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高二数学教案 必修2 直线的方程——点斜式(斜截式) 班级 姓名 教学目标：1.通过本课掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程；了解直线方程的斜截式是点斜式的特例；2.能通过待定系数（直线上的一个点的坐标11(,)x y 及斜率k ，或者直线的斜率k 及在y 轴上的截距b ）求直线方程；3.牢记斜率不存在时的直线方程，即1x x =．【问题导思】1．若直线l 过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，设点P (x ，y )是直线l 上不同于点P 0的任意一点，那么x ，y 应满足什么关系？【提示】 y －y 0＝k (x －x 0)．2．经过点P 0(x 0，y 0)且斜率不存在的直线l 如何表示？【提示】 x ＝x 0.求直线的方程，其实就是研究直线上任意一点(,)P x y 的坐标x 和y 之间的关系．直线l 经过点111(,)P x y ，当直线斜率不存在时，直线方程为1x x =；当斜率为k 时，直线方程为11()y y k x x -=-，该方程叫做直线的点斜式方程.例1：已知一条直线经过点1(2,3)P -，斜率为2，求这条直线的方程．【解】∵直线经过点1(2,3)P -，且斜率为2，代入点斜式，得：)2(23+=-x y ，即07=+-y x ．点评:已知直线上一点的坐标和直线的斜率，可直接利用斜截式写出直线方程．例2：直线l 斜率为k ，与y 轴的交点是(0,)P b ，求直线l 的方程．【解】代入直线的点斜式，得：(0)y b k x -=-，即y kx b =+．点评:方程y kx b =+叫做直线的斜截式方程，其中b 叫做直线在y 轴上的截距．（1）直线l 与x 轴交点(,0)a ，与y 轴交点(0,)b ，称a 为直线l 在x 轴上的截距，称b 为直线l 在y 轴上的截距（截距可以大于0，也可以等于或小于0）；（2）方程由直线l 斜率k 和它在y 轴上的截距b 确定，叫做直线方程的斜截式．练习：1. 写出下列直线的点斜式方程：（1）经过点(2,1)A -， 12)y x +-；（2）经过点(B ，倾斜角为30； 2y x -； （3）经过点(0,3)C ，倾斜角是0;30y -=； （4）经过点D (5,6)，与x 轴垂直． x ＝5.2．写出下列直线的斜截式方程：（1y 轴上的截距是3-； 3y x =-；（2）斜率是3-，与x 轴交点坐标为(2,0)． 36y x =-+．3. 方程(2)y k x =-表示()A 通过点(2,0)-的所有直线 ()B y 轴上的截距是-2k()C 通过点(2,0)且不垂直于x 轴的直线 ()D 通过点(2,0)且除去x 轴的直线例3：（1）求直线2)y x =-的倾斜角；（2）求直线2)y x =-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30所得的直线方程．【解】（1）设直线2)y x =-的倾斜角为α，则tan α=[0,180)α∈， ∴120α=；（2）∴所求的直线的倾斜角为1203090-=，且经过点(2,0)，所以，所求的直线方程为2x =．例4：在同一坐标作出下列两组直线 ，分别说出这两组直线有什么共同特征？（1）2y =，2y x =+，2y x =-+，32y x =+，32y x =-+；（2）2y x =，21y x =+，21y x =-，24y x =+，24y x =-【解】图略；（1）这些直线在y 轴上的截距都为2，它们的图象经过同一点(0,2)；（2）这些直线的斜率都为2，它们的图象平行．思考题：已知直线l 经过点P (－1，－2)，在y 轴上的截距的取值范围为[2,6]，求此直线斜率的取值范围．法一 设直线l 的斜率为k ，由于这条直线过点P (－1，－2)，所以，它的点斜式方程是y －(－2)＝k [x －(－1)]，可化为斜截式方程是y ＝kx ＋k －2，所以直线l 在y 轴上的截距为k －2.由已知得2≤k －2≤6，所以4≤k ≤8.所以直线l 斜率的取值范围为[4,8]．法二 设直线l 的斜截式方程为y ＝kx ＋b ，由于点P (－1，－2)在直线l 上，所以－2＝k (－1)＋b ，即k ＝b ＋2.又因为b ∈[2,6]，所以k ∈[4,8]．后记高二数学学案 必修2 直线的方程——点斜式(斜截式) 班级 姓名 学习目标：1.通过本课掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程；了解直线方程的斜截式是点斜式的特例；2.能通过待定系数（直线上的一个点的坐标11(,)x y 及斜率k ，或者直线的斜率k 及在y 轴上的截距b ）求直线方程；3.牢记斜率不存在时的直线方程，即1x x =．【问题导思】1．若直线l 过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，设点P (x ，y )是直线l 上不同于点P 0的任意一点，那么x ，y 应满足什么关系？2．经过点P 0(x 0，y 0)且斜率不存在的直线l 如何表示？例1：已知一条直线经过点1(2,3)P -，斜率为2，求这条直线的方程．例2：直线l 斜率为k ，与y 轴的交点是(0,)P b ，求直线l 的方程．练习：1. 写出下列直线的点斜式方程：（1）经过点(2,1)A - （2）经过点(B ，倾斜角为30；（3）经过点(0,3)C ，倾斜角是0； （4）经过点D (5,6)，与x 轴垂直．2．写出下列直线的斜截式方程：（1y 轴上的截距是3-； （2）斜率是3-，与x 轴交点坐标为(2,0)．3. 方程(2)y k x =-表示①通过点(2,0)-的所有直线 ②y 轴上的截距是-2k③通过点(2,0)且不垂直于x 轴的直线 ④通过点(2,0)且除去x 轴的直线例3：（1）求直线2)y x =-的倾斜角；（2）求直线2)y x =-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30所得的直线方程．例4：在同一坐标作出下列两组直线 ，分别说出这两组直线有什么共同特征？（1）2y =，2y x =+，2y x =-+，32y x =+，32y x =-+；（2）2y x =，21y x =+，21y x =-，24y x =+，24y x =-思考题：已知直线l 经过点P (－1，－2)，在y 轴上的截距的取值范围为[2,6]，求此直线斜率的取值范围．高二数学作业 必修2 直线的方程——点斜式(斜截式) 班级 姓名1．已知直线的倾斜角为45°，在y 轴上的截距为2，则此直线方程为________．2．过点P (－2,0)，且斜率为3的直线的方程是________．3．直线x ＋y ＋1＝0的倾斜角与其在y 轴上的截距分别是________．4．斜率与直线y ＝32x 的斜率相等，且过点(－4,3)的直线的点斜式方程是________． 5．直线236x y -=在x 轴、y 轴上的截距分别是6．（1）经过点(2,4)P ，且倾斜角为60的直线方程是 ；（2）倾斜角为150，在y 轴上的截距为2-的直线方程是 ．7．若ABC ∆在第一象限，(1,1),(5,1)A B ，且点C 在直线AB 的下方，60,45CAB B ∠=∠=，则直线AC 的方程是 ，直线BC 的方程是 ．8．直线22(252)(4)50a a x a y a -+--+=的倾斜角为45，则a 的值为9．直线0Ax By C ++=通过第二、三、四象限，则系数,,A B C 需满足条件10．将直线l ：y ＝－3(x －2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转60°得到直线l ′，则直线l ′的方程为________．11．已知直线l 经过点(2,1)，且它的倾斜角是直线1l ：2y +的一半，求直线l 的方程．12．设直线0ax by c ++=经过点(1,1)和(3,5)-，求::a b c ．13．将直线1l ：20x y -=绕着它上面的一点按逆时针方向旋转15得直线2l ，求2l 的方程．14．已知直线l 的斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程．15．已知直线12y x b =+与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，如果AOB ∆的面积（O 为坐标原点）不大于1，求b 的范围是。
《直线的倾斜角和斜率》◆教材分析本课是北师大版普通高中数学必修二第二章第1节的内容，是高中解析几何内容的开始。
直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线与其几何性质的基础。
本节有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。
直线倾斜角是描述直线倾斜程度的几何要素，课本结合具体图形，在探索确定直线位置的几何要素中给出直线倾斜角概念。
直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。
◆教学目标【知识与能力目标】正确理解直线的倾斜角和斜率的概念；理解直线的倾斜角的唯一性；理解直线的斜率的存在性；斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。
【过程与方法目标】通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力。
【情感态度价值观目标】通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神。
◆教学重难点◆【教学重点】抽象概括直线的倾斜角和斜率的概念，探索发现过两点的直线的斜率公式。
【教学难点】直线的倾斜角概念的形成、斜率的概念的理解。
◆课前准备◆电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、导入部分 我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线。
那么, 经过一点P 的直线l 的位 置能确定吗？二、研探新知，建构概念1、电子白板投影出上面实例。
如图, 过一点P 可以作无数多条直线a ,b ,c , …易见,答案是否定的。
这些直线有什么联系呢?(1)它们都经过点P ； (2)它们的‘倾斜程度’不同。
2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。
（1）直线的倾斜角的概念在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l , 把 x 轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角叫做直线l 的倾斜角。
必修2直线的斜率教案篇一：高中数学2.1.1直线的斜率教案苏教版必修22.1.1直线的斜率教学目标：1．理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式；2．理解直线倾斜角的定义，知道直线的倾斜角的范围；3．掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系；4．使学生初步感受直线的方向与直线的斜率之间的对应关系，从而体会到要研究直线的方向的变化规律，只要研究直线斜率的变化规律．教材分析及教材内容的定位：本节课是平面解析几何的入门课，应该让学生知道解析几何的本质；斜率和倾斜角是刻画直线的两个基本量，要让学生理解两个量的定义及两个量之间的关系，应该明确斜率的两种计算方法；要让学生体会斜率变化规律和直线变化规律的关系．教学重点：过两点的直线的斜率公式的运用．教学难点：斜率的引入及倾斜角与斜率之间的关系．教学方法：合作交流法．教学过程：一、问题情境1．本章研究的问题是——对于基本的几何图形——直线与圆．——如何建立它们的方程？——如何通过方程来研究它们的性质？——位置关系（平行、相交、?）．2．本节课研究的问题是：——如何确定直线？——两个要素（两点、点与方向）——通过建立直角坐标系，点可以用坐标来表示．——如何用一个代数的量来刻画直线的方向（倾斜程度）？二、学生活动1．探究1：在同一坐标系中作出下列函数的图象：（1）y＝x＋1；（2）y＝2x＋1；（3）y＝－x＋1．2．探究2：900m900m上图为环法自行车赛某日路线图的一部分，oa，aB两段哪段路程更“陡峭”？为什么？用什么来刻画山坡的倾斜程度？怎样将“直观”量化？三、建构数学1．直线的斜率．已知两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，那么直线PQ的斜率（slope）为：k?y2?y1(x1?x2)x2?x1说明：（1）如果x1＝x2，那么直线PQ⊥x轴，此时k不存在（斜率不存在）；（2）k＝y2－y1纵坐标的增量?y＝x2－x1横坐标的增量?x（3）对于一条（与x轴不垂直的）直线而言，它的斜率是一个定值，由该直线上任意两点确定的直线的斜率总是相等的．2．直线的倾斜角．在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角（inclination），并规定：与x轴平行或者重合的直线的倾斜角为0．说明：o（1）由定义可知，直线的倾斜角?的取值范围是0???180；（2）与斜率比较，直线的倾斜角和直线的斜率都是刻画直线的倾斜程度的一个量，其中所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率；（3）通过研究发现：当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角?之间满足k＝tan?．四、数学运用例1已知直线l1，l2，l3，l4都经过点P(3，2)，又l1，l2，l3，l4分别经过点Q1(3，7)，Q2(－3，2)，Q3(－2，－1)，Q4(4，－2)，讨论l1，l2，l3，l4的斜率是否存在，如存在，求出直线的斜率．例2经过点(3，2)画直线，使直线的斜率分别为：3（1；44（2）?5（3）0；（4）斜率不存??例3根据下列条件，分别画出经过点P，且斜率为k的直线，并写出倾斜角?：（1）P(1，2)，k＝1；（2）P(－1，3)，k＝0；（3）P(0，－2)，k＝（4）P(1，2)，斜率不存在．五、要点归纳与方法小结1．如何确定直线？直线的方向（倾斜程度）用什么量来刻画？——斜率是刻画直线方向（倾斜程度）的代数量，它可以由直线的方程直接地体现．2．斜率的取值范围是什么？倾斜角的取值范围是什么？斜率与倾斜角有什么关系？——斜率k?R，倾斜角??[0，π)，k＝tan?，一般地，斜率k随着倾斜角?的增大而增大，但是，[0，π)不是其单调区间（分隔成两个单调区间）．篇二：数学必修2：直线的倾斜角和斜率教案课题：直线的倾斜角和斜率(1)课型：新授课教学目标:知识与技能1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．2.理解直线的倾斜角的唯一性.[来源:学科网zXXK]3.理解直线的斜率的存在性.4.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．情感态度与价值观1.通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．2.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．重点与难点:直线的倾斜角、斜率的概念和公式.教学方法：启发、引导、讨论.[来源:学_科_网]教学过程：1.直线的倾斜角的概念我们知道,经过两点有且只有(确定)一条直线.那么,经过一点P的直线l的位置能确定吗?如图,过一点P可以作无数多条直线a,b,c,…易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?(1)它们都经过点P.(2)它们的‘倾斜程度’不同.怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?引入直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.．．．问:倾斜角α的取值范围是什么?0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时,α=90°.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度,引入直线的倾斜角之后,我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.直线a∥b∥c,那么它们的倾斜角α相等吗?答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:一个点和一个倾斜角α．．．P．．．．．．．．.2.直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=t anα⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 例如,α=45°时,k=tan45°=1;α=135°时,k=tan135°=tan(180°－45°)=-tan45°=-1.[来源:z,xx,][来源:]学习了斜率之后,我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.3.直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?可用计算机作动画演示:直线P1P2的四种情况,并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导.(略)斜率公式：对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α=90,直线与x轴垂直；(2)k与P1、P2的顺序无关,即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换,但分子与分母不能交换;(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;(4)当y1=y2时,斜率k=0,直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．4．例题:例1已知a(3,2),B(-4,1),c(0,-1),求直线aB,Bc,ca的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.略解:直线aB的斜率k1=1/7>0,所以它的倾斜角α是锐角;[来源:学#科#网z#X#X#K]直线Bc的斜率k2=-0.5必修2直线的斜率教案);直线ca的斜率k3=1>0,所以它的倾斜角α是锐角.例2在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1,2,及-3的直线a,b,c,l.分析:要画出经过原点的直线a,只要再找出a上的另外一点m.而m的坐标可以根据直线a的斜率确定;或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x轴的正半轴为角的一边,在x轴的上方作45°的角,再把所作的这一边反向延长成直线即可.略解:设直线a上的另外一点m的坐标为(x,y),根据斜率公式有1=(y－0)／(x－0)，所以x=y可令x=1,则y=1,于是点m的坐标为(1,1).此时过原点和点m(1,1),可作直线a.同理,可作直线b,c,l.(用计算机作动画演示画直线过程)5．练习:P861.2.3.4.课堂小结:(1)直线的倾斜角和斜率的概念．[来源:](2)直线的斜率公式.课后作业:P89习题3.11.2.3.4课后记:课题：直线的倾斜角和斜率(2)课型：习题课教学目标：1.进一步加深理解直线的倾斜角和斜率的定义2.已知直线的倾斜角，会求直线的斜率3.已知直线的斜率，会求直线的倾斜角4.培养学生分析探究和解决问题的能力.教学重点：直线的倾斜角和斜率的应用教学难点：斜率概念理解与斜率公式的灵活运用教学过程1．复习：1)说出倾斜角和斜率的概念，它们都反映了直线的什么牲特征？2)斜率的计算公式是什么？2.巩固练习：1)已知直线的倾斜角，口答直线的斜率：(1)?＝0°；（2）?＝60°；(3)?＝90°；（４）150°2).直线l经过原点和点(－1,－1),则它的倾斜角是3).过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()a.1B.4c.1或3d.1或44).已知a(2，3)、B(－1，4)，则直线aB的斜率是.5).已知m(a,b)、n(a,c)(b≠c),则直线mn的倾斜角是.6).已知o(0，0)、P(a,b)(a≠0)，直线oP的斜率是.7).已知P当x1?x2时，直线P当x1?x21(x1,y1),P2(x2,y2)，1P2的斜率k且y1?y2时，直线P1P2的斜率为3．例题分析：1例1.若三点a(2,3)，B(3,?2)，c(,m)共线，求m的值2?2?3m?321??m?13?22?22说明：本题旨在让学生了解斜率也可研究直线的位置关系，为下节课的学习打基础例2．如果直线l经过a(－1,2m)、B(2，m2)二点，求直线l的斜率K的取值范围。
例3．若直线l的斜率为函数f(a)?a2?4a?3(a?R)的最小值，判定直线的倾斜角是锐角还是钝角？例4.已知两点a(－3,4)、B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段aB 有公共点.求直线l的斜率k的取值范围.(k≤－1或k≥3)4．提高练习1.若直线l过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线l的斜率为,倾斜角为[来源:学&科&网z&X&X&K]2.已知直线l1的倾斜角为?1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角?2为________.13已知两点a(x,－2),B(3,0),并且直线aB的斜率为，则x=24斜率为2的直线经过(3，5)、(a,7)、(－1,b)三点，则a、b的值是() a.a=4,b=0B.a=－4,b=－3c.a=4,b=－3d.a=－4,b=35已知两点m(2，－3)、n(－3，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段mn相交，则直线l的斜率k的取值范围是()3333a.k≥或k≤－4B.－4≤k≤c.≤k≤4d.－≤k≤44444归纳小结：解题时，要重视数学思想方法的应用.作业布置：完成全优设置相关练习.[来源:学科网zXXK]课后记:[来源:学科网]解：kaB?kac?课题：两条直线的平行与垂直课型：新授课教学目标：理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.教学重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．教学难点：启发学生,把研究两条直线的平行或垂直问题,转化为研究两条直线的斜率的关系问题．注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况,在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．教学过程：(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直上一节课,我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念,而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度,并推导出了斜率的坐标计算公式.现在,我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．讨论:两条直线中有一条直线没有斜率,(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．(二)两条直线的斜率都存在时,两直线的平行与垂直设直线L1和L2的斜率分别为k1和k2.我们知道,两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的,而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的.所以我们下面要研究的问题是:两条互相平行或垂直的直线,它们的斜率有什么关系?首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助计算机,让学生通过度量,感知α1,α2的关系)∴tgα1=tgα2．即k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等:即k1=k2，那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°，0°≤α＜180°，∴α1=α2．又∵两条直线不重合，∴L1∥L2．结论:两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前．．．．．．．．提，结论并不成立．即如果k1=k2,那么一定有L1∥L2;反之则不一定. 下面我们研究两条直线垂直的情形．如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．篇三：高中数学直线的倾斜角与斜率教案新人教a版必修23.1.1直线的倾斜角和斜率教案主讲人：抚宁二中王雅玲课型：新授课课时：1课时教学目标：1、知识与技能（1）正确理解直线倾斜角和斜率的概念。
