shzx1925 梯形3 习题课

1．掌握等腰梯形的性质定理、判定定理，并能应用这些定理进行计算和证明；2．会添加适当的辅助线，将等腰梯形问题转化成三角形、平行四边形等熟知的几何图形来解决问题．（此环节设计时间在10-15分钟）教法说明：首先回顾上次课的预习思考内容，归纳总结梯形的性质与判定． 1．在箭头上填上适当的条件2．回顾等腰梯形的性质与判定，完成下表：边 角 对角线 对称性等腰梯形 两底平行 两腰相等同底上的两底角相等对角线相等轴对称等腰梯形的判定方法 边 两腰相等的梯形 角 同底上两底角相等的梯形 对角线对角线相等的梯形练习一组对边平行，另一组对边不平行有一个角是直角两腰相等四边形梯形直角梯形等腰梯形1．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，有如下四个结论：①AC ＝BD ； ②AC ⊥BD ； ③等腰梯形ABCD 是中心对称图形； ④△AOB ≌△DOC ．则正确的结论是（ ） A 、①④ B 、②③ C 、①②③ D 、①②③④2．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝65°，∠C ＝75°，则∠D ＝________，∠A ＝_______．3．如图，在梯形ABCD 中，如果AD ∥BC ，AB ＝CD ，∠B ＝60°，AC ⊥AB ，那么∠ACD ＝ ___ ___．参考答案：1．A ； 2．105°，115°； 3．30°．（此环节设计时间在50-60分钟）例题1：已知：如图，AM 是△ABC 的中线，D 是线段AM 的中点，AM ＝AC ，AE ∥BC ． 求证：四边形EBCA 是等腰梯形．证明：∵AE ∥BC ，∴∠AED ＝∠MCD ，∠EAD ＝∠CMD ．∵AD ＝MD ，∴△AED ≌△MCD ． ∴AE ＝CM ．∵BM ＝CM ，∴AE ＝BM ．∴四边形AEBM 是平行四边形． ∴EB ＝AM ．而AM ＝AC ，∴EB ＝AC ．∵AE ∥BC ，EB 与AC 不平行，∴四边形EBCA 是梯形． ∴梯形EBCA 是等腰梯形．例题2：（1）在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，其中AB ＝4，CB ＝8，AD ＝2，则腰CD 的取值范围是__________．参考答案：210CD <<（平移一条腰，构造平行四边形和三角形）（2）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且∠B ＋∠C ＝90°，E 、F 分别是两底的中点，联结EF ，若AB ＝8，ODABCCDABD B ACEDBAC DMAEBC参考答案：（1）点B 坐标为（4，8）， ()()108041022=-+-=AB由28410105+++=+t ，得t ＝11 ；此时点P 在CB 上（2）证法一：作OF ⊥AB 于F ，BE ⊥OA 于E ，DH ⊥AB 于H ，则 BE ＝OC ＝8．∵ OF AB BE OA ⋅=⋅,∴ 8==BE OF ，DH ＝4． ∴ t t S 2421=⨯⨯=（0≤t ≤10） （3）点P 只能在AB 或OC 上，（ⅰ）当点P 在AB 上时，设点P 的坐标为（x ，y ）由COAB APD S S 梯形41=∆； 得 14521=⨯⨯y ，得y ＝528由 142=t ，得t ＝7； 由 ()495281022=⎪⎭⎫⎝⎛+-x ，得529=x . 即在7秒时有点)535,545(1P ；（ⅱ）当点P 在OC 上时，设点P 的坐标为（0，y ）由COAB OPD S S 梯形41=∆； 得 14521=⨯⨯y ，得y ＝528此时t ＝5216)5288(14=-+； 即在1652秒时，有点)535,0(2P .故在7秒时有点)535,545(1P 、在1652秒时，有点)535,0(2P 使PD 将梯形COAB 的面积分成1:3的两部分．此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习＋10分钟互动讲解）。

19.3 梯形达标训练一、基础·巩固1.如图19－3－16，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对图19－3－16 图19－3－172.如图19－3－17，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AD=BC,∠A=60°，AB=9，CD=5，BC 的长是（）A.3B.4C.5D.63.如图19－3－18,在梯形ABCD中，A D∥BC，AD=AB=DC，BD⊥DC，求∠C的度数.图19－3－18二、综合·应用4．如图19－3－19，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6 cm，BC=15 cm.求CD的长.图19－3－195.如图19－3－20，等腰△ABC中，AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O.求证：（1）四边形EFCB是等腰梯形；（2）EF2+BC2=2BE2.图19－3－206.如图19－3－21，上底AD=3，下底BC=5，P为腰CD上任意一点，当点P在何处时，四边形ABPD的面积是梯形ABCD面积的一半.图19－3－217.证明：对角线相等的梯形是等腰梯形.如图19－3－22，梯形ABCD中，对角线AC=BD.求证：梯形ABCD是等腰梯形.图19－3－228.已知：如图19－3－23，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，∠CAB=∠ABC，BE⊥AC 于E.求证：BE=CD.图19－3－239.已知：如图19－3－24，点E在正方形ABCD的对角线AC上，CF⊥BE交BD于G，F 是垂足.求证：四边形ABGE是等腰梯形.图19－3－2410.画一等腰梯形，使它上、下底长分别为4 cm、12 cm，高为3 cm，并计算这个等腰梯形的周长和面积.参考答案一、基础·巩固1.如图19－3－16，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）图19－3－16A.1对B.2对C.3对D.4对思路分析：根据等腰梯形的性质，结合全等三角形的判方法判断即可.△ABC≌△DCB,△ABD≌△DCA,△AOB≌△DOC,共3对.答案：C2.如图19－3－17，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AD=BC,∠A=60°，AB=9，CD=5，BC 的长是（）图19－3－17A.3B.4C.5D.6思路分析：过C点作CE∥AD交AB于E，则四边形AECD是平行四边形，可得到AD=CE.又因为AD=BC,所以CE=BC.因为∠A=60°，所以∠CEB=60°，△CEB是等边三角形，可求得BC的长.过C点作CE∥AD交AB于E，则四边形AECD是平行四边形，∴AD=CE,AE=CD=5.又∵AD=BC,∴CE=BC.∵∠A=60°，所以∠CEB=60°，即△CEB是等边三角形，∴BC=BE=AB－AE=9－5=4. 答案：B3.如图19－3－18,在梯形ABCD中，A D∥BC，AD=AB=DC，BD⊥DC，求∠C的度数.图19－3－18思路分析：根据等腰梯形的知识，结合方程的思想，本题可易解得.解：∵AD=AB=DC，∴△ABD是等腰三角形，梯形ABCD是等腰梯形，∵BD⊥DC，∴∠BDC=90°.设∠ABD=x,则∠ADB=∠CBD=x,∠ADC=∠A=90+x.又∵∠A+∠ABC=180°，∴90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠C=∠ABC=2x=60°.二、综合·应用4．如图19－3－19，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6 cm，BC=15 cm.求CD的长.图19－3－19思路分析：设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便可以解决问题.其方法是：平移一腰，过点A作AE∥DC交BC于E，因此四边形AECD是平行四边形，由已知又可以得到△ABE是等腰三角形（EA=EB），因此CD=EA=EB=BC－EC=BC－AD=9 cm.解：（略）5.如图19－3－20，等腰△ABC中，AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O.求证：（1）四边形EFCB是等腰梯形；（2）EF2+BC2=2BE2.图19－3－20思路分析：点E、F分别是AB、AC的中点，所以EF是△ABC的中位线，由三角形的中位线定理可知，EF∥BC.因为AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，所以BE=CF,可证得四边形EFCB是等腰梯形.（2）因为CE⊥BF于点O，四边形EFCB是等腰梯形，所以△OEF和△OBC都是等腰直角三角形，即OE=OF,OB=OC,由勾股定理可证得结论.证明：（1）在等腰△ABC 中，AB=AC ，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点， ∴EF 是△ABC 的中位线，由三角形的中位线定理可知，EF ∥BC ，BE=CF, ∴四边形EFCB 是等腰梯形.（2）∵CE ⊥BF 于点O ，四边形EFCB 是等腰梯形，∴△OEF 和△OBC 都是等腰直角三角形，即OE=OF,OB=OC,由勾股定理可得： OE 2+OF 2=EF 2,OB 2+OC 2=BC 2, ∴EF 2+BC 2=2OE 2+2OB 2=2BE 2.6.如图19－3－21，上底AD=3，下底BC=5，P 为腰CD 上任意一点，当点P 在何处时，四边形ABPD 的面积是梯形ABCD 面积的一半.图19－3－21思路分析：分别作DE ⊥BC 于E,PF ⊥BC 于F,则四边形ABED 是矩形，BE=AD=3,CE=2 在直角梯形ABCD 中，∠C=45°，可得△CED 是等腰直角三角形，所以CE=DE=2,梯形ABED 的面积为21(AD+BC)×DE=21(3+5)×2=8.当四边形ABPD 的面积是梯形ABCD 面积的一半时，△PBC 的面积也是梯形ABCD 面积的一半，我们可以求出三角形PBC 的高PF,从而确定出P 点所处的位置.解：分别作DE ⊥BC 于E,PF ⊥BC 于F,则四边形ABED 是矩形，BE=AD=3,CE=2. ∵在直角梯形ABCD 中，∠C=45°， ∴△CED 是等腰直角三角形，∴CE=DE=2, 梯形ABED 的面积为21 (AD+BC)×DE=21(3+5)×2=8. ∵当四边形ABPD 的面积是梯形ABCD 面积的一半时，△PBC 的面积也是梯形ABCD 面积的一半， △PBC 的面积为21BC×PF=21×5×PF=4,解得PF=58. ∵PF ∥DE,∴54258===CD CP DE PF ,即14=PD CP 时，四边形ABPD 的面积是梯形ABCD 面积的一半. 7.证明：对角线相等的梯形是等腰梯形.如图19－3－22，梯形ABCD 中，对角线AC=BD.求证：梯形ABCD是等腰梯形.图19－3－22思路分析：证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等腰三角形.在△ABC 和△DCB中，已有两边对应相等，要能证∠1=∠2，就可通过证△ABC≌△DCB得到AB=DC.证明：过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，又AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形，∴DE=AC.∵ AC=BD，∴ DE=BD，∴∠1=∠E.∵∠2=∠E，∴∠1=∠2.又AC=DB，BC=CE，∴△ABC≌△DCB.∴ AB=CD.∴梯形ABCD是等腰梯形.说明：如果AC、BD交于点O，那么由∠1=∠2可得OB=OC，OA=OD，即等腰梯形对角线相交，可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形，这个结论虽不能直接引用，但可以为以后解题提供思路.问：能否有其他证法，引导学生作出常见辅助线，如右图，作AE⊥BC，DF⊥BC，可证Rt△ABC≌Rt△CAE，得∠1=∠2.8.已知：如图19－3－23，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，∠CAB=∠ABC，BE⊥AC 于E.求证：BE=CD.图19－3－23思路分析：要证BE=CD，需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方法是：平移一腰，过点D 作DF ∥AB 交BC 于F ，因此四边形ABFD 是平行四边形，则DF=AB ，由已知可导出∠DFC=∠BAE ，因此Rt △ABE ≌Rt △FDC （AAS ），故可得出BE=CD. 证明：略另证：如题图，根据题意可构造等腰梯形ABFD ，证明△ABE ≌△FDC 即可.9.已知：如图19－3－24，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，CF ⊥BE 交BD 于G ，F 是垂足.求证：四边形ABGE 是等腰梯形.图19－3－24思路分析：先证明OE=OG ，从而说明∠OEG=45°，得出EG ∥AB ，由AE ，BG 延长交于O ，显然EG≠AB.得出四边形ABGE 是梯形，再利用同底上的两角相等得出它为等腰梯形. 证明：（略）10.画一等腰梯形，使它上、下底长分别为4 cm 、12 cm ，高为3 cm ，并计算这个等腰梯形的周长和面积.思路分析：梯形的画图题常常通过分析，找出需添加的辅助线，归结为三角形或平行四边形的作图，然后，再根据它们之间的联系，画出所要求的梯形.解：如右图，先算出AB 长，可画等腰三角形ABE ，然后完成AECD 的画图.画法：①画△ABE ，使BE=12－4=8 cm. AB=AE=2234 =5 cm. ②延长BE 到C 使EC=4 cm.③分别过A 、C 作AD ∥BC ，CD ∥AE ，AD 、CD 交于点D. 四边形ABCD 就是所求的等腰梯形. 解：梯形ABCD 周长=4＋12＋5×2=26 cm.S 梯形ABCD =21×(4+12)×3=24 cm 2. 答：梯形周长为26 cm ，面积为24 cm 2.。

B C A D E 培优辅导——梯形辅助线专项练习一、填空题1. 若等腰梯形的锐角是60°，它的两底分别为11cm ，35cm ，则它的腰长为__________cm.2.如图，在梯形ABCD 中，DC//AB ，∠A+∠B=900，已知AB=10，AD=4，DC=5，则梯形的面积 为3．已知梯形的上底为2，下底为5，一腰长为4，则另一腰x 的取值范围是_________．4.如图所示，在等腰梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，对角线AC 与BD 互相垂直，且AD ＝30，BC ＝70，则BD= .5.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 是CD 的中点，AF ⊥ BC 于F ， ∠B=45° AF=3，EF=5则梯形ABCD 的面积为第2题图 第4题图 第5题图二、解答题6．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＋∠C ＝90°，AD=5、BC=11，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求：EF 的长7.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90A ∠=︒，︒=∠45C ，DE=EC ，AB=4,AD=2，求BE 的长．8.如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，（1）若E 是AB 的中点，且AD ＋BC ＝CD ，则DE 与CE 有何位置关系？（2）E 是∠ADC 与∠BCD 的角平分线的交点，则DE 与CE 有何位置关系？A B C DEBA B C D9.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，BD=DC，CF平分∠BCD，DF//AB，BF的延长线交DC于点E.求证AD=DE10.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，BD=CD，∠BDC=900，AD=3，BC=8求AB的长11.如图，在梯形ABCD中，Ｅ是ＣＤ中点，试说明：∠AEB=2∠CBE能力提高：如图，直角梯形ABCD中，AD‖BC，∠ABC＝90°，已知AD＝AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD 的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．(1)求NC，MC的长(用t的代数式表示)；(2)当t为何值时，点P、C、D、Q构成平行四边形？(3)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；(4)探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形？。

梯形课后练习A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个题一：如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD =AD ，AC 、BD 相交于O 点，∠BCD =60°，下列有6个结论：①梯形ABCD 是轴对称图形，②梯形ABCD 是中心对称图形，③AC =BD ，④BC =2AD ，⑤AC ⊥BD ，⑥A C 平分∠DCB ．其中正确的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个题二：如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD 垂足为O ，过点D 作DE ⊥BC 于E ，以下五个结论：①∠ABC =∠DCB ；②OA =OD ；③∠BCD =∠BDC ；④S △AOB =S △DOC ；⑤DE =2AD BC +．其中正确的是( ) A ．①②⑤ B ．①④⑤ C ．②③④ D ．①②④⑤题三：如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC +∠BCD =90°且D C =2AB ，分别以DA 、AB 、BC 为边向梯形外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3之间的关系是( )A ．S 1+S 3=S 2B ．2S 1+S 3=S 2C ．2S 3-S 2=S 1D ．4S 1-S 3=S 2题四：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC +∠BCD =90°，且DC =2AB ，分别以DA 、BC 、DC 为边向梯形外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3之间数量的关系是( )A ．S 1+S 2=S 3B ．S 1+S 2=12S 3C ．S 1+S 2=13S 3 D ．S 1+S 2=14S 3题五：如图，梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠B=30°．折叠纸片使BC经过点A，点B落在点B′处，EF是折痕，且BE=EF=4，AF∥CD．(1)求∠BAF的度数；(2)当梯形的上底AD多长时，线段DF恰为该梯形的高？题六：如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，∠C= 45°，AB= 4，AD=5，把梯形沿过点D的直线折叠，使点A刚好落在BC边上，求此时折痕的长．题七：如图，四边形ABCD是轴对称图形，直线MN为对称轴，P为MN上一点．若使PC+PD 的值最小，则这个最小值是线段_________的长．题八：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠DCB= 45°，AD=3.5，DC=点P为腰AB上一动点，连结PD、PC，求PD+PC的最小值．题九：如图，在四边形ABCD中，DB平分∠ADC，∠ABC=120°，∠C=60°，∠BDC=30°；延长CD到点E，连接AE，使得∠E=12∠C．(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)若DC=16，求AD的长．题十：如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，且BD ⊥DC．(1)求证：梯形ABCD是等腰梯形；(2)当CD=1时，求等腰梯形ABCD的周长．题十一：如图，是用4个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，则这个图形中等腰梯形上下两底边的比是．题十二：如图，四边形ABCD由4个全等的等腰梯形镶嵌而成，则线段AB与BC的大小关系为（）A．AB B．AB=2BC C．2AB=4BC D．2AB=3BC梯形课后练习参考答案题一：4B．详解：解：根据梯形的性质和等腰梯形的判定可判断：①根据平行四边形的判定，一定是平行四边形，错误；②根据梯形的定义“一组对边平行而另一组对边不平行的四边形”，而一组对边平行但不相等的四边形的另一组对边肯定不平行，正确；③如平行四边形也符合这样的条件，错误；④也可以分为两个矩形，错误．故选B．题二：答案：B．④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形错误，如平行四边形．故选：B．题三：答案：C．详解：①符合等腰梯形的性质，故此结论正确；②等腰梯形是轴对称图形而非中心对称图形，故此结论不正确；③等腰梯形的对角线相等，故此结论正确；④过点D作DE⊥BC，过点A作AF⊥BC，则四边形AFED是矩形，∵∠BCD=60°，∴∠EDC=30°，∴CE=BF=12 CD，∵AB=CD=AD，∴BC=2AD，故此结论正确；⑤∵CD=AD，∴∠DAC=∠DCA，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠DCA=∠ACB，∵∠BCD=60°，∴∠DCA=∠ACB=30°，∴∠DBC=30°，∴∠BOC=120°，故此结论不正确；⑥∵CD=AD，∴∠DAC=∠DCA，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠DCA=∠ACB，∴AC平分∠DCB，故此结论正确．所以正确的是①③④⑥．故选C．题四：答案：D．详解：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴可得：①∠ABC=∠DCB；②OA=OD；∵BD≠BC，∴∠BCD≠∠BDC，即③不正确；在△AOD和△DOC中，OA=OD，OB=OC，∠AOD=∠DOC，∴△AOB≌△DOC，∴S△AOB=S△DOC；即④正确；∴△BDF是等腰直角三角形，故DE=12BF=2AD BC．即⑤正确．故选D．详解：过点A 作AE ∥BC 交CD 于点E ，∵AB ∥DC ，∴四边形AECB 是平行四边形，∴AB =CE ，BC =AE ，∠BCD =∠AED ，∵∠ADC +∠BCD =90°，DC =2AB ，∴AB =DE ，∠ADC +∠AED =90°，∴∠DAE =90°那么AD 2+AE 2=DE 2，∵S 1=AD 2，S 2=AB 2=DE 2，S 3=BC 2=AE 2，∴S 2=S 1+S 3．故选A ．题五： 答案：D ．详解：过点A 作AE ∥BC 交CD 于点E ，∵AB ∥DC ，∵∠ADC +∠BCD =90°，DC =2AB ，∴AB =DE ，∠ADC +∠AED =90°，∴∠DAE =90°，那么AD 2+AE 2=DE 2，∵S 1=AD 2，S =AB 2=DE 2，S 2=BC 2=A E 2，∴S =S 1+S 2．又∵DC =2AB ，∴S =14S 3．∴S 1+S 2=14S 3． 故选D ．题六： 答案：见详解．详解：(1)∵BE =EF ，∴∠EFB =∠B ，∵△B ′EF ≌△BEF ，∴∠EFB ′=∠EFB =∠B =30°，∴∠BAF =180°-30°-30°-30°=90°；(2)连接DF ，∵在△AEF 中，∠EAF =90°，∠EF A =30°，EF = 4，∴AE =12EF =2，AF AE ∵AD ∥BC ，AF ∥CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形，∴∠C =∠AFB =60°，CD =AF ，∵DF ⊥BC ，∴FC =12DC AD =FC即梯形的上底AD DF 恰为该梯形的高．题七： 详解：如图，过点D 作DF ⊥BC 于F ，∵∠A =∠B =90°，∠C = 45°，∴四边形ABFD 是矩形，△CDF 是等腰直角三角形，∴DF =AB = 4，CF =DF = 4，①如图1，折痕与AB 相交时，根据翻折的性质，A ′D =AD =5，在Rt △A ′DF 中，A ′F 2=A ′D 2-DF 2=52- 42=32，即A ′F =3，设AE =x ，则A ′E =x ，BE = 4-x ，又∵A ′B =BF -A ′F =5-3=2，∴在Rt △A ′BE 中，A ′E 2=A ′B 2+BE 2，即x 2=22+(4-x )2，解得x =52，所以，折痕DE 2=AD 2+AE 2=52+(52)2，即DE ②如图2，折痕与BC 相交时，根据翻折的性质，A ′D =AD =5，在Rt △A ′DF 中，A ′F 2=A ′D 2-DF 2=52-42=32，即A ′F =3，∴A ′B =BF +A ′F =5+3=8，设A ′E =x ，则BE =8-x ，根据翻折的性质求出B ′E =BE =8-x ，在Rt △A ′B ′E 中，A ′E 2=A ′B ′2+B ′E 2，即x 2=42+(8-x )2，解得x =5，∴EF =A ′E -A ′F =5-3=2，∴在Rt △DEF 中，折痕DE 2=DF 2+EF 2=42+22=20，即DE =题八： 答案：AC 或BD ．详解：∵四边形ABCD 是轴对称图形，直线MN 为对称轴，∴点A 与点D 关于直线MN 对称，∴连接AC (BD )，则线段AC 或BD 的长即为PC +PD 的最小值．详解：如图，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，作D 点与AB 的对称点D ′，过点D ′向BC 作垂线于点E ，∵∠DCB =45°，DC =DF =FC ×，∵AD =3.5，∴AD ′=BF =BE =3.5，∴CD ′==13，∴PD +PC 的最小值为13．题九： 答案：见详解．详解：(1)∵∠ABC =120°，∠C =60°，∴∠ABC +∠BCD =180°，∴AB ∥DC ，即AB ∥ED ，又∠C =60°，∠E =12∠C ，∠BDC =30°， ∴∠E =∠BDC =30°，∴AE ∥BD ，∴四边形AB DE 是平行四边形；(2)∵AB ∥DC ，∴四边形ABCD 是梯形，∵DB 平分∠ADC ，∠BDC =30°，∴∠ADC =∠BCD =60°， ∴四边形ABCD 是等腰梯形，∴BC =AD ，∵在△BCD 中，∠C =60°，∠BDC =30°，∴∠DBC =90°，又DC =16，∴AD =BC =12DC =8． 题十： 答案：见详解．详解：(1)证明：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ，∵∠ABC =60°，∴∠CBD =30°，∵BD ⊥DC ，∴∠BDC =90°，∴∠C =60°，(2)解：过点D 作DE ∥AB ，∵AD ∥BC ，∴四边形ABED 为平行四边形，∵CD =1，∴B C =2，∵∠C =60°，∴△DCE 为等边三角形，∴CE =BE =1，AD =1， ∴等腰梯形ABCD 的周长为AD +AB +CD +BC =1+1+1+2=5．题十一： 答案：12． 详解：延长CE 交AM 于D ，∵∠CEA =∠AEF =∠CEF =13×360°=120°， ∴∠AED =∠EAD =60°，∴△AED 是等边三角形， ∴AE =DE =CE ，AB ∥AD ，BC ∥AD ，∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB =CD =CE +ED =2CE ，即等腰梯形上下两底边的比是2CE CE =12．题十二： 答案：D ．详解：由图形可得等腰梯形的腰和较短的底边相等，设较短底边为a ， 延长EG 交AB 于点F ，如图所示，可得DE =AF =2a ，即较长底边=2a ，则AB=AH+BH=3a，BC=2a，故可得：2AB=3BC．故选D．。

几何证明综合复习九（梯形有关综合）1.培养学生通过探索和证明，发展推理意识和能力2.通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，并掌握规范表达的格式；了解证明之前进行分析的基本思路；3.体会用“分析综合法”探求解题思路；4.学习添置辅助线的基本方法，会添置常见的辅助线；5.会用文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言进行证明说理。

知识结构【说明】：本部分为知识点方法总结性梳理，目的在于让学生能从题目条件和所证明结论，去寻找证明思路，用时大概 5-8 分钟左右。

【知识点、方法总结】：中考几何题证明思路总结几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力，能通过严密的"因为" 、" 所以" 逻辑将条件一步步转化为所要证明的结论。

这类题目出法相当灵活，不像代数计算类题目容易总结出固定题型的固定解法，而更看重的是对重要模型的总结、常见思路的总结。

所以本文对中考中最常出现的若干结论做了一个较为全面的思路总结。

一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

10.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

11.等于同一线段的两条线段相等。

二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等；7.相似三角形的对应角相等；8.等于同一角的两个角相等。

中考数学压轴题解题策略梯形的存在性问题解题策略专题攻略解梯形的存在性问题一般分三步：第一步分类，第二步画图，第三步计算．一般是已知三角形的三个顶点，在某个图象上求第四个点，使得四个点围成梯形．过三角形的每个顶点画对边的平行线，这条直线与图象的交点就是要探寻的梯形的顶点．因为梯形有一组对边平行，因此根据同位角或内错角，一定可以构造一组相等的角，然后根据相似比列方程，可以使得解题简便．例题解析例❶如图1-1，四边形ABCD是直角梯形，AD//BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝28cm．点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动．从运动开始，经过多长时间，四边形PQCD成为平行四边形？成为等腰梯形？图1-1【解析】这道题目中蕴含了一个经典的判断题：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？回答是否定的．可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，区别在于另一组对边是否平行．如图1-2，如果四边形PQCD是平行四边形，那么PD＝QC．所以24－t＝3t．解得t＝6．如图1-3，如果四边形PQCD是等腰梯形，作PM⊥BC，DN⊥B C，垂足分别为M、N，那么QM＝CN．所以t－(28－3t)＝4．解得t＝8．图1-2 图1-3例❷如图2-1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动；同时点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．当点P到达点A时停止运动，点Q也随之停止．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，DE交BC于点E．设P、Q 运动的时间是t秒（t＞0），在运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．图2-1【解析】在四边形QBED中，∠B是确定的锐角，∠QDE是直角．如果要成为梯形，存在DE//QB和DQ//EB 两种情况．站在梯形的外部看梯形，问题就迎刃而解．如图2-2，当DE//QB时，∠DQB＝90°，此时△AQP是直角三角形．如图2-3，当DQ//EB时，四边形DECP是矩形，△AQP是直角三角形．这样就转化为解Rt△AQP了．已知AP＝3t-，AQ＝t，3 cos5A=．如图2-2，335AQ tAP t==-时，解得98t=．如图2-3，335AP tAQ t-==时，解得158t=．解题时，只需要画出图2-4和图2-5这样的示意图就好了．图2-2 图2-3 图2-4 图2-5例❸如图，已知A、B是双曲线2yx=上的两个点，A、B的横坐标分别为2和－1，BC⊥x轴，垂足为C．在双曲线上是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．图3-1【解析】△ABC是确定的，过每个顶点画对边的平行线，与双曲线的交点就是要求的点D．已知A(2,1)，B(－1,－2)，C(－1,0)．设2 (,)D xx．①如图3-2，过点A 作BC 的平行线，不存在点D ．②如图3-3，当BD //AC 时，∠ACE ＝∠DBF，所以AE DF CE BF =． 解方程22131x x +=+，得x ＝－1或x ＝6．此时1(6,)3D ． ③如图3-4，当CD //AB 时，∠ABN ＝∠DCM ，所以AN DM BN CM=． 解方程2313x x =+，得x ＝1或x ＝－2．此时D (1,2)或(－2,－1)．图3-2 图3-3 图3-4从上面的解题过程我们可以感受到：画图可以快速找到目标，计算可以准确定位．根据等角的正切值相等列方程比较简便．在图3-4中，解方程还达到了“一石二鸟”的目的．例❹如图4-1，已知抛物线233384y x x =--与x 轴的交点为A 、D （A 在D 的右侧），与y 轴的交点为C ，设点C 关于抛物线对称轴的对称点为B ，在抛物线上是否存在点P ，使得以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图4-1【解析】过△ABC 的三个顶点分别画对边的平行线，与抛物线的交点就是点P ．易知A (4, 0)，D (－2, 0)，C (0,－3)，B (2,－3)．设P 233(,3)84x x x --． ①如图4-2，当AP //BC 时，点P 就是点D ，此时P (－2, 0)．②如图4-3，当CP //BA 时，作PE ⊥BC ，AF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ．根据PE AF CE BF=，得233(3)(3)3842x x x ----=．解得x ＝6．此时P (6, 6)． ③如图4-4，假设BP //AC ，那么BG AF PG CF=．所以233(3)(3)38424x x x ----=-． 解得x ＝2．此时点P 与点B 重合，梯形不存在．图4-2 图4-3 图4-4例❺ 如图5-1，把两个全等的Rt △AOB 和Rt △COD 分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB 、OD 在x 轴上．已知点A (1，2)．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过O 、A 、C 三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P 为线段OC 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，问是否存在这样的点P ，使得四边形ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图5-1【解析】在等腰梯形中，构造辅助线常见的方法，就是把等腰梯形分割为一个矩形和两个全等的直角三角形．如图5-2，图5-3，在坐标平面内，如果梯形的两底与坐标轴平行，一般根据BE ＝FC 列方程．在图5-2中，x A －x B ＝x C －x D ；在图5-3中，y B －y A ＝y D －y C ．（1）抛物线的解析式为23722y x x =-+． （2）如图5-4，如果梯形ABPM 是等腰梯形，那么AM ′＝BP ′，因此y A －y M ′＝y P ′－y B ．直线OC 的解析式为12y x =，设点P 的坐标为1(,)2x x ，那么237(,)22M x x x -+． 解方程23712()222x x x --+=，得123x =，22x =． x ＝2的几何意义是P 与C 重合，此时梯形不存在．所以21(,)33P ． 事实上，我们事先并不知道点M （或点P ）的准确位置在哪里？甚至不知道点M （或点P ）在AB 的右侧还是左侧？但这不影响我们解题，先假设，再列方程，然后根据方程的解验证位置．图5-2 图5-3 图5-4例❻ 如图6-1，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，动点P 从点D 出发沿DA 向终点A 运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE//DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为x秒，当x为何值时，四边形PQBE为梯形？图6-1【解析】按照四边形PQBE的对边平行，分两种情况讨论：①当PE//QB时，由于PE//AB，所以QB//AB，因此Q、A重合，此时四边形PQBE是矩形，不是梯形（如图6-2）．②如图6-3，当PQ//BE时，△APQ∽△CBE，由AP CBAQ CE=，得4454xx x-=．解得45x=．图6-2 图6-3。

24.4.2 梯形的中位线◆随堂检测1．若梯形的上底长8 cm ，中位线长10 cm ，则下底长___________cm ．2．若梯形的周长为80 cm ，中位线长与腰长相等，高为12 cm ，则它的面积为_________cm ． 3．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且BD 平分∠ABC ，梯形的中位线长为3 cm ，AB=2 cm ，那么下底BC 的长为__________cm ．4．如图，顺次连结矩形ABCD 各边中点，得到菱形EFGH ．这个由矩形和菱形所组成的图形 ( )A ．是轴对称图形但不是中心对称图形B ．是中心对称图形但不是轴对称图形C ．既是轴对称图形又是中心对称图形D ．没有对称性5．顺次连结等腰梯形各边中点所得到四边形是 ( ) A ．梯形 B ．正方形 C ．矩形 D ．菱形◆典例分析E 、F 为凸四边形ABCD 的一组对边AD 、BC 的中点，若EF ＝)(21CD AB +，问：四边形ABCD 是什么四边形？请说明理由.解：连结AC ，取AC 的中点G ，连EG 、FG ，则EG∥21CD ，FG∥21AB ，∴EG＋FG ＝)(21CD AB +，即EG ＋FG ＝EF ，则G 点在EF 上，EF∥CD，EF∥AB，故AB∥CD.（1）若AD∥BC，则凸四边形ABCD 为平行四边形； （2）若AD 不平行于BC ，则凸四边形ABCD 为梯形.点拨：（1）由EG ＋FG ＝EF 可知点G 在EF 上，这是证明三点共线的方法之一；（2）要进行分类讨论，由已知条件得AB∥CD，即四边形有一组对边平行，故要分BAF E DC类讨论另一组对边的两种情况，从而确定四边形的形状.◆课下作业●拓展提高1．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=CD，AC⊥BD．DH⊥BC，MN是中位线，求证：MN=DH．2．已知：任意四边形ABCD，且线段AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点分别是E、F、G、H、P、Q．(1)如图(1)，在四边形ABCD中，判断下列结论是否正确(正确的在括号里填“√”，错误的填“×”)．①顺次连结EF、FG、GH、HE一定能得到平行四边形．( )②顺次连结EQ、QG；、GP、PE一定能得到平行四边形．( )(2)请选择①、②中的一个，证明你对它的判断；(3)如图(2)，在四边形ABCD中，请你判断(1)中的两个结论是否成立．3．取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图(1)；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E，如图(2)；第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，如图(3)．利用展开图图(4)探究：(1)△AEF是什么三角形?(2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由．4．如图，A、D两点分别是正三角形DEF、正三角形ABC的中心，G是FD与AB的交点，H 是ED与AC的交点，连结GH、AD，延长AD交BC于M，延长DA交EF于N．(1)写出三个不同类型的、必须经过至少两步推理才能得到的正确结论(不要求写出证明过程)；(2)问FE、GH、BC有何位置关系?试证明你的结论．5．四边形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD．顺次连结四边形ABCD各边中点，得到四边形A 1B1C1D1；再顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2；……如此进行下去得到四边形An BnCnDn(1)求证：四边形A1B1C1D1是矩形；(2)写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；(3)写出四边形An BnCnDn的面积；(4)求四边形A5B5C5D5的周长．●体验中考1、(2009年温州)一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )A．第4张 B．第5张 C.第6张 D．第7张参考答案：随堂检测：1．122．2403．44．C5．D拓展提高：1．点拨：过D作DE∥AC交BC延长线于点E，AC⊥BD，∴BD⊥DE．又等腰梯形ABCD，∴BD=AC=DE．∴DH=12BE=12(AD+BC)．MN是中位线，∴MN=DH．2．(1)①√②√ (2)点拨：证明(1)中的判断①：连结EF、FG、GH、HE．E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC，EF=12AC．同理HG∥AC，HG=12AC．∴EF∥HG，EF=HG．∴四边形EFGH是平行四边形． (3)类似于(1)中的两个结论都成立3．(1)△AEF是等边三角形点拔：证明∠EAF=∠AEF=∠AFE=60°． (2)不一定．当矩形的长恰好等于AF时，即矩形的宽：长=AB：AF时正好折出．如果设矩形的长为a，宽为b，可知当b a a <b<a 时，按此法无法折出完整的等边三角形．4．(1)点拨：有许多结论．例如：①∠CAM=30°；②FD ∥AC ；③MN ⊥GH ；④四边形AGDH 是菱形；⑤△AGH 是等边三角形；⑥△AGD 是等腰三角形；⑦△ABM 是直角三角形；⑧△ABC ≌△DEF ；⑨△AGH ∽△ABC ；⑩GH=13BC ；整个图形是轴对称图形；整个图形是中心对称图形等． (2)FE ∥GH ∥BC 点拨：D 、A 分别是正三角形ABC 、DEF 的中心，∴∠GAD=∠GDA=∠ADH=∠HAD=30°．∴AG ∥DH ，AH ∥GD ，AH=DH ．∴四边形AGDH 是菱形．∴MN ⊥GH ．又MN ⊥EF ，MN ⊥BC ，∴FE ∥GH ∥BC ．5．(1)点拨：由A 1B 1、A 1D 1、D 1C 1、B 1C 1分别是△ABC 、△ABD 、△ADC 、△BCD 的中位线，可得A 1B 1∥C 1D 1，B 1C 1∥A 1D 1．又AC ⊥BD ，∴A 1B 1⊥B 1C 1．∴四边形A 1B 1C 1D 1是矩形．(2)111112A B C D S =四边形，22226A B C D S =四边形(3)11122n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭(4)72体验中考： 1、C。

梯形及多边形（习题）＞例题示范例I ；如图，在等腰梯形ABCD 中，AD//BC. AB=CD.且AC 丄 BD, AF 是梯形的高.若梯形ABCD 的面积为49,则A" AF 的长 为②梳理思路：III AC 丄BD,考虑平移一条对角线，所以过点D 作DE 〃/IC,交 的延长线于点E,则四边形ACED 是平行四边形.因为△如切与△CDE 等底等高，所以S3D=Sg, 则等腰梯形ABCD 的面积可转为△〃£）£的面积.在等腰梯形ABCD 中，AC 二BD,所以DE=BD,即是等腰 直角三角形. 过点D 作DG 丄SC ■于点G,则AF 二DG,所以S =L B E DG=1X IDG DG = DG-= 49 ,MDE 2 2则 AF=DG=1.例2：如图，DE 是△ABC 的中位线，FG 是梯形BCED 的中位线, 若 D£=4cm,则 FG②梳理思路：因为QE 是△ABC 的中位线，DE=4 cm, 因为FG 是梯形BCED 的中位线，所以 【过程书写】 •:DE 是^ABC 的中位线，DE=4,/.BC=8.TFG 是梯形BCED 的中位线，•F G /C+DJ 士 = 6,2 2【思路分析】【思路分析】所以 BC=8 cm- “ BC + DE ,FG = ______ = 6 cm •2即FG的长为6 cm.例3：如图，在四边形ABCD 中，E. F 、G, H 分别为AD. BD, BC, AC 的中点【思路分析】题U 中出现多个中点，考虑中点四边形.EF 是的中位线，EF//AB. EF=_AB :2HG 是△ABC 的中位线，HG//AB. HG=_AB ；2所以EF//HG. EF 二HG,根拯一组对边平行且相等的四边形是平 行四边形，可得四边形EFG//是平行四边形.当AB 二CD 时，EF=EH,根据有一组邻边相等的平行四边形是菱 形，可得四边形EFGH 是菱形.故选C-＞巩固练习1 如图，在矩形ABCD 中，E, F, G, H 分别为边AB, BC, CD, AQ 的中点.若佔=2, AD=4＞则图中阴影部分的面积为（ ）A. 8B. 6 C- 4 D- 32 下列图形：①等边三角形；@施形；③等腰梯形；④直角梯形；⑤角；⑥圆.其中既是轴对称图形，乂是中心对称图形的有要使四边形EFGH 是菱形，则应满足的条件是A. AC 丄BDC. AB=CD B ・ AC=BDD. AD=BCA. 1个B・2个 C. 3个 D. 4个已知等腰梯形的上底为6cm,下底为8cm, 腰长为. 若直角梯形的一腰长为18cm,这条腰和一个底所成的角是30。

22、4 梯形一、课本巩固练习1、、如图在Rt△ABC中，∠BAC=900，BD=BA，M为BC中点,MN//AD交AB于N.求证:DN=BC。

2、已知如图，梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD,BD=5cm,高DE=4cm.求：S梯形ABCD。

3、、已知:梯形ABCD中,DC//AB,AC=CB,∠ACB=900，BD=AB,AC、BD相交于E。

求证:△ADE就是等腰三角形。

二、基础过关1、等腰梯形两底长为4cm与10cm，一底角为450,求：它的面积。

2、、梯形ABCD中，AB//CD，CD=4，BC=4，AD=8，∠C=1350,求梯形面积。

3、已知：如图，梯形ABCD中,AD//BC，∠B+∠C=900，M、N分别就是AD，BC的中点。

求证:MN=0、5 （BC-AD）4、如图，已知梯形ABCD，AD//BC，AB⊥AC,AB=AC，BD=BC，求∠DBC的度数。

5、如图,已知在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=60°,∠C=45°，AB=2,AD=4，求梯形ABCD的面积、A B6、在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC=AD=2, BC=4,求∠B的CD度数及AC 的长。

7、如图所示,已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝60°,AD ＝2,BC ＝8，求等腰梯形的周长。

8、 如图所示，AB ∥CD ，AE ⊥DC,AE ＝12,BD ＝20，AC ＝15，求梯形ABCD 的面积。

9、 如图所示,已知等腰梯形的锐角等于60°,它的两底分别为15cm 与49cm,求它的腰长、10、 如图所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC,AC ⊥BD,AD ＋BC ＝10,DE ⊥BC 于E,求DE 的长、11、已知：如图，梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB=DC,∠BAD 、∠CDA 的平分线AE 、DF 分别交直线BC 于点E 、F 、求证： CE=BF 、12、如图,在梯形ABCD中,AD BC ∥,9038BD CD BDC AD BC =∠===，°，，、求AB 的长、CDA B ABCDABDEAB CDAB CD。