中考数学复习专题 讲座
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九年级数学精讲班讲义一、一元二次方程。
1. 定义。
- 一般形式:ax^2+bx + c = 0(a≠0)。
- 举例:x^2+2x - 3 = 0,这里a = 1,b = 2,c=- 3。
2. 解法。
- 直接开平方法。
- 对于方程x^2=k(k≥slant0),解得x=±√(k)。
- 例如:(x - 1)^2=4,则x - 1=±2,x = 1±2,即x = 3或x=-1。
- 配方法。
- 步骤:先将二次项系数化为1,然后在方程两边加上一次项系数一半的平方,将方程化为(x + m)^2=n的形式再求解。
- 例如:x^2+4x - 1 = 0,x^2+4x = 1,x^2+4x + 4 = 1+4,(x + 2)^2=5,x=-2±√(5)。
- 公式法。
- 求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
- 对于方程2x^2-3x - 1 = 0,a = 2,b=-3,c = - 1,代入公式可得x=frac{3±√((-3)^2)-4×2×(-1)}{2×2}=(3±√(17))/(4)。
- 因式分解法。
- 把方程化为(mx + n)(px + q)=0的形式,则mx + n = 0或px + q = 0。
- 例如:x^2-3x + 2 = 0,分解为(x - 1)(x - 2)=0,解得x = 1或x = 2。
3. 根的判别式Δ=b^2-4ac- 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根。
- 当Δ = 0时,方程有两个相等的实数根。
- 当Δ<0时,方程没有实数根。
- 例如:对于方程x^2-2x + 1 = 0,Δ=(-2)^2-4×1×1 = 0,方程有两个相等的实数根x = 1;对于方程x^2+1 = 0,Δ = 0 - 4×1×1=-4<0,方程没有实数根。
中考数学重难点专题讲座第四讲 一元二次方程与二次函数前言前三讲,笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题,在这一类问题当中,尤以第三讲涉及的动态几何问题最为艰难;几何问题的难点在于想象,构造,往往有时候一条辅助线没有想到,整个一道题就卡壳了;相比几何综合题来说,代数综合题倒不需要太多巧妙的方法,但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求;中考数学当中,代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体,多种其他知识点辅助的形式出现的;所以在接下来的专题当中,我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析;一元二次方程与二次函数问题当中,纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察;但是在后面的中难档大题当中,通常会和根的判别式,整数根和抛物线等知识点结合,所以我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法;第一部分 真题精讲例12010,西城,一模已知:关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=.⑴求证:m 取任何实数时,方程总有实数根;⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称.①求二次函数1y 的解析式;②已知一次函数222=-y x ,证明:在实数范围内,对于x 的同一个值,这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立;⑶在⑵条件下,若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-,,且在实数范围内,对于x 的同一个值,这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥,均成立,求二次函数23=++y ax bx c 的解析式.思路分析本题是一道典型的从方程转函数的问题,这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式;由于并未说明该方程是否是一元二次方程,所以需要讨论M=0和M ≠0两种情况,然后利用根的判别式去判断;第二问的第一小问考关于Y 轴对称的二次函数的性质,即一次项系数为0,然后求得解析式;第二问加入了一个一次函数,证明因变量的大小关系,直接相减即可;事实上这个一次函数2y 恰好是抛物线1y 的一条切线,只有一个公共点1,0;根据这个信息,第三问的函数如果要取不等式等号,也必须过该点;于是通过代点,将3y 用只含a 的表达式表示出来,再利用132y y y ≥≥,构建两个不等式,最终分析出a 为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.解析解:1分两种情况:当0m =时,原方程化为033=-x ,解得1x =, 不要遗漏∴当0m =,原方程有实数根.当0≠m 时,原方程为关于x 的一元二次方程,∵()()()222[31]4236930m m m m m m =----=-+=-△≥.∴原方程有两个实数根. 如果上面的方程不是完全平方式该怎样办再来一次根的判定,让判别式小于0就可以了,不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式,大家注意就是了综上所述,m 取任何实数时,方程总有实数根.2①∵关于x 的二次函数32)1(321-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称,∴0)1(3=-m .关于Y 轴对称的二次函数一次项系数一定为0∴1=m .∴抛物线的解析式为121-=x y .②∵()()221212210y y x x x -=---=-≥,判断大小直接做差∴12y y ≥当且仅当1x =时,等号成立.3由②知,当1x =时,120y y ==.∴1y 、2y 的图象都经过()1,0. 很重要,要对那个等号有敏锐的感觉∵对于x 的同一个值,132y y y ≥≥,∴23y ax bx c =++的图象必经过()1,0.又∵23y ax bx c =++经过()5,0-,∴()()231545y a x x ax ax a =-+=+-. 巧妙的将表达式化成两点式,避免繁琐计算设)22(54223---+=-=x a ax ax y y y )52()24(2a x a ax -+-+=. ∵对于x 的同一个值,这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥均成立,∴320y y -≥,图7∴2(42)(25)0y ax a x a =+-+-≥.又根据1y 、2y 的图象可得 0a >, ∴24(25)(42)04a a a y a---=最小≥.a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值 ∴2(42)4(25)0a a a ---≤.∴2(31)0a -≤.而2(31)0a -≥.只有013=-a ,解得13a =. ∴抛物线的解析式为35343123-+=x x y .例22010,门头沟,一模 关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x ---+=.1当m 为何值时,方程有两个不相等的实数根;2点()11A --,是抛物线22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点,求抛物线的解析式; 3在2的条件下,若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称,是否存在与抛物线只交于点B 的直线,若存在,请求出直线的解析式;若不存在,请说明理由.思路分析第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件;第二问给点求解析式,比较简单;值得关注的是第三问,要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点,则需要设直线y=kx+b 以后联立,新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零,但是这样还不够,因为y=kx+b 的形式并未包括斜率不存在即垂直于x 轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.解析:1由题意得[]22224(1)0m m ∆=---->()解得54m <210m -≠ 解得1m ≠± 当54m <且1m ≠±时,方程有两个不相等的实数根. 2由题意得212(2)11m m -+-+=-解得31m m =-=,舍 始终牢记二次项系数不为0 28101y x x =++3抛物线的对称轴是58x = 由题意得114B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭, 关于对称轴对称的点的性质要掌握 14x =-与抛物线有且只有一个交点B 这种情况考试中容易遗漏 另设过点B 的直线y kx b =+0k ≠把114B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,代入y kx b =+,得14k b -+=-,114b k =- 114y kx k =+- 28101114y x x y kx k ⎧=++⎪⎨=+-⎪⎩ 整理得218(10)204x k x k +--+= 有且只有一个交点,21(10)48(2)04k k ∆=--⨯⨯-+= 解得6k =162y x =+ 综上,与抛物线有且只有一个交点B 的直线的解析式有14x =-,162y x =+例3已知P 3,m -和Q1,m 是抛物线221y x bx =++上的两点. 1求b 的值;2判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根,若有,求出它的实数根;若没有,请说明理由; 3将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k k 是正整数个单位,使平移后的图象与x 轴无交点,求k 的最小值.思路分析 拿到题目,很多同学不假思索就直接开始代点,然后建立二元方程组,十分麻烦,计算量大,浪费时间并且可能出错;但是仔细看题,发现P,Q 纵坐标是一样的,说明他们关于抛物线的对称轴对称;而抛物线只有一个未知系数,所以轻松写出对称轴求出b; 第二问依然是判别式问题,比较简单;第三问考平移,也是这类问题的一个热点,在其他区县的模拟题中也有类似的考察;考生一定要把握平移后解析式发生的变化,即左加右减单独的x,上加下减表达式整体然后求出结果;解析1因为点P 、Q 在抛物线上且纵坐标相同,所以P 、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等.所以,抛物线对称轴3142b x -+=-=,所以,4b =. 2由1可知,关于x 的一元二次方程为2241x x ++=0.因为,24b ac =-=16-8=8>0.所以,方程有两个不同的实数根,分别是1122b xa -+==-+,2122b x a -==--. 3由1可知,抛物线2241y x x =++的图象向上平移k k 是正整数个单位后的解析式为2241y x x k =+++. 若使抛物线2241y x x k =+++的图象与x 轴无交点,只需22410x x k +++= 无实数解即可. 由24b ac =-=168(1)k -+=88k -<0,得1k >又k 是正整数,所以k 得最小值为2.例42010,昌平,一模已知抛物线2442y ax ax a =-+-,其中a 是常数.1求抛物线的顶点坐标;2若25a >,且抛物线与x 轴交于整数点坐标为整数的点,求此抛物线的解析式. 思路分析本题第一问较为简单,用直接求顶点的公式也可以算,但是如果巧妙的将a 提出来,里面就是一个关于X 的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问则需要把握抛物线与X 轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给25a >,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值. 1依题意,得0a ≠,∴2442y ax ax a =-+-()()224422 2.a x x a x =-+-=--∴抛物线的顶点坐标为(2,2)-2∵抛物线与x 轴交于整数点,∴24420ax ax a -+-=的根是整数.∴2x == ∵0a >,∴2x = ∴2a是整数的完全平方数. ∵25a >, ∴25a <. 很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手 ∴2a 取1,4, 当21a =时,2a =; 当24a =时,12a = . ∴a 的值为2或12. ∴抛物线的解析式为2286y x x =-+或2122y x x =-.例52010,平谷,一模已知:关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=m 为实数1若方程有两个不相等的实数根,求m 的取值范围;2在1的条件下,求证:无论m 取何值,抛物线()()2121y m x m x =-+--总过x 轴上的一个固定点;3若m 是整数,且关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=有两个不相等的整数根,把抛物线()()2121y m x m x =-+--向右平移3个单位长度,求平移后的解析式.思路分析本题第一问比较简单,直接判别式≥0就可以了,依然不能遗漏的是m -1≠0;第二问则是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y 的取值.对于本题来说,直接将抛物线中的m 提出,对其进行因式分解得到y=mx -x -1x+1就可以看出当x=-1时,Y=0,而这一点恰是抛物线横过的X 轴上固定点.如果想不到因式分解,由于本题固定点的特殊性在X 轴上,也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦,不如直接因式分解来得快.至于第三问,又是整数根问题+平移问题,因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可,比较简单.解:1()()22241m m m ∆=-+-=∵方程有两个不相等的实数根,∴0m ≠∵10m -≠,∴m 的取值范围是0m ≠且1m ≠.2证明:令0y =得()()21210m x m x -+--=.∴()()()()222121m m m x m m --±--±==--. ∴()()12221121211m m m m x x m m m -+--++==-==---, 这样做是因为已经知道判别式是2m ,计算量比较小,如果根号内不是完全平方就需要注意了∴抛物线与x 轴的交点坐标为()11001m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭,,,, ∴无论m 取何值,抛物线()()2121y m x m x =-+--总过定点()10-,3∵1x =-是整数 ∴只需11m -是整数. ∵m 是整数,且01m m ≠≠,, ∴2m =当2m =时,抛物线为21y x =-.把它的图象向右平移3个单位长度,得到的抛物线解析式为()223168y x x x =--=-+总结 中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容,但是考点无非也就是因式分解,判别式,对称轴,两根范围,平移以及直线与抛物线的交点问题;总体来说这类题目不难,但是需要计算认真,尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性;这种题目大多包涵多个小问;第一问往往是考验判别式大于0,不要忘记二次项系数为0或者不为0的情况;第2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察,考生需要熟记对称轴,顶点坐标等多个公式的直接应用;至于根与系数的关系韦达定理近年来中考已经尽量避免提及,虽不提倡但是应用了也不会扣分,考生还是尽量掌握为好,在实际应用中能节省大量的时间;第二部分 发散思考思考1. 2010,北京中考已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根,k 为正整数.1求k 的值;2当此方程有两个非零的整数根时,将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位,求平移后的图象的解析式;3在2的条件下,将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答:当直线()12y x b b k =+<与此图象有两个公共点时,b 的取值范围. 思路分析去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说,判别式大于0加上k 为正整数的条件求k 很简单.第二问要分情况讨论当k 取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.思考22009,东城,一模已知:关于x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+= 1若0,m >求证:方程有两个不相等的实数根;2若12<m <40的整数,且方程有两个整数根,求m 的值.思路分析本题也是整根问题,但是不像上题,就三个值一个个试就可以试出来结果;本题给定一个比较大的区间,所以就需要直接用求根公式来计算.利用已知区间去求根的判别式的区间,也对解不等式做出了考察.思考32009,海淀,一模已知: 关于x 的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数,二次函数y=ax2-bx+kcc ≠0的图象与x 轴一个交点的横坐标为1.1若方程①的根为正整数,求整数k 的值;2求代数式akcab b kc +-22)(的值; 3求证: 关于x 的一元二次方程ax2-bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.思路分析本题有一定难度,属于拉分题目;第一问还好,分类讨论K 的取值即可;第二问则需要将k 用a,b 表示出来,然后代入代数式进行转化.第三问则比较繁琐,需要利用题中一次方程的根为正实数这一条件所带来的不等式,去证明二次方程根的判别式大于0.但是实际的考试过程中,考生在化简判别式的过程中想不到利用已知条件去套未知条件,从而无从下手导致失分.思考42009,顺义,一模. 已知:关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m -+++-=.1求证:不论m 取何值,方程总有两个不相等的实数根;2若方程的两个实数根12x x ,满足12211m x x m +-=+-,求m 的值.思路分析这一题第二问有些同学想到直接平方来去绝对值,然后用韦达定理进行求解,但是这样的话计算量就会非常大,所以此题绕过韦达定理,直接用根的判别式写出12x x ,,发现12x x ,都是关于m 的一次表达式, 做差之后会得到一个定值.于是问题轻松求解. 这个题目告诉我们高级方法不一定简单,有的时候最笨的办法也是最好的办法.第三部分 思考题解析思考1解析解:1由题意得,168(1)0k ∆=--≥.∴3k ≤.∵k 为正整数,∴123k =,,.2当1k =时,方程22410x x k ++-=有一个根为零;当2k =时,方程22410x x k ++-=无整数根;当3k =时,方程22410x x k ++-=有两个非零的整数根.综上所述,1k =和2k =不合题意,舍去;3k =符合题意.当3k =时,二次函数为2242y x x =++,把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为2246y x x =+-.3设二次函数2246y x x =+-的图象与x 轴交于A B 、两点,则(30)A -,,(10)B ,. 依题意翻折后的图象如图所示. 当直线12y x b =+经过A 点时,可得32b =; 当直线12y x b =+经过B 点时,可得12b =-. 由图象可知,符合题意的(3)b b <的取值范围为1322b -<<.思考2解析证明: []22=2(23)-4414884m m m m ---++()= 0,m > 840.m ∴+>∴方程有两个不相等的实数根;22(23)=(23)2m x m -±-±=∵方程有两个整数根,且m 为整数. 又∵12<m <40,252181.m ∴<+<∴ 59.356,.27,24.638,.2m m m =∴==∴==∴=∴m=24思考3解析解:由 kx=x+2,得k -1 x=2.依题意 k -1≠0.∴ 12-=k x . ∵ 方程的根为正整数,k 为整数,∴ k -1=1或k -1=2.∴ k1= 2, k2=3.2解:依题意,二次函数y=ax2-bx+kc 的图象经过点1,0,∴ 0 =a -b+kc, kc = b -a . ∴222222222a ab ab b a ab b a b a ab b a b akc ab b kc -+-+-=-+--=+-)()()( =.122-=--aab ab a 3证明:方程②的判别式为 Δ=-b2-4ac= b2-4ac.由a ≠0, c ≠0, 得ac ≠0.i 若ac<0, 则-4ac>0. 故Δ=b2-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数 根.ii 证法一: 若ac>0, 由2知a -b+kc =0, 故 b=a+kc.Δ=b2-4ac= a+kc2-4ac=a2+2kac+kc2-4ac = a2-2kac+kc2+4kac -4ac =a -kc2+4ack -1.∵ 方程kx=x+2的根为正实数,∴ 方程k -1 x=2的根为正实数.由 x>0, 2>0, 得 k -1>0.∴ 4ack -1>0.∵ a -kc20,∴Δ=a -kc2+4ack -1>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 证法二: 若ac>0,∵ 抛物线y=ax2-bx+kc 与x 轴有交点,∴ Δ1=-b2-4akc =b2-4akc0.b2-4ac - b2-4akc=4ack -1.由证法一知 k -1>0,∴ b2-4ac> b2-4akc0.∴ Δ= b2-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 综上, 方程②有两个不相等的实数根.思考4解析1[]22(21)4(2)m m m ∆=-+-+-22441448m m m m =++--+90=> ∴不论m 取何值,方程总有两个不相等实数根2由原方程可得12(21)32m x +±==, ∴ 1221x m x m =+=-, -- ∴ 123x x -=又∵ 12211m x x m +-=+- ∴ 2311m m +=+- ∴ 4m = - 经检验:4m =符合题意. ∴ m 的值为4.。
中考数学重难点专题讲座第三讲 动态几何问题【前言】从历年中考来看,动态问题经常作为压轴题目出现,得分率也是最低的。
动态问题一般分两类,一类是代数综合方面,在坐标系中有动点,动直线,一般是利用多种函数交叉求解。
另一类就是几何综合题,在梯形,矩形,三角形中设立动点、线以及整体平移翻转,对考生的综合分析能力进行考察。
所以说,动态问题是中考数学当中的重中之重,只有完全掌握,才有机会拼高分。
在这一讲,我们着重研究一下动态几何问题的解法,第一部分 真题精讲【例1】(2010,密云,一模)如图,在梯形ABCD 中,AD BC ∥,3AD =,5DC =,10BC =,梯形的高为4.动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动;动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动.设运动的时间为t (秒).(1)当MN AB ∥时,求t 的值;(2)试探究:t 为何值时,MNC △为等腰三角形.【思路分析1】本题作为密云卷压轴题,自然有一定难度,题目中出现了两个动点,很多同学看到可能就会无从下手。
但是解决动点问题,首先就是要找谁在动,谁没在动,通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。
对于大多数题目来说,都有一个由动转静的瞬间,就本题而言,M ,N 是在动,意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。
但是我们发现,和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的,而且动态条件之间也是有关系的。
所以当题中设定MN M N t D DE AB ∥BC E ABEDABMCNED AB DE ∥AB MN ∥DE MN∥MC NC EC CD =1021035t t -=-5017t =MN NC =NF BC ⊥BC F 2MC FC =4sin 5DF C CD ∠==3cos 5C ∠=310225tt -=⨯258t =ABMCNFD MN MC =M MH CD ⊥2CN CH =()321025t t =-⨯6017t =A B MCN HD MC CN =102t t -=103t =258t =6017103MNC △423=BC x x (3)过点A 作AQ ⊥BC 交CB 的延长线于点Q ,①点D 在线段BC 上运动时,∵∠BCA=45o ,可求出AQ= CQ=4.∴ DQ=4-x , 易证△AQD ∽△DCP ,∴CP CD DQ AQ = , ∴44CP x x =-, 24x CP x ∴=-+.②点D 在线段BC 延长线上运动时,∵∠BCA=45o ,可求出AQ= CQ=4,∴ DQ=4+x . 过A 作AC AG ⊥交CB 延长线于点G , 则ACF AGD ∆≅∆.∴ CF ⊥BD ,∴△AQD ∽△DCP ,∴CP CD DQ AQ = , ∴44CP x x =+, 24x CP x ∴=+.【例3】(2010,怀柔,一模)已知如图,在梯形ABCD 中,24AD BC AD BC ==∥,,,点M 是AD 的中点,MBC △是等边三角形. (1)求证:梯形ABCD 是等腰梯形;(2)动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动,且60MPQ =︒∠保持不变.设PC x MQ y ==,,求y 与x 的函数关系式;(3)在(2)中,当y 取最小值时,判断PQC △的形状,并说明理由.GA BCDE F ADM【思路分析1】本题有一点综合题的意味,但是对二次函数要求不算太高,重点还是在考察几何方面。
九年级数学专题讲座一、函数专题1. 一次函数知识点回顾一次函数的表达式为公式(公式,公式为常数,公式)。
当公式时,函数为正比例函数公式。
一次函数的图象是一条直线,公式决定直线的倾斜程度(公式,直线从左到右上升;公式,直线从左到右下降),公式决定直线与公式轴的交点(公式)。
题目解析例:已知一次函数公式,求它的图象与公式轴、公式轴的交点坐标。
解:当公式时,公式,解得公式,所以与公式轴交点坐标为公式。
当公式时,公式,所以与公式轴交点坐标为公式。
2. 二次函数知识点回顾二次函数的表达式一般式为公式(公式,公式,公式为常数,公式)。
顶点式为公式(公式为顶点坐标)。
二次函数图象是抛物线,公式决定抛物线的开口方向(公式开口向上;公式开口向下),对称轴为公式(一般式)或公式(顶点式)。
题目解析例:求二次函数公式的顶点坐标和对称轴。
解:对于二次函数公式,其中公式,公式,公式。
对称轴公式。
把公式代入函数得公式,所以顶点坐标为公式。
3. 反比例函数知识点回顾反比例函数表达式为公式(公式为常数,公式)。
图象是双曲线。
当公式时,双曲线在一、三象限;当公式时,双曲线在二、四象限。
题目解析例:已知反比例函数公式,求当公式时公式的值,以及当公式时公式的值。
解:当公式时,公式。
当公式时,公式,解得公式。
二、几何专题1. 三角形知识点回顾三角形内角和为公式。
三角形的分类:按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形;按边分为等边三角形、等腰三角形、不等边三角形。
相似三角形的判定定理:两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例的两个三角形相似。
题目解析例:在公式中,公式,公式,求公式的度数。
解:因为三角形内角和为公式,所以公式。
例:已知公式和公式,公式,公式,判断这两个三角形是否相似。
解:因为在公式和公式中,公式,公式,两角分别相等,所以公式。
2. 四边形知识点回顾平行四边形的性质:对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分。
2013年中考数学专题讲座一:选择题解题方法一、中考专题诠释选择题是各地中考必考题型之一,2012年各地命题设置上,选择题的数目稳定在8~14题,这说明选择题有它不可替代的重要性.选择题具有题目小巧,答案简明;适应性强,解法灵活;概念性强、知识覆盖面宽等特征,它有利于考核学生的基础知识,有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养.二、解题策略与解法精讲选择题解题的基本原则是:充分利用选择题的特点,小题小做,小题巧做,切忌小题大做.解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想,但更应看到选择题的特殊性,数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的,又不要求写出解题过程. 因而,在解答时应该突出一个“选”字,尽量减少书写解题过程,要充分利用题干和选择支两方面提供的信息,依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速地选择解法,以便快速智取,这是解选择题的基本策略. 具体求解时,一是从题干出发考虑,探求结果;二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上,后者在解答选择题时更常用、更有效.三、中考典例剖析考点一:直接法从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再与选择支对照,从而作出选择的一种方法。
运用此种方法解题需要扎实的数学基础.例1 (2012•白银)方程的解是()A.x=±1 B.x=1 C.x=﹣1 D.x=0思路分析:观察可得最简公分母是(x+1),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解.解:方程的两边同乘(x+1),得x2﹣1=0,即(x+1)(x﹣1)=0,解得:x1=﹣1,x2=1.检验:把x=﹣1代入(x+1)=0,即x=﹣1不是原分式方程的解;把x=1代入(x+1)=2≠0,即x=1是原分式方程的解.则原方程的解为:x=1.故选B.点评:此题考查了分式方程的求解方法.此题难度不大,注意掌握转化思想的应用,注意解分式方程一定要验根.对应训练1.(2012•南宁)某单位要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排10场比赛,则参加比赛的球队应有()A.7队B.6队C.5队D.4队考点二:特例法运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理,利用问题在某一特殊情况下不真,则它在一般情况下也不真的原理,由此判明选项真伪的方法。
用特例法解选择题时,特例取得愈简单、愈特殊愈好.例2(2012•常州)已知a 、b 、c 、d 都是正实数,且a cb d <,给出下列四个不等式:①ac a b c d<++;②c a c d a b <++;③d b c d a b <++;④b d a b c d <++。
其中不等式正确的是( ) A .①③ B .①④ C .②④ D .②③思路分析:由已知a 、b 、c 、d 都是正实数,且a cb d <,取a=1,b=3,c=1,d=2,代入所求四个式子即可求解。
解:由已知a 、b 、c 、d 都是正实数,且a c b d<,取a=1,b=3,c=1,d=2,则 1111,134123a c a b c d ====++++,所以a c a b c d<++,故①正确; 2233,123134d b c d a b ====++++,所以d b c d a b<++,故③正确。
故选A 。
点评:本题考查了不等式的性质,用特殊值法来解,更为简单. 对应训练2.(2012•南充)如图,平面直角坐标系中,⊙O 的半径长为1,点P (a ,0),⊙P 的半径长为2,把⊙P 向左平移,当⊙P 与⊙O 相切时,a 的值为( )A .3B .1C .1,3D .±1,±3考点三:筛选法(也叫排除法、淘汰法)分运用选择题中单选题的特征,即有且只有一个正确选择支这一信息,从选择支入手,根据题设条件与各选择支的关系,通过分析、推理、计算、判断,对选择支进行筛选,将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除,从而获得正确结论的方法。
使用筛选法的前提是“答案唯一”,即四个选项中有且只有一个答案正确.例3(2012•东营)方程(k-1)x 2-1k -x+14=0有两个实数根,则k 的取值范围是( ) A .k≥1 B .k≤1 C .k >1 D .k <1思路分析:原方程有两个实数根,故为二次方程,二次项系数不能为0,可排除A 、B ;又因为被开方数非负,可排除C 。
故选D .解:方程(k-1)x 2-1k -x+14=0有两个实数根,故为二次方程,二次项系数10k -≠,1k ≠,可排除A 、B ;又因为10,1k k -厔,可排除C 。
故选D .点评:此题考查了一元二次方程根的判别式与解的情况,用排除法较为简单.对应训练3.(2012•临沂)如图,若点M 是x 轴正半轴上任意一点,过点M 作PQ ∥y 轴,分别交函数 y=1k x (x >0)和y=2k x(x >0)的图象于点P 和Q ,连接OP 和OQ .则下列结论正确的是( ) A .∠POQ 不可能等于90°B .12k PM QM kC .这两个函数的图象一定关于x 轴对称D .△POQ 的面积是12(|k 1|+|k 2|)考点四:逆推代入法将选择支中给出的答案或其特殊值,代入题干逐一去验证是否满足题设条件,然后选择符合题设条件的选择支的一种方法. 在运用验证法解题时,若能据题意确定代入顺序,则能较大提高解题速度.例4(2012•贵港)下列各点中在反比例函数y=6x 的图象上的是( ) A .(-2,-3) B .(-3,2) C .(3,-2)D .(6,-1)思路分析:根据反比例函数y=6x中xy=6对各选项进行逐一判断即可. 解:A 、∵(-2)×(-3)=6,∴此点在反比例函数的图象上,故本选项正确;B 、∵(-3)×2=-6≠6,∴此点不在反比例函数的图象上,故本选项错误;C 、∵3×(-2)=-6≠6,∴此点不在反比例函数的图象上,故本选项错误;D 、∵6×(-1)=-6≠6,∴此点不在反比例函数的图象上,故本选项错误.故选A .点评:本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,熟知反比例函数中k=xy 的特点是解答此题的关键.对应训练4.(2012•贵港)从2,﹣1,﹣2三个数中任意选取一个作为直线y=kx+1中的k 值,则所得的直线不经过第三象限的概率是( )A .B .C .D . 1考点五:直观选择法利用函数图像或数学结果的几何意义,将数的问题(如解方程、解不等式、求最值,求取值范围等)与某些图形结合起来,利用直观几性,再辅以简单计算,确定正确答案的方法。
这种解法贯穿数形结合思想,每年中考均有很多选择题(也有填空题、解答题)都可以用数形结合思想解决,既简捷又迅速.例5(2012•贵阳)已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象如图所示,当-5≤x≤0时,下列说法正确的是()A.有最小值-5、最大值0 B.有最小值-3、最大值6C.有最小值0、最大值6 D.有最小值2、最大值6解:由二次函数的图象可知,∵-5≤x≤0,∴当x=-2时函数有最大值,y最大=6;当x=-5时函数值最小,y最小=-3.故选B.点评:本题考查的是二次函数的最值问题,能利用数形结合求出函数的最值是解答此题的关键.对应训练5.(2012•南宁)如图,在平面直角坐标系中,有两条位置确定的抛物线,它们的对称轴相同,则下列关系不正确的是()A.k=n B.h=m C.k<n D.h<0,k<0考点六:特征分析法对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或根据题目所提供的信息,如数值特征、结构特征、位置特征等,提取、分析和加工有效信息后而迅速作出判断和选择的方法例6(2012•威海)下列选项中,阴影部分面积最小的是()A.B.C.D.分析:根据反比例函数系数k的几何意义对各选项进行逐一分析即可.解:A、∵M、N两点均在反比例函数y=2x的图象上,∴S阴影=2;B、∵M、N两点均在反比例函数y=2x的图象上,∴S阴影=2;C、如图所示,分别过点MN作MA⊥x轴,NB⊥x轴,则S阴影=S△OAM+S阴影梯形ABNM -S△OBN=12×2+12(2+1)×1-12×2=32;D、∵M、N两点均在反比例函数y=2x的图象上,∴12×1×4=2.∵32<2,∴C中阴影部分的面积最小.故选C.点评:本题考查的是反比例函数系数k的几何意义,即在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线,这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是||2k,且保持不变.对应训练6.(2012•丹东)如图,点A是双曲线y=在第二象限分支上的任意一点,点B、点C、点D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴的对称点.若四边形ABCD的面积是8,则k的值为()A.﹣1 B.1C.2D.﹣2考点七:动手操作法与剪、折操作有关或者有些关于图形变换的试题是各地中考热点题型,只凭想象不好确定,处理时要根据剪、折顺序动手实践操作一下,动手可以直观得到答案,往往能达到快速求解的目的.例7 (2012•西宁)折纸是一种传统的手工艺术,也是每一个人从小就经历的事,它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏,更是培养智力的一种手段.在折纸中,蕴含许多数学知识,我们还可以通过折纸验证数学猜想,把一张直角三角形纸片按照图①~④的过程折叠后展开,请选择所得到的数学结论()A.角的平分线上的点到角的两边的距离相等B.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半C.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D.如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形思路分析:严格按照图中的方法亲自动手操作一下,即可很直观地呈现出来,也可仔细观察图形特点,利用对称性与排除法求解.解:如图②,∵△CDE由△ADE翻折而成,∴AD=CD,如图③,∵△DCF由△DBF翻折而成,∴BD=CD,∴AD=BD=CD,点D是AB的中点,∴CD=12AB,即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.故选C.点评:本题考查的是翻折变换,熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键.对应训练7.(2012•宁德)将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后,再沿图③中的虚线剪裁,最后将图④中的纸片打开铺平,所得到的图案是()A.B.C.D.四、中考真题演练1.(2012•衡阳)一个圆锥的三视图如图所示,则此圆锥的底面积为()A.30πcm2B.25πcm2C.50πcm2D.100πcm2 2.(2012•福州)⊙O1和⊙O2的半径分别是3cm和4cm,如果O1O2=7cm,则这两圆的位置关系是()A.内含B.相交C.外切D.外离3.(2012•安徽)为增加绿化面积,某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖,更换后,图中阴影部分为植草区域,设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,则阴影部分的面积为()A.2a2B.3a2C.4a2D.5a2 4.(2012•安徽)如图,A点在半径为2的⊙O上,过线段OA上的一点P作直线ℓ,与⊙O 过A点的切线交于点B,且∠APB=60°,设OP=x,则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是()A.B.C.D.5.(2012•黄石)有一根长40mm的金属棒,欲将其截成x根7mm长的小段和y根9mm长的小段,剩余部分作废料处理,若使废料最少,则正整数x,y应分别为()A.x=1,y=3 B.x=3,y=2 C.x=4,y=1 D.x=2,y=3 6.(2012•长春)有一道题目:已知一次函数y=2x+b,其中b<0,…,与这段描述相符的函数图象可能是()A.B.C.D.7.(2012•荆门)如图,点A是反比例函数y=(x>0)的图象上任意一点,AB∥x轴交反比例函数y=﹣的图象于点B,以AB为边作▱ABCD,其中C、D在x轴上,则S□ABCD为()A.2 B.3C.4D.58.(2012•河池)若a>b>0,则下列不等式不一定成立的是()A.ac>bc B.a+c>b+c C.D.a b>b29.(2012•南通)已知x2+16x+k是完全平方式,则常数k等于()A.64 B.48 C.32 D.16 10.(2012•六盘水)下列计算正确的是()A.B.(a+b)2=a2+b2C.(﹣2a)3=﹣6a3D.﹣(x﹣2)=2﹣x 11.(2012•郴州)抛物线y=(x﹣1)2+2的顶点坐标是()A.(﹣1,2)B.(﹣1,﹣2)C.(1,﹣2)D.(1,2)12.(2012•莆田)在一次芭蕾舞比赛中,甲、乙、丙、丁四队女演员的人数相同,身高的平均数均为166cm,且方差分别为=1.5,=2.5,=2.9,=3.3,则这四队女演员的身高最整齐的是()A.甲队B.乙队C.丙队D.丁队13.(2012•怀化)为了比较甲乙两种水稻秧苗是否出苗更整齐,每种秧苗各取10株分别量出每株长度,发现两组秧苗的平均长度一样,甲、乙方差分别是3.9、15.8,则下列说法正确的是()A.甲秧苗出苗更整齐B.乙秧苗出苗更整齐C.甲、乙出苗一样整齐D.无法确定14.(2012•长春)如图是2012年伦敦奥运会吉祥物,某校在五个班级中对认识它的人数进行了调查,结果为(单位:人):30,31,27,26,31.这组数据的中位数是()A.27 B.29 C.30 D.31 15.(2012•钦州)如图所示,把一张矩形纸片对折,折痕为AB,在把以AB的中点O为顶点的平角∠AOB三等分,沿平角的三等分线折叠,将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形,那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是()A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形16.(2012•江西)如图,有a、b、c三户家用电路接入电表,相邻电路的电线等距排列,则三户所用电线()A.a户最长B.b户最长C.c户最长D.三户一样长17.(2012•大庆)平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(,1),将OA绕原点按逆时针方向旋转30°得OB,则点B的坐标为()A.(1,)B.(﹣1,)C.(O,2)D.(2,0)18.(2012•长春)在下列正方体的表面展开图中,剪掉1个正方形(阴影部分),剩余5个正方形组成中心对称图形的是()A.B.C.D.19.(2012•凉山州)已知,则的值是()A.B.C.D.20.(2012•南充)下列几何体中,俯视图相同的是()A.①②B.①③C.②③D.②④21.(2012•朝阳)两个大小不同的球在水平面上靠在一起,组成如图所示的几何体,则该几何体的俯视图是()A.两个外离的圆B.两个相交的圆C.两个外切的圆D.两个内切的圆22.(2012•河池)如图,把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上.如果∠1=25°,那么∠2的度数是()A.30°B.25°C.20°D.15°23.(2012•长春)如图,在平面直角坐标系中,在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB,使OA=OB;再分别以点A、B为圆心,以大于AB长为半径作弧,两弧交于点C.若点C的坐标为(m﹣1,2n),则m与n的关系为()A.m+2n=1 B.m﹣2n=1 C.2n﹣m=1 D.n﹣2m=1 24.(2012•巴中)如图,已知AD是△ABC的BC边上的高,下列能使△ABD≌△ACD的条件是()A.AB=AC B.∠BAC=90°C.B D=AC D.∠B=45°25.(2012•河池)用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形,作图痕迹如图所示,能得到四边形ABCD是菱形的依据是()A.一组邻边相等的四边形是菱形B.四边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形26.(2012•随州)如图,AB是⊙O的直径,若∠BAC=35°,则∠ADC=()A.35°B.55°C.70°D.110°27.(2012•攀枝花)下列四个命题:①等边三角形是中心对称图形;②在同圆或等圆中,相等的弦所对的圆周角相等;③三角形有且只有一个外接圆;④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧.其中真命题的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个28.(2012•莱芜)以下说法正确的有()①正八边形的每个内角都是135°②与是同类二次根式③长度等于半径的弦所对的圆周角为30°④反比例函数y=﹣,当x<0时,y随x的增大而增大.A.1个B.2个C.3个D.4个29.(2012•东营)如图,一次函数y=x+3的图象与x轴,y轴交于A,B两点,与反比例函数的图象相交于C,D两点,分别过C,D两点作y轴,x轴的垂线,垂足为E,F,连接CF,DE.有下列四个结论:①△CEF 与△DEF 的面积相等;②△AOB ∽△FOE ;③△DCE ≌△CDF ;④AC=BD .其中正确的结论是( )A .①②B . ①②③C . ①②③④D . ②③④专题一选择题解题方法参考答案三、中考典例剖析对应训练 1.C解:设邀请x 个球队参加比赛,依题意得1+2+3+…+x -1=10,即(1)2x x -=10,∴x 2-x-20=0,∴x=5或x=-4(不合题意,舍去).故选C . 2.D解:当两个圆外切时,圆心距d=1+2=3,即P 到O 的距离是3,则a=±3.当两圆相内切时,圆心距d=2-1=1,即P 到O 的距离是1,则a=±1.故a=±1或±3.故选D . 3.D解:A .∵P 点坐标不知道,当PM=MO=MQ 时,∠POQ=90°,故此选项错误;B .根据图形可得:k 1>0,k 2<0,而PM ,QM 为线段一定为正值,故12k PM QM k =,故此选项错误;C .根据k 1,k 2的值不确定,得出这两个函数的图象不一定关于x 轴对称,故此选项错误; 故选:D . 4.C 5.A 6.D解:∵点B 、点C 、点D 分别是点A 关于x 轴、坐标原点、y 轴的对称点, ∴四边形ABCD 是矩形, ∵四边形ABCD 的面积是8, ∴4×|﹣k|=8, 解得|k|=2,又∵双曲线位于第二、四象限,∴k<0,∴k=﹣2.故选D.7.B.四、中考真题演练1.B2.C3.A解:∵某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖,设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,∴AB=a,且∠CAB=∠CBA=45°,∴sin45°===,∴AC=BC=a,=×a×a=,∴S△ABC∴正八边形周围是四个全等三角形,面积和为:×4=a2.正八边形中间是边长为a的正方形,∴阴影部分的面积为:a2+a2=2a2,故选:A.4.D解:当P与O重合,∵A点在半径为2的⊙O上,过线段OA上的一点P作直线l,与⊙O过A点的切线交于点B,且∠APB=60°,∴AO=2,OP=x,则AP=2﹣x,∴tan60°==,解得:AB=(2﹣x)=﹣x+2,=×PA×AB=(2﹣x)••(﹣x+2)=x2﹣6x+6,∴S△ABP故此函数为二次函数,∵a=>0,∴当x=﹣=﹣=2时,S取到最小值为:=0,根据图象得出只有D符合要求.故选:D.5.B解:根据题意得:7x+9y≤40,则x≤,∵40﹣9y≥0且y是非负整数,∴y的值可以是:1或2或3或4.当x的值最大时,废料最少,当y=1时,x≤,则x=4,此时,所剩的废料是:40﹣1×9﹣4×7=3mm;当y=2时,x≤,则x=3,此时,所剩的废料是:40﹣2×9﹣3×7=1mm;当y=3时,x≤,则x=1,此时,所剩的废料是:40﹣3×9﹣7=6mm;当y=4时,x≤,则x=0(舍去).则最小的是:x=3,y=2.故选B.6.A7.D解:设A的纵坐标是b,则B的纵坐标也是b.把y=b代入y=得,b=,则x=,,即A的横坐标是,;同理可得:B的横坐标是:﹣.则AB=﹣(﹣)=.则S□ABCD=×b=5.故选D.8.A9.A10.D11.D12.A13.A14.C15.D16.D17.A解:如图,作AC⊥x轴于C点,BD⊥y轴于D点,∵点A的坐标为(,1),∴AC=1,OC=,∴OA==2,∴∠AOC=30°,∵OA绕原点按逆时针方向旋转30°得OB,∴∠AOB=30°,OA=OB,∴∠BOD=30°,∴Rt△OAC≌Rt△OBD,∴DB=AC=1,OD=OC=,∴B点坐标为(1,).故选A.18.D19.D20.C21.B22.C解:∵△GEF是含45°角的直角三角板,∴∠GFE=45°,∵∠1=25°,∴∠AFE=∠GEF﹣∠1=45°﹣25°=20°,∵AB∥CD,∴∠2=∠AFE=20°.故选C.23.B解:∵OA=OB;分别以点A、B为圆心,以大于AB长为半径作弧,两弧交于点C,∴C点在∠BOA的角平分线上,∴C点到横纵坐标轴距离相等,进而得出,m﹣1=2n,即m﹣2n=1.故选:B.24.A25.B26.B27.B解:∵等边三角形是轴对称图形,但不是中心对称图形,∴①是假命题;如图,∠C和∠D都对弦AB,但∠C和∠D不相等,即②是假命题;三角形有且只有一个外接圆,外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,即③是真命题;垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧,即④是真命题.故选B.28.C解:①正八边形的每个内角都是:=135°,故①正确;②∵=3,=,∴与是同类二次根式;故②正确;③如图:∵OA=OB=AB,∴∠AOB=60°,∴∠C=∠AOB=30°,∴∠D=180°﹣∠C=150°,∴长度等于半径的弦所对的圆周角为:30°或150°;故③错误;④反比例函数y=﹣,当x<0时,y随x的增大而增大.故④正确.故正确的有①②④,共3个.故选C.29.C解:①设D(x,),则F(x,0),由图象可知x>0,∴△DEF的面积是:×||×|x|=2,设C(a,),则E(0,),由图象可知:<0,a>0,△CEF的面积是:×|a|×||=2,∴△CEF的面积=△DEF的面积,故①正确;②△CEF和△DEF以EF为底,则两三角形EF边上的高相等,故EF∥CD,∴FE∥AB,∴△AOB∽△FOE,故②正确;③∵C、D是一次函数y=x+3的图象与反比例函数的图象的交点,∴x+3=,解得:x=﹣4或1,经检验:x=﹣4或1都是原分式方程的解,∴D(1,4),C(﹣4,﹣1),∴DF=4,CE=4,∵一次函数y=x+3的图象与x轴,y轴交于A,B两点,∴A(﹣3,0),B(0,3),∴∠ABO=∠BAO=45°,∵DF∥BO,AO∥CE,∴∠BCE=∠BAO=45°,∠FDA=∠OBA=45°,∴∠DCE=∠FDA=45°,在△DCE和△CDF中,∴△DCE≌△CDF(SAS),故③正确;④∵BD∥EF,DF∥BE,∴四边形BDFE是平行四边形,∴BD=EF,同理EF=AC,∴AC=BD,故④正确;正确的有4个.故选C.2013年中考数学专题讲座二:新概念型问题一、中考专题诠释所谓“新概念”型问题,主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号,要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解,根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型.“新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“新概念型专题”关键要把握两点:一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法;二是根据问题情景的变化,通过认真思考,合理进行思想方法的迁移.三、中考典例剖析考点一:规律题型中的新概念例1 (2012•永州)我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列,如1,3,9,19,33,…就是一个数列,如果一个数列从第二个数起,每一个数与它前一个数的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做这个等差数列的公差.如2,4,6,8,10就是一个等差数列,它的公差为2.如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列,则称这个数列为二阶等差数列.例如数列1,3,9,19,33,…,它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2,6,10,14,…,这是一个公差为4的等差数列,所以,数列1,3,9,19,33,…是一个二阶等差数列.那么,请问二阶等差数列1,3,7,13,…的第五个数应是.思路分析:由于3-1=2,7-3=4,13-7=6,…,由此得出相邻两数之差依次大2,故13的后一个数比13大8.解答:解:由数字规律可知,第四个数13,设第五个数为x,则x-13=8,解得x=21,即第五个数为21,故答案为:21.点评:本题考查了数字变化规律类问题.关键是确定二阶等差数列的公差为2.对应训练1.(2012•自贡)若x是不等于1的实数,我们把11x-称为x的差倒数,如2的差倒数是112-=-1,-1的差倒数为11(1)--=12,现已知x1=-13,x2是x1的差倒数,x3是x2的差倒数,x4是x3的差倒数,…,依次类推,则x2012=.考点二:运算题型中的新概念例2 (2012•菏泽)将4个数a,b,c,d排成2行、2列,两边各加一条竖直线记成a bc d,概念a bc d=ad-bc,上述记号就叫做2阶行列式.若1111x xx x+--+=8,则x= .思路分析:根据题中的新概念将所求的方程化为普通方程,整理后即可求出方程的解,即为x 的值.解:根据题意化简1111x xx x+--+=8,得:(x+1)2-(1-x)2=8,整理得:x2+2x+1-(1-2x+x2)-8=0,即4x=8,解得:x=2.故答案为:2点评:此题考查了整式的混合运算,属于新概念的题型,涉及的知识有:完全平方公式,去括号、合并同类项法则,根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键.对应训练2.(2012•株洲)若(x1,y1)•(x2,y2)=x1x2+y1y2,则(4,5)•(6,8)=.考点三:探索题型中的新概念例3 (2012•南京)如图,A、B是⊙O上的两个定点,P是⊙O上的动点(P不与A、B重合)、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角.(1)已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角,①若AB是⊙O的直径,则∠APB=°;②若⊙O的半径是1,AB=,求∠APB的度数;(2)已知O2是⊙O1外一点,以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点,∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角,直线PA、PB分别交⊙O2于M、N(点M与点A、点N与点B 均不重合),连接AN,试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系.思路分析:(1)①根据直径所对的圆周角等于90°即可求解;②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°,再分点P在优弧上;点P在劣弧上两种情况讨论求解;(2)根据点P在⊙O1上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系.解:(1)①若AB是⊙O的直径,则∠APB=90.②如图,连接AB、OA、OB.在△AOB中,∵OA=OB=1.AB=,∴OA2+OB2=AB2.∴∠AOB=90°.当点P在优弧上时,∠AP1B=∠AOB=45°;当点P在劣弧上时,∠AP2B=(360°﹣∠AOB)=135°…6分(2)根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况.第一种情况:点P在⊙O2外,且点A在点P与点M之间,点B在点P与点N之间,如图①∵∠MAN=∠APB+∠ANB,∴∠APB=∠MAN﹣∠ANB;第二种情况:点P在⊙O2外,且点A在点P与点M之间,点N在点P与点B之间,如图②.∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+(180°﹣∠ANB),∴∠APB=∠MAN+∠ANB﹣180°;第三种情况:点P在⊙O2外,且点M在点P与点A之间,点B在点P与点N之间,如图③.∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°,∴∠APB=180°﹣∠MAN﹣∠ANB,第四种情况:点P在⊙O2内,如图④,∠APB=∠MAN+∠ANB.点评:综合考查了圆周角定理,勾股定理的逆定理,点与圆的位置关系,本题难度较大,注意分类思想的运用.对应训练3.(2012•陕西)如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.(1)“抛物线三角形”一定是三角形;(2)若抛物线y=-x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形,求b 的值;(3)如图,△OAB是抛物线y=-x2+b′x(b′>0)的“抛物线三角形”,是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD?若存在,求出过O、C、D三点的抛物线的表达式;若不存在,说明理由.考点四:开放题型中的新概念例4 (2012•北京)在平面直角坐标系xOy中,对于任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的“非常距离”,给出如下概念:若|x1-x2|≥|y1-y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|;若|x1-x2|<|y1-y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|y1-y2|.例如:点P1(1,2),点P2(3,5),因为|1-3|<|2-5|,所以点P1与点P2的“非常距离”为|2-5|=3,也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点).(1)已知点A(-12,0),B为y轴上的一个动点,①若点A与点B的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点B的坐标;②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值;(2)已知C是直线y=34x+3上的一个动点,①如图2,点D的坐标是(0,1),求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标;②如图3,E是以原点O为圆心,1为半径的圆上的一个动点,求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标.思路分析:(1)①根据点B位于y轴上,可以设点B的坐标为(0,y).由“非常距离”的概念可以确定|0-y|=2,据此可以求得y的值;②设点B的坐标为(0,y).因为|-12-0|≥|0-y|,所以点A与点B的“非常距离”最小值为|-12-0|=12;(2)①设点C的坐标为(x0,34x0+3).根据材料“若|x1-x2|≥|y1-y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|”知,C、D两点的“非常距离”的最小值为-x0=34x0+2,据此可以求得点C的坐标;②当点E在过原点且与直线y=34x+3垂直的直线上时,点C与点E的“非常距离”最小,即E(-35,45).解答思路同上.解:(1)①∵B为y轴上的一个动点,∴设点B的坐标为(0,y).∵|-12-0|=12≠2,∴|0-y|=2,解得,y=2或y=-2;∴点B的坐标是(0,2)或(0,-2);②点A与点B的“非常距离”的最小值为12;(2)①∵C是直线y=34x+3上的一个动点,∴设点C的坐标为(x0,34x0+3),∴-x0=34x0+2,此时,x0=-87,∴点C与点D的“非常距离”的最小值为:87,此时C(-87,157);②E(-35,45).-35-x0=34x0+3-45,解得,x0=-85,则点C的坐标为(-85,95),最小值为1.点评:本题考查了一次函数综合题.对于信息给予题,一定要弄清楚题干中的已知条件.本题中的“非常距离”的概念是正确解题的关键.对应训练4.(2012•台州)请你规定一种适合任意非零实数a,b的新运算“a⊕b”,使得下列算式成立:1⊕2=2⊕1=3,(-3)⊕(-4)=(-4)⊕(-3)=-76,(-3)⊕5=5⊕(-3)=-415,…你规定的新运算a⊕b=(用a,b的一个代数式表示).考点五:阅读材料题型中的新概念例5 (2012•常州)平面上有两条直线AB、CD相交于点O,且∠BOD=150°(如图),现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”:(1)点O的“距离坐标”为(0,0);(2)在直线CD 上,且到直线AB的距离为p(p>0)的点的“距离坐标”为(p,0);在直线AB上,且到直线CD的距离为q(q>0)的点的“距离坐标”为(0,q);(3)到直线AB、CD的距离分别为p,q(p>0,q>0)的点的“距离坐标”为(p,q).设M为此平面上的点,其“距离坐标”为(m,n),根据上述对点的“距离坐标”的规定,解决下列问题:(1)画出图形(保留画图痕迹):①满足m=1,且n=0的点M的集合;②满足m=n的点M的集合;(2)若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上,求m与n所满足的关系式.(说明:图中OI长为一个单位长)思路分析:(1)①以O为圆心,以2为半径作圆,交CD于两点,则此两点为所求;②分别作∠BOC和∠BOD的角平分线并且反向延长,即可求出答案;(2)过M作MN⊥AB于N,根据已知得出OM=n,MN=m,求出∠NOM=60°,根据锐角三角函数得出sin60°=MNOM=mn,求出即可.解:(1)①如图所示:点M1和M2为所求;②如图所示:。