四川省泸县第九中学2014届高三迎接一模考试(数学理)

2014年四川省泸州市泸县九中高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁U M=（）A.UB.{1，3，5}C.{3，5，6}D.{2，4，6}【答案】C【解析】解：∵集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁U M={3，5，6}，故选C．直接利用补集的定义求出C U M．本题主要考查集合的表示方法、求集合的补集，属于基础题．2.若复数z满足z（2-i）=5i（i为虚数单位），则z为（）A.-1+2iB.-1-2iC.1+2iD.1-2i【答案】A【解析】解：∵复数z满足z（2-i）=5i，∴z====-1+2i．故选：A．把给出的等式两边同时乘以，然后直接利用复数的除法运算化简求值．本题考查了复数代数形式的混合运算，是基础的计算题．3.公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a4是a3与a7的等比中项，S2=-4，则a1=（）A.2B.3C.-2D.-3【答案】D【解析】解：∵公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a4是a3与a7的等比中项，∴，即（a1+2d）（a1+6d）=（a1+3d）2，即2a1=-3d，∵S2=-4，∴2a1+d=-4，两式联立解得a1=-3，d=2，故选：D．根据条件建立方程组，即可求得等差数列的首项和公差．本题主要考查等差数列通项公式的计算，根据条件建立方程组是解决本题的关键，考查学生的计算能力．4.若实数x，y满足不等式组合，则x+y的最大值为（）A.9B.C.1D.【答案】A【解析】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，∵直线z=x+y过可行域内点A（4，5）时z最大，最大值为9，故选A．先根据条件画出可行域，设z=x+y，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=x+y，过可行域内的点A（4，5）时的最大值，从而得到z最大值即可．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．5.将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD1在右侧的射影是正方形的对角线，B1C在右侧的射影也是对角线是虚线．如图B．故选B．直接利用三视图的画法，画出几何体的左视图即可．本题考查几何体的三视图的画法，考查作图能力．6.在平面直角坐标系x O y中，直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（）A.3B.2C.D.1【答案】B解：由题意可得，圆心（0，0）到直线3x+4y-5=0的距离，则由圆的性质可得，，即．故选B由直线与圆相交的性质可知，，要求AB，只要求解圆心到直线3x+4y-5=0的距离本题主要考查了直线与圆相交性质的应用，点到直线的距离公式的应用，属于基础试题7.把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】解：将函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为：y=cosx+1，再将y=cosx+1图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），∵曲线y=cos（x+1）由余弦曲线y=cosx左移一个单位而得，∴曲线y=cos（x+1）经过点（，0）和（，0），且在区间（，）上函数值小于0由此可得，A选项符合题意．故选A首先根据函数图象变换的公式，可得最终得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），然后将曲线y=cos（x+1）的图象和余弦曲线y=cosx进行对照，可得正确答案．本题给出一个函数图象的变换，要我们找出符合的选项，着重考查了函数图象变换规律和函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换公式等知识点，属于基础题．8.给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）=（f′（x））′，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在，上不是凸函数的是（）A.f（x）=sinx+cosxB.f（x）=lnx-2xC.f（x）=-x3+2x-1D.f（x）=-xe-xD【解析】解：对于f（x）=sinx+cosx，f′（x）=cosx-sinx，f″（x）=-sinx-cosx，当x∈，时，f″（x）＜0，故为凸函数，排除A；对于f（x）=lnx-2x，f′（x）=，f″（x）=-，当x∈，时，f″（x）＜0，故为凸函数，排除B；对于f（x）=-x3+2x-1，f′（x）=-3x2+2，f″（x）=-6x，当x∈，时，f″（x）＜0，故为凸函数，排除C；故选D．对ABCD分别求二次导数，逐一排除可得答案．本题主要考查函数的求导公式．属基础题．9.已知定义在（-1，0）上的函数y=f（x）的图象如图所示，对于满足-1＜x1＜x2＜0的任意x1，x2，错误的结论是（）A.当x∈（-1，0）时，x＞f（x）B.当x∈（-1，0）时，导函数f′（x）为增函数C.f（x2）-f（x1）≤x2-x1D.x1f（x2）＞x2f（x1）【答案】C【解析】解：对于A选项，由图象可以看出，x∈（-1，0）时，直线y=x的图象在函数y=f（x）图象的上方，即x＞f（x），A选项正确；对于B选项，导函数f′（x）即为y=f（x）图象上任一点处切线的斜率，递增，即B 选项正确；对于C选项，等价于x1-f（x1）≤x2-f（x2），而函数y=x-f（x）的导函数为y′=1-f′（x），其符号先正后负，即函数y=x-f（x）先增后减，故x1-f（x1）与x2-f（x2）的大小关系不定，即C选项错误；对于D选项，等价于＜，即函数在区间（-1，0）上递增，而表示函数y=f（x）图象上任一点与坐标原点连线的斜率，由图象知其递增，即D选项正确．故选：C．抓住函数图象，研究对应函数的性质．本题考查了识图能力与函数单调性的判断，以及导数的几何意义，属中档题．分析四个选项，研究对应函数的性质，即得正解．10.若S n=cos+cos+…+cos（n∈N*），则在S1，S2，…，S2014中，正数的个数是（）A.882B.756C.750D.378【答案】B【解析】解：∵＞，＞，＞，，＜，＜，＜，，＜，＜，＜，，＞，＞，＞，．∴S1＞0，S2＞0，S3＞0，S4＞0，S5＞0，S6＞0．S7=0，S8＜0，S9＜0，…S15＜0，S16=0．∴S1，S2，…，S16中是正数的有6项．由余弦函数的周期性可知，S1，S2，…，S2000中的正数项由750项．S2001，S2002，…，S2014中有6项为正数项．∴在S1，S2，…，S2014中，正数的个数是756．故选：B．利用余弦函数的象限符号求得S1，S2，…，S2014前16项中的正数项的个数，由周期性得到前2000项中的正数项个数，最后求得后14项中的正数项个数，则答案可求．本题考查了数列的和，考查了余弦函数的诱导公式，解答的关键是对周期规律的发现，是中档题．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是______ ．【答案】∀x0∈C R Q，x03∉Q【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以“∃x0∈C R Q，”的否定是“∀x0∈C R Q，”．故答案为：∀x0∈C R Q，．利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查特称命题与全称命题的否定关系的应用，考查基本知识的应用．12.（1-3x）5的展开式中x3的系数为______ ．【答案】-270【解析】解：（1-3x）5的展开式的通项公式为T r+1=•（-3x）r，令r=3，可得展开式中x3的系数为-27•=-270，故答案为：-270．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．13.椭圆上点P（1，1）处的切线方程是______ ．【答案】x+3y-4=0【解析】解：∵椭圆，∴y＞0时，y=，∴y′=，∴x=1时，y′=-，∴椭圆上点P（1，1）处的切线方程是y-1=-（x-1），即x+3y-4=0．故答案为：x+3y-4=0．由椭圆，可得y＞0时，y=，求导函数，求出切线的斜率，即可得出切线方程．本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，正确求出切线的斜率是关键．14.将边长为1m的正三角形薄铁片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯，则s的最小值是______ ．形，记s=梯形的周长梯形的面积【答案】【解析】解：设剪成的小正三角形的边长为x，则梯形的周长为3-x，梯形的面积为，∴s=（0＜x＜1），（方法一）利用函数的导数求函数的最小值．令s（x）=（0＜x＜1），则s'（x）==，令s'（x）=0，∵0＜x＜1，∴x=，当0＜x＜时，s'（x）＜0，当＜x＜1时，s'（x）＞0，∴x=时，s（x）取极小值，也为最小值，且为．（方法二）利用函数的方法求最小值．令3-x=t（2＜t＜3），则x=3-t，s（x）===，∵2＜t＜3，∴＜＜，∴当即t=，x=时，s（x）取最小值，且为．故答案为：．先设剪成的小正三角形的边长为x，用x表示出梯形的周长和面积，从而得到S的解析式，然后求S的最小值，方法一：对函数S进行求导，令导函数等于0求出x的值，根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最小值；方法二：令3-x=t，代入整理根据一元二次函数的性质得到最小值．本题考查函数中的建模应用，以及函数的最值求法，通常可用求导的方法和换元法，注意新元的范围，结合配方法，运用二次函数的性质解决．15.对任意两个非零的平面向量和，定义o=，若平面向量、满足||≥||＞0，与的夹角θ∈[0，]，且o和o都在集合{|m∈Z，n∈Z}中．给出下列命题：①若m=1时，则o=o=1．②若m=2时，则o=．③若m=3时，则o的取值个数最多为7．④若m=2014时，则o的取值个数最多为．其中正确的命题序号是______ （把所有正确命题的序号都填上）【答案】①③④【解析】解：①o==，o==，则o=o，可得，∴o=o=cosθ，∵m=1，θ∈[0，]，∴o=o=1，正确；②若m=2时，则o===，同理o==′，相乘得到′，∵θ∈[0，]，∴，∴′，∴n=1，n′=2或n=2，n′=2，∴o=或1，故不正确．③若m=3时，则o===，同理o==′，相乘得到′，∵θ∈[0，]，∴，∴′，∴n=1，n′=5，6，7，n=2，n′=3，4，5，6，7，n=3，n′=2，3，4，5，6，7，n=4，n′=2，3，4，5，6，7，n=5，6，6，n′=1，2，3，4，5，6，7，∴o的取值个数最多为7，正确．④若m=2014时，由③的推导方法可知o的取值个数最多为，正确．故答案为：①③④．由新定义可知o==，o==，再对每个命题进行判断，即可得出结论．本题考查命题真假的判断，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，有难度．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知f（t）=，g（x）=cosx•f（sinx）+sinx•f（cosx），x∈（，π）．（1）将函数g（x）化简成A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[-π，π]）的形式；（2）若g（x0）=，且x0∈（，），求g（x0+）的值．【答案】解：（1）g（x）=cosx•+sinx•=cosx•+sinx•=cosx•+sinx•，∵x∈（，π），∴|cosx|=-cosx，|sinx|=sinx，∴g（x）=cosx•+sinx•=sinx-cosx=sin（x-）；（2）∵f（x0）=，由（1）有f（x0）=sin（x0-）=，即sin（x0-）=．又x0∈（，），故x0-∈（，），∴cos（x0-）=．∴f（x0+）=sin[（x0-）+]= [sin （x 0- ）cos +cos （x 0- ）sin] = （×+×）=． 【解析】（1）依题意，可求得g （x ）=cosx •+sinx •，x ∈（，π）⇒|cosx |=-cosx ，|sinx |=sinx ，于是得g （x ）=sinx -cosx = sin （x -）； （2）f （x 0）=⇒sin （x 0- ）= ，又x 0∈（ ， ），故x 0- ∈（ ， ），于是得cos （x 0-）=，利用f （x 0+）= sin [（x 0-）+]即可求得答案．本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查两角和的正弦，考查化归思想与综合运算求解能力，属于难题．17.已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+2n ，数列{b n }的前n 项和T n =2-b n （Ⅰ）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（Ⅱ）设c n =a n b n ，求数列{c n }的前n 项和A n ．【答案】 解：（1）∵数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+2n ，∴a 1=S 1=4，当n ≥2时，a n =S n -S n -1=（2n 2+2n ）-[2（n -1）2+2（n -1）]=4n ， ∵n =1时也成立， ∴a n =4n ；又当≥2时，b n =T n -T n -1=（2-b n ）-（2-b n -1）， ∴2b n =b n -1，∴数列{b n }是等比数列，其首项为1，公比为， ∴． （2）C n =a n b n =．∴A n =4（），，①-②得=4（2-）．∴=16-．【解析】（1）由，，，求出a n=4n．又当≥2时，b n=T n-T n-1=（2-b n）-（2-b n-1），从而得到数列{b n}是等比数列，由此求出．（2）由C n=a n b n=，利用错位相减法能求出数列{c n}的前n项和A n．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．18.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．【答案】解：设A k，B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（A k）=，P（B k）=（k=1，2，3）（Ⅰ）记“甲获胜”为事件C，则P（C）=P（A1）+P（）+P（）=×+=；（Ⅱ）投篮结束时甲的投篮次数ξ的可能值为1，2，3P（ξ=1）=P（A1）+P（）=P（ξ=2）=P（）+P（）==P（（ξ=3）=P（）==期望Eξ=1×+2×+3×=．【解析】设A k，B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（A k）=，P（B k）=（k=1，2，3）（Ⅰ）记“甲获胜”为事件C，则P（C）=P（A1）+P（）+P（），利用互斥事件的概率公式即可求解；（Ⅱ）投篮结束时甲的投篮次数ξ的可能值为1，2，3，求出相应的概率，即可得到ξ的分布列与期望．本题考查互斥事件概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是确定变量的取值，理解变量取值的含义，属于中档题．19.如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10．（Ⅰ）设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；（Ⅱ）证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．【答案】证明：（I）如图，连接OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则O（0，0，0），A（0，-8，0），B（8，0，0），C（0，8，0），P（0，0，6），E（0，-4，3），F（4，0，3），（3分）由题意得，G（0，4，0），因，，，，，，因此平面BOE的法向量为，，，，，）得，又直线FG不在平面BOE内，因此有FG∥平面BOE．（6分）（II）设点M的坐标为（x0，y0，0），则，，，因为FM⊥平面BOE，所以有，因此有，，即点M的坐标为，，（8分）在平面直角坐标系xoy中，△AOB的内部区域满足不等式组＞＜＜，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，由点M的坐标得点M到OA，OB的距离为，．（12分）【解析】由于PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，O为AC的中点，AC=16，PA=PC=10，所以PO、OB、OC是两两垂直的三条直线，因此可以考虑用空间向量解决：连接OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，对于（I），只需证明向量FG与平面BOE的一个法向量垂直即可，而根据坐标，平面的一个法向量可求，从而得证；对于（II），在第一问的基础上，课设点M的坐标，利用FM⊥平面BOE求出M的坐标，而其道OA、OB的距离就是点M 横纵坐标的绝对值．本题考查直线与平面的平行的判定以及距离问题，建立了空间坐标系，所有问题就转化为向量的运算，使得问题简单，解决此类问题时要注意空间向量的使用．20.已知函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R．（Ⅰ）当时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；（Ⅲ）若对于任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，求b的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）f'（x）=4x3+3ax2+4x=x（4x2+3ax+4）．当时，f'（x）=x（4x2-10x+4）=2x（2x-1）（x-2）．令f'（x）=0，解得x1=0，，x3=2．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：所以f（x）在，，（2，+∞）内是增函数，在（-∞，0），，内是减函数．（Ⅱ）f'（x）=x（4x2+3ax+4），显然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根．为使f（x）仅在x=0处有极值，必须4x2+3ax+4≥0成立，即有△=9a2-64≤0．解些不等式，得．这时，f（0）=b是唯一极值．因此满足条件的a的取值范围是，．（Ⅲ）由条件a∈[-2，2]，可知△=9a2-64＜0，从而4x2+3ax+4＞0恒成立．当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．因此函数f（x）在[-1，1]上的最大值是f（1）与f（-1）两者中的较大者．为使对任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，当且仅当，即，在a∈[-2，2]上恒成立．所以b≤-4，因此满足条件的b的取值范围是（-∞，-4]．【解析】（1）将a的值代入后对函数f（x）进行求导，当导函数大于0时求原函数的单调增区间，当导函数小于0时求原函数的单调递减区间．（2）根据函数f（x）仅在x=0处有极值说明f'（x）=0仅有x=0一个根得到答案．（3）根据函数f（x）的单调性求出最大值，然后令最大值小于等于1恒成立求出b的范围．本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．21.已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．【答案】证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）椭圆C：①，则直线AB的方程为：y=-x+1②联立方程可得4x2-2x-1=0，则x1+x2=，x1×x2=-则y1+y2=-（x1+x2）+2=1设P（p1，p2），则有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；∴+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=-（+）=（-，-1）∴p的坐标为（-，-1）代入①方程成立，所以点P在C上．（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．设线段AB的中点坐标为（，），即（，），则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y-=（x-），即y=x+；③∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=-x④；③④联立方程组，解之得：x=-，y=③④的交点就是圆心O1（-，），r2=|O1P|2=（--（-））2+（-1-）2=故过PQ两点圆的方程为：（x+）2+（y-）2=…⑤，把y=-x+1…②代入⑤，有x1+x2=，y1+y2=1∴A，B也是在圆⑤上的．∴A、P、B、Q四点在同一圆上．【解析】（1）要证明点P在C上，即证明P点的坐标满足椭圆C的方程，根据已知中过F且斜率为-的直线l与C交于A、B两点，点P满足，我们求出点P的坐标，代入验证即可．（2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可．本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．。

泸州市高高三第一次教学质量诊断性考试数学(理科)第I卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合A={(x,y)|y = -x + 2}, B = {(x,y)|y = 2X},则A Cl B元素的个数为()A.0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】(y =・ x + 2AAB={ (x, y) |i Y=2X },由此能求出集合AAB的元素个数.【详解】•・•集合A ={(x,y)|y=・x+2}, B = {(x,y)|y = 2X},iy = -x + 2・・・AQB={ (x, y) |l y = 2X } = { (1, 1) }.・・・集合AAB的元素个数是1个.故选：B.【点睛】本题考查两个集合的交集中元索个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用.2.命题“WMR, e x>x+l (e是自然对数的底数)”的否定是()A.不存在xWR,使e x>x+ 1B. y xGR，使e x<x+ 1C. bxGR,使etx+lD. mxGR,使e x<x + 1【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题写出结果即可.【详解】命题““WxWR, e">x+l”的否定是3X GR，使e x<x+l,故选：D.【点睛】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，难度不大，属于基础题.tanx3.已知函数21-tan x,则函数f（x）的最小正周期为7C冗Tt冗A. 6B. 3C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数之间的关系，结合二倍角的正弦公式与二倍角的余弦公式，将f（x）化为1—tan。

v2,从而可得结果.sinxtanx cosx sinxcosx1 -tan2x•乍? ・乍siiTx cos~x ・ sin x1 -------cos"x【详解】1~sin2x2 cos2x1= -tan2x2 ,兀・・・f（x）的最小正周期为2,故选c.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式的应用，以及正切函数的周期性，属于屮档题.三角函数式的化简，应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用.1 11亍】3 3a = （-）b = （-）**c = ln（-）4.设2 , 3 , 兀，则下列关系正确的是（）A. a> b >cB. b >a >c c. a> c> b D. c > b>a【答案】A【解析】【分析】利用指对函数、幕函数的单调性求解.=lx I【详解】利用旷口）与yf2的单调性可知:c = l又 • a> b>c 故选：A【点睛】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时耍认真审题，注意幕函数、对数 函数和指数函数的性质的合理运用.5. 函数f （x ） = xcosx-sinx 的图象大致为【解析】【详解】分析：用排除法，根据奇偶性可排除选项BC ；由彳自一・ 而可得结果.详解： 因为K - x) = - xcosx + sinx = - (xcosx - sinx) = - f(x)9所以函数f （x ） = XCOSX - Sinx 是奇函数,函数图象关于原点对称，可排除选项BC, 由伊亠°,可排除选项A,故选D.点睛：函数图彖的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图彖的左右位置；从函 数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的 奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 6. 若In 是两条不同的直线，m 垂直于平面ct,则“1丄m”是的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不D.1 <0，可排除选项A,从= b>0nl =0 【答案】D必要条件【答案】B【解析】若1丄叫因为m垂直于平面a,则l//ct或luct；若l//a,又m垂直于平面（X,贝|J1丄m,所以“1丄m” 是“l〃a 的必要不充分条件，故选B.考点：空间直线和平血、直线和直线的位置关系.视频口7.正数d b, c满足3a = 4b = 6c，则下列关系正确的是（）1 1 1 —| __2 2 1 __ sx _ | __1 2 2 __ sx _ | _ 2 1 2 __ sx _ |_A. c 3 bB. c 3 bC. c 3 bD. c a b【答案】B【解析】因为d,b,c>0,且3a = 4b = 6C = k a = log3k,b = log4k,c = lo&k2 2 1••. — = — + —cab,则可知选B71乙ABC = _&在梯形ABCD中，2, AD II BC, BC = 2AD = 2AB = 2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲而所禺成的几何体的表而积为（）A. （5 + Q）兀B. （4 + 血）兀c. （5 + 2血加D. G + 為兀【答案】A【解析】【分析】将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是：一个底面半径为AB=1,高为BC 二2的圆柱减去一个底面半径为AB二1,高为BC・AD二2・1二1的圆锥，由此能求出该儿何体的表而积.【详解】•・•在梯形ABCD 中，ZABC=2,AD〃BC, BC=2AD=2AB=2,・・・将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是: 一个底面半径为AB=1,高为BC 二2的圆柱减去一个底面半径为AB=1, 高为BC - AD=2 - 1=1的圆锥,・・・儿何体的表面积为：S= H X r+2 H X 1 X2+兀'1 ：< JF+ 1，=（5+血）兀.故选：A. 【点睛】本题考查旋转体的表面积的求法，考查圆柱、圆锥性质等基础知识，考查运算求解 能力、考查空I'可想象能力，是基础题.【答案】A【解析】【分析】【详解】由最大值为2的，得A = 2启,T 4 7T2 兀得到的函数图彖关于直线 6 6对称，贝阻的最小值为A. 8B. 6C. 4D. 3 由图象求得函数的的解析式 经过周期变换与相位变换可得2可得结果.由2 3 3 ，得 «的横坐标缩短为原来的4,纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移e （e>0）个单位长度,4x ・ 40 Q 3/,由 6 3—=-7C - ~ = 7C T = 2?C =——,0) = 1兀=0,・肓+…71 兀 v |©| < ― (0 =-— 2屮3f(x) = 2^/3sin(x1将函数y = f(x)的图彖上所有点的横坐标缩短为原来的4,纵坐标不变, 再将所得图象上所有点向右平移e (e > °)个单位长度，2丽sin (4x - 49 - -j5 5 兀 兀 x = - 4 x -ye ■一 = kz + - •••g (x)图象关于 6对称，6 3 2 5兀 40 = -k7c + —— 2 ■兀k = 2时，°最小为故选A. 【点睛】本题考查了三角函数的图彖与性质，重点考查学生对三角函数图彖变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学牛对所学 知识理解的深度. 10.《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼 成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为％卩，且小正方形与大正方形面积之比为 9:25,则cos(a-p)的值为() A. 9 B. 9 c. 16 D. 25【答案】D【解析】【分析】3设大的正方形的边长为1,由已知可求小正方形的边长，可求cos a ・sina=5, sinB -3cos 3 =5,且cos a 二sin 0, sina=C osP ,进而利用两角差的余弦函数公式，同角三角函数基 本关系式即可计算得解.7T1 g(x) = 2p5sin 4(x ・ 0) ■- 得到 丫 [3【详解】设大的正方形的边长为1,由于小正方形与大正方形面积之比为9： 25,3可得：小正方形的边长为5,3 3可得：cos a ・ sin a 二5,①s j n p ・ cos 0 二5,②由图可得：cos a =sin0, sin a 二cos B,9① X ②可得：25 二cos a sin 3 +sin a cos B - cos a cos B - sina sinP=sin'P +cos2 B - cos ( a-S ) =1 - cos ( a - B ),16解得：cos ( a - B ) =25.故选：D.【点睛】本题主要考查了两角差的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题.11•某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()循a16 + 24 兀16 + 16兀8 + 8兀16 + 8兀A. 3B. 3C. 3D. 3【答案】D【解析】1由三视图可知该几何体为一个四棱锥和一个4球体的组合体，其中四棱锥的是以侧视图为底血,1 16 1 14 ,8-X4x2x2 =——・- -X -7T X (2) = -7U其体积为3 3而4球体的体积为4 3 3 .16 + 8 兀故组合体的体积为3故选D12.已知函数f(x) = e x_1-alnx + (a-l)x + a(a>0)的值域与函数f(f(x))的值域相同，则啲取值范围【答案】C【解析】【分析】求出f (x)的单调区间和值域，从而得出f (x)的最大值与单调区间端点的关系，从而得出a的范围.【详解】f (x)的定义域为(0, +8).f(x)=e x_1 -- + a- 1x，在(0, +8)递增.而f' (1) =e° - a+a - 1=0,则f (x)在(0, 1)上单减，在(1, +8)上单增，f (1) =2a.・・.f (x)的值域为［2a, +8).1V —要使y=f［f (x)］与y=f (x)的值域相同，只需2aWl,又a>0,解得02.故选：C.【点睛】木题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考査了推理能力与计算能力，属于难题.第II卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分•把答案填在答题纸上)log^x-2) > 013•使不等式2 成立的x的取值范围是________ .【答案】23)【解析】【分析】利用对数函数的单调性即可得到结杲.log1(x-2)>0 = log1l【详解】•・• 2 2;.0<x-2<l,即2<x<3故答案为：Q，3)【点睛】本题考查了对数不等式的解法，解题关键利用好对数函数的单调性，勿忘真数的限制.14.在△ ABC屮，角A, B, C所对的边分别为％b, c,若asinA = csmC + (a-b)sinB,则角C的大小为_______ .7U【答案】3【解析】【分析】7 2 2由asinA = csinC + (a ・b)sinB,利用正弦定理可得才+ b-c = ab,再根据余弦定理可得结果.［详解］•••跆匚皿=csinC + (a - b)sinB,a c ba x — = c x — + (a-b) x —•••由正弦定理可得2a 2R 2R,化为a2 + b2-c2 = ab,a2 + b2-c2 1cosC = ----------- =-2ab 2,71 71c =——3,故答案为3.【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷.如果式子屮含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子屮含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.f(x) = f27U7°15.已知函数______________________________________ 1 -很x>0 ,则f(x+l)-9<0的解集为.【答案】［-4, + s)【解析】【分析】I X<-1 i X>-1原不等式等价于|2_(x + 1)-8<0或(-小?匚1-9三° ,分别求解不等式组，再求并集即可.f(x)fl，x 宇【详解】•••I・&,x>0 ,(X<-1•••当x+l<o时，(2_(x + 1)-8<0 ,解得-4SX—1；( x> -1当x+l> 0时，(-&T1-9S0 ,解得X>—1,综上，x>-4,即f(x+l)-9<0的解集为+ 00),故答案为［-4, + oo).【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定耍层次清塑，思路清晰.16.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2AD, E是DR的中点，坯=C】K =，设过点已、F、K的平面与平面AC的交线为1,则直线1与直线A】Di所成角的正切值为__________ .【答案】4【解析】【分析】延长KE, KF找到交线为MN,又CN平行于A i D i,故MN与CN所成角为所求.DE 2【详解】延长KE, CD交于M点，又CK 3MD_2・・・疋亍BF _ 1同样延长KF, CB交于N点，又CK 3NB _ 1•NC 3••即为过点E、F、K的平面与平面AC的交线为1,又CN平行于"Di即MN与CN所成角为所求，记所成角为&MC 3CDtan0 = ----- = ------ = 4NC 3—BC则 2故答案为：4【点睛】本题主要考查异面直线所成的角问题，难度一般.求异面直线所成角的步骤：1平移，将两条异而直线平移成相交直线.2定角，根据异面直线所成角的定义找出所成角.3求角，在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角.4结论.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.1 COS A L=—17.在A ABC 中，角A, B, C 所对的边分别是a, b, c,已知a = 6,* 8.(1)若b = 5,求smC 的值；150⑵AABC 的面积为〒，求b + c 的值.—【答案】(1) 4； (2) b + c=9【解析】 【分析】13^7 5^7 cosA = 一sinA = ---- sinB = ---------------------------- (1) rh 6可得8 ,由正弦定理可得 16, s 哎（2）由zc °,可得be = 20,再利用余弦定理，配方后化 简可得b + c = 9.b . 5帀 sinB = -sinA = -----由正弦定理 a 16,71 0<B <A<-因为所以2,所以=sinAcosB + cosAsinB =— sinC = sin(A + B) 41 1 3^7 15^7S AARP = —besinA = —be x -- = ------ (2) 2 2 8 4, Abe = 20, .7 7 1999 = b + c - 2 x 20 x - = 36犷=・ 2bccosA 8 ,,\b 2+ c 2 = 41, (b + c)2 = b 2 + c 2 + 2bc =41+40 = 81, • b + c =9• •【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形屮的应用，属于屮档题.正弦定理是解1cosA = 一由 6 9 cosB =—求得 16,利用诱导公式及两角和的正眩公式可得结果; 【详解】（1） 7C0 VA V —则 2sxnA 卫89 cosB =—16,三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；(4)求三角形外接圆半径.18.已知函数f(x) = ax-2sinx + xcosx.(1)求曲线y = f(x)在x =兀处的切线在y轴上的截距；兀[0厂](2)若函数Kx)在区间2上是增函数，求实数a的取值范围.71[一,+ 00)【答案】(1) 一2叫(2) 2【解析】【分析】(1)因为f(x) = a - cosx . xsinx^f(7U)= a + 1,又f@) =耐兀求出切线方程即可得到结果;(2)因为兀兀[0-] [0-]f(x)在区间2上是增函数，所以f(x)20在区间2上恒成立.通过分离变量，构造函数，把问题转化为函数的最值问题.【详解】(]) 因为f (x) = a ・ 2cosx + cosx - xsinx = 3 ・ cosx - xsinx, 当x =冗时,f(7t) = a?c ■兀,f(兀)=a+ 1, 所以曲线y = f(x)在x =兀处的切线方程为：y - (a7t - 7c) = (a + l)(x -兀)，所以曲线y = f(x)在x=兀处的切线在y轴上的截距为・2疋7C[0厂] (2)因为f(x)在区间2上是增函数，71[0-]所以Hx)nO在区间2上恒成立，贝爬・cosx ・ xsinx > 0, 即a n cosx + xsinx,令g(x) = cosx + xsinx贝ijg r(x) = - sinx + sinx + xcosx = xcosx > 0,7C[0-]所以g(x)在区间2上单调递增，兀71 所严"护，71[-+ °°)故实数&的取值范围是2 .【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量, 构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.兀兀19.如图，在平面直角坐标系xOy中，点八区⑷严為血都在单位圆O上，厶xOA = a,且3‘2 .7C 兀Xi = cosa = cos[(a +-)--] “y° = sin(a+-)66 ,结合两角差的余弦公式可得结果；(2)由题知勺-cosa, - 37C乙AOB = — 1 9(2)若 3,求y=x ： + y3的取值范围._ 1 1【答案】(1)勺7； (2)(4,0【解析】 【分析】(1)由三角函数的定义可得X 1=cosa. 兀 13兀sin(a + —)=——cos(a + —)=6 14,可得 6丿利用710 C 0 兀 y = x ； + = cos^a + sin^(a + -) 则’ ■ 3 ,利用降幕公式以及辅助角公式化简为2帀 in(2a + -)+l3,利用三角函数的有界性可得结果.【详解】(1)由三角函数的定义有X 1=cosa兀 sin(a + -) 因为 6丿13~R 7171a G (--)3 2 ,7C7C5兀 兀一va+一v —— cos(a + -)所以26 6,6冗 7CX] = cosa =cos[(a+ -) - -1 所以6 67U 71 兀 71 =cos(a + -)cos - + sin(a + -)sin-6 6 6 6 3$ $ 13 1■ -- • -- + --- •— 14 2 14 2 17. ♦7C(2)由题知『沁,y2 = Sm(a+?3$7C1 ・ cos2(a + -)1+ cos2a 3----------- +------------------- 2 2 3 书. & . 7C=1 + -cos2a + ―in2a =——sin(2a + -) + 144 237所以y 的収值范围是【点睛】以平面图形为载体，三角恒等变换为手段，对三角函数及解三角形进行考查是近几 年高考考查的一类热点问题，i 般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正 余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练学握并灵活应用，特别是二倍角公式的各 种变化形式要熟记于心.兀 乙 BCD= _20.如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PBC 丄平面ABCD,底面ABCD 是平行四边形，且 4,（2）若底面ABCD 是菱形，PA 与平面ABCD 所成角为6,求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角 的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2） 2. 【解析】 【分析】（1）过P 作PE 丄BC,垂足为E,连接DE,只需证明DE = EC 即可；⑵厶DPE 是平面PAD 与平 面PBC所成锐二面角的平而角，在三角形屮求解即可.y=x ； + y ； r . r 兀 =cos^a + sirT(a + -)3 HitaG (?2}兀 4兀 2七珂兀，亍）,sin(2a+-)G(-^,0)PD 丄 BC【详解】（1）过P作PE丄BC,垂足为E,连接DE, 因为平而PBC丄平而ABCD,所以PE丄平而ABCD, 因为PD1BC,所以BC丄平面PDE,所以DE1BC,71乙BCD =-因为％所以DE = EC,因为APED三APEC,所以PD = PC.解法一：（2）因为BC II AD, BCC平面ADP, AD u 平面ADP, 所以BCII平面ADP,设平面PBCA平面PAD =直线1,所以1IIBC,因为BC丄平而PDE,所以1丄PE, 1丄PD,所以乙DPE是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角，因为PE丄平面ABCD,兀乙P AE = _故乙PAE是直线PA与平面ABCD所成角，即6,设PE = a,则AE = ^a, PA = 2a,设DE = m,则EC = m, DC=Qm,所以（^a）2 = m2 +（72m）2,所以兀^2乙DPE = - cos 乙DPE =—故4,所以2,即平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为2 .解法二：（2）因为BC丄平面PDE, PE丄平面ABCD,7C乙P AE =-故乙PAE是直线PA与平面ABCD所成角，即6,且DE 丄BC, DE 丄PE,设PE = a,则AE = j3m, PA = 2a t在ADEC 中，设DE = m,则EC = m, DC = Qm, 在AEDA 中，所以(伍)2 = iJ +(Qm )2,所以m =a>以E 为坐标原点，分别以ED 、DB 、EP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系, 则 13(X0,0), A(a,血0), P(0,0,a),则平面PBC 的法向量a = (1,0,0), 设平面PAD 的法向量b =(x,y,z), 因为心=AD = (0, - V2m,0),设平血PBD 与平血PAC 的夹角为平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为2 .计算。

第6题图俯视图2014高考数学模拟试卷（三）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第⒂题为选考题,其他题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号,非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答,超出答题区域书写的答案无效.4.保持卷面清洁,不折叠,不破损.5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．参考公式：锥体的体积公式:13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.球的表面积、体积公式：24S R π=、343V R π=,其中R 为球的半径.样本数据n x x x ,,21的标准差 (n x s +-=,其中x 为样本平均数.用最小二乘法求线性回归方程系数公式：1221ˆni i i ni i x y nx yx nxb==-⋅∑-∑=,ˆay bx =-. 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}ln A x y x =|=，集合{}2,1,1,2B =--，则A B =A.(1,2)B.{}1,2C.{}1,2--D.(0,)+∞2.若(4i)i i a b +=+其中,a b ∈R ，i 是虚数单位，则a b - = A.3B.5C.3-D.5-3.设0.32a =，20.3b =，2log (0.3)(1)x c x x =+>，则,,a b c 的大小关系是A.a b c << B.b a c << C.c b a << D.b c a <<4.不等式2311x x +≥-的解集是 A.[4,)-+∞ B.(4,)-+∞ C.[4,1)- D.(,4](1,)-∞-+∞5.“1a =”是“函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也不是必要条件6.一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形， 该四棱锥的体积等于 3B.3C.33D.37.袋中有4个形状大小一样的球，编号分别为1,2,3,4，从中任取2个球，则这2个球的编 号之和为偶数的概率为 A.16 B.23 C.12 D.138.已知等比数列}{n a 满足：354321=++++a a a a a ，122524232221=++++a a a a a ，则54321a a a a a +-+-的值是A.2B.9C.4D.149.设函数3()f x x =+sin x ，若02θπ≤≤时, (cos )(1)0f m f m θ+->恒成立，则实数 m 的取值范围是A.(0,1)B.(,0)-∞C.1(,)2-∞ D.(,1)-∞10.当n *∈N 且2n ≥时，24112225n p q -++++=+(其中p 、q 为非负整数，且05q ≤≤，则q 的值为 A.0 B.1 C.3 D.与n 有关第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.将正确答案填在答题卷上对应题号 的横线上.11.若下框图所给的程序运行结果为20S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是 .12.函数()37ln f x x x =-+的零点位于区间(,1)()n n n +∈N ，则n = . 13.已知锐角三角形的边长分别为2、4、x ，试求x 的取值范围 .D CBA14.对于函数321()(2)3f x x ax a x b =-+-+，若()f x 有六个不同的单调区间，则a 的取值范围为 .15.（文科做②；理科从①②两小题中任意选作一题） ①（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线π()6θρ=∈R 截圆π2cos()6ρθ=- 的弦长是 .②(不等式选做题)关于x 的不等式|||1|1x a x ---≤在R 上恒成立（a 为常数），则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16.(本大题满分12分)在ABC ∆中，已知45ABC ∠=，AB =D 是BC 边上的一点，5,3AD DC ==，求AC 的长.17. (本大题满分12分)A 、B 两个口袋，A 袋中有6张卡片，其中1张写0，2张写1，3张写有2；B 袋中7张卡片，其中4张写有0，1张写有1，2张写有2，从A 袋中取1张卡片，B 袋中取2张卡片，共3张卡片， 求：（1）取出的3张卡片都写0的概率； （2）取出的3张卡片数字之积是4的概率； （3）取出的3张卡片数字之积的数字期望.18.(本大题满分12分)如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点．（1）求证：//AF 平面BCE ； （2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；（3）求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值．19.(本大题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)n n S a λλ=+-，其中λ是不等于1-和0的常数. （1）证明：数列{}n a 是等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f λ=，数列{}n b 满足111,()3n n b b f b -==（n *∈N ，且2n ≥），求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T . 20.(本大题满分13分)已知函数()sin f x ax b x =+，当3x π=时，()f x取得极小值3π-（1）求,a b 的值；（2）设直线:()l y g x =，曲线:()S y f x =.若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件： ①直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点；②对任意x ∈R 都有()()g x f x ≥.则称直线l 为曲线S 的“上夹线”.试证明：直线:2l y x =+为曲线:sin S y ax b x =+“上夹线”.21.(本大题满分14分)一直线过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且交抛物线于,A B 两点，C 为抛物线准线ABCDEF的一点（1）求证：ACB∠不可能是钝角；（2）是否存在这样的点C，使得ABC∆为正三角形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题：1～5. BBBDA ； 6～10. ADCDA. 二、填空题：11.8k >； 12.2; 13.1512t +≤<； 14.(1,2)； 15. ①2；②[]0,2. 三、解答题：16.解：在ABD ∆中，由正弦定理得562sin 22sin 35AB B ADB AD ⋅∠∠=== ∴3ADB π∠=或23π，①若3ADB π∠=，则23ADC π∠=，ADC ∆中，由余弦定理得222cos 49AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=2 ∴7AC =，②若23ADB π∠=，则3ADC π∠=，ADC ∆中，由余弦定理得222cos 19,AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=2∴19AC =17.（文科）（1）每颗骰子出现的点数都有6种情况，∴基本事件总数为3666=⨯个.记“点),(y x P 在直线1-=x y 上”为事件A ，A 有5个基本事件：)}5,6(),4,5(),3,4(),2,3(),1,2{(=A ，.365)(=∴A P （2）记“点),(y x P 满足x y 42<”为事件B ，则事件B 有17个基本事件: 当1=x 时，;1=y 当2=x 时，2,1=y ；当3=x 时，3,2,1=y ；当4=x 时，;3,2,1=y 当5=x 时，4,3,2,1=y ；当6=x 时，4,3,2,1=y ．.3617)(=∴B PF HG EMDCBA（理科）解：（1）设事件A 表示：“取出的3张卡片都写0”2427C 11()6C 21P A =⋅=（2）设事件B 表示：“取出的3张卡片数字之积是4”2112122277C C C 234()6C 6C 63P B =⋅+⋅=（3）设取出的3张卡片数字之积为随机变量ξ，则ξ可取0，2，4，82327C 1537(0)(1)66C 42P ξ==+⋅-=； 111227C C 22(2)6C 63P ξ==⋅= 11121222C C C 234(4)6C 6C 63P ξ==⋅+⋅=； 222C 31(8)6C 42P ξ==⋅= 24863634263E ξ=⋅+⋅+⋅=18.解（1） 证法一：取CE 的中点G ，连FG BG 、．∵F 为CD 的中点，∴//GF DE 且12GF DE =． ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴//AB DE ，∴//GF AB ．又12AB DE =，∴GF AB =．∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG ． ∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴//AF 平面BCE ．证法二：取DE 的中点M ，连AM FM 、． ∵F 为CD 的中点，∴//FM CE ．∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴//DE AB ． 又12AB DE ME ==， ∴四边形ABEM 为平行四边形，则//AM BE ． ∵FM AM ⊄、平面BCE ，CE BE ⊂、平面BCE ， ∴//FM 平面BCE ，//AM 平面BCE ． 又FMAM M =，∴平面//AFM 平面BCE ．∵AF ⊂平面AFM ，∴//AF 平面BCE ．（2）证：∵ACD ∆为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥． ∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE AF ⊥． 又CDDE D =，故AF ⊥平面CDE ．∵//BG AF ，∴BG ⊥平面CDE ． ∵BG ⊂平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面CDE ．（3）平面CDE 内，过F 作FH CE ⊥于H ，连BH ∵平面BCE ⊥平面CDE ，∴FH ⊥平面BCE ∴FBH ∠为BF 和平面BCE 所成的角设22AD DE AB a ===，则2sin 452FH CF==2BF a ==，Rt FHB ∆中，sin FH FBH BF ∠==∴直线BF 和平面BCF 19.（1）证明：∵(1)n n S a λλ=+-∴11(1)(2)n n S a n λλ--=+-≥∴1n n n a a a λλ-=-+，即1(1)n n a a λλ-+= 又1λ≠-且0λ≠，∴11n n a a λλ-=+ 又11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，1λλ+为公比的等比数列.（2）解：由（1）知：()1q f λλλ==+∴111()(2)1n n n n b b f b n b ---==≥+故有1111111n n n n b b b b ---+==+，∴1111(2)n n n b b --=≥∴数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项，1为公差的等差数列， ∴2(1)53()22n n n n nT n n *-+=+=∈N20.解：（1）∵()sin f x ax b x =+，∴()cos f x a b x '=+而由已知得：10233a b a ⎧+=⎪⎪⎨ππ⎪⋅+=⎪⎩∴1,2a b ==-此时()2sin f x x x =-，∴()12cos f x x '=-，当(0,)3x π∈时，()0f x '<，当(,)32x ππ∈时，()0f x '>∴当3x π=时，()f x取得极小值3π-即1,2a b ==-符合题意（2）由()12cos 1f x x '=-=，得cos 0x =当2x π=-时，cos 0x =，此时1222y x π=+=-+，22sin 22y x x π=-=-+12y y =，∴(,2)22ππ--+是直线l 与曲线S 的切点当2x 3π=时，cos 0x =，此时1222y x 3π=+=+，22sin 22y x x 3π=-=+ 12y y =，∴(,2)223π3π+也是直线l 与曲线S 的切点∴直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点对任意x ∈R ，()()(2)(2sin )22sin 0g x f x x x x x -=+--=+≥即()()g x f x ≥，因此直线:2l y x =+为曲线:2sin S y x x =-“上夹线” 21.解：设1122(,),(,),(,)2p A x y B x y C m -，直线AB 方程为2p x ty =+由222p x ty y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2220y pty p --=，则212122,y y pt y y p +==-∴2212122,4p x x pt p x x +=+=（1）11(,)2p CA x y m =+-，22(,)2pCB x y m =+- ∴2()0CA CB pt m ⋅=-≥∴,CA CB <>不可能为钝角，故ACB ∠不可能是钝角 （2）假设存在点C ，使得ABC ∆为正三角形 由（1）得：线段AB 的中点为2(,)2pM pt pt +①若直线AB 的斜率不存在，这时0t =，(,),(,)22p pA pB p -，点C 的坐标只可能是(,)2p p -，由CM AB =，得：2p p =，矛盾，于是直线AB 的斜率必存在 ②由CM AB ⊥，得：1CM AB k k ⋅=-，即21122pt m p p t pt -⋅=-++∴32m pt pt =+，∴3(,2)2pC pt pt -+2(CM p t =+22(1)AB p t =+由CM =，得：t =，∴(,)2p C -±故存在点(,)2pC -±，使得ABC ∆为正三角形。

泸州市高2014级一诊考试一、（本题共7小题，每小题6分，共42分。

每个小题所给出的四个选项中，有一个或多个是符合题目要求的。

全部选对得6分，选不全得3分，有选错或不答得0分。

）1. 如图所示，水平地面上的物体A ，在斜向上的拉力 F 的作用下，向右做匀速运动，则下 列说法中正确的是A . 物体A 对地面的压力可能为零B . 物体A 受到地面的摩擦力可能为零C . 物体A 一定受到了地面摩擦力的作用D . 物体A 对水平地面的压力大小等于它的重力2、如图所示，I ，II 分别是甲、乙两小车从同一地点沿同一直线先后做匀变速直线运动的t v -图线，根据图线可以判断A 、两车在s t 8=时再次相遇B 、甲、乙两小车运动时，加速度大小相等、方向相反C 、两车在s t 2=时刻的速度大小相等、方向相同D 、图线交点对应的时刻两车相遇3、“天宫一号”和“神舟十号”绕地球做匀速圆周运动的轨迹分别如图中A 、B 所示。

“神舟十号”飞船经点火变轨在A 轨道上实现与“天宫一号”目标飞行器成功交会对接形成联接体，联接体仍在A 轨道上运行。

由此可知A 、“天宫一号”在A 轨道上运行的角速度大于“神舟十号”在B 轨道上运行的角速度B 、“天宫一号”在A 轨道上运行的向心速度大于“神舟十号”在B 轨道上运行的向心速度C 、对接以后，“神舟十号”的运行周期与B 轨道运行周期相等D 、对接以后“神舟十号”的机械能比在原轨道B 上作匀速圆周运动的机械能大4、如图，A 、B 是粗糙水平传送带的两个端点，物体每次滑上A 端时的瞬时速度相等，当传送带不动时，物体到达B 端后作平抛运动，撞在斜面上的C 点，则A 、若传送带以逆时针方向转动时，物体一定撞在斜面上C 点的下方B 、若传送带以逆时针方向转动时，物体一定撞在斜面上的C 点C 、若传送带以顺时针方向转动时，物体一定撞在斜面上C 点的上方D 、若传送带以顺时针方向转动时，物体一定撞在斜面上的C 点5、如图所示，质量均为m 的A 、B 两特例叠放在竖直轻质弹簧上保持静止后，弹簧被压缩了x ,现用大小等于mg21的恒力F 竖直向上拉B ，使B 向上运动。

泸州市2011级高三第三次教学质量诊断性考试数 学（理工类） 2014.4.10本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）。

第一部分1至2页，第二部分3至4页，共150分。

考试时间120分钟。

第一部分 （选择题 共50分）注意事项：用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在草稿子、试题卷上。

一、本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。

1、若{1,2,3,4}U =，{1,2}M =，{2,3}N =，则=⋂)(N M C U （ ） 【答案】：C【解析】：本题考查集合的基本概念；显然{}2=⋂N M ，∴{}{}4,3,12=U C .选C. A 、{1,2,3} B 、{2} C 、{1,3,4} D 、{4}2、如图，向量OZ 对应的复数为z ，则4z z+对应的复数是（ ）【答案】：D.【解析】：本题考查复数的基本概率和综合应用；由图得)1,1(-z ，既i z -=1.∴i i i i i i i i z z +=+=+-++-=-+-=+3262)1)(1()1)(42(14)1(42.选D.A 、13i +B 、3i --C 、3i -D 、3i + 3、命题p ：(,0]x ∀∈-∞，21x ≤，则（ ）A 、p 是假命题；p ⌝：(,0]x ∃∈-∞，21x >B 、p 是假命题；p ⌝：(,0]x ∀∈-∞，21x ≥C 、p 是真命题；p ⌝：(,0]x ∃∈-∞，21x >D 、p 是真命题；p ⌝：(,0]x ∀∈-∞，21x ≥ 【答案】：C .【解析】：本题考查命题的四种基本形式；显然命题p 是真命题，排除A 、B ；只有C 满足.4、已知α为锐角，sin()410πα+=，则sin α的值是（ ） A 、35 BC、 D 、45 【答案】：A . 【解析】：本题考查三角函数的基本公式；计算时不要马虎.531027*********sin -=⨯-⨯=⎪⎭⎫⎝⎛-+ππα，而⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα.选A. 5、在区间[0,1]上任取三个数x ，y ，z ，若向量(,,)m x y z =，则事件||1m ≥ 发生的概率是（ ） A 、12π B 、16π- C 、112π- D 、6π 【答案】：B .【解析】：本题考查综合度较大，中档题 .设),,(z y x m OM ==，则),,(z y x M =，由题意得：]1,0[,,∈z y x ，故点M 对应的基本事件(反面）℘是一个棱长为1的正方体，故它的体积为1.1对应事件为P1≤得1222＜z y x ++,即事件P 对应的基本事件空间是以坐标原点为球心，半径为1的球体在第一象限内的部分，其体积为球体体积的81. ∴6134812ππ=⨯⨯=P V .∴61)111π-=-=≥P P .选B.6、用0，1，2，3，…，9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）A 、324B 、328C 、360D 、648【答案】：B 【解析】：本题考查事件分类. ①当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有8×8×4=256②当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有9×8×1=72种，根据分类计数原理知共有256+72=328种.故选B. 7、某厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品每单位需A 种原料8克，B 种原料24克，每单位利润60元；生产乙种产品每单位需A 种原料和B 种原料各16克，每单位利润80元。

四川省泸州市2014届高三第三次教学质量诊断性考试数 学（理工类）本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）。

第一部分1至2页，第二部分3至4页，共150分。

考试时间120分钟。

第一部分 （选择题 共50分） 注意事项：用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在草稿子、试题卷上。

一、本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。

1、若{1,2,3,4}U =，{1,2}M =，{2,3}N =，则()UM N ð是（ ）A 、{1,2,3}B 、{2}C 、{1,3,4}D 、{4}2、如图，向量OZ 对应的复数为z ，则4z z +对应的复数是（ ） A 、13i + B 、3i -- C 、3i - D 、3i + 3、命题p ：(,0]x ∀∈-∞，21x ≤，则（ ）A 、p 是假命题；p ⌝：(,0]x ∃∈-∞，21x >B 、p 是假命题；p ⌝：(,0]x ∀∈-∞，21x ≥C 、p是真命题；p ⌝：(,0]x ∃∈-∞，21x > D 、p 是真命题；p ⌝：(,0]x ∀∈-∞，21x ≥4、已知α为锐角，sin()4πα+=，则sin α的值是（ ） A 、35 B、 C、 D 、455、在区间[0,1]上任取三个数x ，y ，z ，若向量(,,)m x y z = ，则事件||1m ≥发生的概率是（ ）A 、12πB 、16π-C 、112π-D 、6π6、用0，1，2，3，…，9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）A 、324B 、328C 、360D 、648 7、某厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品每单位需A 种原料8克，B 种原料24克，每y x-111ZO单位利润60元；生产乙种产品每单位需A 种原料和B 种原料各16克，每单位利润80元。

2014年四川省高考模拟试题202013.12.6 理科数学第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=-,0 , 12,0 ,21)(x x x f x x，则该函数是A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减2．将函数()sin(2)()22f x x ππθθ=+-<<的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 、()g x 的图象都经过点3(0,)2P ，则ϕ的值可以是 A ．53πB ．56πC ．2πD ．6π3．若函数a ax x f 213)(-+=在区间)1,1(-内存在一个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．51>a B ．51>a 或1-<a C ．511<<-a D ．1-<a4．△ABC 所在平面上一点Ｐ满足PA ＋PB ＋PC ＝AB,则△PAB 的面积与△ABC 的面积比为（ ） A.2:3 B.1:3 C.1:4 D.1:65. ABC △中，角A B C ，，的对边为a b c ，，，向量(31)(cos sin )A A =-=，，，m n ，若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B ，的大小分别为（ ）A ．ππ36，B ．2ππ36，C ．ππ63， D ．ππ33，6．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的长分别是,,a b c ，且2222c a b =+，可导函数()f x 满足/()2()x f x f x < ，则 A.22sin (sin )sin (sin )A f B B f A < B. 22sin (sin )sin (sin )A f A B f B > C.22cos (sin )sin (cos )B f A A f B < D.22cos (sin )sin (cos )B f A A f B >7．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()(),f x f x -=- 称()f x 为“局部奇函数”，若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（ ）.1313A m -≤≤+ .1322B m -≤≤ .2222C m -≤≤ .2213D m -≤≤-8．已知函数()f x 是定义在R 上的以4为周期的函数，”当x ∈（－1，3]时，()f x ＝21(1,1](12),(1,3]x x t x x ⎧∈⎪⎨∈⎪⎩－,－－－其中t>0．若函数y ＝()f x x－15的零点个数是5，则t 的取值范围为( )A ．（25，1） B ．（25，65） C ．（1，65） D ．（1，＋∞）9．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜ 时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 取值范围是（ ） （A ）10,5,5+∞ （]（）（B ）10,[5,5+∞ （））（C ）11,]5,775 （（）（D ）11,[5,775（））10．对于定义域为的函数和常数，若对任意正实数，使得恒成立，则称函数为“敛函数”．现给出如下函数：①； ②；③ ； ④.其中为“敛1函数”的有A ．①②B ．③④C ． ②③④D ．①②③第II 卷二、填空题（本大题共5小题，每小题5分）11．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[,2]x a a ∈+，不等式()(31)f x a f x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．12．设C B A P ,,,半径为2的球面上四点，且满足PA ∙PB =0,PA ∙PC =0,PB ∙PC=0,则PBC PAC PAB S S S ∆∆∆++的最大值是_______________13．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[,2]x a a ∈+，不等式()(31)f x a f x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 14．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末理）在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=．15．已知集合22{()|()()()()}A f x f x f y f x y f x y x y =-=+⋅-∈R ，、，有下列命题：①若1,0()1,0x f x x ⎧=⎨-<⎩≥，则()f x A ∈； ②若()f x kx =，则()f x A ∈；③若()f x A ∈，则()y f x =可为奇函数；④若()f x A ∈，则对任意不等实数12,x x ，总有1212()()f x f x x x -<-成立．其中所有正确命题的序号是 ．（填上所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共75分）D ()y f x =c ξ,x D ∃∈0|()|f x c ξ<-<()y f x =c ()()f x x x Z =∈()()112xf x x Z ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭()2log f x x =()1x f x x -=16．（本小题满分12分）已知A B 、分别在射线CM CN 、（不含端点C ）上运动，23MCN ∠=π，在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ．（Ⅰ）若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差为2．求c 的值； （Ⅱ）若3c =，ABC ∠=θ，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大值．M NθACB17．(湖北省黄冈市2013年3月高三质量检测理)（本小题满分12分）“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为13，乙组能使生物成活的概率为12，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的.（Ⅰ）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率.（Ⅱ）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率.（Ⅲ）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为ξ，求ξ的期望.18．（本小题满分12分）在等腰梯形PDCB 中（如图1），PB DC //,33==CD PB ,2=PD ，PB DA ⊥,垂足为A ，将PAD ∆沿AD 折起，使得AB PA ⊥，得到四棱锥ABCD P -(如图2) （1）求证：平面⊥PAD 平面PCD ；（2）点M 在棱PB 上，平面AMC 把四棱锥ABCD P -分成两个几何体，当这两个几何体的体积之比，即45=-ABC M PMACD V V 时，求MBPM的值；（3）在（2）的条件下，求证：PD //平面AMC .PABCDM图2PABD C图119．（天津耀华中学2013届高三年级第三次月考理科数学试卷）（本小题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和)(2)21(*1N n a S n n n ∈+--=-，数列{b n }满足n n n a b 2=. （1）求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n a n n 1的前n 项和为T n ，证明：*N n ∈且3≥n 时，125+>n n T n ； （3）设数列{c n }满足n c a n n n n λ1)1()3(--=-（λ为非零常数，*N n ∈），问是否存在整数λ，使得对任意*N n ∈，都有n n c c >+1.20（本小题满分13分）已知函数)()(b ax e x f x+=，曲线)(x f y =经过点)2 , 0(P ，且在点P 处的切线为l ：24+=x y ．⑴ 求常数a ，b 的值；⑵ 求证：曲线)(x f y =和直线 l 只有一个公共点；⑶ 是否存在常数k ，使得]1 , 2[--∈x ，)24()(+≥x k x f 恒成立？若存在，求常数k 的取值范围；若不存在，简要说明理由．21. （本小满分14分）已知函数()(1)ln 15af x x a x a x=++-+，322()23(2)664F x x a x x a a =-+++--，其中0a <且1a ≠-．(1) 当2a =-，求函数()f x 的单调递增区间；(2) 若1x =时，函数()F x 有极值，求函数()F x 图象的对称中心坐标；（3）设函数2(()66(1))e ,1,()e (),1.x F x x a x x g x f x x ⎧-+-⋅=⎨⋅>⎩≤ （e 是自然对数的底数），是否存在a 使()g x 在[,]a a -上为减函数，若存在，求实数a 的范围；若不存在，请说明理由．。

6.方茴说："我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。

"7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。

1."噢，居然有土龙肉，给我一块！"2.老人们都笑了，自巨石上起身。

而那些身材健壮如虎的成年人则是一阵笑骂，数落着自己的孩子，拎着骨棒与阔剑也快步向自家中走去。

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则()U C M N =( )A ．{5，7}B ．{2，4}C ．{1，3，5，6，7}D ．{2，4，8}2. 下列命题中的假命题是( ) A ．x ∀∈R ，120x ->B ．x *∀∈N ，2(1)0x ->C ．x ∃∈R ，lg 1x <D ．x ∃∈R ，tan 2x =6.方茴说："我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。

"7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。

1."噢，居然有土龙肉，给我一块！"2.老人们都笑了，自巨石上起身。

而那些身材健壮如虎的成年人则是一阵笑骂，数落着自己的孩子，拎着骨棒与阔剑也快步向自家中走去。

3.12lg 2lg 25-的值为 ( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】试题分析：2112lg2lglg(2)lg10022525-=÷==，故选B. 考点：对数与对数运算4.函数21()(1)sin f x x x =-的图象大致为6.方茴说："我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则()U C M N =( )A ．{5，7}B ．{2，4}C ．{1，3，5，6，7}D ．{2，4，8}2. 下列命题中的假命题是( ) A ．x ∀∈R ，120x ->B ．x *∀∈N ，2(1)0x ->C ．x ∃∈R ，lg 1x <D ．x ∃∈R ，tan 2x =3.12lg 2lg 25-的值为 ( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】试题分析：2112lg 2lglg(2)lg10022525-=÷==，故选B. 考点：对数与对数运算4.函数21()(1)sin f x x x =-的图象大致为5.△ABC 中，若2AD DB =，13CD CA CB λ=+，则λ=( )A ．13B ．23C ．23-D ．13-6.将函数()sin(2)()22f x x ππθθ=+-<<的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 、()g x 的图象都经过点P ，则ϕ的值可以是( ) A ．53π B ．56π C ．2π D ．6π7.设数列{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.若曲线12()f x x -=在点(,())a f a 处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则a = ( ) A ．64B ．32C ．16D ．8【答案】A9.一支人数是5的倍数且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人．则这只游行队伍的最少人数是( ) A ．1025B ．1035C ．1045D ．105510.定义在R 上的函数()f x 满足221,11(4)(),()log (|2|2),13x x f x f x f x x x ⎧-+-⎪+==⎨--+<⎪⎩≤≤≤，若关于x 的方程()0f x ax -=有5个不同实根，则正实数a 的取值范围是( )A ．11(,)43B ．11(,)64C．1(16)6-D．1(,86-【答案】D第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.复数22(56)(215)i m m m m +++--（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数m 的值为 ．12.等比数列{}n a 中，若公比4q =，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式n a = ．考点：等比数列的通项公式13.使不等式3log 14a<（其中01a <<）成立的a 的取值范围是 ．14.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[,2]x a a ∈+，不等式()(31)f x a f x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【答案】(,5]-∞-15.已知集合22{()|()()()()}A f x f x f y f x y f x y x y =-=+⋅-∈R ，、，有下列命题： ①若1,0()1,0x f x x ⎧=⎨-<⎩≥，则()f x A ∈；②若()f x kx =，则()f x A ∈；③若()f x A ∈，则()y f x =可为奇函数； ④若()f x A ∈，则对任意不等实数12,x x ，总有1212()()0f x f x x x -<-成立．其中所有正确命题的序号是．（填上所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小满分12分）在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如下．（Ⅰ）计算样本的平均成绩及方差；（Ⅱ）现从80分以上的样本中随机抽出2名学生，求抽出的2名学生的成绩分别在[80,90)、[90,100]上的概率．17. （本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，设S为△ABC的面积，满足2224)S a b c=+-．(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)若tan21tanA cB b+=，且8AB BC=-，求c的值．18. （本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且36a =，10110S =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 前n 项和为n T ，且1n a n T =-，令()n n n c a b n *=∈N ．求数列{}n c 的前n 项和n R .试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，19.（本小满分12分）已知函数321()43sin 32f x x x θ=-+，其中x ∈R ，(0,)θπ∈． (Ⅰ)若()f x '的最小值为34-，试判断函数()f x 的零点个数，并说明理由； (Ⅱ)若函数()f x 的极小值大于零，求θ的取值范围．因此，函数()f x 在sin 2x θ=处取得极小值3sin 11()sin 2432f θθ=-+， ··· 9分20.（本小满分12分）设平面向量),2cos )x x π=+a ，(2cos ,cos )x x =-b ，已知函数()f x m =⋅+a b 在[0,]2π上的最大值为6． （Ⅰ）求实数m 的值； （Ⅱ）若026()5f x =，0[,]42x ππ∈．求0cos 2x 的值．21.（本小满分14分）已知函数()(1)ln 15a f x x a x a x=++-+，322()23(2)664F x x a x x a a =-+++--，其中0a <且1a ≠-．(Ⅰ) 当2a =-，求函数()f x 的单调递增区间；(Ⅱ) 若1x =时，函数()F x 有极值，求函数()F x 图象的对称中心坐标；（Ⅲ）设函数2(()66(1))e ,1,()e (), 1.x F x x a x x g x f x x ⎧-+-⋅=⎨⋅>⎩≤ （e 是自然对数的底数），是否存在a 使()g x 在[,]a a -上为减函数，若存在，求实数a 的范围；若不存在，请说明理由．（2）当2a >-时，()m x 在[2,]a -上是增函数，在(,2],[,)a -∞-+∞是减函数，。

四川泸州市高2014级第三次教学质量诊断性考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一.选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求.把答案涂在答题卷上.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|lgx≤0}，则A∩B=（）A．{1}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{1，2}2．i是虚数单位，若=a+bi（a，b∈R），则乘积ab的值是（）A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．153．如图，某组合体的三视图是由边长为2的正方形和直径为2的圆组成，则它的体积为（）A．4+4πB．8+4πC．D．4．为了得到函数的图象，只需把函数y=log2x的图象上所有的点（）A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度5．某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．66．如图，圆锥的高，底面⊙O的直径AB=2，C是圆上一点，且∠CAB=30°，D为AC的中点，则直线OC和平面PAC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．7．若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）8．三棱锥A﹣BCD中，AB，AC，AD两两垂直，其外接球半径为2，设三棱锥A ﹣BCD的侧面积为S，则S的最大值为（）A．4 B．6 C．8 D．169．已知a=（﹣ex）dx，若（1﹣ax）2017=b0+b1x+b2x2+…+b2017x2017（x∈R），则的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．e10．由无理数引发的数学危机已知延续带19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M ∪N=Q ，M ∩N=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称（M ，N ）为戴金德分割．试判断，对于任一戴金德分割（M ，N ），下列选项中不可能恒成立的是（ ）A ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素11．已知函数，其中m ∈{2，4，6，8}，n ∈{1，3，5，7}，从这些函数中任取不同的两个函数，在它们在（1，f （1））处的切线相互平行的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．以上都不对12．若存在正实数x ，y ，z 满足≤x ≤ez 且zln =x ，则ln 的取值范围为（ ） A ．[1，+∞） B ．[1，e ﹣1] C ．（﹣∞，e ﹣1] D ．[1， +ln2]第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.5(12)x -展开式中，3x 项的系数为．14.设不等式组4000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是．15.若函数6,2()3log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩，（0a >且1a ≠）的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是．16.已知数列{}n a 的前n 项和11()22n n n S a -=--+（*n N ∈），则数列{}n a 的通项公式n a =．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos b c b A =-.（1）求证：2A B =；（2）若53b c =，46a =，求BC 边上的高.18. 甲，乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于95为正品，小于95为次品，现随机抽取这两台车床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标[85,90) [90,95) [95,100) [100,105) [105,110) 机床甲8 12 40 32 8 机床乙 7 18 40 29 6（1）试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为正品的概率；（2）甲机床生产一件零件，若是正品可盈利160元，次品则亏损20元；乙机床生产一件零件，若是正品可盈利200元，次品则亏损40元，在（1）的前提下，现需生产这种零件2件，以获得利润的期望值为决策依据，应该如何安排生产最佳？19. 如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，1AD AB BC ===，3ADC π∠=，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，1AE =，点M 在线段EF 上.（1）当FM EM为何值时，//AM 平面BDF ？证明你的结论；（2）求二面角B EF D --的平面角的余弦值.20. 已知点C 是圆22:(1)16F x y ++=上的任意一点，点F 为圆F 的圆心，点'F 与点F 关于平面直角系的坐标原点对称，线段'CF 的垂直平分线与线段CF 交于点P .（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）若轨迹E 与y 轴正半轴交于点M ，直线:23l y kx =+交轨迹E 于,A B 两点，求ABM ∆面积的取值范围.21. 已知函数()(1)x f x e a x =++（其中e 为自然对数的底数）（1）设过点(0,0)的直线l 与曲线()f x 相切于点00(,())x f x ，求0x 的值；（2）若函数2()1g x ax ex =++的图象与函数()f x 的图象在(0,1)内有交点，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线122cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）经伸缩变换''2x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩后的曲线为2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）,A B 是曲线2C 上两点，且3AOB π∠=，求OA OB +的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x a =+++，若()f x 的最小值为2.（1）求实数a 的值；（2）若0a >，且,m n 均为正实数，且满足m n a +=，求22m n +的最小值.试卷答案一.选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求.把答案涂在答题卷上.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|lgx≤0}，则A∩B=（）A．{1}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{1，2}【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|lgx≤0}={x|0＜x≤1}，∴A∩B={1}．故选：A．2．i是虚数单位，若=a+bi（a，b∈R），则乘积ab的值是（）A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】先根据两个复数相除的除法法则化简，再依据两个复数相等的充要条件求出a和b的值，即得乘积ab的值．【解答】解：∵===﹣1+3i=a+bi，∴a=﹣1，b=3，∴ab=﹣1×3=﹣3．故选B．3．如图，某组合体的三视图是由边长为2的正方形和直径为2的圆组成，则它的体积为（）A．4+4πB．8+4πC．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知该几何体是正方体与球的组合体，结合图中数据计算它的体积即可．【解答】解：根据三视图知，该几何体的下面是棱长以2的正方体，上面是半径为1的球的组合体，结合图中数据，计算它的体积为V=V球+V正方体=π•13+23=π+8故选：D．4．为了得到函数的图象，只需把函数y=log2x的图象上所有的点（）A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度【考点】函数的图象与图象变化；程序框图．【分析】利用对数的运算性质化简平移目标函数的解析式，然后根据“左加右减，上加下减”的原则，可得答案．【解答】解：∵函数=log2（x+1）﹣log24=log2（x+1）﹣2，故其图象可由函数y=log2x的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个长度单位得到，故选C．5．某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求S=2°+21+22+…+2n+n+1的值，根据输出的结果不大于20，得n≤3，由此可得判断框内i的最大值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=2°+21+22+…+2n+n+1的值，∵输出的结果不大于20，∴n≤3，∴判断框的条件n＜i，i的最大值为4．故选：B．6．如图，圆锥的高，底面⊙O的直径AB=2，C是圆上一点，且∠CAB=30°，D为AC的中点，则直线OC和平面PAC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由已知易得AC⊥OD，AC⊥PO，可证面POD⊥平面PAC，由平面垂直的性质考虑在平面POD中过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC，∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角，在Rt△OHC中，求解即可．【解答】解：因为OA=OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD，又PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O，所以AC⊥PO，而OD，PO是平面内的两条相交直线所以AC⊥平面POD，又AC⊂平面PAC所以平面POD⊥平面PAC在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC连接CH，则CH是OC在平面上的射影，所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角在Rt△ODA中，OD=DA•sin30°=，在Rt△POD中，OH==，在Rt△OHC中，sin∠OCH=，故直线OC和平面PAC所成的角的正弦值为．故选C．7．若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【考点】圆的一般方程；圆方程的综合应用．【分析】由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，由图象可知此圆与y=0有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与y﹣mx ﹣m=0要有2个交点，根据直线y﹣mx﹣m=0过定点，先求出直线与圆相切时m 的值，然后根据图象即可写出满足题意的m的范围．【解答】解：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，由直线y﹣mx﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：直线y=0和圆交于点（0，0）和（2，0），因此直线y﹣mx﹣m=0与圆相交即可满足条件．当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m2=，解得m=±，而m=0时，直线方程为y=0，即为x轴，不合题意，则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时，m∈（﹣，0）∪（0，）．故选B．8．三棱锥A﹣BCD中，AB，AC，AD两两垂直，其外接球半径为2，设三棱锥A ﹣BCD的侧面积为S，则S的最大值为（）A．4 B．6 C．8 D．16【考点】球内接多面体．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后利用基本不等式解答即可．【解答】解：设AB，AC，AD分别为a，b，c，则三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，∴a2+b2+c2=16，S=（ab+bc+ac）≤（a2+b2+c2）=8，故选C．9．已知a=（﹣ex）dx，若（1﹣ax）2017=b0+b1x+b2x2+…+b2017x2017（x∈R），则的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．e【考点】二项式定理的应用．【分析】利用微积分基本定理可得：a=﹣=2．因此（1﹣2x）2017=，分别令x=0，1=b0；x=，则0=b0+，即可得出．【解答】解：=﹣=﹣=2．∵（1﹣2x）2017=，令x=0，则1=b0．x=，则0=b0+，∴=﹣1，故选：B．10．由无理数引发的数学危机已知延续带19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴金德分割．试判断，对于任一戴金德分割（M，N），下列选项中不可能恒成立的是（）A．M没有最大元素，N有一个最小元素B．M没有最大元素，N也没有最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M有一个最大元素，N没有最小元素【考点】子集与真子集．【分析】由题意依次举例对四个命题判断，从而确定答案．【解答】解：若M={x∈Q|x＜0}，N={x∈Q|x≥0}；则M没有最大元素，N有一个最小元素0；故A正确；若M={x∈Q|x＜}，N={x∈Q|x≥}；则M没有最大元素，N也没有最小元素；故B正确；若M={x∈Q|x≤0}，N={x∈Q|x＞0}；M有一个最大元素，N没有最小元素，故D正确；M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，故C不正确；故选C．11．已知函数，其中m∈{2，4，6，8}，n∈{1，3，5，7}，从这些函数中任取不同的两个函数，在它们在（1，f（1））处的切线相互平行的概率是（）A．B．C．D．以上都不对【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由题意列举斜率相等的情况，得到共有多少组，求得总的基本事件，由古典概率的计算公式即可得到所求值．【解答】解：函数，导数为f′（x）=mx2+nx+1，可得在（1，f（1））处的切线斜率为m+n+1．则切线相互平行即有斜率相等，即有（m，n）为（2，7），（8，1），（4，5），（6，3），（2，5），（4，3），（6，1），（2，3），（4，1），（4，7），（6，5），（8，3），（8，5），（6，7）共++1++1=6+3+1+3+1=14组，总共有=120组，则它们在（1，f（1））处的切线相互平行的概率是=．故选：B．12．若存在正实数x，y，z满足≤x≤ez且zln=x，则ln的取值范围为（）A．[1，+∞）B．[1，e﹣1]C．（﹣∞，e﹣1]D．[1， +ln2]【考点】简单线性规划．【分析】由已知得到ln=，求出的范围，利用函数求导求最值．【解答】解：由正实数x，y，z满足≤x≤ez且zln=x，得到，∈[，e]，ln=，设t=，则，t∈[，2]，f'（t）=，令f'（t）=0，得到t=1，所以当时，f'（t）＜0，函数f（t）单调递减；当1＜t≤2时，函数f（t）单调递增；当t=1时函数的最小值为f （1）=1+ln1=1； 又f （2）=+ln2，f （）=e ﹣1，．又f （）﹣f （2）=e ﹣ln2﹣＞e ﹣lne ﹣=e ﹣2.5＞0， 所以f （）＞f （2），所以ln 的取值范围为[1，e ﹣1]； 故选B ．二、填空题13. 80- 14.8π-15.(1,2] 16.2n n na =三、解答题17.解：（1）因为2cos b c b A =-， 所以sin sin 2sin cos B C B A =-， 因为()C B A π=-+，所以sin sin(())2sin sin B B A B A π=-+- 所以sin sin cos cos sin 2sin cos B B A B A B A =+- 即sin cos sin sin cos B B A B A =-， 即sin sin()B A B =-，因为0B π<<，0A π<<，所以A B ππ-<-<， 所以B A B =-或()B A B π=--， 故2A B =；（2）由53b c =及2cos b c b A =-得，1cos 3A =， 由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得222551(46)()2333b b b b =+-⨯⨯， 解得：6,10b c ==，由1cos 3A =得，2sin 23A =， 设BC 边上的高为h ，则11sin 22bc A ah ⨯=⨯，即26102463h ⨯⨯=， 所以1033h =. 18.解：（1）因为甲机床为正品的频率为4032841005++=，乙机床为正品的频率约为4029631004++=， 所以估计甲、乙两机床为正品的概率分别为43,54；（2）若用甲机床生产这2件零件，设可能获得的利润1X 为320元、140元、-40元，它们的概率分别为14416(320)5525P X ==⨯=，1418(140)25525P X ==⨯⨯=，1111(40)5525P X =-=⨯=，所以获得的利润的期望11681()320140(40)248252525E X =⨯+⨯+-⨯=， 若用乙机床生产这2件零件，设可能获得的利润为2X 为400元、160元、-80元，它们的概率分别为2339(400)4416P X ==⨯=，2316(160)24416P X ==⨯⨯=，2111(80)4416P X =-=⨯=，让你以获得的利润的期望2961()400160(80)280161616E X =⨯+⨯+-⨯=； 若用甲、乙机床各生产1件零件，设可能获得的利润3X 为360元、180元、120元、-60元，它们的概率分别为34312(360)5420P X ==⨯=，3133(180)5420P X ==⨯=，3414(120)5420P X ==⨯=，3111(60)5420P X =-=⨯=所以获得的利润的期望312341()360180120(60)26420202020E X =⨯+⨯+⨯+-⨯=，∵231()()()E X E X E X >>， 所以安排乙机床生产最佳. 19.解： （1）当12FM EM =时，//AM 平面BDF ，证明如下： 在梯形ABCD 中，设AC BD O = ，连接FO ， 因为1AD BC ==，060ADC ∠=， 所以2DC =，又1AB =， 因为AOB ∆∽CDO ∆, 因此:2:1CO AO =， 所以12FM AO EM CO ==，因为ACFE 是矩形， 所以四边形AOFM 是平行四边形， 所以//AM OF ，又OF ⊂平面BDF ，AM ⊄平面BDF ， 所以//AM 平面BDF ；（2）在平面ABCD 内过点C 作GC CD ⊥， 因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，且交线为AC ， 则CF ⊥平面ABCD ，即CF GC ⊥，CF DC ⊥，以点C 为原点，分别以,,CD CG CF 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则13(,,0)22B ，(2,0,0)D ，33(,,1)22E ，(0,0,1)F ， 所以(1,0,1)BE = ，13(,,1)22BF =-- ，13(,,1)22DE =-- ，(2,0,1)DF =- ，设平面BEF 的法向量为(,,)m x y z = ，则0m BE m BF ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩， ∴013022x z x y z +=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，取(1,3,1)m =-- ， 同理可得平面DEF 的法向量(1,3,2)n =-，所以210cos ,10522m n m n m n∙===∙， 因为二面角B EF D --是锐角，所以其余弦值是1010.20.解：（1）由题意知圆F 的圆心为(1,0)F -，半径为4，所以''42PF PF CF FF +==>=，由椭圆的定义知，动点P 的轨迹是以',F F 为焦点，4为长轴长的椭圆，设椭圆E 的方程为22221x y a b+=（0a b >>），且焦距为2c (0)c >，则：222241a c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，即213a c c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆E 的方程为22143x y +=； （2）把直线:23l y kx =+，代入椭圆方程消去y 得：22(34)163360k x kx +++=， 由0∆>得：32k <-或32k >， 因为直线与椭圆相交于两点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则12216334kx x k -+=+，1223634x x k =+，因为点(0,3)M ，直线l 与y 轴交于点(0,23)DABM ∆的面积12121322ABM S MD x x x x ∆=∙-=- 2212121233()()422x x x x x x =-=∙+- 222223163436649()2343443k k k k k -⨯-=-=+++ 226631222124949k k =≤=-+-， 当且仅当22124949k k -=-，即212k =±时取等号， 212k =±满足0∆> 所心ABM ∆面积的取值范围是3(0,]2. 21.解：（1）因为函数()(1)x f x e a x =++，所以'()(1)xf x e a =++， 故直线l 的斜率为0'0()(1)x f x e a =++，点00(,())x f x 的切线l 的方程为000()((1))()x y f x e a x x -=++-， 因直线过(0,0)，所以000()((1))()x x e a x -=++-， 即0000(1)((1))xxe a x e a x ++=++ 解之得，01x =（2）令2()()()(1)1xhx f x g x e a x a e x =-=-+-+-，所以'()21xh x e ax a e =-+-+，设()21xk x e ax a e =-+-+，则'()2xk x e a =-，因函数2()1g x ax ex =++的图象与函数()f x 的图象在(0,1)内有交点， 设0x 为()h x 在(0,1)内的一个零点， 由()0,(1)0h x h ==，所以()h x 在0(0,)x 和0(,1)x 上不可能单增，也不可能单减， 所以()k x 在0(0,)x 和0(,1)x 上均存在零点， 即()k x 在(0,1)上至少有两个零点，当12a ≤时，'()0k x >，()k x 在(0,1)上递增，()k x 不可能有两个及以上零点； 当2ea ≥时，'()0h x <，()k x 在(0,1)上递减，()k x 不可能有两个及以上零点；当122ea <<时，令'()0k x =，得ln(2)(0,1)x a =∈， ∴()k x 在(0,ln(2))a 上递减，在(ln(2),1)a 上递增，所以1(ln(2))22ln(2)(1)32ln(2)1()22ek a a a a e a a a a e a =----=-+-<< 设3()ln 1(1)2x x x x e x e ϕ=-+-<<，则'1()ln 2x x ϕ=-， 令'()0x ϕ=，得x e =，当1x e <<时，'()0x ϕ>，()x ϕ递增， 当e x e <<时，'()0x ϕ<，()x ϕ递减， 所以max ()10x e e ϕ=+-<， ∴(ln(2))0k a <恒成立，若()k x 有两个零点，则有(ln(2))0k a <，(0)0k >，(1)0k >， 由(0)20k a e =+->，(1)10k a =->，得21e a -<<，当21e a -<<，设()k x 的两个零点为12,x x ，则()h x 在1(0,)x 递增，在12(,)x x 递减，在2(,1)x 递增，∴1()()0h x h x >=，2()(1)0h x h <=，所以()h x 在12(,)x x 内有零点，即函数2()1g x ax ex =++的图象与函数()f x 的图象在(0,1)内有交点， 综上，实数a 的取值范围是(2,1)e -. 22.解：（1）曲线122cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩化为普通方程为：22(2)14x y -+=， 又''2x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩即''2x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入上式可知： 曲线2C 的方程为22(1)1x y -+=，即222x y x +=， ∴曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （2）设1(,)A ρθ，2(,)3B πρθ+（(,)26ππθ∈-）， ∴122cos 2cos()3OA OB πρρθθ+=+=++23cos()6πθ=+，因为()(,)633πππθ+∈-， 所以OA OB +的取值范围是(3,23] 23.解：（1）①当12a ->-时，即2a >时，3(1),2()1,123(1),1a x a x a f x x a x x a x ⎧--+≤-⎪⎪⎪=+--<<-⎨⎪++≥-⎪⎪⎩则当2a x =-时，min ()()1222a af x f a a =-=-++-+=， 解得6a =或2a =-（舍）；②当12a -<-时，即2a <时，3(1),1()1,123(1),2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪--+≤⎪⎪=-+--<<-⎨⎪⎪++≥-⎪⎩ 则当2a x =-时，min ()()1222a a f x f a a =-=-++-+=， 解得6a =（舍）或2a =- ③当12a -=-时，即2a =，()31f x x =+， 此时min ()0f x =，不满足条件，综上所述，6a =或2a =-；（2）由题意知，6m n +=，∵222()2m n m n mn +=++2222()()m n m n ≤+++222()m n =+当且仅当3m n ==时取“=”， ∴2218m n +≥，所以22m n +的最小值为18。

泸县高2021级高三一诊模拟考试数学（理工类）（答案在最后）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1,2,3,4A =，{}2,B y y x x A ==∈，则A B = （）A.{}0,2 B.{}0,2,4 C.{}0,4 D.{}0,1,2,4【答案】B 【解析】【分析】由题设写出集合B ，再由集合交运算求A B ⋂.【详解】由题意，{}=0,2,4,6,8B ，而{}0,1,2,3,4A =，∴{}=0,2,4A B ，故选：B.2.|32i1i -+|=（）A.2B.2C.D.【答案】B 【解析】【分析】先利用复数的除法化简，再利用复数的模长公式即得解【详解】由题意，()()32i 1i 32i 15i ||1i 222----====+故选：B3.设x ∈R ，则“11x -<”是“05x <<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先解不等式11x -<，比较其和05x <<的关系即可【详解】依题意，11x -<可得111x -<-<，即02x <<，显然02x <<是05x <<的充分不必要条件.故选：A4.圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据截面在圆柱底面所形成的截痕直接判断即可.【详解】圆柱底面为正三棱锥底面三角形的外接圆，如下图所示，则过棱锥的一条侧棱和高作截面，棱锥顶点为圆柱上底面的中心，可得截面图如下图，故选：D.5.已知()0,απ∈，且1sin23α=，则sin4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（）A.3- B.6- C.6D.3【答案】D【解析】【分析】先由1sin23α=，得12sin cos3αα=，再利用2(sin cos)12sin cosαααα+=+，结合正弦的和角公式可求得答案.【详解】解：由1sin 23α=，得12sin cos 3αα=，则24(sin cos )12sin cos 3αααα+=+=，又()0,απ∈，2sin cos >0αα，所以sin >0cos >0αα，，所以sin cos 0αα+>，则sin cos 3αα+=，又sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin cos cos sin (sin cos )442ππαααα+=+233=⨯=.故选：D.6.已知()3,0x x f x x +≤⎧⎪=>，若()()32f a f a -=+，则()f a =（）A.5B.C.2D.2【答案】B 【解析】【分析】根据题意将两部分范围确定，分别代入函数，即可解出a 的值，再代入求解即可.【详解】解：根据题意()3,0x x f x x +≤⎧⎪=>，当0x >时函数()f x =()0,∞+上单调递增，当0x ≤时函数()3f x x =+在(],0-∞上单调递增，若()()32f a f a -=+，32a a -<+ ，则必有3020a a -≤⎧⎨+>⎩，即23a -<≤，则()33a -+=，即a=，则0a ≥，解得2a =或1-（舍去），()()2f a f ∴==，故选：B.7.如图，测量河对岸的塔高AB ，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 和D ．现测得75BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，50CD =米，在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 为（）米．A.2B.2C.3D.253【答案】A 【解析】【分析】在BCD △中，由正弦定理求出BC ，进而在ABC 中求得答案即可.【详解】由题意，在BCD △中，180754560BDC ∠=︒-︒-︒=︒，由正弦定理可知506sin 60sin 4533222BC BC =⇒=︒︒.在ABC 中，易知,60AB BC ACB ⊥∠=︒，于是506tan 6035023AB BC =⨯︒==故选：A.8.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+0,0,||2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是()A.()f x 的最小正周期为2πB.()12sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C.点10,03π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心D.直线2x π=是()f x 图象的一条对称轴【答案】C 【解析】【分析】选项A ：根据题干所给图像即可求解；选项B ：结合已知条件，首先根据图像最高点纵坐标求出A ，利用正弦型函数的最小正周期公式求出ω，通过代入图像中的点求出ϕ即可求出函数()f x 解析式；选项CD ：通过代入检验法即可求解.【详解】对于选项A ：由图象可知，()f x 的最小正周期44233T πππ⎛⎫- ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎪⎝⎭，故A 错误；对于选项B ：由图可知2A =，因为2T πω=，所以24ππω=，即12ω=，故()12sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，因为点,23π⎛⎫⎪⎝⎭在()f x 的图象上，所以122sin 23πϕ⎛⎫=⨯+⎪⎝⎭，即1sin 6πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又2πϕ<，所以3πϕ=，所以()12sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，故B 错误；对于选项C ：因为1052sin 0333f πππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点10,03π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，故C 正确；对于选项D ：因为()22sin 23f πππ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：C.9.＝（）A.14B.12C.2D.1【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数的切化弦结合正弦二倍角以及辅助角公式对函数化简即可得答案．【详解】解：=1232=⎝⎭()sin 204sin 3010︒︒-︒=14=．故选：A10.已知()f x 的定义域为(),f x R 为偶函数，()1f x +为奇函数，且当12x ≤≤时，()()21f x x =-，则72f ⎛⎫⎪⎝⎭的值等于（）A.1 B.1- C.5D.5-【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用()f x 为偶函数，得到(1)(1)f x f x -=-+，再利用(1)f x +为奇函数，得到(1)(1)f x f x -+=-+，进而可化简为()(2)f x f x =-+，得到337()(2)()222f f f =-+=-，最后根据题意，求出3(2f ，即可得到答案.【详解】()f x 为偶函数，()()f x f x -=，可得(1)(1)f x f x -=-+，又由(1)f x +为奇函数，(1)(1)f x f x ∴-+=-+，故有，(1)(1)(1)f x f x f x -=-+=-+，故有()(2)f x f x =-+，可得，33()2(1)122f =-= ，∴337()(2)()222f f f =-+=-，得7()12f =-故选：B11.已知实数(),,0,a b c e ∈，且22a a =，33b b =，55c c =，则（）A.c<a<bB.a c b <<C.b<c<aD.b a c<<【答案】A 【解析】【分析】构造函数()ln xf x x=，判断函数单调性，比大小.【详解】由22a a =，33b b =，55c c =，得ln ln 22a a =，3ln ln 3b b =，ln ln 55c c =，又252ln 5ln 5ln 25ln 2=<=，即ln 5ln 252<，同理323ln 2ln 2ln 32ln 3=<=，即ln 2ln 323<，所以ln 5ln 2ln 3523<<，即ln ln ln c a b c a b<<，设函数()ln x f x x=()0,x e ∈，()21ln 0xf x x -'=>在()0,e 上恒成立，故函数()f x 在()0,e 上单调递增，所以c<a<b ，故选：A.12.已知函数()f x =1ln ,0,e ,0.x xx x x x +⎧>⎪⎨⎪≤⎩则关于x 的方程2()()10()ef x af x a R --=∈的解的个数的所有可能值为（）A.3或4或6B.1或3C.4或6D.3【答案】D 【解析】【分析】利用导数求出函数的单调区间，从而可画出函数的大致图象，令()f x t =，则方程210et at --=必有两个不等根，设两根分别为12,t t （不妨设12t t <），且121t t e ⋅=-，然后分11t e =-，11t e <-和110t e-<<三种情况结合函数图象讨论即可【详解】当0x >时，1ln ()x f x x +=，则'221(1ln )ln ()x x f x x x-+-==，当01x <<时，'()0f x >，当1x >时，'()0f x <，所以()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，且当x →+∞时，()0f x →，当0x ≤时，()x f x xe =，则'()(1)x f x x e =+，当10-<≤x 时，'()0f x >，当1x <-时，'()0f x <，所以()f x 在(1,0]-上递增，在(,1)-∞-上递减，且当x →-∞时，()0f x →，所以()f x 的大致图象如图所示，令()f x t =，则方程210et at --=必有两个不等根，设两根分别为12,t t （不妨设12t t <），且121t t e⋅=-，当11t e =-时，则21t =，此时2()f x t =有1个根，1()f x t =有2个根，当11t e <-时，则201t <<，此时2()f x t =有2个根，1()f x t =有1个根，当110t e-<<时，则21t >，此时2()f x t =有0个根，1()f x t =有3个根，综上，对任意的a R ∈，方程都有3个根，故选：D【点睛】此题考查导数的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是利用导数求出函数的单调区间，然后画出函数图象，结合图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知函数()y f x =的图象在点()()1,1M f 处的切线方程是31y x =-，则()()11f f '+=______.【答案】5【解析】【分析】由导数的几何意义可求得()1f '的值，由切点在切线上可得()1f 的值，即可求解.【详解】因为函数()y f x =的图象在点()()1,1M f 处的切线方程是31y x =-，所以()13f '=，()13112f =⨯-=，所以()()11325f f '+=+=，故答案为：5.14.在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b =，2c =，且2sin cos cos a A b C c B =⋅+⋅，则△ABC 的面积为___．【答案】【解析】【分析】由正弦定理化简可得1sin 2A =，再根据面积公式求解即可【详解】由正弦定理，()22sin sin cos sin cos sin sin A B C C B B C A =⋅+⋅=+=，因为sin 0A ≠，故1sin 2A =，故15sin 22ABC S bc A ==15.空间四面体ABCD 中，2AB CD ==，3AD BC ==，BD =，直线BD 和AC 所成的角为3π，则该四面体的外接球的表面积为__.【答案】232π##11.5π【解析】【分析】将该四面体的六条棱看成某长方体的六个面的对角线，然后该长方体的外接球即为该四面体的外接球，最后求出外接球的表面积【详解】如图所示，因为2AB CD ==，3AD BC ==，BD =ABCD 的六条棱看成该长方体如图所示的六条面对角线，下面验证直线BD 和AC 所成的角为3π，易知//MN BD ，MN BD =，且MN ，AC 互相平分于O点，所以2OA OM ==，设长方体的三边长为a ，b ，c ，则2222221049a b b c a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得,,222a b c ===，故OAM ∆是等边三角形，则3AOM π∠=，即直线BD 和AC 所成的角为3π，即BD AC =成立，故四面体ABCD 的六条棱看成该长方体如图所示的六条面对角线，四面体的外接球即为该长方体的外接球，所以外接球的直径2R==22342S Rππ==.故答案为：232π.16.已知函数2211()ln2f x t x xt x⎛⎫=+-+⎪+⎝⎭，在曲线()y f x=上总存在两点()11,P x y，()22,Q x y，使得曲线在P，Q两点处的切线平行，则12x x+的取值范围是________．【答案】()8,+∞【解析】【分析】求得函数的导函数，根据两直线平行结合导数的几何意义可得()()12f x f x''=，化简可得22121112tx x t+=++，22,2m t m=+≥，构造函数()12,2h m m mm=+-≥，利用导数求得函数()h m的范围，再结合基本不等式即可得出答案.【详解】解：222111()1,02f x t xt x x⎛⎫'=+-->⎪+⎝⎭，因为在曲线()y f x=上总存在两点()11,P x y，()22,Q x y，使得曲线在P，Q相两点处的切线平行，所以()()12f x f x''=，且1212,0,0x x x x≠>>，即22222211221111111122t tt x x t x x⎛⎫⎛⎫+--=+--⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以2222121212121111111112tt x x x x x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-=-+⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22121112tx x t+=++，令22,2m t m=+≥，则22t m=-，设()12,2h m m mm=+-≥，则()222111mh mm m-'=-=，当2m≥时，()0h m¢>，所以函数()h m 在[)2,+∞上递增，所以()()122h m h ≥=所以121112x x +≥，又12121211x x x x x x ++=，212122x x x x +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，又因为12x x ≠，所以212122x x x x +⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以12121211222211214x x x x x x x x x x x x +⎛⎫+ ⎝++=>⎭=+⎪，所以12412x x +<，所以128x x +>，所以12x x +的取值范围是()8,+∞.故答案为：()8,+∞.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知函数()()()2π1πcos cos 022f x x x x ωωωω⎛⎫=-++-> ⎪⎝⎭的最小值周期为π.（1）求ω的值与()f x 的单调递增区间；（2）若0π7π,412x ⎛⎫∈⎪⎝⎭且()033f x =，求0cos2x 的值.【答案】（1）1ω=，单调递增区间为()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦Z （2）6+-【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出()πsin 26f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可求出ω的值，再利用正弦型函数的单调性可求出函数()f x 的增区间；（2）由已知条件可得出0π3sin 263x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用同角三角函数的基本关系求出0πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，再利用两角和的余弦公式可求出0cos2x 的值.【小问1详解】解：()211cos 21cos sin cos 222x f x x x x x x ωωωωωω-=+-=+-n cos 2s 2πsi 26in 22x x x ωωω⎛⎫=- ⎪⎝-⎭=，因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(四川模拟卷)数 学 (理工农医类)本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．第1部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上． 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.复数11z i=+在复平面的对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 双曲线2214x y -=的渐近线方程为 A ．2y x =± B ．4y x =± C ．12y x =± D ．14y x =± 3.下列函数的图像一定关于原点对称的是A. ln(sin )y x =B. sin cos y x x =C. cos(sin )y x =D. sin xy e=4．对于命题p 和命题q ，“q p ∧为真命题”的必要不充分条件是 A ．q p ∨为真命题 Ｂ．)()(q p ⌝∨⌝为假命题 Ｃ． q p ∨为假命题 Ｄ．)()(q p ⌝∧⌝为真命题5. 平面向量,,a b c 两两所成角相等,且||||1,||3,a b c ===则||a b c ++等于A.2B.5C.2或56．如果执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为A ． 2B ．12-C ．3-D ．137.若直线)0,(022>=-+b a by ax 始终平分圆082422=---+y x y x 的周长，则ba 121+的最小值为A ．21 B ．25C ．23D ．2223+ 8.从[0,3]中随机取一个数a ，则事件“不等式|1||1|x x a ++-<有解”发生的概率为A ．56B ．23 C ．16 D ．139.已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=)0(,1)1()0(,12)(x x f x x f x ,把函数x x f x g -=)()(的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为 A ．1-=n a nB ．2)1(-=n n a n C ．)1(-=n n a n D ．22-=n n a10．已知定义在(0,)+∞上的单调函数()f x ，对(0,)x ∀∈+∞，都有2[()log ]3f f x x -=，则方程()'()2f x f x -=的解所在的区间是A ．（0，12） B ．（1，2） C ．（1,12） D ．（2，3） 非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于12、若n的展开式中第四项为常数项，则是 13．已知某三棱锥的三视图(单位: cm )如右图所示,则该三棱锥外接球的表面积等于 2cm14．点(x ，y )在以原点为圆心，1为半径的圆上运动时，点(y x +，xy )的轨迹方程是_____.15．设(),()22x x x x e e e e f x g x ---+==，给出如下结论：①对任意x R ∈，有[][]22()()1g x f x -=；②存在实数0x ，使得000(2)2()()f x f x g x >；③不存在实数0x ，使得[][]2200(2)()()g x g x f x <+；④对任意x R ∈，有()()()()0f x g x f x g x --+=；其中所有正确结论的序号是三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）设函数x x x x f cos sin )(-+= (Ⅰ)求)(x f 的单调递增区间. (Ⅱ)已知函数)(x f 的图象在点A()(,00x f x )处，切线斜率为23，求：002tan 12sin sin 2x x x ++17．（本小题满分12分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）18. （本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：1a a =(0)a ≠，n n rS a =+1 (n ∈N *，,1)r R r ∈≠-.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若存在k ∈ N *，使得1+k S ，k S ，2+k S 成等差数列，试判断：对于任意的m ∈N *，且2m ≥，1+m a ，m a ，2+m a 是否成等差数列，并证明你的结论.19（本小题满分12分）在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，12AD BC =，60ABC ∠=，N 是BC 的中点．如图所示，将梯形ABCD 绕AB 逆时针旋转90，得到梯形ABC D ''． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面ABC '； （Ⅱ）求证：//C N '平面ADD '； （Ⅲ）求二面角A C N C '--的余弦值．ACDBN D 'C '20. （本小题满分13分）已知椭圆221:12x C y +=. （Ⅰ）我们知道圆具有性质：若E 为圆O ：222(0)x y r r +=>的弦AB 的中点，则直线AB 的斜率ABk 与直线OE 的斜率OE k 的乘积AB OE k k ⋅为定值。

泸县九中2014届高三迎接一模考试物理试题理科综合共300分，考试用时150分钟。

物理试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两局部，共110分。

出题人：王伦富做题人：税小燕审题人：王健第I卷本卷共7题，每题6分，共42分，每一小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部答对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

1．如下关于物理学家和他们的贡献表示错误的答案是〔〕A．伽利略用科学的推理论证重物体和轻物体下落得一样快，推翻了亚里士多德的观点B．牛顿发现了万有引力定律，并测出了引力常量C．库仑发现了真空中两个静止点电荷相互作用的规律，还测出了静电力常数D．美国的劳伦斯发明了盘旋加速器2．矩形线框abcd在匀强磁场中静止不动，磁场方向与线框平面垂直，磁感应强度B随时间t变化的图象如图甲所示。

设0t 时刻，磁感应强度的方向垂直纸面向里，如此在0~4s 时间内，图乙中能正确表示线框ab边所受的安培力F随时间t变化的图象是〔规定ab 边所受的安培力方向向左为正〕〔〕3．图是质谱仪的工作原理示意图。

带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器。

速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为B和E。

平板S上有可让粒子通过的狭缝P和记录粒子位置的胶片A1A2。

平板S下方有强度为B0的匀强磁场。

如下表述不正确的答案是〔〕A．质谱仪是分析同位素的重要工具B．速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外C．能通过的狭缝P的带电粒子的速率等于E/BD ．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P ，粒子的荷质比越小4．右图为万用表欧姆挡的原理示意图，其中电流表的满偏电流为300μA，内阻r g =100Ω，调零电阻最大阻值R=50kΩ，串联的固定电阻R 0=50Ω，电池电动势ε=1.5V。

用它测量电阻R x ，能准确测量的阻值范围是〔 〕 A ．30kΩ～80kΩ B ．3kΩ～8kΩ C ．300Ω～80Ω D ．30Ω～80Ω5．汽车是非常重要的交通工具。

四川省泸县第九中学2022届高三迎接一模考试数学（理）试题Word版含答案▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚=^_^=成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌泸县九中2022届高三迎接一模考试数学（理）试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）1.设集合U1,2,3,4,5,6,M1,2,4,则CUMA．UB．1,3,5C．3,5,6D．2,4,6（）2.若复数z满足z(2i)5i(i为虚数单位),则z为（）A．12iB．12iC．12iD．12i3.公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项,S24,则a1（）A.2B.3C.2D.3某3y304.若实数某，y满足不等式组2某y30，则某y的最大值为（）某y10（（A.9B.9C.1D.15将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）226.在平面直角坐标系某Oy中，直线3某4y50与圆某y4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（）A.33B.23C.3D.17.把函数yco2某1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是()8.给出定义：若函数f(某)在D上可导，即f(某)存在，且导函数f(某)在D上也可导，则称函数f(某)在D上存在二阶导函数，记f(某)(f(某)).若f(某)0在D上恒成立，则称函数f(某)在D上为凸函数，以下四个函数在(0,2)上不是凸函数的是()A．f(某)＝in某＋co某C．f(某)＝－某3＋2某－1B．f(某)＝ln某－2某D．f(某)＝－某e－某▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯~~~///(^v^)\\\\\\~~~照亮人生▃▄▅▆▇██■▓▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚=^_^=成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌9.已知定义在(1,0)上的函数yf(某)的图像如图所示，对于满足1某1某20的任意某1,某2,错误的结论是()A.当某(1,0)时，某f(某)B.当某(1,0)时,导函数f(某)为增函数C.f(某2)f(某1)某2某1D.某1f(某2)某2f(某1)10.若Snco-1O-11某y8co28con（nN），则在S1,S2,...,S2022中，正数的个数是（）8A.882B.756C.750D.378二、填空题（本大题有5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卷的相应位置.）11.命题“某0eRQ,某03Q”的否定是；12.(13某)5的展开式中某3的系数为；某23y21上点P(1,1)处的切线方程是13.椭圆4414.将边长为1m的正三角形薄铁片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记(梯形的周长)2，则的最小值是________．梯形的面积15.对任意两个非零的平面向量和,定义,若平面向量a、b 满足ab0,a与b的夹角n[0,],且ab和ba都在集合mZ,nZ中.给出下列命题：4m①若m1时，则abba1.②若m2时，则ab.③若m3时，则ab的取值个数最多为7.20222④若m2022时，则ab的取值个数最多为.2其中正确的命题序号是（把所有正确命题的序号都填上）12三、解答题（本大题共6小题,满分75分.其中16－19每题12分，20题13分，21题14分。

16．若ABC 的面积是三、解答题：共70分题考生都必须作答.第22（一）必考题：共6017．已知()cos πα+=(1)求()(5sin π4tan α+-(2)若(π0,cos 2ββ<<-18．在ABC 中,角A 、B （1）求a 的值；（2）若23A π=，求ABC 19．已知函数()ln f x =（Ⅰ）若1x =是()f x 的极值点，确定（Ⅱ）当1x ≥时，()f x 20．如图1，正方形ABCD 的二面角，且二面角的大小为(1)若M 为AB 的中点，直线MF 与平面ADE 的交点为O ，试确定点面EMC ；(2)是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60︒？若存在，求此时请说明理由．21．已知函数f （x ）＝a e ﹣x +ln x ﹣1（a ∈R ）．(1)当a ≤e 时，讨论函数f （x ）的单调性：(2)若函数f （x ）恰有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），且x 1+x 2≤2ln3（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．已知曲线C ：2cos 3sin x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)和定点A (0,3)，F 1，为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线AF 2的极坐标方程；(2)经过点F 1且与直线AF 2垂直的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，求[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数2()23f x x a =+.（1）当0a =时，求不等式()23f x x +-≥的解集；【详解】试题分析：，，；且；.对于③，当两个平面垂直时，一个平面内的任意一条直线不一定垂直于另一个平面，象上图中平面内与l 不平行的直线与平面α对于④，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，若该直线不在第一个平面内，则此直线不一定垂直于另一个平面，故④是假命题．故选：A ．9．B【分析】利用导数与函数单调性的关系以及一元二次方程的根进行求解【详解】由题意得，()x f '=又()23120x x f '=-=的根为而区间()1,1k k -+的区间长度为∴121k k -<<+或12k -<-∴13k <<或31k -<<-，故故选：B.10．A【分析】由对称性判断①，由周期性判断②，周期性与奇偶性、单调性判断③，作出函数大致图象与直线y t =，由它们交点的性质判断④．【详解】由()()2f x f x +--因为()f x 是奇函数，所以f1O 是A 在底面的射影，由正弦定理得，由勾股定理得棱锥的高AO 则()2211R R =-+，解得所以10OO =，即1O 与O 所以当过点E 作球O 的截面垂直于【详解】设外接球半径为R，2135R+-=，解得R所以外接球表面积为269π4π5R=，.69π5##2 3π【分析】由正弦定理表示ABC外接圆的面积，由πsin6B C=，又cos A=-因为AO BF ，M 为AB 的中点即AM 所以OM MF =，2AO FB ==．故点O 在EA 的延长线上且与点A 的距离为连接DF 交EC 于点N ，因为四边形CDEF 连接MN ，则MN 为DOF 的中位线，所以又MN ⊂平面EMC ，OD ⊄平面EMC （2）如图由已知可得EF AE ⊥，EF ⊥面ABFE ，所以平面ABFE ⊥平面ADE 又因为60DEA ∠=︒且ED EA =，所以V 因为平面ABFE 平面ADE AE =，根据面面垂直的性质定理可得以H 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则133(,0,0),(0,0,),(0,2,),222E D C -所以1313(,0,),(,2,)2222ED EC == 设1(,,0)(04)2M a a ≤≤，则(1,EM = 设平面EMC 的法向量为(,,)m x y z = 要使直线DE 与平面EMC 所成的角为则2cos ,1()2DE m DE m DE m⋅<>==+ 解得12a =或32a =，所以存在点M ，使得直线DE 与平面此时12AM =或32AM =.21．(1)f （x ）在（0，+∞）上单调递增；。

泸州高2021级高三上期一诊模拟(二)数学（理科）（答案在最后）第Ⅰ卷(选择题，共60分）一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2=+28<0A x x x -，{}4,2,0,2,4B =--，则A B ⋂=（）A.{}2,0- B.{}4,2,0,2-- C.{}0,2 D.{}2,0,2,4-【答案】A 【解析】【分析】解出集合A 中的不等式，然后根据集合的交集运算可得答案.【详解】因为{}{}2=+28<0=4<<2A x x x x x --，{}4,2,0,2,4B =--，所以{}2,0A B ⋂=-.故选：A2.已知34a =，2log 3b =，则ab =（）A.2B.9C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】利用指数式和对数式的关系可得a 的值，再根据换底公式可得.【详解】因为34a =，所以3log 4a =，所以322lg 2lg 3log 4log 32lg 3lg 2ab =⨯=⨯=.故选：A3.设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//l α，l //β，则//αβB.若//l α，l β⊥，则αβ⊥C.若αβ⊥，l α⊥，则l //βD.若αβ⊥，//l α，则l β⊥【答案】B【解析】【分析】举例说明判断ACD ；利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理判断D.【详解】对于A ，若,αβ相交，令a αβ⋂=，当l a //，且,l l αβ⊄⊄时，满足//l α，l //β，显然,αβ不平行，A 错误；对于B ，//l α，则存在直线b α⊂，使得//l b ，而l β⊥，则b β⊥，因此αβ⊥，B 正确；对于C ，若αβ⊥，令m αβ= ，当l β⊂且l m ⊥时，满足l α⊥，而l 与β不平行，C 错误；对于D ，若αβ⊥，令⋂=c αβ，当//l c ，l α⊄时，有//l α，此时l //β或l β⊂，l 与β不垂直，D 错误．故选：B4.当某种药物的浓度大于100mg/L （有效水平）时才能治疗疾病，且最高浓度不能超过1000mg/L （安全水平）．从实验知道该药物浓度以每小时按现有量14%的速度衰减．若治疗时首次服用后的药物浓度约为600mg/L ，当药物浓度低于有效水平时再次服用，且每次服用剂量相同，在以下给出的服用间隔时间中，最合适的一项为（）（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈，lg86 1.935≈）A.4小时 B.6小时C.8小时D.12小时【答案】D 【解析】【分析】设n 小时后药物浓度为()160010.14n y -=⨯-，由题意可得()160010.14100n -⨯-<，两边取常用对数求解即可.【详解】设n 小时后药物浓度为()160010.14n y-=⨯-若n 小时后药物浓度小于100mg/L ，则需再服药.由题意可得()160010.14100n -⨯-<，即110.866n -<所以()1lg 0.86lg 6n -<-，则lg 6lg 2lg30.3010.4770.778111.969lg 0.86lg86lg100 1.93520.065n -++->=-=-=≈--所以12.969n>所以在首次服药后13个小时再次服药最合适，则服用药物的间隔时间12小时最合适故选：D5.已知命题p ：函数()af x x =在()0,∞+上单调递减；命题:q x ∀∈R ，都有220ax x a -+≤．若p q ∨为真命题，p q ∧为假，则实数a 的取值范围为（）．A.()1,0- B.[]0,1C.(]()10,-∞-+∞ , D.(](),11,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】【分析】根据题意求出,p q 为真命题时的范围，进而根据,p q 中一真一假分两类情况讨论即可求解.【详解】若命题p 为真，则a<0，若q 为真，则21440a a a <⎧⇒≤-⎨∆=-≤⎩，由于p q ∨为真命题，p q ∧为假，则,p q 中一真一假若p 真q 假，则满足：0101a a a <⎧⇒-<<⎨>-⎩；若q 真p 假，则满足：01a a ≥⎧⎨≤-⎩，此时a 无解，综上10a -<<故选：A6.已知πsin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.13-B.13C.3-D.3【答案】A 【解析】【分析】以π6α+为整体，结合倍角公式可得πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用诱导公式运算求解.【详解】因为22πππ31cos 2=cos212sin 1236633ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2πππ1cos 2cos π2cos 23333ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：A.7.若1a b >>，01c <<，则A.c c a b < B.c cab ba < C.log log b a a c b c < D.log log a b c c<【答案】C 【解析】【详解】试题分析：用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，11223223⨯>⨯，选项B 错误，3211log log 22>，选项D 错误，因为lg lg log log lg ()lg (11lg lg lg lg a bb b ab a a b a b ac b c c c a b b a a b a b a --=⋅-=⋅>>∴<<< lg lg 001lg 0log log lg lg a bb a a bc c a c b c b a-∴><<∴<∴< 选项C 正确，故选C ．【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.8.在梯形ABCD 中，//,2,1AB CD AB AD CD CB ====，将ACD 沿AC 折起，连接BD ，得到三棱锥D ABC -，则三棱锥D ABC -体积最大时，其外接球的表面积为（）A.9π4B.5π2C.9π2D.5π【答案】D 【解析】【分析】如图所示，过点C 作CE AB ⊥，由余弦定理得AC =ACD ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大，记O 为外接球球心，半径为R ，其中ACD 的外接圆的圆心为1O ，结合球的截面的性质，求得外接球的半径254R =，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ，因为ABCD 为等腰梯形，且2,1AB CD ==，所以12BE =，且π3B =，由余弦定理得2222cos 33AC AB BC AB BC π=+-⋅=，可得AC =因为222AB BC AC =+，所以BC AC ⊥，当平面ACD ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大，此时BC ⊥平面ACD ，记O 为外接球球心，半径为R ，其中ACD 的外接圆的圆心为1O ，连接1OO ，则1OO ⊥平面ACD ，所以1//OO BC ，取BC 的中点E ，因为OB OC =，且1BC =，所以O 到平面ACD 的距离12d =，又因为ACD 的外接圆半径12π2sin 3ACr ==，所以22254=+=R r d ，所以球O 的表面积为24π5πS R ==.故选：D.9.将函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 的图象的一条对称轴是直线4x π=-，则ω的最小值为（）A.32B.2C.3D.72【答案】A 【解析】【分析】利用平移变换得出()sin 44g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再由对称轴的性质得出122k ω=--，Z k ∈，结合0ω>得出ω的最小值.【详解】将函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象对应的函数为()sin sin 4444g x x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为函数()g x 的图象的一条对称轴是直线4x π=-所以4442k ωπωππππ--+=+，Z k ∈解得122k ω=--，Z k ∈，又0ω>所以当1k =-时，ω取最小值，为32故选：A【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用对称轴的性质结合0ω>得出ω的最小值.10.如图，某景区欲在两山顶A ，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高)km AB =，)km CD =，在水平面上E 处测得山顶A 的仰角为30°，山顶C 的仰角为45°，150BED ∠=︒，则两山顶A 、C 之间的距离为（）A.)kmB.)kmC.)km D.)km 【答案】B 【解析】【分析】过A 作AF CD ⊥，垂足为F ，在BED 中，利用余弦定理求出2BD ，即得2AF ，在直角三角形AFC 中，根据勾股定理可得AC .【详解】过A 作AF CD ⊥，垂足为F ，在直角三角形AEB 中，tan 30AB BE =3333==()km ，在直角三角形CED 中，tan 45CDED CD ===)33km ，在BED 中，2222cos150BD BE ED BE ED =+-⋅⋅ 39272333()2=+-⨯⨯-63=，在直角三角形AFC 中，22222AC AF FC BD FC =+=+263(333)=+75=，所以)53km AC =.故选：B.【点睛】本题考查了方向角，考查了余弦定理的应用，属于基础题.，11.已知点P 是曲线()ln f x x x =上任意一点，点Q 是直线3y x =-上任一点，则PQ 的最小值为（）A.2B.3C.1D.e【答案】A 【解析】【分析】利用导数的几何意义求出曲线的切线，利用数形结合进行求解即可.【详解】函数()ln f x x x =的定义域为全体正实数，()()ln ln 1f x x x f x x '=⇒=+，当1e x >时，()()0,f x f x '>单调递增，当10ex <<时，()()0,f x f x '<单调递减，函数图象如下图：过点()00,P x y 的曲线()ln f x x x =的切线与直线3y x =-平行时，PQ 最小，即有()()000ln 11101,0f x x x y P '=+=⇒=⇒=⇒，所以min PQ==故选：A12.已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（）A.21- B.22- C.23- D.24-【答案】D 【解析】【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=- ，()()()462210f f f +++=- ，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ .故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13.曲线[]()sin 0,y x x π=∈与x 轴所围成的图形面积为______．【答案】2【解析】【分析】直接利用定积分0sin S xdx π=⎰求解.【详解】由题得00sin (cos )|cos (cos0)112S xdx x πππ==-=---=+=⎰.所以所求的图形的面积为2.故答案为：2【点睛】方法点睛：求定积分的方法：(1)代数法：利用微积分基本原理求；（2）几何法：数形结合利用面积求.14.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.【答案】23【解析】【详解】试题分析：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形，边长是2，四棱锥的一条侧棱和底面垂直，且这条侧棱长是2，这样在所有的棱中，连接与底面垂直的侧棱的顶点与相对的底面的顶点的侧棱是最长的长度是，考点：三视图点评：本题考查由三视图还原几何体，所给的是一个典型的四棱锥，注意观察三视图，看出四棱锥的一条侧棱与底面垂直．15.设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.【答案】25；【解析】【详解】f(x)＝sin x －2cos x 5525sin cos 55x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭5sin(x －φ)，其中sin φ＝255，cos φ＝55，当x －φ＝2kπ＋2π(k ∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋2π＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－255.16.如图，已知在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，H 分别是AB ，1DD ，1BC 的中点，点G 是11A D 上的动点，下列结论中正确的有________________.①11//C D 平面ABH ②1AC ⊥平面1BDA ③直线EF 与1BC 所成的角为30︒④三棱锥1G DBC -的体积最大值为83【答案】②③④【解析】【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理判定①错②对；根据异面直线夹角的求法判定③对；利用三棱锥体积公式判定④对.【详解】对于①：因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以11AB C D ∥，则A ，B ，1C ，1D 四点共面，即11C D 在平面ABH 上，故①错；对于②连接BD AC ，，1AB ，1A B ，1AC ，在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD ⊥，1CC ⊥面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴1CC BD ⊥，∵1AC CC C = ，AC ，1CC ⊂面1ACC ，∴BD ⊥面1ACC ，又1AC ⊂面1ACC ，∴1AC BD ⊥，又∵11A B AB ⊥，11B C ⊥面11ABB A ，1A B ⊂平面11ABB A ，∴111B C A B ⊥．∵1111AB B C B ⋂=，1AB ，11B C ⊂面11AB C ，∴1A B ⊥面11AB C ，∵1AC ⊂平面11AB C ，∴11A B AC ⊥，又1AC BD ⊥，1A B BD B ⋂=，1A B ，BD ⊂面1A BD ，∴1AC ⊥面1BDA ，故②正确；对于③：取AD 中点I ，连接FI EF EI ，，，1AD ，在1ADD 中，∵F ，I 分别为1DD ，DA 的中点，∴1FI AD ∥，又11AD BC ∥，∴1FI BC ∥，∴EF 与1BC 所成角为IFE ∠，在IFE △中，IF =，EI =，EF ===∴cos 2IFE =∠，∴EF 与1BC 所成的角为30︒，故③正确；对于④：当G 位于1A 点时，三棱锥1G DBC -的体积最大，故1111111111111G DBC ABCD A B C D A ABD C CBD B A C B D A C DV V V V V V ------=----311822224323=-⨯⨯⨯⨯⨯=，故④正确.故答案为：②③④.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin sin sin a b B C c A B ++=-.（1）求角A 的大小；（2）若D 为BC 上一点，BAD CAD ∠=∠，3AD =，求4b c +的最小值.【答案】（1）2π3A =（2）27【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合余弦定理求得正确答案.（2）利用三角形的面积公式列方程，结合基本不等式求得4b c +的最小值.【小问1详解】依题意，sin sin sin sin a b B C c A B++=-，由正弦定理得222,a b b c a b bc c c a b ++=-=+-，222c b a bc +-=-，所以2221cos 022b c a A bc +-==-<，所以A 是钝角，所以2π3A =.【小问2详解】1π23BAD CAD A ∠=∠==，ABC ABD ACD S S S =+ ，所以12π1π1πsin 3sin 3sin 232323bc c b =⋅⋅+⋅⋅，即()333,1b c bc c b bc c b +=+=+=，所以()3312344151527b c b c b c c b c b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当()123,293b c c b c b bc c b ⎧=⎪==⎨⎪=+⎩时等号成立.18.已知函数()322f x x ax bx =-++（1）若其图象在点()()1,1f 处的切线方程为10x y -+=，求a ，b 的值；（2）若1是函数()f x 的一个极值点，且函数()f x x在[]2,3上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1a =，0b =（2）,(7,332)⎛⎤ ⎥⎝-∞⎦【解析】【分析】（1）由题意()132f a b =-+=，且()1321f a b '=-+=，由此即可得解.（2）一方面：由题意()1320f a b '=-+=，且()232f x x ax b '=-+至少有两个零点（否则()f x 单调递增没有极值点）；另一方面：由题意3222()22220f x x ax x a x x x '--⎛⎫=--=≥ ⎪⎝⎭在[]2,3上恒成立，分离变量即可；结合两方面即可得解.【小问1详解】点()()1,1f 在切线10x y -+=上，()132f a b ∴=-+=，①()232f x x ax b '=-+，()1321f a b '=-+=，②联立①②解得1a =，0b =.【小问2详解】依题意有()232f x x ax b '=-+，()1320f a b '=-+=，23b a =-，且()()22412234690a a a a ∆=--=-+>，3a ∴≠；又2()223f x x ax a x x =-++-，3222()2222f x x ax x a x x x '--⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则[]2,3x ∈时，32220x ax --≥，即3222x a x -≤，令3222()x g x x-=，23x ≤≤，求导得34()20g x x '=+>，所以()g x 单调递增，min 7()(2)2a g x g ∴≤==；又3a ≠，所以a 的取值范围为,(7,332)⎛⎤ ⎥⎝-∞⎦ .19.已知函数()22cos cos (0,)f x x x x a a R ωωωω=++>∈，再从条件①：()f x 的最大值为1；条件②：()f x 的一条对称轴是直线π12x ω=-﹔条件③：()f x 的相邻两条对称轴之间的距离为π2﹐这三个条件中选择能确定函数()f x 解析式的两个合理条件作为已知，求：（1）函数()f x 的解析式；（2）已知()π26g x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若()g x 在区间[]0,m 上的最小值为()0g ，求m 的最大值．【答案】（1）()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（2）π3【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简()f x ，再由三角函数的性质分别转化三个条件，即可得解；（2）先求出()g x 的解析式，再由正弦函数的性质即可确定m 的取值范围，即可得最大值.【小问1详解】由题意，函数()22cos cos 2cos 21f x x x x a x x aωωωωω=++=+++π2sin 216x a ω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，若选①：()f x 的最大值为1，则211a ++=，则2a =-，若选②：()f x 的一条对称轴是直线π12x ω=-,则由ππ20126ωω⎛⎫⋅-+= ⎪⎝⎭，不符合正弦函数对称轴的要求，不合题意；若选③：()f x 的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则函数()f x 的最小正周期2ππ2T ω==,可得1ω=；所以只能选择条件①③作为已知，此时()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；【小问2详解】由题意，()ππππ22sin 2212sin 416666g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当[]0,x m ∈，则πππ4,4666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，若()g x 在区间[]0,m 上的最小值为()0g ，则ππ7π4666m -<-≤，所以π03m <≤，所以m 的最大值为π3.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，,O E 分别是,BC PA 的中点，平面α经过点,,O D E 与棱PB 交于点F ．（1）试用所学知识确定F 在棱PB 上的位置；（2）若22PB PC BC AB ====，求EF 与平面PCD 所成角的正弦值．【答案】（1）靠近B 的三等分点处（2）23【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，结合平行线的性质进行求解即可；（2）根据面面垂直的性质，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】过P 作直线l 与BC 平行，延长DE 与l 交于点G ，连接,OG OG 与PB 的交点即为点F ．因为底面ABCD 是矩形，O 是BC 的中点，所以AD BC ∥，且2AD OB =．又l BC ∥，所以l AD ∥，因为E 是PA 的中点，可得PG AD =，则2PG OB =，所以2PF BF =．故F 在棱PB 的靠近B 的三等分点处．【小问2详解】因为,PB PC O =是BC 的中点，所以PO BC ⊥，又平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ⋂平面ABCD BC =，PO ⊂平面PBC ，所以PO ⊥平面ABCD ．取AD 中点Q ，连接OQ ，易知,,OQ OC OP 两两相互垂直，如图，分别以,,OQ OC OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()(1,1,0,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,0,A B C D P --，()()(0,2,0,1,0,0,0,1,AD CD CP ===- ．设平面PCD 的法向量为(),,m x y z = ，则0,0,m CD m CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,20,x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩令1z =，则2y =，所以()2,1m = ．((21211120,1,21,1,2,,3232266EF PF PE PB PA ⎛⎫=-=-=-----=--- ⎪⎝⎭ ．设EF 与平面PCD 所成角为θ，则223sin cos ,3333EF m EF m EF m θ⋅=〈〉==⋅⨯ ，所以EF 与平面PCD 所成角的正弦值为23．21.已知函数()()ln ,e ==x f x x g x （7e 2.18x =⋅⋅⋅，e 为自然对数的底数）（1）求函数()()()1F x f x g x =--的单调区间；（2）若不等式()()()110xf x k x g f x ⎡⎤⎣+-⎦-≤在区间[)1,+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）对函数求导，利用导函数的单调性及零点确定导函数大于0、小于0的解集，即可得解；（2）转化不等式为()2ln 10x x k x --≤在区间[)1,+∞上恒成立，构造函数，利用端点处的函数值及导数，分类讨论即可得解.【小问1详解】由题意，()()()()10ln 1,ex F x x f x g x x -=---=>，则()()101e ,x F xx x -'-=>，由11,e x y y x --==在()0,∞+上均单调递减，所以()F x '在()0,∞+上单调递减，又()1101F =-='，所以当()0,1x ∈时，()0F x '>，当()1,x ∈+∞时，()0F x '<，所以函数()F x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；【小问2详解】不等式()()()110xf x k x g f x ⎡⎤⎣+-⎦-≤即()()12ln 1ln 10ln ex x x k x x x k x --+=--≤在区间[)1,+∞上恒成立，令()()()2ln 1,1p x x x k x x =--≥，则()()ln 21,1p x x kx x '=-+≥，()10p =，所以()112p k '=-，若()1120p k '=->，即12k <时，此时存在01x >使得当()01,x x ∈时，()0p x '>，函数()p x 在()01,x 上单调递增，()()10p x p >=，不合题意；若12k ≥时，()()ln 21ln 1,1p x x kx x x x '=-+≤-+≥，令()()ln 1,1t x x x x =-+≥，则()110t x x'=-≤，所以()t x 单调递减，()()10t x t ≤=，所以()0p x '≤，当且仅当121k x ⎧=⎪⎨⎪=⎩时等号成立，所以()p x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()10p x p ≤=，符合题意；综上，实数k 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是端点效应及多次求导的应用，在进行多次求导时，要清楚每次求导的作用.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.选修4-4：坐标系与参数方程22.如图，在极坐标系Ox 中，圆O 的半径为2，半径均为1的两个半圆弧12,C C 所在圆的圆心分别为1π1,2O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，23π1,2O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，M 是半圆弧1C 上的一个动点，N 是半圆弧2C 上的一个动点.（1）若2π3O ON ∠=，求点N 的极坐标；（2）若点K 是射线()π03θρ=≥与圆O 的交点，求MOK 面积的取值范围.【答案】（1）11π1,6⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据图形关系可确定1ρ=，极角11π6θ=，由此可得点N 的极坐标；（2）利用θ表示出OM 和MOK ∠，代入三角形面积公式，结合三角恒等变换知识可化简得到1πsin 226MOK S θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，结合正弦型函数值域可求得结果.【小问1详解】由2π3O ON ∠=知：21O O ON ==，6πAON ∠=，∴点N 的极角为π11π2π66-=，∴点N 的极坐标为11π1,6⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由题意知：2OK =，π2sin π2OM θθ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭，π3MOK θ∠=-，1πsin 2sin sin 23MOK S OK OM MOK θθ⎛⎫∴=⋅∠=- ⎪⎝⎭ 2131132sin sin cos sin 3cos cos 2sin 222222θθθθθθθθ⎛⎫=-==-- ⎪ ⎪⎝⎭1πsin 226θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，π,π2θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ，π7π13π2,666θ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭，π1sin 21,62θ⎛⎫⎡⎫∴+∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，30,2MOK S ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦.选修4-5：不等式选讲23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x a =-+，()4g x x =+，a R ∈.（1）解不等式()()f x g x a <+；（2）任意x R ∈，2()()f x g x a +>恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)()1,-+∞(2)()2,3-【解析】【分析】（1）由于不等式可24x x -<+，可平方后求解；（2）不等式()()2f x g x a +>可化为224a a x x -<-++，利用不等式的三角不等式求得24x x -++的最小值，然后解不等式可得a 的范围．【详解】（1）不等式()()f x g x a <+即24x x -<+，两边平方得2244816x x x x -+<++，解得1x >-，所以原不等式的解集为()1,-+∞.（2）不等式()()2f x g x a +>可化为224a a x x -<-++，又()()24246x x x x -++≥--+=，所以26a a -<，解得23a -<<，所以a 的取值范围为()2,3-.【点睛】本题考查绝对值不等式的问题，解绝对值不等式常用方法是根据绝对值的定义去绝对值符号后再求解，如果对两边均非负的不等式可平方去绝对值符号．绝对值三角不等式在求含绝对值的最小值时用处较大，而且是常用方法．。

泸县高2021级高三一诊模拟考试数学（理工类）（答案在最后）本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.第I 卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，则阴影部分表示的集合是（）A.{2,3,5,7,9}B.{2,3,4,5,6,7,8,9}C.{4,6,8}D.{5}【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件利用韦恩图反应的集合运算直接计算作答.【详解】韦恩图的阴影部分表示的集合为()U A B ð，而全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，所以(){4,6,8}U A B ⋂=ð.故选：C2.已知复数z 满足(1i)2z +=，则z 的虚部为（）（i 为虚数单位）A.12-B.1- C.1i 2D.i-【答案】B 【解析】【分析】先对已知式子化简求出复数z ，从而可求出其虚部【详解】由(1i)2z +=，得22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，所以z 的虚部为1-，故选：B3.已知a >0>b ，则下列不等式一定成立的是（）A.a 2<－abB.|a |<|b |C.11a b> D.1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由特殊值法可以排除选项A,B,D ，由指数函数的单调性可知选项C 正确.【详解】法一：当a ＝1，b ＝－1时，满足a >0>b ，此时a 2＝－ab ，|a|＝|b|，1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A ，B ，D 不一定成立．因为a >0>b ，所以b －a<0，ab <0，所以110b a a b ab --=>，所以11a b>一定成立，故选C.法二：因为a >0>b ，所以110a b>>，所以11a b >一定成立，故选：C.【点睛】对于不等式的判定，我们常取特殊值排除法和不等式的性质进行判断，另外对于指数式，对数式，等式子的大小比较，我们也常用函数的单调性．4.已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上的一点P 的坐标为()1,3-，则cos α=（）A.31010-B.10-C.1010D.31010【答案】B 【解析】【分析】直接利用三角函数的定义即可求解.【详解】r ==，10cos10x r α===-故选：B5.已知函数2()22f x x x =+-的图像在点M 处的切线与x 轴平行,则点M 的坐标是A.(1,3)- B.(1,3)--C.(2,3)-- D.(2,3)-【答案】B 【解析】【分析】先设()()00,M x f x ,再对函数求导得()22,f x x =+'由已知得00()220f x x '=+=，即可求出切点坐标.【详解】设()()00,M x f x ,由题得()22,f x x =+'所以000()220,1,(1)3f x x x f '=+=∴=--=-,∴()1,3M --.故选：B .【点睛】本题主要考查对函数求导和导数的几何意义，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处的切线的斜率，相应的切线方程是000()()y y f x x x '-=-.6.函数()2xf x e x x =--的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】从各项图象的区别，确定先判断函数奇偶性(对称性)，再求导研究()()1,2f f ''的符号,判断单调性即可.【详解】22()()()xxf x ex x e x x f x --=----=--= ，()f x ∴是偶函数，图象关于y 轴对称，排除选项AB.当0x >时，2()x f x e x x =--，则()21x f x e x '=--，由(1)30f e '=-<，()2250f e '=->，故存在0(1,2)x ∈使得()0f x '=，即函数在区间(1,2)上不单调，排除D.故选：C.【点睛】方法点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7.已知2sin 5αα=，则2sin(cos()36ππαα+++=（）A.45-B.25-C.0D.25【答案】B 【解析】【分析】利用两角和的正弦和余弦公式化简后可得所求的值．【详解】因为2sin 5αα=，所以1sin 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，而211sin(cos(sin cos cos sin 362222ππαααααα+++=-++-2sin 5αα=-=-，故选：B ．8.天文学中，用视星等表示观测者用肉眼所看到的星体亮度，用绝对星等反映星体的真实亮度.星体的视星等m ，绝对星等M ，距地球的距离d 有关系式05lgd M m d=+（0d 为常数）.若甲星体视星等为1.25，绝对星等为 6.93-，距地球距离1d ；乙星体视星等为1.15，绝对星等为1.72，距地球距离2d ，则12d d =（）A. 1.7510B. 1.7210 C. 1.6510 D. 1.6210【答案】A 【解析】【分析】利用对数的运算可求得12d d 的值.【详解】由已知可得01025lg 6.93 1.258.185lg 1.72 1.150.57d d d d ⎧=--=-⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩，上述两个等式作差得0012125lglg 5lg 0.578.188.75d d d d d d ⎛⎫-==+= ⎪⎝⎭，因此， 1.751210d d =.故选：A.9.将函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 的图象的一条对称轴是直线4x π=-，则ω的最小值为（）A.32B.2C.3D.72【答案】A 【解析】【分析】利用平移变换得出()sin 44g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再由对称轴的性质得出122k ω=--，Z k ∈，结合0ω>得出ω的最小值.【详解】将函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象对应的函数为()sin sin 4444g x x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为函数()g x 的图象的一条对称轴是直线4x π=-所以4442k ωπωππππ--+=+，Z k ∈解得122k ω=--，Z k ∈，又0ω>所以当1k =-时，ω取最小值，为32故选：A【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用对称轴的性质结合0ω>得出ω的最小值.10.已知偶函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增，且0.15log 2,ln2,2a b c ===-，则()()(),,f a f b f c 满足A.()()()f b f a f c << B.()()()f c f a f b <<C.()()()f c f b f a <<D.()()()f a f b f c <<【答案】D 【解析】【详解】55110log 2log ,1ln 2ln 22a b ===,故()()()1f a f b f <<,又()()()()0.10.1221f c f f f =-=>,故()()()f a f b f c <<,故选D.11.已知函数()sin cos sin f x x x x =+，则下列关于函数()f x 的说法中，正确的个数是（）①2π是()f x 的周期；②()f x 是偶函数；③()f x 的图像关于直线2x π=对称；④()f x 的最小值是4-A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】B 【解析】【分析】根据函数解析式一一代入验证即可判断①②③，对函数求导，利用导数判断④；【详解】解：()()()()()2sin 2cos 2sin 2sin cos sin f x x x x x x x f x ππππ+=+++-+=+=①正确；()()()()()sin cos sin sin cos sin f x x x x x x x f x -=-+--=--≠②错误；()()()()()sin cos sin sin cos sin f x x x x x x x f x ππππ-=-+--=-≠，③错误；()222cos cos sin 2cos cos 1f x x x x x x =+-=+-'令()0f x '=.解得cos 1x =-或1cos 2x =·当1cos 2x =即sin 2x =-时，()f x 有最小值﹐最小值为4-.④正确.故选：B .12.已知函数321()(0)3f x ax x a =+>，若存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使()012f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围为（）A.2,53⎛⎫⎪⎝⎭B.2,3(3,5)3⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭C.18,67⎛⎫⎪⎝⎭ D.18,4(4,6)7⎛⎫⋃⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据导数判断函数的单调性，画出函数的大致形状，然后根据题意进行求解即可.【详解】32'212()()2(3f x ax x f x ax x ax x a=+⇒=+=+，因为0a >，所以当0x >或2x a<-时，'()0f x >，()f x 单调递增，当20x a-<<时，'()0f x <，()f x 单调递减，()00f x x =⇒=或3x a=-，函数图象大致如下图所示：因为存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使()012f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以有21221(1)1(1)()2a a f f ⎧-<-⎪⎪⎪->-⎨⎪⎪-<-⎪⎩，或312(2)2a a -<-<-，解(1)得：1847x <<，解(2)得46x <<，故选：D【点睛】关键点睛：根据单调性画出图象大致形状，分类讨论、数形结合进行求解.第II 卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.函数()4log 0201x x f x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪+⎩，，则()0f f ⎡⎤⎣⎦______．【答案】12【解析】【分析】由题意结合函数的解析式求解函数值即可.【详解】由函数的解析式可得：2(0)201f -==-+，则()410(2)log |2|2f f f =-=-=⎡⎤⎣⎦.故答案为12．【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．14.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()(2)0f x f x ++=，且(1)2f =-，则(2019)(2018)f f +的值为__________．【答案】2【解析】【分析】由()f x 为奇函数且()()20f x f x ++=可得函数()f x 是周期为4的周期函数.可将()()20192018f f +转化为()()()()2019201832f f f f +=+，由奇函数特点可得()00f =，在()()20f x f x ++=中，令1x =，可得()32f =，问题得解．【详解】因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，又()()20f x f x ++=，所以()()2f x f x +=-，所以()()4f x f x +=，所以函数()f x 是周期为4的周期函数.所以()()()()201920184504345042f f f f +=⨯++⨯+()()32f f =+，又()00f =，在()()20f x f x ++=中，令1x =，可得()()312f f =-=，∴()()()()2019201832022f f f f +=+=+=.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与周期性的应用，考查运算求解能力、等价变换的能力，还考查了赋值法，属于中档题．15.已知在三棱锥-P ABC 中，90,4,30BAC AB AC APC ︒︒∠===∠=，平面PAC ⊥平面ABC ，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为__________．【答案】80π【解析】【分析】根据已知条件确定,ABC PAC 的外接圆圆心12,O O ，及三棱锥-P ABC 的外接球球心O 、AC 边中点H 的位置关系--四边形12OO HO 为矩形，进而应用正弦定理、侧面外接圆半径与外接球半径、点面距之间的关系，求外接球半径，即可求球的表面积.【详解】如图12,O O 分别为,ABC PAC 的外心.由90BAC ∠=︒，即1O 为BC 中点，取AC 的中点,H 则1O H AC ⊥，又面PAC ⊥面ABC ，面PAC 面ABC AC =，1O H ⊂面ABC ，即1O H ⊥面,PAC 设球心为O ，则2OO ⊥平面,PAC ∴12//O H OO ，又2O H AC ⊥，2O H ⊂面PAC ，面PAC 面ABC AC =，面PAC ⊥面ABC ，∴2O H ⊥平面ABC ，又1OO ⊥平面ABC .∴12//OO O H ，即四边形12OO HO 为矩形.由正弦定理知：228sin ACO P APC==∠，即24O P =，∴若外接球半径为R ，则2222216420R O P OO =+=+=，∴2480S R ππ==.故答案为：80π.【点睛】关键点点睛：利用面面垂直、等腰直角三角形的性质，应用三棱锥侧面外接圆半径、外接球半径、点面距之间的几何关系，结合正弦定理求外接球半径，进而求表面积.16.已知函数()()e ln xf x x a x x =-+(e 为自然对数的底数)有两个不同零点，则实数a 的取值范围是___________.【答案】(,)e +∞【解析】【分析】求出()()1x xe af x x x-'=+⋅，当0a ≤，则0x xe a ->，此时()0f x ¢>，()f x 在()0,∞+上单调递增，不满足条件，当0a >，讨论出()f x 的单调性，得出最小值，根据条件可得出答案.【详解】由()e (ln )xf x x a x x =-+，得()()()11(1)1x xxe af x x e a x x x-'=+-+=+⋅，且0x >由0x >，则100x x xe +>>，若0a ≤，则0x xe a ->，此时()0f x ¢>，()f x 在()0,∞+上单调递增，至多有一个零点，不满足题意.若0a >，设()xh x xe a =-，则()()10xh x x e '=+>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增由()00h =，所以x xe a =有唯一实数根，设为0x ，即00x x ea=则当00x x <<时，x xe a <，()0f x '<，则()f x 在()00x ，单调递减，当0x x >时，x xe a >，()0f x ¢>，则()f x 在()0x +∞，单调递增，所以当0x x =时，()()()00000min ln xf x f x x e a x x ==-+由00x x ea =可得()00ln ln x x e a =，即00ln ln ln x x e a +=，即00ln ln x x a+=所以()()0min ln f x f x a a a ==-，()0a >又当0x →时，()f x →+∞，当x →+∞，指数函数增加的速度比对数函数增加的速度快得多，可得()f x →+∞所以函数()e (ln )x f x x a x x =-+有两个不同零点，则()()0min ln 0f x f x a a a ==-<设()ln g x x x x =-，则()ln g x x'=-当()0,1x ∈时，有()0g x '>，则()g x 在()0,1上单调递增.当()1,x ∈+∞时，有()0g x '<，则()g x 在()1,+∞上单调递减.又当0x →时，()0g x →，()0g e =所以当0<<x e 时，()0g x >，当>x e 时，()0g x <，所以ln 0a a a -<的解集为a e >故答案为：(,)e +∞【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知函数()ππ2sin cos cos 44f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求()f x 单调递增区间；（2）若825f α⎛⎫=⎪⎝⎭，且π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin α的值.【答案】（1）()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦Z ；（2）310+.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和两角和的正弦公式化简()f x ，再根据正弦函数的递增区间可得结果；（2）由825f α⎛⎫= ⎪⎝⎭得到π4sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得π3cos 65α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再根据ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可求得结果.【详解】（1）()πsin 22cos 222s 6πin 22f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()πππ2π22π262k x k k -≤+≤+∈Z ，得()ππππ36k x k k -≤≤+∈Z ，则函数单调递增区间为()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦Z .（2）由825f α⎛⎫= ⎪⎝⎭得π82sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即π4sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，π2π7π,636α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，可得π3cos 65α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以4313sin 525210α=⨯+⨯=.【点睛】关键点点睛：第（2）问将α拆为已知角6πα+和特殊角6π是本题解题关键.18.已知函数()()sin λf x ωx φ=+(0λ>，0ω>，02πϕ<<)的部分图象如图所示，A 为图象与x 轴的交点，B ，C 分别为图象的最高点和最低点，ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC的面积()22234S a c b =+-.（1）求ABC 的角B 的大小；（2）若3b =，点B 的坐标为1,3λ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求()f x 的最小正周期及ϕ的值.【答案】（1）3π；（2）最小正周期为2，6πϕ=.【解析】【分析】（1）根据()22234S a c b =+-，利用余弦定理和三角形面积公式，易得3122accosB acsinB =，即3tanB =求解.()2由2,3,3a cb B π===，利用余弦定理可得1c =，进而得到函数()f x 的最小正周期为2，然后由13,32B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在函数()f x 的图象上，求得()f x 即可.【详解】（1）()22234S a c b =+- ，∴由余弦定理得32S accosB =，又12S acsinB =，3122accosB acsinB =，即3tanB =，()0,B π∈ ，3B π∴=.()2由题意得，2,3,3a cb B π===，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2224433c c c cos π+-=，即1c =，设边BC 与x 轴的交点为,D 则ABD ∆为正三角形，2λ∴=且1AD =，∴函数()f x 的最小正周期为2，22πωπ∴==，()()2f x sin x πϕ=∴+又点13B ⎛ ⎝⎭在函数()f x 的图象上，1332f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，3πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭2,32k k Z ππϕπ∴+=+∈，即2,6k k Z πϕπ=+∈又02πϕ<<，6πϕ∴=.【点睛】方法点睛：（1）求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝2π＋k π(k ∈Z )，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )即可．（3）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，则最小正周期为T ＝2πω；（3）奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝A sin ωx 或y ＝A cos ωx ＋b 的形式．19.已知函数3()f x x ax b =-+在=1x -处取得极值．（1）求实数a 的值；（2）若函数()y f x =在[0,2]内有零点，求实数b 的取值范围．【答案】（1）3a =；（2）[2,2]-.【解析】【分析】（1）根据(1)0f '-=，求出a 的值，再验证即可；（2）利用导数得出函数在[0,2]是的最值，由max min ()20()20f x b f x b =+≥⎧⎨=-≤⎩求解即可.【小问1详解】解：∵3()f x x ax b =-+,所以2()3f x x a '=-，又()f x 在=1x -处取得极值，∴(1)30f a '-=-=，解得3a =.经验证3a =时，2()333(1)(1)f x x x x '=-=-+，当1x <-时，()0f x '>；当1x >-时，()0f x '<，所以()f x 在=1x -处取得极值.所以3a =；【小问2详解】解：由（1）知3()3f x x x b =-+，2()333(1)(1)f x x x x '=-=-+，∴()y f x =的极值点为1,1-，将x ，()f x ，()f x '在[0,2]内的取值列表如下：x0(0，1)1(1，2)2()f x '3-－0＋9()f x b单调递减极小值b －2单调递增b ＋2∵()y f x =在[0,2]内有零点，∴max min ()20()20f x b f x b =+≥⎧⎨=-≤⎩，解得22b -≤≤，∴实数b 的取值范围是[2,2]-.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，2PA PB AD ===，4BC =.（1）若PB 的中点为E ，求证：//AE 平面PCD ；（2）若2AB =，求平面PCD 与平面PBD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）35.【解析】【分析】（1）取PC 的中点F ，连接,EF DF ，由已知易证四边形ADFE 是平行四边形，即//DF AE ，再由线面平行的判定证结论；（2）设O 是AB 中点，根据题设构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值.【小问1详解】如图，取PC 的中点F ，连接,EF DF ，∵E 、F 分别为,PB PC 的中点，∴//EF BC ，122EF BC ==∵//AD BC 且122AD BC ==，∴//EF AD 且EF AD =，故四边形ADFE 是平行四边形，∴//DF AE ，AE ⊄平面PCD ，DF ⊂平面PCD ，∴//AE 平面PCD .【小问2详解】设O 是AB 中点，作//Oy BC ，由底面ABCD 为直角梯形且//AD BC ，得Oy AB ⊥，因为PA PB =，所以PO AB ⊥，由面PAB ⊥面ABCD ，面PAB ⋂面ABCD AB =，PO ⊂面PAB ，故PO ⊥面ABCD ，以O 为原点，,,OB Oy OP 所在直线分别为,,x y z轴建空间直角坐标系，如下图所示：∴()1,0,0A -、()1,0,0B 、()1,4,0C 、()1,2,0D -、(3P ，则(3BP =- ，(1,2,3PD =- ，()2,2,0DC =，设面PBD 的法向量(),,n x y z = ，则30230n BP x z n PD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，取3x =)3,3,1n = ；设面PCD 的法向量(),,m a b c = ，则220230m DC a b m PD a b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，取1a =，得(1,1,3m =-- ；设平面PCD 与平面PBD 的夹角为θ，则3105cos 3575m n m nθ⋅===⨯⋅ ，∴平面PCD 与平面PBD 105.21.已知函数()213e 28xf x a x =--有两个极值点1x ，()212x x x <．（1）若()10f x =，求a 的值；（2）若212x x ≥，求a 的取值范围．【答案】（1）2e（2）ln 20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据取得极值点处导函数等于0即可求解；（2）令212x t x =≥，根据()111e 0x f x a x '=-=，()222e 0x f x a x '=-=，求出()1ln 21t x t t =≥-，构造函数()()ln 21th t t t =≥-求出1x 的范围，再构造函数()(]()0,ln 2e x x x x ϕ=∈，求出范围即可求解a 的范围.【小问1详解】依题意知，x ∈R ，因为函数()213e 28xf x a x =--有两个极值点1x ，()212x x x <，所以()e xf x a x '=-，()111e 0x f x a x '=-=，()222e 0x f x a x '=-=，则有()e 0xf x a x '=-=有两个根，等价于e xxa =有两个根，令()e x x g x =，则()1e xxg x ='-，令()10ex xg x -'==，解得1x =，所以(),1x ∈-∞时，()10e x xg x -'=>，()g x 单调递增，()1,x ∈+∞时，()10ex xg x -'=<，()g x 单调递减，所以1x =时，()g x 取得最大值()()max 11eg x g ==，又x 趋向于无穷大时，()g x 趋向于0，所以10ea <<且1201x x <<<.若()10f x =，即()121113e 028xf x a x =--=，由11121e 013e 028x x a x a x ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，解得：11e ,22e x a ==或1233e ,22e x a ==（舍去），所以若()10f x =，a的值为：2ea =.【小问2详解】由（1）知，()e xf x a x '=-，()111e 0x f x a x '=-=，()222e 0x f x a x '=-=，整理可得2121ex x x x -=，令212x t x =≥，所以21ln x x t -=，易得12ln 1ln 1t x t t t x t ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，令()()ln 21th t t t =≥-，则()()211ln 1t t h x t --'=-，令()11ln u t t t =--()2t ≥，则()210tu t t -'=<，所以()u t 在[)2,+∞上单调递减，所以()()12ln 202u t t ≤=-<，所以()h t 在[)2,+∞上单调递减，所以()()02ln 2h t h <≤=，即(]10,ln 2x ∈，所以(]()1110,ln 2e x x a x =∈，令()(]()0,ln 2e x xx x ϕ=∈，则()10ex xx ϕ-'=>恒成立，所以()x ϕ在(]0,ln 2x ∈上单调递增，所以()()()ln 2ln 2ln 200ln 2e 2x ϕϕϕ=<≤==，即ln 202a <≤，所以a 的取值范围为：ln 20,2⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】已知函数有零点，求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.在平面直角坐标系中，曲线C 1的方程为()(2211x y -+=，曲线C 2的参数方程为23x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线l 过原点O 且与曲线C 1交于A 、B 两点，点P 在曲线C 2上且OP ⊥AB ．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C 1的极坐标方程并证明OA OB ⋅为常数；（2）若直线l 平分曲线C 1，求△PAB 的面积．【答案】（1）22cos sin 30ρρθθ--+=，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）写出1C 的极坐标方程，设直线l 的极坐标方程为θα=，代入1C 的方程，利用韦达定理证明OA OB ⋅为定值；（2）直线l 平分曲线1C 得直线l 的方程，因为OP AB ⊥，得直线OP 的方程，求得点P 的坐标，计算三角形面积.【小问1详解】1C的一般方程为22230x y x +--+=，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得1C的极坐标方程为22cos sin 30ρρθθ--+=，证明：设直线l 的极坐标方程为θα=，点()1,A ρα，()2,B ρα，将θα=代入22cos sin 30ρρθθ--+=，得1ρ，2ρ为方程22(cos )30ραθρ-++=的两个根，123OA OB ρρ=⋅=.【小问2详解】因为直线l 平分曲线1C ，所以直线l过点(，直线l的方程为y =，因为OP AB ⊥，所以直线OP为3y x =-，曲线2C 的普通方程为2y x =，与直线OP的方程联立，得(3,P ，点P 到直线l 的距离d ==1C 的直径2AB =，所以PAB 的面积12S AB d =⨯=[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知函数()2f x m x mx =+--()0m >的最大值为6.（1）求m 的值；（2）若正数x ，y ，z 满足x y z m ++=，求证：≤.【答案】（1）2；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式求出()f x 的最大值，让最大值等于6即可得m 的值；（2）由（1）知，2x y z ++=，由222x x x y z y z ⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭利用基本不等式即可求证.【详解】（1）由题意得()2()(2)3f x x m x m x m x m m =+--≤+--=，因为函数()f x 的最大值为6，所以36m =，即2m =±.因为0m >，所以2m =；（2）由（1）知，2x y z ++=，因为0x >，0y >，0z >，所以222x x x y z y z ⎛⎫⎛⎫=++=+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2x y z ==时，即1x =，12y z ==等号成立，2m ≤=≤当且仅当11,2x y z ===时，等号成立.。