二次根式讲解大全Word

初中二次根式的知识点归纳一、定义1、二次根式：又称二次多项式，指的是二次项不为零的多项式，即具有ax^2 + bx + c 的多项式，其中a≠o。

二、概念1、二次项：又称“平方项”，形式为 ax^2，指的是以被平方的变量为指数的多项式，一般用系数a来表示，a可以是实数或复数。

2、一般式：指具有ax^2 + bx + c 的二次多项式，其中 a、b、c可以是实数或复数，此式也叫二次根式。

3、系数：指二次根式 ax^2 + bx + c 中的 a、b、c，称为它的系数。

三、展开1、运用乘积平方公式，可把二次根式拆分展开：ax^2 + bx + c = a(x + b/2a)^2 - (b^2)/(4a) + c2、如果二次根式没有复数系数，可以使用完全平方公式，将二次根式展开为两项，形式为：ax^2 + bx + c = (x + a1)^2 + c1。

四、解决方式1、平方根法：指将平方根和立方根准确到小数点后两位加减法，称之为平方根法。

2、完全平方公式：将ax^2 + bx + c = (x + a1)^2 + c1 方法，此方法可将一般式Ax^2+bx+c转换为(x+a1)^2+c1的形式，采用此方法可以直接求出根式的解。

3、因式分解法：此方法适用的几何平均数，多次乘方求和，解析求根，其中包含了一些基本算术技巧，比如乘法交换律，变乘法公式等。

五、配套计算器的使用1、计算机的完成二次根式的算子运算，是根据一般式 ax^2 + bx + c = 0 这种二次根式，采用特定的算子运算，得到根式的解及解的类别。

2、计算机在进行算子运算时，根据具体情况采用不同的算子算法，从而得出不同的解，如采用二次公式，可以得出根式的解及解的类别。

3、计算机给出的结果即为根式的解，如配套的计算器能够得到，ax^2+bx+c=0的两个实数根，或有2个复根的情况。

六、实际应用1、二次根式的实际运用比较广泛，它可以用来准确表达物理现象，例如平抛运动中的受力，圆锥曲面等物理现象等。

二次根式复习【知识回忆】1. 二次根式： 式子 a 〔 a ≥ 0〕叫做二次根式。

2. 最简二次根式： 必定同时满足以下条件：⑴被开方数中 不含开方开的尽的因数或因式 ； ⑵被开方数中 不含分母 ； ⑶分母中 不含根式 。

3. 同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式。

4. 二次根式的性质：〔1〕〔2〔 a ≥ 0〕；〔2〕a 〕 = a 2aa 5. 二次根式的运算： ⑴二次根式的加减运算：先把二次根式化成最简二次根式，尔后合并同类二次根式即可。

⑵二次根式的乘除运算：a 〔 a ＞0〕0 〔 a =0〕；a 〔 a ＜ 0〕① ab =a ?b 〔 a ≥ 0,b ≥ 0〕；②aaba 0,b 0b【例题讲解】例 1 计算：〔1〕 (3)2 ；〔2〕 (2 ) 2 ； 〔3〕 ( a b )2〔a+b ≥ 0〕3解析：依照二次根式的性质可直接获取结论。

例 2 计算：⑴6·15⑵ 1 ·24⑶ a 3 · ab 〔 a ≥ 0，b ≥ 0〕2解析：本例先利用二次根式的乘法法那么计算， 再利用积的算术平方根的意义进行化简得出计算结果。

例 3计算：〔1〕32+23－22+3〔 2〕12 +18 － 8 －32〔 3〕40 －1 +10510【基础训练】1．化简：〔 1〕72____ ；〔2〕252242___ __；〔3〕612 18 ____；〔4〕75x3 y2 (x0, y0) ____；〔5〕204_______ 。

2.(08 ，安徽 ) 化简42=_________。

3. 〔 08，武汉〕计算 4 的结果是Ａ .2Ｂ．± 2Ｃ． -2Ｄ． 44. 化简：〔1〕〔 08，泰安〕9 的结果是；〔 2〕〔 08，南京〕12 3 的结果是；〔3〕(08 ，宁夏 ) 528 =；〔 4〕〔 08，黄冈〕 5 x -2x =_____ _；5．〔 08，重庆〕计算82的结果是A、 6B、 6C、 2D、 26．〔 08，广州〕 3 的倒数是。

初中数学二次根式经典讲解一、知识要点概述1、二次根式：式子叫做二次根式．2、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式．(1)被开方数的因数是整数，因式是整式．(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．4、二次根式的主要性质5、二次根式的运算(1)因式的外移和内移如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外；如果被开方数是多项式的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外．反之，也可以将根号外的正因式平方后移到根号里面去．(2)有理化因式与分母有理化两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，将分母中的根号化去，叫做分母有理化．(3)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式．(4)二次根式的乘除法二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)所得的积(商)仍作积(商)的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式．(5)有理数的加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．二、典例剖析分析：因一个等式中含有两个未知量，初看似乎条件不足，仔细观察两被开方数互为相反数，不妨从二次根式定义入手．例3、已知xy＞0，化简二次根式的正确结果是（）A．B．－C．D．－分析：解题的关键是首先确定被开方式中字母的符号，既可以化简被开方式，又可把根号外的因式移入根号内．说明：运用二次根式性质解题时，既要注意每一性质成立的条件，又要学会性质的“正用”与“逆用”特别地字母因式由根号内(外)移到根号(外)内时必须考虑字母因式隐含的符号．例6、已知，求a＋b＋c的值．分析：已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢？考虑从配方的角度试一试．点评：应用非负数概念和性质是初中代数解题的常用方法之一，|a|，a2n，是三种重要的非负数表现形式．判断一个数是否为非负数，最关键的是看它能否通过配方得到完全平方式，如：在解多变元二次根式，复合二次根式等问题时，常用到配方法，如化简二次函数的图象与性质主讲：童丽丹知识要点概述1、二次函数的定义：如果y=ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)，那么y叫x的二次函数．2、二次函数的图象：二次函数y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线．3、二次函数的解析式有下列三种形式：(1)一般式：y=ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：y=a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)交点式：y=a(x－x1)(x－x2) (a≠0)，这里x1，x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标．确定二次函数的解析式一般要三个独立条件，灵活地选用不同方法求出二次函数的解析式是解与二次函数相关问题的关键．4、抛物线y=ax2＋bx＋c中系数a、b、c的几何意义抛物线y=ax2＋bx＋c的对称轴是，顶点坐标是，其中a的符号决定抛物线的开口方向．a>0，抛物线开口向上，a<0，抛物线开口向下；a，b同号时，对称轴在y轴的左边；a，b异号时，对称轴在y轴的右边；c确定抛物线与y轴的交点（0，c）在x轴上方还是下方．5、抛物线顶点式y=a(x－h)2＋k(a≠0)的特点(1)a>0，开口向上；a<0，开口向下；(2)x=h为抛物线对称轴；(3)顶点坐标为（h，k）．依顶点式，可以很快地求出二次函数的最值．当a>0时，函数在x=h处取最小值y=k；当a<0时，函数在x=h处取最大值y=k．6、抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的联系与区别抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的形状相同，位置不同．前者是后者通过“平移”而得到．要想弄清抛物线的平移情况，首先将解析式化为顶点式．7、抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴的两个交点为A、B，且方程ax2＋bx＋c=0的两根为x1，x2，则有A(x1，0)，B(x2，0)．典型剖析例1、已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示．下列结论：①a＋b＋c<0；②a－b＋c>0；③abc>0；④b=2a．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1解：选A．令x=1及由图象知a＋b＋c<0，①正确；令x=－1及由图象a－b＋c>0，②正确；由对称轴知，④正确；由④知a、b同号且抛物线与y轴的交点在x轴上方，即c>0，故③正确．所以选A．例2、二次函数y=x2＋(a－b)x＋b的图象如图所示．那么化简的结果是____________．解：原式=－1．∵图象与y轴交点在x轴上方，∴b＞0．又∵图象的对称轴在y轴右边且二次项系数为1，一次项系数为a－b，例3、已知抛物线y=x2－(2m＋4)x＋m2－10与x轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点．(1)用配方法求顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；(2)若AB的长为，求抛物线的解析式．解：(1)∵y=x2－(2m＋4)x＋m2－10=[x－(m＋2)] 2－4m－14，∴顶点C的坐标为(m＋2，－4m－14)．(2)∵A、B是抛物线y=x2－(2m＋4)x＋m2－10与x轴的交点且|AB|=，化简整理得：16m=－48，∴m=－3．当m=－3时，抛物线y=x2＋2x－1与x轴有交点且AB=，符合题意．故所求抛物线的解析式为y=x2＋2x－1．例4、如果抛物线y=－x2＋2(m－1)x＋m＋1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b．(1)求m的取值范围；(2)若a︰b=3︰1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式．解：(1)设A、B两点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)．∵A、B分处原点两侧，∴x1x2<0，即－(m＋1)<0，得m>－1．又∵△=[2(m－1)]2－4×(－1)(m＋1)=4m2－4m＋8=4(m－)2＋7>0，∴m>－1为m的取值范围．(2)∵a︰b=3︰1．设a=3k，b=k(k>0)，则x1=3k，x2=－k．例5、已知某二次函数，当x=1时有最大值－6，且其图象经过点（2，－8）．求此二次函数的解析式．解：∵二次函数当x=1时有最大值－6，∴抛物线的顶点为（1，－6），故设所求的二次函数解析式为y=a(x－1)2－6．由题意将点（2，－8）的坐标代入上式得：a(2－1)2－6=－8，∴a=－2，∴二次函数的解析式为y=－2(x－1)2－6，即y=－2x2＋4x－8．例6、二次函数y=ax2＋bx＋c的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．(1)请判断实数a的取值范围，并说明理由；(2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C．当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值．解：（1）由图象可知：a<0，图象过点（0，1），∴c=1．图象过点（1，0），∴a＋b＋c=0，∴b=－(a＋c)=－(a＋1)．由题意知，当x=－1时，应有y>0，∴a－b＋c>0，∴a＋(a＋1)＋1>0，∴a>－1，∴实数a的取值范围是－1<a<0．(2)此时函数为y=ax2－(a＋1)x＋1,与x轴两交点A、C之间的距离为例7、根据下列条件，求抛物线的解析式．(1)经过点（0，－1），（1，），（－2，－5）；(2)经过点（－3，2），顶点是（－2，3）；(3)与x轴两交点（－1，0）和（2，0）且过点（3，－6）．分析：求解析式应用待定系数法，根据不同的条件，选用不同形式求二次函数的解析式，可使解题简捷．但应注意，最后的函数式均应化为一般形式y=ax2＋bx＋c．解：（1）设y=ax2＋bx＋c，把（0，－1），（1，），（－2，－5）代入得方程组∴解析式为y=＋x－1．（2）设y=a(x＋2)2＋3，把（－3，2）代入得2=a(－3＋2)2＋3，解得a=－1．解析式为y＝－x2－4x－1.（3）设y=a(x＋1)(x－2)，把（3，－6）代入得－6=a(3＋1)(3－2)，解得．∴解析式为y=(x＋1)(x－2)，即．函数的应用主讲：童丽丹一、知识要点概述命题趋势分析：函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的热点．由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力和较好的区分度，因此每年中考试卷中都要出现与函数有关的题目，而且多以压轴题出现．1、函数与方程的综合主要是二次函数与一元二次方程、一次函数与二元一次方程组的综合较多，常涉及到一元二次方程的解法、根与系数关系以及根的判别式；方程组的解法，有时也涉及到分式方程的解法，关键是把函数的问题转化为方程(组)的问题，但是，仅含方程与函数的综合题型不多，而是与面积、存在性、开放性、探索性等问题糅合在一起的命题较多．2、函数与图形的面积综合题，通常出现在压轴题中的某一小题中占3—5分，主要类型有：已知函数的解析式，求有关三角形、四边形和不规则的多边形面积，其中以求三角形、四边形的面积为主；已知图形的面积，求函数关系式或某些特殊点的坐标，还有求面积关于某个变量的函数关系式等，函数与图形面积问题是中考中热门问题，题型常考常新，体现了数形结合的思想、转化的思想、分类讨论思想等．3、函数与几何的综合题几乎每份中考试卷都有函数与几何的综合题，是因为函数题目体现了数与形的结合，体现了代数知识与几何知识的灵活运用，它能考查许多知识点，考查学生的分析问题、综合运用知识解决问题的能力，函数与几何的综合，主要包括一次函数、二次函数与三角形、四边形与圆的综合、涉及全等三角形、直角三角形、直角三角形与圆的有关知识，一般有3—4个小题，占分约12—16分，是一类很热门的题目，常有存在性、开放性与分类讨论的题目．二、典型例题剖析例1、已知抛物线与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)(x1＜x2)两点与y轴交于C点，O为坐标原点．(1)求m的取值范围；(2)若且OA＋OB=3OC，求抛物线的解析式．分析：一元二次方程与二次函数的关系是：抛物线y=ax2＋bx ＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标x1，x2是一元二次方程ax2＋bx ＋c=0(a≠0)的两根，从而可利用根的判别式及根与系数的关系来解二次函数与x轴相交的有关问题．另外OA=|x1|，OB=|x2|体现了数形结合．解：(1)∵抛物线与x有两个不同的交点，∴方程有两个不相等的实数根，∴(2)∵A(x1，0)，B(x2，0)是抛物线与x轴的两个交点，∴x1，x2是方程的两个不等实根，∴x1＋x2=－24mx1x2=8(18m2－m)，∴x1＋x2＜0x1x2＞0∴x1与x2同负∵C点的坐标为C(0，18m2－m)，∴OC=|18m2－m|=18m2－m又∵OA＋OB=3OC∴－x1－x2=3(18m2－m)即－(－24m)=3(18m2－m)点评：抛物线与x轴有两个交点，就可以转化为一元二次方程的△＞0，要根据x1＋x2与x1·x2的符号来确定x1与x2的符号，从而得|x1|与|x2|去绝对值后的值．求出m有两个值后，要及时地检验，舍去不合题意的m值，这些都是在解函数与方程有关综合题时应注意的地方，也是易错点．例2、某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元．但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P与x的函数表达式．(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000元，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本)解：(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x个，则因此当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好为51元．(2)当0≤x≤100时，P=60．当100＜x＜550时，当x≥550时，P=51．(3)设销售商一次订购量为x个时，工厂获利为W元．当x=550时，W=6000 ；当x=1000时，W=11000．因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获利6000元，若订购1000个，利润是11000元．例3、已知二次函数y=x2＋bx＋c与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，其顶点坐标为，AB=|x1－x2|，若S△APB=1，则b与c的关系式是（）A．b2－4c＋1=0B．b2－4c－1=0C．b2－4c＋4=0D．b2－4c－4=0例4、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点Q（0，2），顶点P在第一象限且S△ABP=2S△ABQ．若R(－1，－4)在抛物线上，求抛物线的解析式．分析：设一般式y=ax2＋bx＋c由S△ABP=2S△ABQ可知P点的纵坐标为4，根据顶点坐标公式，得到一个方程，再把Q、R两点坐标代入一般式中，又得到两个方程，由这三个方程组成一个方程组，可求出a、b、c的值．例5、《中华人民共和国个人所得税》规定，公民月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表计算：全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%(纳税款=应纳税所得额×对应的税率) 按此规定解答下列问题：(1)设甲的月工资、薪金所得为x元(1300＜x＜2800)需缴交的所得税款为y元，试写出y与x的函数关系式．(2)若乙一月份应交所得税款95元，那么他一月份的工资、薪金是多少元？分析：本题是用列表法表示的分段函数型应用题，解题的关键是理解税率表，要将超800元部分分段，每段对应不同的税率，应交税款是每段税款之和．解：(1)因为甲的月工资、薪金所得x元，而1300＜x＜2800．∴500＜x－800＜2000，所交税款由两部分组成．500元按税率5%交税，另一部分(x－800－500)元，按10%交税，故y与x之间的函数关系式为y=500×5%＋(x－800－500)×10%=(x－1300)×10%＋25(2)根据第(1)小题中，当收入在1300元至2800元之间时，纳税在500×5%=25元至500×5%＋(2800－800－500)×10%=175(元)之间，由于乙职工纳税95元，知他的工资、薪金肯定在1300元至2800元之间，适用(1)的函数关系式：∴95=(x－1300)×10%＋25解得x=2000．例6、如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC．(1)求△ABC的面积；(2)如果在第二象限内有一点，试用含a的式子表示四边形ABPO的面积，并求出当△ABP的面积与△ABC的面积相等时a的值．(3)在x轴上，是否存在点M，使△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．(3)因为△ABM为等腰三角形，分类讨论：1°以AB为底边的等腰△ABM，则AB的中垂线与x轴的交点为M，可求出M1的坐标为2°，以AB为腰的等腰△ABM，以B为圆心，AB为半径画弧交x轴于点M2，可求出其坐标为；以A为圆心，AB为半径画弧交x轴于点M3，M4可求其坐标为故满足条件的点M有4个，三角形主讲：童丽丹一、知识要点概述1、定义：由不在同一直线上的三条线段顺次首尾相接而成的封闭图形叫三角形．2、三角形的分类（1）按边分（2）按角分3、三角形的一些重要性质（1）边与边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；（2）角与角的关系：三角形内角之和等于180°，一个外角大于任何一个和它不相邻的内角且等于和它不相邻的两内角之和；4、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等，反之，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等边对等角、等角对等边）；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角形三线合一）．5、等边三角形的性质等边三角形的三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°．6、等边三角形的判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．7、直角三角形的性质（1）直角三角形的两锐角互余；（2）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边长的一半；（3）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边长的一半；（4）直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．8、直角三角形的判定（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）有一边的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形；（3）若一个三角形中，有两边的平方和等于第三边的平方，则第三边所对角是直角．9、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．10、全等三角形的性质（1）全等三角形的对应角相等、对应线段（边、高、中线、角平分线）相等；（2）全等三角形的周长相等、面积相等．11、全等三角形的判定（1）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简称“SAS”）；（2）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简称“ASA”）；（3）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简称“AAS”）；（4）有三边对应相等的两个三角形全等（简称“SSS”）；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）．二、典例例题剖析例1、若一个三角形的三条边长均满足方程x2－6x＋8=0，则此三角形的周长为__________．解：解方程x2－6x＋8=0得x1=2，x2=4．由题设的条件，三角形的三边长无外乎四种组合：2，2，2；4，4，4；2，2，4；2，4，4．其中2＋2=4，说明以2，2，4为边不能构成三角形，其他三组均符合三角形的形成条件．因此，所求三角形的周长为6或10或12．例2、如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD 与CE交于点O．给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情形，说明△ABC是等腰三角形．分析：本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理．这道题设计新颖，第（1）题是一道条件探索题，也是一道分类讨论题．第（2）题与第（1）题衔接十分紧密，很有创意．这种题型是中考热点题型，应引起重视．解：（1）依据等腰三角形的判定方法可知：满足①③，①④，②③，②④可判定△ABC是等腰三角形．（2）选择①④．已知：∠EBO=∠DCO，OB=OC，求证：△ABC是等腰三角形．证明：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．又∵∠EBO=∠DCO，∴∠EOB＋∠OBC=∠DCO＋∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AC=AB，∴△ABC是等腰三角形．例3、已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成9cm和15cm两部分．求这个三角形腰长和底边长．解：如图，可设AB=AC=x，底边BC=y．又BD是中线，则AD=DC=．因为BD将△ABC的周长分成AB＋AD和BC＋CD两部分为9和15，由于未指明哪一部分是9，哪一部分是15，因此，有如下两种情况：（1）解得x=6，y=12，不满足三角形的三边关系，舍去．（2）解得x=10，y=4，满足三角形的三边关系．故这个三角形腰长为10cm，底边长是4cm．点评：方程思想是一种很重要的数学思想，解题时要注意重视，在解答本例时要注意两点：一是要注意分类讨论；二是求出解之后要检验（即所有解是否满足三角形三边之间的关系定理）．例4、已知，如图在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点．试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论．分析：这是一道探究型试题，首选可大胆地猜想一个△MEF是Rt△，即要证明∠FME=90°，注意到M是BC的中点，可连结AM，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求证．解：△MEF是等腰直角三角形．证明：连接AM．∵AB=AC，∠BAC=90°，M点是BC的中点，∴AM==BM，且AM⊥BC于点M，∠MAB=∠MAC=∠BAC=45°．又∵DE⊥AC，DF⊥AB，AB⊥AC，∴DE//AB，DF//AC．而∠BAC=90°，∴四边形DFAE是矩形，∴DF=AE．∵DF⊥BF，∠B=45°，∴∠BDF=45°=∠B，∴BF=FD，∴AE=BF，∴△AEM≌△BFM（SAS），∴EM=FM，∠AME=∠BMF．∵∠BMF＋∠AMF=90°，∴∠AME＋∠AMF=90°，即∠EMF=90°，从而证明△EMF 是Rt△．又MF=EM，故△EMF是等腰直角三角形．例5、如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC 上一点，AE⊥BD交BD延长线于点E，且AE=．求证：BD是∠ABC的平分线．分析：AE边上的高与∠ABC的平分线重合，联想到等腰三角形．通过作辅助线构造全等三角形、等腰三角形．证明：延长BC、AE交于F点．∵AC⊥BC于点C，AE⊥BD于E，∴∠AED=90°，∠ACF=∠ACB=90°，∴∠1＋∠3=90°，∠2＋∠4=90°．又∠3＝∠4，∴∠1=∠2．又∵AC=CB，∴△ACF≌△BCD（ASA），∴AF=BD=2AE，则AE=EF．又∵∠AEB=∠BEF=90°，BE=BE，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴∠ABE=∠FBE，即BD是∠ABC的平分线．例6、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE＋CD．证明：在AC上截取AM=AE，连结FM.∴，∴，∴.又，∴.又.∴，又FC=FC ，.∴，∴CD=CM，∴AC=AE＋CD.例7、如图，已知O是等边△ABC内的一点，∠AOB、∠BOC、∠AOC的角度之比为6︰5︰4．求在以OA、OB、OC为边的三角形中，此三边所对的角度之比．解：以点A为中心将△AOB逆时针旋转60°得到△AO′C，则△AO′C≌△AOB，∴O′C=OB．连接O′O，则△AOO′为等边三角形．∴OO′=OA，故△OO′C为以OA、OB、OC为边组成的三角形．因为∠AOB︰∠BOC︰∠AOC=6︰5︰4，∠AOB＋∠BOC＋∠AOC=360°，∴∠AOB=144°，∠BOC=120°，∠AOC=96°，∴∠AO′C=∠AOB=144°，∴∠OO′C=∠AO′C－∠AO′O=144°－60°=84°，∠O′OC=∠AOC－∠AOO′=96°－60°=36°，∴∠OCO′=180°－∠OO′C－∠O′OC=180°－84°－36°=60°．故以OA、OB、OC为边组成的三角形中，其三边所对的角度比为60°︰36°︰84°=5︰3︰7．。

第十二章二次根式一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。

如25 可以写作 5 。

（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。

（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。

其中a≥0是 a 有意义的前提条件。

（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。

（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。

要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成2232 。

二、二次根式的性质：★（ a ）2（a≥0）与a2的区别与联系：三、代数式用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式。

例：3，x，x+y，3x （x≥0），-ab，st（t≠0，x3都是代数式注（1）单独一个数或字母也是代数式；（2）代数式中不能含有关系符号（＞，＜，=等）（1）将两个代数式用关系符号（＞，＜，=等）连接起来的式子叫关系式，方程和不等式都是关系式。

如2x+3＞3x-5是关系式。

列代数式的常用方法：（1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式。

（2）公式法：根据公式列出代数式。

（3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。

四、二次根式的乘除1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

2、单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

五、二次根式的乘法法则a ．b =ab （a≥0，b≥0）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变（1）进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件。

二次根式及其运算概述：二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法。

知识盘点：1、二次根式的性质：2、二次根式的运算法则：（5）3、设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅4、当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．典典例精析：例1 化简：点评：若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简．例2 化简：点评：两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．解法1 配方法．配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则解法2 待定系数法．例4 化简：点评：（1）将被开方数的化成分母是2的分数就可以按例3的方法解决了，还要注意开方时考虑符号；(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简。

例5：(2010湖北省荆门市)已知a ＝2b ＝2a b -的值． 点评：由于a+b 和ab 都是有理数，所以整体代人较为简便。

点评：考虑到被开方数的平方差特点待定系数法设原式为x ，两边平方可以使原式简化。

例7：化简441296222+--+-+++x x x x x x点评：本题的解法叫零点法，也叫分段讨论法，是解决绝对值题型的基本方法。

例8：设154-=a ，试求a a a 4223--的值。

点评：原式=a(a 2-2a-4)=a(a 2-2a+1)-5a ….通过配方巧妙解答，流畅自然。

例9：计算10121011101144++-++点评：设10,10,10424===a a a 则达到化繁为简之妙。

例10：已知a 、b 都是有理数，且347-是方程02=++b ax x 的解，求a+b 。

二次根式的知识点汇总二次根式是指含有平方根（开方）的代数式。

学习和掌握二次根式的知识点，对于进一步理解和应用高等数学和物理学等学科内容至关重要。

以下是二次根式的知识点汇总：一、基本概念与性质：1.平方根与二次根式的概念：平方根的定义及其在代数中的性质，二次根式的定义与示例。

2.约分与化简：二次根式的约分、化简及约分规则。

3. 同类二次根式的合并与分解：同类二次根式的合并与分解法则，如$\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(\pm \sqrt{a})^2 + (\pm\sqrt{b})^2}$。

二、四则运算：1. 加减法：同类二次根式的加减法规则，如$\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(\pm \sqrt{a})^2 + (\pm \sqrt{b})^2}$。

2. 乘法：二次根式的乘法规则，如$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$。

3. 除法：二次根式的除法规则，如$\frac{a+b}{c+d}=\frac{(a+b)(c-d)}{(c+d)(c-d)}$。

4.有理化方法：如分子、分母都有二次根式时的有理化方法，分别是乘以共轭式和有理化因式。

三、二次根式的化简与证明：1.合并同类项：在二次根式的化简中，将同类项合并为一个二次根式。

2.分解因式：在二次根式的化简中，将二次根式分解为若干个二次根式相乘的形式。

3.公因式提取：在二次根式的化简中，提取公因式使其化简为整数或其他形式。

四、二次根式的应用：1.代数方程的解：使用二次根式求解一元二次方程。

2.几何意义：二次根式在几何中的应用，例如计算三角形的边长、面积等。

3.物理问题：通过建立代数模型和运用二次根式，解决物理问题，如自由落体、速度、力等。

五、常见的二次根式：1. $\sqrt{a^2}=，a，$，其中$a$表示任意实数。

2. $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，其中$a$和$b$分别表示任意非负实数。

二次根式的运算编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨一、目标认知1。

学习目标（1)理解二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质及二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，并能利用它们进行计算和化简；（2）了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简；(3）理解同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；(4）会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算。

2.重点(1)理解，及利用它们进行计算和化简；（2)理解,及利用它们进行计算和化简；（3）最简二次根式的运用；（4)合并同类二次根式；(5）二次根式的混合运算.3。

难点（1)发现规律，归纳出二次根式的乘除法则；（2)会判定一个二次根式是否是最简二次根式，及二次根式的化简．二、知识要点梳理知识点一：二次根式的乘法法则:，即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘。

要点诠释：(1）在运用二次根式的乘法法则进行运算时,一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；（在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)（2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：（3）若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简,如.知识点二、积的算术平方根的性质，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。

要点诠释：（1）在这个性质中,a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数,还是代数式，都必须满足才能用此式进行计算或化简,如果不满足这个条件,等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；（2）二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.知识点三、二次根式的除法法则:,即两个二次根式相除,根指数不变,把被开方数相除.要点诠释：（1）在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，其中,因为b在分母上，故b不能为0.（2）运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号。

二次根式知识点总结大全二次根式是含有平方根的代数表达式，在高中数学中，学习和掌握二次根式的相关知识点是非常重要的。

下面是二次根式的知识点总结：一、二次根式的定义与性质1.定义：二次根式是形如√a的代数式，其中a为非负实数。

2.平方根的性质：a)非负实数的平方根是唯一的。

b)负实数不能作为平方根。

3.二次根式的性质：a)如果a≥0，则√a≥0。

即非负数的平方根是非负数。

b)如果a≥b≥0，则√a≥√b。

c)如果a>b≥0，则√a>√b。

二、二次根式的化简与运算1.化简二次根式：a) 利用化简公式√(ab) = √a · √b，可以将二次根式中的因数分解为二个较简单的二次根式。

b)利用化简公式√(a/b)=√a/√b，可以将二次根式中的因式进行有理化，即分子或分母有理化。

2.二次根式的四则运算：a)加减：对于同根号下的项，进行加减运算，其他项保持不变。

b)乘法：将同根号下的对应项相乘，其他项保持不变。

c)除法：将被除数和除数分别有理化后进行除法运算。

三、二次根式的大小比较1.二次根式的大小比较：a)在同号的情况下，二次根式的大小比较与内部的实数部分大小比较一致。

b)在异号的情况下，二次根式的大小比较与内部的实数部分的大小关系相反。

2. 已知ab≥0，√a ≥ √b的条件：a)若a≥0，b≥0，则√a≥√b。

b)若a<0，b<0，则√a≤√b。

c)若a<0，b≥0，则√a≤√b。

d)若a≥0，b<0，则√a≥√b。

四、求二次根式的值1.简单二次根式的值：如求√4的值等，可以直接得到结果。

2.复杂二次根式的值：如求√(2+√3)的值等，可以通过有理化的方法，先进行化简，再进行求值。

五、二次根式的应用1.几何应用：二次根式可以用来计算各种几何图形的边长、面积、体积等。

2.物理应用：在物理学中，二次根式可以用来求解力、速度、加速度等物理量。

3.经济应用：在经济学中，二次根式可以用来描述成本、效益等经济指标。