2018版高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理(二)学案新人教B版必修5

1.1.2 余弦定理课时过关·能力提升1已知在△ABC 中,a ∶b ∶c=1∶1∶√3,则cos C 的值为( ) A.23 B.-23C.12D.-122在△ABC 中,若2cos B sin A=sin C ,则△ABC 的形状一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形2cos B sin A=sin C ,得a 2+a 2-a 2aa·a=c , 所以a=b.所以△ABC 为等腰三角形.3已知在△ABC 中,AB=3,BC=√13,AC=4,则边AC 上的高是( ) A.3√22B.3√32C.32D.3√3,得cos A=aa 2+aa 2-aa 22aa ·aa =9+16-132×3×4=12.∴sin A=√32.∴S △ABC =12AB ·AC ·sin A=12×3×4×√32=3√3.设边AC 上的高为h ,则S △ABC =12AC ·h=12×4×h=3√3. ∴h=3√32.4已知在△ABC 中,∠ABC=π4,AB=√2,BC=3,则sin ∠BAC=( ) A.√1010 B.√105C.3√1010D.√55ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos∠ABC=2+9-2×√2×3×√22=5,即得AC=√5.由正弦定理aasin∠aaa =aasin∠aaa,即√5√22=3sin∠aaa,所以sin∠BAC=3√1010.5已知在△ABC中,∠B=60°,b2=ac,则△ABC一定是三角形.B=60°,b2=ac,由余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cos B,得ac=a2+c2-ac,即(a-c)2=0,所以a=c.又∠B=60°,所以△ABC是等边三角形.6已知△ABC的内角∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且3b2+3c2-3a2=4√2bc,则sin A=.7设△ABC的内角∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cos C=14,则sinB=.,得c2=a2+b2-2ab cos C=1+4-2×1×2×14=4,解得c=2,即b=c,故sin B=sin C=√1-(14)2=√154.8如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=2√23,AB=3√2,AD=3,则BD的长为.AD⊥AC,∴∠DAC=π2.∵sin ∠BAC=2√23,∴sin (∠aaa +π2)=2√23,∴cos ∠BAD=2√23.由余弦定理,得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD ·cos∠BAD=(3√2)2+32-2×3√2×3×2√23=3.∴BD=√3. √3 9在△ABC 中,已知∠B=45°,D 是BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求AB 的长.ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理,得cos ∠ADC=aa 2+aa 2-aa 22aa ·aa=100+36-1962×10×6=-12,∴∠ADC=120°,∴∠ADB=60°.在△ABD 中,AD=10,∠B=45°,∠ADB=60°, 由正弦定理,得aa sin∠aaa=aasin a, ∴AB=aa ·sin∠aaasin a=10sin60°sin45°=10×√32√22=5√6.10在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足c=2b cos A. (1)求证:∠A=∠B ;(2)若△ABC 的面积S=152,cos C=45,求c 的值.c=2b cos A ,由正弦定理,得sin C=2sin B ·cos A ,所以sin(A+B )=2sin B ·cos A ,所以sin(A-B )=0.在△ABC 中,因为0<∠A<π,0<∠B<π, 所以-π<∠A-∠B<π,所以∠A=∠B.(1)知a=b.因为cos C=45,又0<∠C<π,所以sin C=35.又因为△ABC 的面积S=152, 所以S=12ab sin C=152,可得a=b=5. 由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=10. 所以c=√10. ★11设△ABC 是锐角三角形,a ,b ,c 分别是内角∠A ,∠B ,∠C 所对的边,并且sin 2A=sin (π3+a )sin (π3-a )+sin 2B.(1)求∠A 的值;(2)若aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12,a=2√7,求b ,c (其中b<c ).因为sin 2A=(√32cos a +12sin a )·(√32cos a -12sin a )+sin 2B=34cos 2B-14sin 2B+sin 2B=34,所以sin A=√32.又∠A 为锐角, 所以∠A=π3.(2)由aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12,可得bc cos A=12.① 由(1)知∠A=π3, 所以bc=24.②由余弦定理知a 2=c 2+b 2-2bc cos A , 将a=2√7及①代入上式,得c 2+b 2=52,③ 由③+②×2,得(b+c )2=100,所以b+c=10. 因此b ,c 是一元二次方程t 2-10t+24=0的两个根. 解此方程并由c>b 知c=6,b=4.。

第一课时 1.2 应用举例（一）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.教学重点：熟练运用正弦定理、余弦定理解答有关三角形的测量实际问题.教学难点：根据题意建立解三角形的数学模型.教学过程：一、复习准备：1.在△ABC 中，∠C ＝60°，a ＋b ＝＋1)，c ＝，则∠A 为 .2.在△ABC 中，sin A ＝sin sin cos cos B C B C++，判断三角形的形状. 解法：利用正弦定理、余弦定理化为边的关系，再进行化简二、讲授新课：1. 教学距离测量问题：① 出示例1：如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC =51︒，∠ACB =75︒. 求A 、B 两点的距离(精确到0.1m ).分析：实际问题中已知的边与角？ 选用什么定理比较合适？→ 师生共同完成解答. →讨论：如何测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离？ ③ 出示例2：如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法.分析得出方法：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD =a ，并且在C 、D 两点分别测得∠BCA =α，∠ACD =β，∠CDB =γ，∠BDA =δ.讨论:依次抓住哪几个三角形进行计算？→ 写出各步计算的符号所表示的结论. 具体如下：在∆ADC 和∆BDC 中，应用正弦定理得AC =sin()sin[180()]a γδβγδ+︒-++ =sin()sin()a γδβγδ+++， BC =sin sin[180()]a γαβγ︒-++=sin sin()a γαβγ++. 计算出AC 和BC 后，再在∆ABC 中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离AB =④ 练习：若在河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠BCA =60︒，∠ACD =30︒，∠CDB =45︒，∠BDA =60︒. （答案：AB .2. 小结：解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.三、巩固练习：1. 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°. A 、B 、C 、D 在同一个平面，求两目标A 、B 间的距离. ()2. 两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ,灯塔A 在观察站C 的北偏东30︒，灯塔B在观察站C 南偏东60︒，则A 、B a km ）3. 作业：教材P14 练习1、2题.第二课时 1.2 应用举例（二）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：测量建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？2. 讨论：怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？二、讲授新课：1. 教学高度的测量：① 出示例1：AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.分析：测量方法→ 计算方法师生一起用符号表示计算过程与结论.AC =sin sin()a βαβ-，AB = AE +h =AC sin α+h =sin sin sin()a αβαβ-+h . ② 练习：如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5440︒'，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501︒'. 已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ,求出山高CD (精确到1 m )③ 出示例2：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上,行驶5km后到达B 处,测得此山顶在东偏南25︒的方向上,仰角为8︒,求此山的高度CD .分析：已知条件和问题分别在哪几个三角形中？ 分别选用什么定理来依次解各三角形？ → 师生共同解答.解答:在∆ABC 中, ∠A =15︒,∠C = 25︒-15︒=10︒,根据正弦定理,sin BC A = sin AB C, BC =sin sin AB A C =5sin15sin10︒︒≈7.4524(km )，CD =BC ⨯tan ∠DBC ≈BC ⨯tan8︒≈1047(m ). 2. 练习：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A 、B 两个目标，测得目标A 在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B 在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.解法：画图分析，标出各三角形的有关数据，再用定理求解. 关键：角度的概念3. 小结：审题；基本概念（方位角、俯角与仰角）；选择适合定理解三角形；三种高度测量模型（结合图示分析）.三、巩固练习：1. 为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45︒，则塔AB 的高度为多少m ？ 答案：(m ) 2. 在平地上有A 、B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的南25°西300米的地方，在A 侧山顶的仰角是30°，求山高. （答案：230米）3. 作业：P17 练习1、3题.第三课时 1.2 应用举例（三）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.教学重点：熟练运用定理.教学难点：掌握解题分析方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：如何测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离？又如何测量两个不可到达点的距离？ 如何测量底部不可到达的建筑物高度？与前者有何相通之处？2. 讨论：在实际的航海生活中，如何确定航速和航向？通法：转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题二、讲授新课：1. 教学角度的测量问题：① 出示例1：甲、乙两船同时从B 点出发，甲船以每小时10(3＋1)km 的速度向正东航行，乙船以每小时20km 的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A 、C 两点，求A 、C 两点的距离，以及在A 点观察C 点的方向角.分析：根据题意，如何画图？ →解哪个三角形？用什么定理？如何列式？→ 学生讲述解答过程 （答案：630） → 小结：解决实际问题，首先读懂题意，画出图形→再分析解哪个三角形，如何解？② 练习：已知A 、B 两点的距离为100海里，B 在A 的北偏东30°，甲船自A 以50海里／小时的速度向B 航行，同时乙船自B 以30海里／小时的速度沿方位角150°方向航行，问航行几小时，两船之间的距离最小？画出图形，并标记已知和要求的 →解哪个三角形？用什么定理解？如何列式？ ③ 出示例2：某巡逻艇在A 处发现北偏东45︒相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？分析:如何画出方位图？ → 寻找三角形中的已知条件和问题？ →如何解三角形.→ 师生共同解答. （答案：北偏东8331'︒方向；1.4小时）④ 练习：某渔轮在A 处测得在北45°的C 处有一鱼群，离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上渔群？2. 小结：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之. （2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.三、巩固练习：1. 我舰在敌岛A 南偏西︒50相距12海里的B 处,发现敌舰正由岛沿北偏西︒10的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？2. 某时刻A 点西400千米的B 处是台风中心，台风以每小时40千米的速度向东北方向直线前进，以台风中心为圆心，300千米为半径的圆称为“台风圈”，从此时刻算起，经过多长时间A 进入台风圈？A 处在台风圈中的时间有多长？3. 作业：教材P22 习题1.2 A 组 2、3题.第四课时 1.2 应用举例（四）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用，能证明三角形中的简单的恒等式.教学重点：三角形面积公式的利用及三角形中简单恒等式的证明. 教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.教学过程：一、复习准备：1. 提问：接触过哪些三角形的面积公式？2. 讨论：已知两边及夹角如何求三角形面积？二、讲授新课：1. 教学面积公式：①讨论：∆ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha 、hb、h c，那么它们如何用已知边和角表示？→如何计算三角形面积？②结论：三角形面积公式，S=12absin C，S=1bcsin A,S=12acsinB③练习：已知在∆ABC中，∠B=30︒,b=6,c求a及∆ABC的面积S.（解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数）④出示例1：在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）？分析：由已知条件可得到什么结论？根据三角形面积公式如何求一个角的正弦？→师生共同解答. →小结：余弦定理，诱导公式，面积公式.→讨论：由三边如何直接求面积？（海仑公式）2. 教学恒等式证明：①讨论：射影定理：a = b cos C + c cos B；b = a cos C + c cos A；c = a cos B + b cos A.分析：如何证明第一个式子？证一：右边=22222222222a b c a c b ab c aab ac a+-+-+=== 左边证二：右边= 2R sin B cos C + 2R sin C cos B=2R sin(B+C)=2R sin A= a = 左边→学生试证后面两个.②出示例2：在∆ABC中，求证：（1）222222sin sin;sina b A Bc C++=（2）2a+2b+2c=2（bc cos A+ca cos B+abcosC）分析：观察式子特点，讨论选用什么定理？3. 小结：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”.三、巩固练习：1. 在△ABC中，若22tantanA aB b=，判断△ABC的形状. （两种方法）2. 某人在M汽车站的北偏西20︒的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶. 公路的走向是M站的北偏东40︒. 开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米. 问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？（15千米）3. 作业：教材P24 14、15题.。

1.1.1 正弦定理(二)自主学习知识梳理1．正弦定理：asin A ＝bsin B＝csin C＝2R的常见变形：(1)sin A∶sin B∶sin C＝________；(2)asin A＝bsin B＝csin C＝a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝________；(3)a＝__________，b＝__________，c＝____________；(4)sin A＝________，sin B＝________，sin C＝________.2．三角形面积公式：S＝______________＝______________＝____________.3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则△ABC的外接圆半径R＝________，内切圆半径r＝____________.自主探究在△ABC中，(1)若A>B，求证：sin A>sin B；(2)若sin A>sin B，求证：A>B.对点讲练知识点一三角形面积公式的运用例1已知△ABC的面积为1，tan B＝12，tan C＝－2，求△ABC的各边长以及△ABC外接圆的面积．总结注意正弦定理的灵活运用，例如本题中推出S△ABC＝2R2sin Asin Bsin C．借助该公式顺利解出外接圆半径R.变式训练1 已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A．1 B．2 C.12D．4知识点二利用正弦定理证明恒等式例2 在△ABC 中，求证：a －ccos B b －ccos A ＝sin B sin A.总结 正弦定理的变形公式使三角形的边与边的关系和角与角的关系之间的相互转化的功能更加强大，更加灵活．变式训练2 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2absin C.知识点三 利用正弦定理判断三角形形状例3 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＋c ＝2b ，且2cos 2B －8cos B ＋5＝0，求角B 的大小并判断△ABC 的形状．变式训练3 已知方程x 2－(bcos A)x ＋acos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角，试判定这个三角形的形状．1．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．2．在△ABC 中，有以下结论：(1)A ＋B ＋C ＝π；(2)sin(A ＋B)＝sin C ，cos(A ＋B)＝－cos C ；(3)A ＋B 2＋C 2＝π2； (4)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan A ＋B 2＝1tan C 2.课时作业一、选择题1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶22．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形3．在△ABC 中，(b ＋c)∶(a＋c)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C 等于( )A ．4∶5∶6B ．6∶5∶4C ．7∶5∶3D ．7∶5∶64．在△ABC 中，a ＝2bcos C ，则这个三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形5．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°二、填空题6．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 7．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________. 8．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________. 三、解答题9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c ＝10，又知cos A cos B ＝b a ＝43，求a 、b 及△ABC 的内切圆半径．10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S.1．1.1 正弦定理(二)知识梳理1．(1)a∶b∶c (2)2R (3)2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C(4)a 2R b 2R c 2R2.12absin C 12bcsin A 12casin B 3.c 2 a ＋b －c 2自主探究证明 (1)在△ABC 中，由大角对大边定理A>B ⇒a>b ⇒2Rsin A>2Rsin B ⇒sin A>sin B.(2)在△ABC 中，由正弦定理sin A>sin B ⇒a 2R >b 2R ⇒a>b ⇒A>B. 对点讲练例1 解 ∵tan B＝12>0，∴B 为锐角． ∴sin B＝55，cos B ＝255. ∵tan C＝－2，∴C 为钝角．∴sin C＝255，cos C ＝－55. ∴sin A＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C＝55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋255×255＝35. ∵S △ABC ＝12absin C ＝2R 2sin Asin Bsin C ＝2R 2×35×55×255＝1. ∴R 2＝2512，R ＝536.∴πR 2＝2512π，即外接圆面积为2512π. ∴a＝2Rsin A ＝3，b ＝2Rsin B ＝153，c ＝2Rsin C ＝2153. 变式训练1 A [设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π，∴R＝1，由S △＝12absin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc＝1.] 例2 证明 因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，所以 左边＝2Rsin A －2Rsin Ccos B 2Rsin B －2Rsin Ccos A ＝＋－sin Ccos B ＋－sin Ccos A＝sin Bcos C sin Acos C ＝sin B sin A＝右边．所以等式成立． 变式训练2 证明 左边＝4R 2sin 2 A·sin 2B＋4R 2sin 2 B·sin 2A＝8R 2sin 2 Asin Bcos B ＋8R 2sin 2 Bsin AcosA＝8R 2sin Asin B(sin Acos B ＋cos Asin B)＝8R 2sin Asin Bsin(A ＋B)＝8R 2sin Asin Bsin C＝2·(2Rsin A)·(2Rsin B)·sin C＝2absin C ＝右边．∴等式成立．例3 解 ∵2cos 2B－8cos B ＋5＝0，∴2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0.∴4cos 2B －8cos B ＋3＝0，即(2cos B －1)(2cos B －3)＝0.解得cos B ＝12或cos B ＝32(舍去)． ∵0<B<π，∴B＝π3.∵a＋c ＝2b. 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B ＝2sin π3＝ 3. ∴sin A＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝3， ∴sin A＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝ 3. 化简得32sin A ＋32cos A ＝3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1. ∵0<A<π，∴A＋π6＝π2. ∴A＝π3，C ＝π3.∴△ABC 是等边三角形． 变式训练3 解 设方程的两根为x 1、x 2，由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝bcos A x 1x 2＝acos B ， ∵x 1＋x 2＝x 1x 2，∴bcos A＝acos B.由正弦定理得：2Rsin Bcos A ＝2Rsin Acos B ，∴sin Acos B－cos Asin B ＝0，sin(A －B)＝0.∵A、B 为△ABC 的内角，∴0<A<π，0<B<π，－π<A －B<π.∴A－B ＝0，即A ＝B.故△ABC 为等腰三角形．课时作业1．D2．B [由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C， ∴tan A＝tan B ＝tan C ，∴A＝B ＝C.] 3．C [设b ＋c ＝4k ，a ＋c ＝5k ，a ＋b ＝6k(k>0)，三式联立可求得a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k ， ∴a∶b∶c＝7∶5∶3，即sin A∶sin B∶sin C＝7∶5∶3.]4．A [由正弦定理：sin A ＝2sin Bcos C ，∴sin(B＋C)＝2sin Bcos C∴sin Bcos C＋cos Bsin C ＝2sin Bcos C ，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C.]5．C [设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°，∴c a ＝sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A ＝sin 120° cos A－cos 120°sin A sin A＝32·cos A sin A ＋12＝32＋12， ∴cos A sin A ＝1.∴tan A＝1，A ＝45°，C ＝75°.] 6．2 3解析 ∵cos C＝13，∴sin C＝223， ∴12absin C ＝43，∴b＝2 3. 7.102 解析 ∵tan A＝13，A∈(0,180°)，∴sin A＝1010. 由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C， ∴AB＝BC·sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102. 8．12 6解析a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝6332＝12. ∵S △ABC ＝12absin C ＝12×63×12sin C＝18 3. ∴sin C＝12，∴c sin C ＝a sin A ＝12，∴c＝6. 9．解 由正弦定理知sin B sin A ＝b a ，∴cos A cos B ＝sin B sin A. 即sin Acos A ＝sin Bcos B ，∴sin 2A＝sin 2B.又∵a≠b，∴2A＝π－2B ，即A ＋B ＝π2. ∴△ABC 是直角三角形，且C ＝90°， 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝102b a ＝43，得a ＝6，b ＝8.故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2. 10．解 因为cos B ＝2cos 2 B 2－1＝35，故B 为锐角，sin B ＝45. 所以sin A ＝sin(π－B －C)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝7210. 由正弦定理得c ＝asin C sin A ＝107， 所以S ＝12acsin B ＝12×2×107×45＝87.。

必修5 1.1.1 正弦定理（学案）【知识要点】1．正弦定理2．正弦定理的变形 【学习要求】1．理解正弦定理的推导过程，会初步应用正弦定理解斜三角形． 2．通过应用提高分析问题、解决问题的能力．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 1 页～第 4 页）1. 在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们如何得到边与角的准确量化表示呢？（1） （1）在RT ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，依据正弦函数定义得：c = .（2）在锐角ABC ∆中，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数定义得：sin aA= . （3）在钝角ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，过点A 作AE 垂直于BC 交BC 于E 点，AE = .,即sin sin c bC B=; 同理可得：sin a C = ，故.sin sin sin a b cA B C==2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即A as i n= = . 结合提示完成以下几种方法，帮助大家开拓一下眼界！ 法一：（等面积法）在任意斜△ABC 当中， S △ABC =A bcB acC ab sin 21sin 21sin 21==. 两边同除以abc 21即得：Aasin = = .法二：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ, ∴==R CD 2 . 同理2R = ＝ . 可将正弦定理推广为：A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC外接圆半径）. 法三：（向量法）过A 作单位向量j垂直于AC ， 由 AB= + .两边同乘以单位向量j 得j •AB= .即j •AC +j •CB =j •AB .∴ = . ∴A c C a sin sin = . ∴Aasin = . 同理，若过C 作j垂直于CB 得：C c sin = ∴A a sin =B b sin =Ccsin . 3. 定理及其变形 ：（1）sinA:sinB:sinC=______； (2)A a sin =B b sin =C csin =CB A c b a sin sin sin ++++= ； a=______,；b=______ ；c=_______；(4)sinA=_______；sinB=________；sinC=________. 4.思考：观察公式特点，思考正弦定理可以解决的问题： （1） ； （2） ．5. 时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况： 有三种，我们分情况给予讨论（1） 当A 为锐角（2） 当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aAb sin 进行讨论： 如果sin B>l ，则问题无解； 如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断．【基础练习】1．在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( ) ． ()A 2R ()B R ()C 4R ()D R 21(R 为△ABC 外接圆半径)2.在ABC ∆中，已知08,60,75a B C ===，则b 等于（ ）．()A ()B ()C ()D 32.33.(2008年北京) 已知ABC ∆中， 060a b B ===，则A 等于（ ）．()A 0135 ()B 090 ()C 045 ()D 030.4. 在△ABC 中，sinA ＞sinB 则角 A ，B 的大小关系为： .5. 在ABC ∆中，a:b:c=1:3:5,CA BA sin sin sin sin 2+-的值为___ __.【典型例题】例1 已知在,0.32,8.81,9.420===∆B A c ABC 中，解三角形.【变式练习】已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100===∆例2 （1）在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，已知===∆（2）C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆【变式练习】在,28,40,200cm b A cm a ABC ===∆中，解三角形（角度精确到01）.例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数． (l)a=5,b=4 ，A=120 (2)a =9,b=l0,A= 60 (3)c=50,b=72,C= 135例4 已知△ABC 中，bsin B=csin c ，且试判断三角形的形状．例5 已知△ABC 的面积为1，tanB=21,tanC=-2,求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积.1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是 ( ) ． （A ）acos C= ccos A （B ）bsinC= csin A （C ）absin C=bcsin B （D ）aslnC=csin A ．2．在△ABC 中，已知a=18，b=20，A=150，则这个三角形解的情况是 ( ) ． （A ）有一个解 （B ）有两个解 （C ）无解 （D ）不能确定3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A=60,a=3，b=1，则c 等于( ) ．（A ） 1 （B ） 2 （C ）3-1 （D ） 3．4．在△ABC 中，已知(b+c)：（c+a ）：(a+b) = 4：5：6，则 sin A ：sin B ：sin C 等于 ( ) ． （A ） 6:5:4 （B ） 7:5:3 （C ） 3:5:7 （D ） 4:5:6． 二、填空题5．在△ABC 中，A= 45，B=60，则ba ba +-=______ _ ． 6．在△ABC 中，a=x ，b=2，B=45 ，若三角形有两解，则x 的取值范围为__ __． 7．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b=2a ，B=A+60，则A=____ ． 三、解答题8． 在C a b B A cm c ABC ,,56,34,200和求中，===∆9．在△ABC 中，若a=23,A=30，讨论当b 为何值时（或在什么范围内），三角形有一解，有两解或无解？10.已知方程2x 一(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角,试判定这个三角形的形状．1.（2007年北京）△ABC 中，若,1,150,31tan 0===BC C A ，则=AB ．2.（2007年全国）在△ABC 中，已知内角3π=A ，边32=BC ，设内角,xB =，周长为.y （1）求函数)(x f y =的解析式和定义域； （2）求)(x f y =的最大值.必修5 1.1.1 正弦定理（教案）【教学目标】1．理解正弦定理的推导过程，会初步应用正弦定理解斜三角形． 2．通过应用提高分析问题、解决问题的能力． 【重点】理解正弦定理的及应用． 【难点】正弦定理的熟练变形运用．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 1 页～第 4 页）2. 在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们如何得到边与角的准确量化表示呢？（1） 在RT ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，依据正弦函数定义得：.sin sin sin a b cc A B C=== （2）在锐角ABC ∆中，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数定义得：.sin sin sin a b cA B C== （3）在钝角ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，过点A 作AE 垂直于BC 交BC 于E 点，sin sin()AE AB B AC C π==-,即sin sin c bC B=; 同理可得：sin sin a b C B =，故.sin sin sin a b cA B C==2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即A a s i n =B b sin =Cc sin 了解以下几种方法帮助大家开拓一下眼界！ 法一：（等积法）在任意斜△ABC 当中， S △ABC =A bcB acC ab sin 21sin 21sin 21==. 两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =Ccsin .法二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ,∴==R CD 2DaA a sin sin =.同理B b sin =2R ，Ccsin ＝2R . 可将正弦定理推广为：A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径）. 法三：（向量法）过A 作单位向量j垂直于AC ， 由 AB =AC +CB.两边同乘以单位向量j 得j •(AC+CB )=j •AB .则j •AC +j •CB =j •AB .∴|j |•|AC |cos90︒+|j |•|CB |cos(90︒-C)=| j |•|AB|cos(90︒-A) .∴A c C a sin sin = . ∴A a sin =Ccsin . 同理，若过C 作j垂直于CB 得：C c sin =B b sin ∴A a sin =B b sin =Ccsin .3. 定理及其变形 ：（1）sinA:sinB:sinC=__::a b c ____； (2)A a sin =B b sin =C csin =CB A c b a sin sin sin ++++= 2R ；a=__2sin R A ____,；b=_2sin R B _____ ；c=_2sin R C ______；sinA=__2a R _____；sinB=___2b R _____；sinC=____2c R____. 4.思考：观察公式特点，思考正弦定理可以解决的问题： （1）_已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和两角． 5. 时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况： 有三种，我们分情况给予讨论（3） 当A 为锐角（4） 当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aAb sin 进行讨论： 如果sin B>l ，则问题无解； 如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断． 【基础练习】 1．在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( A ) ． ()A 2R ()B R ()C 4R ()D R 21(R 为△ABC 外接圆半径)2.在ABC ∆中，已知08,60,75a B C ===，则b 等于（ C ）．()A ()B ()C ()D 32.33.(2008年北京) 已知ABC ∆中， 060a b B ===，则A 等于（ C ）．()A 0135 ()B 090 ()C 045 ()D 030.4. 在△ABC 中，sinA ＞sinB 则角 A ，B 的大小关系为： A>B .5. 在ABC ∆中，a:b:c=1:3:5,C A B A sin sin sin sin 2+-的值为___16-__.【典型例题】例1 已知在,0.32,8.81,9.420===∆B A c ABC 中，解三角形.【审题要津】已知两角A,B ，据三角形内角和求得第三角C ，即知两角和任意一边，由正弦定理求解三角形.解：根据三角形内角和定理，02.66180=--=B A C .根据正弦定理, )(1.800.32sin 8.81sin 9.42sin sin 00cm A B a b ≈==. 根据正弦定理, )(1.740.32sin 2.66sin 9.42sin sin 0cm A C a c ≈==. 【方法总结】已知两角和任意一边，求解三角形时，注意结合三角形的内角和定理求出已知边的对角；应用正弦定理时注意边与角的对应性.【变式练习】已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100===∆解：根据三角形内角和定理，0105180=--=C A B .根据正弦定理, ))(26(530sin 105sin 10sin sin 0cm C B c b +===.根据正弦定理, )(21030sin 45sin 10sin sin 0cm C A c a ===. 例2 （1）在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，已知===∆（2）C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆【审题要津】已知两边和其中一边的对角，由正弦定理先求对角，再求第三角.解：(1)根据正弦定理, ,21360sin 1sin sin 0===b B c CB C b c <∴< .300=∴C根据三角形内角和定理，090180=--=B C A .(2) 根据正弦定理, ,23245sin 6sin sin 0===aAc C060=∴>∴>C B C b c 或0120=C .当060=C 时，根据三角形内角和定理，;7518000=--=A C B 当0120=C 时，根据三角形内角和定理，.1518000=--=A C B【方法总结】应用正弦定理时注意边与角的对应性;注意由C sin 求角C 时，讨论角C 为锐角或钝角的情况.【变式练习】在,28,40,200cm b A cm a ABC ===∆中，解三角形（角度精确到01）.解：根据正弦定理, .8999.02040sin 28sin sin 0≈==a A b B 因为,18000<<B 所以,640≈B 或.1160≈B（1）当064≈B 时，076180=--=B A C ，)cm (3040sin 76sin 20sin sin 0≈==A C a c . (2) 当0116≈B 时，024180=--=B A C ，).cm (1340sin 24sin 20sin sin 0≈==A C a c 例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数． (l)a=5,b=4 ，A=120(2)a =9,b=l0,A=60 (4)c=50,b=72,C=135【审题要津】已知两边及其中一边的对角的三角形不一定确定，在上述例题中通过求解可以判定解的个数，还可以通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角等三角形有关性 质进行判断，也可利用数形结合的办法不求解就能判定三角形解的个数． 解：（1）因为A= 120是钝角，且a=5>b=4 ， 所以此三角形只有一解． （2）b a A b A b <<∴<==sin ,97535sin ，由图可知该三角形有两解．（3）因为C=135，c=50 <b=72,所以如下图知此三角形无解．【方法总结】时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况： 有三种，我们分情况给予讨论（5） 当A 为锐角（6） 当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aAb sin 进行讨论： 如果sin B>l ，则问题无解； 如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断．例4 已知△ABC 中，bsin B=csin c ，且试判断三角形的形状．【审题要津】从正弦定理的形式可以看出定理能进行边与角的转化，这里条件中有角也有边，转化为相同的形式便于进一步探究.解：根据正弦定理将C B A 222sin sin sin +=可化为222c b a +=，由勾股定理逆定理得△ABC 为直角三角形，且.900=∠A 又因为,sin sin C B c b =所以bsin B=csin c 可化为,b c c b =即c b c b ==即,22，故该三角形为等腰直角三角形．【方法总结】三角形的形状常有等腰、等边、直角等特殊的三角形，判定中将角化为边或将边化为角是常用的思路．例4 已知△ABC 的面积为1，tanB=21,tanC=-2,求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积. 【审题要津】从正弦定理的形式可以看出定理反映了三角形的边与对角的正弦的比值的关系，这里给出角B,C 的正切，利用同角的基本关系式进行转化. 解：.552cos ,55sin ,20,21tan ==∴<∠<=B B B B π 又.55cos ,552sin ,2,2tan -==∴<∠<-=C C C C ππ.53sin cos cos sin )sin(sin =+=+=∴C B C B C B A .53sin sin ,sin sin b B A b a B b A a ==∴= ,15525321sin 212=∙∙==∴∆b C ab S ABC 解得,315=b 于是.3=a 又由正弦定理知： ,3152sin sin ==A C a c 外接圆的直径.635,335sin 2=∴==R A a R 故△ABC 外接圆的面积为.12252ππ==R S 【方法总结】学习本节时要综合运用同角三角函数关系式，正弦定理和三角形的面积公式进行计算，加强知识间的联系.1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是 ( D ) ．（A ）acos C= ccos A （B ）bsinC= csin A（C ）absin C=bcsin B （D ）aslnC=csin A ．2．在△ABC 中，已知a=18，b=20，A=150，则这个三角形解的情况是 ( C ) ．（A ）有一个解 （B ）有两个解 （C ）无解 （D ）不能确定3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A= 60,a=3，b=1，则c 等于(B ) ．（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3-1 （D ） 3．4．在△ABC 中，已知(b+c)：（c+a ）：(a+b) = 4：5：6，则 sin A ：sin B ：sin C 等于 ( B ) ．（A ） 6:5:4 （B ） 7:5:3 （C ） 3:5:7 （D ） 4:5:6．二、填空题5．在△ABC 中，A= 45，B= 60，则b a b a +-=______562-_ ． 6．在△ABC 中，a=x ，b=2，B= 45 ，若三角形有两解，则x 的取值范围为__222<<x __．7．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b=2a ，B=A+60，则A=__33__ ．三、解答题8． 在C a b B A cm c ABC ,,56,34,2000和求中，===∆解：根据三角形内角和定理，0090180=--=B A C . 根据正弦定理, )(56sin 2090sin 56sin 20sin sin 00cm C B c b ===. 根据正弦定理, )(34sin 2090sin 34sin 20sin sin 000cm C A c a ===. 9．在△ABC 中，若a=23,A= 30，讨论当b 为何值时（或在什么范围内），三角形有一解，有两解或无解？解：由上图知：当,30sin ,sin b a b b a A b <<<<即该三角形有两解，故3432<<b 时，该三角形有两解．当,sin b a a A b >=或该三角形有一解，故32034<<=b b 或时，该三角形有两解．当,sin a A b >即,34>b 该三角形有两解．10.已知方程2x 一(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角,试判定这个三角形的形状．解：设方程的两根为,,21x x 由韦达定理得,cos ,cos 2121B b x x A b x x ==+由题意得,cos cos B a A b =由正弦定理得,cos sin 2cos sin 2B A R A B R =在△ABC 中，,,0,0ππππ<-<-<<<<B A B A,0=-∴B A 故△ABC 为等腰三角形.1.（2007年北京）△ABC 中，若,1,150,31tan 0===BC C A ，则AB 210 ． 2.（2007年全国）在△ABC 中，已知内角3π=A ，边32=BC ，设内角,x B =，周长为.y （1）求函数)(x f y =的解析式和定义域；（2）求)(x f y =的最大值.解：(1) △ABC 的内角和π=++CB A , 由3π=A ，0,0>>C B 得320π<<B . 应用正弦定理得,sin 4sin sin x B ABC AC =∙= ).32sin(4sin sin x C A BC AB -=∙=π 因为,BC AB AC y ++= 所以)320(32)32sin(4sin 4ππ<<+-+=x x x y .（2）因为32)32sin(4sin 4+-+=x x y π ),6566(32)6sin(34ππππ<+<+-=x x 所以，当26ππ=+x ，即3π=x 时，取得最大值.36。

第1课时解三角形应用举例—距离问题一、教材分析本课是人教B版数学必修5第一章解三角形中1.2的应用举例中测量距离(高度）问题。

主要介绍正弦定理、余弦定理在实际测量（距离、高度）中的应用。

因为在本节课前，同学们已经学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用。

本节课的设计，意在复习前面所学两个定理的同时，加深对其的了解，以便能达到在实际问题中熟练应用的效果。

对加深学生数学源于生活，用于生活的意识做贡献。

二、学情分析距离测量问题是基本的测量问题，在初中，学生已经学习了应用全等三角形、相似三角形和解直角三角形的知识进行距离测量。

这里涉及的测量问题则是不可到达的测量问题，在教学中要让学生认识问题的差异，进而寻求解决问题的方法。

在某些问题中只要求得到能够实施的测量方法。

学生学习本课之前，已经有了一定的知识储备和解题经验，所以本节课只要带领学生勤思考多练习，学生理解起来困难不大。

三、教学目标（一）知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量（距离、高度）有关的实际问题。

（二）过程与方法通过应用举例的学习，经历探究、解决问题的过程，让学生学会用正、余弦定理灵活解题，从而获得解三角形应用问题的一般思路。

（三）情感、态度与价值观提高数学学习兴趣，感知数学源于生活，应用于生活。

四、教学重难点重点：分析测量问题的实际情景，从而找到测量和计算的方法。

难点：测量方法的寻找与计算。

五、教学手段计算机，PPT，黑板板书。

六、教学过程（设计）情景展示，引入问题情景一：比萨斜塔（展示图片）师：比萨斜塔是意大利的著名建筑，它每年都会按照一定度数倾斜，但斜而不倒，同学们想一想，如果我们不能直接测量这个塔的高度，该怎么知道它的高度呢？情景二：河流、梵净山（展示图片）师：如果我们不能直接测量，该怎么得出河流的宽度和梵净山的高度呢？引入课题：我们今天就是来思考怎么通过计算，得到无法测量的距离（高度）问题。

知识扩展：简单介绍测量工具（展示图片）1 经纬仪:测量度数2卷尺：测量距离长．[分析]由余弦定理得cos∠＝100＋36－1962×10×6＝－∴∠ADC＝120°，∠在△ABD中，由正弦定理得sin∠ADB、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从[分析]如图，因为B A AA AB 11+=，又[分析] 分别在△BCD 出BD 和AD ，然后在△ADBBCD中用余弦定理求得BC.如下图，为了测量河宽，在岸的一边选定两点ACAB＝45°，∠CBA＝75°，________米．[分析]在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠ABC＝75°，ACB＝60°，由正弦定理可得AC＝AB·sin∠ABCsin∠ACB＝120×sin75°sin60°＝20(32＋，设C到AB的距离为CD，则CD＝AC·sin∠CAB＝2＋6)sin45°＝20(3＋3)，∴河的宽度为20(3＋3)米．五个量中，a，两个小岛相距10 n mile，从岛望C岛和A岛成岛之间的距离为________n＝45°，由正弦定理．如图，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，测量时应当用数据( )[解析] 要测γ.2．某观察站C和500米，测得灯塔在观察站C正西方向，A．500米 BC．700米 D[解析]如图，由题意知，∠3002＋5002＋2×300七、板书设计八、教学反思1.本教案为解三角形应用举例，是对解三角形的较高的应用，难度相应的也有提高；例题选择典型，涵盖了解三角形的常考题型，突出了重点方法，并且通过同类型的练习进行巩固；课后通过基本题、模拟题和高考题对学生的知识掌握进行考查，使本节内容充分落实．教师要积极引导学生对这些应用问题进行探索，鼓励学生进行独立思考，并在此基础上大胆提出新问题．2.对于学生不知道如何处理的应用问题，教师通过转化，使学生能够理解，需要在练习中加强．。

2017春高中数学 第1章 解三角形 1。

1 正弦定理和余弦定理 第1课时 正弦定理 课时作业 新人教B 版必修5基 础 巩 固一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝3，∠A ＝45°,∠C ＝75°,则BC 等于错误!（ A )A ．3－ 3B ． 2C ．2D ．3＋错误!［解析］ 由正弦定理，得错误!＝错误!，即错误!＝错误!，∴BC ＝错误!＝错误!＝3－错误!.2．已知△ABC 的三个内角之比为A ︰B ︰C ＝3︰2︰1,那么对应的三边之比a ︰b ︰c 等于错误!（ D )A ．3︰2︰1B ．错误!︰2︰1C ．错误!︰错误!︰1D ．2︰错误!︰1 ［解析］ ∵⎩⎨⎧ A ︰B ︰C ＝3︰2︰1A ＋B ＋C ＝180°，∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°.∴a ︰b ︰c ＝sin A ︰sin B ︰sin C ＝1︰错误!︰错误!＝2︰错误!︰1。

3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝错误!，则sin B ＝错误!( B ）A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．1 ［解析］ 由正弦定理，得a sin A ＝错误!，∴错误!＝错误!，即sin B ＝错误!，选B ．4．在△ABC 中,三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若错误!＝错误!，则角B 的大小为错误!( B )A ．错误!B ．错误!C．错误!D．错误!［解析]由错误!＝错误!及错误!＝错误!，可得sin B＝cos B，又0<B<π,∴B＝错误!。

5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m＝(3，－1）,n＝(cos A,sin A），若m⊥n,且a cos B＋b cos A＝c sin C，则角A、B的大小分别为错误!（ C ）A．错误!，错误!B．错误!，错误!C．π3，错误!D．错误!，错误![解析]∵m⊥n,∴错误!cos A－sin A＝0,∴tan A＝错误!,则A＝错误!。

§ 正弦定理课型：新讲课 编写人： 审查人：【学习目标和要点、难点】1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．【学习内容和学习过程】 一、新课导入 试验：固定 ABC 的边 CB 及 B，使边 AC 绕着极点 C 转动． 思虑：C 的大小与它的对边AB 的长度之间有如何的数目关系明显，边 AB 的长度跟着其对角C 的大小的增大而．可否用一个等式把这类关系精准地表示出来二、新课导学研究 1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下边就第一来商讨直角三角形中，角与边的等式关系 . 如图，在 Rt ABC 中，设 BC=a ， AC=b ， AB=c ，∠ C=90° 依据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 a sin A ， bsin B ，又 sin C 1 c ，c c c进而在直角三角形 ABC 中， a b c．sin A sin B sin C研究 2：那么对于随意的三角形，以上关系式能否仍旧成立可分为锐角三角形和钝角三角形两种状况：当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD ，依据随意角三角函数的定义，有 CD= asin B bsin A ，则 a b c bsin A，同理可得 sin C ，sin B sin B 进而 a b c ．sin A sin B sin C近似可推出，当ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍旧成立．请你试一试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即a bc．sin Asin Bsin C试一试：（ 1）在 ABC 中，必定成立的等式是（ ）．A ． a sin A b sinB B. a cosA b cosB C. asin B bsin A D. acosB b cosA（ 2）已知△ ABC 中， a ＝ 4， b ＝ 8，∠ A ＝ 30°，则∠ B 等于．[ 理解定理 ]（ 1）正弦定理说明同一三角形中， 边与其对角的正弦成正比，且比率系数为同一正数，即存在正数 k 使 a k sin A ，， c k sinC ；（ 2） a b c， c b a c． 等价于sin C ，sin A sin C sin A sin B sin Csin B （ 3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的随意两角及其一边能够求其余边，如 ab sin A ；b ．sin B②已知三角形的随意两边与此中一边的对角能够求其余角的正弦值， 如 sin Aasin B ； sinC．b（ 4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其余的边和角的过程叫作 解三角形 ．三、讲堂稳固例1.在ABC 中，已知 A 45 ， B 60 ， a 42 c m ，解三角形．变式：在 ABC 中，已知 B 45 ， C 60 ， a 12cm ，解三角形．例 2. 在ABC中， c6, A 45 , a 2,求 b和B, C ．变式：在ABC中， b3, B 60 ,c 1,求a和A, C ．【学习小结】1. 正弦定理：a b c sin A sin B sin C2.正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有②等积法，③外接圆法，④向量法 . 3．应用正弦定理解三角形：①已知两角和一边；②已知两边和此中一边的对角．【课后作业】基础部分1.在ABC 中，若sin A b，则 ABC 是（） . sin B aA．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形D．等边三角形2.已知△ ABC中， A∶ B∶ C＝ 1∶ 1∶ 4，则 a∶ b∶ c 等于（） .A． 1∶1∶ 4B．1∶1∶2C．1∶ 1∶ 3D．2∶ 2∶ 3 3.在△ ABC中，若sin A sin B ，则 A 与 B 的大小关系为（） .A.A BB. A BC.A≥D.A、B 的大小关系不可以确立B4.已知ABC中，sin A :sin B :sinC1:3:3，则 a : b : c =．5.已知ABC中，A60， a 3 ，则a b c=．sin A sin B sin C1.已知△ ABC中， AB＝6，∠ A＝ 30°，∠ B＝120，解此三角形．提升部分2. 已知△ ABC中， sinA∶ sinB∶ sinC＝k∶ (k＋ 1)∶ 2k (k≠0)，务实数k 的取值范围为．§余弦定理课型：新讲课编写人：审查人：【学习目标和要点、难点】1.掌握余弦定理的两种表示形式；2.证明余弦定理的向量方法；3.运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．【学习内容和学习过程】复习 1 ：在一个三角形中，各=．和它所对角的的相等，即=复习2：在△ABC中，已知c10 ，A=45，C=30，解此三角形．思虑：已知两边及夹角，如何解此三角形呢二、新课导学问题：在ABC 中， AB 、BC 、 CA 的长分别为c、a、 b .rC∵r b r，b a∴ b ? bA c B同理可得：2222bc cos A ，a b cc2 a 2b22abcos C ．新知：余弦定理：三角形中任何一边的等于其余两边的的和减去这两边与它们的夹角的的积的两倍．思虑：这个式子中有几个量从方程的角度看已知此中三个量，能够求出第四个量，可否由三边求出一角从余弦定理，又可获得以下推论：cos A b 2c2 a 2，，．2bc[ 理解定理 ]，这时 c2a2 b 2（ 1）若∠ C= 90，则cosC由此可知余弦定理是勾股定理的推行，勾股定理是余弦定理的特例．（ 2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的随意两边及它们的夹角就能够求出第三边；②已知三角形的三条边就能够求出其余角．试一试：（ 1）△ ABC中， a 3 3 ，c 2 ， B 150 ，求 b ．（ 2）△ ABC中，a2，b 2 ， c 3 1，求A．三、讲堂稳固例 1. 在△ ABC 中，已知 a 3 ， b 2 ，B45 ，求A, C 和 c ．变式：在△ ABC中，若 AB＝ 5 ， AC＝5，且 cosC＝9，则 BC＝________．10例 2. 在△ ABC 中，已知三边长 a 3 ， b 4 ，c37，求三角形的最大内角．变式：在ABC 中，若 a 2 b 2 c 2 bc ，求∠ A ．【学习小结】1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2. 余弦定理的应用范围：① 已知三边，求三角；② 已知两边及它们的夹角，求第三边． 知识拓展在△ ABC 中， 22若 a b22若 a b 若 a 2 b 2c 2，则角 c 2，则角 c 2，则角C 是直角； C 是钝角；C 是锐角．【课后作业】基础部分1. 已知 a ＝3 ， c ＝2，∠ B ＝ 150°，则边 b 的长为（） .34 B. 34C.13A.D. 13222. 已知三角形的三边长分别为3、 5、 7，则最大角为（）.A ． 60o °B ． 75o °C ． 120o °D ． 150o °3. 已知锐角三角形的边长分别为2、 3、x ，则 x 的取值范围是（ ） .A ． 5 x 13B ． 13 ＜ x ＜5C ． 2＜ x ＜ 5D ． 5 ＜ x ＜5uuuruuur uuur 4.uuur uuur uuur 在△ ABC 中， | AB | ＝3，| AC | ＝2， AB 与 AC 的夹角为 60°，则 | AB － AC | ＝ ________．5. 在△ ABC 中，已知三边 a 、 b 、 c 知足 b 2a 2 c 2 ab ，则∠ C 等于．1. 在△ ABC 中，已知 a ＝ 7， b ＝ 8， cosC ＝ 13，求最大角的余弦值．14提升部分uuur uuur2. 在△ ABC中， AB＝ 5， BC＝ 7， AC＝8，求 AB BC 的值 .§ 正弦定理和余弦定理（练习）课型：新讲课编写人：审查人：【学习目标和要点、难点】1.进一步熟习正、余弦定理内容；2.掌握在已知三角形的两边及此中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情况．【学习内容和学习过程】一、新课导入复习 1：在解三角形时已知三边求角，用定理；已知两边和夹角，求第三边，用定理；已知两角和一边，用定理．复习 2：在△ ABC中，已知A＝，a＝252 ， b＝ 50 2 ，解此三角形．6二、新课导学研究：在△ ABC中，已知以下条件，解三角形.①A＝，a ＝25， b＝ 50 2 ； 6②A＝，a ＝50 6， b＝50 2 ；63③A＝，a ＝50， b＝ 50 2 . 6思虑：解的个数状况为什么会发生变化新知：用以以下图示剖析解的状况（A 为锐角时）．已知边 a,b 和AC C C Cb b b b aa a a aA A A AH B B1 H B2H Ba<CH=bsinA a=CH=bsinA CH=bsinA<a<b a b无解仅有一个解有两个解仅有一个解试一试：1.用图示剖析（ A 为直角时）解的状况2．用图示剖析（ A 为钝角时）解的状况三、讲堂稳固例 1. 在ABC 中，已知a80 ， b 100 ， A 45 ，试判断此三角形的解的状况．变式：在ABC中，若a1，c 1， C40 ，则切合题意的 b 的值有_____个．2例2.在ABC 中，A60 ， b 1 ， c 2 ，求a b c的值．sin A sin B sin C【学习小结】1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；4.已知三角形两边和此中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种状况）．在ABC中，已知 a,b, A ，议论三角形解的状况：①当A为钝角或直角时，一定a b 才能有且只有一解；不然无解；②当 A 为锐角时，假如 a ≥b，那么只有一解；假如 a b ，那么能够分下边三种状况来议论：（ 1）若a bsin A ，则有两解；（ 2）若a bsin A ，则只有一解；（ 3）若a b sin A ，则无解．【课后作业】基础部分1.已知 a、 b 为△ ABC 的边， A、 B 分别是 a、 b 的对角，且sin A2 ，则 ab的值 =） .sin B3b（1245A. B. C. D.33332.已知在△ ABC中， sinA∶ sinB∶ sinC＝ 3∶ 5∶ 7，那么这个三角形的最大角是（）.A． 135°B．90°C． 120° D． 150°3.假如将直角三角形三边增添相同的长度，则新三角形形状为（） .A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增添长度决定4.在△ ABC中， sinA:sinB:sinC＝ 4:5:6，则 cosB＝．5.已知△ ABC中，bcosC c cosB，试判断△ ABC的形状．1.在 ABC中， a xcm，b2cm ， B 45 ，假如利用正弦定理解三角形有两解，求 x 的取值范围．提升部分a、b、 c，且知足1ab sin C2222. 在ABC中，其三边分别为a b c，求角 C．24§应用举例—①丈量距离课型：新讲课编写人：【学习目标和要点、难点】审查人：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些相关丈量距离的实质问题【学习内容和学习过程】一、新课导入复习 1 在△ ABC中， b＝10， A＝ 30°，问 a 取何值时，此三角形有一个解两个解无解二、新课导学例 1. 如图，设A、 B 两点在河的两岸，要丈量两点之间的距离，丈量者在在所在的河岸边选定一点C，测出 AC 的距离是55m，BAC= 51，A 的同侧，ACB= 75 . 求 A、B 两点的距离 (精准到 0.1m).发问 1：ABC中，依据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适合发问 2：运用该定理解题还需要那些边和角呢剖析：这是一道对于丈量从一个可抵达的点到一个不行抵达的点之间的距离的问题题目条件告诉了边AB 的对角， AC 为已知边，再依据三角形的内角和定理很简单依据两个已知角算出应用正弦定理算出AB边 .AC 的对角，新知 1：基线在丈量上，依据丈量需要适合确立的叫基线 .例 2. 如图， A、B 两点都在河的对岸（不行抵达），设计一种丈量 A、 B 两点间距离的方法 .剖析：这是例 1 的变式题，研究的是两个的点之间的距离丈量问题.第一需要结构三角形，因此需要确立C、D 两点 .依据正弦定理中已知三角形的随意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出 AC和 BC，再利用余弦定理能够计算出AB 的距离 .变式：如上图若在河岸选用相距40 米的 C、 D 两点， BCA=60°， ACD=30 ° CDB=45°，BDA =60°求 AB.练：两灯塔 A、B 与大海察看站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在察看站 C 的北偏东 30°，灯塔 B 在察看站 C南偏东 60°，则 A、 B 之间的距离为多少【学习小结】1. 解斜三角形应用题的一般步骤：（1）剖析：理解题意，分清已知与未知，画出表示图（2）建模：依据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中，成立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）查验：查验上述所求的解能否切合实质意义，进而得出实质问题的解.2．基线的选用：丈量过程中，要依据需要选用适合的基线长度，使丈量拥有较高的精准度.【课后作业】基础部分1.水平川面上有一个球，现用以下方法丈量球的大小，用锐角 45 的等腰直角三角板的斜边紧靠球面， P 为切点，一条直角边 AC 紧靠地面，并使三角板与地面垂直，假如测得 PA=5cm，则球的半径P等于（） .A CA． 5cmB． 52cmC． 5( 2 1)cmD． 6cm2. 台风中心从 A 地以每小时20 千米的速度向东北方向挪动，离台风中心30 千米内的地域为危险区，城市 B 在 A 的正东 40 千米处， B 城市处于危险区内的时间为（）.A．小时B． 1 小时C．小时D．2 小时3. 在ABC 中，已知(a2b2 )sin( A B) (a2b2 )sin( A B) ，则ABC 的形状（）.A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形4.在ABC中，已知a 4，b 6， C 120o，则sin A的值是．5. 一船以每小时15km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东60o，行驶４ h 后，船抵达C 处，看到这个灯塔在北偏东 15o，这时船与灯塔的距离为km ．1. 隔河能够看到两个目标，但不可以抵达，在岸边选用相距3 km 的C、D 两点，并测得∠ACB＝ 75°，∠ BCD＝ 45°，∠ ADC＝ 30°，∠ ADB＝ 45°， A、 B、C、D 在同一个平面，求两目标 A、 B 间的距离 .提升部分2. 某船在海面 A 处测得灯塔 C 与 A 相距 10 3 海里，且在北偏东30与 A 相距 15 6 海里，且在北偏西75 方向.船由 A 向正北方向航行到B 在南偏西60方向 . 这时灯塔 C 与 D 相距多少海里方向；测得灯塔D 处，测得灯塔B§应用举例—②丈量高度课型：新讲课编写人：审查人：【学习目标和要点、难点】1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些相关底部不行抵达的物体高度丈量的问题；2.丈量中的相关名称 .【学习内容和学习过程】一、新课导入复习 1：在ABC中，cos Ab5 ，则ABC的形状是如何cos B a3复习 2：在 ABC中， a 、b、c 分别为 A、 B、 C的对边，若a : b: c =1:1: 3，求 A:B:C 的值 .二、新课导学新知：坡度、仰角、俯角、方向角方向角---从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角；坡度 ---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角；仰角与俯角 ---视野与水平线的夹角当视野在水平线之上时，之下时，称为俯角.称为仰角；当视野在水平线研究：物高度AB 是底部 B 不行抵达的一个建筑物，AB 的方法 .A 为建筑物的最高点，设计一种丈量建筑剖析：选择基线HG，使 H、 G、 B 三点共线，要求 AB，先求 AE在ACE 中，可测得角，要点求AC在ACD 中，可测得角，线段，又有故可求得AC三、讲堂稳固例 1. 如图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点角=54 40，在塔底 C 处测得 A 处的俯角=50A 的俯1 .已知铁塔 BC部分的高为27.3 m，求出山高CD(精准到 1 m)例 2. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到 A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15 的方向上，行驶5km 后抵达B处，测得此山顶在东偏南25 的方向上，仰角为8 ，求此山的高度CD.问题 1：欲求出 CD，思虑在哪个三角形中研究比较适合呢问题 2：在 BCD中，已知 BD 或 BC都可求出 CD，依据条件，易计算出哪条边的长变式：某人在山顶察看到地面上有相距2500西 57°，俯角是60°，测得目标 B 在南偏东米的A、B 两个目标，测得目标78°，俯角是 45°，试求山高.A 在南偏【学习小结】利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及依据题意画方向图，要懂得从所给的背景资猜中进行加工、抽取主要要素，进行适合的简化.在湖面上高h处，测得云之仰角为，湖中云之影的俯角为，则云高为hg sin() .sin()【课后作业】基础部分1. 在ABC中，以下关系中必定成立的是（） .A．a b sin A B．a bsin AC．a b sin A D．a bsin A2. 在ABC 中， AB=3，BC= 13 ， AC=4，则边 AC 上的高为（） .A ．3 2B ．3 3C ．3D ．3 32 2 23. D 、C 、B 在地面同向来线上， DC=100 米，从 D 、C 两地测得 A 的仰角分别为 30o 和 45o ，则 A 点离地面的高 AB 等于（ ）米．A ． 100B ． 50 3C ．50( 3 1)D ．50 (3 1)4. 在地面上 C 点，测得一塔塔顶 A 和塔基 B 的仰角分别是 60 和 30 ，已知塔基 B 超出 地面 20m ，则塔身 AB 的高为 _________ m ．5. 在ABC 中， b 2 2 ， a 2 ，且三角形有两解， 则 A 的取值范围是 ．1. 为测某塔 AB 的高度，在一幢与塔AB 相距 20m 的楼的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为30°，测得塔基 B 的俯角为 45°，则塔 AB 的高度为多少 m提升部分2. 在平川上有 A 、 B 两点， A 在山的正东， B 在山的东南，且在 A 的南偏西 15°距离300 米的地方，在 A 侧山顶的仰角是 30°，求山高 .§应用举例—③丈量角度课型：新讲课编写人：审查人：【学习目标和要点、难点】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些相关计算角度的实质问题【学习内容和学习过程】一、新课导入.复习1：在△ABC中，已知c 2 ，C，且1absin C 3 ，求a，b .32二、新课导学例 1. 如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东75 的方向航行n mile 后抵达海岛 B，而后从 B 出发，沿北偏东32的方向航行n mile 后达到海岛 C.假以下次航行直接从 A 出发抵达 C，此船应当沿如何的方向航行，需要航行多少距离(角度精准到，距离精准到mile)剖析：第一由三角形的内角和定理求出角ABC，而后用余弦定理算出AC边，再依据正弦定理算出AC边和 AB 边的夹角CAB.例 2. 某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45 相距 9 海里的 C处有一艘走私船，正沿南偏东 75 的方向以 10 海里 / 小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立刻以 14 海里 /小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应当沿什么方向去追需要多少时间才追追上该走私船手试一试练 1. 甲、乙两船同时从 B 点出发，甲船以每小时10( 3 ＋ 1)km 的速度向正东航行，乙船以每小时20km 的速度沿南偏东60°的方向航行， 1 小时后甲、乙两船分别抵达A、C 两点，求A、 C 两点的距离，以及在 A 点察看 C 点的方向角 .练 2. 某渔轮在 A 处测得在北偏东45°的 C 处有一鱼群，离渔轮9 海里，并发现鱼群正沿南偏东75°的方向以每小时10 海里的速度游去，渔轮立刻以每小时14 海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上鱼群【学习小结】1. 已知量与未知量所有集中在一个三角形中，挨次利用正弦定理或余弦定理解之.；2．已知量与未知量波及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐渐在其余的三角形中求出问题的解.拓展已知 ABC的三边长均为有理数， A= 3，B=2，则 cos5是有理数，仍是无理数由于 C5，由余弦定理知cosC a 2b2c2为有理数，2 ab)cosC 为有理数 .因此 cos5cos(5【课后作业】基础部分1.从 A 处望 B 处的仰角为，从 B 处望 A 处的俯角为，则，的关系为（）.A．B．=C．+=90o D．+=180o2.已知两线段 a 2 ，b 2 2 ，若以 a 、b为边作三角形，则边 a 所对的角 A的取值范围是（） .A． (, )B． (0,]636C． (0,)D． (0,]2243.对于 x 的方程 sin Agx sin C0 有相等实根，且 A、B、C 是 ABC 的三个2sin Bgx内角，则三角形的三边a、 b、c 知足（） .A．b ac B．a bcC．c ab D． b2ac4.△ ABC 中，已知 a:b:c=( 3+1):( 3 -1): 10 ，则此三角形中最大角的度数为.5.在三角形中，已知 :A，a， b 给出以下说法 :(1)若 A≥ 90°，且 a≤ b，则此三角形不存在(2)若 A≥ 90°，则此三角形最多有一解(3)若 A＜ 90°，且 a=bsinA，则此三角形为直角三角形，且(4)当 A＜ 90°， a<b 时三角形必定存在(5)当 A＜ 90°，且 bsinA<a<b 时，三角形有两解B=90°此中正确说法的序号是.提升部分1. 我舰在敌岛 A 南偏西50以 10 海里 / 小时的速度航行敌舰相距 12 海里的 B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用10 的方向2 小时追上§应用举例—④解三角形课型：新讲课编写人：审查人：【学习目标和要点、难点】1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决相关三角形的问题；2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；3.能证明三角形中的简单的恒等式．【学习内容和学习过程】复习 1：在ABC 中（ 1）若 a1,b3, B120，则 A等于．（ 2）若 a 3 3 ，b2， C150 ，则c_____．复习 2：在 ABC 中，a33， b 2 ， C150，则高 BD=，三角形面积=．二、新课导学研究：在ABC中，边 BC上的高分别记为h a，那么它如何用已知边和角表示h a =bsinC=csinB依据从前学过的三角形面积公式S= 1ah，2S=1代入能够推导出下边的三角形面积公式，absinC，2或 S=，同理 S=．新知：三角形的面积等于三角形的随意两边以及它们夹角的正弦之积的一半．三、讲堂稳固例 1. 在ABC 中，依据以下条件，求三角形的面积（ 1）已知 a=， c=， B= ；（ 2）已知 B= ， C= ， b=；（ 3）已知三边的长分别为a=，b=，S（精准到 2 ）：c=38.7cm．变式：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的地区改造成室内公园，经过测量获得这个三角形地区的三条边长分别为 68m， 88m， 127m，这个地区的面积是多少（精准到2）例 2. 在ABC 中，求证：（1） a 2b2sin2 A sin2 B ；c2sin2 C（2） a 2 + b 2 + c2 =2（ bccosA+cacosB+abcosC）．小结：证明三角形中恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．※ 着手试一试练1.在ABC 中，已知a，33cm，B45o，则ABC 的面积是．28cm c练 2. 在ABC 中，求证：c(a cos B b cos A) a 2b2．【学习小结】1. 三角形面积公式：S= 1absinC= = ．22. 证明三角形中的简单的恒等式方法： 应用正弦定理或余弦定理， “边”化“角”或“角”化“边”．识拓展三角形面积 Sp( p a)( p b)( p c) ，这里 p1( a b c) ，这就是着名的海伦公式．2【课后作业】 基础部分1. 在 ABC 中， a2,b 3, C 60 ，则 S ABC （ ）.A. 23B.3 C. 3D. 322 2. 三角形两边之差为2，夹角的正弦值为 3 ，面积为 9，那么这个三角形的两边长分） .5 2别是（A.3和5B.4和6C.6和 8D.5和 73. 在 ABC 中，若 2cosB sin AsinC ，则 ABC 必定是（ ）三角形． A. 等腰 B. 直角 C. 等边 D. 等腰直角4. ABC 三边长分别为3,4,6 ，它的较大锐角的均分线分三角形的面积比 是 ．5. 已知三角形的三边的长分别为 a 54cm ， b 61cm ， c 71cm ，则ABC 的面积是 ．6. 已知在ABC 中， B=30，b=6， c=6 3 ，求 a 及 ABC 的面积 S ．提升部分2. 在△ ABC 中，若 sin A sin B sin C (cos A cos B) ，试判断△ ABC 的形状 .第一章解三角形（复习）课型：新讲课编写人：审查人：【学习目标和要点、难点】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些相关丈量距离的实质问题【学习内容和学习过程】一、新课导入复习 1：正弦定理和余弦定理（1）用正弦定理：①知两角及一边解三角形；②知两边及此中一边所对的角解三角形（要议论解的个数）．（2）用余弦定理：①知三边求三角；②知道两边及这两边的夹角解三角形．复习 2：应用举例①距离问题，②高度问题，③ 角度问题，④计算问题．练：有一长为 2 公里的斜坡，它的倾斜角为30°，现要将倾斜角改为45°，且高度不变 . 则斜坡长变成 ___．二、新课导学例 1. 在ABC中 tan( A B) 1 ，且最长边为1，tan A tan B ，tan B 1，求角 C的大小及△ABC最短边的长．2例 2. 如图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等候营救．甲船立刻前去营救，同时把信息见告在甲船的南偏西30 o，相距 10 海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前去 B 处营救（角度精准到 1 o）北A2010C例3.在ABC 中，设tan A2c b, 求 A 的值．tan B bB手试一试练 1. 如图，某海轮以 60 n mile/h的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东 60°，向北航行 40 min 后抵达 B 点，测得油井 P 在南偏东 30°，海轮改为北偏东 60°的航向再行驶 80 min 抵达 C 点，求 P、 C 间的距离．北C60°B30°A60°P练 2. 在△ ABC 中， b＝ 10，A＝30°，问 a 取何值时，此三角形有一个解两个解无解【学习小结】1.应用正、余弦定理解三角形；2.利用正、余弦定理解决实质问题（丈量距离、高度、角度等）；3．在现实生活中灵巧运用正、余弦定理解决问题. （边角转变）．设在ABC 中，已知三边 a ，b， c ，那么用已知边表示外接圆半径R 的公式是abcRp( p a)( p b )( p c)【课后作业】 基础部分1. 已知△ ABC 中， AB ＝6，∠ A ＝ 30°，∠ B ＝ 120 ，则△ ABC 的面积为（）.A ． 9B ． 18C ．9D ．18 32.在△ ABC 中，若 c 2a 2b 2ab ，则∠ C=（ ） .A ． 60°B ． 90°C ．150°D ． 120°3. 在 ABC 中， a 80 ， b100 ，A=30°，则 B 的解的个数是（ ） .A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．不确立的4. 在△ ABC 中， a 32 ， b2 3 ， cosC1，则 S △ABC _______35. 在 ABC 中， a 、 b 、 c 分别为 A 、 B 、C 的对边，若 a 2b 2c 22bcsin A ，则 A=___ ____.1. 已知 A 、B 、C 为 ABC 的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若cos B cos C sin B sin C 1 ．2（ 1）求 A ；（ 2）若 a 2 3, b c 4 ，求 ABC 的面积．提升部分2. 在 △ ABC 中， a, b,c 分别为角 2228bc A 、B 、C 的对边， ac b ， a =3， △ ABC 的面积为 6，5（ 1）求角 A 的正弦值； （2）求边 b 、c.。

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1.1．2 余弦定理（二)［学习目标］ 1。

熟练掌握余弦定理及其变形形式，能用余弦定理解三角形。

2。

能应用余弦定理判断三角形形状.３。

能利用正弦、余弦定理解决解三角形的有关问题．知识点一余弦定理及其推论1.ａ２=b2＋c2-２bc cos__A，b２＝ｃ2+ａ2－2ｃa cos_＿B，c２=ａ2+b2－2aｂcos＿＿C．2.cos A=错误!,ｃos B＝错误!,coｓC＝错误!.３．在△AＢC中,ｃ２=a2＋ｂ2⇔C为直角,ｃ2＞a2＋ｂ2⇔Ｃ为钝角;c2＜a2+ｂ2⇔C为锐角．知识点二正弦、余弦定理解决的问题思考以下问题不能用余弦定理求解的是＿＿＿___＿＿.（1)已知两边和其中一边的对角，解三角形；(2)已知两角和一边，解三角形；（3)已知一个三角形的两条边及其夹角，解三角形;（４）已知一个三角形的三条边,解三角形.答案 (2)题型一利用余弦定理判断三角形的形状例1 在△AＢC中,cｏs２错误!＝错误!,其中a,b，c分别是角A，B，C的对边，则△ＡBＣ的形状为（ )A.直角三角形B．等腰三角形或直角三角形Ｃ．等腰直角三角形D．正三角形答案 A解析方法一在△ABC中，由已知得＼f(1＋ｃoｓＢ,2)=＼f(１，2）+错误!，∴cｏｓB=ac=错误!,化简得c２=a2+ｂ2。