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空间目标定轨的模型与参数估计方法研究及应用空间目标定轨是指对空间目标的位置、速度和轨道参数进行精确测量和推算的过程。
这个过程对于航天、导航、遥感等领域的应用具有重要意义。
本文将重点介绍空间目标定轨的模型和参数估计方法，并探讨其应用。
一、空间目标定轨模型空间目标定轨的模型包括轨道模型和测量模型。
1.轨道模型轨道模型用来描述空间目标在轨道上的运动规律。
常用的轨道模型包括开普勒模型、球谐模型、中心天体引力模型等。
其中，开普勒模型是最常用的一种模型，通过描述目标在椭圆轨道上运动的六个轨道要素来确定目标的轨道。
2.测量模型测量模型用来描述测量系统对目标位置和速度的测量过程。
常用的测量模型包括单点观测模型、多点观测模型、多传感器融合模型等。
其中，多传感器融合模型是一种综合利用多种不同传感器观测数据的模型，可以提高定轨精度和抗干扰能力。
二、参数估计方法参数估计方法是空间目标定轨的核心内容，根据观测数据对轨道参数进行估计，从而确定目标的位置、速度和轨道。
1.最小二乘法最小二乘法是一种常用的参数估计方法，通过最小化观测数据与模型之间的差异来求解轨道参数。
通过对残差方程进行线性或非线性最小二乘拟合，可以得到目标的轨道参数估计值。
2.卡尔曼滤波卡尔曼滤波是一种递归的参数估计方法，通过动态更新观测数据和状态方程，实现对轨道参数的实时估计。
卡尔曼滤波方法可用于单传感器或多传感器融合的定轨过程，能够提高定轨的精度和稳定性。
三、应用空间目标定轨的应用广泛，主要包括以下几个方面。
1.航天航天任务中，对于卫星、宇宙飞船等空间目标的定轨非常重要。
通过对目标的轨道进行精确测量和推算，可以实现航天器的精确定位、轨道控制和任务规划等功能。
2.导航在导航领域，定轨用于确定导航卫星的位置和速度，以便提供准确的导航信号和定位服务。
通过将多颗导航卫星的定轨结果进行融合，可以提高导航系统的精度和可靠性。
3.遥感在遥感领域，对于地球观测卫星的定轨具有重要意义。
独创性声明本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得山东理工大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。
与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
研究生签名：时间：年月日关于论文使用授权的说明本人完全了解山东理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅；学校可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。
(保密的学位论文在解密后应遵守此协议)研究生签名：时间：年月日导师签名：时间：年月日摘要本文结合某矿区的实际，针对概率积分法参数反演中的病态性以及自适应拟合推估在开采沉陷预计中的应用，以MATLAB为平台，展开研究，主要研究内容和成果如下：1、阐述了概率积分法的基本原理，包括静态预计和动态预计；推导了概率积分法参数反演的基本过程；讨论了非充分开采的参数修正。
2、探讨分析了概率积分法参数估计中法矩阵的病态性问题，并考虑应用岭估计法、截断奇异值法以及新的奇异值修正方案削弱法矩阵病态的可行性；研究分析病态性的处理与参数初值敏感性的关系，由于病态性的改善往往伴随参数初值敏感性的增加，因此引入分辨率的概念，对参数初值的敏感性做定量分析。
3、地表下沉可分为倾向部分和随机部分，对倾向部分可通过概率积分法函数描述，而随机部分则当作先验期望和方差已知的信号处理，用拟合推估方法来处理开采沉陷问题，根据自适应滤波的思想，引入赫尔默特方差分量估计，对信号的先验方差进行调整；引入抗差估计，建立抗差自适应拟合推估模型，处理含有粗差和异值的观测量。
并结合实例，应用抗差自适应拟合推估对开采沉陷的静态预计与动态预计进行研究，算例结果表明：自适应拟合推估调整了信号与观测值之间的权比，使信号向量协方差矩阵与观测向量的协方差矩阵协调一致，提高了估值的精度；在观测值含有粗差的情况下，抗差自适应拟合推估参数估值的精度和稳定性得到明显提高。
计量经济学与数据分析作业指导书第1章导论 (3)1.1 计量经济学与数据分析概述 (3)1.2 数据类型与来源 (3)1.3 计量经济学模型及其应用 (4)第2章数据的描述性统计分析 (4)2.1 数据的基本特征 (4)2.2 数据可视化 (4)2.3 数据分布特征 (5)2.4 数据质量检验 (5)第3章线性回归模型 (5)3.1 一元线性回归模型 (5)3.2 多元线性回归模型 (6)3.3 参数估计与假设检验 (6)3.4 模型诊断与改进 (6)第4章非线性回归模型 (6)4.1 二次回归模型 (6)4.1.1 二次回归模型的构建 (6)4.1.2 二次回归模型的参数估计 (6)4.1.3 二次回归模型的假设检验 (6)4.1.4 二次回归模型的应用实例 (6)4.2 指数回归模型 (6)4.2.1 指数回归模型的构建 (7)4.2.2 指数回归模型的参数估计 (7)4.2.3 指数回归模型的假设检验 (7)4.2.4 指数回归模型的应用实例 (7)4.3 对数回归模型 (7)4.3.1 对数回归模型的构建 (7)4.3.2 对数回归模型的参数估计 (7)4.3.3 对数回归模型的假设检验 (7)4.3.4 对数回归模型的应用实例 (7)4.4 模型选择与比较 (7)4.4.1 模型选择的原则 (7)4.4.2 模型比较的方法 (7)4.4.3 常用模型选择与比较指标 (7)4.4.4 实际案例中的模型选择与比较 (7)第5章多变量回归模型 (7)5.1 联立方程模型 (7)5.1.1 模型设定与识别 (7)5.1.2 参数估计方法 (7)5.1.3 模型检验与诊断 (7)5.2 面板数据模型 (8)5.2.2 参数估计方法 (8)5.2.3 面板数据模型的应用 (8)5.3 工具变量法 (8)5.3.1 工具变量法的原理 (8)5.3.2 工具变量法的估计方法 (8)5.3.3 工具变量法的应用 (8)5.4 稳健回归方法 (8)5.4.1 稳健回归的必要性 (8)5.4.2 稳健回归方法介绍 (8)5.4.3 稳健回归方法的应用 (8)第6章时间序列分析 (9)6.1 时间序列的基本概念 (9)6.2 自相关与偏自相关分析 (9)6.3 时间序列平稳性检验 (9)6.4 时间序列模型建立与预测 (9)6.4.1 AR模型 (9)6.4.2 MA模型 (9)6.4.3 ARMA模型 (9)6.4.4 ARIMA模型 (9)第7章生存分析 (10)7.1 生存数据及其特点 (10)7.2 生存函数与风险函数 (10)7.3 寿命表与累积风险函数 (10)7.4 Cox比例风险模型 (11)第8章主成分分析 (11)8.1 主成分分析基本原理 (11)8.2 主成分提取与载荷分析 (11)8.3 主成分得分与综合评价 (12)8.4 主成分回归模型 (12)第9章聚类分析 (13)9.1 聚类分析基本概念 (13)9.2 层次聚类法 (13)9.3 K均值聚类法 (13)9.4 密度聚类法 (13)第10章计量经济学应用实例 (14)10.1 财政支出与经济增长关系研究 (14)10.1.1 研究背景 (14)10.1.2 数据与模型 (14)10.1.3 实证分析 (14)10.1.4 结果讨论 (14)10.2 产业结构与就业关系研究 (14)10.2.1 研究背景 (14)10.2.2 数据与模型 (15)10.2.4 结果讨论 (15)10.3 污染物排放与经济增长关系研究 (15)10.3.1 研究背景 (15)10.3.2 数据与模型 (15)10.3.3 实证分析 (15)10.3.4 结果讨论 (15)10.4 教育投入与人力资本关系研究 (15)10.4.1 研究背景 (15)10.4.2 数据与模型 (15)10.4.3 实证分析 (16)10.4.4 结果讨论 (16)第1章导论1.1 计量经济学与数据分析概述计量经济学作为一门应用经济学分支，主要研究如何运用统计学、数学和经济学原理对经济现象进行定量分析。
概率密度函数的估计与应用概率密度函数（probability density function，简称PDF）是概率论和数理统计中常用的概念，广泛应用于可变量的分布描述、数据拟合以及随机变量的概率计算中。
在实际应用中，我们经常用到概率密度函数的估计，以求得随机变量的分布特征和统计学参数，从而为数据分析和建模提供有力支撑。
一、概率密度函数的基本概念及分布函数概率密度函数是描述随机变量取值的概率分布的一种数学模型。
简单来说，概率密度函数是一个连续函数，其在某个点的导数表示该点处的概率密度，对于某个区间上的积分则表示该区间内的概率和。
当随机变量服从某一分布时，我们可以通过该分布的概率密度函数来描述其分布特征。
分布函数是概率密度函数的一个相关概念，其所描述的是随机变量取值在某一范围内的累积概率。
与概率密度函数不同的是，分布函数是一个非降的右连续函数，其在某一点的最左极限为该点处的概率。
二、概率密度函数的估计方法根据大数定律和中心极限定理，我们可以利用样本数据来对总体的概率密度函数进行估计。
这里介绍两种常用的概率密度函数估计方法，分别是核密度估计和最大似然估计。
1. 核密度估计核密度估计将样本数据和一个给定的核函数结合起来，通过计算核函数在每个观测值处的值和分布范围，得到在该点处的概率密度函数估计值。
核密度估计的优点在于其所得到的概率密度函数是一个连续函数，并且无需对数据做出具体的分布假设。
2. 最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，其原理是选择某个分布参数（如均值、方差、形状参数等），使得样本数据在该分布下的概率最大。
对于正态分布、指数分布等常见分布，最大似然估计具有较好的稳健性和准确性。
三、概率密度函数的应用概率密度函数的应用十分广泛，下面将简单介绍几个常见的应用场景。
1. 数据拟合在数据分析和建模中，常常需要使用概率密度函数来对数据进行拟合。
通过使用不同的概率密度函数，可以描述不同类型的随机变量，如正态分布、指数分布、泊松分布等。
概率积分变换
概率积分变换（Probability Integral Transformation，PIT）是概率论中的一种无偏估计方法，它利用概率函数的积分特点来形成变换函数，以实现概率数据从参数拟合数据的估计。
PIT用来对概率分布的参数估计，其基本原理是观察到的数据应是某一概率分布的秩统计量，即假定某概率分布下，观察到的数据样本数据落在概率分布函数下面的可积分区域中所占的面积比例。
根据上述理论，PIT实际上是把概率分布的分布函数的可积分区域映射到（0，1）的单位区间，即把随机变量X的概率分布序列积分变换成随机变量Y，使得Y位于单位区间 [0,1] 之内。
PIT把概率分布函数变换成随机变量Y之后，我们就可以很轻松的用Y来估计概率分布的参数。
因为Y只有一个参数，且取值在（0，1）之间，在统计学中，这个参数可以被认为是一种联合分布，也就是广义概率，这样我们就可以估计出概率分布的参数，从而计算出概率分布的某处的概率大小。
此外，PIT还可以用于实验设计，同样可以预先确定概率分布的参数，然后通过PIT 来将概率分布变换成单位区间，再对随机变量Y进行采样，这样就可以获得按照规定概率分布的样本序列。
总的来说，PIT可以大大简化概率分布意义中的参数估计的过程，使得概率数据从参数估计变换成拟合数据的过程更加简单，也可以在实验设计中使用，通过采样获取概率分布随机变量的样本。
因此，PIT可以说是概率论与统计学的一种重要突破。
概率密度函数的估计参数估计概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是概率统计学中一个非常重要的概念，用于描述连续随机变量的概率分布情况。
参数估计是统计学中一个关键的问题，它指的是通过样本数据来估计总体分布的参数。
本文将对概率密度函数的参数估计方法进行详细介绍。
一、参数估计的目标参数估计的目标是找到一组最合适的参数值，使得概率密度函数能够较好地拟合样本数据分布。
一般来说，参数估计可以分为两种类型：点估计和区间估计。
点估计是指利用样本数据直接估计出概率密度函数的参数值，而区间估计则是对参数进行区间估计，给出一个参数取值的范围。
二、点估计的方法1. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）最大似然估计是一种常用的参数估计方法，其基本思想是寻找一组参数值，使得样本观测值出现的概率最大。
对于给定的样本数据，若假设一个概率分布模型，并通过极大化似然函数来求解参数值，就得到了最大似然估计。
2. 矩估计（Moment Estimation）矩估计是通过样本矩直接估计总体矩的方法。
对于连续型分布而言，可以通过样本矩来估计分布的矩，从而得到参数的估计值。
3. 最大后验概率估计（Maximum A Posteriori Estimation，简称MAP）最大后验概率估计是贝叶斯估计的一种特殊情况，其基本思想是在最大化后验概率与似然函数的乘积，从而得到参数的估计值。
相对于最大似然估计，最大后验概率估计将先验分布考虑在内，可以有效地克服样本容量小引起的估计不准的问题。
三、区间估计的方法1. 置信区间估计（Confidence Interval Estimation）置信区间估计是通过样本数据计算出一个参数的区间估计范围，其置信水平表征了参数估计值位于置信区间内的可能性大小。
常用的置信区间估计方法有：正态分布置信区间估计、大样本置信区间估计、Bootstrap置信区间估计等。
广义线性模型的参数估计及其经验应用广义线性模型是统计学中重要的一种模型，它统一了多种线性回归模型，包括普通线性回归、Logistic回归、Poisson回归、Gamma回归等。
广义线性模型的参数估计是模型分析的关键步骤之一，本文将探讨广义线性模型的参数估计及其经验应用。
一、广义线性模型广义线性模型（Generalized Linear Models，简称GLM）的基本表达式为：$g(E(Y))=\beta_0+\sum_{i=1}^{n}\beta_ix_i$其中，$g(E(Y))$是链接函数，$Y$是因变量，$x_i$是自变量，$\beta_i$是系数。
链接函数在不同的模型中有不同的定义，下面介绍几种常见的链接函数及其作用。
1.1. 普通线性回归普通线性回归的链接函数为恒等函数，即：$g(E(Y))=E(Y)$因此，普通线性回归的模型表达式为：$Y=\beta_0+\sum_{i=1}^{n}\beta_ix_i+\epsilon$其中，$\epsilon$为误差项。
1.2. Logistic回归Logistic回归的链接函数为logit函数，即：$g(E(Y))=\log\frac{E(Y)}{1-E(Y)}$Logistic回归用于二分类问题，因此$Y$只有两种取值，通常用0和1表示。
Logistic回归的模型表达式为：$\log\frac{P(Y=1)}{1-P(Y=1)}=\beta_0+\sum_{i=1}^{n}\beta_ix_i$其中，$P(Y=1)$表示$Y$取值为1的概率。
1.3. Poisson回归Poisson回归的链接函数为log函数，即：$g(E(Y))=\log(E(Y))$Poisson回归用于计数数据的分析，因此$Y$只能取非负整数值。
Poisson回归的模型表达式为：$\log(E(Y))=\beta_0+\sum_{i=1}^{n}\beta_ix_i$1.4. Gamma回归Gamma回归的链接函数为倒数函数，即：$g(E(Y))=-\frac{1}{E(Y)}$Gamma回归用于连续正值数据的分析。
经济学毕业论文中的计量经济模型参数估计方法计量经济模型在经济学研究中扮演着重要的角色，它通过对经济变量之间的关系进行量化，并运用统计学方法来估计这些关系的参数。
本文将介绍一些常用的计量经济模型参数估计方法，以及它们在经济学毕业论文中的应用。
一、最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）最小二乘法是最经典的参数估计方法之一，它通过最小化实际观测值与模型预测值之间的差异来估计参数。
在OLS中，我们假设误差项服从正态分布，且具有零均值和常数方差。
这种方法通常适用于线性回归模型。
二、广义最小二乘法（Generalized Least Squares, GLS）广义最小二乘法是对OLS的一种扩展，它允许误差项不符合OLS 的基本假设。
当误差项具有异方差或者相关性时，GLS可以提供更为准确的参数估计。
通过引入协方差矩阵的倒数作为权重矩阵，GLS可以对不同方程的参数进行加权，以提高估计的有效性。
三、仪器变量法（Instrumental Variables, IV）仪器变量法是一种用于解决内生性问题的参数估计方法。
当存在内生性问题时，OLS的估计结果会偏倚，仪器变量法可以通过寻找具有相关性但不影响被解释变量的仪器变量来解决该问题。
该方法常用于面板数据模型或者工具变量回归模型。
四、差分法（Difference-in-Differences, DID）差分法是一种用于估计政策效果的方法。
该方法通过比较政策实施前后不受政策影响的对照组和实施组之间的差异来估计政策效果。
差分法需要具备实验和对照组的数据，并且假设两组在政策实施前具有平行趋势。
五、面板数据模型（Panel Data Model）面板数据模型是一种将时间序列与横截面数据相结合的经济学模型。
它可以用于估计个体效应和时间效应对经济变量的影响。
面板数据模型可以采用固定效应模型、随机效应模型或者混合效应模型进行估计。
六、极大似然法（Maximum Likelihood Estimation, MLE）极大似然法是一种在统计学中广泛使用的参数估计方法。
第29卷 第2期测 绘 学 报V ol .29,N o .2 2000年5月ACT A G EOD AET ICA et CAR T O GR AP HICA SI NI CAM ay .,2000 文章编号:1001-1595(2000)02-0162-04中图分类号:T D325.2 文献标识码:A概率积分法参数的稳健估计模型及其应用研究郭广礼,汪云甲(中国矿业大学,江苏徐州221008)Study of Robust Determining Parameters Model for Probability -integral Method and its ApplicationGUO Guang -li,WANG Yun-jia(China U niv er sity of M ining and T echnology ,X uz hou ,221008,China )Abstract :Apply ing the Ro bust estima tio n t heo r y to determining t he pr edict ion par ameter s of mining subsi-dence ,the aut hor s advanced the ro bust deter mining par ameter s mo del fo r pro bability -integ ral m ethod and de-signed cor responding co mputer pr og ram.A deter mining par ameter t est in ar tificial blunder distur bance was made o n the actual mining subsidence observ atio n data in Fengfeng m ining district.T he test result s show that the technique of r obust deter mining par ameter s can reduce the disturbance o f blunder s ,ov erco me t he it-erat ion diver g ence pro blem in no rmal least -squares fit ting metho d and ensure the predictio n par ameter s r elia-bility and ro bustness.Key words :mining subsidence ;ro bust estima tio n ;pr obabilit y -int egr al method ;para meters determ inatio n 摘 要:将稳健估计理论应用于矿山开采沉陷预计参数的求取,建立了概率积分法稳健求参数学模型,并编制了相应的稳健求参计算软件。
利用峰峰矿区开采沉陷实测资料进行人工异值干扰求参实验,结果表明,采用稳健求参技术可降低异值或粗差的干扰,克服常规的最小二乘法拟合求参时常出现的结果发散问题,保证了求参结果的可靠性和稳健性。
收稿日期:1999-08-12;截稿日期:2000-01-07基金项目:国家自然科学基金重点项目(59734090);煤炭科学基金资助项目(92采10101)作者简介:郭广礼(1965-),男,河北栾城人,中国矿业大学副教授,博士后,主要从事矿山开采沉陷及特殊采煤的科研和教学工作。
关键词:开采沉陷;稳健估计;概率积分法;求参1 引 言据统计,开采沉陷预计误差主要来源于选定的预测模型与实际地表沉陷规律不一致而存在的模型偏差和预计参数确定不恰当造成的参数偏差。
而对于某矿区选定的较适合的开采沉陷预测模型,其地表沉陷预测精度则主要取决于预计参数的可靠性。
基于随机介质力学理论的概率积分法是我国应用最为广泛的开采沉陷预计方法,其预测参数一般根据地表移动观测站实测资料通过最小二乘曲线拟合确定。
最小二乘法有极好的配赋误差的能力,但它不能抗拒粗差或异值的干扰,对粗差的存在非常敏感,可能会使拟合参数估值带有较大偏差。
而由于岩层与地表移动规律很现场监测的复杂性,实测沉陷数据中常包括异值或粗差;同时,概率积分模型还不可避免地存在一定的模型偏差,这些偏差和异值的存在,常致使采用最小二乘曲线拟合求参时的参数估值产生偏差,甚至使参数严重偏离真值。
采用稳健求参技术可较好地克服模型偏差和异值点存在造成的求参困难,使求得的参数更具稳健性和可靠性。
2 选权迭代最小二乘准则及其权函数稳健估计法属于极大似然估计中的一种特殊方法,具备抗拒粗差干扰的能力,保证所估计的参数不受或少受模型误差,特别是粗差的影响。
其基本原理是在一般极大似然估计的基础上,通过一定原则选择影响函数,削弱异值点的影响,使估值达到稳健化的目的[1,2]。
稳健估计法有多种,我们在进行开采沉陷预测参数的稳健估计中采用了选权迭代最小二乘准则。
其数学模型和权函数如下:假设各测点的观测下沉值是等精度的,则选权迭代最小二乘准则可表示为I=V T P V= P i V2i=min(1)其中,P i是选择的权。
考虑到大的残差最有可能是异值或含有粗差,因此可以通过人为地减少它的权来降低其影响。
权是残差的函数,通过迭代计算将前次的计算拟合残差按一定的函数形式(称为权函数)定权。
根据权函数形式的不同,又可分为多种稳健估计方法。
本文的研究中采用了Hu-ber法和最小范数法。
1.Huber法的权函数取为P(V i)k+1=1 V k ≤CC/ V k V k >C(2)式中,P(V i)k+1是第k+1次迭代时取用的权,V k是第k次迭代后各测点的拟合残差,常数C可根据测量精度选取,这里取为C=2 。
在第一次计算时取P i=1。
2.最小范数法的权函数为P(V i)k+1=1V k (2-q)+C(3)式中,q为调节参数,取0≤q<2;C为常数, 0<C≤1。
3 概率积分法参数的稳健估计模型概率积分法参数可根据多个地表任意点沿任意方向的实测资料求出。
常规的求参方法是采用图解或最小二乘曲线拟合法,使得其只适用于正规观测站,并且难以抵御粗差或异值的影响。
应用稳健估计理论,采用选权迭代最小二乘曲面拟合方法求参,不仅可以有效地抵御粗差或异值对参数的干扰,还可以适用于任意形状或残缺观测站资料的求参运算。
概率积分法的数学模型详见文献[3]。
求参采用分步选权迭代最小二乘曲面拟合法。
首先,利用地表点的下沉观测值选权迭代拟合求取下沉系数q、主要影响角正切tan 、主要影响传播角 0和拐点偏移距S1、S2、S3、S4等参数;然后,认为这些参数已知,利用地表点的水平移动观测值迭代拟合求取水平移动系数b。
其主要步骤和数学模型如下:根据概率积分法任意点下沉预计数学模型[3],每个测点的下沉W都可表示为自变量X(x,y)(测点位置)和预测参数q、tan 、S1、S2、S3、S4、 0的函数,简写为W i=f(X i,B)=f(X i,q,tan ,S1,S2,S3,S4, 0)(4)显然,上式为非线性函数,可将其用泰劳级数展开,并略去二次以上各项,将其线性化,即W i=f[X i,q0,(tan )0,(S1)0,(S2)0,(S3)0,(S4)0, ( 0)0]+fq q+ftan tan +fS1 S1+fS2 S2+fS3 S3+fS4 S4+f0 0(5)式(5)中,W i为地表各测点的下沉真值,mm;X i 表示各地表测点的坐标,m;q0、(tan )0、(S1)0、(S2)0、(S3)0、(S4)0、( 0)0分别为各参数的近似值。
考虑到模型误差和测量误差,则式(5)可写为: W i测+V i=+fq q+ftan tan +fS1 S1+fS2 S2+fS3 S3+fS4 S4+f0+W0i′(6)式中,W0i′=f[X i,q0,(tan )0,(S1)0,(S2)0, (S3)0,(S4)0,( 0)0]令l i=W0i′-W i测(i=1,2, k;k为观测点个数)(7)163第2期 郭广礼等:概率积分法参数的稳健估计模型及其应用研究则得误差方程的一般形式为 V i= fq i q+ftan i tan +fS1 i S1+fS2 i S2+fS3 i S3+fS4 i S4+f0 i 0+l i(8)其矩阵形式为V k×1=Bk×7Z7×1+Lk×1(9)常规的求参方法是采用最小二乘准则,即V T V=m in(10)根据稳健求参理论,采用选权迭代最小二乘原则求取未知数Z,即V T PV=m in(11)式中,P为权阵,P ij=0,i≠j。
初次计算时取P为单位矩阵,根据计算的各点拟合残差和位置,按一定的定权方法(式(2)或式(3))确定各测点的权,进行下一次迭代计算。
V T PVZ= V T P VZ=V T PB=0则B T PV=0(12)将式(9)代入式(12),并求解得Z=-(B T P B)-1B T PL(13)经过多次迭代计算,异值点或粗差点的影响逐渐减小,可得到上述各参数的稳健估值。
假定q、tan 、S1、S2、S3、S4和 0已经由上面求出变成已知值,则概率积分模型中只剩下一个待定参数—水平移动系数b。
根据概率积分法地表任意点水平移动预测模型[3]U(x,y, )=bW0[(e- (xr)2)-(e- (x-lr)2)cos +(e- (yr下)2-e- (y-L r上))sin ]+W0(y)cot 0sin (14)式中,r=H0/tan 、r上=H上/tan 、r下=H下/ tan ,H0、H上、H下分别为工作面走向、上山和下山方向开采深度;l、L分别为工作面沿走向和倾向长度。
令m=W0[(e- (xr)2-e- (x-lr)2)co s +(e- (yr下)2-e- (y-L r上))sin ](15) n=W0(y)cot 0sin (16)则式(14)可写成U i=U(x i,y i, i)=m i b+n i(17)令b=b0+ b,U i=U i测+V i(18)得误差方程式为V i=m i b+m i b0+n i-U i测=m i b+l i(19)其矩阵形式为Vk×1=Mk×1b+Lk×1(20)则根据稳健求参理论,采用选权迭代最小二乘准则V T P V=m in,组成法方程式并求解得b=-(M T PM)-1M T P L(21)每次迭代计算时根据前次计算各测点的拟合残差按选定的权函数(式(2)或式(3))定权。
