2017-2018学年河南省南阳市高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年河南省南阳市邓州第一高级中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（B 卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设，是非零向量，“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.在平面直角坐标系中，若角a 的终边经过点，则()A.B.C.D.3.已知扇形的周长为8，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为()A.2B.4C.6D.84.已知，则的值是()A.B.C.D.5.如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为单位：在水面下则d 为负数，若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间单位：之间的关系可以表示为()A. B.C.D.6.已知函数的图象如图，轴，轴，四边形BCDE 的面积为4，，则()A.，，B.，，C.，，D.，，7.设函数是常数，，若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为()A. B. C. D.8.已知函数，则下列结论中正确的个数为()①为偶函数；②的一个周期为；③在上单调递减；④的值域为A.1B.2C.3D.4二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是()A. B. C. D.10.下列命题中错误的有()A.的充要条件是且B.若，，则C.若，则存在实数，使得D.若与是共线向量，则A，B，C三点共线11.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是()A.在区间上是增函数B.点是图象的一个对称中心C.若，则的值域为D.的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到12.下列说法正确的是()A.函数的最小正周期为，则B.已知函数，其中，且函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，若函数的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数，则最小正实数C.已知函数和的图象的对称轴完全相同，若，则的取值范围是D.将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（ ） A ． B ． C ． D ．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C3．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析)【答案】B4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题【答案】C5．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23π-【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ），设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（ ）A ．30θB ．40θC ．100θD ．120θ【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】C8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】D9．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题【答案】B10．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（ ）A ．2B ．sin1C ．2sin1D ．2cos1【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题【答案】C11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（ ）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A12．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（ ） A ．2 B ．2/sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2【来源】黑龙江省部分重点高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题【答案】C13．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则»AB 的长为（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【来源】江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【来源】四川省南充高级中学2016-2017学年高一4月检测考试数学试题【答案】D15．若扇形的面积为216cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的弧长为（ ）cm . A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【来源】江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B16．周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于（ ）A ．1B ．32πC ．D ．2【来源】河北省邯郸市魏县第五中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】D17．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【来源】2013-2014学年辽宁省实验中学分校高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】D18．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A ． B ． C ．D ．【来源】2015高考数学理一轮配套特训：3-1任意角弧度制及任意角的三角函数（带解析)【答案】C19．已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（ ）A ．1122-sin 1B ．1122-cos 1C ．1122-sin 12D ．1122-cos 12【来源】河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学文科试卷【答案】A20．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（ ） A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 【来源】河南省新乡市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C21．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π【来源】吉林省长春市2019-2020学年上学期高三数学（理)试题【答案】A22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【来源】上海市实验学校2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B23．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A ．45B ．5C ．12D ．45或5 【来源】安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文)试题【答案】D24．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（ ）． A ．48 B ．24 C ．12 D ．6【来源】湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B25．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为 ） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π 【来源】河南省新乡市辉县市一中2018-2019高一下学期第一阶段考试数学试题【答案】D26．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（ ） A ．2 B ．2sin1 C ．2sin1 D ．4sin1【来源】黑龙江省大兴安岭漠河一中2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题【答案】D27．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（ ）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【来源】福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】C28．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A B ．2 C ． D ．【来源】河南省南阳市2016—2017学年下期高一期终质量评估数学试题【答案】B二、填空题29．已知大小为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题【答案】23π. 30．135-=o ________弧度，它是第________象限角.【来源】浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】34π- 三 31．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2011-2012学年安徽省亳州一中高一下学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】32．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2R π（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】3R π 33．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【来源】浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】2 134．设O 为坐标原点,若直线l :102y -=与曲线τ0y =相交于A ､B 点,则扇形AOB 的面积为______.【来源】上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科)数学试题 【答案】3π 35．已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【来源】福建省漳州市2019-2020学年学年高一上学期期末数学试题 【答案】6π 36．在半径为5的圆中，5π的圆心角所对的扇形的面积为_______. 【来源】福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】52π37．已知集合M ={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N ={P |PA PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【来源】上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题【答案】4338．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【来源】山东省泰安市2019届高三上学期期中考试数学（文)试题 【答案】91639．已知圆心角是2弧度的扇形面积为216cm ，则扇形的周长为________【来源】上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】16cm40．扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =______. 【来源】上海市七宝中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题 【答案】2341．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题【答案】6π42．若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文)试卷43．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .【来源】浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】2 444．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________【来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学（理)试题【答案】2.45．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【来源】[同步]2014年湘教版必修二 3.1 弧度制与任意角练习卷1（带解析)【答案】二三、解答题46．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【来源】安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 47．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .（1）若60α=︒，10cm R =，求扇形的弧长l ；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【来源】山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）()10cm 3π（2）2α= 48．已知一扇形的圆心角为60α=o ，所在圆的半径为6cm ，求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.【来源】江西省南昌市新建一中2019-2020学年高一上学期期末(共建部)数学试题【答案】2π+12，6π﹣49．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【来源】宁夏大学附中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题【答案】半径为1，圆心角为2，扇形的面积最大，最大值是2.50．已知扇形的圆心角为α（0α>），半径为R ．（1）若60α=o ，10cm R =，求圆心角α所对的弧长；（2）若扇形的周长是8cm ，面积是24cm ，求α和R ．【来源】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题【答案】（1）10cm 3π（2）2α=，2cm R =。

2017-2018学年河南省南阳市高一（下）期末物理试卷一、选择题（本题共有12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，1-8题只有一个选项正确，9-12题有多个选项正确.全部选对得4分，选不全的得2分，选错或不答得0分）1．（4分）19世纪40年代前后，不同国家、不同领域的十几位科学家，以不同的方式，各自独立地提出：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变。

这个规律叫做能量守恒定律。

其中，工作最有成效的三个人是（）A．迈耳、焦耳、亥姆霍兹B．牛顿、迈耳、焦耳C．牛顿、焦耳、亥姆霍兹D．牛顿、迈耳、亥姆霍兹2．（4分）把质量是m的小球放在竖立的弹簧上，并把球往下按至A的位置，如图甲所示，迅速松手后，弹簧把球弹起，球升至最高位置C（图丙），途中经过位置B时速度为v，此时弹簧正好处于自由状态（图乙）。

已知B、A的高度差为h，C、B的高度差为2h，弹簧的质量和空气的阻力均可忽略（）A．松手后小球的机械能保持不变B．松手后小球运动到B点时速度最大C．松手后小球从A到B点的过程中小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能D．图甲中弹簧的弹性势能为3mgh3．（4分）地球质量是多少？这不可能用天平称量，但是可以通过万有引力定律来“称量”，早在万有引力定伸发现之前已经测得地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g。

发现万有引力定律100多年后，英国物理学家卡文迪许测出了万有引力常量G，若不考虑地球自转的影响，就可以求地球的质量为（）A．B．C．D．4．（4分）公路上的拱形桥是常见的，汽车过桥时的运动也可以看作圆周运动，质量为m的汽车在拱形桥上以速度v前进，设桥面的圆弧半径为R，司机的质量为m0．汽车通过桥的最高点时司机对座椅的压力大小为（）A．m0g B．C．D．5．（4分）如图所示，把一个小球放在玻璃漏斗中，见动漏斗，可以使小球沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动。

河南南阳市2018-2019学年高一下学期期末数学试卷一、单选题1．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样2．cos 70sin 50cos 200sin 40︒︒︒︒-的值为（）A ．B ．2C ．12-D ．123．函数22cos ()1xf x x =+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知21tan1cos1sin1,22.51tan1a b c ︒︒︒︒︒+=-=-=-，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A ．b a c>>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a>>5．已知：平面内不再同一条直线上的四点O 、A 、B 、C 满足AB AC μ=，若1()3OA OB OC R λλ=+∈，则μ=（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-6．某公司的班车在700800：，：和830：三个时间点发车.小明在750：至830：之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A ．12B ．13C ．14D ．347．已知奇函数．．．()2sin()(0,02)f x x ωϕωϕπ=+><<满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的取值不．可能．．是（）A ．2B ．4C ．6D ．108．已知平面上四个互异的点A 、B 、C 、D 满足：()(2)0AB AC AD BD CD -⋅--=，则ABC ∆的形状一定是（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形9．已知：()sin cos f x a x b x =+，()2sin(13g x x πω=++，若函数()f x 和()g x 有完全相同的对称轴，则不等式()2g x >的解集是A ．(,)()62k k k z ππππ-+∈B ．(2,2)()62k k k z ππππ-+∈C ．(2,2)()6k k k z πππ+∈D ．(,)()6k k k z πππ+∈10．已知：1sin 53πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．79-B ．19-C ．79D ．1911．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的图象如图所示，为了得到()cos g x A x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有的点（）A ．向右平移6π个单位长度B ．向左平移6π个单位长度C ．向右平移12π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度12．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（）001,732,sin150.2588,sin750.1305≈≈≈）A．12B．24C．36D．48二、填空题13．在平行四边形ABCD中，O为AC与BD的交点，2AE ED=，若OE x AB yBC=+，则=x y+__________．14．已知函数()2sin3cosf x x x=+，若max()()f x f a=，则cos a=__________．15．函数33()sin log2f x x xππ⎛⎫=++⎪⎝⎭的零点个数为__________．16．已知：3sin cos2αβ+=，则2sin cosαβ+的取值范围是__________．三、解答题17．在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边，作两个角,αβ，它们终边分别经过点P和Q，其中21,cos2Pθ⎛⎫⎪⎝⎭,()2sin,1,Qθθ-∈R，且4sin5α=.（1）求cos2θ的值；（2）求tan()αβ+的值.18．已知3,4a b==，且a与b的夹角23θπ=.（1）求||a b+的值；（2）记a与a b+的夹角为α，求tan2α的值.19．某生产企业研发了一种新产品，该产品在试销一个阶段后得到销售单价x（单位：元）和销售量y（单位：万件）之间的一组数据，如下表所示：销售单价x /元99.51010.511销售量y /万件1110865（1）根据表中数据，建立y 关于x 的线性回归方程；（2）从反馈的信息来看，消费者对该产品的心理价（单位：元/件）在[7,9]内，已知该产品的成本是5元，那么在消费者对该产品的心理价的范围内，销售单价定为多少时，企业才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）参考数据：55211392,502.5i ii i i x yx ====∑∑参考公式：1221,ni ii nii x y n x yb a y bxx nx ==-==--∑∑20．已知向量(2cos ,sin ),(cos ,)a x x b x x ==，函数()f x a b m =⋅+ ，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最小值为2.（1）求m 的值，并求()f x 的单调递增区间；（2）先将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图象，求方程()4g x =在区间[0,]2π上所有根之和.21．“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家”，这个论断被各种媒体反复引用.出现这样统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在这40名读书者中年龄分布在[40,70)的人数；（2）求这40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在[20,40)的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[30,40)的人数恰为1的概率.22．如图是函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,02πωϕ>><<A 的部分图像，M N 、是它与x 轴的两个不同交点，D 是M N 、之间的最高点且横坐标为4π，点()0,1F 是线段D M 的中点.（1）求函数()f x 的解析式及7NC =（2）若5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()()21h x f x af x =-+的最小值为12，求实数a 的值.解析河南南阳市2018-2019学年高一下学期期末数学试卷一、单选题1．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样【答案】C【解析】试题分析：符合分层抽样法的定义，故选C.【考点】分层抽样．2．cos 70sin 50cos 200sin 40︒︒︒︒-的值为（）A ．2-B ．2C ．12-D ．12【答案】B【解析】根据诱导公式化简到角是锐角，再用正弦和差角公式求解.【详解】由已知得()()()cos 9020sin 9040cos 18020sin 40︒︒︒︒︒+--- =sin 20cos 40cos 20sin 3sin 24060︒︒︒︒︒+==故选B.【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和正弦和差角公式.3．函数22cos ()1xf x x =+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数的奇偶性的判断方法先判断函数的奇偶性，排除一些选项，再利用特殊点的函数值的正负可得选项.【详解】由()()f x f x -=知函数是偶函数，排除B 选项；再因为()02,f =故选C.【点睛】在进行图像辨析时，常常考虑函数的奇偶性和特殊点的正负进行排除选项，属于基础题.4．已知21tan1cos1sin1,22.51tan1a b c ︒︒︒︒︒+=-=-=-，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】由三角函数的辅助角公式、余弦函数的二倍角公式，正切函数的和角公式求得.【详解】cos1sin1,414a ︒︒︒=<=-)2222.52cos 122.5451,b ︒︒=-===- 1tan1tan 461;1tan1c ︒︒+==>- 故选B.【点睛】本题考查三角函数的辅助角公式、余弦函数的二倍角公式，正切函数的和角公式的三角恒等变换，属于基础题.5．已知：平面内不再同一条直线上的四点O 、A 、B 、C 满足AB AC μ=，若1()3OA OB OC R λλ=+∈，则μ=（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】D【解析】根据向量的加法原理对已知表示式转化为所需向量的运算对照向量的系数求解.【详解】根据向量的加法原理得()()11113333,OA OB OC OA AB AC OA AB AC OA λλλλ=+++⎛⎫=++=+ ⎪+⎝⎭所以113λ+=，103AB AC λ+= ，解得2.3λ=且2.AB AC =- 故选D.【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题.6．某公司的班车在700800：，：和830：三个时间点发车.小明在750：至830：之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A ．12B ．13C ．14D ．34【答案】A【解析】根据题意得小明等车时间不超过10分钟的总的时间段，再由比值求得.【详解】小明等车时间不超过10分钟，则他需在750：至800：到，或8:20至830：到，共计20分钟，所以概率201.402P ==故选A.【点睛】本题考查几何概型，关键找到满足条件的时间段，属于基础题.7．已知奇函数．．．()2sin()(0,02)f x x ωϕωϕπ=+><<满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的取值不．可能．．是（）A ．2B ．4C ．6D ．10【答案】B【解析】由三角函数的奇偶性和对称性可求得参数的值.【详解】由()f x 是奇函数得,ϕπ=又因为44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()f x 关于4x π=对称，所以,42k k Z ππϖππ+=+∈，解得24,,k k Z ϖ=-+∈所以当1k =时，得A 答案；当2k =时，得C 答案；当3k =时，得D 答案；故选B.【点睛】本题考查三角函数的奇偶性和对称性，属于基础题.8．已知平面上四个互异的点A 、B 、C 、D 满足：()(2)0AB AC AD BD CD -⋅--=，则ABC ∆的形状一定是（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形【答案】C 【解析】由向量的加法法则和减法法则化简已知表达式，再由向量的垂直和等腰三角形的三线合一性质得解.【详解】设BC 边的中点D ，则()0BC AB AC BC AD =⋅+=⋅所以在ABC ∆中，BC 垂直于BC 的中线，所以ABC ∆是等腰三角形.故选C.【点睛】本题考查向量的线性运算和数量积，属于基础题.9．已知：()sin cos f x a x b x =+，()2sin(13g x x πω=++，若函数()f x 和()g x 有完全相同的对称轴，则不等式()2g x >的解集是A ．(,)()62k k k z ππππ-+∈B ．(2,2)()62k k k z ππππ-+∈C ．(2,2)()6k k k z πππ+∈D ．(,)()6k k k z πππ+∈【答案】B【解析】【详解】()sin cos f x a x b x =+)x ϕ=+，所以212πωπ==因此2sin 13x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭152sin()22()32636x k x k k Z ππππππ>⇒+>⇒+<+<+∈22()62k x k k Z ππππ⇒-+<<+∈，选B.10．已知：1sin 53πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．79-B ．19-C ．79D ．19【答案】A【解析】观察已知角与待求的角之间的特殊关系，运用余弦的二倍角公式和诱导公式求解.【详解】令5παθ-=，则2322,2255ππαθαπθ-=+=-，所以2217cos 212sin 1239θθ⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭，所以()37cos 2cos 2cos 259παπθθ⎛⎫+=-=-=- ⎪⎝⎭，故选A.【点睛】本题关键在于观察出已知角与待求的角之间的特殊关系，属于中档题.11．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的图象如图所示，为了得到()cos g x A x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有的点（）A ．向右平移6π个单位长度B ．向左平移6π个单位长度C ．向右平移12π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度【答案】D 【解析】由图象求得函数解析式的参数，再利用诱导公式将异名函数化为同名函数根据图象间平移方法求解.【详解】由图象可知1A =，又712344Tπππ-==，所以T π=，又因为2T πω=，所以2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，又因为771,sin 211212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=-∴⨯+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又||2ϕπ<，所以,3πϕ=所以()sin 2cos 2cos 2cos 2332612f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为()cos 2g x x=故选D.【点睛】本题考查由图象确定函数的解析式和正弦函数和余弦函数图象之间的平移，关键在于将异名函数化为同名函数，属于中档题.12．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（）001,732,sin150.2588,sin 750.1305≈≈≈）A ．12B ．24C ．36D ．48【答案】B【解析】00011166sin 60 2.598,1212sin 303,2424sin15222n S n S n S =⇒=⨯≈=⇒=⨯==⇒=⨯3.1056≈，故选B.【点晴】本题主要考查程序框和三角运算，属于较易题型.高考中对于程序框图的考查主要有：输出结果型、完善框图型、确定循环变量取值型、实际应用型等，最常见的题型是以循环结构为主，求解程序框图问题的关键是能够应用算法思想列出并计算每一次循环结果，注意输出值和循环变量以及判断框中的限制条件的关系.二、填空题13．在平行四边形ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，2AE ED =，若OE x AB yBC =+ ，则=x y +__________．【答案】23-【解析】根据向量加法的三角形法则逐步将待求的向量表示为已知向量.【详解】由向量的加法法则得：()111111232326OE OA AE CA AD CB A AD AB B B C=+=++=-=+-所以1216x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以2=-3x y +故填：23-【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题.14．已知函数()2sin 3cos f x x x =+，若max ()()f x f a =，则cos a =__________．【答案】13【解析】由三角函数的辅助角公式化简，关键需得出辅助角的正切值，再由函数的最大值求解.【详解】由三角函数的辅助公式得()()2sin 3cos f x x x x θ=+=+（其中3tan 2θ=），因为max ()()f x f a =所以()sin 1a θ+=，所以2,2a k k Z πθπ+=+∈，所以，2,2a k k Z πθπ=-+∈，所以cos sin 13a θ==，故填：13【点睛】本题考查三角函数的辅助角公式，属于基础题.15．函数33()sin log 2f x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的零点个数为__________．【答案】3【解析】运用三角函数的诱导公式先将函数化简，再在同一直角坐标系中做出两支函数的图像，观察其交点的个数即得解.【详解】由三角函数的诱导公式得3sin cos 2x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以令()0f x =，求零点的个数转化求方程3cos log x x π=根的个数，因此在同一直角坐标系分别做出cos y x =和3log y x π=的图象，观察两支图象的交点的个数为3个，注意在做3log y x π=的图像时当3x π=时，1y =,故得解.【点睛】本题考查三角函数的有界性和余弦函数与对数函数的交点情况，属于中档题.16．已知：3sin cos 2αβ+=，则2sin cos αβ+的取值范围是__________．【答案】5[2,]2【解析】由已知条件将两个角的三角函数转化为一个角的三角函数，再运用三角函数的值域求解.【详解】由已知得3cos sin 2βα=-，所以332sin cos 2sin sin sin 22αβααα⎛⎫+=+-=+⎪⎝⎭，又因为1cos 11sin 1βα-≤≤⎧⎨-≤≤⎩，所以31sin 121sin 1αα⎧-≤-≤⎪⎨⎪-≤≤⎩，解得1sin 12α≤≤，所以352sin 22α≤+≤，故填52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查三角函数的值域，属于基础题.三、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边，作两个角,αβ，它们终边分别经过点P 和Q ，其中21,cos 2P θ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()2sin ,1,Q θθ-∈R ，且4sin 5α=.（1）求cos 2θ的值；（2）求tan()αβ+的值.【答案】（1）13；（2）13-.【解析】(1)根据正弦的定义求得2cos θ，再运用余弦的二倍角公式求解，(2)由(1)问可得P 、Q 两点的坐标，从而再运用正切的和角公式求解.【详解】（1）由24sin 5α==得：2221cos ,sin 33θθ==所以：221cos 2cos sin 3θθθ=-=（2）由2212sin ,cos 33θθ==则121,,,1233P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故4tan ,tan 33αβ==-因此tan tan 1tan()1tan tan 3αβαβαβ++==--.【点睛】本题考查三角函数的定义和余弦的二倍角公式和正切的和角公式，属于基础题.18．已知3,4a b ==，且a 与b 的夹角23θπ=.（1）求||a b +的值；（2）记a 与a b +的夹角为α，求tan 2α的值.【答案】（1；（2）6.【解析】(1)求向量的模先求向量的平方；(2)由向量的夹角公式可以求得.【详解】（1）根据题意可得：2cos 63a b a b π⋅==-222()|2|9121613a b a a b b +=+⋅+=-+=故a b +==（2）()cos 13a a b a a b α⋅+==+，则sin 13α=故sin1cos 2tan 2sin 6cos 2ααααα-===.【点睛】本题考查向量的数量积运算，求向量的模和夹角，属于基础题.19．某生产企业研发了一种新产品，该产品在试销一个阶段后得到销售单价x （单位：元）和销售量y （单位：万件）之间的一组数据，如下表所示：销售单价x /元99.51010.511销售量y /万件1110865（1）根据表中数据，建立y 关于x 的线性回归方程；（2）从反馈的信息来看，消费者对该产品的心理价（单位：元/件）在[7,9]内，已知该产品的成本是5元，那么在消费者对该产品的心理价的范围内，销售单价定为多少时，企业才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）参考数据：55211392,502.5i ii i i x yx ====∑∑参考公式：1221,ni ii nii x y n x yb a y bxxnx ==-==--∑∑【答案】（1） 3.240y x =-+；（2）8.75元.【解析】(1)根据最小二乘法求线性回归方程；(2)利用线性回归方程建立利润的函数，再求此函数的最大值.【详解】（1）10,8x y == 3.2,8(3.2)1040b a ∴=-=--⨯=y ∴关于x 的回归方程为 3.240y x =-+.（2）利润2()(5)(3.240) 3.256200,[7,9]W x x x x x x =--+=-+-∈该函数的对称轴方程是8.75x =，故销售单价定为8.75元时，企业才能获得最大利润.【点睛】本题考查线性回归方程和求利润的最值，属于基础题.20．已知向量(2cos ,sin ),(cos ,)a x x b x x ==，函数()f x a b m =⋅+ ，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最小值为2.（1）求m 的值，并求()f x 的单调递增区间；（2）先将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图象，求方程()4g x =在区间[0,]2π上所有根之和.【答案】（1）2，,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）3π.【解析】(1)运用向量的数量积运算和辅助角公式化简，求解和求其单调区间；(2)根据图像的平移和函数的对称轴求解.【详解】（1）函数2()2cos cos 2sin 216f x x x x m x m π⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭min 70,,2,,()22666x x f x m ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，得2m =.即()2sin 236f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由题意得222262k x k πππππ-≤+≤+，得,36k x k k Zππππ-≤≤+∈所以，函数()f x 的单调增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）由题意，()2sin 432sin 431266g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又()4g x =，得1sin 462x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭解得：4266x k πππ-=+或542,66x k k Z πππ-=+∈即212k x ππ=+或,24k x k Z =+∈ππ0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦12x π∴=或4x π=故所有根之和为1243πππ+=.【点睛】本题考查正弦型函数的值域、单调性和对称性，属于基础题.21．“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家”，这个论断被各种媒体反复引用.出现这样统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在这40名读书者中年龄分布在[40,70)的人数；（2）求这40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在[20,40)的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[30,40)的人数恰为1的概率.【答案】（1）30；（2）54,55；（3）815.【解析】(1)识别频率直方图，注意其纵轴的意义；(2)在频率直方图中平均数是每组数据的组中值乘以频率，中位数是排在最中间的数;(3)求出古典概型中的基本事情总数和具体事件数，利用比值求解.【详解】（1）由频率分布直方图知，年龄在[40,70)的频率为(0.0200.0300.025)100.750++⨯=所以，40名读书者年龄分布在[40,70)的人数为400.75030⨯=人.（2）40名读书者年龄的平均数为：250.05350.1450.2550.3650.25750.154⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=设中位数为x ，0.050.10.2(50)0.030.5x +++-⨯=解之得55x =，即40名读书者年龄的中位数为55岁.（3）年龄在[20,30)的读书者有2人，记为a ，b ；年龄在[30,40)的读数者有4人，记为A ，B ，C ，D 从上述6人中选出2人，共有如下基本事件：()()()(),,,,,,,,a b A B A C A D ()()()(),,,,,,,,B C B D C D a A ()()()(),,,,,,,,a B a C a D b A ()()(),,,,,b B b C b D ,共有基本事件数为15个,记选取的两名读者中恰好有一人年龄在[30,40)中为事件A ，则事件A 包含的基本事件数为8个:(),,a A ()()()(),,,,,,,,a B a C a D b A ()()(),,,,,b B b C b D 故8()15P A =.【点睛】本题考查识别频率直方图和样本的数字特征，属于基础题.22．如图是函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,02πωϕ>><<A 的部分图像，M N 、是它与x 轴的两个不同交点，D 是M N 、之间的最高点且横坐标为4π，点()0,1F 是线段D M 的中点.（1）求函数()f x 的解析式及NC =（2）若5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()()21h x f x af x =-+的最小值为12，求实数a 的值.【答案】（1）5()2sin(),[,2]44f x x πππ=+（2）32【解析】（1）由点()0,1F 是线段DM 的中点，可得D 和M 的坐标，从而得最值和周期，可得A 和ω，再代入顶点坐标可得ϕ，再利用整体换元可求单调区间；（2）令()[]t 1,2f x =∈得到()()2h x g t 1t at ==-+，讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系求最值即可.【详解】（1）因为为中点，()0,1F ，所以，，则，，又因为，则所以，由又因为，则所以令又因为则单调递增区间为.（2）因为所以令，则对称轴为①当时，即时，；②当时，即时，（舍）③当时，即时，（舍）综上可得：.【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象求解三角函数的解析式及二次函数轴动区间定的最值问题，考查了学生的分类讨论思想及计算能力，属于中档题.。

XXX2017-2018学年第一学期期末考试高一数学试卷XXX2017-2018学年第一学期期末考试高一年级数学试卷第I卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知向量a=(2,1),b=(λ−1,2),若a+b与a−b共线,则λ=（）A.−2B.−1C.1D.2改写：向量a=(2,1)，向量b=(λ-1,2)，若a+b和a-b共线，则λ=（） A。

-2 B。

-1 C。

1 D。

22.已知3sinα+4cosα=2，则1-sinαcosα-cos2α的值是() A。

- B。

C。

-2 D。

2改写：已知3sinα+4cosα=2，求1-sinαcosα-cos2α的值，答案为() A。

- B。

C。

-2 D。

23.已知在△ABC中，AB=AC=1，BC=3，则AB·AC=() A。

1/33 B。

- C。

-2 D。

-改写：在△ABC中，AB=AC=1，BC=3，求XXX的值，答案为() A。

1/33 B。

- C。

-2 D。

-4.在△ABC中，若AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB，则△ABC是() A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定改写：在△ABC中，如果AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB，则△ABC是() A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定5.已知△ABC中，内角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c,且c=7/11，a+b=22/3，XXX-tanA-tanB=3，则△ABC的面积为() A。

3/33 B。

- C。

3 D。

33/2改写：已知△ABC中，内角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c，且c=7/11，a+b=22/3，XXX-tanB=3，求△ABC的面积，答案为() A。

3/33 B。

- C。

2017-2018学年河南省南阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}2．（5分）如图是水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，A′B′＝A′C′，则△ABC是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形3．（5分）函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x＞0时，f（x）＝﹣x+1，则当x＜0时，f（x）的表达式为（）A．﹣x+1B．﹣x﹣1C．x+1D．x﹣14．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的为（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n5．（5分）两条直线l1：ax+（1+a）y＝3，l2：（a+1）x+（3﹣2a）y＝2互相垂直，则a的值是（）A．3B．﹣1C．﹣1或3D．0或36．（5分）已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为（）A．πB．100πC．πD．50π7．（5分）若实数x，y，满足2x﹣y﹣5＝0，则的最小值是（）A．B．1C．D．58．（5分）设对任意实数x∈[﹣1，1]，不等式x2+ax﹣3a＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a＞0B．C．a＞0或a＜﹣12D．9．（5分）已知圆C1：（x+a）2+（y﹣2）2＝1与圆C2：（x﹣b）2+（y﹣2）2＝4相外切，a，b为正实数，则ab的最大值为（）A．2B．C．D．10．（5分）若且abc≠0，则＝（）A．2B．1C．3D．411．（5分）已知幂函数在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）＝2x﹣t，∀x1∈[1，6）时，总存在x2∈[1，6）使得f（x1）＝g（x2），则t的取值范围是（）A．∅B．t≥28或t≤1C．t＞28或t＜1D．1≤t≤28 12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积S＝（）A．40πB．41πC．42πD．48π二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）点P（3，﹣2，4）关于平面yOz的对称点Q的坐标为．14．（5分）若函数f（x）＝|2x﹣1|﹣m有两个不同的零点，则实数m的取值范围是．15．（5分）已知过点M（﹣3，0）的直线l被圆x2+（y+2）2＝25所截得的弦长为8，那么直线l的方程为．16．（5分）圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（1）求经过直线l1：x+3y﹣3＝0和l2：x﹣y+1＝0的交点，且平行于直线2x+y ﹣3＝0的直线l方程．（2）已知直线l1：2x+y﹣6＝0和点A（1，﹣1），过点A作斜率为k的直线l与l1相交于点B，且|AB|＝5，求斜率k的值．18．（12分）已知．（1）若函数f（x）的定义域为R，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）在区间上是递增的，求实数m的取值范围．19．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是AB，BC的中点．（1）求证：平面B1MN⊥平面BB1D1D；（2）在棱DD1上是否存在一点P，使得BD1∥平面PMN，若存在，求D1P：PD的比值；若不存在，说明理由．20．（12分）已知函数（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数．（1）求实数a的值；（2）当x∈[1，+∞）时，mf（x）≤2x﹣2恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）如图，正方形ABCD所在平面与四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，F A＝FE，∠AEF＝45°．（1）求证：EF⊥平面BCE；（2）设线段CD，AE的中点分别为P，M，求异面直线PM与BC所成角的正弦值；（3）求二面角E﹣BC﹣D的大小．22．（12分）已知圆M的半径为3，圆心在x轴正半轴上，直线3x﹣4y+9＝0与圆M相切（Ⅰ）求圆M的标准方程；（Ⅱ）过点N（0，﹣3）的直线L与圆M交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），而且满足+＝x1x2，求直线L的方程．2017-2018学年河南省南阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝{3，5}．故选：B．2．【解答】解：∵水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，A′B′＝A′C′，∴AB⊥AC，AB≠AC，∴△ABC是直角三角形，故选：C．3．【解答】解：∵函数f（x）是定义域为R的偶函数；∴设x＜0，则﹣x＞0；∴f（﹣x）＝﹣（﹣x）+1＝f（x）；∴f（x）＝x+1．故选：C．4．【解答】解：反例把书打开直立在桌面上，α与β相交或垂直；答案B：α与β相交时候，m与交线平行；答案C：直线m与n相交，异面，平行都有可能，以长方体为载体；答案D：，正确故选：D．5．【解答】解：∵两条直线l1：ax+（1+a）y＝3，l2：（a+1）x+（3﹣2a）y＝2互相垂直，∴a（a+1）+（1+a）（3﹣2a）＝0，解得a＝﹣1或a＝3．∴a的值是﹣1或3．故选：C．6．【解答】解：∵圆锥的侧面展开图的半径为圆锥的母线，∴圆锥的侧面积为＝50π．故选：D．7．【解答】解：的几何意义是原点到直线2x﹣y﹣5＝0上的点的距离，由点到直线的距离公式可得最小值为d＝＝．故选：C．8．【解答】解法一：y＝x2+ax﹣3a的对称轴是x＝．①当﹣≥1，即a≤﹣2时，x＝﹣1离对称轴最远，而函数开口向上，所以有最大值，其最大值是a＞，与a≤﹣2相矛盾．∴a∈∅；②当，即﹣2＜a＜2时，x＝﹣1或x＝1时，有最大值．由①知，x＝﹣1有最大值时，其最大值是a＞，故；当x＝1有最大值时，其最大值是1﹣2a＜0，即a，故．∴；③当≤﹣1，即a≥2时，x＝1时有最大值，其最大值是1﹣2a＜0，a，∴a≥2．综上所述，a＞．故选B．解法二：设f（x）＝x2+ax﹣3a，∵对任意实数x∈[﹣1，1]，不等式x2+ax﹣3a＜0恒成立，∴，即，∴，故．故选：B．9．【解答】解：由已知，圆C1：（x+a）2+（y﹣2）2＝1的圆心为C1（﹣a，2），半径r1＝1．圆C2：（x﹣b）2+（y﹣2）2＝4的圆心为C2（b，2），半径r2＝2．∵圆C1：（x+a）2+（y﹣2）2＝1与圆C2：（x﹣b）2+（y﹣2）2＝4相外切，∴|C1C2|＝r1+r2．即a+b＝3．由基本不等式，得ab≤＝．故选：B．10．【解答】解：因为，所以取常用对数得：alg5＝blg2＝，所以＝2lg5+2lg2＝2（lg5+lg2）＝2．故选：A．11．【解答】解：由f（x）是幂函数得：m＝0或2，而在（0，+∞）上单调递增，则f（x）＝x2，x∈[1，6）时，f（x）∈[1，36），x∈[1，6）时，g（x）∈[2﹣t，64﹣t），若∀x1∈[1，6）时，总存在x2∈[1，6）使得f（x1）＝g（x2），则[1，36）⊆[2﹣t，64﹣t），故，解得：1≤t≤28，故选：D．12．【解答】解析：该多面体如图示，外接球的半径为AG，HA为△ABC外接圆的半径，HG＝2，HC＝4﹣HA，IB2+HC2＝HA2＝HB2，解得：HA＝，故R＝AG＝＝，∴该多面体的外接球的表面积S＝4πR2＝41π．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：根据关于坐标平面yOz的对称点的坐标的特点，可得点P（3，﹣2，4）关于平面yOz的对称点Q的坐标为：（﹣3，﹣2，4）．故答案为：（﹣3，﹣2，4）．14．【解答】解：由f（x）＝|2x﹣1|﹣m＝0，得|2x﹣1|＝m，画出函数y＝|2x﹣1|与y＝m的图象如图，由图可知，要使函数f（x）＝|2x﹣1|﹣m有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．15．【解答】解：设直线方程为y＝k（x+3）或x＝﹣3，∵圆心坐标为（0，﹣2），圆的半径为5，∴圆心到直线的距离d＝＝3，∴＝3，∴k＝，∴直线方程为y＝（x+3），即5x﹣12y+15＝0；直线x＝﹣3，圆心到直线的距离d＝|﹣3|＝3，符合题意，故答案为：x＝﹣3或5x﹣12y+15＝0．16．【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水＝V柱，可得3×πr3+πr2×6＝πr2×6r，解得r＝3．故答案为：3．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）联立直线l1：x+3y﹣3＝0和l2：x﹣y+1＝0，解得x＝0，y＝1，得到交点P（0，1）．设经过点P且平行于直线2x+y﹣3＝0的直线方程为2x+y+m＝0，把点P代入可得2×0+1+m＝0，解得m＝﹣1．∴要求的直线方程为：2x+y﹣1＝0．（2）设直线方程为y+1＝k（x﹣1），联立方程组可得，解得B（，），由距离公式可得（﹣1）2+（+1）2＝25，解得k＝﹣．18．【解答】解：（1）由函数的定义域为R可得：不等式x2﹣mx﹣m＞0的解集为R；∴△＝m2+4m＜0；解得﹣4＜m＜0；∴实数m的取值范围是：（﹣4，0）；（2）由函数f（x）在区间上是递增的得g（x）＝x2﹣mx﹣m在区间上是递减的；且g（x）＞0在区间上恒成立；则，解得；∴实数m的取值范围为．19．【解答】（1）证明：连接AC，则AC⊥BD，又M，N分别是AB，BC的中点，∴MN∥AC，∴MN⊥BD．∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，∴BB1⊥平面ABCD，∵MN⊂平面ABCD，∴BB1⊥MN，∵BD∩BB1＝B，∴MN⊥平面BB1D1D，∵MN⊂平面B1MN，∴平面B1MN⊥平面BB1D1D．（2）解：设MN与BD的交点是Q，连接PQ，∵BD1∥平面PMN，BD1⊂平面BB1D1D，平面BB1D1D∩平面PMN＝PQ，∴BD1∥PQ，PD1：DP＝1：320．【解答】解：（1）：∵f（x）是定义在R上的奇函数．∴f（0）＝1﹣＝＝0，∴a＝2．∴函数f（x）＝1﹣＝，∴f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），∴f（x）是定义在R上的奇函数．∴a＝2．（2）由题意得，当x≥1时，m（1﹣）≤2x﹣2即m•≤2x﹣2恒成立，∵x≥1，∴2x≥2，∴m≤，x≥1恒成立，设t＝2x﹣1（t≥1），则m≤＝t﹣设g（t）＝t﹣，则函数g（t）在t∈[1，+∞）上是增函数．∴g（t）min＝g（1）＝0，∴m≤0，∴实数m的取值范围为m≤0．21．【解答】解：（1）证明：因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面ABEF．所以BC⊥EF．因为△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，所以∠AEB＝45°又因为∠AEF＝45°，所以∠FEB＝45°+45°＝90°，即EF⊥BE．因为BC⊂平面BCE，BE⊂平面BCE，BC∩BE＝B，所以EF⊥平面BCE．（2）取BE的中点N，连结CN，MN，则MN AB PC，所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN．所以∠NCB为PM与BC所成角（或其补角）正方形ABCD所在平面与四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，设AE＝a，BN＝．BC＝a，所以NC＝，在直角三角形NBC中，sin∠NCB＝．（3）由（1）知BC⊥平面ABEF．所以BC⊥AB，BC⊥EB，因此，∠EBA为二面角E﹣BC﹣D的平面角．又因△ABE是等腰直角三角形，所以∠EBA＝45°故二面角E﹣BC﹣D的大小为45°．22．【解答】解：（I）设圆心为M（a，0）（a＞0），∵直线3x﹣4y+9＝0与圆M相切∴＝3．解得a＝2，或a＝﹣8（舍去），所以圆的方程为：（x﹣2）2+y2＝9﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）当直线L的斜率不存在时，直线L：x＝0，与圆M交于A（0，），B（0，﹣），此时+＝x1x2＝0，所以x＝0符合题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）当直线L的斜率存在时，设直线L：y＝kx﹣3，由消去y，得（x﹣2）2+（kx﹣3）2＝9，整理得：（1+k2）x2﹣（4+6k）x+4＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1）所以由已知得：整理得：7k2﹣24k+17＝0，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）把k值代入到方程（1）中的判别式△＝（4+6k）2﹣16（1+k2）＝48k+20k2中，判别式的值都为正数，所以，所以直线L为：，即x﹣y﹣3＝0，17x﹣7y﹣21＝0综上：直线L为：x﹣y﹣3＝0，17x﹣7y﹣21＝0，x＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）。

河南省南阳市2017-2018学年高一数学下学期期末考试试题（扫描版）2018春期期终考试高一数学参考答案一、选择题：CBCBA CBACD AD 二、填空题: 13. 1- 14. 32 15. (),,123k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭ 16． 917 三、解答题 :17.解：(Ⅰ)由a c //可设(),,2λλλ==a c，，，22045222±==+∴=λλλ()2,4=∴或()2,4--. ………………5分(Ⅱ)b a 2+ 与b a -2垂直,()(),022=-⋅+∴b a b a 即,023222=-⋅+,25-==⋅∴ ………………9分,125525cos -=⨯-==∴θ .πθ=∴ ………………10分18.解：（1）月收入在)3500,3000[的频率为15.05000003.0=⨯； ………………2分 （2）从左数第一组的频率为1.05000002.0=⨯； 第二组的频率为2.05000004.0=⨯； 第三组的频率为25.05000005.0=⨯； ∴中位数在第三组，设中位数为x +2000 则2.01.05.00005.0--=⨯x 得400=x∴中位数为2400（元） ………………5分 由240005.0375015.0325025.0275025.022502.017501.01250=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 样本的平均数为2400（元） ………………8分（3）月收入在)3000,2500[的频数为25001000025.0=⨯（人），∵抽取的样本容量为100，∴抽取的比例为100110000100=， ∴月收入在)3000,2500[的这段应抽取为2510012500=⨯（人） ………………12分19.解:（1）由题意知，A 是BC 的中点，且−→−−→−=OB OD 32 ，由平行四边形法则，得−→−−→−−→−=+OA OC OB 2..22→→−→−−→−−→−-=-=∴b a OB OA OC.35232)2(→→→→→−→−−→−−→−-=--=-=b a b b a OD OC DC …………………6分（2）如题图，.//−→−−→−DC EC,)2()2(→→→→→−→−−→−−→−--=--=-=b a a b a OE OC EC λλ,35122,352--=-∴-=→→−→−λa a DC .54=∴λ ………………12分20. 解：（1）()f x a b t =+2sin cos cos x x x t =-+11cos 2sin 222xx t +=-+ 111sin 2cos 2222x x t =--+1)242x t π=-+- ()f x的最大值为2∴1222t +-= 12t ∴=由2,4x k k Z ππ-=∈得,28k x k Z ππ=+∈()f x ∴的对称中心为(,0),28k k Zππ+∈…………6分 （2）11[,]424x ππ∈ 22[,]443x πππ∴-∈ sin(2)[42x π∴-∈1)[,2422x π∴-∈即1()[,]22f x ∈21()2m m f x -≤在11[,]424x ππ∈上恒成立 2min 1()2m m f x ∴-≤21122m m ∴-≤即2210m m ∴--≤，解得112m -≤≤ m ∴的取值范围为112m -≤≤……………12分21. 解：(1）,3554321=++++=x .5587532=++++=y因为回归直线y bx a =+过点(,),x y 所以5 1.630.2,a y bx =-=-⨯=所以,2.06.1ˆ+=x y当6x =时， 1.660.29.810,y =⨯+=≈ 所以估计该厂6月份的产量为10艘。

2017-2018学年秋期高中二年级期终质量评估数学试题（理）参考答案一、选择题1—5CDBAA 6—10ABDDD 11—12BC二、填空题13．36414．415．916．17.解：（1）由正弦定理，及3b=2csinB，得：3sinB=2sinCsinB，∵sinB≠0，∴sinC=，∵C为锐角，∴C=60°；--------------------------------------------------------5分（2）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a﹣b）2+ab，∵c2=（a﹣b）2+6，∴ab=6，则S△ABC=absinC=．--------------------------------------------------------10分18.解：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．--------------------------------------------------------6分（2），，①S n=，②①﹣②得S n=1+2（++…+）﹣，则===．--------------------------------------------------------12分19.解：p ： 24x -≤≤， q ： 11m x m -≤≤+,s ： 210;x -≤≤ --------------------------------------------------------4分⑴∵p ∨s 为真命题，p ∧s 为假命题，∴p 和S 一真一假， 若p 真S 假，则φ∈x ， 若p 假S 真，则104≤<x综上，x 的范围是(]10,4 --------------------------------------------------------8分⑵∵“s ⌝”是“q ⌝”的充分不必要条件，∴q 是s 的充分不必要条件．0 12110m m m >⎧⎪∴-≥-⎨⎪+≤⎩03m ∴<≤．∴实数m 的取值范围为(]3,0．--------------------------------------------------------12分20.（方法不唯一，仅供参考）(1)设直线OA 的方程为y ＝kx ，则直线OB 的方程为y ＝－1k x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx y 2＝2x 解得A (2k 2，2k )(k ≠0)．同理由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k xy 2＝2x可得B (2k 2，－2k )，∴直线AB 的方程为y ＋2k ＝－2k －2k 2k 2－2k 2(x －2k 2)，化简得x －(1k －k )y －2＝0.显然过定点P (2,0)． --------------------------------------------------------6分(2)设直线AB 方程为x ＝my ＋2，代入y 2＝2x ，得y 2－2my －4＝0，∴y 1＋y 2＝2m ，y 1·y 2＝－4.∴|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝4m 2＋16，∴S △AOB ＝12·|OP |·|y 1－y 2|＝12×2×4m 2＋16＝2m 2＋4.显然，当m ＝0时，S △AOB 的最小值为4. -----------------------------------------------------12分21.(1)证明：∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB ＝， AB PA ⊥， ∴PA ⊥平面ABCD ， --------------------------------------------------------2分 又∵AB AD ⊥，故可建立空间直角坐标系Oxyz 如图所示，不妨设4BC ＝， (0)AP λλ>＝，则有()0,2,0D ， ()2,1,0E ， ()2,4,0C ， ()0,0,P λ，∴()AC 2,4,0= ， ()0,0,AP λ ＝， ()2,1,0DE =- ， ∴DE ·AC 0= ， AP ·DE＝0，∴DE AC ⊥， DE AP ⊥且AC AP A ⋂＝，∴DE ⊥平面PAC . --------------------------------------------------------5分(2)由(1)知，平面PAC 的一个法向量是DE 210=- （，，）， ()2,1,PE λ=-，设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，∴sin cos PE DE θ=＝〈，〉＝2λ±＝. ∵0λ>，∴2λ＝，即()0,0,2P ， --------------------------------------------------------8分设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z＝， ()2,2,0DC = ， ()0,2,2DP =- ， 由n DC ⊥ ， n DP ⊥，∴220{220x y y z +=-+=不妨令1x =，则()1,1,1n =--．∴cos ,5n DE 〈〉==， --------------------------------------------------------11分 显然二面角A PC D --的平面角是锐角，∴二面角A PC D --的余弦值为5.--------------------------------------------------------12分22.解：（1）设点3(,),4AM BM M x y K K =-，∴3224y y x x ⋅=-+-， 整理得点M 所在的曲线C 的方程：221(2)43x y x +=≠±． -------------------------------------------------------4分（2）（方法不唯一，仅供参考） 由题意可得点3(1,)2P ，直线PQ 与直线PR 的斜率互为相反数，设直线PQ 的方程为3(1)2y k x =-+， 与椭圆方程联立消去y ，得：2222(43)(128)(4123)0k x k k x k k ++-+--=，由于1x =是方程的一个解，所以方程的另一解为22412343Q k k x k --=+，同理22412343R k k x k +-=+， 故直线RQ 的斜率为2228633(2)(1)(1)1432224243R Q R Q RQ R Q R Q k k k x k x y y k k k x x x x k -----+----+====--+，------------8分把直线RQ 的方程12y x b =+代入椭圆方程，消去y 整理得2230x bx b ++-=，所以RQ ==原点O 到直线RQ的距离为d =，12ORQS ∆==≤=．------------12分。

高一（下学期）期末考试数学试卷（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）A ．某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的比例选取职工代表B ．用抽签的方法产生随机数C ．福利彩票用摇奖机摇奖D ．规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖 2．若直线a 平行于平面α，则下列结论正确的是（ ） A ．a 平行于α内的有限条直线 B ．α内有无数条直线与a 平行 C ．直线a 上的点到平面α的距离相等 D ．α内存在无数条直线与a 成90°角3．设a ，b ，l 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，下列四个命题中错误的是（ ） A ．若//a α，a b ⊥，则b α⊥ B ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥C ．若a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβD ．若αβ⊥，l αβ=，A α∈，AB l ⊥，则AB β⊥4．小王于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2021年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2021年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ） A ．小王一家2021年用于饮食的支出费用跟2018年相同 B ．小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍 C ．小王一家2021年的家庭收人比2018年增加了1倍 D ．小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点F 是棱1BB 的中点，点P 在四边形11BCC B 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ）A ．若P 在线段1BC 上，则三棱锥1P AD F -的体积为定值B ．若P 在线段1BC 上，则DP 与1AD 所成角的取值范围为,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若//PD 平面1AD F ，则点PD ．若AP PC ⊥，则1A P 与平面11BCC B二、单选题6．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，⋂=c αβ，a α⊂，b β⊂，则“a ，b 相交“是“a ，c 相交”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165cm ，其中被抽取的男生平均身高为172cm ，则被抽取的女生平均身高为（ ） A ．154.5cmB ．158cmC ．160.5cmD ．159cm8．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（ ） A ．互为余角B ．相等C ．其和为周角D ．互为补角9．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（ ）A ．73.3，75，72B ．72，75，73.3C ．75，72，73.3D ．75，73.3，7210．对于数据：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同学得出了下列结论：甲：平均数为5；乙：没有众数；丙：中位数是3；丁：第75百分位数是7，正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲､乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（ ） A ．325B ．15C ．310 D ．3512．已知正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A．2BCD ．1三、填空题13．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别为棱11B C 、1CC 、11D C 的中点，P 是底面ABCD 上的一点，若1A P ∥平面GEF ，则下面的4个判断∶点P∶线段1A P ；∶11A P AC ⊥；∶1A P 与1B C 一定异面．其中正确判断的序号为__________．14．甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为14、15，获得二等奖的概率分别为12、35，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲、乙两人至少有1人获奖的概率为___________.15．数据1x ，2x ，…，8x 平均数为6，标准差为2，则数据126x -，226x -，…，826x -的方差为________. 16．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为__________.四、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AB BC AA AB ⊥=，G 是棱11A C 的中点．(1)证明：1BC AB ⊥；(2)证明：平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为： 甲：0,0,1,2,0,0,3,0,4,0；乙：2,0,2,0,2,0,2,0,2,0． （1）分别求两组数据的众数、中位数；（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能．19．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)2030，，[)3040，，，[]8090，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)4050，内的人数； （3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.20．某学校招聘在职教师，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率依次为113224，，，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为311422，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为2132，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为4354，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师．甲、乙两人通过各个环节相互独立． (1)求甲未能参与面试的概率；(2)记乙本次应聘通过的环节数为X ，求(3)P X =的值；(3)记甲、乙两人应聘成功的人数为Y ，求Y 的的分布列和数学期望21．如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面,ABC AB AC =，,M N 分别为,BC AB 的中点，(1)求证：MN //平面P AC (2)求证：平面PBC ⊥平面P AM22．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，其对角线AC 与BD 相交于点O ，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=，13AA =，2AB =.(1)证明：1A O ⊥平面ABCD ； (2)求三棱锥11C A BD -的体积.参考答案：1．BC【分析】由题意，根据简单随机抽样的定义，可得答案.【详解】对于A ，此为分层抽样；对于B ，此为随机数表法；对于C ，此为简单随机抽样；对于D ，此为系统抽样. 故选：BC. 2．BCD【分析】根据直线与平面平行的性质即可判断.【详解】因为直线a 平行于平面α，所以a 与平面α内的直线平行或异面，选项A 错误；选项B ，C ，D 正确.故选：BCD. 3．ACD【分析】选项ACD ，可借助正方体构造反例；选项B ，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥，可证明l m ⊥，l n ⊥，即得证.【详解】A 选项：取11//A C 平面ABCD ，1111AC B D ⊥，但是11B D 不垂直于平面ABCD ，命题A 错误． B 选项：设a αγ⋂=，b βγ=，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥．因为αγ⊥，βγ⊥，所以m α⊥，n β⊥，又l α⊆，l β⊆，所以l m ⊥，l n ⊥，所以l γ⊥．命题B 正确． C 选项：11//A B 平面ABCD ，//CD 平面11ABB A ，但平面ABCD 与平面11ABB A 不平行，命题C 错误． D 选项：平面ABCD ⊥平面11ABB A ，交线为AB ，1B ∈平面11ABB A ，1B C AB ⊥，但1B C 与平面ABCD 不垂直，命题D 错误． 故选：ACD4．BD【分析】由题意，根据扇形统计图的性质，可得答案.【详解】对于A ，小王一家2021年用于饮食的支出比例与跟2018年相同，但是由于2021年比2018年家庭收入多，∶小王一家2021年用于饮食的支出费用比2018年多，故A 错误；对于B ，设2018年收入为a ，∶相同的还款数额在2018年占各项支出的60%，在2021年占各项支出的40%，∶2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用为1.512%0.18a a ⨯=，小王一家2018年用于其他方面的支出费用为0.06a ，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍，故B 正确；对于C ，设2018年收入为a ，则2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，故C 错误； 对于D ，小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同，故D 正确． 故选：BD ． 5．ACD【分析】A. 如图，当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，分析得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN =D. 点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB 1,所以1A P 与平面11BCC B=所以该选项正确. 【详解】A. 如图，因为11//,BC AD AD ⊂平面1,AFD 1BC ⊄平面1,AFD 所以1//BC 平面1,AFD 所以当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，因为11//,BC AD 所以DP 与1AD 所成角就是DP 与1BC 所成的角（锐角或直角），当点P 在1,B C 时，由于∶1BDC 是等边三角形，所以这个角为3π，当1DP BC 时，这个角为2π，由图得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN ,由于//DM AF ,AF ⊂平面1AFD ,DM ⊄平面1AFD ,所以//DM 平面1AFD ，同理可得//MN 平面1AFD ，又,DM MN ⊂平面DMN ,DMMN M =,所以平面//DMN 平面1AFD ，所以//DP 平面1AFD ，MN ==P 选项正确；D.如图，由题得1A P 与平面11BCC B 所成角为11A PB ∠,1112tan A PB PB ∠=,即求1PB 的最小值，因为,PC AP PC AB ⊥⊥,,,AP AB A AP AB ⋂=⊂平面ABP ,所以PC ⊥平面ABP ,所以PC BP ⊥,所以点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB1,所以1A P 与平面11BCC B 所=所以该选项正确.故选：ACD 6．C【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即可.【详解】解：∶若a ，b 相交，a α⊂，b β⊂，则其交点在交线c 上，故a ，c 相交， ∶若a ，c 相交，可能a ，b 为相交直线或异面直线．综上所述：a ，b 相交是a ，c 相交的充分不必要条件． 故选：C ． 7．A【分析】由分层抽样求出100人中的男女生数，再利用平均数公式计算作答. 【详解】根据分层随机抽样原理，被抽取到的男生为60人，女生为40人， 设被抽取到的女生平均身高为cm x ，则6017240165100x⨯+=，解得154.5cm x =，所以被抽取的女生平均身高为154.5cm . 故选：A 8．D【分析】做出图像数形结合即可判断.【详解】如图，A 为二面角--l αβ内任意一点，AB α⊥，AC β⊥，过B 作BD l ⊥于D ， 连接CD ，因为AB α⊥，l α⊂，所以AB l ⊥因为AC β⊥，l β⊂，所以AC l ⊥，且AB AC A ⋂=， 所以l ⊥平面ABCD ，且CD ⊂面ABCD ，所以⊥l CD 则BDC ∠为二面角l αβ--的平面角，90ABD ACD ∠∠︒＝＝，BAC ∠为两条垂线AB 与AC 所成角，所以180A BDC ∠∠︒＋＝， 所以两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角. 故选：D. 9．B【解析】根据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解. 【详解】由频率分布直方图可知,平均数为450.00510450.00510550.01510650.02010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯750.03010850.02510950.0051072+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=众数为最高矩形底边的中点,即75中为数为:0.005100.015100.02010100.5x ⨯+⨯+⨯+⨯= 可得0.010x = 所以中为数为0.010701073.30.030+⨯≈ 综上可知,B 为正确选项 故选:B【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题. 10．B【分析】分别求出平均数，中位数，众数，第75百分位数即可得解. 【详解】解：平均数为2683346858+++++++=，故甲正确；众数为：3，6，8，故乙错误；将这组数据按照从小到大的顺序排列：2,3,3,4,6,6,8,8， 则中位数为4652+=，故丙错误； 875%6⨯=，则第75百分位数为6872+=，故丁正确， 所以正确的个数为2个. 故选：B. 11．C【分析】先分析总的选课情况数，然后再分析甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的情况数，然后两者相除即可求解出对应概率.【详解】甲、乙总的选课方法有：3355C C ⋅种，甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的选法有：5412C C ⋅种，（先选一门相同的课程有15C 种选法，若要保证仅有一门课程相同只需要其中一人从剩余4门课程中选取2门，另一人选取剩余的2门课程即可，故有24C 种选法）所以概率为12543355310C C P C C ==，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析两人的选课仅有1门相同的选法数，可通过先确定相同的选课，然后再分析四门课程中如何做到两人的选课不同，根据古典概型的概率计算方法完成求解. 12．D【详解】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．1//AC 平面BDE ，1AC ∴到平面BDE 的距离等于A 到平面BDE 的距离，由题计算得11111223232E ABD ABD V S CC -=⨯=⨯⨯⨯在BDE 中，BE DE BD ===BD边上的高2==，所以122BDE S =⨯=所以1133A BDE BDE V S h -==⨯，利用等体积法A BDE E ABD V V --=，得: 13⨯=解得: 1h = 考点：利用等体积法求距离 13．∶∶【分析】先证明平面1A BD ∥平面GEF ，可判断P 的轨迹是线段BD ，结合选项和几何性质一一判断即可． 【详解】分别连接11,,BD A B A D ，所以11BD B D ∥，又因为11B D ∥EG ，则BD EG ∥， 同理1A D EF ∥，1,BDA D D EGEF E ==，故平面1A BD ∥平面GEF ，又因为1A P ∥平面GEF ，且P 是底面ABCD 上的一点，所以点P 在BD 上．所以点P 的轨迹是一段长度为BD =，故∶正确；当P 为BD 中点时1A P BD ⊥，线段1A P ，故∶错； 因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1AC ⊥平面1A BD ，又1A P ⊂平面1A BD ， 则11A P AC ⊥，故∶正确；当P 与D 重合时，1A P 与1B C 平行，则∶错． 故答案为：∶∶14．1920【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲不中奖的概率为1111424--=，乙不中奖的概率为1311555--=，因此，甲、乙两人至少有1人获奖的概率为111914520-⨯=.故答案为：1920. 15．16【详解】试题分析：由题意知12868x x x x +++==，(862s x +-=，则12848x x x +++=，24s =，而()()()12826262624886688x x x y -+-++-⨯-⨯===，所以所求方差为()()()2222212812122122124168s x x x s ⎡⎤=-+-++-=⨯=⎣⎦'．故正确答案为16．考点：两组线性数据间的特征数的运算．【方法点晴】此题主要考查两组俱有线性关系的数据的特征数关系，当数据{}12,,,n x x x 与{}12,,,n y y y 中若有i i y ax b =+时，那么它们之间的平均数与方差（标准差）之间的关系是：y x =，222y x s a s =或是y x s as =，掌握此关系会给我们计算带来很大方便． 16．60°【分析】将所求异面直线平移到同一个三角形中，即可求得异面直线所成的角. 【详解】如图，取AC ，BD ，AD 的中点，分别为O ，M ，N ，则11,22ON CD MN AB ∥∥，所以ONM ∠或其补角即为所求的角.因为平面ABC ⊥平面ACD ，BO AC ⊥，平面ABC平面ACD AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥平面ACD ，又因为OD ⊂平面ACD ，所以BO OD ⊥. 设正方形边长为2，OB OD ==2BD =，则112OM BD ==. 所以=1ON MN OM ==.所以OMN 是等边三角形，60ONM ∠=︒. 所以直线AB 与CD 所成的角为60︒． 故答案为： 60° 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由线面垂直得到1AA BC ⊥，从而求出BC ⊥平面11ABB A ，得到1BC AB ⊥；（2）根据正方形得到11BA AB ⊥，结合第一问求出的1BC AB ⊥，得到1AB ⊥平面1A BC ，从而证明面面垂直. （1）∶1AA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ， ∶1AA BC ⊥． 又因为1,BC AB AA AB A ⊥=，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，所以BC ⊥平面11ABB A ． ∶1AB ⊂平面11ABB A ， ∶1BC AB ⊥． （2）∶1AA AB =，易知矩形11ABB A 为正方形， ∶11BA AB ⊥．由（1）知1BC AB ⊥，又由于11,,A B BC B A B BC =⊂平面1A BC ，∶1AB ⊥平面1A BC ． 又∶1AB ⊂平面1AB G ， ∶平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．（1）甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1；（2）甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定.【分析】（1）根据众数和中位数的公式直接计算，众数是指数据中出现次数最多的数据，中位数是按从小到大排列，若是奇数个，则正中间的数是中位数，若是偶数个数，则正中间两个数的平均数是中位数；（2）平均数指数据的平均水平，标准差指数据的稳定程度，离散水平.【详解】解：（1）由题知：甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1 （2）甲的平均数等于0012003040110+++++++++=乙的平均数等于2020202020110+++++++++=甲的方差等于2222222222(01)(01)(11)(21)(01)(01)(31)(01)(41)(01)210-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=乙的方差等于2222222222(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)110-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=1 因此，甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定！【点睛】本题考查样本的众数，中位数，标准差，重点考查定义和计算能力，属于基础题型. 19．（1）0.4；（2）20；（3）3:2.【分析】（1）根据频率=组距⨯高，可得分数小于70的概率为：1(0.040.02)10-+⨯；（2）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50)内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，分别求出男生、女生的人数，进而得到答案．【详解】解：（1）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1(0.040.02)100.4-+⨯= 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人， 故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50)内的频率为：1(0.040.020.020.01)100.050.05-+++⨯-=， 估计总体中分数在区间[40，50)内的人数为4000.0520⨯=人， （3）样本中分数不小于70的频率为：0.6， 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等． 故分数不小于70的男生的频率为：0.3， 由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，则男生人数为0.610060⨯=， 即女生的频率为：0.4，则女生人数为0.410040⨯=， 所以总体中男生和女生人数的比例约为：3:2． 20．(1)38；(2)13(3)80P X ==；(3)分布列见解析；期望为712． 【分析】(1)甲未能参与面试，则甲笔试最多通过一个环节，结合已知条件计算即可；(2)分析3X =时，分析乙笔试和面试分别通过的环节即可求解；(3)首先分别求出甲乙应聘的概率，然后利用独立事件的性质求解即可.【详解】(1)设事件A =“甲未能参与面试”，即甲笔试最多通过一个环节， 故1131131133()(1)(1)(1)(1)(1)2(1)(1)2242242248P A =---+⨯--⨯+--⨯=；(2)当3X =时，可知乙笔试通过两个环节且面试通过1个环节，或者乙笔试通过三个环节且面试都未通过， 3113114343(3)[(1)(1)2][(1)(1)]4224225454P X ==-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-+-⨯3114313(1)(1)4225480+⨯⨯⨯--=；(3)甲应聘成功的概率为1113113113215[(1)2(1)]2242242243224P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=， 乙应聘成功的概率为2113113113433[(1)2(1)]224224224548P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=，由题意可知，Y 的取值可能为0，1，2， 5395(0)(1)(1)248192P Y ==--=， 535341(1)(1)(1)24824896P Y ==⨯-+-⨯=535(2)24864P Y ==⨯=， 所以Y 的分布列如下表：所以数学期望7()12E Y =. 21．(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）由题意证得//MN AC ,结合线面平行的判定定理，即可证得//MN 平面PAC ；（2）由PA ⊥平面ABC ，证得PA BC ⊥，再由AB AC =，证得AM BC ⊥，根据线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面PAM ，进而得到平面PBC ⊥平面PAM . （1）证明：在ABC 中，因为,M N 分别为,BC AB 中点，可得//MN AC , 又因为MN ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以//MN 平面PAC . （2）证明：因为PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，可得PA BC ⊥， 又因为AB AC =，且M 为BC 中点，可得AM BC ⊥，又由PA AM A =且,PA AM ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面PAM ， 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAM . 22．(1)证明见解析 (2)【分析】（1）连接1A B ，1A D ，可证明1AO BD ⊥，再证明1A O OA ⊥，从而可证明结论. （2）由线面垂直的判断定理得AC ⊥平面1A BD ，由11//AC A C 得11A C ⊥平面1A BD ，再由棱锥的体积可得答案. （1）连接11,A D A B ，111,,AD AB A AB A AD A A =∠=∠为公共边，1111,∴≅∴=A AB A AD A D A B ，又O 为BD 的中点，1A O BD ∴⊥，在1A AB 中，由余弦定理可知1A B在1Rt AOB 中1AO =13,A A AO = 满足22211A O AO A A +=1A O OA ∴⊥，又AO BD O ⋂=，1A O ∴⊥平面ABCD .（2）由（1）知1A O ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 1A O AC ∴⊥且1BD AC BD AO O ⊥⋂=，， AC ∴⊥平面1A BD ，且11//AC A C ， 11A C ∴⊥平面1A BD ，1111232C A BD V -=⨯⨯。