｉ次的抛硬币结果，如果第ｉ次硬币出现正面向上，则ｘ（ｉ）＝１，质点往右移动１个单位，如果第ｉ次硬币反面向上，则ｘ（ｉ）＝－１，质点向左移动１个单位，因此，第ｎ次抛硬币后质点的位置为ｙ（ｎ）＝ｘ（１）＋ｘ（２）＋ ＋ｘ（ｎ）．（１３）随机过程理论假设每次抛硬币正面向上的概率为ｐ，反面向上的概率为ｑ＝１－ｐ，则质点向右移动１个单位的概率为ｐ，向左移动１个单位的概率为ｑ．可以证明，当ｐ＝ｑ＝０．５时，一维简单随机游走ｙ（ｎ）是常返的，表明一维简单随机游走的质点一定能回到起点．式（１３）中的ｘ（１），ｘ（２）， ，ｘ（ｎ）均为一次抛硬币试验结果，是确定性的试验数据．用刻画大量随机试验统计规律的概率ｐ＝ｑ＝０．５来描述单次抛硬币试验结果在概念上是错误的，必然会得出与事实不符的结论．对比式（９）和式（１３），一维简单随机游走的质点位移与单组抛硬币试验的绝对误差模型完全相同，一维简单随机游走的质点位移在数量上等于单组抛硬币试验的绝对误差．由于单组抛硬币试验结果的绝对误差ｙ（ｎ）与试验次数ｎ成正比，因此，一维简单随机游走的质点位移ｙ（ｎ）与步数ｎ成正比，即随着步数ｎ的增加，随机游走的质点会逐渐远离原点．六㊁高尔顿板实验验证高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿（Ｇａｌｔｏｎ）专门设计用来演示随机游走过程并验证中心极限定理的实验装置（图４）．图４㊀高尔顿板高尔顿板上的每一个圆点表示钉在板上的钉子，钉子之间的距离彼此相等，呈等边三角形排列，上一层每一颗钉子的位置恰好位于下一层两颗钉子正中间的上方．当小球从最上方的入口落下时，小球每次碰到钉子后，有可能从钉子左边落下，也有可能从钉子右边落下，经过ｎ层钉子后，小球最后落入底部的一个格子内．显然，一个小球从入口处经过ｎ层钉子后落入底部格子的过程就相当于一个ｎ次抛硬币试验过程，或一个质点的ｎ步随机游走过程．小球所在底部格子偏离中心的距离，就是抛硬币试验数据中的绝对误差，或随机游走质点相对原点的位移．把大量小球逐个从入口处放下，只要高尔顿板的面积足够大㊁钉子数量足够多，落在底部格子内的小球将形成与正态分布曲线相似的中间高㊁两边低的钟形曲线．如果高尔顿板的面积足够大，小球在下落过程中将逐渐向左右两个方向扩散，表明抛硬币试验中的绝对误差随试验次数逐渐变大，或随机游走的小球随时间远离原点．七㊁结㊀论本文针对抛硬币试验结果离散性较大的问题引入了绝对误差㊁相对误差和频率误差的概念，建立了抛硬币试验误差数学模型，得出了多组抛硬币试验绝对误差的标准差与试验次数ｎ的平方根成正比，多组抛硬币试验的相对误差和频率误差与试验次数ｎ的平方根成反比，以及单组抛硬币试验的绝对误差与试验次数ｎ成正比等结论，同时纠正了随机过程理论中将抛硬币试验概率０．５用于度量单次抛硬币结果的概念错误，并证明了一维简单随机游走的质点位移与步数ｎ成正比，表明一维简单随机游走的质点随步数ｎ的增加逐渐远离原点．ʌ参考文献ɔ［１］王丽霞．概率论与随机过程：理论㊁历史及应用［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２０１２．［２］吴赣昌．概率论与数理统计（理工类㊃第五版）［Ｍ］．北京：中国人民大学出版社，２０１７．［３］王立君． 抛硬币试验 教学中的误区［Ｊ］．小学教学参考：数学版，２００９（５）：１５－１６．［４］芦静．从二项式分布理解抛硬币试验［Ｊ］．数学通报，２０１５（４）：３２－３４．［５］钱敏平，龚光鲁，陈大岳，等．应用随机过程［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１１．［６］何书元．随机过程［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００８．。
概率论与数理统计初步(第一节随机事件与概率)－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－第七章概率论与数理统计初步第一节随机事件与概率1．1 随机试验与随机事件1．随机现象与随机试验自然界和社会上发生的现象是多种多样的。
有一类现象在一定的条件下必然发生或必然不发生，称为确定性现象。
例如，沿水平方向抛出的的物体，一定不作直线运动。
另一类现象却呈现出非确定性。
例如，向地面抛一枚硬币，其结果可能是“正面向上”，也可能是“反面向上”。
又如在有少量次品的一批产品中任意地抽取一件产品，结果可能抽得一件正品，也可能是抽得一件次品。
这类现象可看作在一定条件下的试验或观察，每次试验或观察的可能结果不止一个，而且在每次试验或观察前无法事先知道确切的结果。
人们发现，这类现象虽然在每次试验或观察中具有不确定性，但在大量重复试验或观察中，其结果却呈现某种固定的规律性，即统计规律性，称这类现象为随机现象。
概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。
定义1 在概率统计中，我们把对随机现象的一次观测称为一次随机实验，简称试验。
概率论中研究的试验具有如下特点：（1）可以在相同的条件下重复进行；（2）每次试验的结果具有多种可能，并且事先能明确试验的所有可能结果；（3）每次试验之前不能确定该次试验将出现哪种结果。
例1 掷一枚均匀了，观察出现的点数。
试验的所有可能的结果有6个：出现点1，出现点2，出现点3，出现点4，出现点5，出现点6。
分别用1，2，3，4，5，6表示。
例2 将一枚均匀的硬币抛掷两次，观察出现正面、反面的情况。
试验的所有可能结果有4个：两次都出现正面，两次都出现反面，第一次出现正面而第二次出现反面，第一次出现反面而第二次出现正面。
分别用“正正”、“反反”、“正反”、“反正”表示。
2．随机事件在随机试验中，每一个可能的基本结果称为这个试验的一个基本事件。
全体基本事件的集合称为这个试验的样本空间，记为Ω。
