（3） 最大似然估计法（MLE ）首先大家打开教材第43页看，我们纠正教材中的错误。
它说： “对于一组相互独立的随机变量),,2,1(,T t tx =，当得到一个样本),,,(21T x x x 时，似然函数可表示为∏===T t t x f x f x f x f T x x x L 1)()2()2()1(),,2,1(γγγγγ 式中),,,(21k γγγγ =是一组未知参数”。
我们知道时间序列一般不是独立的，而是相依的离散时间随机过程。
因此，得到的样本),,,(21T x x x 不可能是相互独立的，似然函数绝不是以上概率密度乘积的形式。
所以，教材中这一段是错误的。
似然函数在估计理论中有着根本的重要性的一个原因是因为“似然原理”。
这个原理说：已知假定的模型是正确的，数据非得告诉我们的关于参数的全部包含在似然函数中，数据的所有其他方面是不切题的。
实际上，一般的ARMA 过程（含AR 、MA 过程）参数的最大似 然估计计算过程很复杂。
至少有三种方法写出精确的似然函数：向后预报法、递推预报法、状态空间与卡尔曼（Kalman ）滤波法。
我们讲只对递推预报法最简要介绍，从而为引出模型选择的AIC 、BIC 信息准则铺平道路。
我们先以最简单的因果的AR(1)过程的MLE 为例，说明MLE 的主要思想。
考虑因果的AR(1)过程，满足模型tu t X t X +-+=110φφ， ),0(~2σN IID t u ， 且11<φ。
则均值为 )(110t X E =-=φφμ。
我们以),1,(2σφμ为三个未知参数，而)11(0φμφ-=不作独立的未知参数。
模型中心化为 tu t X t X +--=-)1(1μφμ。
设已得到了样本值),,,(21T x x x 。
则关于参数),1,(2σφμ的似然函数为 )2,1,;1()2,1,;12()2,1,;2,,2,11()2,1,;1,,1(),,2,1;2,1,(σφμσφμσφμσφμσφμx f x x f T x x x T x f T x x T x f Tx x x L ⨯---= 联合概率密度在样本值),,,(21T x x x 处的值写为条件概率密度和最后一个无条件概率密度的乘积。
