《时间序列分析》第二章 时间序列预处理习题解答

时间序列分析课后习题答案(上机第二章 2、328330332334336338340342(1时序图如上:序列具有明显的趋势和周期性,该序列非平稳。

(2样本自相关系数:(3该样本自相关图上,自相关系数衰减为 0的速度缓慢,且有正弦波状,显示序列具有趋势和周期,非平稳。

3、 (1样本自相关系数:(2序列平稳。

(3因 Q 统计量对应的概率均大于 0.05,故接受该序列为白噪声的假设,即序列为村随机序列。

5、 (1时序图和样本自相关图:50100150200250300350(2序列具有明显的周期性,非平稳。

(3序列的 Q 统计量对应的概率均小于 0.05,该序列是非白噪声的。

6、 (1根据样本相关图可知:该序列是非平稳,非白噪声的。

(2对该序列进行差分运算:1--=t t t x x y {t y }的样本相关图:该序列平稳,非白噪声。

第三章:17、 (1结论:序列平稳,非白噪声。

(2 拟合 MA(2 model:VariableCoefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 80.40568 4.630308 17.36508 0.0000 MA(1 0.336783 0.114610 2.938519 0.0047 R-squared0.171979 Mean dependent var 80.29524 Adjusted R-squared 0.144379 S.D. dependent var 23.71981 S.E. of regression 21.94078 Akaike info criterion 9.061019 Sum squared resid 28883.87 Schwarz criterion 9.163073 Log likelihood -282.4221 F-statistic 6.230976 Durbin-Watson stat 2.072640 Prob(F-statistic 0.003477Residual tests(3拟合 AR(2model:C 79.71956 5.442613 14.64729 0.0000 AR(10.2586240.1288102.0077940.0493R-squared0.154672 Mean dependent var 79.50492 Adjusted R-squared 0.125522 S.D. dependent var 23.35053 S.E. of regression 21.83590 Akaike info criterion 9.052918 Sum squared resid 27654.79 Schwarz criterion 9.156731 Log likelihood -273.1140 F-statistic 5.306195 Durbin-Watson stat 1.939572 Prob(F-statistic 0.007651Inverted AR Roots.62-.36Residual tests:(4 拟合 ARMA (2, 1 model :Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 79.17503 4.082908 19.39183 0.0000 AR(1 -0.586834 0.118000 -4.973170 0.0000 AR(2 0.376120 0.082091 4.581756 0.0000 MA(11.1139990.09712211.470120.0000R-squared0.338419 Mean dependent var 79.50492 Adjusted R-squared 0.303599 S.D. dependent var 23.35053 S.E. of regression 19.48617 Akaike info criterion 8.840611 Sum squared resid 21643.51 Schwarz criterion 8.979029 Log likelihood-265.6386 F-statistic9.719104Inverted AR Roots .39-.97 Inverted MA Roots-1.11Estimated MA process is noninvertible残差检验:(5拟合 ARMA (1, (2 model:Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 79.52100 4.621910 17.205230.0000 AR(1 0.270506 0.125606 2.153603 0.0354 R-squared0.157273 Mean dependent var 79.55161 Adjusted R-squared 0.128706 S.D. dependent var 23.16126 S.E. of regression 21.61946 Akaike info criterion 9.032242 Sum squared resid 27576.65 Schwarz criterion 9.135167 Log likelihood -276.9995 F-statistic 5.505386 Durbin-Watson stat 1.981887 Prob(F-statistic 0.006423Inverted AR Roots.27残差检验:(6优化根据 SC 准则,最优模型为 ARMA(2,1模型。

时间序列分析习题解答第二章 P.33 2.3 习 题2.1 考虑序列{1，2，3，4，5，…，20}： (1) 判断该序列是否平稳；(2) 计算该序列的样本自相关系数k ^ρ(k=1,2,…,6); (3) 绘制该样本自相关图，并解释该图形。

解：(1) 由于不存在常数μ，使,t EX t T μ=∀∈，所以该序列不是平稳序列。

显然，该序列是按等步长1单调增加的序列。

(2) 1^ρ=0.85000 2^ρ=0.70150 3^ρ=0.556024^ρ=0.41504 5^ρ=0.28008 6^ρ=0.15263 (3) 样本自相关图该图横轴表示自相关系数，纵轴表示延迟时期数。

该图的自相关系数递减的速度缓慢，在6期的延迟时期里，自相关系数一直为正，说明该序列是有单调趋势的非平稳序列。

附：SAS 程序如下： data ex2_1; input freq@@; cards;1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ;proc arima data=ex2_1; identify var=freq Nlag=6; run;可得到上图的自相关图等内容, 更多结果被省略。

2.2 1975-1980年夏威夷岛莫那罗亚火山（Mauna Loa ）每月释放的CO 2数据如下（单位：ppm ）见下表。

330.45 330.97 331.64 332.87 333.61 333.55 331.90 330.05 328.58 328.31 329.41 330.63 331.63 332.46 333.36 334.45 334.82 334.32 333.05 330.87 329.24 328.87 330.18 331.50 332.81 333.23 334.55 335.82 336.44 335.99 334.65 332.41 331.32 330.73 332.05 333.53 334.66 335.07 336.33 337.39 337.65 337.57 336.25 334.39 332.44 332.25 333.59 334.76 335.89 336.44 337.63 338.54 339.06 338.95 337.41 335.71 333.68 333.69 335.05 336.53 337.81 338.16 339.88 340.57 341.19 340.87 339.25 337.19 335.49 336.63 337.74 338.36（1）绘制该序列时序图，并判断该序列是否平稳； （2）计算该序列的样本自相关系数k ^(k=1,2,…,24); （3）绘制该样本自相关图，并解释该图形。

第一章习题答案略第二章习题答案2.1答案：（1）非平稳，有典型线性趋势（2）延迟1-6阶自相关系数如下：（3）典型的具有单调趋势的时间序列样本自相关图2.2（1）非平稳，时序图如下（2）1-24阶自相关系数如下（3）自相关图呈现典型的长期趋势与周期并存的特征2.3R命令答案（1）1-24阶自相关系数（2）平稳序列（3）非白噪声序列Box-Pierce testdata: rainX-squared = 0.2709, df = 3, p-value = 0.9654X-squared = 7.7505, df = 6, p-value = 0.257X-squared = 8.4681, df = 9, p-value = 0.4877X-squared = 19.914, df = 12, p-value = 0.06873X-squared = 21.803, df = 15, p-value = 0.1131X-squared = 29.445, df = 18, p-value = 0.04322.4答案：我们自定义函数，计算该序列各阶延迟的Q统计量及相应P值。

由于延迟1-12阶Q统计量的P值均显著大于0.05，所以该序列为纯随机序列。

2.5答案（1）绘制时序图与自相关图（2）序列时序图显示出典型的周期特征，该序列非平稳（3）该序列为非白噪声序列Box-Pierce testdata: xX-squared = 36.592, df = 3, p-value = 5.612e-08X-squared = 84.84, df = 6, p-value = 3.331e-162.6答案（1）如果是进行平稳性图识别，该序列自相关图呈现一定的趋势序列特征，可以视为非平稳非白噪声序列。

如果通过adf检验进行序列平稳性识别，该序列带漂移项的0阶滞后P值小于0.05，可以视为平稳非白噪声序列Box-Pierce testdata: xX-squared = 47.99, df = 3, p-value = 2.14e-10X-squared = 60.084, df = 6, p-value = 4.327e-11（2）差分序列平稳，非白噪声序列Box-Pierce testdata: yX-squared = 22.412, df = 3, p-value = 5.355e-05X-squared = 27.755, df = 6, p-value = 0.00010452.7答案（1）时序图和自相关图显示该序列有趋势特征，所以图识别为非平稳序列。

应用时间序列分析习题答案第二章习题答案2.1（1）非平稳（2）0.0173 0.700 0.412 0.148 -0.079 -0.258 -0.376（3）典型的具有单调趋势的时间序列样本自相关图2.2（1）非平稳，时序图如下（2）-（3）样本自相关系数及自相关图如下：典型的同时具有周期和趋势序列的样本自相关图2.3（1）自相关系数为：0.2023 0.013 0.042 -0.043 -0.179 -0.251 -0.094 0.0248 -0.068 -0.072 0.014 0.109 0.217 0.316 0.0070 -0.025 0.075 -0.141 -0.204 -0.245 0.066 0.0062 -0.139 -0.034 0.206 -0.0100.080 0.118（2）平稳序列（3）白噪声序列2.4LB=4.83，LB统计量对应的分位点为0.9634，P 值为0.0363。

显著性水平=0.05，序列不能视为纯随机序列。

2.5（1）时序图与样本自相关图如下（2）非平稳（3）非纯随机2.6（1）平稳，非纯随机序列（拟合模型参考：ARMA(1,2)）（2）差分序列平稳，非纯随机第三章习题答案 3.1 解：1()0.7()()tt t E x E xE ε-=⋅+0)()7.01(=-t x E 0)(=t x E t t x ε=-）B 7.01(t t t B B B x εε)7.07.01()7.01(221 +++=-=- 229608.149.011)(εεσσ=-=t x Var49.00212==ρφρ 022=φ3.2 解：对于AR （2）模型：⎩⎨⎧=+=+==+=+=-3.05.02110211212112011φρφρφρφρρφφρφρφρ 解得：⎩⎨⎧==15/115/721φφ3.3 解：根据该AR(2)模型的形式，易得：0)(=tx E原模型可变为：t t t t x x x ε+-=--2115.08.02212122)1)(1)(1(1)(σφφφφφφ-+--+-=t x Var2)15.08.01)(15.08.01)(15.01()15.01(σ+++--+==1.98232σ⎪⎩⎪⎨⎧=+==+==-=2209.04066.06957.0)1/(1221302112211ρφρφρρφρφρφφρ ⎪⎩⎪⎨⎧=-====015.06957.033222111φφφρφ3.4 解：原模型可变形为：t t x cB B ε=--)1(2由其平稳域判别条件知：当1||2<φ，112<+φφ且112<-φφ时，模型平稳。

时间序列习题答案时间序列习题答案时间序列分析是一种用来研究随时间变化的数据模式和趋势的方法。

它在经济学、金融学、统计学等领域中被广泛应用。

下面我将给出一些时间序列分析的习题，并附上详细的答案解析。

习题一：某公司过去一年的销售额如下：100, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190, 200。

请计算该公司的平均销售额和年度增长率。

答案解析：首先，计算平均销售额的方法是将所有销售额相加，然后除以销售额的个数。

在这个例子中，销售额的个数为10，总销售额为100+120+130+140+150+160+170+180+190+200=1540。

因此，平均销售额为1540/10=154。

接下来，计算年度增长率的方法是将最后一年的销售额减去第一年的销售额，然后除以第一年的销售额，并乘以100%。

在这个例子中，最后一年的销售额为200，第一年的销售额为100。

因此，年度增长率为(200-100)/100*100%=100%。

习题二：某股票的每日收盘价如下：10.2, 10.5, 10.7, 10.9, 11.1, 11.3, 11.5, 11.7, 11.9, 12.1。

请计算该股票的平均收盘价和收益率。

答案解析：计算平均收盘价的方法与计算平均销售额的方法相同。

将所有收盘价相加，然后除以收盘价的个数。

在这个例子中，收盘价的个数为10，总收盘价为10.2+10.5+10.7+10.9+11.1+11.3+11.5+11.7+11.9+12.1=113.9。

因此，平均收盘价为113.9/10=11.39。

计算收益率的方法是将每日的收盘价减去前一日的收盘价，然后除以前一日的收盘价，并乘以100%。

在这个例子中，第二天的收盘价为10.5，第一天的收盘价为10.2。

因此，第二天的收益率为(10.5-10.2)/10.2*100%=2.94%。

习题三：某城市过去十年的月度平均气温如下：15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 29, 26, 23。

第二章习题答案之袁州冬雪创作2.1（1）非平稳（3）典型的具有单调趋势的时间序列样本自相关图（1）非平稳，时序图如下（2）-（3）样本自相关系数及自相关图如下：典型的同时具有周期和趋势序列的样本自相关图2.3（2）平稳序列（3）白噪声序列LB=4.83，LB统计量对应的分位点为0.9634，P值为0.0363.显著性水平=0.05，序列不克不及视为纯随机序列.（1）时序图与样本自相关图如下（2）非平稳（3）非纯随机2.6（1）平稳，非纯随机序列（拟合模子参考：ARMA(1,2)） （2）差分序列平稳，非纯随机 第三章习题答案3.13.2 解：对于AR （2）模子：3.3 解：根据该AR(2)3.4 解：原模子可变形为：子平稳.由此可知c即当－1<c<0时，该AR(2)模子平稳. 3.5证明：已知原模子可变形为：不管c 取何值，都会有一特征根等于1，因此模子非平稳.3.6 解：（1 （2（3 （4（5）3.7MA(1)3.8解法1解法2展开等号右边的多项式，整理为 合并同类项，原模子等价表达为3.9解：3.10解法1：（1显然模子的AR 部分的特征根是1，模子非平稳. （2MA(1)模子，平稳.解法2：（1稳序列.（2自相关系数只与时间间隔长度有关，与起始时间无关所以该差分序列为平稳序列.3.11解：（1（2..（3＋（4.（5（6.3.12 解法1解法23.13Green函数3.14 证明：的递推公式得：3.15 （1）成立（2）成立（3）成立（4）不成立3.16 解：（1已知AR(1)模子的Green[9.9892-1.96*，9.9892＋即[3.8275,16.1509]（2[10.045-1.96×，10.045＋即[3.9061,16.1839].3.17 （1）平稳非白噪声序列（2）AR(1)(3) 5年预测成果如下：3.18 （1）平稳非白噪声序列（2）AR(1)(3) 5年预测成果如下：3.19 （1）平稳非白噪声序列（2）MA(1)(3) 下一年95%的置信区间为（80.41,90.96）3.20 （1）平稳非白噪声序列（2）ARMA(1,3)序列（3）拟合及5年期预测图如下：第四章习题答案4.1 解：4.2 解由代入数据得解得4.3解：（1）（2.别（3）在移动平均法下:在指数平滑法中:4.4 解：根据指数平滑的定义有（1）式成立，（1）式等号2）式成立（1）-（2）得limtttxt→∞⎛=⎝4.5 该序列为显著的线性递增序列，操纵本章的知识点，可使用线性方程或者holt两参数指数平滑法停止趋势拟合和预测，答案不唯一，详细成果略.4.6 该序列为显著的非线性递增序列，可以拟合二次型曲线、指数型曲线或其他曲线，也能使用holt两参数指数平滑法停止趋势拟合和预测，答案不唯一，详细成果略.4.7 本例在混合模子布局，季节指数求法，趋势拟合方法等处均有多种可选方案，如下做法仅是可选方法之一，成果仅供参考（1）该序列有显著趋势和周期效应，时序图如下（2）该序列周期振幅几乎不随着趋势递增而变更，所以测（注：如果用乘法模子也可以）首先求季节指数（没有消除趋势，其实不是最切确的季节指数）序列趋势影响（方法不唯一）（注：该趋势模子截距无意义，主要是斜率有意义，反映了长期递增速率）残差序列基本无显著趋势和周期残留.预测1971年奶牛的月度产量序列为得到（3）该序列使用x11方法得到的趋势拟合为趋势拟合图为4.8 这是一个有着曲线趋势,但是有没有固定周期效应的序列,所以可以在疾速预测程序中用曲线拟合（stepar）或曲线指数平滑（expo）停止预测（trend=3）.详细预测值略.第五章习题估计下一5.1 拟合差分平稳序列,天的收盘价为2895.2 拟合模子不唯一，答案仅供参考.拟合ARIMA(1,1,0)模子，五年预测值为：5.4 (1)AR(1)， (2)有异方差性.最终拟合的模子为5.5(1)非平稳（2）取对数消除方差非齐，对数序列一节差分后，拟合疏系数模子AR(1，3)所以拟合模子为（3）预测成果如下：5.6 原序列方差非齐，差分序列方差非齐，对数变换后，差分序列方差齐性.第六章习题6.1 单位根检验原理略.例2.1 原序列不服稳，一阶差分后平稳例2.2 原序列不服稳，一阶与12步差分后平稳例2.3 原序列带漂移项平稳例2.4 原序列不带漂移项平稳例2.5稳.6.2 （1）两序列均为带漂移项平稳（2）谷物产量为带常数均值的纯随机序列，降雨量可以拟合AR（2）疏系数模子.（3）二者之间具有协整关系（46.3 （1）掠食者和被掠食者数量都呈现出显著的周期特征，两个序列均为非平稳序列.但是掠食者和被掠食者延迟2阶.序列具有协整关系.（2径为:未来一周的被掠食者预测序列为：Forecasts for variable xObs Forecast Std Error 95% Confidence Limits掠食者预测值为：Forecasts for variable yObs Forecast Std Error 95% Confidence Limits6.4（1）进出口总额序列均不服稳，但对数变换后的一阶差分后序列平稳.所以对这两个序列取对数后停止单个序列拟合和协整检验.详细口径为：（2）详细口径为：（3（4（5。

时间序列分析参考答案时间序列分析参考答案时间序列分析是一种研究随时间变化的数据模式和趋势的统计方法。

它可以帮助我们理解数据的变化规律，预测未来的趋势，以及制定相应的决策。

在本文中，我们将探讨时间序列分析的基本概念、方法和应用。

一、时间序列分析的基本概念时间序列是按照时间顺序排列的一系列数据观测值。

它可以是连续的，比如每天的股票价格，也可以是离散的，比如每月的销售额。

时间序列分析的目标是找出数据中的模式和趋势，以便进行预测和决策。

时间序列分析的基本概念包括趋势、季节性和周期性。

趋势是指数据在长期内的整体变化方向，可以是上升、下降或平稳。

季节性是指数据在一年中周期性重复出现的变化模式，比如节假日销售额的增长。

周期性是指数据在较长时间内出现的波动，通常周期长度大于一年。

二、时间序列分析的方法时间序列分析的方法包括描述性分析、平稳性检验、模型建立和预测等。

描述性分析是对时间序列数据进行可视化和统计分析，以了解数据的基本特征。

常用的描述性分析方法包括绘制折线图、直方图和自相关图等。

折线图可以显示数据的整体趋势和季节性变化，直方图可以展示数据的分布情况，自相关图可以帮助我们发现数据的相关性。

平稳性检验是判断时间序列数据是否具有平稳性的方法。

平稳性是指数据的均值和方差在时间上保持不变。

常用的平稳性检验方法包括单位根检验和ADF检验等。

模型建立是根据时间序列数据的特征，选择合适的模型来描述数据的变化规律。

常用的模型包括AR模型、MA模型和ARMA模型等。

AR模型是自回归模型，表示当前观测值与过去观测值之间的线性关系；MA模型是移动平均模型，表示当前观测值与过去观测值的误差之间的线性关系；ARMA模型是自回归移动平均模型，综合考虑了自回归和移动平均的效果。

预测是利用已知的时间序列数据，通过建立模型来预测未来的观测值。

常用的预测方法包括滚动预测、指数平滑法和ARIMA模型等。

滚动预测是指根据当前观测值和过去观测值的模型，逐步预测未来的观测值；指数平滑法是基于历史数据的加权平均值，对未来的观测值进行预测；ARIMA模型是自回归移动平均差分整合模型，可以处理非平稳的时间序列数据。

时间序列分析习题答案时间序列分析习题答案时间序列分析是一种广泛应用于统计学和经济学领域的方法，用于研究随时间变化的数据。

通过对时间序列数据的建模和分析，我们可以揭示数据背后的规律和趋势，从而进行预测和决策。

下面我将给出一些时间序列分析习题的答案，希望能对大家的学习和理解有所帮助。

1. 什么是时间序列？时间序列是按照时间顺序排列的一系列数据观测值。

它可以是连续的，比如每天的股票价格，也可以是离散的，比如每个月的销售额。

时间序列分析的目标是通过对这些数据的分析和建模，揭示数据背后的规律和趋势。

2. 时间序列分析的步骤是什么？时间序列分析一般包括以下几个步骤：- 数据收集：收集并整理时间序列数据，确保数据的准确性和完整性。

- 数据可视化：通过绘制时间序列图，观察数据的趋势、季节性和周期性等特征。

- 数据平稳性检验：通过统计检验方法，判断时间序列数据是否平稳。

如果不平稳，需要进行差分处理。

- 模型选择：根据数据的特征和目标，选择适合的时间序列模型，比如ARIMA模型、季节性ARIMA模型等。

- 模型拟合：利用选定的模型，对时间序列数据进行拟合和参数估计。

- 模型诊断：对拟合的模型进行诊断，检验模型的残差序列是否符合模型假设。

- 模型预测：利用已拟合的模型，对未来的数据进行预测。

3. 如何判断时间序列数据的平稳性？平稳性是时间序列分析的基本假设之一，它要求时间序列的均值、方差和自相关函数在时间上都是常数。

常用的平稳性检验方法有：- 绘制时间序列图：观察数据是否具有明显的趋势、季节性和周期性。

- 平稳性统计检验：常用的统计检验方法有ADF检验、KPSS检验等。

这些检验方法的原理是基于单位根检验，判断序列是否存在单位根，从而判断序列的平稳性。

4. 如何选择适合的时间序列模型？选择适合的时间序列模型需要考虑数据的特征和目标。

常用的时间序列模型有：- AR模型：自回归模型，利用过去的观测值对当前值进行预测。

- MA模型：移动平均模型，利用过去的白噪声误差对当前值进行预测。

第二章习题答案欧阳家百(2021.03. 07)2.1(1)非平稳(2)0.0173 0.700 0.412 0.148 -0.079 -0.258 -0.376(3)典型的具有单调趋势的时间序列样本自相关图2.2(1)非平稳，时序图如下(2)- (3)样本自相关系数及自相关图如下：典型的同时具有周期和趋势序列的样本自相关图2.3(1)自相关系数为：0.2023 0.0130.042 -0.043 -0.179-0.251-0.0940.0248-0.068-0.0720.0140」09 0.2170.316 0.0070-0.0250.075-0.141-0.204 -0.2450.0660.0062-0.139-0.0340.206-0.010 0.080 0.118(2)平稳序列(3)白噪声序列LB=4.83, LB统计量对应的分位点为0.9634, P值为0.0363。

显著性水平芦词,序列不能视为纯随机序列。

欧阳家百创编(1) 时序图与样本自相关图如下(2) 非平稳 (3) 非纯随机 2.6(1) 平稳,非纯随机序列(拟合模型参考:ARMA( 1,2)) (2) 差分序列平稳，非纯随机 第三章习题答案3.1 解：E(x,) = 0.7-E(x,_1) + E(^/) 3.2解：对于AR (2)模型: 解得邓3.3解:根据该AR ⑵模型的形式，易得：£(x,) = 0(1 + 0」5)(1-0.15)(1-0.8 + 0.15)(1+ 0.8 + 0.15)3.4解：原模型可变形为:由其平稳域判别条件知：当|如＜1, 0 +妬＜1且血TV 时,模型平m 山川 山山川/沙少川川山山川 WWW■T* • *1*1 »• U® U* "T*1 ■ • *1® U* I* *1 «»••■ •Hi Hi alt Hi«pvpap«p•"沙山川山川•w*・••T<H* H*M*^T*H*■ »!• i \i • i| 11| • i| I 11| I qi i| •■山必心•丄■心*1* *!■ «(« ■!««|« <1 • «1 e «1 e f|« •!••••••••■• ■ 3山川川aw 山• n»<n<P■■ • 0•P^ " .•eHits>!■«je.■ahiiiniih ibUiiDditbibiliilBil* ibH| QIQ «■(«Q «Q «原模型可变为:x t =0・8兀『-]-0・15X _2 +祈2=1.98230Autocorrelat i ons-1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 9 4 5 6 7 8 9 1由此可知 c 应满足：|ici<i|, |c-1 < 1 BfTTTTT] 即当-IvcvO 时，该AR （2）模型平稳。

第二章习题答案2.1（1）非平稳（2）0.0173 0.700 0.412 0.148 -0.079 -0.258 -0.376（3）典型的具有单调趋势的时间序列样本自相关图2.2（1）非平稳，时序图如下（2）-（3）样本自相关系数及自相关图如下：典型的同时具有周期和趋势序列的样本自相关图2.3（1）自相关系数为：0.2023 0.013 0.042 -0.043 -0.179 -0.251 -0.094 0.0248 -0.068 -0.072 0.014 0.109 0.217 0.316 0.0070 -0.025 0.075 -0.141 -0.204 -0.245 0.066 0.0062 -0.139 -0.034 0.206 -0.010 0.080 0.118（2）平稳序列（3）白噪声序列2.4，序列LB=4.83，LB统计量对应的分位点为0.9634，P值为0.0363。

显著性水平=0.05不能视为纯随机序列。

2.5（1）时序图与样本自相关图如下（2） 非平稳 （3）非纯随机 2.6（1）平稳，非纯随机序列（拟合模型参考：ARMA(1,2)） （2）差分序列平稳，非纯随机第三章习题答案3.1 解：1()0.7()()t t t E x E x E ε-=⋅+0)()7.01(=-t x E 0)(=t x E t t x ε=-）B 7.01(t t t B B B x εε)7.07.01()7.01(221 +++=-=- 229608.149.011)(εεσσ=-=t x Var49.00212==ρφρ 022=φ3.2 解：对于AR （2）模型：⎩⎨⎧=+=+==+=+=-3.05.02110211212112011φρφρφρφρρφφρφρφρ 解得：⎩⎨⎧==15/115/721φφ3.3 解：根据该AR(2)模型的形式，易得：0)(=t x E原模型可变为：t t t t x x x ε+-=--2115.08.02212122)1)(1)(1(1)(σφφφφφφ-+--+-=t x Var2)15.08.01)(15.08.01)(15.01()15.01(σ+++--+==1.98232σ⎪⎩⎪⎨⎧=+==+==-=2209.04066.06957.0)1/(1221302112211ρφρφρρφρφρφφρ ⎪⎩⎪⎨⎧=-====015.06957.033222111φφφρφ 3.4 解：原模型可变形为：t t x cB B ε=--)1(2由其平稳域判别条件知：当1||2<φ，112<+φφ且112<-φφ时，模型平稳。

时间序列分析习题解答（2）：上课展⽰的典型题由于本答案由少部分⼈完成，难免存在错误，如有不同意见欢迎在评论区提出。

第⼀题⼀、已知零均值平稳序列{X t}的⾃协⽅差函数为γ0=1,γ±1=ρ,γk=0,|k|≥2.计算{X t}的偏相关系数a1,1，a2,2。

计算最佳线性预测L(X3|X2)，L(X3|X2,X1)。

计算预测的均⽅误差E[X3−L(X3|X2)]2，E[X3−L(X3|X2,X1)]2。

证明：ρ应满⾜|ρ|≤1 2。

若ρ=0.4，计算{X t}的谱密度函数，给出{X t}所满⾜的模型。

解：(1)由Yule-Walker⽅程，a1,1=γ1/γ0=ρ，1ρρ1a2,1a2,2=ρ,解得a2,2=−ρ2 1−ρ2.(2)由预测⽅程，有L(X3|X2)=ρX2。

设L(X3|X2,X1)=a2X2+a1X1，则1ρρ1a1a2=ρ,a1=−ρ21−ρ2,a2=ρ1−ρ2.所以L(X3|X2,X1)=−ρ2X1+ρX21−ρ2.(3)预测的均⽅误差是E(X3−ρX2)2=(1+ρ2)γ0−2ργ1=1−ρ2,E X3−−ρ2X1+ρX21−ρ22=(1−ρ2)2+ρ4+ρ2(1−ρ2)2−2ρρ3+ρ(1−ρ2)(1−ρ2)2 =2ρ4−3ρ2+1(1−ρ2)2=1−2ρ21−ρ2.(4)由于{X t}的⾃协⽅差函数1后截尾，所以它是⼀个MA(1)模型，即存在b≤1，⽩噪声εt∼WN(0,σ2)使得X t=εt+bεt−1.于是γ0=(1+b2)σ2=1,γ1=bσ2=ρ,所以ρ(b)=b1+b2,在b∈[−1,1]上ρ(b)是单调的，所以−12≤ρ(−1)≤ρ≤ρ(1)=12.(5)由谱密度反演公式，容易得到[][][][][][]()[][]Processing math: 49%f(λ)=12π[1+0.8cosλ]=12π451+cosλ+14=(2/√5)22π1+12(e iλ)2.所以X t=εt+12εt−1,{εt}∼WN0,45.第⼆题⼆、设零均值平稳序列{X t}的⾃协⽅差函数满⾜γk=187×25|k|,k≠0,k∈Z.当γ0取何值时，该序列为AR(1)序列？说明理由并给出相应的模型。

1.简述非平稳时间序列的确定性因素分解方法及其优缺点：确定性因素分解方法产生于长期的实践。

序列的各种变化可以归纳为三大因素的影响：（1）长期趋势波动，包括长期趋势和无固定周期的循环波动（2）季节性变化，包括所有具有固定周期的循环波动（3）随机波动，包括除了长期趋势波动和季节性变化之外的其他因素的综合因素。

优点：原理简单；操作方便；易于理解。

缺点：（1）只能提取强劲的确定性信息，对随机性信息浪费严重（2）它把所有序列的变化归纳为四大因素的综合影响，却始终无法提供明确有效的方法判断各大因素之间明确的作用关系。

2.比较传统的统计分析与时间序列分析数据结构并说明引入序列平稳性的意义：（1）根据数理统计学常识，传统的统计分析的随机变量越少越好，而每个变量获得的样本信息越多越好。

因为随机变量越少，分析的过程越简单，而样本容量越大，分析的结果越可靠。

（2）时间序列数据分析的结构有它的特殊性。

对随机序列{…,1x ,2x ,…t x …}而言，它在任意时刻t 的序列值t x 都是一个随机变量，而且由于时间的不可重复性，该变量在任意一个时刻只能获得唯一的一个样本观察值。

（3）时间序列分析的数据结构的样本信息太少，如果没有其他的辅助信息，通常这种数据结构是没有办法进行分析的。

序列的平稳性概念的提出可以有效地解决这个困难。

3.什么是模型识别？模型识别的基本原则是什么？计算出样本自相关系数和偏自相关系数的值之后，就要根据他们表现出来的性质，选择适当的ARMA 模型拟合观察值序列。

这个根据样本自相关关系数和偏自相关系数的性质估计自相关阶数p ˆ和移动平均阶数q ˆ的过程即是模型识别过程。

ARMA 模型定阶基本原则如下表：4.简述单整和协整分析的含义。

（个时间序列经过一次差分变成平稳的，则称原序列是1阶单整的，记为I （1）。

一般地，如果时间序列经过d 次差分后变成平稳序列，而经过d-1次差分仍不平稳，则称原序列是d 阶单整序列，记为I （d ）。

时间序列课后习题答案（书面）第二章P341、（1）因为序列具有明显的趋势，所以序列非平稳。

（2）样本自相关系数：∑∑=-=+---≅=nt t kn t k t t k x x x x x x k 121)())(()0()(ˆγγρ5.10)2021(20111=+++==∑= nt t x nx=-=∑=2201)(201)0(x x t t γ35=--=+=∑))((191)1(1191x x x x t t t γ29.75=--=+=∑))((181)2(2181x x x x t t t γ25.9167=--=+=∑))((171)3(3171x x x x t t t γ21.75γ(4)=17.25 γ(5)=12.4167 γ(6)=7.25 1ρ=0.85（0.85） 2ρ=0.7405（0.702） 3ρ=0.6214（0.556） 4ρ=0.4929（0.415） 5ρ=0.3548（0.280） 6ρ=0.2071（0.153） 注：括号内的结果为近似公式所计算。

（3）样本自相关图：. |*******| . |*******| 1 0.850 0.850 16.732 0.000 . |***** | . *| . | 2 0.702 -0.076 28.761 0.000 . |**** | . *| . | 3 0.556 -0.076 36.762 0.000 . |*** | . *| . | 4 0.415 -0.077 41.500 0.000 . |**. | . *| . | 5 0.280 -0.077 43.800 0.000 . |* . | . *| . | 6 0.153 -0.078 44.533 0.000 . | . | . *| . | 7 0.034 -0.077 44.572 0.000 . *| . | . *| . | 8 -0.074 -0.077 44.771 0.000 . *| . | . *| . | 9 -0.170 -0.075 45.921 0.000 .**| . |. *| . |10 -0.252 -0.072 48.713 0.000.**| . | . *| . | 11 -0.319 -0.067 53.693 0.000 ***| . |. *| . |12 -0.370 -0.060 61.220 0.0004、∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=mk k k n n n LB 12ˆ)2(ρLB(6)=1.6747 LB(12)=4.9895205.0χ(6)=12.59205.0χ(12)=21.0显然，LB 统计量小于对应的临界值，该序列为纯随机序列。

时间序列分析习题解答第二章 P.33 2.3 习 题2.4 若序列长度为100，前12个样本自相关系数如下：1^ρ=0.02 2^ρ=0.05 3^ρ=0.10 4^ρ=-0.02 5^ρ=0.05 6^ρ=0.01 7^ρ=0.12 8^ρ=-0.06 9^ρ=0.08 10^ρ=-0.05 11^ρ=0.02 12^ρ=-0.05该序列能否视为纯随机序列？ 解：假设 12210H ρρρ=== ：：1H 至少存在某个12k 10k ≤≤≠，ρ计算Q 统计量: 21ˆm k k Q n ρ==∑, ∑=-∧+=mk kn kn n LB 12)2(ρ其中n 为序列长度100，12m =，(1,2,,12)k k ρ=…为12个样本自相关系数。

计算得到： 4.57Q =， LB=4.99查表得：975.0)1212P 23.51240.4122975.02295.02975.0=>==）（）（（）（，）（χχχχ 因为 4.57Q =与LB=4.99 均介于4.40与5，23之间，故P 值约为0.96，显著大于显著性水平0.05。

所以不能拒绝纯随机的原假设，可以认为该序列为白噪声序列，即认为该序列为纯随机序列。

（注：计算在EXCEL 中进行）2.5 下表数据是某公司在2000-2003年期间每月的销售量。

——————————————————————————— 月份 2000年 2001年 2002年 2003年 1月 153 134 145 117 2月 187 175 203 178 3月 234 243 189 149 4月 212 227 214 178 5月 300 298 295 248 6月 221 256 220 202 7月 201 237 231 162 8月 175 165 174 1359月 123 124 119 12010月 104 106 85 9611月 85 87 67 9012月 78 74 75 63 —————————————————————————————（1）绘制该序列时序图及样本自相关图；（2）判断该序列的平稳性；（3）判断该序列的纯随机性。