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时间序列课件第二章

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时间序列分析(第一章、第二章)2

时间序列分析(第一章、第二章)2

自协方差函数的周期性分析

例 3.1
AR(4)模型1的谱密度
2.5 2 lamda=2.07 lamda=1.1
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5
0
5
10
15
20
25
AR(4)模型1、2、3的谱密度
4
3
2
1
0
-1
-2
-3 0
10
20
30
40
50
60
70
80
§2.3
AR( p) 序列的谱密度
Yule-Walker方程 自协方差的收敛性 自协方差的正定性 时间序列的完全可预测性
谱密度的自协方差函数反演公式
定理3.1的证明
白噪声列与平稳解的关系
Yule-Walker方程
Yule-Walker系数的最小相位性(2)
Levinson递推公式
偏相关系数
AR序列的偏相关系数
AR序列的充分必要条件
定理4.3的证明(1)
定理4.3的证明(2)
定理4.3的证明(3)
定理4.3的证明(4)
本节内容的应用意义
§例5.1 AR(1)序列
X t 0.85X t 1 t ,
250
300
350
400
450
4 gamma=3.6036 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0
0
5
10
15
20
25
8 7 6 5 4 3 2 1 0 f(0)=7.0736

第02章 经济时间序列的季节调整、分解和平滑方法

第02章 经济时间序列的季节调整、分解和平滑方法
两端补欠项： 两端补欠项：
t = 2,L,T 1
(2.1.2)
1 MA1 = (2y1 + y2 ) 3
(2.1.3)
1 MAT = (2yT + yT 1 ) 3 1.1.2 中心化移动平均
(2.1.4)
考虑消除季节变动时，最简单的方法是对月度数据进行 考虑消除季节变动时，最简单的方法是对月度数据进行12 个月移动平均。此时，由于项数是偶数，故常常进行所谓“ 个月移动平均。此时，由于项数是偶数，故常常进行所谓“移 动平均的中心化” 动平均的中心化”，即取连续的两个移动平均值的平均值作为 该月的值。 该月的值。
2
4991.50
4204.20
单位 ： 亿元
单位： 单位 ：亿元
3871.49
3304.66
2751.49
2405.12
1631.48
1505.59
511.47 1981
606.05
1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997
1981 1983
1985 1987
1989 1991
(2.1.1) 式中的k为正整数，此时移动平均后的序列 式中的 为正整数，此时移动平均后的序列{MA}的始端和末端 为正整数 的始端和末端 各欠缺k项值，需要用插值或其它方法补齐。 各欠缺 项值，需要用插值或其它方法补齐。 项值
6
例如， 例如，常用的三项移动平均
1 1 MAt = ∑yt +i 3 i=1
4
§2.1
移动平均方法
移动平均法(Moving Averages)的基本思路是很简 移动平均法 的基本思路是很简 单的，是算术平均的一种。它具有如下特性： 单的，是算术平均的一种。它具有如下特性： 1. 周期（及其整数倍）与移动平均项数相等的周 周期（及其整数倍） 期性变动基本得到消除; 期性变动基本得到消除 2. 互相独立的不规则变动得到平滑。 互相独立的不规则变动得到平滑。 这两条特性可以证明。 这两条特性可以证明。

时间序列分析：方法与应用(第二版)PPT 时间序列分析(第二章)

时间序列分析：方法与应用(第二版)PPT 时间序列分析(第二章)
速趋于零。
13
SY
160
120
80
40
0
-40
-80 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82
平稳时间序列曲线图
14
平稳时序自相关分析图 15
Y
3,500 3,000 2,500 2,000 1,500 1,000
500 0 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98
Y 为样本数据平均值。
4
自相关系数rk 与简单相关系数一样，取值范
围为[-1,+1]。其绝对值越接近于1，表明自相关
程度越高。
最大滞后阶数k取
的个数。
n
4
、1n0
、
n
，n为观测数据
例2.1
3） 自相关系数的抽样分布
完全随机序列自相关系数的抽样分布，近似于 以0为均值， 为标准差的正态分布。
时间序列可以用过去的误差项表出
yt = b0 + b1et1+……+ bket k + et
3
（二） 方法性工具
1. 自相关函数
1） 自相关含义 时间序列诸项之间的简单相关
2） 自相关系数 计算公式
nk
(YT Y )(Ytk Y )
rk T 1 n
(Yt Y )2
t 1
式中：n为样本数据个数；k为滞后期；
非平稳时间序列曲线图
非平稳时序自相关分析曲线图
非平稳时序自相关分析曲线图
（2）时序趋势的消除
非平稳性能够被消除的时间序列称为齐次非 平稳时间序列。
一阶差分（逐期、短差）
▽Yt=Yt-Yt-1 (t＞1)
பைடு நூலகம்

第2章 平稳时间序列分析

第2章 平稳时间序列分析

zt
(c1
c2t
cd t d1)1t
cd
t
1 d
1
cptp
复根场合
zt
rt (c1eit
c2eit
) c3t3
c
t
pp
非齐次线性差分方程的解
非齐次线性差分方程的特解
使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解zt
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p h(t)
推导出
0
1 1 p
Green函数定义
设零均值平稳序列 {xt , t 0, 1, 2,...} 能够表示为
xt Gjt j t : WN (0, 2 ) j0
则称上式为平稳序列 {xt } 的传递形式，式中的加权系数 G j
称为Green函数，其中 G0 1 。
Green函数的含义
几个例题
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
几个例题
(5) yt 1.6yt1 0.9yt2 (6) yt 1.6yt1 1.1yt2
有关。
2.时间序列的协方差函数与自相关函数
协方差函数：
(t, s) E( Xt t ) X s s
(x t ) y s dFt,s (x, y) 其中，Ft,s (x, y) 为 ( X t , X s )的二维联合分布。
自相关函数：
(t, s) (t, s) / (t,t) (s, s)
特征根判别
AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单 位圆内

2-2第二章时间序列分析法

2-2第二章时间序列分析法

（1）简单平均法
例2：设某电网2001-2004年个季度的发电量如表2-5所示，试
用简易计算法列出发电量的一次线性趋势方程，再用简单平
均法计算出季节指数，并以次预测2005年该电网全年及各季
度的发电量。
表2-5
年次 季节
2001
2002
一 二 三 四 全年
(1) 1206030 1283687 1211133 1328247 5029097
n
4
b ty 3213072 160653.6
t2
20
y=a+bt=5459952+160653.6t
2005年t=5，代入公式，得到y=6263220 根据表2－5的调整后季节指数，2005年各季度 发电量为： 一季度：6263220×0.9666/4=1513507 二季度：6263220×1.0081/4=1578488 三季度：6263220×0.9768/4=1529478 四季度：6263220×1.0485/4=1641747
2、指数的分类 （1）个体指数：反映某一具体经济现象动态变动的相
对数
（2）综合指数：反映全部经济现象动态变动的相对数
（3）数量指标指数：它是表明经济活动结果数量 多少的指数。
（4）质量指标指数：它是表明经济工作质量好坏 的指数。
（5）定基指数：它是指各个指数都是以某一个固 定时期为基期而进行计算的一系列指数。
季别平均 季节指数
(6) 1319460 1375988 1333301 1431204 1364988
(7) 0.9666 1.0081 0.9768 1.0485 4.0000
调整后季 节指数 (8)
0.9666 1.0081 0.9768 1.0485 4.0000

时间序列(电子科大)第二章-4

时间序列(电子科大)第二章-4
证明 1）若对所有j,有 z j 1, 则存在正数α,使
1 min{ z j : 1 j k }
zj
α
当t
l t
∞时
l t t t
t z j t / z j o( )
方程(1.3.4)的任何解{ Xt }可表示为
Xt
j 1
k r ( j ) 1
Xt
j 1 l 0
U
l, j
t cos( j l , j ), t Z
l t j
定理2.2.2 特征多项式A(z)的k个相异根为 z1, z2…, zk，有
1）若全部根都在单位圆外，方程(2.2.2)
的任何解{ Xt }以负指数律收敛到零；
2）若单位圆上存在根，方程(2.2.2)有周期 解； 3）若存在单位圆内的根，方程(1.3.4)有发 散解.
则Wold系数是负指数衰减的，存在正实数
g1 , g2 , 使
j g2e
g1 j
（2.4.1）
则逆函数是负 2）若 ( z )的根全在单位圆外， 指数衰减的，存在正实数 g1 , g2 , 使
j g2e
g1 j
（2.4.2）
注：( z ) 的根全在单位圆外，称系统是 “物理可实现”，因Wold系数依负指数律 趋于零，
的特征多项式A(z)的k个相异根都在单位圆外， 则方程的任何解{ Xt }以负指数律收敛到零； 将定理2.2.2分别应用于差分方程
X t ( B ) ( B ) t ,
1
( B ) ( B ) X t t
1
可证得下定理：
定理2.4.1 ARMA模型 ( B) X t ( B) t 1）若 ( z )的根全在单位圆外( j 1, 1 j p )，

第二章平稳时间序列模型——ACF和PACF和样本ACFPACF

第⼆章平稳时间序列模型——ACF和PACF和样本ACFPACF⾃相关函数/⾃相关曲线ACFAR(1)模型的ACF：模型为：当其满⾜平稳的必要条件|a1|<1时（所以说，⾃相关系数是在平稳条件下求得的）：y(t)和y(t-s)的⽅差是有限常数，y(t)和y(t-s)的协⽅差伽马s除以伽马0，可求得ACF如下：由于{rhoi}其在平稳条件|a1|<1下求得，所以平稳0<a1<1则⾃相关系数是直接收敛到0-1<a1<0则⾃相关系数是震荡收敛到0对于AR(2)模型的ACF：（略去截距项）两边同时乘以y(t)，y(t-1)，y(t-2)......得到yule-Walker⽅程，然后结合平稳序列的⼀些性质（yule-Walker⽅程法确确实实⽤了协⽅差只与时间间隔有关的性质），得到⾃相关系数如下：rho0恒为1（⼆阶差分⽅程）令⼈惊喜的是，这个⼆阶差分⽅程的特征⽅程和AR(2)模型的是⼀致的。

所以，我们的rho本就是在序列平稳的条件下求得，所以{rhoi}序列也平稳。

当然，其收敛形式取决于a1和a2MA(1)模型的ACF:模型为：由于y(t)的表达式是由⽩噪声序列中的项组成，所以不需要什么平稳条件，就可以求得rho的形式如下：对于MA(p)模型，rho(p+1)开始，之后都为0.所以说，到了p阶之后突然阶段，变为0了。

ARMA(1,1)模型的ACF：模型为：还是使⽤yule-Walker⽅程法（⽤到了序列平稳则协⽅差只与时间间隔有关的性质）得到：所以有：ARMA(p,q)模型的ACF：ARMA(p,q)的⾃相关系数满⾜：（式1）前p个rho值（rho1，rho2...rhop）可以看做yule-Walker⽅程的初始条件，其他滞后值取决于特征⽅程。

（其实是这样的，rho1，rho2...rhop实际上能写出⼀个表达式，⽽rho(p+1)开始，就满⾜⼀个差分⽅程，⽽这个⽅程对应的特征根（即式1）⽅程和AR(p)对应的⼀模⼀样），所以，他会从之后q期开始衰减。

第二章 时间序列分析的基本概念


一、两种不同的平稳性定义
（一）严平稳(strictly stationary)时间序列
若时间序列{ X t }的概率分布不随时间的平移 而改变，则称{ X t }为严平稳时间序列.
即对于任何正整数 m 和整数t1 t2 ... tm ，此 序列中的随机变量X t1 s , X t2 s ,..., X tm s 的联合分 布函数与整数 s 无关，亦即
X t ,t T
其中，T 表示时间t 的变动范围，对每个 固定的时刻 t 而言，X t 是一随机变量，这些随 机变量的全体就构成一个随机过程.
（二）特征：
1、从顺序角度来看，随机过程是随机变量的 集合；构成随机过程的随机变量是随时间产生 的，在任意时刻，总有随机变量与之相对应. 2、从试验角度来看，若对事物变化的全过程 进行一次观测，得到的结果是时间的函数，但 对同一过程独立地重复多次进行观测，所得的 结果是不相同的.
Ft1 ,t2 ,...,tm (a1 , a2 ,...am ) Ft1 s ,t2 s ,...,tm s (a1 , a2 ,...am )
其中，Ft
,t2 ,...,tm 是X t1 , X t2 ,..., X tm 1
的联合分布函数，
Ft1 s ,t2 s ,...,tm s 是 X
2、性质 （1） (t , t ) 1
（2）对称性
(t, s) (s, t )
（3）非负定性
四、时间序列的运算
是指对一个或几个时间序列进行运算而获得 新的时间序列.
（一）时间序列的线性运算
对于时间序列{ X t }, {Yt },
a, b R
令
Z t aX t bYt

2-平稳时间序列模型


海军航空工程学院基础部数学教研室
第二章 平稳时间序列模型
4.2 ARMA(n,n-1)模型
X t 1 X t 1 n X t n 1at 1 n1at n1 at X t 1 X t 1 n X t n at 1at 1 n1at n1
X t j ( j 3,4,) 无关。
(2) at 是一个白噪声序列。 结构： AR(2)模型由三部分构成， 依赖于 X t 1的部分， 依赖于 X t 2 的部分，独立于前两部分的白噪声。AR(2) 模型可以等价地写成
at X t 1 X t 1 2 X t 2 。
2无关； , )
(2) at 为白噪声。
海军航空工程学院基础部数学教研室
第二章 平稳时间序列模型
一个关于产科医院的例子 设 at 是第 t 天新住院的病员人数， 假设 at 是白噪声序 列，即某一天住院人数与第二天住院人数无关。再假设 典型的情形是：10％的病人住院 1 天，50％的病人住院 2 天，30％的病人住院 3 天，10％的病人住院 4 天，那 么第四天住院的病人数 X t 将由下式给出
即通过把 X t 中依赖于 X t 1和 X t 2 的部分消除之后，使得 具有二阶动态性的序列转化为独立的序列。
海军航空工程学院基础部数学教研室
第二章 平稳时间序列模型
2.2 AR(n)模型
X t 1 X t 1 2 X t 2 n X t n at X t 1 X t 1 2 X t 2 n X t n at at X t 1 X t 1 2 X t 2 n X t n
X t at 0.9at 1 0.4at 2 0.1at 3 。

时间序列分析自回归模型详解


j)
齐次线性差分方程的通解
定理1.1 设A(z)是k个互不相同的零点 z1, z2 , zk 其中z j
是r(j)重零点。则
{z
t j
tl
},
l
0,1, 2,
r( j) 1, j 1,2,
k
是（1.2）的p个解，而且（1.2)的任何解都可以写成
这p个解的线性组合
k r ( j)1
（1.7）
Xt
60
80
100
120
AR( p) 模型 定义2.1（ AR( p) 模型） 如果{t} 是白噪声WN(0， 2 ),实数
a1, a2, ap , ap 0 使得多项式A(z)的零点都在单位圆外 p A(z) 1 aj z j 0, z 1 则称P阶差分方程 j 1
p
Xt a j Xt j t ,t Z j 1
是一个p阶自回归模型，简称为 AR( p) 模型
满足 AR( p) 模型(2.5)的平稳时间序列称为（2.5）的平稳解或 AR( p) 序列
称 a (a1,a2, ap )T 为 AR( p) 模型的自回归系数。
称条件（2.4）是稳定性条件或最小相位条件。 A（z）称为模型（2.5）的特征多项式。
X t [a1X t1 a2 X t2 ap X t p ] 0,t Z
为p阶齐次常系数线性差分方程，简称齐次差分方程。 满足上式方程的实数列称为它的解， 满足上式的实值（或复值）时间序列也成为它的解。
上式的解可以由p个初值逐次递推得到
Xt [a1X t1 a2 X t2 ap X t p ],t p
U
l
,
jt
'
z
t j
,
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(t,s ) E (X tt)X (ss)
(t,s) (t,s)
DXt DXs
平稳时间序列的定义
n 严平稳
¨ 严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它 认为只有当序列所有的统计性质都不会随着时 间的推移而发生变化时，该序列才能被认为平 稳。
n 宽平稳
¨ 宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种 平稳性。它认为序列的统计性质主要由它的低 阶矩决定，所以只要保证序列低阶矩平稳（二 阶），就能保证序列的主要性质近似稳定。
n 满足如下条件的序列称为宽平稳序列
1)EX t2,tT
2)EX t ,为常 数 tT， 3)(t,s)(k,kst)， t,s,k且 kstT
严平稳与宽平稳的关系
n 一般关系 ¨ 严平稳条件比宽平稳条件苛刻，通常情况下， 严平稳（低阶矩存在）能推出宽平稳成立，而 宽平稳序列不能反推严平稳成立
n 特例 ¨ 不存在低阶矩的严平稳序列不满足宽平稳条件 ¨ 当序列服从多元正态分布时，宽平稳可以推出 严平稳
这样的记录顺序： ++---+----++-+ 这个样本的观察结果共有7个游程。
（2）用游程检验方法检验时间序列平稳性 的基本思想
对于一个时间序{x列 t },设其样本均值x为 ,对序列中比 x小的观察值记"为"号,比x大
的观察值记"为 "号,这样就形成了一个符号
序列.并可求出这个序列的 程游 数.
零假设： 号和减号以随机的方式出现
H0：加
检验方法：给定显著性水平α(一般取0.05) 查标准正态分布表，得出抽样分布的临界
值-z α,+z α。并计算统计量:
Z r E(r) D(r)
判定：若-z α<z<+z α,则不能拒绝零假设，即 不能拒绝序列是平稳的;否则拒绝零假设，
序列是非平稳的。
平稳时间序列的统计性质
n 常数均值 n 自协方差函数和自相关函数只依赖于时间
的平移长度而与时间的起止点无关
¨ 延迟k自协方差函数
(k)(t,tk),k为整数
¨ 延迟k自相关系数
k
(k) (0)
若{Xt}为平稳序列，假定EXt=0，由于 (t,s)(ts,0)
令s=t-k，于是我们就可以用以下记号表示平稳序列的自 协方差函数，即：
非参数检验可以很方便的通过SPSS软件进行， 实例：用游程检验S&T数据的平稳性；
步骤如下： 1.打开SPSS输入数据 2.依次单击Analyze—Nonparmetric Tests—Runs; 打开Runs对话框。 3.在源变量对话框中选择变量进入“Test Variable list”栏内 4.选中“cut point”栏中“mean”选项 5.单击“OK”按纽，开始进行统计分析。
平稳时间序列的统计定义
n 满足如下条件的序列称为严平稳序列
正 m ,整 t1 ,t2 , ,t 数 m T ， 正， 有 整数
F t 1 , t 2 t m ( x 1 , x 2 , , x m ) F t 1 , t 2 t m ( x 1 , x 2 , , x m )
明 : 游程总
数 r 的期望和方差分别如下
:
E (r) 2 N 1N 2 1 N1 N2
D (r ) 2 N 1N 2 (2 N 1N 2 1) N 2 (N 1)
在大样本情况下 Z r E (r)
D (r)
(N
或
1
N
大于
2
15 ) 有
:
渐近服从 N ( 0 ,1 ) 服布 .
(3)检验方法
时间序列课件第二章
时间序列分析的基本概念
n 平稳过程的特征及检验 n 特殊数据点处理
平稳性检验
n 特征统计量 n 平稳时间序列的定义 n 平稳时间序列的统计性质 n 平稳时间序列的意义 n 平稳性的检验
特征统计量
n 均值
t EX t xdt(F x)
n 方差 n 自协方差 n 自相关系数
D t X E (X tt)2 (xt)2 dt(F x )
¨ 检验1949年——1998年北京市每年最高气温序列的平 稳性
例2.1时序图
例2.1自相关图
例2.2时序图
例2.2 自相关图
例2.3时序图
例2.3自相关图
非参数检验法：游程检验
(1)什么是游程 一个游程定义为一个具有相同符号的连续串，在
它前后相接的是与其不同的符号或完全无符号。 例如，观察的结果用加、减标志表示，得到一组
kE(Xt EtX )(XtkEtX k)
EtX Xtk
相应的，自相关函数记为：
k
Hale Waihona Puke k 0自相关系数的性质
n 规范性 n 对称性 n 非负定性 n 非唯一性
(1)k k (2)k 0
k k k 1
平稳时间序列的意义
n 时间序列数据结构的特殊性
¨ 可列多个随机变量，而每个变量只有一个样本 观察值
n 平稳性的重大意义
n 自相关图检验
¨ 平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自相 关系数来描述就是随着延迟期数的增加，平稳 序列的自相关系数会很快地衰减向零
例题
n 例2.1
¨ 检验1964年——1999年中国纱年产量序列的平稳性
n 例2.2
¨ 检验1962年1月——1975年12月平均每头奶牛月产奶 量序列的平稳性
n 例2.3
¨ 极大地减少了随机变量的个数，并增加了待估 变量的样本容量
¨ 极大地简化了时序分析的难度，同时也提高了 对特征统计量的估计精度
平稳性的检验（图检验方法）
n 时序图检验
¨ 根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质， 平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一 个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界、 无明显趋势及周期特征
如果符号序列是随机的，那么“+”和“-”将随机 出现，因此它的游程数既不会太多，又不会太 少；反过来说如果符号序列的游程总数太少或 太多，我们就可以认为时间序列存在某种趋势 性或周期性。
设序列长度为 为记号序列中
N ,N
N1
N
2
,
N
和
1
N
分别
2
" " 与 " " 出现的次数，游程
总数为 r ，对于随机序列可以证
a.小样本情况
零假设：
H0：加号和减号以随机的方式出现 检验方法：取显著性水平α(一般取0.05),查
单样本游程检验表，得出抽样分布的临界 值rL、rU 判定：若rL <r< rU则不能拒绝零假设，即不 能拒绝序列是平稳的；若r> rU 或r< rL则拒 绝零假设，序列是非平稳的。
b.大样本情况