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1 dx arctan x C (C为任意常数). 1 x2
基本积分表
(1)
(2) (3)
kdx kx C ( k 是常数) x C ( 1) x dx 1
1
dx ln | x | C x (4) 1 2 dx arctan x C 1 x 1 dx arcsin x C (5) 1 x2 (6) cos xdx sin x C
1 1 1 1 的一个原 , 所以 是 解 (2)因为 x x2 x x2
1 dx 1 C (C为任意常数). x2 x (3)因为 (arctan x ) 1 2 , 故 arctan x是 1 2 的 1 x 1 x
函数, 从而
的原函数, 从而
dx ln( x ) C x
dx ln x C . x
不定积分的性质
利用导数运算法则和不定积分的定义, 可得下列运 算性质: 性质1 两函数代数和的不定积分, 等于它们各自积 分的代数和. 即
[ f ( x ) g( x )]dx
f ( x )dx g( x )dx
f ( x )dx
f ( x )dx F ( x ) C ( C 称为积分常数) 注: 由定义知, 求函数 f ( x )的不定积分, 就是求
f ( x ) 的全体原函数, 在 f ( x )dx中,
不定积分的概念
注: 由定义知, 求函数 f ( x )的不定积分, 就是求
f ( x ) 的全体原函数, 在 f ( x )dx中,
f ( x )dx ( k 0);
直接积分法 从前面的例题知道, 利用不定积分的定义来计算 不定积分是非常不方便的. 为解决不定积分的计算 问题, 这里我们先介绍一种利用不定积分的运算性 质和积分基本公式, 直接求出不定积分的方法, 即 直接积分法. 2 例如, 计算不定积分 ( x 2 x 7)dx .
原函数的概念
由此知道, 若F ( x )为 f ( x )在区间 I上的原函数, 则
函数 f ( x )的全体原函数为F ( x ) C ( C 为任意常数).
原函数的存在性将在下一章讨论, 这里先介绍一 个结论: 区间 I上的连续函数一定有原函数.
注:求函数 f ( x )的原函数, 实质上就是问它是由什么
(7)
sin xdx cos x C
基本积分表
(7)
sin xdx cos x C
基本积分表 (7) (8) (9)
sin xdx cos x C dx sec xdx tan x C cos x dx csc xdx cot x C sin x
( x 2 x 7)dx x dx 2 xdx 7dx
2 2
2 x x 7x C 3 3
不定积分性质
积分基本公式
直接积分法
( x 2 x 7)dx x dx 2 xdx 7dx
2 2
2 x x 7x C 3 3
x
例8 求不定积分 解
x 2 dx . 2 x
x 2 xdx 2dx dx 2 x 2 x
1 1 xdx 2 dx 2 x
2 x 2ln| x|C. 4
4 x dx . 例10 求不定积分 2 1 x 4 4 x x 1 1 dx 解 dx 1 x2 1 x2
原函数的概念
பைடு நூலகம்从上述后面两个例子可见: 一个函数的原函数不是 唯一的.
原函数的概念
从上述后面两个例子可见: 一个函数的原函数不是 唯一的.
事实上, 若F ( x )为 f ( x )在区间 I上的原函数, 即有 F ( x ) f ( x ) [ F ( x ) C ] f ( x ) ( C 为任意常数). 从而F ( x ) C也是 f ( x )在区间 I上的原函数. 一个函数的任意二个原函数之间相差一个常数. 事实上, 设 F ( x )和 G ( x )都是 f ( x )的原函数, 则
函数求导得来的. 而一旦求得 f ( x )的一个原函数F ( x ), 则其全体原函数为 F ( x ) C ( C 为任意常数).
不定积分的概念 定义 在某区间 I上的函数 f ( x ), 若存在原函数, 则 称 f ( x )为可积函数, 并将 f ( x ) 的全体原函数记为 称它是函数 f ( x ) 在区间 I 内的不定积分, 其中 称 为积分符号, f ( x )称为被积函数, x 称为积分变量. 由定义知, 若F ( x )为 f ( x )的原函数, 则
(1) tan 2 xdx;
tan x x C ; 1 1 2x sin dx (1 cos x )dx (1 cos x )dx ( 2) 2 2 2 1 dx cos xdx 2 1 ( x sin x ) C . 2
例2 求下列不定积分
( 2) 12 dx; ( 3) 1 2 dx . x 1 x 4 4 x 解 (1) 因为 x x 3 , 所以 是 x 3的一个原函数, 4 4 4 x 3 从而 x dx 4 C (C为任意常数).
(1) x 3 dx;
[ F ( x ) G( x )] F ( x ) G( x ) f ( x ) f ( x ) 0 F ( x ) G( x ) C ( C 为任意常数). 由此知道, 若F ( x )为 f ( x )在区间 I上的原函数, 则
原函数的概念
由此知道, 若F ( x )为 f ( x )在区间 I上的原函数, 则
引 言
学 面临的四类核心问题中的第四类问题, 即求曲线 的长度、 曲线围成的面积、 曲面围成的体积、
引 言 学 面临的四类核心问题中的第四类问题, 即求曲线 的长度、 曲线围成的面积、 曲面围成的体积、 物体的重心和引力等等. 此类问题的研究具有久远 的历史, 例如, 古希腊人曾用穷竭法求出了某些图 形的面积和体积, 我国南北朝时期的祖冲之、祖恒 也曾推导出某些图形的面积和体积, 而在欧洲, 对 此类问题的研究兴起于17世纪, 先是穷竭法被逐渐 修改, 后来由于微积分的创立 彻底改变了解决这一 大类问题的方法. 由求运动速度、 曲线的切线和极值等问题产生
不定积分性质
积分基本公式
直接积分法
( x 2 x 7)dx x dx 2 xdx 7dx
2 2
2 x x 7x C 3 3
不定积分性质
积分基本公式
注: 多个不定积分作代数和运算时, 只需统一记一 个积分常数C .
例6 求不定积分
1 dx . x3 x
注: 此性质可推广到有限多个函数之和的情形. 性质2 求不定积分时,
不定积分的性质
注: 此性质可推广到有限多个函数之和的情形.
性质2 求不定积分时,
不定积分的性质
注: 此性质可推广到有限多个函数之和的情形.
性质2 求不定积分时,
非零常数因子可提到积分号外面. 即
kf ( x )dx k
原函数的概念
定义 设 f ( x )是定义在空间 I上的函数, 若存在函 数F ( x )对任何 x I均有 F ( x ) f ( x ) 或 dF ( x ) f ( x )dx 则称函数 F ( x )为 f ( x )在区间 I上的原函数. 例如, 因为(sin x ) cos x , 故sin x是 cos x的一个原函数; 2 因为( x ) 2 x , 故 x 2 是2 x 的一个原函数; 2 2 因为( x 1) 2 x , 故 x 1是 2 x的一个原函数; 从上述后面两个例子可见: 一个函数的原函数不是 唯一的.
不定积分的概念
注: 由定义知, 求函数 f ( x )的不定积分, 就是求
f ( x ) 的全体原函数, 在 f ( x )dx中,
积分号 表示对函数 f ( x ) 实行求原函数的运算, 故求不定积分的运算实质上就是求导(或求微积分) 运算的逆运算.
例1 问 d
f ( x )dx 与 f ( x )dx 是否相等? dx
(2) 因为 1 12 , 所以 1 是 12 的一个原函数, x x x x 从而
1 dx 1 C (C为任意常数). x2 x
1 , 1 x2
(3) 因为 (arctan x )
例2 求下列不定积分
(1) x 3 dx;
解
( 2) 12 dx; ( 3) 1 2 dx . x 1 x
d dx d (F ( x) C ) f ( x)dx dx
解 不相等. 设 F ( x ) f ( x ), 则
F ( x ) 0 f ( x )
而由不定积分定义
所以
d dx
f ( x )dx f ( x ) C
f ( x )dx f ( x )dx .
2 2 ( x 1 )( x 1)1dx 1 x2
1 2 x 1 dx 2 1 x x 2 dx 1dx 1 2 dx 1 x 3 x x arctan x C . 3
例11 求下列不定积分:
( 2) sin 2 x dx . 2 解 (1) tan 2 xdx (sec 2 x 1)dx
(2)因为 1 12 , 所以 1 是 12 的一个原函数, x x x x 从而
