离散系统Z域分析
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离散系统的Z域分析法
X(z)
D z-1
X(k-1)
z-1X(z)
X
注意:z域框图只能求系统零状态响应 注意 域框图只能求系统零状态响应
第
例题
1.求如图系统的单位响应 求如图系统的单位响应h(k)和单位阶跃响应 和单位阶跃响应g(k) 求如图系统的单位响应 和单位阶跃响应
8 页
2. 知 阶 散 统 初 条 为 zi (0) = 2, yzi (1) =1 已 二 离 系 的 始 件 y , 当 入 (k) = ε (k)时 输 f , 1 5 k k 输 全 应 (k) =[ + 4⋅ 2 − ⋅ 3 ]ε (k), 出 响 y 2 2 求 差 方 .， 画 系 框 。 此 分 程 并 出 统 图
求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： 求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： •时域方法: y(k) =y zi (k) + yzs (k) yzs (k) = h(k) ∗ x(k) 时域方法: 时域方法 •z变换方法: 变换方法: 变换方法 Yzs (z) = H(z) ⋅ X(z)
X
第
二.系统框图的z域分析法
基本思路: 基本思路 时域框图 z域框图 域框图 z域代数方程 域代数方程 Yzs(z)
7 页
yzs(k)
x(k) ⇒ X (z) yzs (k) ⇒ Yzs (z) 延迟单元 x(k)
x(k)ε (k) ↔ X(z) x(k −1)ε (k) ↔ z−1X(z) + x(−1)
y(k)
X
第 5 页
优点: 优点:
•差分方程经 变换→代数方程； 差分方程经z变换 代数方程； 差分方程经 变换→ •将时域卷积→z域乘积； 将时域卷积→ 域乘积； 将时域卷积 域乘积 •部分分式展开后求解z逆变换较容易； 部分分式展开后求解z 部分分式展开后求解 逆变换较容易； •z变换过程自动引入了系统初始状态（相当于0变换过程自动引入了系统初始状态（相当于0 变换过程自动引入了系统初始状态 的条件） 可同时求出零输入和零状态响应。 的条件）,可同时求出零输入和零状态响应。 ， 注意：z域求解系统只需 －状态[y(-1)，y(-2), …,] 注意： 域求解系统只需0 状态 域求解系统只需 时域求解系统要递推出0 状态确定待定系数。 时域求解系统要递推出 ＋状态确定待定系数。
D z-1
X(k-1)
z-1X(z)
X
注意:z域框图只能求系统零状态响应 注意 域框图只能求系统零状态响应
第
例题
1.求如图系统的单位响应 求如图系统的单位响应h(k)和单位阶跃响应 和单位阶跃响应g(k) 求如图系统的单位响应 和单位阶跃响应
8 页
2. 知 阶 散 统 初 条 为 zi (0) = 2, yzi (1) =1 已 二 离 系 的 始 件 y , 当 入 (k) = ε (k)时 输 f , 1 5 k k 输 全 应 (k) =[ + 4⋅ 2 − ⋅ 3 ]ε (k), 出 响 y 2 2 求 差 方 .， 画 系 框 。 此 分 程 并 出 统 图
求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： 求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： •时域方法: y(k) =y zi (k) + yzs (k) yzs (k) = h(k) ∗ x(k) 时域方法: 时域方法 •z变换方法: 变换方法: 变换方法 Yzs (z) = H(z) ⋅ X(z)
X
第
二.系统框图的z域分析法
基本思路: 基本思路 时域框图 z域框图 域框图 z域代数方程 域代数方程 Yzs(z)
7 页
yzs(k)
x(k) ⇒ X (z) yzs (k) ⇒ Yzs (z) 延迟单元 x(k)
x(k)ε (k) ↔ X(z) x(k −1)ε (k) ↔ z−1X(z) + x(−1)
y(k)
X
第 5 页
优点: 优点:
•差分方程经 变换→代数方程； 差分方程经z变换 代数方程； 差分方程经 变换→ •将时域卷积→z域乘积； 将时域卷积→ 域乘积； 将时域卷积 域乘积 •部分分式展开后求解z逆变换较容易； 部分分式展开后求解z 部分分式展开后求解 逆变换较容易； •z变换过程自动引入了系统初始状态（相当于0变换过程自动引入了系统初始状态（相当于0 变换过程自动引入了系统初始状态 的条件） 可同时求出零输入和零状态响应。 的条件）,可同时求出零输入和零状态响应。 ， 注意：z域求解系统只需 －状态[y(-1)，y(-2), …,] 注意： 域求解系统只需0 状态 域求解系统只需 时域求解系统要递推出0 状态确定待定系数。 时域求解系统要递推出 ＋状态确定待定系数。
青岛大学信号与系统第八章离散时间系统的z域分析
则
Z [an x(n)] X ( z ) a
z , Rx1 a Rx2
特别地 Z [(1)n x(n)] X (z) , Rx1 z Rx2
例：Z
[cos(0n)u(n)]
z(z cos0 ) z2 2z cos0 1
, z 1
Z
[ n cos(0n)u(n)]
z
(z
cos0 )
2
2
nu(n)
z
d dz
z
z 1
(z
z 1)2
n2u(n)
z
d dz
(z
z 1)2
z(z 1) (z 1)3
X (z) 1 [ z z(z 1)] z2 2 (z 1)2 (z 1)3 (z 1)3
, z 1
（四）序列指数加权（ z 域尺度变换）
若 Z [x(n)] X (z) , Rx1 z Rx2
X (z) Z [x(nT )] x(nT )zn n
2T 0 T 3T
t
L [xs (t)] z esT Z [x(nT )]
z
esT
r eT
T 2
s
z re j s j
T—— 抽样间隔，
s
2
T
——
抽样角频率
z平面和 s平面的映射关系：
1. s平面原点 ( 0, 0) j
x(1) (n)
0
n
x(n 1)u(n) x(n 1)u(n 1)
x(0) (n 1)
0
n
x(n 1)u(n) x(n 1)u(n 1) x(1) (n) x(n 1)u(n) x(n 1)u(n 1) x(0) (n 1) x(n 2)u(n) x(n 2)u(n 2) x(2) (n) x(1) (n 1) x(n 2)u(n) x(n 2)u(n 2) x(0) (n 2) x(1) (n 1)
二十章Matlab进行离散系统的Z域分析
面的单位圆内。
实现：
只要调用ljdt（）直观判断极点位置就可 以确定系统稳定性，并可使用abs（）求 出各极点至原点的长度。
例：已知系统函数为:
z 1 H( z ) 3z5 z4 1
判定系统的稳定性。 程序如ex1201.m所示。
2 由系统函数分析系统时域特性
• 理论分析
• 实现方法：
由系统函数H(z)的表达式可以得到分子、 分母系数向量A和B，调用impz(B,A)即可 得到单位样值时域响应。
一、Z变换的定义
1. Z变换定义背景知识介绍。 2. Z变换符号表达式的求解命令： • 正变换：F=ztrans(f) • 反变换：f=iztrans(F)
二、离散系统的系统函数
离散系统函数的定义及其零极点表示 设某离散系统函数为
H( z ) B( z ) A( z )
• 零极点的求法：roots( )命令
可调用ljdt(A,B)即可。
三、离散系统性能分析
零极点的分布对于系统性能分析有重要意 义，可分析以下方面的系统特性：
• 系统的稳定性； • 系统单位样值响应的时域特性； • 系统的频率特性；
1 零极点分布于系统的稳定性
判定方法：
• 时域：绝对可和条件。 • Z域：系统函数H（z）的所有极点在z平
数freqz（），调用格式如下： [H,w]=freqz(b,a,n) [H,w]=freqz(b,a,n,’whole’)
例：已知系统函数 H( z ) z 0.5
z
讨论其频率响应特性 程序如figure2.m所示。
2）几何矢量法
其理论依据与上次课介绍的s域的几何矢量
法完全类似。这里给出通用函数dplxy（）
例：系统函数为
实现：
只要调用ljdt（）直观判断极点位置就可 以确定系统稳定性，并可使用abs（）求 出各极点至原点的长度。
例：已知系统函数为:
z 1 H( z ) 3z5 z4 1
判定系统的稳定性。 程序如ex1201.m所示。
2 由系统函数分析系统时域特性
• 理论分析
• 实现方法：
由系统函数H(z)的表达式可以得到分子、 分母系数向量A和B，调用impz(B,A)即可 得到单位样值时域响应。
一、Z变换的定义
1. Z变换定义背景知识介绍。 2. Z变换符号表达式的求解命令： • 正变换：F=ztrans(f) • 反变换：f=iztrans(F)
二、离散系统的系统函数
离散系统函数的定义及其零极点表示 设某离散系统函数为
H( z ) B( z ) A( z )
• 零极点的求法：roots( )命令
可调用ljdt(A,B)即可。
三、离散系统性能分析
零极点的分布对于系统性能分析有重要意 义，可分析以下方面的系统特性：
• 系统的稳定性； • 系统单位样值响应的时域特性； • 系统的频率特性；
1 零极点分布于系统的稳定性
判定方法：
• 时域：绝对可和条件。 • Z域：系统函数H（z）的所有极点在z平
数freqz（），调用格式如下： [H,w]=freqz(b,a,n) [H,w]=freqz(b,a,n,’whole’)
例：已知系统函数 H( z ) z 0.5
z
讨论其频率响应特性 程序如figure2.m所示。
2）几何矢量法
其理论依据与上次课介绍的s域的几何矢量
法完全类似。这里给出通用函数dplxy（）
例：系统函数为
数字信号处理实验离散系统的Z域分析
数字信号处理实验报告实验名称：离散系统的Z 域分析学号：姓名： 评语： 成绩： 一、实验目的1、掌握离散序列z 变换的计算方法。
2、掌握离散系统系统函数零极点的计算方法和零极点图的绘制方法，并能根据零极点图分析系统的因果性和稳定性。
3、掌握利用MATLAB 进行z 反变换的计算方法。
二、实验原理与计算方法1、z 变换离散序列x (n )的z 变换定义为：。
∑∞-∞=-=n n z n x Z X )()(在MATLAB 中可以利用符号表达式计算一个因果序列的z 变换。
其命令格式为：syms n; f=(1/2)^n+(1/3)^n;ztrans(f)2、离散系统的系统函数及因果稳定的系统应满足的条件一个线性移不变离散系统可以用它的单位抽样响应h (n )来表示其输入与输出关系，即y (n )= x (n )* h (n )对该式两边取z 变换，得： Y (z )= X (z )· H (z )则： )()()(z X z Y z H =将H (z )定义为系统函数，它是单位抽样响应h (n )的z 变换，即∑∞-∞=-==n n z n h n h Z z H )()]([)(对于线性移不变系统，若n <0时，h (n )=0，则系统为因果系统；若，则系统稳∞<∑∞-∞=n n h |)(|定。
由于h (n )为因果序列，所以H (z )的收敛域为收敛圆外部区域，因此H (z )的收敛域为收敛圆外部区域时，系统为因果系统。
因为，若z =1时H (z )收敛，即∑∞-∞=-=n n z n h z H )()(，则系统稳定，即H(z)的收敛域包括单位圆时，系统稳定。
∞<=∑∞-∞==n z n h z H |)(||)(1因此因果稳定系统应满足的条件为：，即系统函数H (z )的所有极点全部落在1,||<∞≤<ααz z 平面的单位圆之内。
3、MATLAB 中系统函数零极点的求法及零极点图的绘制方法MATLAB 中系统函数的零点和极点可以用多项式求根函数roots ()来实现，调用该函数的命令格式为：p=roots(A)。
信号与系统第8章 离散时间系统的z域分析
零状态响应为
Yf
(z)
(1 z 1 z 2 ) 2 3z 1 z 2
1 1 z 1
1/ 6 0.5 5 / 6 1 z1 1 z1 1 0.5z1
yf [k] Z 1{Yf (z)}{1/ 6 0.5(1)k (5/ 6)(0.5)k}u[k]
y[k] yx[k] yf [k] {1/ 6 3.5(1)k (4 / 3)(0.5)k}u[k]
离散时间信号与系统的Z域分析
• 离散时间信号的Z域分析 • 离散时间系统的Z域分析 • 离散时间系统函数与系统特
性
离散时间信号的Z域分析
• 理想取样信号的拉普拉斯变换 • 单边Z变换定义 • 单边Z变换的收敛域 • 常用序列的Z变换 • 单边Z变换的性质 • Z反变换
理想取样信号的拉普拉斯变换
fs (t) f (t) (t kT) f (kT) (t kT)
Re(z)
三、常用序列的Z变换
1) Z{ (k)} 1, z 0
2) 3)
Z{u(k)} 1 1 z
Z{aku(k)}
1 , 1
1 a
z
z
1
1 z
a
4)
Z{e
j0k
u(k
)}
1
e
1
j0
z
1
z z e j0
5)
Z{e-
j0k u (k
)}
1
1 e- j0
z
1
z z e- j0
z e j0 z e j0
解代数方程
二阶系统响应的z域求解
y[k] a1 y[k 1] a2 y[k 2] b0 f [k] b1 f [k 1] k 0
初始状态为y[1], y[2] 对差分方程两边做Z变换，利用
离散系统的z域分析
k
k
收敛域为整个z 平面。
(2) f2(k)的双边z 变换为 F2(z) = z2 + 2z + 3 + 2z-1 + z-2
f2(k)的单边z 变换为
F2 (z) f2 (k)zk 3 2z1 z2 k 0
收敛域为0<z< ∞ 收敛域为z > 0
对有限序列的z变换的收敛域一般为0<z<∞，有时它在0或/和∞也收敛。
|b|
|a|
o
Re[z]
序列的收敛域大致有一下几种情况：
（1）对有限长序列，其双边z变换的ROC为整个平 面； （2）对因果序列，其z变换的ROC为某个圆外区域， 包括无穷点； （3）对反因果序列，其z变换的ROC为某个圆内区 域，包含0点； （4）对双边序列，其z变换的ROC为环状区域；
注意：对双边z变换必须表明收敛域，否则其对应的原序列将不 唯一。
f (k m)z k f (k m)z k f (k m)z (km) z m
k 0
k 0
k m
上式第二项令k – m=n
m1
m1
f (k m)z k f (n)z n z m f (k m)z k z m F (z)
z
z a
收敛域为|z|>|a|
|a|
o
Re[z]
3) 左边序列
bk ,
例3 求反因果序列
f
f
(k
)
0,
k 0 bk (k 1) 的z变换
k 0
解
Ff
(z)
1
(bz 1 )k
k
(b 1 z ) m
m1
b1z (b1z) N 1
第6章 离散时间系统的z域分析
1 | z | 1 2 | z | 2
例 求序列f (k ) cosh (2k ) (k )的z变换。
1 2k 由于 cosh ( k ) (e e 2 k ) 2 2 在单边指数序列a k ( k )的z变换中令a e 2 , 可得 z e (k ) , | z || e 2 | z e2 根据z变换的线性性质可得
f (k )
3
f ( k ) ( k ) 3
2
2
1
1 o 1 2
f ( k 1) 3 2
k
1 o 1 2
f ( k 1) ( k ) 3 2
1
k
1
1 o 1 2
f ( k 1)
k
1 o 1 2
f ( k 1) ( k )
3
k
3
2 1
1 o 1 2
k
1 o 1 2
k
(1)双边Z变换的移位 若 f (k ) F ( z )
k 0
该式称为单边Z变换。
将f ( k )的Z变换简记为Z [ f ( k )] ，象函数F ( z )的逆z变换 简记为Z
1
[ F ( z )] f ( k )与F ( z )两者间的关系简记为 ，
f (k ) F ( z )
在拉普拉斯变换分析中重点讨论了单边拉普拉斯 变换，这是由于在连续时间系统中，非因果信号 的应用较少。 对于离散系统，非因果信号也有一定的应用范围， 因此对单、双边z变换都进行讨论。
a
b
O
Re(z )
6.1.3 常见序列的Z变换
(k )
1
O
k
(k ) 1
第八章_离散时间系统的z域分析4_北京交通真题库_大学915916通信系统及原
z0
七阶极点
j Im[z]
z
1 3
一阶极点
Re[z]
z 0
27
§8.4 逆z变换
X (z) ZT[x(n)] x(n)zn n
x(n) ZT 1[ X (z)] 1 X (z)zn1dz
2 j C
C是包围X(z)zn-1所有极点的逆时针闭合积分路线，一
般取z平面收敛域内以原点为中心的圆。
n0
n
an zn 1 bn zn
n0
n0
z a, z b
X (z) z 1 b za zb zz
za zb
25
jIm(z)
a
0
Re(z)
jIm(z)
a
0 b
Re(z)
图8.1序列单边Z变换的收敛域
图8.2序列双边Z变换的收敛域
当 z a时，X (z) z 当a z b时，X (z) z z
d s j
j
)
!
d
zs
j
(z
zi )s
X (z)
z
zzi
32
或X (z)
A0
M m1
1
Am zm
z
1
s j 1
Cj (1 zi z1) j
A0
M m1
Am z z zm
C1z z zi
C2 z2 (z zi )2
Cs (z
zs zi )s
Cs
1 zi z1
s
X
(
z
)
z
6
§8.2 z变换的定义、典型序列的z变换
➢ 借助于抽样信号的拉氏变换引出。 ➢ 连续因果信号x(t)经均匀冲激抽样，则抽样信号xs(t)
离散系统的Z域分析
z
k
cos(
0
k
)
k
z
z2 z2 z cos 2z2 2z cos 0
0
1
2
..........
k
sin 0k
k
z
2z2
z 2
sin 0 z cos 0
1 2
.........
k k
k
z (z )2k kk Nhomakorabea1
五、ZT & DTFT
求和收敛
设f(k)
为因果序列、则
F (e j ) f k e jk
Z eS Ts e e Ts jTs e j
k
F (z) f (k)zk k 0
e Ts
Ts
2 s
S 域中的一点→ → Z 域中的一点；Z 域中的一点→ → S 域中的无穷个点。
S 1 Ln z 1 Ln(e j ) 1 Ln j
Ts
Ts
Ts
Ts
三、收敛域: F (z) f k zk
ak (k) bk (k 1) z z ∣a∣< |z|< |b|
za zb
jIm[z]
|b|
|a|
o
Re[z]
四、常用 z 变换
(k+1) ←→z; (k-1) ←→z-1;……
(k) ←→1 (k) ←→z/(z-1) ←→ - (- k-1)
零、极 点分布
k k z k k 1
F(z)
K1 e j z
z e j
K1 e j z
z e j
若z> , f(k)=2K1kcos(k+)(k)，… …
(3) F(z)有重极点 推导记忆：
k
cos(
0
k
)
k
z
z2 z2 z cos 2z2 2z cos 0
0
1
2
..........
k
sin 0k
k
z
2z2
z 2
sin 0 z cos 0
1 2
.........
k k
k
z (z )2k kk Nhomakorabea1
五、ZT & DTFT
求和收敛
设f(k)
为因果序列、则
F (e j ) f k e jk
Z eS Ts e e Ts jTs e j
k
F (z) f (k)zk k 0
e Ts
Ts
2 s
S 域中的一点→ → Z 域中的一点；Z 域中的一点→ → S 域中的无穷个点。
S 1 Ln z 1 Ln(e j ) 1 Ln j
Ts
Ts
Ts
Ts
三、收敛域: F (z) f k zk
ak (k) bk (k 1) z z ∣a∣< |z|< |b|
za zb
jIm[z]
|b|
|a|
o
Re[z]
四、常用 z 变换
(k+1) ←→z; (k-1) ←→z-1;……
(k) ←→1 (k) ←→z/(z-1) ←→ - (- k-1)
零、极 点分布
k k z k k 1
F(z)
K1 e j z
z e j
K1 e j z
z e j
若z> , f(k)=2K1kcos(k+)(k)，… …
(3) F(z)有重极点 推导记忆：
信号与系统第八章_离散时间系统的z域分析2(青大)
z =1
∫
X (e jω )e jnω d ω
1 π x(n) = IDTFT[ X (e )] = X (e jω )e jnωdω 2π ∫−π
X (e jω ) = X (e jω ) e jϕ(ω)
X (e jω ) ——序列 x(n)的幅度频谱 序列
以 2π为周期 的周期函数
ϕ(ω) ——序列 x(n)的相位频谱 序列
⇒ h(n) 等幅，系统临界稳定； 等幅，系统临界稳定；
（3）有极点在单位圆外，或单位圆上有二阶或二阶以上极点 有极点在单位圆外，
⇒ h(n) 增长，系统不稳定。 增长，系统不稳定。
例：判断系统的因果性和稳定性。 系统的因果性和稳定性。
z , z > 0.5 （1） H ( z ) = z − 0.5
例1：求 x(n) = u (n) − u (n − 5) 的DTFT，并画出幅度频谱。 ，并画出幅度频谱。 解：X (e ) = DTFT[x(n)] = ∑e
jω n=0 4 − jnω
− j 5ω
1− e = e− j 2ω = ω 1− e− jω sin( )
5
sin(
5ω ) 2 2
5ω sin( ) jω 2 X (e ) = ω sin( ) 2
ω
1 ( ) 4
xs (t)
T =1
0
x(n)
4
−4
t
1
F [ xs (t )] = DTFT[x(n)]
1 4
⋯
4
−2π
−π − ω c
ωc
π
2π
⋯ω
−4
0
n
（三）DTFT的基本性质 的基本性质
（1）线性 （2）时移 （3）频移
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8.1 Z变换
8.1.1 Z变换的定义
1 、离散信号的Z变换定义 F ( z ) f ( n) z n 序列f( n ) n 的双边Z f ( n) 1 F ( z ) z n 1dz 变换： 2 j C F ( z ) f ( n) z n 序列f( n ) n 0 的单边Z f ( n) 1 F ( z ) z n 1dz 变换： 2 j C
n 1 n 1
n 1 n
k za
电气与信息工程学部通信工程教研室
《信号与系统》精品课程——第八章 离散系统的Z域分析
8.2 Z反变换
8.2.1 幂级数展开法（长除法）
原理： F ( z ) f (n) z n 是z-1的幂级数
∴当已知F(z)时，可直接把F(z)展成幂级数，
电气与信息工程学部通信工程教研室
《信号与系统》精品课程——第八章 离散系统的Z域分析
8.3.2 移位性质（延迟特性） 1、若f(n)为双边序列，则
f ( n m) z m [ F ( z ) f ( k ) z k ]
k 1 m
举例
f (n 1) z 1F ( z ) f (1) f (n 2) z 2 F ( z ) z 1 f (1) f (2)
8.1.1 Z变换的定义
n 例 求因果序列 f (n) a (n) 的z变换（式中a为常数）。
解：F ( z ) a n (n) z n a z 1 1 az 1 (az 1 )2
n 0
n 0
n
1 (az 1 ) N 1 F ( z ) lim (a z 1 ) n lim N N 1 az 1 n 0 z az 1 1,即 z a za 1 不定 az 1,即 z a 无界 az 1 1,即 z a
( n = 1，2，m )
F ( z) 注意：除了对 z 展开分式外，方法与拉氏变换一样。
z 1 n(n 1) (n m 2)a nm1 (n) ( z a) m (m 1)!
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《信号与系统》精品课程——第八章 离散系统的Z域分析
8.3 Z变换的主要性质
n
( n) F ( z ) ( n) z n 1
n 0
3、指数序列
a n (n) F ( z ) a n z n (az 1 ) n
n 0 n 0
z za
ka (n 1) F ( z ) ka z
•
t
z e sT，T=1，则有 令复变量
F ( z)
n
f ( n) z n
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8.1.1 Z变换的定义
2 、Z变换的由来——从拉式变换推演出Z变换
( f s(t ) f (t )T (t )
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8.1.1 Z变换的定义
2 、Z变换的由来——从拉式变换推演出Z变换
f s( t ) f (t )T (t ) (
f s (t )
•
n
f (nT ) (t nT )
2TT
0 T 2T 3T T (t )
(1)
t
n 0
则级数的系数就是序列f(n)。
z 例8-1 已知象函数 F ( z ) 2 ，求原序列f(n)。 z 2z 1
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8.2 Z反变换
8.2.2 部分分式展开法
N ( z ) bm z m bm1 z m1 b1 z b0 F ( z) D( z ) an z n an 1 z n 1 a1 z a0
故 反变换
F ( z) k2 ( z 2) 5 z z 2
5z 5z F ( z) z 1 z 2
f (n) 5 2n (n) 5 (n)
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（2） F(z)仅含重极点
2、若f(n)为单边序列（因果序列），则
右移序列
f (n m) (n m) F ( z) z m
m
举例
( n m) z
( n m) z
m
z z 1
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8.3.2 移位性质（延迟特性） 2、若f(n)为单边序列（因果序列），则
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8.1.1 Z变换的定义
2 、Z变换的由来——从拉式变换推演出Z变换
( f s(t ) f (t )T (t )
• •
设有连续信号f (t)
2TT
0 T 2T 3T T (t )
(1)
若以冲激序列T (t ) (t nT ) n 对其进行取样
F ( s) L f (nT ) (t nT ) n f (nT ) L (t nT )
n
对fs(t) 取拉式变换可得
3T2TT
0 T 2T 3T
n
f (nT )e
nsT
(t nT ) e nsT
t
•
则取样信号
f s (t ) f (t ) T (t ) f (t ) (t nT )
n
3T2TT
0 T 2T 3T
t
n
f (t ) (t nT )
n
f (nT ) (t nT )
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8.3.1 线性性质
若 则
f1 (n) F1 ( z ), f 2 (n) F2 ( z ) a1 f1 (n) a2 f 2 (n) a1F1 ( z ) a2 F2 ( z )
a1、a2为任意常数
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F ( z ) n ki ， z i 0 z zi
式中系数
n
z0 0
F ( z) ki ( z zi ) z z ( i = 0，1，2，n ) i z
n n ki z ki z 逆变换得 F ( z) k0 f (n) k0 (n) ki ( zi ) n (n) i 0 z zi i 1 z zi i 1
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例8-3 则 系数
F ( z)
5z ( z 1)( z 2)
F ( z) 5 k k 1 2 z ( z 1)( z 2) z 1 z 2
k1 ( z 1) F ( z) 5 z z 1
Z变换对可表示为 F(z) : 称为f (n)的单边Z变换(象函数) F(z)=Z[f (n)] f (n) : 称为F(z)的逆Z变换(原函数) f(n)=Z-1[F(z)] 1 sT 复变量 s ln z ze T 或简记为 f(n) F(z)
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左移序列
f (n m) (n) z [ F ( z ) f (r ) z r ]
m r 0
n
m 1
z n 1 例8-6 已知因果序列之 Z 2 ，求 f (n) 5(2) (n 1) z2 的Z变换。
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第8章 离散系统的Z域分析
学习重点：
• Z变换的定义及其重要性质；
• 逆Z变换的求解；
• 系统函数H(z)及Z域模拟； • 线性离散系统的Z域分析法。
学习方法：与连续系统的变换域分析对照着学习
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8.3 Z变换的主要性质
8.3.1 线性性质
例8-5 求序列f(n)=cosnΩ的Z变换，式中， Ω为数字角频率。
e jn e jn 解：由欧拉公式 cos n 2 z z jn jn e e j z e z e j
∴根据线性性质有
e jn e jn 1 1 jn jn Z cos n Z ) Z (e ) ( e 2 2 2 z 2 z cos 1 z z 2 j j 2 z e z e z 2 z cos 1
则可展开为 各系数
N ( z) F ( z) ( z z1 ) m
F ( z) k11 k12 k1m k0 m m -1 z ( z z1 ) ( z z1 ) z z1 z
1 d n 1 F ( z) k1n ( z z1 ) m (n 1)! dz n 1 z z z1
F ( z ) f ( n) z n
n 0
2TT
0 T 2T 3T T (t )
(1)
•
*F(z)的逆变换
f ( n)