专题一 集合,函数与方程(含详细解析)

集合知识点及题型归纳总结知识点精讲一、集合的有关概念 1．集合的含义与表示某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．2．集合元素的特征（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素． （2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现． （3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．如{}{},,,,a b c a c b =． 3．集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法． 4．常用数集的表示R 一实数集 Q 一有理数集 Z 一整数集 N 一自然数集*N 或N +一正整数集 C 一复数集二、集合间的关系1．元素与集合之间的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ∉)两种． 空集：不含有任何元素的集合，记作∅． 2．集合与集合之间的关系 （1）包含关系．子集：如果对任意a A A B ∈⇒∈，则集合A 是集合B 的子集，记为A B ⊆或B A ⊇，显然A A ⊆．规定：A ∅⊆．（2）相等关系．对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，同时B A ⊆，那么集合A 与B 相等，记作A B =． （3）真子集关系．对于两个集合A 与B ，若A B ⊆，且存在b B ∈，但b A ∉，则集合A 是集合B 的真子集，记作AB 或B A ．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．三、集合的基本运算集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表11-所示．IA{|IA x x =1．交集由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ⋂，即{}|A B x x A x B ⋂=∈∈且．2．并集由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ⋃，即{}|A B x x A x B ⋃=∈∈或．3．补集已知全集I ，集合A I ⊆，由I 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 相对于全集I 的补集，记作IA ，即{}|I A x x I x A =∈∉且．四、集合运算中常用的结论 1．集合中的逻辑关系 （1）交集的运算性质．A B B A ⋂=⋂，A B A ⋂⊆，A B B ⋂⊆ A I A ⋂=，A A A ⋂=，A ⋂∅=∅． （2）并集的运算性质．A B B A ⋃=⋃，A A B ⊆⋃，B A B ⊆⋃ A I I ⋃=，A A A ⋃=，A A ⋃∅=． （3）补集的运算性质．()II A A =，I I ∅=，I I =∅ ()I A A ⋂=∅，()I A A I ⋃．补充性质：II I A B A A B B A B B A A B ⋂=⇔⋃=⇔⊆⇔⊆⇔⋂=∅．（4）结合律与分配律．结合律：()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃ ()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂． 分配律：()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂ ()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃． （5）反演律（德摩根定律）．()()()II I A B A B ⋂=⋃()()()II I A B A B ⋃=⋂．即“交的补=补的并”，“并的补=补的交”． 2．由*(N )n n ∈个元素组成的集合A 的子集个数A 的子集有2n 个，非空子集有21n -个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个．3．容斥原理()()()()Card A B Card A Card B Card A B ⋃=+-⋂．题型归纳及思路提示I AA题型1 集合的基本概念思路提示：利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性． 例1.1 设,a b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-解析：由题意知{}01,,a b a ∈+，又0a ≠，故0a b +=，得1ba=-，则集合{}{}1,0,0,1,a b =-，可得1,1,2a b b a =-=-=，故选C 。

2020届高考数学命题猜想函数与方程﹑函数模型及其应用1【考向解读】求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．【命题热点突破一】函数零点的存在性定理1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．例1 、（2018年全国I卷理数）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.【变式探究】【2017课标1，理21】已知函数.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）()0,1.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时， ()f x 取得最小值，最小值为.①当1a =时，由于，故()f x 只有一个零点；②当()1,a ∈+∞时，由于，即，故()f x 没有零点；③当()0,1a ∈时，，即. 又，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.设正整数n 满足，则.由于，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点.综上， a 的取值范围为()0,1.【变式探究】(1)已知偶函数y ＝f(x)，x ∈R 满足f(x)＝x2－3x(x ≥0)，函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，－1x，x<0，则函数y ＝f(x)－g(x)的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x3，x ≤a ，x2，x>a ，若存在实数b ，使函数g(x)＝f(x)－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．【答案】（1）B （2）（－∞，0）∪（1，＋∞）【解析】（1）作出函数f （x ）与g （x ）的图像如图所示，易知两个函数的图像有3个交点，所以函数y ＝f （x ）－g （x ）有3个零点.（2）令φ（x ）＝x3（x ≤a ），h （x ）＝x2（x>a ），函数g （x ）＝f （x ）－b 有两个零点，即函数y ＝f （x ）的图像与直线y ＝b 有两个交点.结合图像，当a<0时，存在实数b 使h （x ）＝x2（x>a ）的图像与直线y ＝b 有两个交点；当a ≥0时，必须满足φ（a ）>h （a ），即a3>a2，解得a>1.综上得a ∈（－∞，0）∪（1，＋∞）.【感悟提升】函数的零点、方程的根的问题都可以转化为函数图像的交点问题，数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数问题的有效方法．在解决函数零点问题时，既要利用函数的图像，也要利用函数零点的存在性定理、函数的性质等，把数与形紧密结合起来．【变式探究】已知函数f(x)＝|x ＋a|(a ∈R)在[－1，1]上的最大值为M(a)，则函数g(x)＝M(x)－|x2－1|的零点的个数为( ) 络的发展，网校教育越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势．假设某网校每日的套题销售量y(单位：万套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，其中2<x<6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21万套．(1)求m 的值；(2)假设每套题的成本为2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)【解析】解：（1）因为x ＝4时，y ＝21，代入y ＝mx －2＋4（x －6）2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.（2）由（1）可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4（x －6）2，所以每日销售套题所获得的利润f （x ）＝（x －2）·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10x －2＋4（x －6）2＝10＋4（x －6）2（x －2）＝4x3－56x2＋240x －278（2<x<6），从而f ′（x ）＝12x2－112x ＋240＝4（3x －10）（x －6）（2<x<6）.令f ′（x ）＝0，得x ＝103（x ＝6舍去），且在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，103上，f ′（x ）>0，函数f （x ）单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫103，6上，f ′（x ）<0，函数f （x ）单调递减，所以x ＝103是函数f （x ）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f （x ）取得最大值，即当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.【感悟提升】 函数建模首先要会根据题目的要求建立起求解问题需要的函数关系式(数学模型)，然后通过求解这个函数模型(求单调性、最值、特殊的函数值等)，对实际问题作出合乎要求的解释．需要注意实际问题中函数的定义域要根据实际意义给出，不是单纯根据函数的解析式得出．【变式探究】调查发现，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是关于车流密度x （单位：辆/千米）的连续函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当20<x<200时，车流速度v 是关于车流密度x 的一次函数.（1）当0<x<200时，求函数v （x ）的解析式；（2）当车流密度x 为多少时，车流量（每小时通过桥上某观测点的车辆数）f （x ）＝x ·v （x ）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）【解析】解：（1）由题意知，当0<x ≤20时，v （x ）＝60；当20<x<200时，设v （x ）＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故所求函数v （x ）的解析式为v （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤20，13（200－x ），20<x<200. （2）由（1）可知v （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤20，13（200－x ），20<x<200.当0<x ≤20时，f （x ）＝60x 为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20<x<200时，f （x ）＝13x （200－x ）＝－13（x2－200x ）＝－13（x －100）2＋10 0003，当x ＝100时，f （x ）取得最大值10 0003≈3333.综上可知，当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【高考真题解读】1. （2018年全国I 卷理数）已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】画出函数的图像，在y 轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.2. （2018年浙江卷）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1). (1,4) (2).【解析】由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为。

集合一、单选题1.已知集合P＝{x∈N|x≤3}，Q＝{x|x2≤x+2}，则P∩Q＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．[0，2]C．{0，1，2}D．{1，2}【答案】C【分析】先求出集合P，Q，再利用集合的交集运算求解．【解答】解：集合P＝{x∈N|x≤3}＝{0，1，2，3}，Q＝{x|x2≤x+2}＝{x|﹣1≤x≤2}，∴P∩Q＝{0，1，2}．故选：C．【知识点】交集及其运算2.已知集合A＝{x|y＝，x∈N}，B＝{x|﹣1＜x＜4}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算求出A∩B，然后即可得出A∩B中元素的个数．【解答】解：∵A＝{x|3x≤81，x∈N}＝{x|x≤4，x∈N}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|﹣1＜x＜4}，∴A∩B＝{0，1，2，3}，∴A∩B中元素的个数为4．故选：C．【知识点】交集及其运算3.已知集合M＝{x|log2（x﹣1）2＜4}，N＝{x|x2+4x+3≤0}，则M∪N＝（）A．{x|﹣3＜x≤﹣1}B．{x|﹣3≤x＜5}C．{x|﹣3≤x＜1或1＜x＜5}D．{x|﹣3≤x≤5}【答案】C【分析】利用对数函数的性质解不等式log2（x﹣1）2＜4，得到集合M，再解不等式x2+4x+3≤0得到集合N，再利用集合的并集的定义求解即可．【解答】解：∵log2（x﹣1）2＜4，∴（x﹣1）2＜16，且x﹣1≠0，解得：﹣3＜x＜5且x≠1，即﹣3＜x＜1或1＜x＜5，又∵N＝{x|x2+4x+3≤0}＝{x|﹣3≤x≤﹣1}，∴M∪N＝{x|﹣3≤x＜1或1＜x＜5}，故选：C．【知识点】并集及其运算4.已知集合M＝{x|﹣4＜x≤2}，N＝{x|y＝}，则M∩N＝（）A．{2}B．{x|﹣4＜x≤﹣2}C．{x|﹣4＜x≤2}D．{x|﹣2≤x≤2}【答案】B【分析】求出函数y＝的定义域，得到集合N，再利用集合的交集的定义求解．【解答】解：集合N＝{x|y＝}＝{x|（x+2）（x﹣4）≥0}＝{x|x≤﹣2或x≥4}，∴M∩N＝{x|﹣4＜x≤2}．故选：B．【知识点】交集及其运算5.已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}，B＝{x|y＝}，则A∩（∁R B）＝（）A．[﹣2，1）B．[1，3]C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣2，1）【答案】D【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x≥1}，∴∁R B＝{x|x＜1}，A∩（∁R B）＝（﹣2，1）．故选：D．【知识点】交、并、补集的混合运算6.已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝{x∈R|x（x﹣2）≤0}，则M∩N＝（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣2，﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0}【答案】B【分析】可以求出集合N，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝{x|0≤x≤2}，∴M∩N＝{0，1}．故选：B．【知识点】交集及其运算7.设函数f（x）＝sin（ωx+φ），A＝{（x0，f（x0））|f'（x0）＝0}，，若存在实数φ，使得集合A∩B中恰好有7个元素，则ω（ω＞0）的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】可知集合A表示函数f（x）的最大值点和最小值点，而f（x）的最大值和最小值在直线y＝±1上，从而代入即可解出﹣4≤x≤4，从而得出，解出ω的范围即可．【解答】解：∵f′（x0）＝0，∴f（x0）是f（x）的最大值或最小值，又f（x）＝sin（ωx+φ）的最大值或最小值在直线y＝±1上，∴y＝±1代入得，，解得﹣4≤x≤4，又存在实数φ，使得集合A∩B中恰好有7个元素，∴，且ω＞0，解得，∴ω的取值范围是．故选：B．【知识点】交集及其运算8.已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意实数对（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M具有∟性，给出下列四个集合：①M＝{（x，y）|y＝x3﹣2x2+3}；②M＝{（x，y）|y＝log2（2﹣x）}；③M＝{（x，y）|y＝2﹣2x}；④M＝{（x，y）|y＝1﹣sin x}；其中具有∟性的集合的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】条件等价于：对于M中任意点P（x1，y1），在M中存在另一个点P′（x2，y2），使OP⊥OP′．作出函数图象，验证即可．【解答】解：由题意知：对于M中任意点P（x1，y1），在M中存在另一个点P′（x2，y2），使，即OP⊥OP′，即过原点任作一条直线与函数图象相交，都能过原点作另一条直线与此直线垂直，经验证①②③④皆满足．故选：D．【知识点】集合的表示法、函数的图象与图象的变换二、多选题9.下列每组对象，能构成集合的是（）A．中国各地最美的乡村B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点C．一切很大的数D．清华大学2020年入学的全体学生【答案】BD【分析】根据集合的定义进行判断即可．【解答】解：A，中国各地最美的乡村，无法确定集合中的元素，故A不不能，C，一切很大的数，无法确定集合中的元素，故C不不能，∴根据集合元素的确定性可知，B，D，都不能构成集合，故选：BD．【知识点】集合的含义10.已知集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，}，若B⊆A，则实数a的值可能是（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【答案】ABC【分析】通过集合的包含关系，判断元素的关系，通过选项的代入判断是否成立．【解答】解：因为集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，}，B⊆A，若a＝﹣1，A＝[﹣2，+∞），符合题意，A对；若a＝1，A＝（﹣∞，2]，符合题意，B对；若a＝﹣2，A＝[﹣1，+∞），符合题意，C对；若a＝1，A＝（﹣∞，1]，不符合题意，D错；故选：ABC．【知识点】集合的包含关系判断及应用11.设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则（）A．A∩B＝{0，1}B．∁U B＝{4}C．A∪B＝{0，1，3，4}D．集合A的真子集个数为8【答案】AC【分析】根据集合的交集，补集，并集的定义分别进行判断即可．【解答】解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，∴A∩B＝{0，1}，故A正确，∁U B＝{2，4}，故B错误，A∪B＝{0，1，3，4}，故C正确，集合A的真子集个数为23﹣1＝7，故D错误故选：AC．【知识点】交、并、补集的混合运算12.已知集合A＝{x|x＝3a+2b，a，b∈Z}，B＝{x|x＝2a﹣3b，a，b∈Z}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．A＝B D．A∩B＝∅【答案】ABC【分析】利用集合的基本关系可判断集合的关系．【解答】解：已知集合A＝{x|x＝3a+2b，a，b∈Z}，B＝{x|x＝2a﹣3b，a，b∈Z}，若x属于B，则：x＝2a﹣3b＝3*（2a﹣b）+2*（﹣2a）；2a﹣b、﹣2a均为整数，x也属于A，所以B是A的子集；若x属于A，则：x＝3a+2b＝2*（3a+b）﹣3*（a）；3a+b、a均为整数，x也属于B，所以A是B的子集；所以：A＝B，故选：ABC．【知识点】集合的包含关系判断及应用三、填空题13.已知集合A＝{﹣2，0，1}，B＝{x|x2﹣1＞0}，则A∩B＝﹣．【答案】{-2}【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{﹣2，0，1}，B＝{x|x＜﹣1或x＞1}，∴A∩B＝{﹣2}．故答案为：{﹣2}．【知识点】交集及其运算14.设集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，则满足C⊆A，且C∩B≠∅的集合C共有个．【答案】4【分析】利用集合的包含关系即可求出满足条件的集合C．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，且集合C满足C⊆A，且C∩B≠∅，∴集合C＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，故答案为：4．【知识点】交集及其运算、集合的包含关系判断及应用15.已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，则（∁U P）∪Q＝．【答案】{1，2，4，6}，【分析】由已知，先求出C∪P，再求（∁U P）∪Q．【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，∴C∪P＝{2，4，6}，∴（∁U P）∪Q＝{1，2，4，6}，故答案为：{1，2，4，6}，【知识点】交、并、补集的混合运算16.已知集合M＝{x∈N|1≤x≤21}，集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有7个元素；②A1∪A2∪A3＝M．集合A i中元素的最大值与最小值之和称为集合A i 的特征数，记为X i（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为．【答案】132【分析】判断集合的元素个数中的最小值与最大值的可能情况，然后按照定义求解即可．【解答】解：集合M＝{x∈N|1≤x≤21}，由集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有7个元素；②A1∪A2∪A3＝M可知最小的三个数为1，2，3；21必是一个集合的最大元素，含有21集合中的元素，有21，20，19，…，16和1，2，3中一个组成，这样特征数最小，不妨取1，这时X1最小值为22；15必是一个集合的最大元素，含有15集合中的元素，有15，14，13，…，10和2，3中一个组成，这样特征数最小，不妨取2，这时X2最小值为17；9必是一个集合的最大元素，含有9集合中的元素，有9，8，7，…，4和3组成，这样特征数最小，这时X3最小值为10；则X1+X2+X3的最小值为22+17+12＝51．同理可知最大的三个数为21，20，19；含有21集合中的元素，有21，18，17，16，16，15，13；这样特征数最大，为34；含有20的集合中元素为20，12，11，10，9，8，7，这样特征数最大，为27；含有19的集合中元素为19，6，5，4，3，2，1，特征数最大，且为20；则X1+X2+X3的最大值为34+27+20＝81；所以X1+X2+X3的最大值与最小值的和为51+81＝132．故答案为：132．【知识点】子集与交集、并集运算的转换17.已知集合A＝{（x，y）|（x+y）2+x+y﹣2≤0}，，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为．【分析】集合A＝{（x，y）|（x+y）2+x+y﹣2≤0}，可得集合A＝{（x，y）|﹣2≤x+y≤1}，，其（x﹣2a）2+（y﹣a﹣1）2＝a2﹣，由a2﹣≥0，解得a或a≤0．在此条件下，表示以（2a，a+1）为圆心，为半径的圆及其圆内的点．由A∩B≠∅，利用点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系即可得出．【解答】解：∵集合A＝{（x，y）|（x+y）2+x+y﹣2≤0}，∴集合A＝{（x，y）|﹣2≤x+y≤1}，，其（x﹣2a）2+（y﹣a﹣1）2＝a2﹣，由a2﹣≥0，解得a或a≤0．在此条件下，表示以（2a，a+1）为圆心，为半径的圆及其圆内的点．其圆心在直线x﹣2y+2＝0上．由A∩B≠∅，①a＜0时，由≤，或≤，或﹣2≤2a＜0．解得：≤a≤，﹣≤a＜0，或﹣1≤a＜0．即≤a＜0．②时，由＜，或＜，解得：a∈∅．③a＝0时，满足题意．a＝时，不满足题意，舍去．综上可得：实数a的取值范围为．故答案为：．【知识点】空集的定义、性质及运算18.已知A＝{x|﹣2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}，A∩B≠∅，则实数a的取值范围是．【答案】a＜4【分析】由A与B，以及A与B的交集不为空集，确定出a的范围即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}，且A∩B≠∅，∴a＜4，故答案为：a＜4．【知识点】交集及其运算19.已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x2+2x﹣8＞0}，集合C＝{x|x2﹣4ax+3a2＜0}，若C⊇（A∩B），试确定实数a的取值范围．【答案】[1，2]【分析】先确定集合A，B得到A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x＜﹣4或x＞2}，再根据题意分类讨论得出a的取值范围．【解答】解：由已知得A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x＜﹣4或x＞2}，所以，A∩B＝{x|2＜x＜3}，C＝{x|x2﹣4ax+3a2＜0}＝{x|（x﹣a）（x﹣3a）＜0}，①当a＞0时，C＝{x|a＜x＜3a}，如右图所示：则C⊇（A∩B）等价为：，解得，1≤a≤2，经检验符合题意；②当a＜0时，C＝{x|3a＜x＜a}；C是负半轴上的一个区间，而A∩B是正半轴上的一个区间，因此C⊇（A∩B）是不可能的，故无解；③当a＝0时，C＝∅，此时C⊇（A∩B）是不可能的，也无解．综合以上讨论得，a∈[1，2]．故答案为：[1，2]．【知识点】子集与交集、并集运算的转换20用C（A）表示非空集合A中元素的个数，设A＝{x||x3+4x2+3x|+a|x2﹣1|＝0}，若C（A）＝5，则实数a的取值范围．【分析】由题意可得：|x3+4x2+3x|+a|x2﹣1|＝0有5个不同实数解．必然a＜0，方程化为：|x（x+1）（x+3）|+a|（x﹣1）（x+1）|＝0，可得x＝﹣1是此方程的一个实数根，x≠﹣1时，化为：|x（x+3）|＝﹣a|（x﹣1）|，分别作出函数y＝|x（x+3）|，y＝﹣a|（x﹣1）|的图象．P（1，0），Q．由于函数y＝|x（x+3）|，y＝﹣a|（x﹣1）|的图象必须有四个交点，当y＝﹣a|（x﹣1）|的图象经过点Q时，有＝﹣a×，解得a，进而得出．【解答】解：A＝{x||x3+4x2+3x|+a|x2﹣1|＝0}，C（A）＝5，则|x3+4x2+3x|+a|x2﹣1|＝0有5个不同实数解．必然a＜0，方程化为：|x（x+1）（x+3）|+a|（x﹣1）（x+1）|＝0，x＝﹣1是此方程的一个实数根，x≠﹣1时，化为：|x（x+3）|＝﹣a|（x﹣1）|，分别作出函数y＝|x（x+3）|，y＝﹣a|（x﹣1）|的图象．P（1，0），Q．由于函数y＝|x（x+3）|，y＝﹣a|（x﹣1）|的图象必须有四个交点，当y＝﹣a|（x﹣1）|的图象经过点Q时，有＝﹣a×，解得a＝﹣．∴0．∴实数a的取值范围是．故答案为：．【知识点】子集与交集、并集运算的转换21.已知集合M＝{（x，y）|y＝}，N＝{（x，y）|y＝x+m}，且M∩N≠∅，则m的取值范围为﹣．【分析】集合M表示圆心为（0，0），半径为3的半圆，集合N表示直线y＝x+m上的点，根据题意画出相应的图形，根据两集合交集不为空集得到两函数图象有交点，抓住两个特殊位置，直线与半圆相切时；直线过（3，0）时，分别求出m的值，即可得到满足题意m的范围．【解答】解：根据题意画出相应的图形，当直线y＝x+m与半圆y＝相切，且切点在第二象限时，圆心到直线的距离d＝r，即＝3，解得：m＝3或m＝﹣3（不合题意，舍去），当直线过点（3，0）时，将x＝3，y＝0代入得：3+m＝0，解得：m＝﹣3，则m的取值范围为﹣3≤m≤3．故答案为：﹣3≤m≤3【知识点】交集及其运算22.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种；②这三天售出的商品最少有种．【答案】【第1空】16【第2空】29【分析】①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数．【解答】解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有19﹣3＝16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3＝29种，第三天售出但第二天未售出的商品有18﹣4＝14种，当这14种商品第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．故答案为：①16；②29．【知识点】集合的包含关系判断及应用、容斥原理23.设有限集合A＝{a1，a2，..，a n}，则a1+a2+…+a n叫做集合A的和，记作S A，若集合P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*，n≤4}，集合P的含有3个元素的全体子集分别记为P1，P2，…，P k，则P1+P2+…+P k＝．【答案】48【分析】由题意：集合P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*，n≤4}，求出集合P的含有3个元素的全体子集，求全体子集之和即可．【解答】解：由题意：集合P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*，n≤4}，那么：集合P＝{1，3，5，7}，集合P的含有3个元素的全体子集为{1，3，5}，{1，3，7}，{1，5，7}，{3，5，7}，由新定义可得：P1＝9，P2＝11，P3＝13，P4＝15则P1+P2+P3+P4＝48．故答案为：48．【知识点】子集与真子集24.若对任意的x∈D，均有f1（x）≤f（x）≤f2（x）成立，则称函数f（x）为函数f1（x）到函数f2（x）在区间D上的“折中函数”．已知函数f（x）＝（k﹣1）x﹣1，g（x）＝0，h（x）＝（x+1）lnx，且f（x）是g（x）到h（x）在区间[1，2e]上的“折中函数”，则实数k的值构成的集合是．【答案】{2}【分析】在区间[1，2e]上分g（x）≤f（x）及f（x）≤h（x）两种情况考虑即可．【解答】解：根据题意，可得0≤（k﹣1）x﹣1≤（x+1）lnx在x∈[1，2e]上恒成立．当x∈[1，2e]时，函数f（x）＝（k﹣1）x﹣1的图象为一条线段，于是，，解得k≥2．另一方面，在x∈[1，2e]上恒成立．令＝，则．由于1≤x≤2e，所以，于是函数x﹣lnx为增函数，从而x﹣lnx≥1﹣ln1＞0，所以m′（x）≥0，则函数m（x）为[1，2e]上的增函数．所以k﹣1≤[m（x）]min＝m（1）＝1，即k≤2．综上，k＝2．故答案为：{2}．【知识点】元素与集合关系的判断25.记A＝{θ|f（x）＝sin（x+ωθ）为偶函数，ω是正整数}，B＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}，对任意实数a，满足A∩B中的元素不超过两个，且存在实数a使A∩B中含有两个元素，则ω的值是．【答案】5、6、7、8、9【分析】根据正弦型函数的性质，可得A＝{θ|θ＝（kπ+），k∈Z，ω是正整数}，若对任意实数a，满足A∩B中的元素不超过两个，（π+）≥，即ω≤2π，存在实数a使A∩B中含有两个元素，（π+）＜1，即ω＞π进而得到答案．【解答】解：B＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}＝（a，a+1），A＝{θ|f（x）＝sin（x+ωθ）为偶函数，ω是正整数}＝{θ|ωθ＝kπ+，k∈Z，ω是正整数}＝{θ|θ＝（kπ+），k∈Z，ω是正整数}，对任意实数a，满足A∩B中的元素不超过两个，（π+）≥，即ω≤3π，存在实数a使A∩B中含有两个元素，（π+）＜1，即ω＞π，故ω的值是：5、6、7、8、9故答案为：5、6、7、8、9【知识点】交集及其运算26.设P，Q是两个非空集合，定义集合间的一种运算“⊙”：P⊙Q＝{x|x∈P∪Q，且x∉P∩Q}，如果P＝{y|y＝}，Q＝{y|y＝4x，x＞0}，则P⊙Q＝．【答案】[0，1]∪（2，+∞）【分析】根据已知得到P、Q中的元素y，然后根据P⊙Q＝{x|x∈P∪Q，且x∉P∩Q}求出即可．【解答】解：P＝{y|y＝}＝{y|0≤y≤2}，Q＝{y|y＝4x，x＞0}＝{y|y＞1}，∵P⊙Q＝{x|x∈P∪Q，且x∉P∩Q}．∴P⊙Q＝[0，1]∪（2，+∞）故答案为：[0，1]∪（2，+∞）【知识点】子集与交集、并集运算的转换。

2019-2020年高考数学专题练习——集合与逻辑（一）一、选择题1.已知集合{}2320A x x x =-+≥，(){}321B x log x +<,则A B =( ) A. {}21x x -<< B.{} 12x x x ≤≥或 C.{} 1x x < D.∅2.集合{}2log 2A x Z x =∈≤的真子集个数为（ ） A ．7 B ．8 C ．15 D ．163.若复数z =（x 2－4）+（x +3）i （x ∈R ），则“z 是纯虚数”是“x =2”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.设有下面四个命题：1P :若z 满足z C ∈，则 z z R ⋅∈;2P :若虚数(),a bi a R b R +∈∈是方程32 1 0x x x +++=的根，则a bi -也是方程的根: 3P :已知复数12,z z 则12z z =的充要条件是12z z R ∈: 4P ;若复数12z z >,则12,z z R ∈.其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．45. “221a b +=”是“sin cos 1a b θθ+≤恒成立”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知集合{}{}2320,230A x x x B x x =-+<=->，则R A C B ⋂= （ ）A ．31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭7.设集合2{|60,}A x x x x Z =--<∈，{|,,}B z z x y x A y A ==-∈∈，则A ∩B =（ ） A ．{0,1} B ．{0,1,2} C ．{0,1,2,3} D ．{－1,0,1,2}8.已知p ：x R ∀∈，220x x a ++>；q ：28a <.若“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,+∞)B ．(－∞,3)C ．(1,3)D ．(－∞,1)∪(3,+∞)9.设R θ∈，则“66ππθ-<”是“3sin 2θ<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10.设集合{}2|670A x x x =--<，{}|B x x a =≥，现有下面四个命题： p 1：a R ∃∈，A B =∅；p 2：若0a =，则(7,)A B =-+∞； p 3：若(,2)R C B =-∞，则a A ∈；p 4：若1a ≤-，则A B ⊆． 其中所有的真命题为（ ） A ．p 1，p 4 B ．p 1，p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 2，p 411.已知命题P ：存在n R ∈，使得223()n nf x nx-=是幂函数，且在(0,+∞)上单调递增； 命题q ：“2,23x R x x ∃∈+>”的否定是“2,23x R x x ∀∈+<”.则下列命题为真命题的是 A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝12.已知集合M ={x |22194x y +=}，N ={y|132x y+=}，则M ∩N =A ．∅B ．{(3,0)，(2,0)}C ．{3,2}D ．[－3,3]13.设集合{}{}m B m A 2,2,42==，，若φ≠⋂B A ,则m 的取值可能是（ ） A.1 B.2 C.3 D.214.下列判断错误．．的是 （ ） A ．“22bm am <”是“b a <”的充分不必要条件B ．命题“01,23≤--∈∀x x R x ”的否定是“01,23>--∈∃x x R x ”C ．若p ，q 均为假命题,则q p Λ为假命题D ．命题：若12=x ，则1=x 或1-=x 的逆否命题为：若1≠x 或1-≠x ，则12≠x15.已知A ，B ，C ，D ，E 是空间五个不同的点，若点E 在直线BC 上，则“AC 与BD 是异面直线”是“AD 与BE 是异面直线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件 C.必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件16.下列选项错误的是（ ）A ．命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”B ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件；C.若命题p ：x R ∀∈，210x x ++≠，则p ⌝：0x R ∃∈，20010x x ++=； D ．在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题为假命题17.对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx y +=的曲线是椭圆”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C.充分必要D ．既不充分也不必要条件18.设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的. 若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集，,T U Z ⋃=且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是（）A. ,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B. ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C. ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D. ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的19.设集合S={1，2,3，4,5，6}，定义集合对(A ，B)::，A 中含有3个元素，B 中至少含有2个元素，且B 中最小的元素不小于A 中最大的元素.记满足的集合对(A ，B)的总个数为m ，满足的集合对(A ，B)的总个数为n ，则的值为（ ）A.111 B.161C.221 D.29220.定义非空集合A 的真子集的真子集为A 的“孙集”,则集合{1,3,5,7,9}的孙集的个数为 （） A ．23B ．24C ．26D ．3221.已知：集合2012,3,2,{1,A =}，A B ⊆，且集合B 中任意两个元素之和不能被其差整除。

专题1.1 集合【三年高考】1．【2017高考某某1】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【考点】集合的运算、元素的互异性【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误． （3）防X 空集．在解决有关,AB A B =∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．2．【2016高考某某1】已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B . 【答案】{}1,2- 【解析】 试题分析：{}{}{}1,2,3,6231,2AB x x =--<<=-．故答案应填：{}1,2-【考点】集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难度不大.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心而出错，二是明确某某高考对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解.2．【2015高考某某1】已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______. 【答案】5【解析】{123}{245}{12345}A B ==，，，，，，，，，,，则集合B A 中元素的个数为5个. 【考点定位】集合运算3．【2014某某1】已知集合{}2,1,3,4A =--，{}1,2,3B =-，则A B ⋂=. 【答案】{1,3}- 【解析】由题意得{1,3}AB =-.4.【2017课标II ，理】设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=。

专题01 集合的含义及运算一、本专题要特别小心：1.元素与集合，集合与集合关系混淆陷阱；2.造成集合中元素重复陷阱；3.隐含条件陷阱；4.代表元变化陷阱；5.分类讨论陷阱；6．子集中忽视空集陷阱；7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值陷阱.二、【学习目标】1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，理解集合中元素的互异性；2．理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集，了解在具体情境中全集与空集的含义；3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；4．能使用韦恩(V enn)图表达集合间的关系与运算．三、【知识要点】1．集合的含义与表示(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称集．(2)集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(3)集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法．(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用“∈”或“∉”来表示．(5)常用的数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.2．集合之间的关系(1)一般地，对于两个集合A，B.如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B；若A⊆B，且A≠B，，我们就说A是B的真子集．(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作φ，它是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集。

3．集合的基本运算(1)并集：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}；(2)交集：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；(3)补集：∁U A＝．4．集合的运算性质(1)A∩B＝A⇔A⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅；(2)A∪B＝A⇔A⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝A；(3)A⊆B，B⊆C，则A⊆C；(4)∁U(A∩B)＝∁U A∪∁U B，∁U(A∪B)＝∁U A∩∁U B，A∩∁U A＝∅，A∪∁U A＝U，∁U(∁U A)＝A；(5)A⊆B，B⊆A，则A＝B.四．题型方法规律总结（一）集合的含义与表示例1．已知集合，则中元素的个数为A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【解析】，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A.练习1．给出下列四个关系式：(1)；（2）；（3）；（4），其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】（1）R为实数集，为实数，所以正确；（2）Z、Q分别为两个集合，集合间不能用属于符号，所以错误；（3）空集中没有任何元素，所以错误；（4）空集为任何集合的子集，所以正确.故选B.练习2．若A={1,2},B={(x,y)|x∈A,y∈A},则集合B中元素的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由题意得集合，所以集合B中共有4个元素．故选D．（二）集合中代表元易错点揭秘例2．已知集合A满足条件:若a∈A,则∈A,那么集合A中所有元素的乘积为() A．-1 B．1 C．0 D．±1【答案】B【解析】由题意，当时，，令代入，则，则，则，即，所以，故选B.练习1．若集合A＝｛x｜mx2＋2x＋m＝0，m∈R｝中有且只有一个元素，则m的取值集合是A．｛1｝B．｛｝C．｛0，1｝D．｛，0，1｝【答案】D【解析】时，，满足题意；时，，．综上的取值集合是．练习2．用列举法表示集合＝________．【答案】{－11，－6，－3，－2，0，1，4，9}.【解析】，为的因数则则答案为练习3．集合{|y y ∈N =用列举法可表示为__________.【答案】{}1,2,4,8 【解析】∵,1x x ∈≠N ,∴当0x =时, 8y =-,不符合题意, 当2x =时, 8y =,符合题意, 当3x =时, 4y =,符合题意, 当4x =时, 83y =,不符合题意, 当5x =时, 2y =,符合题意,当6x =时, 85y =,不符合题意, 当7x =时, 86y =,不符合题意,当8x =时, 87y =,不符合题意,当9x =时, 1y =,符合题意,则y =，不符合题意.∴用列举法可表示为{}1,2,4,8. （三）集合的基本关系 例3．已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵集合M={x|x 2=1}={﹣1，1}，N={x|ax=1}，N ⊆M ，∴当a=0时，N=∅，成立； 当a≠0时，N={}， ∵N ⊆M ，∴或=1．解得a=﹣1或a=1，综上，实数a 的取值集合为{1，﹣1，0}．故选：D．练习1．已知集合，，则的真子集的个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【解析】由题意得，，∴，∴的真子集的个数为个．故选C．练习2．若函数在区间内没有最值,则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数的单调区间为，由，得．∵函数在区间内没有最值，∴函数在区间内单调，∴，∴，解得．由，得．当时，得；当时，得，又，故．综上得的取值范围是．故选B．练习3.已知集合，，若，则实数的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得，由，则，又，所以.故选A.（四）子集中常见错误例4. 已知集合,,若,则实数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】当集合时，，解得，此时满足；当，即时，应有：，据此可得：，则，综上可得：实数的取值范围是.本题选择C选项.练习1．Z(M)表示集合M的子集个数，设集合A=，B=，则= A．3 B．4 C．5 D．7【答案】B【解析】；B=∴；集合的子集有：∴Z（A∩B）＝4．故选：B练习2.设集合，不等式的解集为B.（Ⅰ）当时，求集合A,B；（Ⅱ）当，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)或.【解析】（Ⅰ）当时，，.（Ⅱ）①若，即时，可得， 满足，故符合题意．②当时，由，可得，且等号不能同时成立， 解得． 综上可得或．∴实数的取值范围是．练习3．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A ∪B=A ，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )= [-4,1)∪[4,5)；（2） .【解析】（1）∵A ={x |1≤x ＜4}，∴∁U A ={x |x ＜1或x ≥4}，∵B ={x |2a ≤x ＜3-a }，∴a =-2时，B ={-4≤x ＜5}，所以B ∩A =[1，4）， B ∩(∁U A )={x |-4≤x ＜1或4≤x ＜5}=[-4,1)∪[4,5). （2）A ∪B =A ⇔B ⊆A ， ①B =∅时，则有2a ≥3-a ，∴a ≥1, ②B ≠∅时，则有，∴,综上所述，所求a 的取值范围为.（五）集合的基本运算 例5.已知，，则()R AB ð中的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．6D ．8【答案】B【解析】解：{1x x =<，或3}x ≥，，，的元素个数为2个.故选:B .练习1．已知集合，，若A B A ⋂=，则实数a 的取值范围是( )A ．(],3-∞-B ．(),3-∞-C ．(],0-∞D ．[)3,+∞ 【答案】A【解析】由已知得[]3,3A =-，由A B A ⋂=，则A B ⊆，又[),B a =+∞，所以3a ≤-.故选A.练习2．集合，,若，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据题意，可得，，要使，则，故选B.练习3．设全集是实数集，，则图中阴影部分所表示的集合是________.【答案】【解析】∵，∴， ∴．（六）集合的应用例6．学校先举办了一次田径运动会，某班共有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班总共的参赛人数为（ ） A ．20 B ．17C ．14D ．23【答案】B【解析】因为参加田径运动会的有8名同学，参加球类运动会的有12名同学，两次运动会都参加的有3人，所以两次运动会中，这个班总共的参赛人数为.故选B练习1．已知集合.给定一个函数，定义集合若对任意的成立，则称该函数具有性质“”(I)具有性质“”的一个一次函数的解析式可以是_____；(Ⅱ)给出下列函数：①；②；③，其中具有性质“”的函数的序号是____．（写出所有正确答案的序号）【答案】（答案不唯一）①②【解析】(I)对于解析式：，因为，，…符合。

第四讲不等式年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅰ卷线性规划求最值·T131.选择、填空题中的考查以简单的线性规划与不等式性质为主，重点求目标函数的最值，有时也与其他知识交汇考查．2.基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点，很少考查．3.不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数交汇考查.Ⅱ卷线性规划求最值·T142017Ⅰ卷线性规划求最值·T14Ⅱ卷线性规划求最值·T5Ⅲ卷线性规划求最值·T132016Ⅰ卷一元二次不等式的解法、集合的交集运算·T1不等式比较大小、函数的单调性·T8线性规划的实际应用·T16Ⅱ卷一元二次不等式的解法、集合的并集运算·T2Ⅲ卷一元二次不等式的解法、集合的交集运算·T1不等式比较大小、函数的单调性·T6线性规划求最值·T13不等式性质及解法授课提示：对应学生用书第9页[悟通——方法结论]1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c 同号，那么其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，那么其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．2．解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．3．解含参数不等式要正确分类讨论．[全练——快速解答]1．(2018·某某一模)a >b >0，c <0，以下不等关系中正确的是( ) A ．ac >bcB ．a c>b cC ．log a (a －c )>log b (b －c )D.aa －c >bb －c解析：法一：(性质推理法)A 项，因为a >b ，c <0，由不等式的性质可知ac <bc ，故A 不正确；B 项，因为c <0，所以－c >0，又a >b >0，由不等式的性质可得a －c >b －c>0，即1a c >1bc >0，再由反比例函数的性质可得a c <b c，故B 不正确； C 项，假设a ＝12，b ＝14，c ＝－12，那么log a (a －c )＝1＝0，log b (b －c )＝34>1＝0，即log a (a －c )<log b (b －c )，故C 不正确；D 项，a a －c －bb －c ＝a (b －c )－b (a －c )(a －c )(b －c )＝c (b －a )(a －c )(b －c )，因为a >b >0，c <0，所以a －c >b －c >0，b －a <0，所以c (b －a )(a －c )(b －c )>0，即a a －c －b b －c>0，所以aa －c >bb －c，故D 正确．综上，选D.法二：(特值验证法)由题意，不妨取a ＝4，b ＝2，c ＝－2. 那么A 项，ac ＝－8，bc ＝－4，所以ac <bc ，排除A ； B 项，a c ＝4－2＝116，b c ＝2－2＝14，所以a c <b c，排除B ；C 项，log a (a －c )＝log 4(4＋2)＝log 4 6，log b (b －c )＝log 2(2＋2)＝2，显然log 4 6<2，即log a (a －c )<log b (b －c )，排除C.综上，选D. 答案：D2．(2018·某某四校联考)不等式mx 2＋nx －1m <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x >2，那么m －n ＝( )A.12 B ．－52C.52D ．－1解析：由题意得，x ＝－12和x ＝2是方程mx 2＋nx －1m ＝0的两根，所以－12＋2＝－n m 且－12×2＝－1m 2(m <0)，解得m ＝－1，n ＝32，所以m －n ＝－52. 答案：B 3．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)解析：①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，所以x ≥4；②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4，所以0≤x <2.综上，不等式的解集是[0,2)∪[4，＋∞)．答案：B4．x ∈(－∞，1]，不等式1＋2x ＋(a －a 2)·4x>0恒成立，那么实数a 的取值X 围为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－2，14B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32D.(]－∞，6解析：根据题意，由于1＋2x＋(a －a 2)·4x >0对于一切的x ∈(－∞，1]恒成立，令2x＝t(0<t≤2)，那么可知1＋t ＋(a －a 2)t 2>0⇔a －a 2>－1＋tt2，故只要求解h (t)＝－1＋tt 2(0<t≤2)的最大值即可，h (t)＝－1t 2－1t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122＋14，又1t ≥12，结合二次函数图象知，当1t ＝12，即t ＝2时，h (x )取得最大值－34，即a －a 2>－34，所以4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32，故实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.答案：C5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x ＋1)，x ≥0，－x 3，x <0，那么使得f (x )≤1成立的x 的取值X 围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，lg (x ＋1)≤1得0≤x ≤9，由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 3≤1得－1≤x <0，故使得f (x )≤1成立的x 的取值X 围是[－1,9]．答案：[－1,9]1．明确解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解． 2．掌握不等式恒成立问题的解题方法(1)f (x )>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )max <a . (2)f (x )>g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )的图象在g (x )的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的X 围，谁就是变量，求谁的X 围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．基本不等式授课提示：对应学生用书第10页[悟通——方法结论]求最值时要注意三点：“一正〞“二定〞“三相等〞．所谓“一正〞指正数，“二定〞是指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等〞是指等号成立．[全练——快速解答]1．(2018·某某模拟)x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，那么x ＋y 的最小值为( ) A ．8B ．9 C ．12 D ．16解析：由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x＝1，那么x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝4x y ＋yx＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝〞，应选B.答案：B2．(2017·高考某某卷)假设a ，b ∈R ，ab >0，那么a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．解析：因为ab >0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4.答案：43．(2017·高考某某卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么x 的值是________．解析：由题意，一年购买600x 次，那么总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30. 答案：30掌握基本不等式求最值的3种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：假设无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋Ag (x )＋Bg (x )(A >0，B >0)，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．简单的线性规划问题授课提示：对应学生用书第10页[悟通——方法结论] 平面区域的确定方法解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，那么z ＝x －y 的取值X 围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值X 围是[－3,2]．答案：B2．平面上的单位向量e 1与e 2 的起点均为坐标原点O ，它们的夹角为π3.平面区域D 由所有满足OP →＝λe 1＋μe 2的点P 组成，其中⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，0≤λ，0≤μ，那么平面区域D 的面积为( )A.12B. 3C.32D.34解析：建立如下图的平面直角坐标系，不妨令单位向量e 1＝(1,0)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，设向量OP →＝(x ，y )，因为OP →＝λe 1＋μe 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋μ2，y ＝3μ2，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝x －3y3，μ＝23y 3，因为⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，λ≥0，μ≥0，所以⎩⎨⎧3x ＋y ≤3，3x －y ≥0，y ≥0表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，所以平面区域D 的面积为34，应选D. 答案：D3．(2018·某某模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序．生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一X 桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时．生产一把椅子的利润为1 500元，生产一X 桌子的利润为2 000元．该厂每个月木工最多完成8 000个工作时、漆工最多完成1 300个工作时．根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是________元．解析：设该厂每个月生产x 把椅子，y X 桌子，利润为z 元，那么得约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤8 000，2x ＋y ≤1 300，z ＝1 500x ＋2 000y .x ，y ∈N ，画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2 000，2x ＋y ≤1 300，x ≥0，y ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示，画出直线3x ＋4y ＝0，平移该直线，可知当该直线经过点P 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2 000，2x ＋y ＝1 300，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝200，y ＝900，即P (200,900)，所以z max ＝1 500×200＋2 000×900＝2 100 000.故每个月所获得的最大利润为2 100 000元．答案：2 100 000解决线性规划问题的3步骤[练通——即学即用]1．(2018·湘东五校联考)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，且z ＝x ＋y 的最大值为6，那么(x ＋5)2＋y 2的最小值为( )A ．5B ．3 C. 5D. 3解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x ，由图形可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 的纵截距最大，此时z 最大，最大值为6，即x ＋y ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，x －y ＝0，得A (3,3)，∵直线y ＝k 过点A ，∴k ＝3.(x ＋5)2＋y 2的几何意义是可行域内的点与D(－5,0)的距离的平方，数形结合可知，(－5,0)到直线x ＋2y ＝0的距离最小，可得(x ＋5)2＋y 2的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫|－5＋2×0|12＋222＝5.应选A. 答案：A2．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，2x ＋y ≤1，记z ＝4x ＋y 的最大值是a ，那么a ＝________.解析：如下图，变量x ，y 满足的约束条件的可行域如图中阴影部分所示．作出直线4x ＋y ＝0，平移直线，知当直线经过点A 时，z取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝1，x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，所以A (1，－1)，此时z ＝4×1－1＝3，故a ＝3.答案：33．(2018·高考全国卷Ⅰ)假设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，那么z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2过点(2,0)时，z 取最大值，z max＝3×2＋2×0＝6.答案：6授课提示：对应学生用书第118页一、选择题1．互不相等的正数a ，b ，c 满足a 2＋c 2＝2bc ，那么以下等式中可能成立的是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．b >c >aD ．c >a >b解析：假设a >b >0，那么a 2＋c 2>b 2＋c 2≥2bc ，不符合条件，排除A ，D ； 又由a 2－c 2＝2c (b －c )得a －c 与b －c 同号，排除C ；当b >a >c 时，a 2＋c 2＝2bc 有可能成立，例如：取a ＝3，b ＝5，c ＝1.应选B. 答案：B2．b >a >0，a ＋b ＝1，那么以下不等式中正确的是() A ．log 3a >0B ．3a －b<13C ．log 2a ＋log 2b <－2D ．3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥6解析：对于A ，由log 3a >0可得log 3a >log 31，所以a >1，这与b >a >0，a ＋b ＝1矛盾，所以A 不正确；对于B ，由3a －b<13可得3a －b <3－1，所以a －b <－1，可得a ＋1<b ，这与b >a >0，a ＋b ＝1矛盾，所以B 不正确；对于C ，由log 2a ＋log 2b <－2可得log 2(ab )<－2＝log 214，所以ab <14，又b >a >0，a ＋b ＝1>2ab ，所以ab <14，两者一致，所以C 正确；对于D ，因为b >a >0，a ＋b ＝1，所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b >3×2b a ×ab＝6, 所以D 不正确，应选C. 答案：C3．在R 上定义运算：x y ＝x (1－y )．假设不等式(x －a )(x －b )>0的解集是(2,3)，那么a ＋b ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题知(x －a )(x －b )＝(x －a )[1－(x －b )]>0，即(x －a )[x －(b ＋1)]<0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.答案：C 4．a ∈R ，不等式x －3x ＋a≥1的解集为P ，且－2∉P ，那么a 的取值X 围为( ) A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析：∵－2∉P ，∴－2－3－2＋a <1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.答案：D5．x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，y ≥0，那么z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最小值为( )A ．1 B.324C.116D.132解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＝2－3x －y，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x ＝1，y ＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x －y最小，最小值为132.应选D.答案：D6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，那么不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：由题意得，f (1)＝3，所以f (x )>f (1)，即f (xx <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0；当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．答案：A7．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝3x －2y 的最小值为0，那么实数m 等于( )A ．4B ．3C ．6D ．5解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝3x －2y 所对应的直线经过点A 时，z 取得最小值0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x ＋y ＝m ，求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 3，2m －13.故z 的最小值为3×1＋m 3－2×2m －13＝－m 3＋53，由题意可知－m 3＋53＝0，解得m ＝5.答案：D8．假设对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤ax恒成立，那么实数a 的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.12 D.22解析：因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12.答案：C9．(2018·某某一模)实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋3≥0，2x －y ＋2≤0，x ＋2y －4≤0，那么z ＝x 2＋y 2的取值X围为( )A ．[1,13]B ．[1,4]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z ＝x 2＋y 2的最小值为点O 到直线BC ：2x －y ＋2＝0的距离的平方，所以z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45，最大值为点O 与点A (－2,3)的距离的平方，所以z max ＝|OA |2＝13，应选C.答案：C10．(2018·某某二模)假设关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，那么x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是( ) A.63 B.233 C.433D.263解析：∵关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，∴Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2>0，又x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2， ∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a ≥24a ·13a ＝433，当且仅当a ＝36时取等号．∴x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433. 答案：C11．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，那么租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，那么约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ，y ∈N ，作出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点A (5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．答案：C12．(2018·某某模拟)点P (x ，y )∈{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2}，x ≥－2M (2，－1)，那么OM →·OP→(O 为坐标原点)的最小值为( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：由题意知OM →＝(2，－1)，OP →＝(x ，y )，设z ＝OM →·OP →＝2x －y ，显然集合{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2}x ≥－2对应不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2x ≥－2所表示的平面区域．作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝2x －y 对应的直线经过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x ＋2y －2＝0得A (－2,2)，所以目标函数的最小值z min ＝2×(－2)－2＝－6，即OM →·OP →的最小值为－6，应选C.答案：C二、填空题13．(2018·某某模拟)假设a >0，b >0，那么(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 的最小值是________．解析：(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝2＋2b a ＋a b ＋1＝3＋2b a ＋a b，因为a >0，b >0，所以(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ≥3＋22b a ×a b ＝3＋22，当且仅当2b a ＝ab，即a ＝2b 时等号成立．所以所求最小值为3＋2 2.答案：3＋2 214．(2018·高考全国卷Ⅱ)假设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，那么z ＝x ＋y的最大值为________．解析：由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)，x ＋y 取得最大值⇔斜率为－1的直线x ＋y ＝z (z 看做常数)的横截距最大，由图可得直线x ＋y ＝z 过点C 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点C (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9. 答案：915．(2018·某某模拟)假设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，那么z ＝y －2x ＋3的最小值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝y －2x ＋3表示区域内的点与点P (－3,2)连线的斜率．由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，那么有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝－125. 答案：－12516．a >b >1，且2log a b ＋3log b a ＝7，那么a ＋1b 2－1的最小值为________． 解析：令log a b ＝t ，由a >b >1得0<t<1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2(a －1)·1a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号. 故a ＋1b 2－1的最小值为3. 答案：3。