数学必修Ⅰ北师大版4.1.1方程的根与函数的零点课件
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高一数学 方程的根与函数的零点1 课件必修1
B
）
B． 2,3
B） 2．若方程 2ax 2 x 1 0 在 0,1 内恰有一解，则 a 的取值范围（
1 C． 1, 和 3,4 e
D． e,
1 ． 分 析 ： 判 断 区 间 a, b 是 否 为 f ( x ) 零 点 所 在 的 区 间 ， 只 要 判 断
由表3--1和图3.1-3可知,f(2)<0,f(3)>0, 即f(2)·f(3) <0说明这 个函数在区间(2,3)内 有零点。由于函数f(x) 在定义域(0,+∞)内是 增函数，所以它仅有 一个零点.
-5
6
4
2
fx = lnx+2x-6
5
10
-2
-4
图3.1--3
你能判断函数 f ( x) Inx ) 2函数 x 6 的单调性并给 增 (减 ) 函数之和为增 (减 ; 出相应的证明吗？ 增函数与减函数之差为增函数.
③
0
1
x
x 2 x 3 0 与 y x 2x 3
2
2
y
4 3
方 程x 2 2 x 3 0没 有 实 数 根 ；
函 数y x 2 x
2
2 3的 图 象 与 x轴 没 有 交 点 。 1 -1 0 1
x
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0）的根与二次函数 y= ax2+bx+c (a≠0）的图象有如下关系：
1,0， 3， 函 数y x 2 x 3的 图 象 与 x轴 有 两 个 交 点 0 。
2
-1
0
3
x
②
x 2x 1 0 与 y x 2x 1
）
B． 2,3
B） 2．若方程 2ax 2 x 1 0 在 0,1 内恰有一解，则 a 的取值范围（
1 C． 1, 和 3,4 e
D． e,
1 ． 分 析 ： 判 断 区 间 a, b 是 否 为 f ( x ) 零 点 所 在 的 区 间 ， 只 要 判 断
由表3--1和图3.1-3可知,f(2)<0,f(3)>0, 即f(2)·f(3) <0说明这 个函数在区间(2,3)内 有零点。由于函数f(x) 在定义域(0,+∞)内是 增函数，所以它仅有 一个零点.
-5
6
4
2
fx = lnx+2x-6
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图3.1--3
你能判断函数 f ( x) Inx ) 2函数 x 6 的单调性并给 增 (减 ) 函数之和为增 (减 ; 出相应的证明吗？ 增函数与减函数之差为增函数.
③
0
1
x
x 2 x 3 0 与 y x 2x 3
2
2
y
4 3
方 程x 2 2 x 3 0没 有 实 数 根 ；
函 数y x 2 x
2
2 3的 图 象 与 x轴 没 有 交 点 。 1 -1 0 1
x
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0）的根与二次函数 y= ax2+bx+c (a≠0）的图象有如下关系：
1,0， 3， 函 数y x 2 x 3的 图 象 与 x轴 有 两 个 交 点 0 。
2
-1
0
3
x
②
x 2x 1 0 与 y x 2x 1
函数的零点与方程的根.ppt
例 6 （ 上 海 02 高 考 ）、 已 知 函 数
f
(x)
ax
x2 x 1
a
1。
(1)求 f(x)单调区间。
(2)若 a=3,求证方程 f(x)=0 有且仅有一个正根。
解:(1)定义证明.(2)因在 (1,) 为增函数,
故在 (0,) 为增,又 f(0)= -1<0,f(1)=2.5,所 以在(0,1)有且只有一个正根.下用二分法 约为 0.28(列表,区间,中点,中点函数值)
求函数F( x) f ( x) g( x)的零点可转化为 求函数y f ( x)与y g( x)图像交点的横坐标
一、一元二次函数与一元二次方程 内容复习
知识归纳：1、一元二次函数、不等式、方程的关系
0
0
0
二次函数
y ax2 bx c
（ a 0 ）的 图象
一元二次方程
ax2 bx c 0
a 0的根
有两相异实根 有两相等实根
x1, x2 (x1 x2 )
x1
x2
b 2a
ax2 bx c 0
(a 0)的解集
x x x1或x x2
x
x
b 2a
无实根 R
ax2 bx c 0
例7 已知函数 f(x)＝－x2＋2ex＋m
－1，g(x)＝x＋ex2(x>0)． (1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范
围； (2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)
＝0有两个相异实根．
y f (x) 有零点（即横坐标）。
若函数f(x)的图像在x=x0处与x轴相切，则零点 x0为不变号零点若函数f(x)的图像在x=x0处与x 轴相交，则零点x0为变号零点
4.1方程的根与函数的零点ppt课件高中数学必修一北师大版
1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关 系．(易混点) 2．会求函数的零点．(重点) 3 ．掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个
数．(难点)
数学 必修1
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
函数的零点
1．零点的定义 f(x)＝0的实数x 对于函数 y ＝ f(x) ，把 _____________________ ，叫做函数 y ＝f(x)的零点．
1．下列图象表示的函数中没有零点的是(
)
答案： A
数学 必修1
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2．方程0.9x－x＝0的实数解的个数是( A．0个 C．2个 B．1个 D．3个
)
解析：
设 f(x) ＝ 0.9x － x ，则 f(x) 为减函数，值域为 R，故
f(x)有1个零点，∴方程0.9x－x＝0有一个实数解． 答案： B
合作探究 课堂互动
数学 必修1
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
求函数的零点
求下列函数的零点： (1)f(x)＝x3－7x＋6；(2)f(x)＝x2－x－6；
1 x (3)f(x)＝ 2 －4；(4)f(x)＝log3x－1.
[思路探究]
1．函数的零点的本质是什么？ 2．函数的零点与方程的根有何对应关系？
解析： (1)当 a＝0 时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根， 不符合题意． (2)当 a>0 时，设 f(x)＝ax2－2x＋1， ∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上， f0>0， ∴f1<0， f2>0， 1>0， 即a－2＋1<0， 4a－4＋1>0， 3 解得 <a<1. 4
课件5：3.1.1 方程的根与函数的零点
A．0
B．1
C．2
D．无数个
答案 A
3.
已知函数 y＝f(x)是偶函数，其部分图像如图所示，则这个函 数的零点至少有________个．
答案 4 解析 偶函数图像关于 y 轴对称．
4．如果函数 f(x)＝ax＋b 有一个零点是 2，那么函数 g(x)＝ bx2－ax 的零点是________． 答案 0，－12 5．函数 f(x)＝x－1(2≤x≤10)的零点为 x＝1 吗？
如图所示．
(2)不等式 xf(x)<0 同解于x>0， fx<0
或xf<x0>，0，
结合函数图像
得不等式的解集为(0,2)∪(－2,0)．
课后巩固
1．函数 f(x)＝x2－3x－4 的零点是( )
A．1，－4
B．4，－1
C．1,3
D．不存在
答案 B
2．函数 f(x)＝x＋4x的零点的个数是( )
2．如何正确理解函数零点存在性判定定理？
答：(1)并不是所有的函数都有零点，如函数 y＝1x就没有零点． (2)函数 y＝f(x)如果满足：①函数在区间[a，b]上的图像是连 续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内 有零点．
(3)对于有些函数，即使它的图像是连续不断的一条曲线，当 它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数 y＝x2 有零点 x0＝0， 但显然函数值没有变号．但是，对于任意一个函数，相邻的两个 零点之间所有的函数值保持同号．
答案 不是
规律总结 一元二次方程的实根分布 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)实根的分布 (1)方程有两个均小于常数 k 的不等实根的充要条件是
高一数学《方程的根与函数的零点》PPT课件
设判别式 ＝b2 4ac ：
（1）当 0 时，一元二次方程有两个不等的实数 根 x1, x2 ，相应的二次函数的图象与 x 轴有两个交 点 ( x1, 0), ( x2 , 0). （2）当 0 时，一元二次方程有两个相等的实数 根 x1 x2 ，相应的二次函数的图象与 x 轴有唯一的 交点 ( x1, 0).
y
由表和图可知
14
f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，1102
说明这个函数在区间(2,3)内 8
有零点。
6 4
由于函数f(x)在定义域 2
(0,+∞)内是增函数，所以
0 －2
它仅有一个零点。
－4
. . . . . .. .
利亚公式
花拉子米(约780～约850) 给出了一次方程和二次方 程的一般解法。
阿贝尔(1802～1829) 证明了五次以上一般 方程没有求根公式。
问题1 求出下列一元二次方程的实数根，画出相应的二次
函数图象，并说出方程的根和函数图象的关系。
方程x2－2x－3=0与函数y=x2－2x－3
方程x2－2x+1=0与函数y=x2－2x+1 方程x2－2x+3=0与函数y=x2－2x+3
例题分析
高 一 数 学 《 方程的 根与函 数的零 点》PP T课件（ 共23张 PPT）
例1 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应Hale Waihona Puke 表和图象x12
3
4
56
7
8
9
f（x）－4 －1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
（1）当 0 时，一元二次方程有两个不等的实数 根 x1, x2 ，相应的二次函数的图象与 x 轴有两个交 点 ( x1, 0), ( x2 , 0). （2）当 0 时，一元二次方程有两个相等的实数 根 x1 x2 ，相应的二次函数的图象与 x 轴有唯一的 交点 ( x1, 0).
y
由表和图可知
14
f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，1102
说明这个函数在区间(2,3)内 8
有零点。
6 4
由于函数f(x)在定义域 2
(0,+∞)内是增函数，所以
0 －2
它仅有一个零点。
－4
. . . . . .. .
利亚公式
花拉子米(约780～约850) 给出了一次方程和二次方 程的一般解法。
阿贝尔(1802～1829) 证明了五次以上一般 方程没有求根公式。
问题1 求出下列一元二次方程的实数根，画出相应的二次
函数图象，并说出方程的根和函数图象的关系。
方程x2－2x－3=0与函数y=x2－2x－3
方程x2－2x+1=0与函数y=x2－2x+1 方程x2－2x+3=0与函数y=x2－2x+3
例题分析
高 一 数 学 《 方程的 根与函 数的零 点》PP T课件（ 共23张 PPT）
例1 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应Hale Waihona Puke 表和图象x12
3
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f（x）－4 －1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
高一数学必修一3.1.1方程的根与函数的零点教学课件共16张PPT
f（x） －4 －1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
y
由表得f(2)<0,f(3)>0，
14
12
.
10
.
说明这个函数在区间(2,3)内有零点。68
由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是
4 2
方程的根与函数的零点
宁阳二中高一数学组
方程的根与函数的零点
问题情境
方程解法史话
在人类用智慧架设的无数座 从未知通向的金桥中，方程的求 解是其中璀璨的一座，虽然今天 我们可以从教科书中了解各式各 样方程的解法，但这一切却经历 了相当漫长的岁月.
我国古代数学家已比较系统 地解决了局部方程的求解的问题。 如约公元50年—100年编成的?九 章算术?，就给出了求一次方程、 二次方程和三次方程根的具体方 法…
ii) 增加条件：0假a设f(x)的图象在[ab,b]x上连续不不一断定，成结立 论成立吗？
方程的根与函数的零点
一般地:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象 是连续不断的一条曲线,并且有f(a)•f(b)<0, 那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点, 即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是 方程f(x)=0的根.
x2 x
0 x1 x
△＜0 没有实数根
y
0
x
函数的图象 与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
方程的根与函数的零点
问题2：上述结论对其他方程与相应函数也 同样成立吗？
f (x) 2x 4
g(x) (x 1)(x 2)(x 3)
「精品」北师大版高中数学必修一课件4-1-1~2-精品课件
∴ ff01＞ ＜00， ， f2＞0，
(6 分)
即 1a＞ －02， ＋1＜0， 4a－4＋1＞0，
解得34＜a＜1.(8 分)
(3)当 a＜0 时，设方程的两根为 x1，x2， 则 x1·x2＝1a＜0，(10 分) x1，x2 一正一负不符合题意． 综上，a 的取值范围为34，1(12 分)
1.25
f(1.25)＜0
(1.25,1.5)
1.375
f(1.375)＞0
(1.25,1.375)
1.312 5
f(1.312 5)＜0
(1.312 5,1.375)
∵|1.375－1.312 5|＝0.062 5＜0.1， 故函数 f(x)＝x3－x－1 在(1,1.5)内的一个近似零点为 1.375， 即方程 x3－x－1＝0 在(1,1.5)内的一个近似解为 1.375.
规律方法 这是一类非常基础且常见的问题，考查的是函数零 点的判定方法，一般而言只需将区间端点代入函数求出函数值， 进行符号判断即可得出结论，这类问题的难点往往是函数值符 号的判断，可运用函数的有关性质进行判断，同时也要注意该 函数的单调性．
【训练 1】 求下列函数的零点： (1)f(x)＝－x2－2x＋3； (2)f(x)＝x4－1； (3)f(x)＝x3－4x.
规律方法 使用二分法求方程的近似解应转化为求其相应函数 的近似零点，当区间两个端点在满足精确度条件下的近似值相 等时，所得区间两个端点的近似值便为所求方程的根(或函数零 点)．
【训练 2】 在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸房到防洪指挥 部的电话线路发生了故障，这是一条 10 km 长的线路，每隔 50 m 有一根电线杆，维修工人需爬上电线杆测试，你能帮他找到 一个简便易行的方法吗？
高中数学《方程的根与函数的零点》课件
27
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课 函数零点的应用
例 4 已知关于 x 的方程 x2－2ax＋4＝0，在下列条件
下，求实数 a 的取值范围．
(1)一个根大于 1，一个根小于 1；
(2)一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内．
解 (1)方程 x2－2ax＋4＝0 的一个根大于 1，一个根小
f0＝4>0， f1＝5－2a<0， 性定理得f6＝40－12a<0， f8＝68－16a>0，
解得130<a<147.
29
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
13
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修1
【跟踪训练 1】 若函数 f(x)＝x2＋x－a 的一个零点是 －3，求实数 a 的值，并求函数 f(x)其余的零点．
解 由题意知 f(－3)＝0， 即(－3)2－3－a＝0，a＝6， ∴f(x)＝x2＋x－6. 解方程 x2＋x－6＝0，得 x＝－3 或 2. ∴函数 f(x)其余的零点是 2.
(4)如果单调函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不 断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么函数 y＝f(x)在区间 (a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的 c∈(a，b)，使得 f(c) ＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．
10
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
于 1，设 f(x)＝x2－2ax＋4，结合二次函数的图象与性质及
零点的存在性定理得
f(1)＝5－2a<0，解得
5 a>2.
高一数学方程的根与函数的零点1PPT课件
本课件下载后可根据实际情况进行调整
20
是连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(b)0,
那么，函数y f(x)在区间（a,b）内一定不
存在零点.
y
aO
bx
例 1 、 判 断 函 数 f( x ) l n x 2 x 6 是 否 存 在 零 点 ? 如 果 存 在 ， 有 几 个 零 点 ？
x1 2 3 4 5
f ( x ) 4 1.31 1 .1 0 3 .3 9 5 .6 1
△＞0 △= 0 △＜0
ax2bxc0两个不相等 两个相等实 没有实根
(a 0)的根
的实根 x 1 , x 2 根 x1 x2
y
y
yax2 bxc y
(a0)的图象 x1 0 x2 x 0 x1 x 0
x
1、对于函数y=f(x)，我们把使f (x)=0 的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
2、函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点.
结合思想． 三、重要题型：求函数零点、判断零 点个数、求零点所在的大致区间．
提问与解答环节
Questions and answers
18
结束语
感谢参与本课程，也感激大家对我们工作的支持与积极 的参与。课程后会发放课程满意度评估表，如果对我们
课程或者工作有什么建议和意见，也请写在上边
19
感谢您的观看与聆听
例 2、 利 用 函 数 图 象 判 断 方 程 2xx2 有 没 有 根 ； 如 果 有 根 ， 有 几 个 根 ?
解 : 令 f(x)2x,g(x) x2
y
f ：P88 2
小结： 一、知识与技能
（1）方程的根与函数的零点的关系
20
是连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(b)0,
那么，函数y f(x)在区间（a,b）内一定不
存在零点.
y
aO
bx
例 1 、 判 断 函 数 f( x ) l n x 2 x 6 是 否 存 在 零 点 ? 如 果 存 在 ， 有 几 个 零 点 ？
x1 2 3 4 5
f ( x ) 4 1.31 1 .1 0 3 .3 9 5 .6 1
△＞0 △= 0 △＜0
ax2bxc0两个不相等 两个相等实 没有实根
(a 0)的根
的实根 x 1 , x 2 根 x1 x2
y
y
yax2 bxc y
(a0)的图象 x1 0 x2 x 0 x1 x 0
x
1、对于函数y=f(x)，我们把使f (x)=0 的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
2、函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点.
结合思想． 三、重要题型：求函数零点、判断零 点个数、求零点所在的大致区间．
提问与解答环节
Questions and answers
18
结束语
感谢参与本课程，也感激大家对我们工作的支持与积极 的参与。课程后会发放课程满意度评估表，如果对我们
课程或者工作有什么建议和意见，也请写在上边
19
感谢您的观看与聆听
例 2、 利 用 函 数 图 象 判 断 方 程 2xx2 有 没 有 根 ； 如 果 有 根 ， 有 几 个 根 ?
解 : 令 f(x)2x,g(x) x2
y
f ：P88 2
小结： 一、知识与技能
（1）方程的根与函数的零点的关系
4.4.1方程的根与函数的零点课件高一上学期数学
2≤m<16,
f(x)= ,
2
y=0,y= 共有
2
6个
规律方法
已知函数有零点(方程有根)求参数的方法
(1)直接法:根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确
定参数的取值范围.
(2)数形结合法:先对f(x)的解析式变形,将f(x)=0转化为h(x)=g(x)[h(x),g(x)的
y2=h(x)的图象,则两个图象公共点的个数就是函数y=f(x)零点的个数.
(4)若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,
再证明该函数在定义域内单调.
变式训练2
(1)若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围是( B )
A.(-∞,1)
B.(1,+∞)
C.(-∞,1]
2 -2, ≤ 0,
3.已知函数 f(x)=
则函数 y=f(x)+3x 的零点个数是( C )
1
1 + , > 0,
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 根据题意,令x2-2x+3x=0,
解得x1=0,x2=-1,当x≤0时,符合题意;
1
令1+ +3x=0,无解,故函数y只有两个零点,故选C.
所以函数y=log2(-2x+1)的零点为0.
探究点二
函数零点个数的判断
【例2】 判断下列函数零点的个数:
(1)f(x)=(x2-4)log2x;
解 令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=±2或x=1.
又因为函数定义域为(0,+∞),所以x=-2不是函数的零点,
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思考6:如果函数y=f(x)在区间[a，b]上 的图象是连续不断的一条曲线，那么当 f(a)·f(b)>0时，函数y=f(x)在区间 （a，b）内一定没有零点吗？
理论迁移
例1 求函数f(x)=lnx+2x -6零点的个数.
例2 试推断是否存在自然数m，使函数 f(x)=3-2x在区间（m，m+1）上有零点？ 若存在，求m的值；若不存在，说明理 由．
作业：
P116练习 P119习题4.1 A组： 1题,2题
思考2：一般地，一元二次方程 ax2+bx+c=0(a＞0)的实根与对应的二次 函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有什 么关系？
思考3：更一般地，对于方程f(x)=0与函 数y=f(x)上述关系适应吗？
思考4：对于函数y=f(x)，我们把使 f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点， 那么函数y=f(x)的零点实际是一个什么 数？
思考3:如果函数y=f(x)在区间[1,2]上的 图象是连续不断的一条曲线，那么在下 列那种情况下，函数y=f(x)在区间(1,2) 内一定有零点？ (1)f(1)＞0,f(2)＞0; (2)f(1)＞0,f(2)＜0; (3)f(1)＜0,f(2)＜0; (4)f(1)＜ 0,f(2)＞0.
思考4:一般地，如果函数y=f(x)在区间 [a，b]上的图象是连续不断的一条曲线， 那么在什么条件下，函数y=f(x)在区间 （a,b）内一定有零点？
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图 象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间 （a,b）内有零点，即存在c∈ (a，b)， 使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的 根.
思考5:如果函数y=f(x)在区间[a，b]上 的图象是间断的，上述原理适应吗？
知识探究（一）：方程的根与函数零点 考察下列一元二次方程与对应的二次函数： （1）方程x 2 2x 3 0与函数y= x2-2x-3； x 2 2x 1 0与函数y= x2-2x+1； （2）方程 2 （3）方程 x 2x 3 0与函数y= x2-2x+3.
思考1：上述三个一元二次方程的实根分 别是什么？ 对应的二次函数的图象与x 轴的交点坐标分别是什么?
思考5：函数y=f(x)有零点可等价于哪些 说法？
函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. 练习：求下列函数的零点：
y y （1） 2 8 ;（2） 2 log 3 x .
x
知识探究（二）：函数零点存在性原理
思考1:函数f(x)=2x-1的零点是什么？ 函数f(x)=2x-1的图象在零点两侧如何分 布？ 思考2:二次函数f(x)=x2-2x-3的零点是 什么？函数f(x)=x2-2x-3的图象在零点 附近如何分布？
4.1 函数与方程 4.1.1 方程的根与函数的零点
第一课时 方程式：2x-1=0与y=2x-1 它们的含义分别如何？ 2.方程 2x-1=0的根与函数y=2x-1的图 象有什么关系？
3.我们如何对方程f(x)=0的根与函数 y=f(x)的图象的关系作进一步阐述？