新编高考数学理易错考点纠错笔记专题：三角函数(含解析)

三角函数易错点总结三角函数是高中数学中的重要内容，也是高考中的必考知识点。

然而，由于三角函数涉及的概念、公式较多，且运算较为复杂，同学们在学习和解题过程中常常会出现各种错误。

下面就为大家总结一下三角函数中的易错点。

一、概念理解不清1、象限角与终边相同角的概念混淆象限角是指角的终边落在哪个象限，而终边相同角是指具有相同终边的角。

例如，角α与角β的终边相同，则β ＝α ＋k×360°（k∈Z）。

很多同学在判断角所在象限时，容易忽略终边相同角的情况，导致出错。

2、弧度制与角度制的换算错误弧度制与角度制的换算公式为：180°＝π 弧度。

在进行换算时，要注意系数的转换。

有些同学容易将换算公式记错，或者在计算过程中出现粗心大意的情况。

3、三角函数的定义理解不准确三角函数的定义是在单位圆中给出的，例如正弦函数sinα ＝ y/r，余弦函数cosα ＝ x/r，正切函数tanα ＝ y/x。

在运用定义解题时，要注意坐标的正负以及 r 的取值为 1。

有些同学在计算时容易忽略这些细节，导致结果错误。

二、公式运用错误1、同角三角函数基本关系式的运用错误同角三角函数的基本关系式有：s in²α ＋cos²α ＝ 1，tanα ＝sinα/cosα。

在运用这些关系式进行化简、求值时，要注意三角函数值的正负以及分母不为零的情况。

很多同学在解题时，没有考虑到这些条件，从而得出错误的结果。

2、诱导公式的运用错误诱导公式有很多组，记忆时容易混淆。

例如，sin(π α) ＝sinα，cos(π α) ＝cosα 等。

在运用诱导公式时，要注意符号的变化以及角的变化规律。

有些同学在使用诱导公式时，没有正确判断符号，或者记错了角的变化关系，导致计算错误。

3、两角和与差的三角函数公式的运用错误两角和与差的三角函数公式有：sin(α ± β) ＝sinαcosβ ± cosαsinβ，cos(α ± β) ＝cosαcosβ ∓ sinαsinβ，tan(α ± β) ＝（tanα ± tanβ)／（1 ∓tanαtanβ)。

千里之行，始于足下。

2024届全国新高考数学精准复习三角函数知识点总结2024届全国新高考数学考试中，三角函数是一个重要的知识点。

以下是三角函数的主要内容和考点总结：1. 基本概念：- 弧度与角度的转换：1弧度=180°/π，1度=π/180弧度。

- 正弦、余弦、正切、余切、正割、余割的定义与关系。

2. 三角函数的图像与性质：- 正弦函数和余弦函数的图像特点：周期为2π，在x轴上的零点为kπ，振幅为1。

- 正切函数的图像特点：周期为π，在x轴上的零点为kπ，无振幅。

- 三角函数的奇偶性：正弦函数是奇函数、余弦函数是偶函数、正切函数是奇函数。

- 三角函数的周期性：正弦、余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π。

3. 三角函数的性质与关系：- 三角函数的基本关系：tanx=sinx/cosx，cotx=1/tanx，secx=1/cosx，cscx=1/sinx。

- 三角函数的倒数关系：sinx=1/cscx，cosx=1/secx，tanx=1/cotx。

- 三角函数的平方关系：sin^2x+cos^2x=1，1+tan^2x=sec^2x，1+cot^2x=csc^2x。

4. 三角函数的性质与特殊值：- 正弦函数和余弦函数的取值范围：-1≤sinx≤1，-1≤cosx≤1。

第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。

- 正切函数和余切函数的取值范围：tanx属于R，cotx属于R。

- 三角函数的特殊值：sin0=0，cos0=1，sin90°=1，cos90°=0，tan45°=1，cot45°=1。

5. 三角函数的解析式与性质：- sin(x±y)=sinxcosy±cosxsiny。

- cos(x±y)=cosxcosy∓sinxsiny。

- tan(x±y)=(tanx±tany)/(1∓tanxtany)。

新高考三角函数知识点归纳总结三角函数在新高考数学考试中扮演着重要的角色。

掌握三角函数的相关知识点，不仅可以帮助我们解决各类与角度、长度及图形性质相关的问题，还能够为以后的高等数学学习打下坚实的基础。

本文将对新高考中的三角函数知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地复习和应对考试。

一、三角函数的基本概念和性质三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们都是角的函数，表示角与某一边的长度的比值。

1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦值等于对边与斜边的比值，即sin(A) = a/c。

2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦值等于邻边与斜边的比值，即cos(A) = b/c。

3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切值等于对边与邻边的比值，即tan(A) = a/b。

此外，我们还需了解三角函数在单位圆上的定义和性质：4. 单位圆的角度：单位圆的半径为1，角度以弧度制表示，其中360°等于2π弧度。

5. 弧度与角度的转换关系：1弧度约等于57.3°，即1弧度≈ 57.3°。

6. 三角函数的周期性：正弦函数和余弦函数的周期为2π，而正切函数的周期为π。

二、三角函数的基本关系及推导1. 三角函数之间的基本关系：根据三角恒等式，我们可以推导出三角函数之间的基本关系。

例如，sin²A + cos²A = 1，tanA = sinA/cosA等。

2. 三角函数的和差化积公式：通过和差化积公式，我们可以将两个三角函数的和差表示为一个三角函数的乘积。

三、三角函数的图像和性质1. 正弦函数的图像和性质：正弦函数的图像是一条连续的波浪线，振幅为1，在0～2π的区间内周期性重复。

2. 余弦函数的图像和性质：余弦函数的图像也是一条连续的波浪线，振幅为1，在0～2π的区间内周期性重复，与正弦函数的图像相位差90°。

3. 正切函数的图像和性质：正切函数的图像有无数个渐近线，它在每个π的整数倍处有一个垂直渐近线，且在每个π/2的整数倍处有一个水平渐近线。

专题11 三角函数的图像与性质中的易错点一．学习目标1．理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性．2．会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期． 3．理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题． 二．方法总结1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致： (1)首先看定义域是否关于原点对称； (2)在满足(1)后，再看f (－x )与f (x )的关系.另外三角函数中的奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式. 2.三角函数的单调性(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的单调区间的确定，其基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体，比如：由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z)解出x 的范围，所得区间即为增区间.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中A ＞0，ω＜0，可用诱导公式将函数变为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间. 对函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)等单调性的讨论同上.(2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：①先判断正负；②利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；③再利用单调性比较. 3.求三角函数的最值常见类型：(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝A tan(ωx ＋φ)＋B ， (2)y ＝A (sin x －a )2＋B ，(3)y ＝a (sin x ±cos x )＋b s in x cos x (其中A ，B ，a ，b ∈R ，A ≠0，a ≠0). 三．函数图象与性质需要掌握的题型 （一）三角函数图象平移 （二）三角函数的零点 （三）函数的单调性 （四）函数的解析式 （五）三角函数图象综合 （六）三角函数的奇偶性（七）三角函数的对称性（八）三角函数的最值（九）三角函数与数列的综合（十）三角函数的周期性四．典例分析（一）三角函数图象平移例1．为了得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【答案】B【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.练习1．为了得到的图像，只需把函数的图像（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】逆用两角和的余弦公式，得=，再分析两个函数图象的变换.【详解】因为，要得到函数，只需将的图象向右平移个单位长度即可．故选D.【点睛】本题考查了三角函数的图象与变换，考查了两角和的余弦公式的应用；解决三角函数图象的变换问题，首先要把变换前后的两个函数化为同名函数.（二）三角函数的零点例2．函数的零点个数为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过函数为0，转化为两个函数的图象交点个数问题.【详解】由已知，令，即，在同一坐标系中画出函数和的图象，如图所示，两个函数图象有两个不同的交点，所以函数的零点个数为2个，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中根据三角函数的恒等变换，把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，在同一坐标系中作出两个函数的图象是解答的关键，着重考查了转化思想和数形结合思想的应用.练习1．设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为A．10 B．8 C．16 D．20【答案】B【解析】根据函数是定义在R上的奇函数得函数图像关于原点对称，又由可得函数图像关于直线对称，故而得出函数是以4为周期的周期函数，然后利用数形结合便可得解。

三角函数的易错知识点总结引言三角函数是数学中非常重要的一个概念，它在几何、物理、工程等众多领域都有广泛的应用。

然而，由于其涉及的概念较多且相互之间关联复杂，初学者常常容易在某些知识点上出现错误。

本文将总结三角函数中一些常见的易错知识点，并提供解决方法，帮助读者更好地理解和应用三角函数。

1. 角度与弧度的转换在三角函数中，我们通常用角度来表示一个角的大小。

然而，有时候我们需要将角度转换为弧度进行计算。

这是一个容易出错的地方。

要注意以下转换关系： -弧度 = 角度× π / 180 - 角度 = 弧度× 180 / π在进行角度与弧度的转换时，务必注意单位的正确性，避免计算出错。

2. 三角函数的定义域与值域在学习各种三角函数时，我们需要了解它们的定义域和值域，以便正确地应用它们。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

它们的定义域和值域如下：•正弦函数（sin）：定义域为实数集，值域为[-1, 1]。

•余弦函数（cos）：定义域为实数集，值域为[-1, 1]。

•正切函数（tan）：定义域为实数集，值域为全体实数。

在计算中，要注意将角度转换为弧度，并根据定义域和值域的限制来确定计算结果的合理性。

3. 三角函数的基本性质在使用三角函数进行计算时，我们需要了解它们的基本性质，以便正确地进行推导和运算。

以下是三角函数的一些基本性质：•正弦函数和余弦函数的关系：sin(x) = cos(x - π/2)•正切函数和余切函数的关系：tan(x) = 1 / cot(x)•三角函数的周期性：sin(x + 2π) = sin(x)，cos(x + 2π) = cos(x)，tan(x + π) = tan(x)在推导过程中，可以根据这些基本性质进行等式的变形和化简，简化计算过程。

4. 三角函数的常用公式三角函数有许多常用的公式和恒等式，它们在计算中经常被使用。

以下是一些常见的公式：•和差公式：–sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)–cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)–tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y)) / (1 ∓ tan(x)tan(y))•二倍角公式：–sin(2x) = 2sin(x)cos(x)–cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)–tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan^2(x))•半角公式：–sin(x/2) = ± √[(1 - cos(x)) / 2]–cos(x/2) = ± √[(1 + cos(x)) / 2]–tan(x/2) = ± √[(1 - cos(x)) / (1 + cos(x))]在计算中，熟练掌握这些公式可以大大简化运算过程，减少出错的可能性。

专题1-1 三角函数重难点、易错点突破（建议用时：180分钟）1 同角三角函数关系巧应用同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系的巧应用.一、知一求二例1 已知sin α＝255，π2≤α≤π，则tan α＝_________________________________.二、“1”的妙用例2 证明：1－sin 6x －cos 6x 1－sin 4x －cos 4x ＝32.三、齐次式求值例3 已知tan α＝2，求值：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝________； (2)2sin 2α－3cos 2α＝________.2 三角函数的性质总盘点三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”.要能够灵活地运用性质，必须在脑海中能及时地浮现出三角函数的图象.下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们用心体会.一、定义域例1 函数y ＝cos x －12的定义域为________.二、值域与最值例2 函数y ＝cos(x ＋π3)，x ∈(0，π3]的值域是________.三、单调性例3 已知函数f (x )＝sin(π3－2x )，求： (1)函数f (x )的单调减区间；(2)函数f (x )在[－π，0]上的单调减区间.四、周期性与对称性例4 已知函数f (x )＝sin(2ωx －π3)(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象的对称轴方程是________.五、奇偶性例5 若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π))是偶函数，则φ＝________.1 善用数学思想——巧解题一、数形结合思想例1 在(0，2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________.二、分类讨论思想例2 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值.三、函数与方程的思想例3 函数f (x )＝3cos x －sin 2x (π6≤x ≤π3)的最大值是________.四、转化与化归思想例4 比较下列两个数的大小tan(－13π4)与tan(－17π5).2 三角恒等变形的几个技巧三角函数是高考的热点，素以“小而活”著称．除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧．下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助．一、灵活降幂例1 3－sin 70°2－cos 210°＝________. 二、化平方式例2 化简求值：12－1212＋12cos 2α(α∈(3π2，2π))．三、灵活变角例3 已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝________. 四、构造齐次弦式比，由切求弦例4 已知tan θ＝－12，则cos 2θ1＋sin 2θ的值是________． 五、分子、分母同乘以2n sin α求cos αcos 2αcos 4α·cos 8α…cos 2n －1α的值例5 求值：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.1 数形结合百般好，形象直观烦琐少——构建正弦、余弦函数图象解题正弦、余弦函数的图象是本章的重点，也是高考的一个热点，它不仅能直观反映三角函数的性质，而且它还有着广泛的应用，若能根据问题的题设特点灵活构造图象，往往能直观、准确、快速解题.一、确定函数的值域例1 定义运算a ※b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，例如，1※2＝1，则函数f (x )＝sin x ※cos x 的值域为________.二、确定零点个数例2 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －sin x 在区间[0，2π]上的零点个数为________.三、确定参数的值例3 已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝_________.四、判断函数单调性例4 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )________.(将正确说法的序号填上) ①在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上是单调增函数 ②在区间⎣⎡⎦⎤3π4，13π12上是单调增函数 ③在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π4上是单调减函数 ④在区间⎣⎡⎦⎤π3，5π6上是单调减函数 五、确定参数范围例5 当0≤x ≤1时，不等式sinπx 2≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是________. 六、研究方程的实根例6 已知方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝k 在[0，π]上有两个实数根x 1，x 2，求实数k 的取值范围，并求x 1＋x 2的值.2 聚焦三角函数最值的求解策略一、化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求解例1 求函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋sin 2x cos 2x 2－sin 2x的最值．例2 求函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小值，并写出y 取最小值时x 的集合．二、利用正弦、余弦函数的有界性求解例3 求函数y ＝2sin x ＋12sin x －1的值域．例4 求函数y ＝sin x ＋3cos x －4的值域．三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例5 设关于x 的函数y ＝cos 2x －2a cos x －2a 的最小值为f (a )，写出f (a )的表达式．四、利用函数的单调性求解例7 求函数y ＝(1＋sin x )(3＋sin x )2＋sin x的最值．例8 在Rt △ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上，设AB ＝a ，∠ABC ＝θ，△ABC 的面积为P ，正方形面积为Q .求P Q的最小值．易错问题盘点一、求角时选择三角函数类型不当而致错例1 已知sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，求α＋β的值．二、忽视条件中隐含的角的范围而致错例2 已知tan 2α＋6tan α＋7＝0，tan 2β＋6tan β＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．三、忽略三角形内角间的关系而致错例3 在△ABC 中，已知sin A ＝35，cos B ＝513，求cos C .四、忽略三角函数的定义域而致错例4 判断函数f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x的奇偶性．五、误用公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)而致错例5 若函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)，x ∈R 是偶函数，求θ的值．专题1-1 三角函数重难点、易错点突破参考答案1 同角三角函数关系巧应用例1 解析 由sin α＝255，且sin 2α＋cos 2α＝1得cos α＝±55， 因为π2≤α≤π，可得cos α＝－55，所以tan α＝sin αcos α＝－2. 答案 －2点评 已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用平方关系求另一弦函数值，再求切函数值，需要注意的是利用平方关系时，若没有角度的限制，要注意分类讨论.例2 证明 因为sin 2x ＋cos 2x ＝1，所以1＝(sin 2x ＋cos 2x )3，1＝(sin 2x ＋cos 2x )2，所以1－sin 6x －cos 6x 1－sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )3－sin 6x －cos 6x (sin 2x ＋cos 2x )2－sin 4x －cos 4x＝3sin 4x cos 2x ＋3cos 4x sin 2x 2sin 2x cos 2x ＝3(sin 2x ＋cos 2x )2＝32. 即原命题得证.点评 本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解.例3 解析 (1)因为cos α≠0，分子分母同除以cos α，得2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1. (2)2sin 2α－3cos 2α＝2sin 2α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α， 因为cos 2 α≠0，分子分母同除以cos 2α，得2sin 2α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan 2α＋1＝2×22－322＋1＝1. 答案 (1)－1 (2)1点评 这是一组在已知tan α＝m 的条件下，求关于sin α、cos α的齐次式值的问题.解这类问题需注意以下几点：(1)一定是关于sin α、cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos α≠0，所以分子、分母可同时除以cos n α(n ∈N ＋).这样可以将所求式化为关于tan α的表达式，整体代入tan α＝m 的值求解.2 三角函数的性质总盘点例1解析 由题意得cos x ≥12，所以2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z . 即函数的定义域是[2k π－π3，2k π＋π3]，k ∈Z . 答案 [2k π－π3，2k π＋π3]，k ∈Z 点评 解本题的关键是先列出保证函数式有意义的三角不等式，然后利用三角函数的图象或者单位圆中三角函数线求解.例2 解析 因为0<x ≤π3，所以π3<x ＋π3≤23π，f (x )＝cos x 的图象如图所示： 可知cos 23π≤cos(x ＋π3)<cos π3，即－12≤y <12.故函数的值域是[－12，12). 答案 [－12，12) 点评 解本题的关键是从x 的范围入手，先求得ωx ＋φ的范围，再结合余弦函数的图象对应得出cos(ωx ＋φ)的范围，从而可得函数的值域或者最值.例3 解 由f (x )＝sin(π3－2x )可化为f (x )＝－sin(2x －π3). 所以原函数的单调减区间即为函数y ＝sin(2x －π3)的单调增区间. (1)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 所以f (x )＝sin(π3－2x )的单调减区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z . (2)在减区间[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z 中， 令k ＝－1、0时，可以得到当x ∈[－π，0]时，f (x )＝sin(π3－2x )的单调减区间为[－π，－7π12]，[－π12，0]. 点评 解本题的关键是先把函数化为标准形式y ＝sin(ωx ＋φ)，ω>0，然后把ωx ＋φ看做一个整体，根据y ＝sin x 的单调性列出不等式，求得递减区间的通解；如果要求某一个区间上的单调区间，再对通解中的k 进行取值，便可求得函数在这个区间上的单调区间.例4 解析 由T ＝π＝2π2ω得ω＝1， 所以f (x )＝sin(2x －π3)， 由2x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，解得f (x )的对称轴为x ＝5π12＋k π2，k ∈Z . 答案 x ＝5π12＋k π2，k ∈Z 点评 解本题的关键是先由周期公式求得ω的值，再解决对称轴问题，求解对称轴有两种方法：一种是直接求得函数的对称轴；另一种是根据对称轴的特征——对应的函数值为函数的最值解决.同样地，求解对称中心也有两种方法.例5 解析 函数是偶函数，所以函数关于x ＝0对称.由x ＋φ3＝π2＋k π，k ∈Z ，可得函数的对称轴方程是x ＝x 3π2＋3k π－φ，k ∈Z .令3π2＋3k π－φ＝0，k ∈Z ， 解得φ＝3π2＋3k π，k ∈Z ，又φ∈[0，2π)，故φ＝3π2. 答案 3π2点评 解本题的关键是把奇偶性转化为对称性解决：偶函数⇔函数图象关于y 轴对称；奇函数⇔函数图象关于原点对称.1 善用数学思想——巧解题例1 解析 在同一坐标系中画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈(0，2π)的图象如图： 由图知，x ∈(π4，5π4).答案 (π4，5π4)点评 求解三角函数的方程、不等式时，通常利用函数的图象使问题变得更简单. 例2 解 角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上， 在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ， r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |.当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34，综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34； 或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.点评 (1)若角的终边位置象限不确定，应分类讨论.(2)若三角函数值含有变量，因变量取不同的值会导致不同的结果，需要讨论.例3 解析 f (x )＝3cos x －sin 2x ＝cos 2x ＋3cos x －1＝(cos x ＋32)2－74， 设cos x ＝t ，因为π6≤x ≤π3，所以由余弦函数的单调性可知，12≤cos x ≤32，即12≤t ≤32，又函数f (t )＝(t ＋32)2－74在[12，32]上是单调增函数，故f (t )max ＝f (32)＝54，所以f (x )的最大值为54. 答案 54点评 遇平方关系，可想到构造二次函数，再利用二次函数求解最大值. 例4 解 tan(－13π4)＝－tan π4，tan(－17π5)＝－tan 2π5.因为0<π4<2π5<π2，且y ＝tan x 在(0，π2)上是单调增函数，所以tan π4<tan 2π5.所以－tan π4>－tan 2π5，即tan(－13π4)>tan(－17π5).点评 三角函数值比较大小问题一般将其转化到某一三角函数的一个单调区间内，然后利用三角函数的单调性比较大小.另外诱导公式的使用也充分体现了将未知化为已知的化归与转化思想.2 三角恒等变形的几个技巧例1 解析3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝3－cos 20°3－cos 20°2＝2.答案 2点评 常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1进行降幂：如cos 4θ＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ＝1－12sin 22θ，等等．例2 解 因为α∈(3π2，2π)，所以α2∈(3π4，π)， 所以cos α>0，sin α2>0，故原式＝12－121＋cos 2α2＝ 12－12cos α＝ sin 2α2＝sin α2.点评 一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α、1－cos 2α、1＋sin 2α、1－sin 2α常常化为平方式：2cos 2α、2sin 2α、(sin α＋cos α)2、(sin α－cos α)2.例3 解析 cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1＝2sin 2(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79.答案 －79点评 正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“π6－α”表示待求角“2π3＋2α”，善于发现前者和后者的一半互余．例4 解析 cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＋2sin θcos θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＋2tan θ＝1－141＋14＋2×(－12)＝3414＝3.答案 3点评 解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“cos 2θ1＋sin 2θ”化为关于sin θ和cos θ的二次齐次弦式比．例5 解 原式＝12cos 20°cos 40°cos 80°＝4sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°8sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°8sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝116·sin 160°sin 20°＝116.点评 这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.1 数形结合百般好，形象直观烦琐少——构建正弦、余弦函数图象解题例1 解析 根据题设中的新定义，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x >cos x ，作出函数f (x )在一个周期内的图象，如图可知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 答案 ⎣⎡⎦⎤－1，22点评 有关三角函数的值域的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确地求解. 例2 解析 在同一直角坐标系内，画出y ＝⎝⎛⎭⎫12x及y ＝sin x 的图象，由图象可观察出交点个数为2. 答案 2点评 有关三角函数的交点个数的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确求解.例3 解析 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)且f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3， 又f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内只有最小值、无最大值，画出函数大致图象，如图所示， ∴f (x )在π6＋π32＝π4处取得最小值.∴π4ω＋π3＝2k π－π2(k ∈Z ).∴ω＝8k －103(k ∈Z ). ∵ω>0，∴当k ＝1时，ω＝8－103＝143；当k ＝2时，ω＝16－103＝383，此时在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内已存在最大值.故ω＝143. 答案143点评 本小题考查对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质的理解与应用，求解本题应注意两点：一是f (x )在π4处取得最小值；二是在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内只有最小值而无最大值，求解时作出其草图可以帮助解题.例4 解析 作出函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象如图所示.由图象可知②正确. 答案 ②点评 形如f (x )＝|A sin(ωx ＋φ)＋k |(A ≠0，ω≠0)的函数性质，可作出其图象，利用数形结合思想求解. 例5 解析 作出函数y ＝sinπx2，y ＝kx 的函数图象，如图所示.当k ≤0时，显然成立；当0<k ≤1时，由图象可知： sinπx2≥kx 在[0，1]上成立.综上所述，k ≤1. 答案 (－∞，1]点评 数形结合时，函数图象要根据题目需要作得精确可信，必要时应结合计算判断.本题讨论y ＝kx 与y ＝sinπx2的图象关系时，不要忘记k ≤0的情况. 例6 解 在同一坐标系内作出函数y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4(0≤x ≤π)与y 2＝k 的图象，如图所示.当x ＝0时，y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫0＋π4＝1. 所以当k ∈[1，2)时，两曲线在[0，π]上有两个交点，即方程有两个实数根x 1、x 2，且x 1、x 2关于x ＝π4对称，x 1＋x 2＝π2.故实数k 的取值范围是[1，2)，且x 1＋x 2＝π2.点评 本题通过函数图象的交点个数判断方程实数根的个数，应重视这种方法.2 聚焦三角函数最值的求解策略例1 解 原函数变形得：f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－sin 2x cos 2x2－sin 2x＝1－14sin 22x 2－sin 2x＝⎝⎛⎭⎫1＋12sin 2x ⎝⎛⎭⎫1－12sin 2x 2⎝⎛⎭⎫1－12sin 2x ＝14sin 2x ＋12.∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝14.例2 解 原函数化简得：y ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2. 当2x ＋π4＝2k π＋32π，k ∈Z ，即x ＝k π＋58π，k ∈Z 时，y min ＝2－ 2.此时x 的集合为{x |x ＝k π＋58π，k ∈Z }．点评 形如y ＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数)的式子，都能转化成y ＝A sin(2ωx ＋φ)＋B 的形式求最值．例3 解 原函数整理得sin x ＝y ＋12(y －1).∵|sin x |≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋12(y －1)≤1，解出y ≤13或y ≥3.即函数的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，13∪[3，＋∞)． 例4解 原函数整理得sin x －y cos x ＝－4y －3，∴y 2＋1sin(x ＋φ)＝－4y －3， ∴sin(x ＋φ)＝－4y －31＋y 2.∵|sin(x ＋φ)|≤1，解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4y －31＋y 2≤1得：－12－2615≤y ≤－12＋2615. 即值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2615，－12＋2615.点评 对于形如y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d 或y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d 的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值．例5 解y ＝cos 2x －2a cos x －2a ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫cos x －a 22－⎝⎛⎭⎫a 22＋2a ＋1.当a2<－1，即a <－2时，f (a )＝y min ＝1，此时cos x ＝－1. 当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，f (a )＝y min ＝－a 22－2a －1，此时cos x ＝a2.当a2>1，即a >2时，f (a )＝y min ＝1－4a ，此时cos x ＝1. 综上所述，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(a <－2)，－a22－2a －1(－2≤a ≤2)，1－4a (a >2).点评 形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数可转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 在区间[－1,1]上的最值问题解决．例6 解 设sin x ＋cos x ＝t ，t ∈[－2， 2 ]，则2sin x cos x ＝t 2－1，原函数变为y ＝t 2＋t ＋1，t ∈[－2，2 ]，当t ＝－12时，y min ＝34；当t ＝2时，y max ＝3＋ 2.点评 一般地，既含sin x ＋cos x (或sin x －cos x )又含sin x cos x 的三角函数采用换元法可以转化为t 的二次函数解最值．注意以下结论的运用，设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(t 2－1)；sin x －cos x ＝t ，则sin x cosx ＝12(1－t 2)． 例7 解 y ＝sin 2x ＋4sin x ＋3sin x ＋2＝(sin x ＋2)2－1sin x ＋2＝(sin x ＋2)－1(sin x ＋2)，令t ＝sin x ＋2，则t ∈[1,3]，y ＝t －1t.利用函数单调性的定义易证函数y ＝t －1t 在[1,3]上为增函数．故当t ＝1即sin x ＝－1时，y min ＝0； 当t ＝3即sin x ＝1时，y max ＝83.例8 解 AC ＝a tan θ，P ＝12AB ·AC ＝12a 2tan θ.设正方形边长为x ，AG ＝x cos θ，BC ＝acos θ.BC 边上的高h ＝a sin θ，∵AG AB ＝h －x h ，即x cos θa ＝a sin θ－x a sin θ， ∴x ＝a sin θ1＋sin θcos θ， ∴Q ＝x 2＝a 2sin 2θ(1＋sin θcos θ)2. 从而P Q ＝sin θ2cos θ·(1＋sin θcos θ)2sin 2θ＝(2＋sin 2θ)24sin 2θ＝1＋⎝⎛⎭⎫sin 2θ4＋1sin 2θ. 易知函数y ＝1t ＋t 4在区间(0,1]上是减少的， 所以当sin 2θ＝1时，⎝⎛⎭⎫P Q min ＝94. 点评 一些复杂的三角函数最值问题，可以通过适当换元转化为简单的代数函数后，利用函数单调性巧妙解决．易错问题盘点例1 [错解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝55×31010＋255×1010＝22. 因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β∈(0，π)． 所以α＋β＝π4或3π4. [剖析] 由sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，可以知道α和β都是定值，因此α＋β也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的．这是因为sin(α＋β)在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos(α＋β)的值．[正解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010， cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β∈(0，π)， 所以α＋β＝π4.温馨点评 根据条件求角，主要有两步：(1)求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，从而确定所求角的值.完成第一步一般要选择相对角的范围区分度比较大的三角函数，且确定范围要尽量缩小.例2 [错解] 由题意知tan α、tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6 ①tan αtan β＝7 ②∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1.∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π， ∴α＋β＝π4或α＋β＝54π.[剖析] 由①②知tan α<0，tan β<0，角α、β都是钝角．上述解法忽视了这一隐含条件．[正解] 由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝7易知tan α<0，tan β<0.∵α、β∈(0，π)， ∴π2<α<π，π2<β<π.∴π<α＋β<2π.又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝54π.例3 [错解] 由sin A ＝35，得cos A ＝±45，由cos B ＝513，得sin B ＝1213，当cos A ＝45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.当cos A ＝－45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝5665.[剖析] 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的和为π，解题时要充分利用这一定理．本题得到cos A ＝±45后，没有对cos A ＝－45这一结果是否合理进行检验，从而导致结论不正确．[正解] 由cos B ＝513>0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin B ＝1213. 由sin A ＝35，得cos A ＝±45，当cos A ＝－45时，cos A <－12.∴A >2π3.∵sin B ＝1213>32，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴B >π3. 故当cos A ＝－45时，A ＋B >π，与A 、B 是△ABC 的内角矛盾．∴cos A ＝45，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.例4 [错解] f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x＝1＋2sin x 2cos x 2－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2x 21＋2sin x 2cos x 2＋⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2－1＝2sin x2⎝⎛⎭⎫cos x 2＋sin x 22cos x 2⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 2＝tan x2，由此得f (－x )＝tan ⎝⎛⎭⎫－x 2＝－tan x2＝－f (x )， 因此函数f (x )为奇函数．[剖析] 运用公式后所得函数f (x )＝tan x2的定义域为{}x |x ∈R ，x ≠2k π＋π，k ∈Z .两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错．[正解] 事实上，由1＋sin x ＋cos x ≠0可得sin x ＋cos x ≠－1， 即2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠－1，从而sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠－22， 所以x ＋π4≠2k π＋5π4且x ＋π4≠2k π＋7π4(k ∈Z )，故函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π，且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z ，显然该定义域不关于原点对称． 所以函数f (x )为非奇非偶函数．例5 [错解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)， ∴f (0)＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数， ∴|f (0)|＝f (x )max ＝ 2. ∴f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝±2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝±1，∴θ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z . 即θ＝k π＋π4，k ∈Z .[剖析] 因为x ＋θ与x －θ是不同的角，所以函数f (x )的最大值不是2，上述解答把f (x )的最大值误当作2来处理．[正解] 因为f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数，所以f (x )＝f (－x )对一切x ∈R 恒成立．即sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ)恒成立． ∴[sin(x ＋θ)＋sin(x －θ)]＋[cos(x －θ)－cos(x ＋θ)]＝0. ∴2sin x cos θ＋2sin x sin θ＝0恒成立． 即2sin x (cos θ＋sin θ)＝0恒成立． ∴cos θ＋sin θ＝0.∵cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝0， ∴θ＋π4＝k π，即θ＝k π－π4，k ∈Z .。

专题04 三角函数易错点1 不能正确理解三角函数的定义角α的终边落在直线y ＝2x 上，则sin α的值为A ．－55 B ．55 C ．255D ．±255【错解】选C.在角的终边上取点P (1,2)，∴r ＝|OP |＝12＋22＝5，∴sin α＝y r ＝25＝255，故选C ．【错因分析】当角的终边在一条直线上时，应注意到角的终边为两条射线，所以应分两种情况处理，而错解中没有对两种情况进行讨论导致错误．【试题解析】当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P (1,2)， 由r ＝|OP |＝12＋22＝5，得sin α＝25＝255.当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)，∴22(1)(2)5r OQ =-+-== ∴sin α＝－25＝－255.故选D ． 【参考答案】D1．定义设α是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，点(),P x y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离()0OP r r =>，那么角α的正弦、余弦、正切分别是sin ,cos ,tan y x yr r xααα===． 注意：正切函数tan y x α=的定义域是ππ,2k k αα⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，正弦函数和余弦函数的定义域都是R . 2．三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．1．在平面直角坐标系中，角α以x 轴非负半轴为始边，终边在射线2(0)y x x =≥上，则tan α的值是 A ．2 B ．−2C ．12D ．12-【答案】A【解析】由题意，在平面直角坐标系中，角α以x 轴非负半轴为始边，终边在射线2(0)y x x =≥上， 设终边上的点(1,2)P ，根据三角函数的定义可得2tan 21α==，故选A ． 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的定义，其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．易错点2 利用同角三角函数基本关系式时忽略参数取值已知cos θ＝t ，求sin θ、tan θ的值．【错解】①当0<t <1时，θ为第一或第四象限角. θ为第一象限角时，sin θ＝1－cos 2θ＝1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝1－t 2t； θ为第四象限角时，sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝－1－t 2t. ②当－1<t <0时，θ为第二或第三象限角. θ为第二象限角时，sin θ＝1－cos 2θ＝1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝1－t 2t； θ为第三象限角时，sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝－1－t 2t.综上，sin θθθ=⎪⎩为第一、二象限角为第三、四象限角，tan θθθ=⎨⎪⎪⎩为第一、二象限角为第三、四象限角.【错因分析】上述解法注意到了θ的余弦值含有参数t ，根据余弦函数的取值范围对t 进行分类讨论，但上述讨论不全面，漏掉了很多情况，如t ＝－1，t ＝0，t ＝1. 【试题解析】①当t ＝－1时，sin θ＝0，tan θ＝0； ②当－1<t <0时，θ为第二或第三象限角.若θ为第二象限角，则sin θ＝1－t 2，tan θ＝1－t 2t；若θ为第三象限角，则sin θ＝－1－t 2，tan θ＝－1－t 2t. ③当t ＝0时，sin θ＝1，tan θ不存在或sin θ＝－1，tan θ不存在． ④当0<t <1时，θ为第一或第四象限角. 若θ为第一象限角，则sin θ＝1－t 2，tan θ＝1－t 2t； 若θ为第四象限角，则sin θ＝－1－t 2，tan θ＝－1－t 2t. ⑤当t ＝1时，sin θ＝0，tan θ＝0.综上得：【参考答案】见试题解析.1．①利用22sin +cos 1αα=可以实现角α的正弦、余弦的互化； ②利用sin costan ααα=可以实现角α的弦切互化．2．同角三角函数基本关系式的变形（1）平方关系的变形：2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；（2）商的关系的变形：sin sin tan cos ,cos tan αααααα=⋅=； （3）2222111tan 1,1cos sin tan αααα-=-=． 3．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．2．已知0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos21αα=+，则sin α= A 5B ．15C ．33D 25【答案】A【解析】2sin 2cos21α=α+Q ，24sin cos 2cos ααα∴=，0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，cos 0α∴>，sin 0α>，2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，5sin 5α∴=， 故选A.【名师点睛】本题考查三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的应用，易错点是忽略角所处的范围，造成符号错误．易错点3 不能准确运用诱导公式进行化简求值若sin θ＝33，求cos(π)cos(2π)3ππ3πcos [sin()1]cos(π)sin()sin()222θθθθθθθ--+--++-+的值．A ．0B ．1C ．6D ．6-【错解】选A. 原式＝cos cos (sin 1)θθθ--＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝－cos θcos θsin θ＋cos θ＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝0.【错因分析】错解中混淆了诱导公式sin(3π2－θ)＝－cos θ，sin(3π2＋θ)＝－cos θ，cos(π－θ)＝－cos θ，cos(π＋θ)＝－cos θ.【试题解析】原式＝cos cos (cos 1)θθθ---＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝2sin 2θ，因为sin θ＝33，所以所求三角函数式的值为6=. 【参考答案】C1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似πk α±的形式时，需要对k 的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负． 3．利用诱导公式化简三角函数式的思路： （1）分析结构特点，选择恰当公式； （2）利用公式化成单角三角函数； （3）整理得最简形式．利用诱导公式化简三角函数式的要求： （1）化简过程是恒等变形；（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． 4．巧用相关角的关系能简化解题的过程． 常见的互余关系有π3α-与π6α+，π3α+与π6α-，π4α+与π4α-等； 常见的互补关系有π3θ+与2π3θ-，π4θ+与3π4θ-等.3．若角θ的终边经过点(1,2)-，则sin()cos()tan()2θθθπ+π+-++π+=A ．2B ．12-C ．2-D ．12【答案】C【解析】由诱导公式可得sin()cos()tan()sin sin tan tan 2θθθθθθθπ+π+-++π+=-++=， 又角θ的终边经过点(1,2)-， 所以tan 2θ=-， 所以sin()cos()tan()tan 22θθθθπ+π+-++π+==-．故选C ．要作出正确选择，需认真选择诱导公式，不能错用公式．对于n π＋α，若n 是偶数，则角n π＋α的三角函数值等于角α的同名三角函数值；若n 为奇数，则角n π＋α的三角函数值等于角π＋α的同名三角函数值．易错点4 不能正确理解三角函数图象变换规律为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位【错解】选B.y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin2(x ＋5π12)，因此向右平移5π12个长度单位，故选B ．【错因分析】没有注意到变换方向导致了错解，目标是y ＝cos(2x ＋π3)的图象．【试题解析】y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin(2x ＋5π6)＝sin2(x ＋5π12)，因此将函数y ＝sin2x 的图象向左平移5π12个长度单位即可．故选A ． 【参考答案】A函数图象的平移变换解题策略（1）对函数y =sin x ，y =A sin(ωx ＋φ)或y =A cos(ωx ＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为ωx ±|φ|.（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.4．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω）的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 为偶函数C ．函数()g x 的图象的对称轴为直线()6x k k π=π+∈Z D ．函数()g x 的单调递增区间为5[,]()1212k k k ππ-+π+π∈Z【答案】D【解析】由函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>）的部分图象. 可知3A =， 由35341234T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，得=T π， 所以22===2T ωπππ， 代入点5,312π⎛⎫⎪⎝⎭得533sin 212ϕπ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭， 解得23k ϕπ=π-，取0k =，得3ϕπ=- 可得()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得()3sin 23sin 2333y g x x x ⎡⎤πππ⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象， 由函数解析式可以验证只有()g x 的单调递增区间为()5,1212k k k ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z 正确.故选D.【名师点睛】根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： ①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A =最大值−最小值2；②k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k =最大值+最小值2；③ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T =2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为−φω (即令ωx ＋φ＝0，x ＝−φω)确定φ.易错点5 注意符号对三角函数性质的影响已知函数()=2cos()32xf x π-. （1）求f (x )的单调递增区间；（2）若x ∈[－π，π]，求f (x )的最大值和最小值． 【错解】（1）由－π≤π3－x 2≤0得，2π3≤x ≤8π3，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2π3，8π3. （2）∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2≤1， ∴[f (x )]max ＝2，[f (x )]min ＝－2.【错因分析】（1）忽略了函数f (x )的周期性；（2）忽略了x ∈[－π，π]对函数f (x )的最值的影响． 【试题解析】（1）∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 由2k π－π≤x 2－π3≤2k π得，4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3(k ∈Z )．故f (x )的单调增区间为[4k π－4π3，4k π＋2π3](k ∈Z )． （2）由－π≤x ≤π⇒－5π6≤x 2－π3≤π6.当x 2－π3＝0，即x ＝2π3时，f (x )max ＝2，当x 2－π3＝－5π6，即x ＝－π时，f (x )min ＝－ 3. 【参考答案】（1）函数()f x 的单调递增区间为[4k π－4π3，4k π＋2π3](k ∈Z )；（2）f (x )max ＝2，f (x )min ＝－ 3.1．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解. 2．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法（1）形如y =a sin x ＋b cos x ＋k 的三角函数化为y =A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域(最值)； （2）形如y =a sin 2x ＋b sin x ＋k 的三角函数，可先设sin x =t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；（3）形如y =a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t =sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)． 3．三角函数单调性问题的常见类型及解题策略 （1）已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y =A sin （ωx ＋φ）或y =A cos （ωx ＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． （2）已知三角函数的单调区间求参数：先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．（3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）：形如y =A sin （ωx ＋φ）＋b 或可化为y =A sin （ωx ＋φ）＋b 的三角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决. 4．三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法（1）求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y =A sin(ωx ＋φ)，y =A cos(ωx ＋φ)，y =A tan(ωx ＋φ)的形式，再分别应用公式T =2||ωπ，T =2||ωπ，T =||ωπ求解． （2）对于函数y =A sin （ωx ＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x =x 0或点（x 0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f （x 0）的值进行判断．（3）若f （x ）=A sin （ωx ＋φ）为偶函数，则φ=k π＋2π（k ∈Z ），同时当x =0时，f （x ）取得最大或最小值．若f （x ）=A sin （ωx ＋φ）为奇函数，则φ=k π（k ∈Z ），同时当x =0时，f （x ）=0.5．对函数()213sin cos cos 2f x x x x =+-的表述错误的是 A ．最小正周期为πB ．函数sin2y x =向左平移12π个单位可得到()f x C ．()f x 在区间,36ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上递增D ．点,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 【答案】D【解析】因为()2131cos213sin cos cos sin 22226x f x x x x x x +⎛⎫=+-=+-=+ ⎝π⎪⎭, 所以最小正周期为22π=π， sin2y x =向左平移12π个单位可得到sin 2sin 2126y x x ⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,因为,36x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭,所以2,622x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，即()f x 单调递增，因为6x π=时，sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以点,06π⎛⎫⎪⎝⎭不是()f x 的对称中心， 综上，选D.【名师点睛】本题考查二倍角公式、辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.易错点6 三角恒等变换中忽略角的范围致误已知α、β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin （α＋β）＝5314，则β＝ A ．3πB ．23π C ．233ππ或D ．34ππ或【错解】选C.∵0<α<π，cos α＝17，∴sin α＝=.又∵sin （α＋β）＝14，∴cos （α＋β11.14-∴sin β＝sin[（α+β）－α]＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin α＝2. 又∵0<β<π，∴β＝233ππ或. 【错因分析】（1）不能根据题设条件缩小α、β及α＋β的取值范围，在由同角基本关系式求sin （α＋ β）时不能正确判断符号，产生两角．（2）结论处应由cos β的值确定β的取值，由sin β确定结论时易出现两解而造成失误．【试题解析】因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α=，故32αππ<<，又因为0<α＋β<π，sin （α＋β<，所以0<α＋β<3π或32π<α＋β<π.由3π<α<2π知32π<α＋β<π，所以cos （α＋β1114， 所以cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos （α＋β）cos α＋sin （α＋β）sin α＝12.又0<β<π，所以β＝3π.【参考答案】A利用三角函数值求角时，要充分结合条件，确定角的取值范围，再选取合适的三角函数进行求值，最后确定角的具体取值．1．给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解. 2．给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：（1）先化简所求式子．（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)． （3）将已知条件代入所求式子，化简求值． 3．给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： （1）已知正切函数值，则选正切函数．（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是π(0,)2，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为ππ(,)22-，则选正弦较好. 4．常见的角的变换 （1）已知角表示未知角例如：()()ααββββα=+-=--，()()()()2,2ααβαββαβαβ=++-=+--，(2)αβαβα+=++，(2)αβαβα-=-+，22αβαβα+-=+，22αβαββ+-=-.（2）互余与互补关系 例如：π3π()()π44αα++-=，πππ()()362αα++-=. （3）非特殊角转化为特殊角 例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.6．（1）在ΔABC 中，sinA ⋅sinB <cosA ⋅cosB ，则这个三角形的形状为 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．等腰三角形（2）若α∈(0,π)，且√3sinα+2cosα=2，则tan α2= A ．−√32B ．−√35C ．√32D ．√3【答案】（1）B ；（2）C.（1）【解析】∵在ΔABC 中，sinA ⋅sinB <cosA ⋅cosB, ∴cos (A +B )>0， ∴A +B ∈(0,π2),C >π2， ∴三角形是钝角三角形，故选B.【点睛】本题考查三角形的形状，两角和的余弦函数的应用，属于中档题. 判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.（2）【解析】√3sin α+2cos α=2⇒√3sin α=2−2cos α两边平方得3sin 2α=4−8cos α+4cos 2α可得3−3cos 2α=4−8cos α+4cos 2α ，1−8cos α+7cos 2α=0 解得cos α=17,∵α∈(0,π),∴α2∈(0,π2)，∵cosα=2cos 2α2−1,∴cos α2=√1+cosα2=2√77. 则sin α2=√1−cos 2α2=√217则tan α2=sinα2cosα2=√2172√77=√32.故选C.易错点7 求函数sin()y A x ωϕ=+的性质时出错函数y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)的最大值为 . 【错解】41函数的最大值为52＋42＝41.【错因分析】形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数的最大值为a 2＋b 2，而函数y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)不符合上述形式．【试题解析】y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°) ＝5sin(x ＋20°)＋4cos[(x ＋20°)＋30°]＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋20°)cos30°－4sin(x ＋20°)sin30° ＝5sin(x ＋20°)＋23cos(x ＋20°)－2sin(x ＋20°) ＝3sin(x ＋20°)＋23cos(x ＋20°)， ∴22max 3(23)21y =+=【参考答案】211．三角恒等变换与三角函数的图象及性质相结合的综合问题（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y =A sin(ωx ＋φ)＋t 或y =A cos(ωx ＋φ)＋t 的形式．（2）利用公式2π(0)T ωω=>求周期．（3）根据自变量的范围确定ωx ＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y =A sin(ωx ＋φ)＋t 或y =A cos(ωx ＋φ)＋t 的单调区间． 2．研究y =A sin(ωx ＋φ)＋t 或y =A cos(ωx ＋φ)＋t 的性质时，一定要先利用诱导公式把ω化为正数后求解.7．已知)22()2sin cos cos sin f x x x x x =+-． （1）求函数()y f x =的最小正周期和对称轴方程； （2）若50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()y f x =的值域． 【答案】（1）对称轴为()212k x k ππ=+∈Z ，最小正周期T =π；（2）()[1,2]f x ∈-.【解析】（1）)22()2sin cos cos sin f x x x x x =-sin 222sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令2()32x k k ππ+=π+∈Z ，则 ()f x 的对称轴为()212k x k ππ=+∈Z ，最小正周期T =π；（2）当50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 因为sin y x =在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减， 在2x π=取最大值，在76x π=取最小值， 所以1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()[1,2]f x ∈-．【名师点睛】本题考查正弦函数图象的性质，考查周期性，对称性，函数值域的求法，考查二倍角公式以及辅助角公式的应用，属于基础题.求三角函数的性质时，一般先通过恒等变形化为y =A sin(ωx ＋φ)，y =A cos(ωx ＋φ)，y =A tan(ωx ＋φ)的形式，再结合正弦函数y =sin x ，y =cos x ，y =tan x 的性质研究其相关性质．易错点8 解三角形时忽略角的取值范围致误在ABC △中，若3C B =，则cb的取值范围为 A ．(0,3) B ．(1,3) C ．(0,3]D ．(1,3]【错解】选A. 由正弦定理，可得2222sin sin 3sin 2cos cos 2sin =2cos cos 24cos 1sin sin sin 0cos 1,14cos 13,0,0,0 3.c C B B B B B B B B b B B BcB B b c b+===+=-≤<∴-≤-<>><<Q ，由可得【错因分析】错解中没有考虑角B 的取值范围，误认为角B 的取值范围为()0,180︒︒. 【试题解析】由正弦定理可得222sin sin 3sin 2cos cos 2sin =2cos cos 24cos 1sin sin sin 2180,3,045,cos 1,214cos 13,1 3.c C B B B B B B B B b B B B A B C C B B B c B b+===+=-++=︒=∴︒<<︒<<∴<-<<<，即Q【参考答案】B1．利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用． 2．常见结论：（1）三角形的内角和定理：在ABC △中，π A B C ++=，其变式有：πA B C +=-，π222A B C+=-等． （2）三角形中的三角函数关系：i in(s n s )A B C =+； ()s os co c A B C =-+；sincos 22A B C +=； cos sin 22A B C+=.8．在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且60b c C ===︒，则角B =A ．45︒B ．30°C ．45︒或135︒D ．30°或150︒【答案】A【解析】由正弦定理得sin sin b c B C==，得sin B 2=， 又b ＜c ，∴B ＜C ，∴B ＝45°， 故选：A ．【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.一、三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式 1．角的有关概念（1）定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．（2）分类⎧⎨⎩按旋转方向不同分为正角、负角、零角按终边位置不同分为象限角和轴线角.（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合·3{,|60S k ββα==+︒ }k ∈Z ．2．弧度制（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. （2）公式3．任意角的三角函数（1）定义：设α是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，点(),P x y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离()0OP r r =>，那么角α的正弦、余弦、正切分别是sin ,cos ,tan y x yr r xααα===． （2）三角函数值在各象限内的符号：（3）各象限内的三角函数线如下：角所在的象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限图形（4）特殊角的三角函数值：α0︒ 30︒45︒60︒90︒120︒135︒150︒ 180︒270︒360︒π6π4π3π22π3 3π4 5π6 π3π22πsin α12 22 3213222121-cos α132 221212-22- 32-1-1tan α3313 不存在3-1- 33-不存在 06262sin15cos 75,sin 75cos15,44-+︒=︒=︒=︒=tan1523,tan 752 3.︒=-︒=+ 4．同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：22sin cos 1αα+=． （2）商的关系：sin cos tan ααα=． 5．三角函数的诱导公式公式一 二三四五六角2k π+α（k ∈Z ）π+α−απ−α2π−α 2π+α 正弦 sin α −sin α −sin α sin α cos α cos α 余弦cos α−cos αcos α−cos αsin α−sin α二、三角函数的图象与性质1．正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =的图象与性质2．函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质（1）图象变换：由函数sin y x =的图象通过变换得到sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.22（2）函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质：①奇偶性：=k ϕπ时，函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数；=2k ϕππ+时，函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数. ②周期性：sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2ωπ.③单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ-π≤+≤+π∈Z 得单调增区间；由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间. ④对称性：利用y =sin x 的对称中心为(,0)()k k π∈Z 求解，令x k k ωϕ+=π(∈)Ζ，求得x .利用y =sin x 的对称轴为()2x k k π=π+∈Z 求解，令+2x k k ωϕπ+=π(∈)Ζ，得其对称轴. 三、三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ （2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- （3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ- （5）()T αβ+：tan()αβ+=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z2．二倍角公式（1）2S α：sin2α=2sin cos αα（2）2C α：cos2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=-（3）2T α：tan 2α=22tan πππ(π,)k k k ααα≠+≠+∈Z 且3．半角公式（1）sin2α=（2）cos2α=（3）tan2α=sin 1cos 1cos sin αααα-==+此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：四、正、余弦定理及解三角形 1．正弦定理（1）内容：在ABC △中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c ==A B C.正弦定理对任意三角形都成立． （2）常见变形：①sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B ba Bb A a Cc A b C c B B b A a C c ====== ②;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b c A B C A B A C B C A B C +++++======+++++ ③::sin :sin :sin ;a b c A B C =④正弦定理的推广：===2sin sin sin a b c R A B C，其中R 为ABC △的外接圆的半径.1．正弦定理解决的问题（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 2．在ABC △中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况2．余弦定理（1）内容：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-，（2）从余弦定理，可以得到它的推论：222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===.1．余弦定理解决的问题 （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角． 2．利用余弦定理解三角形的步骤21．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B 5C ．3D ．5【答案】B【解析】2sin 2cos21αα=+Q ，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭Q ，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin α∴=B ． 【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．2．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79 C ．79-D ．89-【答案】B【解析】2217cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=. 故选B.【名师点睛】本题主要考查三角函数的求值，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.3．【2018年高考全国Ⅱ理数】在ABC △中，cos 25C =，1BC =，5AC =，则AB = A． BCD．【答案】A【解析】因为223cos 2cos 121,25C C =-=⨯-=-⎝⎭所以22232cos 125215325AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则，故选A.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.4．【2018年高考全国Ⅲ理数】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3 C ．π4D ．π6【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△，所以2222sinC a b c ab +-=， 由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，得sin cos C C =，因为()0,πC ∈，所以π4C =，故选C. 【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.5．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．2sin cos ++x xx x【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．6．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③【答案】C【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C ．【名师点睛】本题也可画出函数()sin sin f x x x =+的图象（如下图），由图象可得①④正确．7．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为，，．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是A ．B ．C ．2A B =D ．2B A =【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+， 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.8．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2=αA．3B ．13 C ．13-D．3-【答案】B【解析】因为角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，所以cos 3==-α， 因此21cos 22cos 13=-=αα.故选B. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角α的终边过点(1)P ，求出cos α，再由二倍角公式，即可得出结果. 9．设α为锐角，若cos （π+6α）＝45，则sin π(2+)3α的值为A ．B ．C ．2425- D ．1225-【答案】B【解析】因为α为锐角，且πcos()6+α＝45，所以π3sin()65+==α，所以 a b c 2a b =2b a =2a b =25122425ππππ3424sin(2)sin 2()2sin()cos()236665525+=+=++=⨯⨯=αααα，故选B.10．已知函数π()sin()6f x x =+ω(0)>ω的相邻对称轴之间的距离为π2，将函数图象向左平移π6个单位得到函数()g x 的图象，则()g x =A ．πsin()3x + B ．πsin(2)3x +C ．cos2xD ．πcos(2)3x +【答案】C【解析】由函数π()sin()(0)6f x x =+>ωω的相邻对称轴之间的距离为π2，得π22T =，即πT =，所以2ππ=ω，解得2=ω，将函数π()sin(2)6f x x =+的图象向左平移π6个单位， 得到ππππ()sin[2()]sin 2cos 26636g x x x x ⎛⎫=++=++= ⎪⎝⎭的图象，故选C ． 【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．解答本题时，首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用图象的平移变换的应用求出结果． 11．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，π0,0,2A >><ωϕ的部分图象如图所示，则使()()0f a x f a x +--=成立的a 的最小正值为A ．π12B ．π6 C ．π4D ．π3【答案】B【解析】由图象易知，2A =，(0)1f =，即2sin 1=ϕ，且π2<ϕ，即6π=ϕ， 由图可知，11π()0,12f =所以11ππ11ππsin()0,π,126126k k ⋅+=∴⋅+=∈Z ωω，即122,11k k -=∈Z ω， 又由图可知，周期11π2π11π24,121211T >⇒>∴<ωω，且0>ω，所以由五点作图法可知2,2k ==ω， 所以函数π()2sin(2)6f x x =+，因为()()0f a x f a x +--=，所以函数()f x 关于x a =对称，即有ππ2π,62a k k +=+∈Z ，所以可得ππ,26k a k =+∈Z ， 所以a 的最小正值为π6.故选B.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，熟练运用三角函数的图象和周期对称性是解题的关键，属于中档题.解答本题时，先由图象，求出,,A ϕω，可得函数()f x 的解析式，再由()()0f a x f a x +--=易知()f x 的图象关于x a =对称，即可求得a 的值.12．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22sin sin sin ,65b B c C a A ac b -==，则B ．-D ．10-【答案】D【解析】由正弦定理角化边可得：2222222,2b c a a c b -=∴+=，且2523ac b =， 结合余弦定理有：22222223cos 5253a cb b b B ac b +--===，则4sin 5B ==，本题选择D 选项.13．已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin(α+β)=__________． 【答案】−12【解析】因为sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，所以()()()()2222111sin cos 1,1cos sin 1,sin ,cos 22ααββαβ-+-=-+-=∴==， 因此sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=12×12−cos 2α=14−1+sin 2α=14−1+14=−12. 【名师点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 14．已知π02αβ<<<，且1cos tan sin βαβ-=，则πsin 26βα⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦__________．【答案】【解析】由题意有sin 1cos cos sin αβαβ-=，得()cos cos βαα-=， 由π02βα<-<，π02α<<，有βαα-=，得2βα=，则ππsin 2sin 63βα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式，合理化简，求得2βα=，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.由题意，根据三角函数的基本关系式，化简得()cos cos βαα-=，进而可得2βα=，代入即可求解.15．已知函数()()sin (,,00)f x A x A A ωφωφω=+>>为常数，，的部分图象如下图所示，将()f x 的图象向左平移π3个单位长度，得到函数()g x ，则()π,0,2y g x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的单调递减区间为_________.【答案】π04⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】由函数()y f x =的图象可得7ππ2,4π123A T ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，∴2π2πω==， ∴()()2sin 2f x x φ=+，。

三角函数易错知识点总结三角函数是数学中的重要概念，也是很多人在学习数学时容易出错的知识点之一。

本文将总结一些常见的易错知识点，帮助读者更好地理解和掌握三角函数。

一、角度与弧度的转换在三角函数中，角度和弧度是两种表示角度大小的方式。

角度是我们常用的度数表示方式，而弧度是数学上常用的表示方式。

在使用三角函数时，经常需要将角度和弧度进行转换。

角度转弧度的公式为：弧度 = 角度× π/180弧度转角度的公式为：角度 = 弧度× 180/π在进行转换时，很多人容易混淆转换公式，导致计算错误。

因此，在使用三角函数时，一定要注意角度和弧度的转换。

二、正弦函数和余弦函数的区别正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数之一，在数学中应用广泛。

但很多人容易混淆这两个函数的图像和性质。

正弦函数的图像是一条波浪线，它的取值范围在-1到1之间。

而余弦函数的图像是一条类似于正弦函数的波浪线，但相位不同，取值范围也在-1到1之间。

正弦函数和余弦函数在性质上也有一些区别。

例如，正弦函数在原点处取得最小值0，而余弦函数在原点处取得最大值1。

另外，正弦函数的图像是奇函数，对称于原点，而余弦函数的图像是偶函数，对称于y轴。

三、三角函数的周期性三角函数具有周期性，即函数图像在一定区间内重复出现。

正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即在0到2π之间图像会重复出现。

这一点很多人容易忽略，在计算三角函数值时没有考虑到周期性，导致结果错误。

因此，在使用三角函数时，一定要注意函数的周期性，根据需要进行相应的调整。

四、三角函数的性质除了周期性外，三角函数还具有一些其他的性质。

例如，正弦函数和余弦函数是周期函数，它们的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。

而正切函数和余切函数的定义域是全体实数，值域是实数集。

三角函数还具有一些重要的性质，如奇偶性、单调性和最值等。

在使用三角函数时，了解这些性质可以帮助我们更好地理解和计算三角函数的值。

五、特殊角的三角函数值特殊角是指具有特殊取值的角度，如0度、30度、45度、60度、90度等。

三角函数常见错解三角函数是高中数学中非常重要的一部分内容，也是复习中容易出错的知识点之一、下面我将列举一些学生常见的错误和解析，帮助大家更好地理解和掌握三角函数。

错误一：忘记角度单位的换算在三角函数中，常用的角度单位有度和弧度。

度是我们常用的单位，而弧度是一种用长度单位来度量角度的方法。

最常用的是将一个周长等于半径的圆心角定义为1弧度。

这样，一个角的弧度数等于弧长与半径的比值。

1弧度约等于57.3°。

例如，sin(π/6)是求π/6弧度对应的正弦值，而sin30°是求30°对应的正弦值。

解析：忘记角度单位的换算是非常常见的错误，在记忆和计算三角函数时，一定要特别注意使用正确的角度单位。

错误二：正弦与余弦的关系很多同学容易混淆正弦和余弦的关系。

正弦函数表示一个角的对边与斜边的比值，而余弦函数表示一个角的邻边与斜边的比值。

在直角三角形中，正弦和余弦是互为补函数的关系，即sinθ = cos(90° - θ)。

例如，sin30°等于cos(90°-30°)等于cos60°。

解析：记住正弦和余弦的定义及其关系是理解和计算三角函数的基础。

错误三：忘记其他三角函数的定义除了正弦和余弦函数，三角函数中还有其他重要的函数，如正切、余切、正割和余割等。

这些函数的定义是：- 正切函数：表示一个角的对边与邻边的比值，tanθ = sinθ /cosθ。

- 余切函数：表示一个角的邻边与对边的比值，cotθ = cosθ /sinθ。

- 正割函数：表示一个角的斜边与邻边的比值，secθ = 1 / cosθ。

- 余割函数：表示一个角的斜边与对边的比值，cscθ = 1 / sinθ。

解析：理解和掌握其他三角函数的定义，能够更全面地应用三角函数解题。

错误四：忘记三角函数的周期性三角函数都是周期函数，其中正弦函数、余弦函数、正割函数和余割函数的周期是2π，而正切函数和余切函数的周期是π。

三角函数的易错题专题及答案三角函数易错题专题一、选择题1.___α的终边落在直线x+y=0上，则sinα1-cos2α的值等于( )解析：由于终边在直线x+y=0上，所以sinα=-cosα，代入原式得：-cosα-cos2α。

再利用余弦的半角公式cos2α=2cos^2α-1，得到原式化简为-2cos^2α-cosα。

选项B。

2.将函数y=sin2x的图像向右平移π/4个单位，得到的解析式为( )解析：向右平移π/4个单位相当于将原来的自变量x替换成x-π/8，所以新的解析式为y=sin2(x-π/8)。

根据正弦的平移公式sin(x-π/8)=sinxcos(π/8)-cosxsin(π/8)=cos(π/8)sinx-sin(π/8)cosx，所以新的解析式为y=cos(π/8)sin2x-sin(π/8)cos2x。

选项D。

3.在△ABC中，锐角A满足sin4A-cos4A≤sinA-cosA，则( )解析：利用正弦的平方和余弦的平方公式，将不等式右边化简为2sin^2A-2sinAcosA，左边化简为2sin^2A-2cos^2A。

所以原不等式化简为sin^2A+2cos^2A-2sinAcosA≤0，即(sinA-cosA)^2≤0，只有当sinA=cosA时等号成立。

所以A=π/4，选项B。

4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，A=60°，若三角形有两解，则b的取值范围为( )解析：根据正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC，代入数据得sinB=√3/2，所以B=π/3或5π/3.由于三角形有两解，所以B的取值范围为(π/3,π)∪(5π/3,2π)，即选项D。

5.将函数y=3sin(2x+π/7)的图像向右平移1/2个单位长度，得到的图像对应的函数( )解析：向右平移1/2个单位相当于将原来的自变量x替换成x-1/4，所以新的解析式为y=3sin(2(x-1/4)+π/7)。

专题11 三角函数的图像与性质中的易错点一．学习目标1．理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性．2．会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期． 3．理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题． 二．方法总结1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致： (1)首先看定义域是否关于原点对称； (2)在满足(1)后，再看f (－x )与f (x )的关系.另外三角函数中的奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式. 2.三角函数的单调性(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的单调区间的确定，其基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体，比如：由2k π－π2≤ωx＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z)解出x 的范围，所得区间即为增区间.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中A ＞0，ω＜0，可用诱导公式将函数变为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间.对函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)等单调性的讨论同上.(2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：①先判断正负；②利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；③再利用单调性比较. 3.求三角函数的最值常见类型：(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝A tan(ωx ＋φ)＋B ， (2)y ＝A (sin x －a )2＋B ，(3)y ＝a (sin x ±cos x )＋b sin x cos x (其中A ，B ，a ，b ∈R ，A ≠0，a ≠0). 三．函数图象与性质需要掌握的题型 （一）三角函数图象平移 （二）三角函数的零点 （三）函数的单调性 （四）函数的解析式 （五）三角函数图象综合（六）三角函数的奇偶性（七）三角函数的对称性（八）三角函数的最值（九）三角函数与数列的综合（十）三角函数的周期性四．典例分析（一）三角函数图象平移例1．为了得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【答案】B【分析】根据诱导公式将函数变为正弦函数，再减去得到.【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.练习1．为了得到的图像，只需把函数的图像（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】D【解析】逆用两角和的余弦公式，得=，再分析两个函数图象的变换.【详解】因为，要得到函数，只需将的图象向右平移个单位长度即可．故选D.【点睛】本题考查了三角函数的图象与变换，考查了两角和的余弦公式的应用；解决三角函数图象的变换问题，首先要把变换前后的两个函数化为同名函数.（二）三角函数的零点例2．函数的零点个数为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过函数为0，转化为两个函数的图象交点个数问题. 【详解】由已知，令，即，在同一坐标系中画出函数和的图象，如图所示，两个函数图象有两个不同的交点，所以函数的零点个数为2个，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中根据三角函数的恒等变换，把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，在同一坐标系中作出两个函数的图象是解答的关键，着重考查了转化思想和数形结合思想的应用.练习1．设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为A．10 B．8C．16 D．20【答案】B【解析】根据函数是定义在R上的奇函数得函数图像关于原点对称，又由可得函数图像关于直线对称，故而得出函数是以4为周期的周期函数，然后利用数形结合便可得解。

高考数学三角函数易错点分析
高考三角函数的易错点
1.正角、负角、零角、象限角的概念你清楚了吗？如果角的端边在坐标轴上，属于哪个象限？你知道锐角和第一象限之间的角度；以相同的角度和相同的角度结束。

有什么区别？
2.单位圆中三角函数和三角函数线的定义
你知道正弦线、余弦线和切线的定义吗？
3.解三角问题时注意到正切函数和余切函数的定义域了吗？你注意到正弦和余弦函数的有界性了吗？
4.你还记得三角网简化的一般方法吗？(剪弦，降幂公式，用三角公式变换成特殊角度。

异角化、同形异义、同形异义、高阶、低阶)
5.你还记得一些特殊角度的三角函数值吗？
6.掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的图像和性质。

能写出三角函数的单调区间吗？能写出简单三角不等式的解集吗？
(注意数字和形状的组合以及书写规范，但别忘了)，你知道通过函数的变换可以得到函数的图像吗？
7.函数图像的翻译和方程的翻译令人困惑：
(1)函数图像的翻译是“左右，上下-”。

(2)方程所表示的图形的翻译是“左-右-上-下”。

8.三角函数找角时有没有注意到两个方面？(先求某个三角函数值，再确定角度范围)
9.正弦定理中容易被遗忘的比值等于2R。

1。