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华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2009学年第2学期 考试科目： 高等数学B Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间：120分钟学号 姓名 年级专业一、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. 试定义函数在点的值的 ，使得函数在该点连续。
2．函数在点处可微分的必要条件是函数在该点处连续或可偏导；充分条件是函数的偏导数在该点处连续。
3．设函数在闭区域上连续，且，则。
4. 判断敛散性：已知且，则是收敛的。
5. 已知某二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为，则该微分方程为。
二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 直线与平面的交点是（B ）。
（A ）（9，2，-3）。
（B ）（2，9，11）。
（C ）（2，11，13）。
（D ）（11，9，2）。
2. 若级数在处收敛，则此级数在处（A ）。
（A ）绝对收敛。
（B ）条件收敛。
（C ）发散。
（D ）收敛性不能确定。
3．二元函数 在点处 （C ）（A ）连续，偏导数存在。
（B ）连续，偏导数不存在。
（C ）不连续，偏导数存在。
（D ）不连续，偏导数不存在。
4. 设是连续的奇函数，是连续的偶函数， ，则以下结论正确的是（ A ）。
（A ） 。
（B ） 。
（C ） 。
（A ） 。
5. 微分方程的一个特解应具有形式（A,B,C 是待定常数）（ B ）。
（A ）。
（B ）。
（C ）。
（D ）。
三、计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） （1）设，其中和具有连续导数，求。
【解】（2）求由方程所确定的函数的全微分。
【解】方程两边求微分得 整理得（3）交换积分次序。
【解】（4）求差分方程在给定初始条件下的特解。
【解】特征方程为，所以对应的齐次方程的通解为。
又不是特征根，故可令特解为，代入原方程，得比较系数可得，，故非齐次方程的一个特解为，于是非齐次方程的通解为，由所给初始条件，可得，所以方程满足给定初始条件下的特解为。
北京科技大学2009--2010学年第二学期高 等 数 学A(II) 试卷（A 卷）院(系) 班级 学号 姓名 考场说明: 1、要求正确地写出主要计算或推导过程, 过程有错或只写答案者不得分； 2、考场、学院、班、学号、姓名均需写全, 不写全的试卷为废卷; 3、涂改学号及姓名的试卷为废卷；4、请在试卷上答题，在其它纸张上的解答一律无效.一、填空题（本题共20分，每小题4分）1．设¶||5, ||3, (,)6a b a b = =r r r r , 则以2a b r r 和3a b r r 为边的平行四边形的面积为 ．2．设函数(,)f x y 可微, (0,0)0,(0,0),(0,0),()(,(,))x y f f m f n t f t f t t = = , 则(0) =．3．设:||||,||1D y x x , 则22()d Dx y + ． 4. 设L 为正向椭圆周22221x y a b + , 则()d (2)d L x y x x y y + + Ñ ．5. 设32e x z y =, 则(2,1)grad z = ．装 订 线 内 不 得 答 题 自 觉 遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不 作 弊二、选择题（本题共20分，每小题4分）6．已知三平面123:5210,:32580,:42390,x y z x y z x y z + + = + 则必有（ ）.(A) 12// (B) 12 (C) 13 (D) 13//7．设222222221()sin , 0(,)0, 0x y x y x y f x y x y + + += +，则(,)f x y 在(0,0)处（ ）.(A) 两个一阶偏导数不存在 (B) 两个一阶偏导数存在, 但不可微 (C) 可微, 但两个一阶偏导数不连续 (D) 两个一阶偏导数连续 8．二重积分221d x y x y +（ ）.(A) 67 (B) 34 (C) 65 (D) 129．设 为球面2221x y z + +的外侧, 则222d d xy z x y z=+Ò( ).(A)221d y z y z +(B)221d y z y z +(C) 0 (D) 4310． 已知ln x y x =是微分方程y y y x x = 的解, 则y x的表达式为（ ）. (A) 22y x (B) 22y x(C) 22x y (D) 22x y48分，每小题8分）11. 设() 11()()()d 22x atx atu x at x at a + = + + , 其中 与 具有连续的二阶导数, a 是不为零的常数, 求22222u u a t x. 12．设222()()d d ()d d ()d d f t x t y z y t z x z t x y=+ + Ò, 其中积分曲面22:x y 22 (0)z t t + =取外侧, 求()f t .13．设()f x 为连续函数, 1()d ()d t tyF t y f x x =, 求(2)F .14．利用柱坐标计算2222 122()d d x y I x y x z=.15．设函数()f y 具有一阶连续导数, 计算[()e 3]d [()e 3]d x x Lf y y x f y y +, 其中(1)f =(3)0f =, L 为连接(2,3)A , (4,1)B 的任意路线¼AmB , 它在线段AB 的下方且与AB 围成的图形的面积为5.16．计算d S z, 其中 是球面2222x y z a + +被平面(0)z h h a = <所截出的顶部．四、（本题共12分，每小题6分）17．已知曲线()y y x =过原点, 且在原点处的切线垂直于直线210x y + ,()y x 满足微分方程25e cos 2x y y y x +, 求此曲线方程.18．求微分方程21xy ay x + =满足的初始条件(1)1y =的解(,)y x a , 其中a 为参数, 并证明: 0lim (,)a y x a 是方程 21xy x = 的解.。
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2009~2010学年第2学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程'220y y x ---=是（ ）A ．齐次方程B ．可分离变量方程C ．一阶线性方程D ．二阶微分方程2．过点(1,2,--且与直线25421x y z +-==-垂直的平面方程是（ ）A ．4250x y z +-+=B ．4250x y z ++-=C ．42110x y z +-+=D ．42110x y z ++-= 3．设(,)ln()2yf x y x x=+，则(1,1)y f =（ ） A ．0 B ．13 C ．12D ．24．若lim 0n n u →∞=，则级数1n n u ∞=∑（ ）A ．可能收敛，也可能发散B ．一定条件收敛C ．一定收敛D ．一定发散5．下列级数中发散的是（ ）A ．112n n ∞=∑ B ．11(1)n n ∞-=-∑ C ．n ∞= D ．n ∞= 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程"4'50y y y -+=的通解为______。
（今年不作要求）2．设有向量(4,3,0),(1,2,2)a b ==-，则2a b +=____________________。
3．设有向量(1,1,0),a b ==-，它们的夹角为θ，则c o s θ=____________________。
4．设x z y =，则dz =____________________。
5．设L 是圆周229x y +=（按逆时针方向绕行），则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy -+-⎰的值为____________________。
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1．已知arctan x z y =，求2,z z x x y∂∂∂∂∂。
北京邮电大学2009——2010学年第二学期高等数学复习题一. 填空题（每小题3分，共15分）.1. 设,sin y x e u x-=则yx u∂∂∂2在点)1,2(π的值为_____2)(e π_________. （8章）2. 设方程x y e xycos 2=+确定y 为x 的函数, 则dx dy =___yxe xye xy xy 2sin ++-____（8章）3.设二元函数),1ln()1(y x xe z y x +++=+则._________)0,1(=dz dy e edx )2(2++ （8章）4微分方程20y y y '''+-=的通解为212.x xy C e C e -=+ . （9章） 5微分方程2442x y y y xe '''-+=的一个特解形式可以设为 *222()xy x Ax Bx C e =++（9章6设函数2xy z x e -=-,则z zx y∂∂+=∂∂ 2()xy x x y e -++ . （9章） 7. 定积分dx x ⎰-11||=1 . （5章）8. 微分方程015'2''=-+y y y 的通解是x x e c e c y 3251+=- （8章） 9. 若x dt t f t x xcos 1)()(0-=-⎰，则dt t f )(20⎰π= 1 .10设y xy z )1(+=，则=∂∂)1,1(x z1 . （8章）11设)123ln(222++-=z y x u ，则(0,0,0)|du = 0 . （8章） 12.3111_________.2dx x +∞=⎰（数一考） （5章） 13. 设()22ln y x z +=，则=∂∂==11y x xz， ________________________． （8章）解：由()22ln y x z +=，得222y x xx z +=∂∂，所以，12112211=+=∂∂====y x y x y x xx z ，，14. 微分方程y y y x ln ='的通解为_____________________________．(9章) 解： 这是一个可分离变量的微分方程，由y y y x ln ='，得xdxy y dy =ln ， 两端积分，得⎰⎰=xdxy y dy ln ，得()Cx C x y ln ln ln ln ln =+=． 所以，Cx y =ln ，即Cxe y = （C 为任意常数）．15. 设()()xy xy z 2cos sin +=，则=∂∂yz_____()()()xy xy x xy x sin cos 2cos -__．（8章） 16. 微分方程x x y sin +=''的通解为=y ______213sin 61C x C x x ++-________________． 二．单选题（每小题3分，共15分）.1.抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围图形的面积为（ D ）（6章） A ． 12 B 14 C 16 D 182.已知三点,),,(),,,(,),,(742543321C B A 则三角形 ABC 的面积为（ A ）（7章）A 、14B 、32C 、13D 、4 3. 曲线 )40(2cos 0π≤≤=⎰x dt t y x的弧长为（ A ）. （6章）A. 1B. 2C.21 D. 12-4方程56e x y y y x -'''-+=的一个特解可设为( D ). （9章）（A ） 12()e x yx c x c -=+ （B ） 212()e x y x c x c -=+ （C ） 2312e e x x yc c =+ （D ） 12()e x y c x c -=+ 5. 微分方程x e x y y y 2323-=+'-''的特解*y 的形式为=*y 【 D 】． （微分方程） （A ）．()x e b ax +； （B ）．()x xe b ax +； （C ）．()xce b ax ++； （D ）．()xc x eb ax ++．解：微分方程xe x y y y 2323-=+'-''对应的齐次微分方程是023=+'-''y y y ，因此其特征方程为0232=+-r r ．得其解为2,121==r r ．因此微分方程x e y y y 223-=+'-''有形如x cxe y =*2．的特解．又微分方程x y y y 323=+'-''有形如b ax y +=*1．的特解．所以，微分方程x e x y y y 2323-=+'-''有形如()x cxe b ax y y y ++=+=**21*的特解．6.．函数()y x f ，在点()00y x ，处连续是函数()y x f ，在该点处存在偏导数的【 D 】． （8章） （A ）．充分条件； （B ）．必要条件；（C ）．充分必要条件； （D ）．既不是必要，也不是充分条件．解：由二元函数()y x f ，的可导性与连续性之间的关系，可知：函数()y x f ，在点()00y x ，处连续是函数()y x f ，在该点处存在偏导数的既非必要，也非充分条件．7、可微的充分条件为（ A ）； （8章）A 、 的偏导数均连续B 、连续C 、的偏导数均存在D 、连续且均存在8 的通解为（ A ）；A 、B 、C 、D 、9 的通解为（ D ）； （9章）A 、B 、C 、D 、10、微分方程的通解为（ B ）。
⾼数期中试题及解答武汉⼤学电信学院2009－2010学年第⼆学期⾼等数学期中考试试卷1．（6分）求过点(2,1,3)M 且与直线11321x y z+-==-垂直相交的直线⽅程。
2．（6分）给出平⾯lx my nz p ++=与⼆次曲⾯2221Ax By Cz ++=相切的条件并说明理由。
3．（12分）设函数arctan ,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),y x y f x y x y ì??1??=í??=，问在原点(0,0)处：（1）偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？（3）是否可微？均说明理由。
4．（6分）设()z xy xF u =+，其中F 为可微函数，且yu x=，试证明：z zxy z xy x y抖+=+抖。
5．（6分）设⽅程(,)z xy f xz yz +=确定可微函数(,)z z x y =，求zx。
6．（9分）设函数(,)u x y 满⾜0xx yy u u -=且(,2)u x x x =，2(,2)x u x x x =，求(,2)xx u x x ，(,2)xy u x x ，(,2)yy u x x 。
7．（8分）已知点(1,0,1)P -与(3,1,2)Q ，在平⾯212x y z -+=上求⼀点M ，使得PM MQ +最⼩。
8．（6分）设D 是矩形域：0xp＃，0y p ＃，计算⼆重积分max{,}sin sin d d Dx y x y x y 蝌。
=+++蝌?，其中W 是由平⾯1x y z ++=与三个坐标⾯所围成的空间区域。
10．（6分）设空间区域222:1x y z W ++?，0z 3，求2()x z dxdydz W+蝌?。
11．（6分）计算dDI x y =蝌，其中D 是由曲线4236x y xy 骣÷?+=?÷桫在第⼀象限中所围成的区域。
12．（6分）设(,)f x y 为连续函数,且(,)(,)f x y f y x =，证明：1100(,)(1,1)x x dx f x y dy dx f x y dy =--蝌蝌。
2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案2009 至 2010 学年度第 2 期 高等数学（下）课程考试试题册A试题使用对象 ： 2009 级 理科各 专业(本科)命题人： 考试用时 120 分钟 答题方式采用：闭卷说明：1．答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整．2．考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废．一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1．已知(2,1,),(1,2,4)a mb ==r r，则当m = 时，向量a b⊥r r ．2．(,)(2,0)sin()limx y xy y →= ．3．设区域D 为22y x +≤x 2，则二重积分Dd σ=⎰⎰ ．4．函数(,),(,)P x y Q x y 在包含L 的单连通区域G 内具有一阶连续偏导数，如果曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰与路径无关，则(,),(,)P x y Q x y 应满足条件 ．5． 当p 时，级数211pn n +∞=∑收敛．二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分）1．直线221:314x y z L -+-==-与平面:6287x y z π-+=的位置关系是 ．A ．直线L 与平面π平行；B ．直线L 与平面π垂直；C ．直线L 在平面π上；D ．直线L 与平面π只有一个交点，但不垂直．2． 函数(,)f x y 在点(,)x y 可微分是(,)f x y 在该点连续的（ ）．A ．充分条件； B. 必要条件； C. 充分必要条件； D. 既非充分也不必要条件 3．改变积分次序，则100(,)y dy f x y dx⎰⎰．A ．1(,)xdx f x y dy ⎰⎰； B ．11(,)dx f x y dy ⎰⎰；C ．11(,)x dx f x y dy ⎰⎰；D ．11(,)xdx f x y dy ⎰⎰4．下列级数中收敛的是 ． A ．∑∞=+1884n n nn B ．∑∞=-1884n n nn C ．∑∞=+1824n n nnD ．1248n nn n ∞=⨯∑．5．级数1...-++A. 发散B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 既绝对收敛又条件收敛 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）． 1．设sin uz e v=，而u xy =，v x y =- 求xz ．2．设22(,tan())u f x y xy =-，其中f 具有一阶连续偏导数，求yz ． 3．求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面方程及法线方程． 4．计算 22Dx d y σ⎰⎰，其中D 是由直线y x =．2x =和曲线1xy =所围成的闭区域． 5．计算L⎰，其中L 是圆周222x y a +=（0a >）．6．计算22()(sin )Lxy dx x y dy--+⎰，其中L 是上半圆周y =x 轴所围区域的边界，沿逆时针方向．7．将函数1()3f x x =+展开成(3)x -的幂级数． 8．计算曲面积分xydydz yzdzdx xzdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为1x y z ++=，0,x =y =，0z =所围立体的外侧．9．求抛物面22z xy =+到平面10x y z +++=的最短距离．2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程试题A 参考答案试题使用对象： 2009 级 理科各专业(本科) 向瑞银一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1. 1-； 2. 2； 3. π； 4.y P ∂∂=xQ ∂∂； 5.12p >二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分） 1．B ； 2．A ； ３．D ； ４．C ； ５．C 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）．1．z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂……4分sin cos u u ye v e v=+(sin()cos())xy e y x y x y =-+-……7分 2．2212()(tan())y y uf x y f xy y∂''''=⋅-+∂ ……4分2122sec ()()yyf f xy xy '''=-+2122sec ()yf xf xy ''=-+……7分 3． 令22(,,)1F x y z xy z=+--，则法向量(2,2,1)n x y =-r，(2,1,4)(4,2,1)n=-r ……3分在点(2,1,4)处的切平面方程为 4(2)2(1)(4)0x y z -+---=．即4260x y z +--=． (6)分法线方程为214421x y z ---==-． ……8分 4．22Dx d yσ⎰⎰22121xxx dx dy y=⎰⎰……4分221/11()x xx dxy=-⎰……6分231()x x dx =-⎰322111()42x x =-94=……8分5．令cos ,sin x a y a θθ==，则sin ,cos x a y a θθ''=-=，ds θ=ad θ= ……3分20a Le ad πθ=⎰⎰ ……6分＝2aae π ……8分6．2P xy=-，1P y ∂=-∂ ，2(sin )Q x y =-+，1Q x∂=-∂ ， ……4分()0DDQ PI dxdy dxdy x y∂∂=-=∂∂⎰⎰⎰⎰ ……6分=……8分 7．1136(3)x x =++-113616x =-+ ……4分 当316x -<，即 39x -<<时，13x +013()66nn x +∞=-=-∑ ……8分8． ⎰⎰∑++zxdxdy yzdzdx xydydz=()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰……4分 =1110()xx ydx dy x y z dz---++⎰⎰⎰……6分81=……8分9．设抛物面一点(,,)x y z ，它到平面的距离为1d x y z =+++满足条件220x y z +-= ……3分 拉格朗日函数为222(1)()3x y z L x y z λ+++=++- ……5分2(1)203x x y z L x λ+++=+=，2(1)203yx y z Ly λ+++=+=2(1)3z x y z L λ+++=-=，220Lx y z λ=+-=解方程组得，12x y ==-，12z =． 由问题本身知最短距离存在，所以最短距离为0.5,0.5,0.5)d --=6=……8分。
班 级 学 号 姓 名9．()(3)xyLy e dx x e dy -++=⎰ 2ab π ．其中L 是椭圆22221x y a b +=的正向．三、计算题（每小题8分，共64分）10．已知函数ln(u x =,曲线23:x ty t z t =⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩.求(1) 曲线Γ在点(1,1,1)处切线方向的单位向量(沿t 增加方向);(2) 函数ln(u x =在点(1,0,0)处沿(1)所指方向的方向导数的值．解：(1) 切线方向 {}{}211,2,31,2,3t t t == ………………………………2’}1,2,3 …………………………………….4’ (2)ργρβραρρ)cos ,cos ,cos 1(lim 0+=∂∂→u l u ………………….…….….6’ 14131+=…………………………………………….………….8’ 11. 设 sin()0x y e x z ++= 计算,z z x y∂∂∂∂. 解：令(,,)sin()x y F x y z e x z +=+ ………………………….1’(,,)sin()cos()x y x y x F x y z e x z e x z ++=+++ (,,)sin()x y y F x y z e x z +=+ (,,)cos()x y z F x y z e x z +=+..4’1tan()x zF zx z x F ∂=-=--+∂ ………………………….6’tan()zx z y∂=-+∂ ………………………….8’ 12．计算二重积分66cos yxdy dx xππ⎰⎰. 解：66600cos cos x yx x dy dx dx dy x xπππ=⎰⎰⎰⎰ ……………………4’60cos xdx π=⎰601cos 2xdx π==⎰…………………………8’ 13计算三重积分 I zdxdydz Ω=⎰⎰⎰．其中Ω由锥面z =与平面1z =所围成的区域.解：2221x y zI zdxdydz dzzdxdy Ω+≤==⎰⎰⎰⎰⎰⎰…………….4’1304z dz ππ==⎰ ………………8’或解2211x y I zdxdydz dxdy Ω+≤==⎰⎰⎰⎰⎰ …………………..4’()22221112x y x y dxdy +≤=--⎰⎰4π= ………………….8’ 14．设Γ是曲线2222x y z a x y z⎧++=⎨++=⎩,计算 22()x y ds Γ+⎰． 解： 222222()()3x y ds x y z ds ΓΓ+=++⎰⎰ …………………4’ =223a ds Γ⎰ ………………….6’=343a π ………………….8’15．计算32223x dydz xz dzdx y dxdy ∑++⎰⎰，∑为抛物面224z x y =--被平面0z =所截下的部分的下侧.解；作曲面221:0,:4xy z D x y ∑=+≤，朝上。
南京信息工程大学2009-2010（2）高等数学I-2(A)一、填空题：1、L 为圆周224x y +=，计算对弧长的曲线积分⎰+Lds y x 22=8π；2、00(,)0x z x y '=和00(,)0y z x y '=是可微函数(,)z z x y =在点00(,)x y 处取得极值的 必要 （充分、必要、充要）条件；3、级数∑∞=+1312n nn的收敛性为 收敛 ； 4、若222222()()()A y z i z x j x y k =+++++ ，则rotA = 2(,,)y z z x x y ---；5、微分方程2444x y y y x e '''-+=+的特解具有形式22x Ax B cx e ++；二、选择题：1、直线2020x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩与平面1x y z ++=的位置关系是 C ；A 、直线在平面内；B 、平行；C 、垂直；D 、相交但不垂直；2、设f 为可微函数，()x az f y bz -=-，则z za b x y ∂∂+=∂∂ A ；A 、1；B 、a ；C 、b ；D 、b a +； 3、若级数∑∞=1n n u 条件收敛，则级数∑∞=1n n u B ；A ．必收敛B ．必发散C ．必绝对收敛D ．不定4、函数2222,0(,)0,0x y f x y x y +≠=+=⎩A ；A 、处处连续；B 、处处有极限，但不连续；C 、仅在（0，0）点连续；D 、除（0，0）点外处处连续；5、下列微分方程中，通解为)sin cos (212x C x C e y x+=的方程是 B 。
A 、054=-'-''y y y ； B 、054=+'-''y y y ；C 、052=+'-''y y y ；D 、xe y y y 254=+'-''。
三、解答题：1、判断下列级数是绝对收敛，条件收敛还是发散：（1）∑∞=+-1)1)1((n nn n ； （2）∑∞=+-11)1(n np n n ； （3）∑∞=1)(!n n n xn ； （4） +-++-+n n n 10)1(10210112 .解：（1）∑-nn)1(收敛，∑n 1发散，原级数发散；（2）1>p 时绝对收敛，10≤<p 条件收敛，0≤p 发散； （3）当e x <时绝对收敛，e x ≥时发散；（e x u u nn n =+∞→1lim）（4）交错级数，11101>+=+n u u nn n ，{}n u 单调递减；010lim=∞→nn n，由莱布尼兹定理，级数收敛.2、设(,)u u x y =，(,)v v x y =由方程组222200x y uv xy u v ⎧+-=⎨-+=⎩确定，求u x ∂∂，vx ∂∂。
解：方程组两边关于x 求导，得20220u v x v u x xu v y u v x x ∂∂⎧--=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪-+=⎪∂∂⎩；由Cramer 法则，2242()u xv uy x u v ∂+=∂+；2242()v ux vy x u v ∂-=∂+。
3、求1n n x n∞=∑的收敛域与和函数，并求113nn n ∞=⋅∑. 解：收敛域为：[1,1)-；)1ln(11)()()(0010x dx x dx n x dx x s x s x x n nx--=-='='=⎰⎰∑⎰∞=23ln )31(311==∑∞=s n n n.4、将函数1()(1)(2)f x x x =--展开成x 的幂级数.解：11()12f x x x=---， 10111(1)122(1)2n n n x x x ∞+==-=---∑， 1x <. 5、计算2482(1)I xzdydz yzdzdx z dxdy ∑=-++-⎰⎰，其中∑是由,010z yy x =⎧≤≤⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的下侧曲面.解：∑：z =取下侧，补1∑：222,4z x y =+≤取上侧，则)484(1⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑=-+-=+dxdydz z z z I⎰⎰∑-++--=1d d )1(2d d 8d d )4(2yx z x z yz z y xz I⎰⎰≤+--=422)41(2y x dxdy=π24.6、计算222()x y z ds Γ++⎰ ，其中Γ为螺旋线cos ,sin ,x t y t z kt αα===上相应于t 从0到2π的一段弧。
解：222Q 4P x y xy =-，＝－，在4,L P Qxoy y Pdx Qdy y x∂∂=+∂∂⎰面内，＝－从而在xoy 面内与路径无关，取(0,0)O ,则有AO 0,OB:0,x y ==：2222203(2)4(2)4.3LI x y dx xydyx y dx xydy x dx ππ+=--=--==⎰⎰⎰7、 周期为π2的三角波在),[ππ-上的函数表达式为x x f =)(，试将它展开成 傅里叶级数.解：由系数公式，ππππ=+-=⎰⎰-)(100xdx xdx a ；]1)1[(22--=n n n a π；0=n b ； )5cos 513cos 31(cos 42)(22 +++-=x x x x f ππ. 8、求方程25356x e y y y x +-=+'-''的通解.解：对应齐次方程的特征方程为0562=+-r r ，得11=r ，52=r ； （1）x e y y 356-=+'-''，设x Axe y =*1，代入得43=A ； （2）2556x y y =+'-''，设c bx ax y ++=*22，代入得1=a ，512=b ，2562=c ； 通解为2562512432521+++++=x x xe e C e C y x x x .南京信息工程大学2009-2010（2）高等数学I-2(B)一、填空题：1、L 为圆周122=+y x ，计算对弧长的曲线积分ds e L y x ⎰+22=2e π。
；2、设区域1:12D x y ≤+≤，则积分⎰⎰22Dln(x +y )dxdy 的符号为 > 0； 3、函数u x y z =++在球面2221x y z ++=上点(0,0,1)处，沿球面在该点的外法线方向的方向导数是 1 ；4、∑∞=⋅14n nnn x 的收敛域为)4,4[- ； 5、若2332y A x yi e zj x zk =++ ，则(1,0,2)divA= 4；二、选择题：1、曲面),(y x f z =上对应于点),,(000z y x 处与z 轴正向成锐角的法向量n可取为 D ； A 、()),(),(10000y x f y x f y x ''； B 、()1),(),(0000y x f y x f y x ''；C 、()1),(),(0000-''y x f y x f y x ；D 、()1),(),(0000y x f y x f y x '-'-；2、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处连续是它在该点偏导数存在的 D ；A 、必要而非充分条件；B 、充分而非必要条件；C 、充分必要条件；D 、既非充分又非必要条件；3、设D 是以原点为圆心，R 为半径的圆围成的闭区域，则σ=⎰⎰Dxy d C ；A 、44R ；B 、43R ；C 、42R ； D 、4R ；4、对级数∑∞=1n n u ，0lim =∞→n n u 是它收敛的 A 条件；A ．必要非充分B ．充分非必要C ．充要D ．即非充分也非必要5、设31,0()1,0x f x x x ππ--≤≤⎧=⎨+<≤⎩以2π为周期，()s x 为()f x 的Fourier 级数的和函数，则 A ；A 、(0)0s =B 、3()1s ππ=+C 、()1s π-=-D 、(4)1s -=-三、解答题：1、判断下列数项级数的敛散性：（1）∑∞=>>+1)0,0(1n b a b na ； （2）∑∞=⋅121n nn ； （3）∑∞=1)sin(ln n n ； （4）∑∞=-+02)1(2n nn. 解：（1）)2(111≥⋅+>+n nb a b na ，由比较原则，原级数发散； （2）121lim1<=+∞→nn n u u ，由比值法，原级数收敛；（3）)sin(ln lim n n ∞→不存在，原级数发散；（4）1212)1(2lim <=-+∞→n n nn ，原级数收敛. 2、求函数2()xF x e d ξξ-=⎰的幂级数展开式.解： +-+++-=-!)1(!212422n enn ξξξξ，逐项积分，得35211(1)()32!5!21n n x x x F x x n n +-=-+⋅++⋅++ . 3、设函数3u x y =，而x 、y 由方程5x y t +=与232x y t +=确定，求dudt。
解：5232x y t x y t ⎧+=⎨+=⎩确定了()()x x t y y t =⎧⎨=⎩， 方程组两边关于x 求导，得：4251232dx dy x dt dtdx dy x y t dtdt ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩；由Cramer 法则，24232152dx y t dt x y x -=-；442102152dy x t xdt x y x -=-； 222342[3(32)2(51)]152du u dx u dy x y y t x x t dt x dt y dt x y x∂∂-+-=+=∂∂-。
4、计算I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++⎰⎰，其中∑是z =1－x 2－y 2在xoy 面上方的部分曲面的上侧.解：补1∑：220,1z x y =+≤取上侧，则10xdydz ydzdx zdxdy ∑++=⎰⎰，由高斯公式，2121101203336(1),2r dxdydz d rdr dz r r dr πθππ-∑+∑Ω===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1132π∑∑+∑∑=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.5、设曲线积分2()Lxy dx y x dy φ+⎰与路径无关, 其中φ具有连续的导数且(0)0φ=，计算(1,1)2(0,0)()xy dx y x dy φ+⎰。
解：2(,),P x y xy = (,)(),Q x y y x φ= 2()2,P xy xy y y ∂∂==∂∂ [()](),Q y x y x x x φφ∂∂'==∂∂积分与路径无关P Qy x∂∂=∂∂，由()2y x xy φ'= 2()x x c φ⇒=+ 由(0)0φ=，知0c = 2()x x φ⇒=. 故(1,1)2(0,0)()xy dx y x dy φ+⎰110dx ydy =+⎰⎰ 12=。
