[数学]-专题41 含绝对值的一次函数(原版)

一次函数知识点总结一次函数是数学中非常重要的一个概念，它在解决实际问题和数学理论中都有着广泛的应用。

下面我们就来详细总结一下一次函数的相关知识点。

一、一次函数的定义一般地，形如 y ＝ kx ＋ b（k，b 是常数，k ≠ 0）的函数，叫做一次函数。

当 b ＝ 0 时，即 y ＝ kx（k 为常数，k ≠ 0），这时称 y 是 x的正比例函数。

这里要注意的是，一次函数的表达式中，x 的次数为 1，且系数 k不能为 0。

如果 x 的次数不是 1 或者 k 为 0，那就不是一次函数。

二、一次函数的图像一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图像是一条直线。

当 k ＞ 0 时，直线从左到右上升；当 k ＜ 0 时，直线从左到右下降。

b 的值决定了直线与 y 轴的交点。

当 b ＞ 0 时，直线与 y 轴交于正半轴；当 b ＜ 0 时，直线与 y 轴交于负半轴；当 b ＝ 0 时，直线经过原点。

例如，函数 y ＝ 2x ＋ 1，k ＝ 2 ＞ 0，直线上升，b ＝ 1 ＞ 0，与 y 轴交于正半轴。

三、一次函数的性质1、当 k ＞ 0 时，y 随 x 的增大而增大；当 k ＜ 0 时，y 随 x 的增大而减小。

2、直线 y ＝ kx ＋ b 与 x 轴的交点坐标为（ b ／ k ，0 ）。

四、一次函数的解析式的确定通常我们可以使用待定系数法来确定一次函数的解析式。

具体步骤如下：1、设出一次函数的解析式 y ＝ kx ＋ b 。

2、根据已知条件列出关于 k、b 的方程组。

3、解方程组，求出 k、b 的值。

例如，已知一次函数经过点（1，3）和（ 1， 1），设解析式为 y ＝ kx ＋ b，将两点坐标代入可得：＼＼begin{cases}k ＋ b ＝ 3 ＼＼k ＋ b ＝ 1＼end{cases}＼解这个方程组，可得 k ＝ 2，b ＝ 1，所以解析式为 y ＝ 2x ＋ 1 。

五、一次函数与方程、不等式的关系1、一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图像与 x 轴的交点的横坐标，就是方程kx ＋ b ＝ 0 的解。

含绝对值函数综合问题一、含绝对值函数的最值1、含一个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）()||f x x =的图像是以原点为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点处取得最小值“(0)0f =”，无最大值；在函数(,0],[0,)x ∈-∞↓+∞↑；对称轴为：0x =（2）()||(0)f x kx b k =+≠图像是以(,0)b k-为顶点的“V ”字形图像；在顶点取得最小值：“()0b f k -=”，无最大值；函数在(,],[,)b b x k k ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：b x k=- （3）函数()||(0)f x k x b k =+≠： 0k >时，函数是以(,0)b -为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点取得最小值：“()0f b -=”，无最大值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：x b =-0k <时，是以(,0)b -为顶点的倒“V ”字形图像，函数在顶点取得最大值：“()0f b -=”，无最小值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↑-+∞↓；对称轴为：x b =-2、含两个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）函数()||||()f x x m x n m n =-+-<的图像是以点(,),(,)A m n m B n n m --为折点的“平底形”图像；在[,]x m n ∈上的每点，函数都取得最小值n m -，无最大值；函数在(,],[,)x m x n ∈-∞↓∈+∞↑ ，在[,]x m n ∈无单调性；对称轴为2m n x +=。

（2）函数()||||f x x m x n =---： 当m n >时，()f x 是以点(,),(,)A m n m B n m n --为折点的“Z 字形”函数图像；在(,]x n ∈-∞上的每点，函数都取得最大值m n -，在[,)x m ∈+∞上的每点，函数都取得最小值n m -；函数在[,]x n m ∈↓，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为(,0)2m n +； 当n m >时，()f x 是以点(,),(,)A m m n B n n m --为折点的“反Z 字形”函数图像； 在(,]x m ∈-∞上的每点，函数都取得最小值m n -，在[,)x n ∈+∞上的每点，函数都 取得最大值n m -；函数在[,]x m n ∈↑，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为(,0)2m n +； （3）()||||()f x a x m b x n m n =-+-<图像是以(,()),(,())A m f m B n f n 为折点的折线。

初中数学《一次函数》全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一次函数是初中数学中的一个重要知识点，也是进入代数学习的基础。

学习一次函数不仅可以帮助我们更好地理解数学运算的规律，更有利于我们在实际生活中进行问题的解决和分析。

本文将详细介绍一次函数的定义、性质、图像及应用等内容，希望对初中生了解和掌握一次函数有所帮助。

一次函数是指函数表达式为y=ax+b的函数，其中a和b为常数且a≠0。

a被称为函数的斜率，表示函数图像在横坐标上的变化速率；b被称为函数的截距，表示函数图像与纵坐标轴的交点坐标。

在数学中，一次函数也叫做线性函数，因为它的图像是一条直线。

一次函数的图像是一条具有一定斜率和截距的直线。

当a>0时，函数图像是递增的；当a<0时，函数图像是递减的。

斜率的绝对值越大，函数图像的倾斜程度就越大；截距的绝对值越大，函数图像与纵坐标轴的距离就越远。

一次函数在实际生活中有着广泛的应用。

某商品的售价与销量之间的关系就可以用一次函数来描述；某公司的收入与支出之间的关系也可以用一次函数来描述。

通过分析这些函数，我们可以更好地预测未来的趋势，帮助做出更明智的决策。

在学习一次函数时，我们需要掌握一些基本的性质和运算规律。

两条直线平行的条件是它们的斜率相等，截距不相等；两条直线垂直的条件是它们的斜率互为相反数。

我们还需要了解一次函数的表示方法、图像的绘制方法、函数值域和定义域等相关知识，才能更好地理解和运用一次函数。

初中数学《一次函数》是一个重要的知识点，对于学生的数学学习和实际应用都有着重要的意义。

通过认真学习和掌握一次函数的相关内容，我们可以更好地理解数学的规律，提高数学分析和解决问题的能力。

希望同学们能够认真对待一次函数的学习，掌握好基础知识，为将来更深入的数学学习打下坚实的基础。

【作者：初中数学家教老师】第二篇示例：初中数学《一次函数》一次函数是初中数学中的重要概念之一，也是数学学科中的基础知识之一。

含绝对值的一次函数含绝对值的函数问题是近年来高考及县市级统考中的热点问题.由于绝对值本身的意义,解决此类问题一般是需要讨论的.当然,如果我们比较熟悉它,有时可以有比较简单的方法的.解决含绝对值的函数的问题,方法大致有:⑴分类讨论:通过讨论,去掉绝对值符号;⑵数形结合:通过画图,寻求问题的几何意义,从而是比较简单地求解.例1.画出()3|2|1f x x =+-的图像总结：此类绝对值函数的性质与图像特征（V 型或倒V ）；变式1.若函数()||2f x a x b =-+在区间(2,)+∞上为增函数，则实数a,b 的取值范围是________.变式 2.对,a b R ∈，记,max{,},a a b a b b a b≥⎧=≤⎨<⎩，则函数()max{|1|,|2|}()f x x x x R =+-∈的最小值是_________.变式3.已知函数|}||,1min(|)(a x x x f -+=的图像关于直线2=x 对称,则实数a = _______.变式4.y k x a b =--+的图象与y k x c d =-+的图象（0k >且13k ≠）交于两点（2,5），（8,3），则c a +的值是( )A ．7B ．8C ．10D ．13变式5.已知函数()|2|f x x =-，()|3|g x x m =-++，若函数()f x 的图像恒在函数()g x 图像的上方，求m 的取值范围.变式6(2017浙江高考). 17.已知∈a R ，函数()4=+-+f x x a a x 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是例2⑴.画出函数|2||1|)(++-=x x x f 的图像. ⑵.画出函数|2||1|)(+--=x x x f 的图像.⑶.画出函数|2||12|)(++-=x x x f 的图像. ⑷.画出函数|2||12|)(+--=x x x f 的图像.总结：此类绝对值函数的性质与图像特征（U 型或倒U ）；变式1.若函数()|1|||f x x x a =++-的图像关于直线1x =对称，则a 的值为______.变式2设函数()3|4|||f x x x a =-+-，则()f x 的最小值为3，则a =________.变式3若关于x 的不等式|1||2|x x a ---<的解集为R ，求a 的取值范围；变式4.函数()()(2)f x x a x a x =+-+-的图象为中心对称图形，则实数a 的值为 .变式 5.将函数1112122y x x =-+-+的图像绕原点顺时针方向旋转角02πθθ≤≤（）得到曲线C .若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则θ的取值范围是 ．参考答案:例1.画出()3|2|1f x x =+-的图像总结：归纳此类绝对值函数的性质与图像特征（V 型或倒V ）；变式1.若函数()||2f x a x b =-+在区间(2,)+∞上为增函数，则实数a,b 的取值范围是________. 0,2a b >≤变式 2.对,a b R ∈，记,max{,},a a b a b b a b ≥⎧=≤⎨<⎩，则函数()max{|1|,|2|}()f x x x x R =+-∈的最小值是_________. 32变式3.已知函数|}||,1min(|)(a x x x f -+=的图像关于直线2=x 对称,则实数a = _________. 5变式4.y k x a b =--+的图象与y k x c d =-+的图象（0k >且13k ≠）交于两点（2,5），（8,3），则c a +的值是( )A ．7B ．8C ．10D ．13C变式5.已知函数()|2|f x x =-，()|3|g x x m =-++，若函数()f x 的图像恒在函数()g x 图像的上方，求m 的取值范围.m<5变式6(2017浙江高考). 17.已知∈a R ，函数()4=+-+f x x a a x在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是9-，2⎛⎤∞ ⎥⎝⎦ 例2⑴.画出函数|2||1|)(++-=x x x f 的图像. ⑵.画出函数|2||1|)(+--=x x x f 的图像. ⑶.画出函数|2||12|)(++-=x x x f 的图像. ⑷.画出函数|2||12|)(+--=x x x f 的图像.变式1.若函数()|1|||f x x x a =++-的图像关于直线1x =对称，则a 的值为______.3变式2设函数()3|4|||f x x x a =-+-，则()f x 的最小值为3，则a =________. 17或变式3若关于x 的不等式|1||2|x x a ---<的解集为R ，求a 的取值范围；1a >变式4.函数()()(2)f x x a x a x =+-+-的图象为中心对称图形，则实数a 的值为 . 32- 变式 5.将函数1112122y x x =-+-+的图像绕原点顺时针方向旋转角02πθθ≤≤（）得到曲线C .若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则θ的取值范围是 ．[0,)4π。

一次函数知识点及其典型例题一次函数是数学中的基础概念之一。

其中，变量是在一个变化过程中可以取不同数值的量，而常量则是在一个变化过程中只能取同一数值的量。

例如，在匀速运动公式s=vt中，速度v和时间t是变量，路程s是常量。

在圆的周长公式C=2πr 中，周长C是常量，半径r是变量。

函数是指在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

判断y是否为x的函数，只需要看x取值确定的时候，y是否有唯一确定的值与之对应。

例如，y=πx、y=2x-1、y=-3x+2、y=x-1都是一次函数。

对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像。

画一次函数图像的一般步骤是：第一步，列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步，描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步，连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

函数的表示方法有三种：列表法、解析式法和图象法。

列表法一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

正比例函数是一种特殊的一次函数，其一般形式为y=kx（k是常数，k≠0）。

其中，k叫做比例系数。

当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小。

正比例函数必过点（0,0）和（1,k）。

1.若y=x+2-3b是正比例函数，则b的值是（）A。

一次函数知识点汇总一、一次函数的概念。

1. 定义。

- 一般地，形如y = kx + b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。

当b = 0时，y=kx（k为常数，k≠0），y = kx叫做正比例函数，它是一种特殊的一次函数。

2. 自变量的取值范围。

- 自变量x的取值范围是全体实数。

但在实际问题中，要根据具体情况确定自变量的取值范围。

例如，在计算长方形周长y = 2(x + 3)（设长为x，宽为3），x的取值范围是x>0。

二、一次函数的图象。

1. 图象的形状。

- 一次函数y = kx + b（k≠0）的图象是一条直线。

- 由于两点确定一条直线，所以画一次函数图象时，只要先描出两点，再连成直线即可。

通常选取(0,b)和(-(b)/(k),0)（k≠0）这两点。

2. 图象的性质。

- k的作用。

- 当k>0时，直线y = kx + b从左向右上升，y随x的增大而增大。

例如y = 2x+1，k = 2>0，当x = 1时，y=3；当x = 2时，y = 5，y随着x的增大而增大。

- 当k<0时，直线y = kx + b从左向右下降，y随x的增大而减小。

例如y=-3x + 2，k=-3<0，当x = 1时，y=-1；当x = 0时，y = 2，y随着x的增大而减小。

- b的作用。

- b是直线y = kx + b与y轴交点的纵坐标。

当b>0时，直线与y轴交于正半轴；例如y = x+3，b = 3，直线与y轴交于点(0,3)。

- 当b<0时，直线与y轴交于负半轴；例如y = 2x - 1，b=-1，直线与y轴交于点(0, - 1)。

- 当b = 0时，直线过原点，此时函数为正比例函数。

例如y = 3x，图象过原点(0,0)。

三、一次函数的解析式的确定。

1. 待定系数法。

- 一般步骤：- 设出含有待定系数的函数解析式，例如设一次函数解析式为y = kx + b。

- 把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于待定系数的方程（组）。

含绝对值函数的图象【基础内容与方法】1.绝对值在自变量上，则去掉函数y 轴左边的图像，再把y 轴右边的图像沿y 轴翻折得到新的图像；2.绝对值在函数解析式上，把x 轴下方的图像沿x 轴翻折得到新的图像；3.同时，函数图像也遵循平移的原则. 类型一：含绝对值的一次函数 1．已知函数+2y k x b =+的图象经过点（2-，4）和（6-，2-），完成下面问题： （1）求函数+2y kx b =+的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数1+12y x =的图象如图所示，结合你所画出+2y k x b =+的图象，直接写出1+2+12kx b x +＞的解集．【答案】（1）3242y x =-++；（2）当2x <-时，y 随x 增大而增大；当2x >-时，y 随x 增大而减少；（3）60x -<<．【解析】（1）根据在函数+2y k x b =+中，把点（2-，4）和（6-，2-）代入，可以求得该函数的表达式；（2）根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象，根据函数图像增减性几块得出结论；（3）根据图象可以直接写出所求不等式的解集．解：（1）根据题意，得4622=⎧⎨⋅-++=-⎩b k b解方程组，得324⎧=-⎪⎨⎪=⎩k b 所求函数表达式为3242y x =-++．（2）列表如下：描点并连线,函数的图象如图所示，由图像可知，3242y x =-++性质为：当2x <-时，y 随x 增大而增大；当2x >-时，y 随x 增大而减少．（3）由图象可知：1+2+12kx b x +＞的解集是：60x -<<．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．类型二：含绝对值的二次函数 （一）绝对值在自变量上2．某班“数学兴趣小组”对函数y ＝﹣x 2+2|x |+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：其中，m ＝ ．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现：①方程﹣x 2+2|x |+1＝0有 个实数根；②关于x 的方程﹣x 2+2|x |+1＝a 有4个实数根时，a 的取值范围是 ．【答案】（1）1；（2）详见解析；（3）①函数的最大值是2，没有最小值；②当x ＞1时，y随x的增大而减小；（4）①2；②1＜a＜2．【解析】（1）根据对称可得m=1；（2）画出图形；（3）①写函数的最大值和最小值问题；②确定一个范围写增减性问题；（4）①当y=0时，与x轴的交点有两个，则有2个实数根；②当y=a时，有4个实根，就是有4个交点，确定其a的值即可．解：（1）由表格可知：图象的对称轴是y轴，∴m＝1，故答案为：1；（2）如图所示；（3）性质：①函数的最大值是2，没有最小值；②当x＞1时，y随x的增大而减小；（4）①由图象得：抛物线与x轴有两个交点∴方程﹣x2+2|x|+1＝0有2个实数根；故答案为2；。

最全一次函数图像专题(带解析)完整版.doc最全一次函数图像专题(带解析)完整版一次函数也称为一次方程或线性方程，是数学中的重要概念。

在本专题中，我们将详细讨论一次函数的图像及相关概念和性质。

一、一次函数的定义与性质一次函数是指形如y = kx + b的函数，其中k和b为常数，k 称为斜率，b称为截距。

一次函数的图像是一条直线，其斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与y轴的交点位置。

二、一次函数的图像特征1. 斜率k的正负决定了直线的倾斜方向。

当k为正数时，直线向右上方倾斜；当k为负数时，直线向右下方倾斜。

2. 斜率k的绝对值决定了直线的倾斜程度。

绝对值越大，倾斜程度越大。

3. 当k为0时，直线为水平线；当k不存在时，直线为竖直线。

三、一次函数图像的基本形状1. 当k>0时，直线从左下方向右上方倾斜。

2. 当k=1时，直线为45°斜线。

3. 当k=-1时，直线为水平斜线。

4. 当k=0时，直线为水平线。

5. 当k不存在时，直线为竖直线。

四、一次函数的图像平移1. 沿x轴平移的结果：将y = kx + b中的b替换为b'，则得到的函数为y = kx + b'。

平移后的直线与原直线平行，斜率不变，但截距发生了变化。

2. 沿y轴平移的结果：将y = kx + b中的k替换为k'，则得到的函数为y = k'x + b。

平移后的直线与原直线平行，截距不变，但斜率发生了变化。

五、一次函数的图像伸缩1. 垂直伸缩的结果：将y = kx + b中的k替换为ak，其中a 为正数。

当a>1时，直线变得更陡峭；当0<a<1时，直线变得更平缓。

2. 水平伸缩的结果：将y = kx + b中的x替换为x/a，其中a为正数。

当a>1时，直线变得更平缓；当0<a<1时，直线变得更陡峭。

六、一次函数的解析法与图像的关系1. 斜率k的正负决定了图像的倾斜方向。

一次函数知识点总结一次函数，即一元一次方程，是数学中常见的函数形式。

它的特点是变量的最高次数为1，表示为y = ax + b的形式，其中a和b是实数常数。

本文将对一次函数的基本概念、性质及应用进行总结。

一、一次函数的定义及特点一次函数是指变量的最高次数为1的函数，通常表示为y = ax + b。

其中，a称为一次项系数，b称为常数项。

1. 一次函数的定义域和值域一次函数的定义域为整个实数集，即(-∞, +∞)。

其值域同样为整个实数集，即(-∞, +∞)。

2. 一次函数的图像特点一次函数的图像是一条直线。

当a > 0时，表示直线为正斜率，斜率越大，直线越陡；当a < 0时，表示直线为负斜率，斜率越小，直线越陡峭；当a = 0时，表示直线为水平线。

3. 一次函数的斜率和截距斜率是一次函数中的重要概念，表示函数图像上两个点间的垂直距离与水平距离的比值。

对于一次函数y = ax + b来说，斜率为a。

截距则表示直线与y轴的交点，在一次函数中即b。

二、一次函数的性质1. 一次函数的单调性一次函数的单调性取决于其斜率的正负性。

当a > 0时，函数单调递增；当a < 0时，函数单调递减。

2. 一次函数的零点一次函数的零点是指函数值等于零的x值。

对于一次函数y = ax + b 来说，其零点为-x = b / a。

3. 一次函数的最值一次函数的最值即函数的最大值和最小值。

对于一次函数而言，由于其斜率始终为常数，所以不存在最值。

三、一次函数的应用1. 直线方程的求解一次函数可用于求解直线方程。

假设已知通过两个点P（x1, y1）和Q（x2, y2），可根据两点式直线方程求解。

首先根据两点间的差值确定斜率a，然后再利用一次函数的形式求解常数项b。

2. 经济学中的线性关系一次函数常用于经济学中建立线性关系模型。

例如，将总收入与销售数量之间的关系表示为一次函数，可以帮助经济学家预测在不同销售情况下的总收入。

初中数学《一次函数》
一次函数是代数中的一个基本概念，也称为线性函数。

它表示为 y = mx + b，其中 m 和 b 是常数，x 是变量。

以下是一些关于一次函数的重要知识点：
斜率（m）：一次函数的斜率表示函数图像的倾斜程度或方向。

斜率等于直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。

在一次函数的标准形式 y = mx + b 中，m 就是斜率。

截距（b）：一次函数的截距表示直线与y 轴相交的点的纵坐标值，也就是当 x = 0 时，函数的值。

函数图像：一次函数的图像为一条直线。

斜率决定了直线的倾斜方向和陡峭程度，而截距决定了直线在 y 轴上的位置。

平行和垂直线：如果两条一次函数的斜率相等，它们是平行线；如果两条一次函数的乘积为 -1，它们是垂直线。

求解方程：一次函数常常用于求解方程。

例如，给定一次函数 y = 3x + 2，要求解 y = 0 时的 x 值，只需将 y 置为 0，并解方程 0 = 3x + 2，得到 x = -2/3。

函数关系：一次函数可以表示许多实际问题中的线性关系，例如速度和时间之间的关系、成本和产量之间的关系等。

通过确定斜率和截距，可以根据题目给定的条件建立一次函数模型，进而解决相关的问题。

这些是初中数学中关于一次函数的一些基本概念和应用。

通过理解和掌握这些知识点，可以帮助学生在数学学习中更好
地理解和应用一次函数的相关概念和方法。

绝对值函数和一次函数比较大小k的范围
绝对值函数和一次函数比较大小的范围
在数学中，绝对值函数和一次函数是两种常见的函数形式。

它们在图像上有着明显的差异，因此我们可以通过比较它们的特点来确定它们的大小范围。

我们来看一次函数。

一次函数的一般形式可以表示为y = kx + b，其中k和b为常数。

一次函数的图像是一条直线，斜率k决定了直线的倾斜程度，而截距b则决定了直线与y轴的交点位置。

接下来，我们来看绝对值函数。

绝对值函数的一般形式可以表示为
y = |x|。

绝对值函数的图像是以原点为中心的V形曲线。

与一次函数相比，绝对值函数没有斜率和截距的概念，因为它不会倾斜或平移。

要比较绝对值函数和一次函数的大小范围，我们可以关注它们的图像特点。

首先，绝对值函数的值始终为非负数，即y >= 0。

而一次函数的值可以是任意实数。

因此，对于任意x值，绝对值函数的值都不会小于一次函数的值。

我们还可以通过观察斜率来比较两个函数的大小范围。

一次函数的斜率k可以决定函数的增减性。

当k大于0时，一次函数是增函数；当k小于0时，一次函数是减函数。

而绝对值函数则没有斜率的概念，它在x = 0处有一个转折点，即在x = 0附近由减变增。

因此，
无论一次函数的斜率是正还是负，绝对值函数的值始终大于一次函数。

绝对值函数的值始终大于一次函数的值，且绝对值函数的值始终为非负数。

因此，绝对值函数和一次函数的大小范围是不同的。

绝对值函数的值范围为[0, +∞)，而一次函数的值范围为(-∞, +∞)。

一次函数所有知识点初中一次函数是初中数学的一个重要概念，以下是关于一次函数的所有知识点：1. 一次函数定义：若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx+b（k、b 为常数，k ≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x是自变量，y是因变量）。

特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。

2. 一次函数的图像：一次函数y=kx+b的图象是经过点（0，b），（-b/k，0）的一条直线，正比例函数y=kx的图象是经过原点（0，0）的一条直线。

3. 一次函数的性质：当k >0时，y的值随x的值增大而增大；当k<0时，y的值随x值的增大而减小。

4. k、b如何影响图像位置：当k>0，b>0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）。

当k>0，b<0时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）。

当k<0，b>0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）。

当k<0，b<0时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）。

5. 正比例函数y=kx（k≠0）的性质：正比例函数y=kx的图象必经过原点。

当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小。

6. 点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系：如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0、y0的值必满足解析式y=kx+b。

如果x0、y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0、y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上。

7. 确定正比例函数及一次函数表达式的条件：由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x、y的值或一个点）就可求得k的值。

由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k、b，需要两个独立的条件确定两个关于k、b的方程，求得k、b的值，这两个条件通常是两个点或两对x、y的值。

初中数学一次函数知识点总结示例文章篇一：嘿，同学们！今天咱们来好好聊聊初中数学里的一次函数！你们说，数学是不是像个神秘的魔法世界呀？而一次函数，就是这个魔法世界里的一个超级有趣的魔法咒语！啥是一次函数呢？简单来说，就是形如y = kx + b （k、b 为常数，k≠0）的式子。

这就好比是一辆车，k 就是车的速度，b 就是出发时的初始位置。

比如说，y = 2x + 1 ，这里的2 就是速度，1 就是初始位置。

那咱们来想象一下，如果x 表示时间，y 表示咱们走过的路程。

速度是2 ，就意味着每过1 个单位的时间，咱们就走2 个单位的路程。

初始位置是1 ，就好像咱们一开始就已经在1 这个位置上啦！这难道不神奇吗？再看看一次函数的图像，那可是一条直直的线呐！就像咱们直直地走向目标一样。

当k 大于0 的时候，这条线就像一个积极向上的小伙伴，一直往上升；当k 小于0 的时候，它又像个有点小失落的朋友，一直往下走。

比如说，y = 3x - 2 ，k 是3 大于0 ，图像就是上升的，咱们的路程就越来越多啦！要是y = -2x + 5 ，k 是-2 小于0 ，图像就下降，是不是很形象？一次函数在生活里的用处可大啦！咱们去买东西算价格，算路程和时间，都能用到它。

有一次，我和小伙伴去买文具，一支笔2 块钱，不就是y = 2x 嘛，x 表示买的笔的数量，y 就是花的钱。

我就跟小伙伴说：“这就是一次函数呀！”小伙伴惊讶地说：“哇，原来数学就在咱们身边！”还有啊，咱们跑步的时候，速度不变，时间和跑的距离不也是一次函数的关系吗？所以说，一次函数真的是太重要啦！它就像我们的好朋友，一直陪伴着我们解决生活中的各种问题。

同学们，你们是不是也觉得一次函数很有趣呢？是不是也发现它在我们的生活中无处不在呢？反正我是深深地被它吸引啦！我的观点就是：一次函数不仅是数学里的重要知识，更是我们生活中的好帮手，咱们可得好好掌握它！示例文章篇二：哎呀呀，说到初中数学的一次函数，那可真是让我又爱又恨呀！你知道吗？一次函数就像是我们生活中的小火车，沿着特定的轨道一路前行。

专题40 代数综合压轴题（原卷版）类型一配方法的应用1．（2022•南京模拟）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：阅读材料：若m2﹣2mm+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．2．（2022秋•和平区校级期末）已知多项式A＝2x2+my﹣12，B＝nx2﹣3y+6．（1）若（m+2）2+|n﹣3|＝0，化简A﹣B；（2）若A+B的结果中不含有x2项以及y项，求m+n+mn的值．3．已知a+b+c＝1，b2+c2﹣4ac+6c+1＝0，求abc的值．类型二一元二次方程与二次函数的综合4．（2011•东城区二模）已知关于x的一元二次方程x2+2ax+b2＝0，a＞0，b＞0．（1）若方程有实数根，试确定a，b之间的大小关系；（2）若a：b＝2：√3，且2x1﹣x2＝2，求a，b的值；（3）在（2）的条件下，二次函数y＝x2+2ax+b2的图象与x轴的交点为A、C（点A在点C的左侧），与y轴的交点为B，顶点为D．若点P（x，y）是四边形ABCD边上的点，试求3x﹣y的最大值．5．（2021秋•沙市区校级期中）已知：关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1＝0（m为实数）．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1总过x轴上的一个固定点．类型三含参二次函数6．（2021•邯郸模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）．（1）若抛物线过点A（﹣1，6），求出抛物线的解析式；（2）当1≤x≤5时，y的最小值是﹣1，求1≤x≤5时，y的最大值；（3）已知直线y＝﹣x+1与抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）存在两个交点，若两交点到x轴的距离相等，求a的值；（4）如图2，作与抛物线G关于x轴对称的抛物线G'，当抛物线G与抛物线G'围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．7．（2022•河南模拟）已知二次函数y＝（t+1）x2+2（t+2）x+32在x＝0和x＝2时的函数值相等．（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A（﹣3，m），求m和k的值；（3）把二次函数的图象与x轴两个交点之间的部分记为图象G，把图象G向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为M，请结合图象回答：当（2）中得到的直线与图象M有公共点时，求n的取值范围．8．已知抛物线y＝mx2+（3﹣2m）x+m﹣2（m≠O）与x轴有两个不同的交点．（1）求m的取值范围；（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；（3）当m＝1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′，Q，P三点，画出抛物线草图．9．（2020•西青区二模）已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．（I）当a＝1时，求抛物线的顶点坐标及对称轴；（II）①试说明无论a为何值，抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；②将该抛物线沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C1，直接写出C1的解析式；（III）若（II）中抛物线C1的顶点到x轴的距离为2，求a的值．类型四二次函数与几何综合10．（2022•东海县一模）如图，已知抛物线y=−12x2+32x+2与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．（1）则点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为；（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）（其中x1＞x2）都在抛物线y=−12x2+32x+2上，若x1+x2＝1，请证明：y1＞y2；（3）已知点M是线段BC上的动点，点N是线段BC上方抛物线上的动点，若∠CNM＝90°，且△CMN与△OBC相似，试求此时点N的坐标．11．（2021秋•越秀区校级期中）已知抛物线y＝x2+2ax+a2﹣2（a为常数）．（1）求证：无论a取任何实数，此抛物线与x轴总有两个不相同的交点；（2）抛物线与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，抛物线顶点为点D．①若x1，x2是直角三角形两条直角边的长，该直角三角形斜边长为4，求a的值；②点E在抛物线对称轴上，△BDE是等腰三角形，求出点E的纵坐标．类型五一次函数与二次函数的综合实际应用12．（2022•铁西区二模）某商家经销一种绿茶，已知绿茶每千克成本50元，在第一个月的试销时间内发现，销量随销售单价的变化而变化，具体变化规律如表：…70758085…x…销售单价（元/千克）…1009080……月销售量（千克）（1）请根据上述关系，完成表格．（2）用含有×的代数式表示月销售利润；并利用配方法求月销售利润最大值；（3）在第一个月里，按月销售利润取最大值时的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元；且加上其他费用3000元．若商家要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？类型六绝对值概念的应用13．（2021秋•姜堰区期中）【阅读】已知m、n两个数在数轴上对应的点为M、N，其中m＞n，求M、N 两点之间的距离MN．小明利用绝对值的概念，结合数轴，进行探索：解：因为m＞n，所以有以下情况：情况1：若m＞0，n＞0，如图①，M、N两点之间的距离MN＝|m|﹣|n|＝m﹣n；情况2：若m≥0，n＜0，如图②，M、N两点之间的距离MN＝|m|+|n|＝m﹣n；情况3：若m＜0，n＜0，如图③，M、N两点之间的距离MN＝|n|﹣|m|＝m﹣n．由此小明得出结论：若m、n两个数在数轴上对应的点为M、N，其中m＞n，则M、N两点之间的距离MN＝m﹣n．【应用】在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C对应的数为c．（1）若b＝1，AB＝2，则a＝．（2）若a＝﹣2，b＝4，点C到点A的距离是点C到点B距离的n（n＞0）倍．①当n=12时，求c的值；②对于任意一个n的值，满足条件的点C的个数始终有2个，请直接写出n取值范围．（3）若a+b＝﹣5，且a、b为整数，当ab的值最大时，求A、B两点之间的距离AB．。

高中数学人教A版必修一1.1函数的表示：含绝对值的一次函数含绝对值的一次函数含绝对值的函数问题是近年来高考及县市级统考中的热点问题.由于绝对值本身的意义,解决此类问题一般是需要讨论的.当然,如果我们比较熟悉它,有时可以有比较简单的方法的.解决含绝对值的函数的问题,方法大致有:⑴分类讨论:通过讨论,去掉绝对值符号;⑵数形结合:通过画图,寻求问题的几何意义,从而是比较简单地求解.例1.画出()3|2|1f x x =+-的图像总结：此类绝对值函数的性质与图像特征（V 型或倒V ）；变式1.若函数()||2f x a x b =-+在区间(2,)+∞上为增函数，则实数a,b 的取值范围是________.变式 2.对,a b R ∈，记,max{,},a a b a b b a b≥?=≤?变式3.已知函数|}||,1min(|)(a x x x f -+=的图像关于直线2=x 对称,则实数a = _______.变式4.y k x a b =--+的图象与y k x c d =-+的图象（0k >且13 k ≠）交于两点（2,5），（8,3），则c a +的值是( )A ．7B ．8C ．10D ．13变式5.已知函数()|2|f x x =-，()|3|g x x m =-++，若函数()f x 的图像恒在函数()g x 图像的上方，求m 的取值范围.变式6(2017浙江高考). 17.已知∈a R ，函数()4=+-+f x x a a x 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是例2⑴.画出函数|2||1|)(++-=x x x f 的图像. ⑵.画出函数|2||1|)(+--=x x x f 的图像.⑶.画出函数|2||12|)(++-=x x x f 的图像. ⑷.画出函数|2||12|)(+--=x x x f 的图像.总结：此类绝对值函数的性质与图像特征（U 型或倒U ）；变式1.若函数()|1|||f x x x a =++-的图像关于直线1x =对称，则a 的值为______.变式2设函数()3|4|||f x x x a =-+-，则()f x 的最小值为3，则a =________.变式3若关于x 的不等式|1||2|x x a ---<的解集为R ，求a 的取值范围；变式4.函数()()(2)f x x a x a x =+-+-的图象为中心对称图形，则实数a 的值为 .变式 5.将函数1112122y x x =-+-+的图像绕原点顺时针方向旋转角02πθθ≤≤（）得到曲线C .若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则θ的取值范围是．参考答案:例1.画出()3|2|1f x x =+-的图像总结：归纳此类绝对值函数的性质与图像特征（V 型或倒V ）；变式1.若函数()||2f x a x b =-+在区间(2,)+∞上为增函数，则实数a,b 的取值范围是________. 0,2a b >≤变式 2.对,a b R ∈，记,max{,},a a b a b b a b ≥?=≤?，则函数()max{|1|,|2|}()f x x x x R =+-∈的最小值是_________. 32变式3.已知函数|}||,1min(|)(a x x x f -+=的图像关于直线2=x 对称,则实数a = _________. 5变式4.y k x a b =--+的图象与y k x c d =-+的图象（0k >且13 k ≠）交于两点（2,5），（8,3），则c a +的值是( )A ．7B ．8C ．10D ．13C变式5.已知函数()|2|f x x =-，()|3|g x x m =-++，若函数()f x 的图像恒在函数()g x 图像的上方，求m 的取值范围.m<5变式6(2017浙江高考). 17.已知∈a R ，函数()4=+-+f x x a a x在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是9-，2??∞ 例2⑴.画出函数|2||1|)(++-=x x x f 的图像. ⑵.画出函数|2||1|)(+--=x x x f 的图像. ⑶.画出函数|2||12|)(++-=x x x f 的图像. ⑷.画出函数|2||12|)(+--=x x x f 的图像.变式1.若函数()|1|||f x x x a =++-的图像关于直线1x =对称，则a 的值为______.3变式2设函数()3|4|||f x x x a =-+-，则()f x 的最小值为3，则a =________. 17或变式3若关于x 的不等式|1||2|x x a ---<的解集为R ，求a 的取值范围；1a >变式4.函数()()(2)f x x a x a x =+-+-的图象为中心对称图形，则实数a 的值为 . 32- 变式 5.将函数1112122y x x =-+-+的图像绕原点顺时针方向旋转角02πθθ≤≤（）得到曲线C .若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则θ的取值范围是．[0,)4π。

专题14 一次函数、反比例函数、二次函数的图象共存问题【中考考向导航】目录【直击中考】 (1)【考向一 两条一次函数图象共存问题】 (1)【考向二 一次函数与反比例函数图象共存问题】 (3)【考向三 一次函数与二次函数的图象共存问题】 (7)【考向四 一次函数、反比例函数、二次函数的图象共存问题】 (10)【直击中考】【考向一 两条一次函数图象共存问题】 例题：（2022·安徽·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数2y ax a =+与2y a x a =+的图像可能是（ ） A ．B ．C ．D ． 【变式训练】1．（2023春·全国·八年级开学考试）已知函数y kx b =+的图象如图所示，则函数y bx k =-+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2020秋·甘肃兰州·八年级校考期中）已知一次函数1y mx n =+与正比例函数2y mnx =（m ，n 为常数，0mn ≠），则函数1y 与2y 的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．（2021春·广西南宁·八年级南宁市第四十七中学校考期中）两个一次函数1y ax b 与2y bx a ，它们在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【考向二 一次函数与反比例函数图象共存问题】A ．B ．C ．D ．【变式训练】A．B．C．D．A．B．C．D．A．B．C．D．A．B．C．D．A．①②B．②③C．②④D．①④A．B．C．D．A．B．C．D．A．B．C．D．例题：（2022春·九年级课时练习）函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．【变式训练】1．（2022春·九年级课时练习）已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（）A．B．C．D．=-2．（2023·全国·九年级专题练习）二次函数2=-+与一次函数y ax k(2)y a x k在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ） A ．B ．C ．D ． 3．（2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习）如果二次函数2y ax c =+的图象如图所示，那么一次函数y ax c =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2022秋·黑龙江·九年级统考期中）函数y ＝ax －a 和22y ax =+（a 为常数，且0a ≠），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【考向四一次函数、反比例函数、二次函数的图象共存问题】A．B．C．D．【变式训练】A．B．C．D．A．B．C．D．A．B．C．D．A．B．C．D．A．B．C．D．A．B．C．D．A．B．C．D．。

作一次含有的绝对值函数的图像我们知道一次函数的图像是一条直线，若函数中含有绝对值，它的图像又会是怎样的呢？下面我们一起来进行探究。

根据绝对值的概念：正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；负数的绝对值等于它的相反数。

我们把使绝对值式子为零的字母（自变量）的值叫做绝对值的零点。

例1：作函数33--=x y 的图像。

分析：由绝对值的概念知，3-x 的零点为3=x 。

当3≥x 时，6+-=x y ；当3<x 时，x y =，将原函数分成两段。

因此，我们根据x 的取值范围，分别作出对应的图像。

解：由题可知：绝对值的零点是3=x 。

函数⎩⎨⎧+-=6x xy )3()3(≥<x x函数33--=x y 的图像为例2：作函数112++-=x x y 的图像。

分析：由012=-x ，01=+x 得零点有21,1-=x 。

当1-≤x 时，x x x y 3112-=--+-=；当211≤<-x 时，2112+-=+++-=x x x y ；当21>x 时，x x x y 3112=++-=； 解：由题可知：绝对值的零点有21,1-=x 。

可将函数分成三段。

函数⎪⎩⎪⎨⎧+--=xx xy 323 )21()211()1(>≤<--≤x x x其图像如图所示：例3：求由1-=x y 的图像与2=y 的图像围成的图形的面积。

分析：此函数含有两重绝对值，里层x 的零点是0，外层1-x 的零点是1，-1，三个零点将的x 取值分为四段。

解：由题可知：绝对值的零点有1,0,1-=x 。

可将函数分成三段。

函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+--=1111x x x x y)1()10()01()1(>≤<≤<--≤x x x x与2=y 的图像如图所示：所求面积可以看作一个等腰直角三角形挖去一个小正方形。

因此，该图形的面积为：72922213621=-=⨯⨯-⨯⨯。

作含有绝对值的一次函数的图像，首先要找出其零点；然后根据零点将函数化为分段函数；再分段画出其对应的函数图像。