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2．1充分条件2．2必要条件明目标、知重点 1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力．充分条件与必要条件p qp不是q的充分条件探究点一充分条件思考判断下列两个命题的真假，并思考命题(1)中条件和结论之间的关系：(1)若x>a2＋b2，则x>2ab；(2)若ab＝0，则a＝0.答(1)为真命题，(2)为假命题．命题(1)中，有x>a2＋b2，必有x>2ab；即“x>a2＋b2”是“x>2ab”的充分条件．小结一般地，“若p，则q”为真命题，是指由条件p可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件．例1下列各题中，p是不是q的充分条件？(1)p：x>3，q：x2>9；(2)p：x2＝y2，q：x＝y.解(1)因为x>3⇒x2>9，所以p是q的充分条件．(2)因为x2＝y2D⇒/x＝y，所以p不是q的充分条件．反思与感悟根据命题“p⇒q”的真假可以判定p是否为q的充分条件．跟踪训练1判断下列命题中，p是q的充分条件吗？(1)p：0<x<5，q：|x－2|<4；(2)p：x>2，且y>3，q：x＋y>5.解(1)∵|x－2|<4，∴－2<x<6.故“0<x<5”是“|x－2|<4”的充分条件．故p是q的充分条件．(2)当x>2且y>3时，x＋y>5一定成立，故p是q的充分条件．探究点二必要条件与充分条件思考1从命题“若x＝1，则x2－3x＋2＝0”说明必要条件的含义．答已知命题为真命题，说明“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分条件；同时，“x2－3x＋2＝0”是“x＝1”的必要条件．若p⇒q，则称q是p的必要条件，必要条件可以理解为若q不成立，则p一定不成立，即q 是p成立的必不可少的条件．思考2判断命题“若x＝1，则x2－4x＋3＝0”中条件和结论的关系，并请你从集合的角度来解释．答“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的充分条件，“x2－4x＋3＝0”是“x＝1”的必要条件．两个条件“x＝1”和“x2－4x＋3＝0”都是变量的取值，和集合有关．将“x＝1”对应集合记作A，“x2－4x＋3＝0”对应集合记作B.显然A B.思考3结合以上分析，请你归纳判断充分条件，必要条件有哪些方法？答一般地，关于充分、必要条件的判断主要有以下几种方法：(1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．这里要注意“原命题⇔逆否命题”、“否命题⇔逆命题”只是等价形式之一，对于条件或结论是不等式关系(否定式)的命题一般应用等价法．(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合，那么若p⊆q，则p是q的充分条件；若p⊇q，则p是q的必要条件；若p＝q，则p既是q的充分条件，又是q的必要条件．例2指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件)(1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x＝2；(2)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；(3)p：x>1，q：x2>1.解(1)因为命题“若(x－2)(x－3)＝0，则x＝2”是假命题，而命题“若x＝2，则(x－2)(x－3)＝0”是真命题，所以p是q的必要条件，但不是充分条件，即p是q的必要不充分条件；(2)∵p⇒q，而qD⇒/p，∴p是q的充分不必要条件．(3)p对应的集合为P＝{x|x>1}，q对应的集合为Q＝{x|x<－1或x>1}，∵P Q，∴p是q的充分不必要条件．反思与感悟本例三个小题分别体现了定义法、等价法、集合法．一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，等价法主要用于否定性命题，集合法一般需对命题进行化简．跟踪训练2指出下列命题中，p是q的什么条件？(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝2x＋1；(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(4)p：sinα>sinβ，q：α>β.解(1)∵x2＝2x＋1D⇒/x＝2x＋1，x＝2x＋1⇒x2＝2x＋1，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0D⇒/a2＋b2＝0，∴p是q的充分不必要条件．(3)∵当x＝1或x＝2成立时，可得x－1＝x－1成立，反过来，当x－1＝x－1成立时，可以推出x＝1或x＝2，∴p既是q的充分条件也是q的必要条件．(4)∵由sinα>sinβ不能推出α>β，反过来由α>β也不能推出sinα>sinβ，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．探究点三充分条件、必要条件与集合的关系思考设集合A＝{x|x满足条件p}，集合B＝{x|x满足条件q}，若A⊆B，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？答p是q的充分条件，q是p的必要条件．例3是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由．解 由x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1.令A ＝{x |x >2或x <－1}，由4x ＋p <0，得B ＝{x |x <－p 4}． 由题意得B ⊆A ，即－p 4≤－1，即p ≥4， 此时x <－p 4≤－1⇒x 2－x －2>0， ∴当p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件．反思与感悟 (1)设集合A ＝{x |x 满足p }，B ＝{x |x 满足q }，则p ⇒q 可得A ⊆B ；q ⇒p 可得B ⊆A ；p ⇔q 可得A ＝B ，若p 是q 的充分不必要条件，则A B .(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．跟踪训练3 已知p ：3x ＋m <0，q ：x 2－2x －3>0，若p 是q 的一个充分不必要条件，求m 的取值范围．解 ∵由3x ＋m <0得，x <－m 3. ∴p ：A ＝{x |x <－m 3}． 由x 2－2x －3>0得，x <－1或x >3.∴q ：B ＝{x |x <－1或x >3}．∵p ⇒q 而qD ⇒/p ，∴A B ，∴－m 3≤－1， ∴m ≥3，即m 的取值范围是[3，＋∞)．1．a <0，b <0的一个必要条件为( )A ．a ＋b <0B ．a －b >0 C.a b>1 D.a b<－1 答案 A解析 a ＋b <0D ⇒/a <0，b <0，而a <0，b <0⇒a ＋b <0.2．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( )A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析由于θ＝0时，一定有sinθ＝0成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sinθ＝0”的充分不必要条件．3．“a>b”是“a>|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件答案 B解析由a>|b|⇒a>b，而a>b推不出a>|b|.4．f(x)是R上的增函数，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，设P＝{x|f(x＋t)＋1<3}，Q＝{x|f(x)<－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是()A．t≤－1B．t>－1C．t≥3D．t>3答案 D解析依题意，P＝{x|f(x＋t)＋1<3}＝{x|f(x＋t)<2}＝{x|f(x＋t)<f(2)}，Q＝{x|f(x)<－4}＝{x|f(x)<f(－1)}．因为函数f(x)是R上的增函数，所以P＝{x|x＋t<2}＝{x|x<2－t}，Q＝{x|x<－1}，要使“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，需有2－t<－1，解得t>3.[呈重点、现规律]1．充分条件、必要条件的判断方法：(1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件．2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．一、基础过关1．“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分又不必要条件D ．充分必要条件答案 C解析 ∵－2<x <1D ⇒/x >1或x <－1且x >1或x <－1D ⇒/－2<x <1，∴“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的既不充分又不必要条件．2．“ab ≠0”是“直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件答案 C解析 ab ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0.3．“|x |＝|y |”是“x ＝y ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B解析 |x |＝|y |D ⇒/x ＝y ，x ＝y ⇒|x |＝|y |.4．已知p ：α≠β，q ：cos α≠cos β，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B解析 q ⇒p 成立，但pD /⇒q ，∴p 是q 的必要不充分条件．5．设a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的________条件． 答案 充分不必要解析 ∵0<ab <1，∴a ，b 同号，且ab <1.∴当a >0，b >0时，a <1b ；当a <0，b <0时，b >1a. ∴“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的充分条件． 而取a ＝－1，b ＝1，显然有a <1b，但不能推出0<ab <1， ∴“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的充分不必要条件． 6．设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的________条件． 答案 必要不充分解析 因为0<x <π2，所以0<sin x <1.由x ·sin x <1知x sin 2x <sin x <1，因此必要性成立．由x sin 2x <1得x sin x <1sin x ，而1sin x>1，因此充分性不成立． 7．下列各题中，p 是q 的什么条件？说明理由．(1)p ：△ABC 中，b 2>a 2＋c 2，q ：△ABC 为钝角三角形；(2)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是等边三角形．解 (1)△ABC 中，∵b 2>a 2＋c 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac <0，∴B 为钝角，即△ABC 为钝角三角形，反之，若△ABC 为钝角三角形，B 可能为锐角，这时b 2<a 2＋c 2，∴p ⇒q ，qD /⇒p ，故p 是q 的充分不必要条件．(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，∴pD /⇒q ，q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．二、能力提升8．设x ，y 是两个实数，命题：“x ，y 中至少有一个数大于1成立”的充分不必要条件是( )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y >2C ．x 2＋y 2>2D ．xy >1答案 B解析 对于选项A ，当x ＝1，y ＝1时，满足x ＋y ＝2，但命题不成立；对于选项C ，D ，当x ＝－2，y ＝－3时，满足x 2＋y 2>2，xy >1，但命题不成立，也不符合题意．9．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 x 2＋y 2≥4表示以原点为圆心，以2为半径的圆以及圆外的区域，即|x |≥2且|y |≥2，而x ≥2且y ≥2时，x 2＋y 2≥4，故A 正确．10．不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x <－1，则a 的取值范围是________．答案 a >2解析 根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1) {x |(a ＋x )(1＋x )<0}，故有a >2.11．下列各题中，p 是q 的什么条件？说明理由．(1)p ：p ≤－2或p ≥2；q ：方程x 2＋px ＋p ＋3＝0有实根．(2)p ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切；q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2.解 (1)当p ≤－2或p ≥2时，如p ＝3，则方程x 2＋3x ＋6＝0无实根，而x 2＋px ＋p ＋3＝0有实根时，Δ≥0，得p ≤－2或p ≥6，可推出p ≤－2或p ≥2.所以p 是q 的必要不充分条件．(2)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即r ＝|c |a 2＋b2，从而c 2＝(a 2＋b 2)r 2，反之，也成立．所以p 是q 的充分且必要条件． 12．已知a 、b 为不等于0的实数，判断“a b>1”是“a >b ”的什么条件？ 解 由条件“a b >1”可得a －b b>0，若b >0，则a >b ； 若b <0，则a <b ，所以“a b>1”D ⇒/“a >b ”， “a b>1”不是“a >b ”的充分条件． 反过来，a >b ⇔a －b >0，也不能推出a b >1⇔a －b b >0，“a b>1”也不是“a >b ”的必要条件． 所以“a b>1”是“a >b ”的既不充分也不必要条件． 三、探究与拓展13．已知条件p ：|x －1|>a 和条件q ：2x 2－3x ＋1>0，求使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a .解 依题意a >0.由条件p ：|x －1|>a得x －1<－a ，或x －1>a ，∴x <1－a ，或x >1＋a .由条件q ：2x 2－3x ＋1>0，得x <12，或x >1. 要使p 是q 的充分不必要条件，即“若p ，则q ”为真命题，逆命题为假命题，应有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤12，1＋a >1，或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a <12，1＋a ≥1，解得a ≥12. 令a ＝1，则p ：x <0，或x >2，此时必有x <12，或x >1. 即p ⇒q ，反之不成立．∴a ＝1.。
四种命题及英关系1.四种命题即：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。
2.四种命题间的逆否关系3.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们冇相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.重点1:四种命题及其相互关系【要点解读】1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系(尤其是两种等价关系)的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：(1)交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题；(2)同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；(3)交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。
注意：在写其他三种命题时，大前提必须放在前面。
2.正确的命题要冇充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要.3.判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假.如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假.4.否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法.【考向11四种命题的关系及真假判断【例题】写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假：(1)末位数字是0的多位数一定是5的倍数；(2)在屮，若AB>AC,则乙O乙(3)若#_2/—3>0,则x< —1 或x>3.解：(1)原命题：若一个多位数的末位数字是0,则它是5的倍数.逆命题：若一个多位数是5的倍数，则它的末位数字是0.否命题：若一个多位数的末位数字不是0,则它不是5的倍数.逆否命题：若一个多位数不是5的倍数，则它的末位数字不是0.这里，原命题与逆否命题为真命题，逆命题与否命题是假命题.(2)逆命题：在中，若ZOZA 则AB>AC.否命题：在△肋C中，若AB^AG则逆否命题：在△初C中，若则AB^AC.这里，四种命题都是真命题.(3)逆命题：若xV — l或疋>3,则/-2%-3>0.否命题：若2x—3W0,则一1W/W3.逆否命题：若一1W底3,则<一2/—3W0.这里，四种命题都是真命题.【点评】写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题，关键是找出原命题的条件Q 与结论G将原命题写成“若卩则g”的形式.在(2)中，原命题有大前提“在△ ABC中”,在写出它的逆命题、否命题和逆否命题时，应当保留这个大前提.(3) 中'UV — 1或Q>3”的否定形式是“x2 — 1且/W3”，即“一1W/W3”・【考向2】命题的否定【例题】写出下列命题的否定形式和否命题：(1)若刃=0,则山y中至少有一个为零；(2)若臼+方=0,则日，力中最多有一个大于零；(3)若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角相等；(4)有理数都能写成分数.解：⑴否定形式：若妙=0,则厂尸都不为零.否命题：若X歼0,则X, JT都不为雾.⑵否定形式：若3+b=0,则3,月都大于霧.否命题：若卄岸=0,则a, b都犬于零•(3)否定形式：若四边形是平行四边形，则它的相邻内角不都相等.否命题：若四边形不是平行四边形，则它的相邻内角不都相等.(4)否定形式：有理数不都能写成分数.否命题：非有理数不都能写成分数.逐页厘亟(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系•要注意四种命题关系的札I对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题” “逆否命题”・(2)当一个命题有大前提而要写其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其屮一个(或几个)作为大前提.(3)判断命题的真假，如果不易直接判断，可应用互为逆否命题的等价性來判断：原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价.(4)分清“否命题”与“命题的否定”的区别•“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，“否命题”是对原命题既否定其条件，又否定其结论，而“命题的否定”是否定原命题，只否定命题的结论.重点2：定义法判定充要条件【要点解读】定义法：若pnq、q半p,则〃是Q的充分而不必要条件；若p4q、qn P,则”是9 的必要而不充分条件；若pnq,qn p,则〃是9的充要条件；若p*>q,q4 p ,则"是9的既不充分也不必要条件。
1.2 充分条件与必要条件课标解读1.掌握充分条件、必要条件、充分必要条件的意义.2.充要条件是揭示命题的条件和结论因果关系的重要数学概念,因此在学习充分条件、必要条件和充要条件的同时,应注意与命题的四种形式相结合.3.会判断命题p成立与命题q成立的关系,并能用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件来表达命题p与命题q的关系.4.证明命题p成立是命题q成立的充要条件时,要明确充分性、必要性的证明中,谁是条件谁为应推证的结论.5.会求某些简单问题成立的充要条件.学会思考1.怎样从集合的角度来看待充要条件?2.设计如下四个电路图,条件A：“开关A闭合”，条件B：“灯泡B亮”,问A是B的什么条件?3.日常生活中许多元件有着控制的功能,如,洗衣机中就存在着一些元件,使洗衣机在甩干时,如果“到达预定时间”或“机盖被打开”就会停机,即通过一些元件的控制使当两个条件至少有一个满足时,就会停机,相应的电路叫或门电路.又如,电子保险门在“钥匙插入”且“密码正确”两个条件都满足时,才会开启,相应的电路,就叫与门电路.再如,电键开则灯亮,电键关则灯灭,相应的电路,就叫非门电路.现有器材:干电池一节,小灯泡一个,电键、导线若干,请同学们自行设计“或门电路”“与门电路”“非门电路”各一个(用元件的物理符号表示，作出电路图即可)，并简单说明理由.答案：1.从集合A与集合B之间的关系上看:(1)若A⊆B,则A是B的充分条件;(2)若A⊆B,则A是B的必要条件;(3)若A⊆B且B⊇A,即A=B,则A是B的充要条件;(4)若A B且B A,则A既不是B的充分条件,也不是B的必要条件;(5)若A⊆B且B A,则A是B的充分不必要条件;(6)若A⊇B且A B,则A是B的必要不充分条件.2.图①中开关A闭合则灯泡B亮,反之,灯泡B亮不一定有开关A闭合,所以A⇒B.但BA,于是A是B的充分不必要条件.图②中,A⇔B,A是B的充要条件.图③中,A B但B⇒A,A是B的必要不充分条件.图④中,条件A的有无对条件B没有影响,所以A是B的既不充分也不必要条件.3.或门电路:与门电路:非门电路:自学导引1.一般地,“若p 则q ”为真命题，即由p ⇒q 就说p 是q 的_________(sufficient condition),q 是p 的_________(necessary condition).2.若p ⇒q 且q ⇒p ,则p ⇔q 就说p 是q 的_________,简称充要条件.那么q 也是p 的_________.答案：1.充分条件 必要条件2.充分必要条件 充要条件典例启示知识点1 判定p 是q 的什么条件【例1】 在下列各题中,判断A 是B 的什么条件,并说明理由.(1)A :|p |≥2,p ∈R,B :方程x 2+px +p +3=0有实根;(2)A :圆x 2+y 2=r 2与直线ax +by +c =0相切,B :c 2=(a 2+b 2)r 2.解:(1)当|p |≥2时,例如p =3,则方程x 2+3x +6=0无实根,而方程x 2+px +p +3=0有实根,必有p ≤-2或p ≥6,可推出|p |≥2,故A 是B 的必要不充分条件.(2)若圆x 2+y 2=r 2与直线ax +by +c =0相切,圆心到直线ax +by +c =0的距离等于r ,即22||b a c r +=,所以c 2=(a 2+b 2)r 2;反过来,若c 2=(a 2+b 2)r 2,则r b a c =+22||成立,说明x 2+y 2=r 2的圆心(0,0)到直线ax +by +c =0的距离等于r ,即圆x 2+y 2=r 2与直线ax +by +c =0相切,故A 是B 的充分必要条件.启示:对于涉及充分必要条件判断的问题,必须以准确、完整地理解充分、必要条件的概念为基础,有些问题需转化为等价命题后才容易判断.【例2】 若p :A B ⊆S,q :(B )(A ),则p 是q 的什么条件?解:利用集合的图示法,由图知AB ⊆S(B )(A ),(B )(A )⇒A B ⊆S. 所以p 是q 的充要条件.启示:本题采用的是从条件直接推结论的方法,其中突出了数形结合的思想方法(图示法).【例3】 判断p :x ≠2或y ≠3是q :x +y ≠5的什么条件?解:此题直接判断比较困难,我们可看它的等价命题,其逆否命题是:⌝q :x +y =5,⌝p :x =2且y =3,则不难看出,⌝p ⇒⌝q ,即原命题的否命题成立,则与它等价的逆命题成立,即q ⇒p ,故p 是q 成立的必要不充分条件.启示:命题不易直接判断时可转换命题的形式,利用命题的等价性加以判定.知识点2充要条件的求解与证明【例4】 求关于x 的方程ax 2+2x +1=0至少有一个负的实根的充要条件.解:(1)a =0时适合.(2)当a ≠0时,显然方程没有零根,若方程有两异号的实根,则a <0;若方程有两个负的实根,则必须满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-=∆〈-〉.044,02,01a a a 解得0<a ≤1. 综上知,若方程至少有一个负的实根,则a ≤1;反之,若a ≤1,则方程至少有一个负的实根,因此,关于x 的方程ax 2+2x +1=0至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1.启示:①a =0的情况不要忽视;②若令f (x )=ax 2+2x +1,由于f (0)=1≠0,从而排除了方程有一个负根,另一个根为零的情形.【例5】 设x 、y ∈R ,求证:|x +y |=|x |+|y |成立的充要条件是xy ≥0.证明:充分性:若xy =0,那么,①x =0,y ≠0;②x ≠0,y =0;③x =0,y =0,于是|x +y |=|x |+|y |.如果xy >0,即x >0,y >0或x <0,y <0;当x >0,y >0时,|x +y |=x +y =|x |+|y |;当x <0,y <0时,|x +y |=-(x +y )=-x + (-y )=|x |+|y |.总之,当xy ≥0时,有|x +y |=|x |+|y |.必要性:由|x +y |=|x |+|y |及x 、y ∈R ,得(x +y )2=(|x |+|y |)2,即x 2+2xy +y 2=x 2+2|xy |+y 2.|xy |=xy .∴xy ≥0.启示:充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件,哪是结论,然后搞清楚充分性是证明哪一个命题,必要性是证明哪一个命题.【例6】 已知p :|1-31-x |≤2,q :x 2-2x +1-m 2≤0(m >0),若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.解:由p :|1-31-x |≤2-2≤x ≤10. 由q 可得(x -1)2≤m 2(m >0),所以1-m ≤x ≤1+m .所以⌝p :x >10或x <-2,⌝q :x >1+m 或x <1-m .因为⌝p 是⌝q 的必要不充分条件,所以⌝q ⇒⌝p .故只需满足⎩⎨⎧-≤-≥+.21,101m m 所以m ≥9.启示:解决这类问题时,一是直接求解;二是转化为等价命题求解,即⌝p是⌝q的必要不充分条件等价于q是p的充分不必要条件.随堂训练1.设原命题“若p则q”真而逆命题假，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A2.设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是…()A.x>1B.x<1C.x>3D.x<3解析：∵x>2⇒x>1,但x>1x>2.答案：A3.如果A是B的必要不充分条件，B是C的充分必要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：A B⇔C D.答案：A4.x2+(y-2)2=0是x(y-2)=0的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若x2+(y-2)2=0⇒x=0且y-2=0⇒x(y-2)=0,但当x(y-2)=0时x2+(y-2)2=0,如x=0，y=3.答案：B5.x≥0是x2≤x的_________条件.解析：x≥0x2≤x,而x2≤x⇒x≥x2≥0.∴x≥0是x2≤x的必要不充分条件.答案：必要不充分6.从“⇒”“”与“⇔”中选出适当的符号填空(U为全集，A、B为U的子集)：(1)A＝B__________A⊆B；(2)A⊆B__________ B ⊆A.答案：⇒⇔。
“充分条件与必要条件”教学设计一、教学目标通过本节课学习，要达到以下四个目标：（1）知识目标：理解充分、必要、充要条件的定义及简单运用。
（2）能力目标深刻领会充分、必要、充要条件定义的本质。
能在日常生活和学习中自觉地运用逻辑推理的思想。
（3）德育渗透目标使学生认识对逻辑知识，特别是对“条件”的推断及推理这种思维方式在日常工作、学习中认识问题和分析问题的自觉运用。
（4）情感目标通过本节学习，使学生体会到教学的简洁美，感受到数学严谨的逻辑，同时认识到数学知识源自生产生活实际，是人类文化的结晶这一特点。
二、教材分析1. 本节内容地位和作用“充分条件与必要条件”内容出现在高中数学第一册第一章第八节，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，具有如下特点：（1）逻辑性强，抽象度大，辐射面广。
（2）与旧教材比较，除将教学位置前移外，新教材在这部分内容上作了如下处理。
将相关联的知识体系作了相应扩充，在“充要条件”这节内容之前，还安排了“逻辑联结词”和“四种命题”这两节作知识铺垫。
这种处理充分说明“充要条件”这节内容在整个高中数学体系中的基础性和重要性，新教学大纲把教学目标定位在“掌握充要条件的意义”。
从教材编写角度看，新旧教材最大差异在于对“充分条件”和“必要条件”定义的处理上，旧教材对定义作了较为详尽但也枯燥、难懂的解释，而新教材的定义显得更为简洁精炼，同时新教材的例题、练习题、习题数量大增，是旧教材的两倍左右。
显然，新教材的编写者在处理上贯彻了“淡化形式，注重实质”这一新的教学理念，但一次性给出定义，也存在一定的不足，学生在判断条件与结论的逻辑关系之前，还必须先分清何者是条件，何者是结论，这增加了学生理解上的困难。
（3）充分、必要性的思想贯穿于数学命题，数学定理。
公理等的始终，同时，这种思维在日常生活中对分析问题和解决问题是大有裨益的。
2. 重、难点分析（1）重点分析对于学习充分、必要、充要条件其主要目的就是用于判别命题的条件与结论之间的逻辑关系，故充分、必要、充要条件的判定当之成为本节重点。
1.2 充分条件与必要条件（第一课时）一、【教材分析】《充分条件与必要条件》是本章的重点内容也是高中数学的重点内容和高考的热点。
现行教学大纲把教学目标定位在“掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义”。
充分条件与必要条件是中学数学最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论的逻辑关系，目的是为了今后的学习，特别是数学推理的学习打下基础。
这是一节概念课，是高中数学的重点课、难点课。
在现行教材中这节内容被安排在数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》中的“命题及其关系”之后。
编写者在数学概念的处理上，贯彻了“淡化形式，注重实质”这一新的教学观，对定义简洁精炼，而对教材的例题、练习题编排比较充分。
实践证明现行教材是比较切合实际的。
因为：①有了“命题及其关系”这节内容的铺垫，这将有助于学生对充分条件、必要条件及充要条件概念的学习理解；②教学时间的前置，让学生有足够的时间来进行滚动的巩固训练，以便达到预期效果。
③题量的增加，使知识在训练中得以巩固。
二、【学情分析】这是一堂新授课，学生在学习本小节时由于是第一次学习充分条件和必要条件，学生学习这一概念时的知识储备不够丰富、逻辑思维能力的训练还不够充分。
所以，学生理解充分条件与必要条件比较困难（特别是必要条件．．．．的理解），需要有足够的理解、消化、训练的时间才能达到熟练掌握的要求。
学习是一个渐进的过程，现行教材在小结与复习中把学生的学习要求规定为“初步掌握充要条件”，而不是一步到位达到高考要求——“掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义”。
而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善。
三、【教学目标】（一）知识目标：1、正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念。
2、能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系。
3、在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系。
（二）能力目标：1、培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性。
