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高二数学圆的标准方程 圆的一般方程知识精讲 人教版一. 本周教学内容：《解析几何》第二章第二单元§2.5 圆的标准方程；§2.6 圆的一般方程二. 重点、难点：1. 圆的定义：在平面上，到定点的距离等于定长的点的轨迹，叫做圆。
这定点叫做圆的圆心，通常用C 表示；这定点叫做圆的半径，通常用r 表示。
根据圆的定义，易导出圆的标准方程。
2. 圆的标准方程的导出：设圆心C （a ，b ），半径为r ，设P （x ，y ）是圆C 上任意一点，则 ()()由圆的定义，可知，即PC r x a y b r =-+-=22()()化简，得x a y b r -+-=222此即以（，）为圆心，以为半径的圆的标准方程a b r C（1）由标准方程易得圆心坐标及半径；反之，若已知圆心坐标及半径，易得圆的标准方程。
（2）由标准方程可知，欲确定（求出）一个圆，需三个条件：a ，b ，r ，因此在求圆的方程的时候，通常要列出关于a ，b ，r 为未知的三个方程，求解a ，b ，r ，再写出标准方程。
()()若将圆的标准方程进一步去括号，整理，可得圆的一般方程。
x a y b r -+-=2223022.圆的一般方程：x y Dx Ey F ++++=当且仅当时，上述方程才表示圆，其圆心坐标为，，半径D E F DE 224022+->--⎛⎝ ⎫⎭⎪r D E F =+-12422。
事实上，上述结论可由如下方法得来：把的左式配方变形，得：x y Dx Ey F 220++++= x D y E D E F +⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪=+-22442222 若，则该方程表示以，为圆心，以为半D E F C DE D EF 22224022124+->--⎛⎝ ⎫⎭⎪+-径的圆。
若，则该方程即D E F x D y E 222240220+-=+⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪=x D y E DE =-=---⎛⎝ ⎫⎭⎪2222且，此时该方程只有一个解，，它表示一个点。
动圆的圆心轨迹方程动圆的圆心轨迹方程，是描述动圆圆心运动的数学公式。
动圆的圆心轨迹方程是一个非常重要的概念，在物理学、数学等多个领域都有广泛的应用。
在力学中，动圆的圆心轨迹方程用于描述刚体的运动轨迹；在几何学中，它则是研究圆的性质时的基础。
首先，我们来认识一下什么是动圆。
一个圆沿着某一路径做运动，即圆的半径和圆心都在不断变化，这时我们称该圆为动圆。
动圆的运动可以是任意的，可以是匀速的、非匀速的等等。
当我们观察一个动圆运动时，会发现它的圆心的轨迹是非常特殊的一条曲线，我们把这条曲线叫做动圆的圆心轨迹。
动圆的圆心轨迹是一个非常重要的概念，它是描述动圆运动的基本量。
对于任何一个动圆，它的圆心轨迹都是一条特殊的曲线。
接下来，我们来探索一下动圆的圆心轨迹方程。
当你初学动圆的圆心轨迹时，通常会采用参数方程的形式表示。
设圆的半径为r，圆心运动的轨迹为(x(t),y(t))，圆心的初始位置为(x0,y0)，圆的初始方向与x轴正方向之间的夹角为θ，则动圆的圆心轨迹参数方程可以表示为：x(t) = x0 + r cos(ωt+θ)y(t) = y0 + r sin(ωt+θ)其中，ω是圆的角速度，t是时间。
这样我们就得到了一个关于动圆圆心轨迹的基本方程，通过不断改变其中的参数，我们就可以得到各种不同运动状态下的圆心轨迹了。
不过需要注意的是，这个方程是一个参数方程，它并不能直接描绘出圆心轨迹的具体形状，因此我们需要进行进一步转化。
我们可以通过两次对参数方程求导，将其转化为笛卡尔坐标系下的表示形式。
具体来说，我们先对x(t)和y(t)分别求一次导数，得到：dx/dt = -rω sin(ωt+θ)dy/dt = rω cos(ωt+θ)然后再对它们分别求一次导数，得到：d²x/dt² = -rω² cos(ωt+θ)d²y/dt² = -rω² sin(ωt+θ)最终，我们就得到了动圆圆心轨迹的笛卡尔坐标系下的方程：(x-x0)² + (y-y0)² = r²这个方程描述了动圆圆心轨迹的几何特征，它对应的实际运动状态是一个圆形的轨迹，这个圆的圆心坐标为(x0,y0)，半径为r。
用几何画板探究点的轨迹：圆一、设计理念：《几何画板》是一个适用于几何（平面几何、解析几何等）教学的软件平台，将《几何画板》应用于数学课堂教学，不仅可以为师生提供观察和探索几何图形内在关系的良好环境,而且可以改变数学课堂教学的枯燥烦闷.增强了师生的课堂互动，体现了生生的小组合作，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的探究能力，是信息技术在数学课堂的一个重要应用.二、教材分析:本节课是高中数学必修②第四章第139页的“信息技术应用”课题．是在学生学习了“直线与方程”、“圆与方程”这两章课本知识后，基于对“曲线与方程”的思想，有了较好的理解和掌握的前提下，教材安排的一节“信息技术应用”课程．三、学情分析：本节课的授课对象是区重点高中的高二理科生，学生数学基础一般，数学思维相对较差，但是学生对知识的渴求度高，对新鲜事物有很强的好奇心，愿意动手，愿意探究，结合 “小组合作 ”的教学模式，可以实现对《几何画板》的简单操作与应用。
四、教学目标：1.学生能借助《几何画板》来探究有关圆的轨迹问题，能从新的视角审视轨迹问题的本质；认识圆的几何属性在探究过程中的完美运用．2.让学生能从认识到了解，再从了解到应用，初步尝试应用《几何画板》的一些基本功能；能提升学生信息技术的实践能力，培养学生探究数学知识的潜能.3. 通过简单的实践操作，能实现将知识教给学生，将能力传授给学生，实现快乐教学，提升学生学习“数学”的能力．五、教学用具：电子白板、电脑、PPT六、教学过程：一、提出问题,引入概念:问题一：你能说出我们已经学习过的点的轨迹方程有哪些吗？问题二：圆的标准方程？【设计意图：通过两个问题的引入，明确“圆”是“点的轨迹”，点明本节课的主题】二、创设情境,激发兴趣：学生自主阅读课本P139页“信息技术应用”课题,小组交流 《几何画板》的基本信息与功能.【设计意图：创设具体的教学情境，激起的学生的好奇心、求知欲】二、尝试操作,探究轨迹:【例1】已知点)0,2(P ，()0,8Q ,点M 与点P 的距离是它与点Q 的距离的51，用《几何画板》探究点M 的轨迹，并给出轨迹的方程．【设计意图：师生合作,共同完成,使学生初步体会《几何画板》的功能，感受真实的教学情境，激发学生强烈的求知欲】三、提出质疑,探究方程:问题三：利用《几何画板》我们可以找到一些满足条件的点M,但是还不精确，那么，如何得到满足上述条件的所有点，并得到轨迹那？【设计意图：创设质疑情境，学生小组交流，带着问题去学习，将已学的知识应用到实际，体现数学的用处】四、再次质疑,继续探究: 问题四：通过坐标法我们发现上述方程上的点都满足,51=MQ MP 那么反之，满足51=MQ MP 的点，是否都在同一个圆上那？【设计意图：再次质疑，继续探究，渗透“曲线与方程”的思想】五、尝试操作,得出结论：教师指导学生利用几何画板，继续探索满足51=MQ MP 的所有点是否都在一个圆上，进入《几何画板》 中级操作。
《用几何画板探求点的轨迹：圆》教学设计
一、教学背景
1.本节是在充分认识了圆的形成，系统学习了圆的方程，并掌握了求圆的方程的几种方法之后，进一步需要探究的与圆有关的动点轨迹问题。
2.计算机应用在生活的各个方面，在教学中，借助信息技术可以加深学生对几何图形内在关系的理解，激发他们学习的热情，培养学生对计算机的兴趣。
二、教学目标
1.知识与能力：认识、了解几何画板的基本功能；掌握求动点轨迹的两种方法：坐标法和几何法。
2.过程与方法：培养学生仔细观察、大胆猜想、小心求证的严密的逻辑思维能力和严谨的科学态度，通过例题分析，提高学生分析问题的能力。
3.情感导向：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在动态演示中体验数学之美。
三、教学重、难点
用坐标法和几何法求动点轨迹
四、教学方法
问题引导法、演示法
五、教学步骤
1.复习引入
复习圆的方程，求圆的方程的方法
2.例题探究
合作猜想→画板演示→讨论求证→步骤展示→方法总结
3.课堂练习
4.拓展探究
5.课堂小结。
高中数学说课稿《平面动点的轨迹》
高中数学说课稿《平面动点的轨迹》
作为一名辛苦耕耘的教育工作者，时常需要用到说课稿，认真拟定说课稿，快来参考说课稿是怎么写的吧！以下是为大家的高中数学说课稿《平面动点的轨迹》，借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
1、进一步熟练掌握求动点轨迹方程的根本方法。
2、体会数学实验的直观性、有效性，提高几何画板的`操作能力。
1、培养学生观察能力、抽象概括能力及创新能力。
2、体会感性到理性、形象到抽象的思维过程。
3、强化类比、联想的方法，领会方程、数形结合等思想。
1、感受动点轨迹的动态美、和谐美、对称美
2、树立竞争意识与合作精神，感受合作交流带来的成功感，树立自信心，激发提出问题和解决问题的勇气
教学重点：运用类比、联想的方法探究不同条件下的轨迹
教学难点：图形、文字、符号三种语言之间的过渡
【教学方法】观察发现、启发引导、合作探究相结合的教学方法。
启发引导学生积极思考并对学生的思维进行调控，帮助学生优化思维过程，在此根底上，提供应学生交流的时机，帮助学生对自己的思维进行组织和澄清，并能清楚地、准确地表达自己的数学思维。
【教学手段】利用网络教室，四人一机，多媒体教学手段。
通过上述教学手段，一方面：再现知识产生的过程，通过多媒体动态演示，突破学生在旧知和新知形成过程中的障碍(静态到动态);另一
方面：节省了时间，提高了课堂教学的效率，激发了学生学习的兴趣。
【教学模式】重点中学实施素质教育的课堂模式“创设情境、激发情感、主动发现、主动开展”。
高中数学圆心位置定义教案
教学内容：高中数学
教学目标：通过本节课的学习，学生能够正确理解圆心位置的定义，能够准确确定圆心的位置。
教学重点：圆心位置的定义及圆心的确定方法。
教学难点：圆心在平面内的具体位置确定。
教学方法：讲授结合示例分析，引导学生自主探索。
教学工具：黑板、彩色粉笔、圆规、直尺等。
教学内容安排：
1.导入：通过画出一个圆，让学生找出圆心的位置，引导学生认识圆心的定义。
2.讲授：向学生介绍圆心的定义，讲解圆心的特点以及在平面内的位置。
3.示例分析：通过具体的实例，演示如何确定圆心的位置，引导学生根据规律确定圆心的具体位置。
4.练习与讨论：组织学生进行练习，让学生掌握确定圆心位置的方法，并让学生运用所学知识分析问题。
5.总结：总结本节课的内容，强调圆心的重要性及确定方法。
教学反馈：布置练习题，检查学生对圆心位置的理解和掌握程度，及时纠正学生的错误。
拓展延伸：引导学生发现生活中关于圆心位置的例子，并让学生运用所学知识解决问题。
结束语：通过学习本节课，相信大家对圆心位置的概念已经有了更深的理解，希望大家能够在以后的学习中更加细致地探索圆心位置的相关知识。
高二数学说课稿之求动圆圆心轨迹
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除了课堂上的学习外，平时的积累与练习也是学生提高成绩的重要途径，本文为大家提供了高二数学说课稿之求动圆圆心的轨迹，祝大家阅读愉快。
一、教材分析
1、教材的地位和作用
“求动圆圆心轨迹”是高中课本《平面解析几何》第七章直线和圆位置关系的习题课，它利用圆的定义和基本性质，来探索动点轨迹方程的一般求法.通过利用几何画板作图，学生找到了另一种全新的曲线――椭圆，为下一章的学习埋下伏笔.
在知识方面，学生已经学习了圆的定义和基本性质，包括：点和圆的位置关系的判定，直线和圆的位置关系的判定，圆和圆的位置关系的判定.同时也学
习了用代数方程研究曲线性质的“以数论形，数形结合”的数学思想方法;求动点轨迹方程的方法——直接法，利用性质找出方程).
在技能方面，学生已经学会了用“几何画板”作出静止图形和一些简单的动画，有助于学生对动点轨迹的理解.
2、重点和难点
本节课的重点是动圆圆心轨迹的求法;难点是利用圆的定义和基本性质得到等价关系，从而列出方程.
二、教学目标
根据以上分析和学生的具体的情况，确定本节课的教学目标如下：
1、知识目标
掌握轨迹问题的一般求法;
掌握圆的定义及其性质;
掌握利用几何画板作动点轨迹.
2、能力目标使学生在问题的研究过程中，进一步地领会求动点轨迹的思想方法，更深一步地了解、运用圆的定义和性质来分析问题的能力，培养学生的
观察能力、空间想象能力，培养学生综合运用知识解决问题的能力.同时，提高学生几何画板的应用能力.
情感目标通过利用几何画板的作图，增强问题的直观性，激励学生的学习兴趣和动机。
特别是对抽象能力不强的学生有较大帮助，树立他们学好数学的信心，共同提高;运用辩证唯物主义思想：运动与静止的相互关系.
三、学方法和教学手段的选用
根据本节课的内容和学生的实际水平，我采用的主要是启发式的教学方法法、计算机辅助教学、讲练结合的方法.
启发式的教学方法符合辩证叭物主义内因和外因相互作用的观点，符合教学论中的自觉性、积极性、巩固性、可接受性，教学与发展相结合，教师的主导作用与学生的主体地位相统一等原则.这种教学方法的关键是通过教学中的引导、启发、充分调动学生学习的主动性.
在教学中，我采用启发式的教学方法，引导学生探索动圆的性质，利用几
何画板工具作出动点的轨迹，给抽象轨迹以直观感觉，努力提高学生的学习兴趣.通过讲练结合的方法引导学生去完成轨迹方程的推导，熟练公式，巩固圆的性质及定义.通过题组教学法，因材施教，发展学生等价转换、数形结合等思想，培养学生综合运用知识解决问题的意识.
四、关于学习方法的指导
“授人以鱼，不如授人以渔”，我体会到，必须在传授知识给学生的同时，教给他们好的探索方法，也即让他们“会学习”.
首先，让学生根据条件作图，学生在作图时肯定要寻找作图的条件，再通过作出的图象引导学生如何求出轨迹的方程.这样，学生不仅学到了知识，而且通过作图，即熟练了几何画板这个工具又提高了学习兴趣，通过方程的推导，深化了学生对圆的认识，对数形结合思想的理解，提高了学生的认识问题和解决问题的能力.
五、教学过程
课前准备
将学生分成几个小组;从学校局域网或inter网下载几何画板软件并安装;布置几个作图题，要求学生在兴趣小组活动时协商解决.
问题的引入
首先，提问学生圆的定义和基本性质.目的是让学生知道这节课所用的知识.
再次，给出学生要解决的问题，分成两问，第一问：试作出过定点a且与圆相切的动圆圆心轨迹是什么图形?
问题解决步骤
第一步作图：学生分小组讨论和作图.由于作图时学生可以讨论，在这种相对宽松的条件下学生的学习兴趣得到了很大的提高.老师巡视，辅导学生作图.展视学生成果，提问这是什么图形?;
第二步找依据：提问作出图象的学生，作图的依据是什么?你能写出代表这个图像的方程吗?
第三步推导方程：将作图依据转化
为符号语言.设p，则由学生提出的依据可以得出|pa|+|po|=10，然后将各点的坐标代入、化简即可.
第四步归纳：求动圆圆心的轨迹方程的关键在于找到动圆圆心的所具备的特殊性质，从而找到立方程的依
据，最后代入化解即可.
补充说明
上述过程始终围绕着学生展开，基本按照提问——学生思考、制作——再提问——学生推导、计算的流程进行.第一步的目的是提高学生兴趣，让学生先看到了问题的结果.其次也培养他们相互合作的精神，并提高了学生几何画板的运用能力.第二步的目的则在于本问是解决这类问题的核心部分，所以务必要请同学们注意.第三步是解决问题的过程，目的是培养学生思维的严密性，加强运算能力.第四步的目的是从解决动圆圆心轨迹方程得出一般动点轨迹方程的求法.
另外，本节课的另外两道例题也将按照该步骤进行下去，在此就不再详述.
小结
通过本节课的学习，同学们熟练掌握了动圆圆心轨迹的求法，以及一般动点轨迹方程的求解步骤;在此过程中，同学们还更进一步的认识了圆的定义及基本性质;除了掌握了数学知识之外，同学们掌握了怎样用几何画板来作动点轨迹的方法，培养了学生的动手实验能力，拓宽了学生的知识面.
布置作业练习册《圆的性质的综合练习》
六、教学评价的分析
学生在学习的过程中，主要出现这样的问题：经过题目的分析后，仍然无法得出立方程的等价条件，这主要是由于学生对圆的基本性质，如：圆与直线的位置关系、圆与圆的位置关系还没有掌握熟练的缘故，所以除了在课堂上反复强调之外，还需要通过课堂练习各课后作业来强化它们.
通过本节课的学习，学生不仅掌握了动点轨迹的求法，而且通过作图掌握
了几何画板这个软件，通过方程的推导，更加熟悉了圆的性质，深刻体会到平面解析几何的基本思想“以数论形，数形结合”，提高了运用数形结合、等价转化等数学思想方法解决问题的能力;通过思路的探索和轨迹方程的推导，学生的思维品质得以优化，学会辩证地看待问题，享受了数学的美.
本文就是中国（）为大家整理的高二数学说课稿之求动圆圆心的轨迹，希望能为大家的学习带来帮助，不断进步，取得优异的成绩。
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