第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系§3.1 地图投影概述3.1.1 地图投影的意义与实现由椭球面投影到平面,大地经纬度B,L,与平面坐标x,y的关系因椭球面是不可展曲面,要建立一一对应的关系,必然会产生投影变形,控制投影变形有各种不同的方法,对应于不同的投影.3.1.2 地图投影变形及其表述1,投影长度比,等量纬度及其表示式长度比:投影平面上微分长度与椭球面上相应微分长度之比.投影平面上微分长度:椭球面上微分长度:3.1.2 地图投影变形及其表述上式中q为等量纬度,计算公式为引入等量纬度后,使相同角度量的dq与dL所对应的椭球面上的弧长相同.3.1.2 地图投影变形及其表述上式中q为等量纬度,计算公式为引入等量纬度后,使相同角度量的dq与dL所对应的椭球面上的弧长相同.上式中q为等量纬度,计算公式为引入等量纬度后,使相同角度量的dq与dL所对应的椭球面上的弧长相同.3.1.2 地图投影变形及其表述引入等量纬度后,投影公式为:求微分,得:其中:l = L - L03.1.2 地图投影变形及其表述根据微分几何,其第一基本形式为:其中:3.1.2 地图投影变形及其表述则,长度比公式为:将代入上式,得:3.1.2 地图投影变形及其表述当A=0°或180 °,得经线方向长度比:当A = 90°或270 °,得纬线方向长度比:要使长度比与方向无关,只要:F = 0, E = G,则长度比可表示为:3.1.2 地图投影变形及其表述长度比与1之差,称为长度变形,即:vm>0,投影后长度变大,反之,投影后长度变短.2,主方向和变形椭圆主方向:在椭球面上正交的两个方向投影到平面上后仍然正交,则这两个方向称为主方向.性质:主方向投影后具有最大和最小尺度比.对照第一基本形式,得:且:3.1.2 地图投影变形及其表述代入长度比公式,得:若使:使长度比为极值的方向:由三角公式得:3.1.2 地图投影变形及其表述由此得,长度比极值为:将三角展开式代入得:因此,最大长度比a与最小长度比b可表示为:3.1.2 地图投影变形及其表述不难得出下列关系:3.1.2 地图投影变形及其表述若对应于最大和最小长度比方向在椭球面上为x轴和y轴方向,在投影面上为x1和y1方向,则有:椭球面上投影面上3.1.2 地图投影变形及其表述3,方向变形与角度变形某方向(以主方向起始) 投影后为1,则有:由三角公式,得:显然,当+ 1 = 90°或270 °时,方向变形最大3.1.2 地图投影变形及其表述若与1表示最大变形方向,则最大变形量可表示为:顾及:解得最大变形方向为:3.1.2 地图投影变形及其表述两方向, 所夹角的变形称为角度变形,用表示.即:显然,当+ 1 = 90°, + 1 = 270 °或+ 1 = 270°, + 1 = 90 °时,角度变形最大,最大角度变形可表示为:3.1.2 地图投影变形及其表述4,面积比与面积变形椭球面上单位圆面积为,投影后的面积为ab,则面积变形为:3.1.3 地图投影的分类1,按投影变形的性质分类(1). 等面积投影a b = 1(2). 等角投影a = b(3). 等距离投影某一方向的长度比为1.3.1.3 地图投影的分类2,按采用的投影面和投影方式分类(1). 方位投影投影面与椭球面相切,切点为投影中心,按一定条件将椭球面上的物投影到平面上.3.1.3 地图投影的分类(2). 正轴或斜,横轴圆柱投影正轴圆柱投影:投影圆柱面与某纬线相切(切圆柱投影),或相割(割圆柱投影)切圆柱投影:投影圆柱面与赤道相切,纬线投影成一组平行直线,经线投影成与纬线正交的另一组平行直线.割圆柱投影:投影圆柱面与两条对称纬线相割,纬线投影成一组平行直线,经线投影成与纬线正交的另一组平行直线.3.1.3 地图投影的分类横轴圆柱投影:投影圆柱面与某经线相切.斜轴圆柱投影:用于小比例尺投影,将地球视为圆球,投影圆柱体斜切于圆球进行投影.(3). 圆锥投影:圆锥面与椭球面相切或相割,将椭球面上物投影到圆锥面上,展开圆锥面得投影平面.根据圆锥顶点位置不同,分正圆锥投影,斜圆锥投影.3.1.3 地图投影的分类习题1. 给出等量纬度的定义,引入等量纬度有何作用.2. 投影变形与长度无关时应满足哪些条件并给出证明.3. 变形主方向有什么性质4. 最大方向变形与最大角度变形的方向满足什么条件5. 地图投影按变形性质分哪几类按投影方式分哪几类§3.2 正形投影与高斯-克吕格投影3.2.1 正形投影的概念和投影方程长度比与方位角无关的投影称为正形投影,必须满足条件E = G, F = 0,即:由第二式解得:13.2.1 正形投影的概念和投影方程代入第一式,得:考虑到导数的方向,开方根得:再代入式,得:1233.2.1 正形投影的概念和投影方程2, 式称为Kauchi-Rimann方程,满足该方程的复变函数为解析函数,可展开成幂级数,即有:3其反函数也是复变函数,可以写成:3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质高斯-克吕格投影的条件:1. 是正形投影2. 中央子午线不变形3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质高斯投影的性质:1. 投影后角度不变2. 长度比与点位有关,与方向无关3. 离中央子午线越远变形越大为控制投影后的长度变形,采用分带投影的方法.常用3度带或6度带分带,城市或工程控制网坐标可采用不按3度带中央子午线的任意带.3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质中央子午线在平面上的投影是x 轴,赤道的投影是y 轴,其交点是坐标原点.x 坐标是点至赤道的垂直距离;y 坐标是点至中央子午线的垂直距离,有正负.为了避免y 坐标出现负值,其名义坐标加上500 公里.为了区分不同投影带中的点,在点的Y坐标值上加带号N所以点的横坐标的名义值为y = N 1000000+500000+y§3.3 高斯投影坐标正算和反算公式3.2.1 高斯投影正算公式赤道因正形投影的导数与方向无关,将投影点坐标在H点展开,得:3.3.1 高斯投影正算公式因此,高斯投影级数展开式可表示为:其各阶导数为:3.3.1 高斯投影正算公式将导数代入展开式,虚实分开后,得到高斯投影正算公式如下:3.3.1 高斯投影正算公式为便于编程计算,可将正算公式改写成如下形式:3.3.2 高斯投影反算公式在中央子午线投影成的x轴上取点Xf = x,该点称为底点,用子午弧长反算公式求得底点的纬度Bf 和相应的等量纬度qf ,以底点为展开点进行级数展开,得:3.3.2 高斯投影反算公式相应的各阶导数为:3.3.2 高斯投影反算公式代入级数展开式,虚实分开得:43.3.2 高斯投影反算公式将大地纬度展开成等量纬度的级数式其中:53.3.2 高斯投影反算公式由式,得:4代入式,得:53.3.2 高斯投影反算公式将各系数代入上式,得纬度B 的反算公式:3.3.2 高斯投影反算公式为便于编程计算,可将反算公式改写成如下形式:3.3.2 高斯投影反算公式利用高斯投影的正反算公式,亦可进行不同投影带坐标的换带计算.其计算步骤如下:1. 根据高斯投影坐标x, y,反算得纬度B和经度差l;2. 由中央子午线的经度L0, 求得经度L = L0 +l;3. 根据换带后新的中央子午线经度L0' ,计算相应的经差:4. 由高斯投影正算,求得新的高斯投影坐标x',y'.习题1. 高斯投影的条件是什么2. 简述高斯投影投影正算公式的推导;3. 已知某点的坐标:B = 29 04 05.3373L = 121 10 33.2012计算:1). 该点的3 带和6 带带号;2). 该点的3 带高斯投影坐标并反算检核;§3.4 平面子午线收敛角和长度比3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式平行圈子午线沿平行圈纬度不变,求微分得:3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式对高斯投影公式求偏导数,得:3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式代入上式,得:将展开成tg 的级数,得:3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式由此可见, 是经差的奇函数,在x 轴为对称轴,东侧为正,西侧为负. 子午线收敛角在赤道为0,在两极等于经差l,其余点上均小于经差l .3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式子午线收敛角也可以表示成高斯平面坐标的级数展开式.平行圈L =常数L+dl = 常数P点沿与y轴平行方问微分变动到P 点,子午线收敛角可表示为:沿y坐标的微分,得:3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式代入子午线收敛角公式,得:由高斯投影反算公式求出偏导数,得:3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式代入上式子午线收敛角计算公式,得:将展开成tg 的级数,得:3.4.2 长度比计算公式由高斯投影长度比的定义式,得:将前面的偏导数代入上式,得:开方后得出以大地坐标表示的长度比公式:3.4.2 长度比计算公式为给出由高斯投影坐标表示的长度比公式,反解高斯投影的y 坐标正算公式,得:对上式求平方和四次方,得:3.4.2 长度比计算公式代入用大地坐标表示的长度比公式,得:顾及:代入上式,得:可见,长度比是y坐标的偶函数,且只与y坐标有关.§3.5 高斯投影距离与方向改化以及坐标方位角3.5.1 高斯投影的距离改化椭球面上的大地线投影到高斯平面上为曲线,与平面上两点相连的直线相比, 其微分线段间的差异极小,可表示为:其中:3.5.1 高斯投影的距离改化此弧线与直线间的最大偏角即为方向投影改化,本为二次小项,故此相对长度差异仅为4次项,相对于距离测量的最高精度亦可忽略,因此可认为:用辛卜生公式数值积分得:3.5.1 高斯投影的距离改化将长度比公式代入上式,得:3.5.1 高斯投影的距离改化距离改化S可表示为:其中:在城市及工程应用中测边离中央子午线不会超过45公里,则距离改化公式可进一步简化为:3.5.2 高斯投影方向改化1,高斯投影曲线的形状高斯投影曲线的形状向x 轴弯曲,并向两极收敛.3.5.2 高斯投影方向改化2,高斯投影方向改化保角投影前后角度相同,即:3.5.2 高斯投影方向改化将球面角超计算公式代入上式,得:因方向值顺时针方向增加,考虑其正负号后,方向改化公式可表示如下: 上式具有0.1 的计算精度,适用于三,四等控制网的方向改化计算.改化公式中的曲率半径可足够近似地取6370km3.5.3 坐标方位角和大地方位角的关系式A12T12习题1. 已知某点的坐标:B = 29 04 05.3373L = 121 10 33.2012计算:1). 该点的3 带高斯投影后的中央子午线收敛角;2). 该点的3 带高斯投影的长度比.2. 已知起始点坐标:x3 = 3239387.624 my3 = 40446822.368m起始平面方位角T31=192 37 08.51 ,距离S31=7619.245m,各方向观测值如下:1~3:0 00 00.00 2~3:0 00 00.00 3~1: 0 00 00.001~2:257 17 47.71 2~1:39 51 12.50 3~2:37 26 36.65将上述边长和方向归算到高斯平面上.312§3.6 通用横轴墨卡托投影3.6.1 墨卡托投影墨卡托投影为等角割圆柱投影,圆柱与椭球面相割于B0的两条纬线,投影后不变形.特性:等角航线在投影平面上为直线.因此,该投影便于在航海中应用.3.6.2 通用横轴墨卡托投影简称为UTM,与高斯投影相比,仅仅是中央子午线的尺度比为0.9996,其投影公式如下:3.6.2 通用横轴墨卡托投影长度比和子午线收敛角计算公式.3.6.2 通用横轴墨卡托投影通用横轴墨卡托投影的反算步骤:1. 先由通用横轴墨卡托投影坐标计算高斯投影坐标;2. 再利用高斯投影反算公式,计算大地纬度和经度.3.6.2 通用横轴墨卡托投影与高斯投影的比较§3.7 局部区域中的高斯投影及其相应的区域性椭球局部区域中常采用地方独立坐标系,其高斯坐标以往并非由经纬度求得,而是直接将边长投影到边长归算的高程基准面(投影面), 再选定过测区中心附近的坐标纵轴,计算高斯投影边长和方向改正,在平面上由起始点坐标,起始方位角来平差计算各控制点坐标.§3.7 局部区域中的高斯投影及其相应的区域性椭球地方独立坐标系的参数:1. 投影面:一般采用区域的平均高程面;2. 中央子午线的经度或位置:一般取用过区域中心附近一控制点的经度,或采用整分或整度的经度.3. 起始坐标,起始方位角,起始边长.§3.7 局部区域中的高斯投影及相应的区域性椭球城市及工程控制网采用地方独立坐标系,边长的投影面是区域的边长归算的高程基准面而并不是国家参考椭球面.其高斯坐标所对应的椭球面应是与投影面相接近的区域性椭球面,而不是国家参考椭球面.习题1. 已知某点的坐标:B = 29 04 05.3373L = 121 10 33.2012计算:1). 该点的3 带UTM投影坐标;2). 该点UTM投影的长度变形.。
