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FS FT DFS DTFT DFT 的联系和区别摘2011—09—10 22：50转载自分享最终编辑bacon7630FS FT DFS DTFT DFT 的联系和区别对于初学数字信号（DSP）的人来说，这几种变换是最为头疼的，它们是数字信号处理的理论基础，贯穿整个信号的处理。
学习过《高等数学》和《信号与系统》这两门课的朋友，都知道时域上任意连续的周期信号可以分解为无限多个正弦信号之和,在频域上就表示为离散非周期的信号,即时域连续周期对应频域离散非周期的特点,这就是傅立叶级数展开（FS）,它用于分析连续周期信号。
FT是傅立叶变换，它主要用于分析连续非周期信号，由于信号是非周期的，它必包含了各种频率的信号,所以具有时域连续非周期对应频域连续非周期的特点.FS和FT 都是用于连续信号频谱的分析工具，它们都以傅立叶级数理论问基础推导出的。
时域上连续的信号在频域上都有非周期的特点,但对于周期信号和非周期信号又有在频域离散和连续之分。
在自然界中除了存在温度,压力等在时间上连续的信号,还存在一些离散信号，离散信号可经过连续信号采样获得，也有本身就是离散的。
例如,某地区的年降水量或平均增长率等信号，这类信号的时间变量为年，不在整数时间点的信号是没有意义的.用于离散信号频谱分析的工具包括DFS，DTFT和DFT。
DTFT是离散时间傅立叶变换，它用于离散非周期序列分析，根据连续傅立叶变换要求连续信号在时间上必须可积这一充分必要条件，那么对于离散时间傅立叶变换,用于它之上的离散序列也必须满足在时间轴上级数求和收敛的条件；由于信号是非周期序列,它必包含了各种频率的信号，所以DTFT对离散非周期信号变换后的频谱为连续的，即有时域离散非周期对应频域连续周期的特点。
当离散的信号为周期序列时,严格的讲，傅立叶变换是不存在的，因为它不满足信号序列绝对级数和收敛（绝对可和）这一傅立叶变换的充要条件，但是采用DFS(离散傅立叶级数）这一分析工具仍然可以对其进行傅立叶分析。
傅里叶变换公式
傅里叶变换（Fourier Transform）是一种数学运算，用于将一个函数从时域（时间域）转换到频域。
傅里叶变换的基本公式如下：
离散傅里叶变换（DTFT）：X(k) = Σ[n=0, N-1] x(n) * e^(-j * 2π * k * n / N) 其中，X(k)表示频域中的复数值，k表示频域的离散频率，x(n)表示时域中的复数值，n表示时域的离散时间，N表示时域采样点数。
如果是连续信号，可以使用连续傅里叶变换（CTFT）：
X(ω) = ∫[−∞,+∞] x(t) * e^(-j * ω * t) dt 其中，X(ω)表示频域中的复数值，ω表示频域的连续角频率，x(t)表示时域中的复数值，t表示时域的连续时间。
傅里叶变换将信号从时域变换到频域，可以揭示信号中不同频率成分的强度和相位信息，对于频谱分析、滤波、信号处理等具有重要意义。
傅里叶变换的逆变换可以将信号从频域重新转换回时域，以便还原原始信号。
需要注意的是，上述公式是傅里叶变换的基本形式，而傅里叶变换还有一些特殊形式和性质，如快速傅里叶变换（FFT）等。
这些公式和性质在信号处理、图像处理、通信等领域中有着广泛的应用。
数字信号处理期末试卷(含答案)数字信号处理期末试卷一、填空题：（每空1分，共18分）1、数字频率ω是模拟频率Ω对采样频率fs的归一化，其值是连续Ω与数字频率ω之间的映射变换关系为Ω=2tan(ωT/2)。
用双线性变换法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之间的映射变换关系为Ω=2fsarctan(ω/fs)。
2、双边序列z变换的收敛域形状为圆环或空集。
3、某序列的DFT表达式为X(k)=∑x(n)Wkn，由此可以看出，该序列时域的长度为N，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是2π/M。
4、线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为H(z)=(8(z^2-z-1))/(2z^2+5z+2)，则系统的极点为z=1/2，z=-2；系统的稳定性为不稳定。
系统单位冲激响应h(n)的初值h(0)=4；终值h(∞)不存在。
5、如果序列x(n)是一长度为64点的有限长序列(0≤n≤63)，序列h(n)是一长度为128点的有限长序列(0≤n≤127)，记y(n)=x(n)*h(n)（线性卷积），则y(n)为64+128-1=191点的序列，如果采用基2FFT算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT的点数至少为256点。
6、用冲激响应不变法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之间的映射变换关系为Ω=2fsarctan(ω/fs)。
7、当线性相位FIR数字滤波器满足偶对称条件时，其单位冲激响应h(n)满足的条件为h(n)=h(N-1-n)，此时对应系统的频率响应H(ejω)=H(ω)ejφ(ω)，则其对应的相位函数为φ(ω)=-N/2ω。
8、巴特沃什滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器是三种常用低通原型模拟滤波器。
二、判断题（每题2分，共10分）1、模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，只要加一道采样的工序就可以了。
（×）2、已知某离散时间系统为y(n)=T[x(n)]=x(5n+3)，则该系统为线性时不变系统。
