高一数学人教a版必修2学业分层测评23_直线与圆的位置关系_word版含解析

4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系【选题明细表】1.(2018·云南昆明模拟)已知直线l:y=x+m与圆C:x2+(y-3)2=6相交于A,B两点,若|AB|=2,则实数m的值等于( C )(A)-7或-1 (B)1或7(C)-1或7 (D)-7或1解析:圆心(0,3)到直线l的距离d==,故+2=6,解得:m=-1或m=7,故选C.2.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴相切,则该圆的标准方程是( B )(A)(x-3)2+(y-)2=1(B)(x-2)2+(y-1)2=1(C)(x-1)2+(y-3)2=1(D)(x-)2+(y-1)2=1解析:设圆心为(a,1),由已知得d==1,由a>0,所以a=2.3.(2018·江西新余高一期末)曲线y=1+与直线kx-y-2k+4=0有两个交点时,实数k取值范围是( A )(A)(,) (B)(,)(C)(,) (D)(0,)解析:曲线y=1+,因为x∈[-2,2],y=1+≥1,所以x2+(y-1)2=4,表示圆心为M(0,1),半径r=2的圆的上半部分.直线y=k(x-2)+4表示过定点P(2,4)的直线,当直线与圆相切时,由圆心到直线kx-y+4-2k=0的距离d==2,解得k=.当直线经过点B(-2,1)时,直线PB的斜率为k=.所以要使直线与曲线有两个不同的公共点,则必有<k≤.即实数k的取值范围是(,).4.(2018·河北承德期末)已知直线l:y=kx+2(k∈R),圆M:(x-1)2+y2=6,圆N:x2+(y+1)2=9,则( D )(A)l必与圆M相切,l不可能与圆N相交(B)l必与圆M相交,l不可能与圆N相切(C)l必与圆M相切,l不可能与圆N相切(D)l必与圆M相交,l不可能与圆N相离解析:因为直线l:y=kx+2(k∈R)过点(0,2),(0,2)在圆M:(x-1)2+y2=6内,所以直线l必与圆M相交,因为(0,2)在圆N:x2+(y+1)2=9上,所以l不可能与圆N相离.故选D.5.(2018·湖南益阳高一期末)若PQ是圆x2+y2=9的弦,PQ的中点是A(1,2),则直线PQ的方程是( B )(A)x+2y-3=0 (B)x+2y-5=0(C)2x-y+4=0 (D)2x-y=0解析:设圆的圆心是O,由题意知,直线PQ过点A(1,2),且和直线OA垂直,故其方程为y-2=-(x-1),整理得x+2y-5=0.故选B.6.(2018·湖南岳阳模拟)已知圆C:x2+(y-3)2=4,过A(-1,0)的直线l 与圆C相交于P,Q两点.若|PQ|=2,则直线l的方程为. 解析:当直线l与x轴垂直时,易知x=-1符合题意;当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),由|PQ|=2,则圆心C(0,3)到直线l的距离d==1,解得k=,此时直线l的方程为y=(x+1).故所求直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.答案:x=-1或4x-3y+4=07.(2018·山东枣庄二模)已知圆M与直线x-y=0及x-y+4=0都相切,圆心在直线y=-x+2上,则圆M的标准方程为.解析:圆心在y=-x+2上,设圆心为(a,2-a),因为圆C与直线x-y=0及x-y+4=0都相切,所以圆心到直线x-y=0的距离等于圆心到直线x-y+4=0的距离,即=,解得a=0,所以圆心坐标为(0,2),r==,圆C的标准方程为x2+(y-2)2=2.答案:x2+(y-2)2=28.已知圆C的方程为(x-1)2+y2=9,求过M(-2,4)的圆C的切线方程. 解:因为r=3,圆心C(1,0)到点M(-2,4)的距离d=5>r,所以点M(-2,4)在圆C外,切线有两条.(1)当切线的斜率存在时,设过点M(-2,4)的圆C的切线方程为y-4=k(x+2),即kx-y+2k+4=0.由圆心C(1,0)到切线的距离等于半径3,得=3.解得k=-,代入切线方程得7x+24y-82=0.(2)当切线的斜率不存在时,圆心C(1,0)到直线x=-2的距离等于半径3,所以x=-2也是圆C的切线方程.综上(1)(2),所求圆C的切线方程为x+2=0或7x+24y-82=0.9.若直线ax+by-3=0和圆x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2),则ab的值为( C )(A)-3 (B)-2 (C)2 (D)3解析:圆的标准方程为(x+2)2+y2=5,直线与圆相切,则圆心到直线距离为,所以=,整理得a2-12a+5b2-9=0且直线过P(-1,2),代入得2b-a-3=0,两式联立,得a=1,b=2,所以ab=2,故选C.10.(2018·宁夏中卫市二模)已知从圆C:(x+1)2+(y-2)2=2外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,则当|PM|取最小值时点P的坐标为.解析:如图所示,圆心C(-1,2),半径r=.因为|PM|=|PO|,所以|PO|2+r2=|PC|2(C为圆心,r为圆的半径),所以++2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,此时P点即为两直线的交点,得P点坐标(-,).答案:(-,)11.已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B 两点,且△ABC为等边三角形,则实数a= .解析:依题意,圆C的半径是2,圆心C(1,a)到直线ax+y-2=0的距离等于×2=,于是有=,即a2-8a+1=0,解得a=4±.答案:4±12.(2018·河南平顶山高一期末)设有一条光线从P(-2,4)射出,并且经x轴上一点Q(2,0)反射.(1)求入射光线和反射光线所在的直线方程(分别记为l1,l2);(2)设动直线l:x=my-2,当点M(0,-6)到l的距离最大时,求l,l1,l2所围成的三角形的内切圆(即圆心在三角形内,并且与三角形的三边相切的圆)的方程.解:(1)因为k PQ=-,所以l1:y=-(x-2),因为l1,l2关于x轴对称,所以l2:y=(x-2).(2)因为l恒过点N(-2,0),当MN⊥l时,M到l的距离最大,因为k MN=-,所以m=,所以l的方程为x=y-2,设所求方程为(x-2)2+(y-t)2=r2,所以r==,得t=2,所以所求方程为(x-2)2+(y-2)2=1.13.(2018·兰州二十七中高二上期末)已知半径为5的圆的圆心在x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线4x+3y-29=0相切.(1)求圆的方程;(2)设直线ax-y+5=0与圆相交于A,B两点,求实数a的取值范围;(3)在(2)的条件下,是否存在实数a,使得过点P(-2,4)的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.解:(1)设圆心为M(m,0)(m∈Z),由于圆与直线4x+3y-29=0相切且半径为5,所以=5,即|4m-29|=25.因为m为整数,故m=1.故所求的圆的方程是(x-1)2+y2=25.(2)直线ax-y+5=0,即y=ax+5,代入圆的方程消去y整理,得(a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0.由于直线ax-y+5=0交圆于A,B两点,故Δ=4(5a-1)2-4(a2+1)>0,即12a2-5a>0,解得a<0或a>.所以实数a的取值范围是(-∞,0)∪(,+∞).(3)设符合条件的实数a存在,由(2)得a≠0,则直线l的斜率为-,l的方程为y=-(x+2)+4,即x+ay+2-4a=0.由于l垂直平分弦AB,故圆心M(1,0)必在l上, 所以1+0+2-4a=0,解得a=.由于∈(,+∞),故存在实数a=,使得过点P(-2,4)的直线l垂直平分弦AB.。

最新人教版高中数学必修二《直线与圆的位置关系》（含答案解析）一、选择题(每小题5分，共40分)1.如果a2+b2=c2，那么直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.相交或相切2.设直线过点(a，0)，其斜率为-1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为( )A.±B.±2C.±2D.±43.直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为( )A.1B.2C.4D.44.过点P(-2，4)作圆O：(x-2)2+(y-1)2=25的切线l，直线m：ax-3y=0与直线l平行，则直线l与m间的距离为( )A.4B.2C.D.5.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )A.y=xB.y=-xC.y=xD.y=-x6.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l：x-y+3=0，当直线l被圆C 截得的弦长为2时，a等于( )A. B.2-C.-1D.+17.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为( )A.1B.2C.D.38.过点P(-，-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )A.0°<α<30°B.0°<α≤60°C.0°≤α≤30°D.0°≤α≤60°二、填空题(每小题5分，共10分)9.过点A(1，)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=________.10.已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|= .三、解答题(每小题10分，共20分)11.已知圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1，P点坐标为(2，3)，求圆的过P 点的切线方程以及切线长.12.已知过点A(-1，0)的动直线l与圆C：x2+(y-3)2=4相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N.(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C.(2)当|PQ|=2时，求直线l的方程.参考答案与解析1选C.圆的半径r=1，圆心(0，0)到直线ax+by+c=0的距离d===>1.2选B.因为切线的方程是y=-(x-a)，即x+y-a=0，所以=，a=±2.3选C.由(x-1)2+(y-2)2=5得圆心(1，2)，半径r=，圆心到直线x+2y-5+=0的距离d==1，在半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形中，弦长l=2=2=4.4选A.根据题意，知点P在圆上，所以切线l的斜率k=-=-=.所以直线l的方程为y-4=(x+2).即4x-3y+20=0.又直线m与l平行，所以直线m的方程为4x-3y=0.故直线l与m间的距离为d==4.5选C.设切线方程为y=kx，圆的方程化为(x+2)2+y2=1，而圆心(-2，0)到直线y=kx 的距离为1，所以=1.所以k=±.又因为切点在第三象限，所以k=.6选C.因为圆的半径为2，且截得弦长的一半为，所以圆心到直线的距离为1，即=1，解得a=±-1，因为a>0，所以a=-1.7选C.设圆心为C(3，0)，P为直线上一动点，过P向圆引切线，切点设为N，所以(PN)min=()min=，又(PC)min==2，所以(PN)min=.8选D.设过点P与圆相切的直线方程为y+1=k(x+)，则圆心到该直线的距离d= =1，解得k1=0，k2=，画出图形可得直线l的倾斜角的取值范围是0°≤α≤60°.9点A(1，)在圆(x-2)2+y2=4内，当劣弧所对的圆心角最小时，l垂直于过点A(1，)和圆心M(2，0)的直线.所以k=-=-=.答案：10取AB的中点E,连接OE,过点C作BD的垂线,垂足为F,圆心到直线的距离d= ,所以在Rt△OBE中,BE2=OB2-d2=3,所以d==3,得m=-,又在△CDF中,△FCD=30°,所以CD==4.答案:411如图，此圆的圆心C为(1，1)，CA=CB=1，则切线长|PA|===2.(1)若切线的斜率存在，可设切线的方程为y-3=k(x-2)，即kx-y-2k+3=0，则圆心到切线的距离d==1，解得k=，故切线的方程为3x-4y+6=0.(2)若切线的斜率不存在，切线方程为x=2，此时直线也与圆相切.综上所述，过P点的切线的方程为3x-4y+6=0和x=2.12(1)因为l与m垂直，且k m=-，所以k l=3，故直线l的方程为y=3(x+1)，即3x-y+3=0.因为圆心坐标为(0，3)满足直线l的方程，所以当l与m垂直时，l必过圆心C.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x=-1符合题意.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k(x+1)，即kx-y+k=0，因为|PQ|=2，所以|CM|==1，则由|CM|==1，得k=，所以直线l：4x-3y+4=0.故直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.。

课后导练基础达标1直线(x+1)a+(y+1)b=0与圆x 2+y 2=2的位置关系是（ ）A.相切B.相离C.相切或相交D.相切或相离解析：无论a,b 取何实数,直线恒过点(-1,-1),又知点(-1,-1)在圆上,则直线恒过圆上一点,从而直线与圆相交或相切.答案：C2直线3x+y-32=0截圆x 2+y 2=4所得劣弧所对的圆心角为（ ）A.30°B.45°C.60°D.90°解析：设直线与圆相交于A 、B 两点,圆心C 到AB 之距为d=33132=+,半径r=2,∴|AB|=342222-=-d r ,∴△ACB 为正三角形,∴∠ACB=60°.答案：C3若直线x+y+a=0与圆x 2+y 2=a 相切,则a 为（ ）A.0或2B.2C.2D.无解解析：由已知,圆心(0,0),半径r=a ,则圆心到直线之距d=2a ,由2a =a ,得a =2. 答案：C4以M(-4,3)为圆心的圆与直线2x+y-5=0相离，那么圆M 的半径r 的取值范围是（ ）A.0＜r ＜2 Ｂ.0＜r ＜5Ｃ.0＜r ＜52 Ｄ.0＜r ＜10解析：圆心M 到直线2x+y-5=0之距d=525|53)4(2|=-+-⨯,由0<r<d 知C 项正确. 答案：C5圆(x-1)2+(y-1)2=8上点到直线x+y-4=0的距离为2,则这样的点有（ ）A.1个 Ｂ.2个Ｃ.3个 Ｄ.4个解析：圆心(1,1)到直线x+y-4=0之距d=22=2,又知圆半径r=22,∴满足条件的点有3个.答案：C6x 2+y 2=4上到直线4x+3y-12=0距离最短的点的坐标是__________.解析：过圆心与直线4x+3y-12=0垂直的直线方程为y=4334x,由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧=+=-,56,5856,584,04322y x y x y x y x 或解得.由数形结合知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==56,58y x . 答案：(56,58) 7过圆(x-4)2+(y-2)2=9内一点P （3，1）作弦AB ，当|AB|最短时,AB 所在的直线方程为_________，最短弦长为_________.解析：设圆心C,则C(4,2),若|AB|最短,则P 为AB 中点,此时PC ⊥AB,∵k PC =1,∴k AB =-1,∴AB 方程为y-1=-(x-3)即x+y-4=0,此时|PC|=2,圆半径为3,∴|AB|=72.答案：x+y-4=0 728若点P （x,y ）在圆x 2+y 2=1上运动,则x-2y 的取值范围___________.解析：令x-2y=d,即x-2y-d=0,由条件知直线x-2y-d=0与圆x 2+y 2=1有公共点,即相切或相交,则5||d ≤1,∴5-≤d≤5. 答案：5-≤d≤5综合运用9若3(a 2+b 2)=4c 2，则直线ax+by+c=0与圆x 2+y 2=1相交所得弦长为（ ）A.c/2B.cC.2D.1解析：圆心(0,0)到直线ax+by+c=0之距d=23||22=+b a c 又圆半径为r=1,∴所得弦长为4312222-=-d r =1. 答案：D10由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B,∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为_______________.解析：设P(x,y),x 2+y 2=1的圆心为O.∵∠APB=60°,OP=2,∴x 2+y 2=4.∴应填x 2+y 2=4.答案：x 2+y 2=411圆(x-1)2+(y+2)2=16关于直线x-y+1=0对称的圆的方程为__________.解析：圆的半径不变,只要将圆心(1,-2)关于x-y+1=0对称即可,设对称圆的圆心为(a,b),则⎩⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-+-=-+.2,3,012221,112b a b a a b 得 ∴对称圆的方程为(x+3)2+(y-2)2=16.答案：(x+3)2+(y-2)2=16拓展探究12已知圆x 2+y 2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0交于P,Q 两点,O 为坐标原点，问是否存在实数m,使OP ⊥OQ ，若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由.(注:本题在下节“变式提升3”还有另一种解法)解析：设点P 、Q 的坐标为（x 1,y 1）、（x 2,y 2）.由OP ⊥OQ ，得k OP ·k OQ =-1，即1211y y x y •=-1. x 1x 2+y 1y 2=0.①又(x 1,y 1),(x 2,y 2) 是方程组⎩⎨⎧=+-++=-+06,03222m y x y x y x 的实数解. 即x 1、x 2是方程5x 2+10x+4m-27=0的两个根.②∴x 1+x 2=-2,x 1x 2=5274-m .③ ∵P 、Q 在直线x+2y-3=0上，∴y 1y 2=21（3-x 1）·21（3-x 2）=41［9-3(x 1+x 2)+x 1x 2］. 将③代入，得y 1y 2=512+m . 将③④代入①，解得m=3,代入方程②，检验Δ>0成立，∴m=3.则存在m=3，使OP ⊥OQ.。

更上一层楼基础•巩固1. 设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x 2+y 2=2相切，则a 的值为()A.±A /2B.±2 B.±2V2 D.±4思路解析:由直线的斜截式方程写出直线方程并化为一般式得x-y+a=0.已知圆的圆心为(0,0), 半径为血.直线与圆相切，所以d=4^ = r = V2 ,解Z,可得a=±2.V1 + 1答案:B2. 圆(x-l)2+(y + V3)2=l 的切线方程中有一个是()思路解析:本题主要考查圆的定义及直线与圆的位置关系.圆心为(1, -V3),半径为1,故 此圆必与y 轴(x=0)相切，选C. 答案:C3. 若圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距离为2丿^\则直线1的倾 斜角的取值范围是()r 71 71厂龙 5龙「 A.［——，一］ B.［―，一］ 12 4 12 12 思路解析:(x-2)2+(y-2)2=18是以(2,2)为圆心,30为半径的圆,ax+by=0是-•过定点的直线. 当圆心到直线距离小于或等于血时，能够满足题意，设y=kx 为直线方程, .(2—2)2° 1 +疋故结合图形易得倾斜角范圉为［兰，竺］• 12 12答案:B4. (2006安徽高考)直线x+y=l 与圆x 2+y 2-2ay=0(a>0)没有公共点，则a 的取值范围是()A.(0, V2 -1)B.(V2-1,V2+1)C.( — V2 — 1, +1)D.(0, V2 +1)思路解析:由圆x 2+y 2-2ay=0(a>0)圆心(0,a)到直线x+y=l 大于a,且a>0,知选A. 答案:A 5. 圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y ・14=0的最大距离与最小距离的差是()A.36 C. 6A /2 D.5V2 思路解析:圆x 2+y 2-4x-4y-10=0的圆心为(2,2),半径为32,圆心到直线x+y-14=0的距离为A.x-y=0 B ・x+y=0C.x=0D.y=0D. ]勺产=25，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2皿，选C 答案:C6.过坐标原点且与x2+y2-4x+2y+|=0相切的直线的方程为()A.y=-3x 或y冷兀B.y=-3x 或y= _ §兀C.y=・3x 或y=—丄兀D.y=3x 或y= — x思路解析:过坐标原点的直线为尸kx,与圆x2+y2-4x+2y+-=0相切，则圆心(2,・1)到直线方程的距离等于半径亟，则呼+ H = 迥懈得心丄或k=3,・・・切线方程为y=-3x或尸丄尢,选2 23 3A.答案:A7._______________________________________________________ 已知圆x2-4x-4+y2=0的圆心是点P,则点P到直线x・y・l=O的距离是____________ .思路解析:将圆的方程配方得(x・2)2+y2=8,所以圆的圆心为P(2, 0),由点到直线距离公式得」|2-0-1| V2d= ------ F= ----- = --------- .答案座2&圆x2+y2-4x+2y+C=0与y轴交于A、B两点，圆心为P,当ZAPB=—时，C= _____________ 思路解析:将x=0代入圆方程得y2+2y+C=0,故弦长为I AB I = I y r y2 I = J(y】+『2尸"yy = 丁4・4C .又ZAPB=—, I AB I =y[2r — J2(5 _ C).A4-4C=2(5-C). ・・・C二3.答案:・3综合•应用9•自原点O作圆(x-l)2+y2=l的不重合两弦OA、OB,若|OA|・|OB|=k(定值)，那么不论A、B 两点位置怎样，直线AB恒切于一个定圆，并求出定圆方程.思路解析:研究直线与圆的位置关系，要善于运用“设而不求''的思想，结合根与系数的关系去解决问题.解:设A、B两点坐标分别为(xi，y】)、(X2, y2)，则|OA|・|OB|=・：X]X2= k 2 ~4J 彳 + )彳•屆+y ； =&： +[—(西 一1)訂・ Jx ； +[1 —(£ 一1)訂=』4西兀2 =k ・ 设直线AB 的方程为y=mx+b, 代入已知圆的方程并整理，得 (l+m 2)x 2+2(mb-l)x+b 2=0. 2由韦达定理，得X]X 2= 一-―-.14-771 b 2 = k 21 + m2 4•・・原点O 到直线mx ・y+b=O 的距离为,1 -\-rn~b ， k~ k~r 2= ------- =—(定值).・，・直线AB 恒切于定圆x 2+y 2=— 1 + /T 4 410.已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2,②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3： 1.在满足 条件①②的所有圆中，求圆心到直线1： x-2y=0的距离最小的圆方程.思路解析:要求圆的方程，可以设圆的圆心坐标和圆的半径，利用待定系数法求解.利用题小 所给的弦长条件、点到直线的距离及直角三角形条件来列式求解.解：(方法一)设圆心为P(a, b),半径为r,则P 点到x 轴、y 轴的距离分別是|b|和|a|.由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90。

第三章一、选择题．直线－＝在轴、轴上的截距分别为( )．．，－．－，－．－[解析]将－＝化成直线截距式的标准形式为＋＝，故直线－＝在轴、轴上的截距分别为、－.．已知点(，－)、()，若线段的垂直平分线的方程是＋＝，则实数的值是( )．－．－．．[解析]由中点坐标公式，得线段的中点是(，)．又点(，)在线段的垂直平分线上，所以＋＝，所以＝，选．．如右图所示，直线的截距式方程是＋＝，则有( )．>，>．>，<．<，>．<，< [解析]很明显()、(，)，由图知在轴正半轴上，在轴负半轴上，则>，<.．已知△三顶点()、()、()，为中点，为中点，则中位线所在直线方程为( )．＋－＝．－＋＝．＋－＝．－－＝[解析]点的坐标为()，点的坐标为()，由两点式方程得＝，即＋－＝.．如果直线过(－，－)、()两点，点(，)在直线上，那么的值为( )．．．．[解析]根据三点共线，得＝，得＝.．两直线－＝与－＝的图象可能是图中的哪一个( )[解析]直线－＝化为＝－，直线－＝化为＝－，故两直线的斜率同号，故选．．已知、两点分别在两条互相垂直的直线＝和＋＝上，且线段的中点为(，)，则直线的方程为( )．＝－＋．＝－．＝＋．＝－－[解析]依题意，＝，()．设()、(－，)，则由中点坐标公式，得(\\(－＝＋＝))，解得(\\(＝＝))，所以()、(－)．由直线的两点式方程，得直线的方程是＝，即＝＋，选．．过(，－)且在坐标轴上截距相等的直线有( )．条．条．条．条[解析]解法一：设直线方程为＋＝(－)(≠)．令＝得＝，令＝得＝－－.由题意，＝－－，解得＝－或＝－.因而所求直线有两条，∴应选．解法二：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为()，(，)，≠，则直线方程为＋＝，把点(，－)的坐标代入方程得＝.∴所求直线有两条，∴应选．二、填空题．已知点(－－)在经过(，－)、(－)两点的直线上，则＝[解析]解法一：的直线方程为：＝，即＋－＝，代入(－－)得＝.解法二：、、三点共线，∴＝，解得＝.．(～·衡水高一检测)已知直线的斜率为，且在两坐标轴上的截距之和为，则此直线的方程为－＋＝[解析]设：＝＋，令＝得＝－.由条件知＋＝，∴＝.∴直线方程为＝＋.解法：设直线：＋＝，变形为＝－＋.由条件知(\\(－()＝，＋＝，))解得(\\(＝，＝－)).∴直线方程为＋＝.即－＋＝.三、解答题．求分别满足下列条件的直线的方程：()斜率是，且与两坐标轴围成的三角形的面积是；()经过两点()、()；()经过点(，－)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．[解析]()设直线的方程为＝＋.令＝，得＝－，∴·(－)＝，＝±.。

学业分层测评（二十四）(建议用时：分钟)[达标必做]一、选择题．已知两圆的圆心距是，两圆的半径分别是方程－＋＝的两个根，则这两个圆的位置关系是( )．外离．外切．相交．内切【解析】由已知两圆半径的和为，与圆心距相等，故两圆外切．【答案】．半径为且与圆＋－＋＝相切于原点的圆的方程为( )．＋－－＝．＋＋－＝．＋＋＋＝．＋－－＝或＋－＋＝【解析】已知圆的圆心为(，－)，半径为，所求圆的半径也为，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－)，可知选.【答案】．点在圆：＋－－＋＝上，点在圆：＋＋＋＋＝上，则的最小值是( ) ．．．－．＋【解析】圆：＋－－＋＝，即(－)＋(－)＝，圆心为()；圆：＋＋＋＋＝，即(＋)＋(＋)＝，圆心为(－，－)，两圆相离，的最小值为－(＋)＝－.【答案】．设两圆、都和两坐标轴相切，且都过点()，则两圆心的距离＝( )．．．．【解析】∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点()，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(，)，(，)，则有(－)＋(－)＝，(－)＋(－)＝，即，为方程(－)＋(－)＝的两个根，整理得－＋＝.∴＋＝，＝，∴(－)＝(＋)－＝－×＝.∴＝＝＝.【答案】．过点()向圆：＋＝上作两条切线，，则弦所在的直线方程为( )．－－＝．＋－＝．＋－＝．－－＝【解析】弦可以看作是以为直径的圆与圆＋＝的交线，而以为直径的圆的方程为(－)＋＝.根据两圆的公共弦的求法，可得弦所在的直线方程为：(－)＋－－(＋－)＝，整理可得＋－＝，故选.【答案】二、填空题．过两圆＋－－－＝与＋＋－－＝的交点和点()的圆的方程是．【解析】设所求圆的方程为(＋－－－)＋λ(＋＋－－)＝(λ≠－)，将()代入得λ＝－，故所求圆的方程为＋－＋＋＝.【答案】＋－＋＋＝．两圆相交于两点()和(，－)，两圆圆心都在直线－＋＝上，则＋的值为．【解析】由题意知，线段的中点在直线－＋＝上，且＝＝－，即＝，又点在该直线上，所以－＋＝，所以＝－，所以＋＝.【答案】三、解答题．求圆心为()且与已知圆＋－＝的公共弦所在直线经过点(，－)的圆的方程．【解】设所求圆的方程为(－)＋(－)＝，即＋－－＋－＝，①已知圆的方程为＋－＝，②。

4．2直线、圆的位置关系第30课时直线与圆的位置关系对应学生用书P85知识点一直线与圆位置关系的判断A．相离B．相交C．相切D．无法判定答案C解析由圆的方程可得圆心坐标为(2，3)，半径r＝1，所以圆心到直线3x＋4y－13＝0的距离d＝|6＋12－13|5＝1＝r，则直线与圆的位置关系为相切，故选C．2．直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．不确定答案 C解析将直线ax－y＋2a＝0化为点斜式得y＝a(x＋2)，知该直线过定点(－2，0)．又(－2)2＋02<9，故该定点在圆x2＋y2＝9的内部，所以直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9必相交．故选C．3．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0截得的弦长为()A． 3 B．2 C． 6 D．2 3答案 D解析过原点且倾斜角为60°的直线方程为y＝3x，圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心(0，2)到直线的距离d＝|3×0－2|(3)2＋(－1)2＝1，由垂径定理知所求弦长为l＝222－12＝23，故选D．4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为()A．－1或 3 B．1或3 C．－2或6 D．0或4答案D解析圆的半径r＝2，圆心(a，0)到直线x－y－2＝0的距离d＝|a－2|2，由⎝⎛⎭⎪⎫|a－2|22＋(2)2＝22得a＝0或a＝4．故选D．知识点二直线与圆相交的有关问题5．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为23，则直线的斜率为()A． 3 B．±3 C．33D．±33答案 D解析因为直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为23，所以圆心C(2，3)到直线的距离为d＝4－(3)2＝1，所以|2k－3＋3|k2＋1＝|2k|k2＋1＝1，解得k＝±33，故选D．6．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则直线l的方程为________．答案x－y＋5＝0解析由圆的一般方程可得圆心M(－1，2)．由圆的性质易知M，C两点的连线与弦AB垂直，故有k AB·k MC＝－1⇒k AB＝1，故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0．知识点三切线问题7．与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线共有() A．1条B．2条C．3条D．4条答案 C解析圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2．可分为两种情况讨论：(1)直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则|2k|1＋k2＝2，解得k＝±1；(2)直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为xa＋ya＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则|2－a|2＝2，解得a＝4(a＝0舍去)．因此满足条件的直线共有3条．8．已知圆x2＋y2＝25，求：(1)过点A(4，－3)的切线方程；(2)过点B(－5，2)的切线方程．解(1)∵点A(4，－3)在圆x2＋y2＝25上，∴过点A的切线方程为4x－3y－25＝0．(2)∵点B(－5，2)不在圆x2＋y2＝25上，当过点B(－5，2)的切线斜率存在时，设所求切线方程为y－2＝k(x＋5)，即kx－y＋5k＋2＝0．由|5k＋2|k2＋1＝5，得k＝2120．∴此时切线方程为21x－20y＋145＝0．当过点B(－5，2)的切线斜率不存在时，结合图形可知，x＝－5也是切线方程．综上所述，所求切线方程为21x－20y＋145＝0或x＝－5．对应学生用书P85一、选择题1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离 答案 B解析 ∵圆心到直线的距离d ＝11＋1＝22<1，又直线y ＝x ＋1不过圆心(0，0)，∴直线与圆相交但直线不过圆心．2．已知点(a ，b)在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ≠0)的外部，则直线ax ＋by ＝r 2与C 的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．相交D ．不确定 答案 C解析 由已知a 2＋b 2>r 2，且圆心到直线ax ＋by ＝r 2的距离为d ＝r 2a 2＋b 2，则d<r ，故直线ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系是相交．3．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a)2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1，3]C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．[－3，1] 答案 D解析 将直线方程与圆方程联立⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，(x －a )2＋y 2＝2，消去y 得2x 2＋(2－2a)x ＋a 2－1＝0．因为直线与圆有公共点，所以Δ≥0，解得－3≤a ≤1，故选D ．4．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点P(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6 答案 B解析 如右图所示，设圆的圆心为M ，则M(3，4)，半径r ＝5．当过点P 的直线过圆心M 时，对应的弦AC 是最长的，此时，|AC|＝2r ＝10；过点P 的直线与MP 垂直时，对应的弦BD 最小，此时在Rt △MPD 中，|MD|＝r ＝5，|MP|＝1，故|BD|＝2|MD|2－|MP|2＝46． 此时四边形ABCD 的面积为： S ＝12|AC|·|BD|＝206．5．圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 C解析 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心为(－1，－2)，半径为22，所以圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离为|－1－2＋1|2＝2<22，结合图形知满足条件的点有3个．二、填空题6．已知过原点的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则直线l 的斜率为________．答案 ±255解析 由题意点A 在圆O 上，知直线的斜率存在，设直线方程为y ＝kx ，代入圆的方程化简得(1＋k 2)x 2－6x ＋5＝0，判别式Δ＝36－20(1＋k 2)＝0，解得k ＝±255．7．过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________．答案 y ＝2x解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝1，即圆心为(1，2)，半径长为1． 设所求直线的方程为y ＝kx(由题意易得直线的斜率存在)，即kx －y ＝0． 由于直线与圆相交所得弦的长为2，圆的半径长为1，即圆心在直线kx －y ＝0上，于是k －2＝0，即k ＝2．故所求直线的方程为y ＝2x ．8．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A(1，2)，则过点A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．答案25 4解析由题意点A在圆O上，可直接求出切线方程为y－2＝－12(x－1)，即x＋2y－5＝0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和52，所以所求面积为12×52×5＝254．三、解答题9．已知两平行直线4x－2y＋7＝0，2x－y＋1＝0间的距离等于坐标原点O到直线l：x－2y＋m＝0(m>0)的距离的一半．(1)求m的值；(2)判断直线l与圆C：x2＋(y－2)2＝15的位置关系．解(1)2x－y＋1＝0可化为4x－2y＋2＝0，则两平行直线4x－2y＋7＝0，2x－y＋1＝0之间的距离为|7－2|42＋(－2)2＝52，则点O到直线l：x－2y＋m＝0(m>0)的距离为|m|5＝5，∴m＝5．(2)圆C：x2＋(y－2)2＝15的圆心C(0，2)，半径r＝55，∵点C到直线l的距离为|0－4＋5|5＝55，∴直线l与圆C相切．10．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)．(1)求证：直线l过定点A(3，1)，且直线l与圆C相交；(2)求直线l被圆C截得的弦长最短时的方程．解(1)证明：将点A(3，1)代入直线l的方程，得左边＝3(2m＋1)＋(m＋1)＝7m＋4＝右边，所以直线l过定点A．因为|AC|＝(3－1)2＋(1－2)2＝5＜5，所以点A在圆C内，所以对任意的实数m，直线l与圆C恒相交．(2)由平面几何的知识可得，直线l被圆C截得的弦长最短时是与直径AC垂直，因为k AC＝2－11－3＝－12，所以此时直线l的斜率为k l＝2，所以直线l的方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0．。