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初中数学中考复习专题 最短路径问题 (24页PPT)

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最短路径问题PPT课件

最短路径问题PPT课件

故 （AC+CD+DB）min
• 问题 5：如图，A，B两地在一条河的两岸，现要
在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的
路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要
与河垂直）
.A M
作法： 1、将点B沿垂直与河岸的方
向平移一个河宽到E
N
. E 2、连接AE交河对岸与点M,
则
.B
点M为建桥的位置，MN为
b
河 草地
. Pa
河 草地
• 作法：
1、作点P关于直线a的对称点
P2
b
P1，关于直线b对称点P2
B
2、连接P1P2，分别交直线
.P
a,b于点A，B 3、连接PA，PB，由对称轴的
A
a 性质知，PA= P1A，PB=P2B ∴先到点A处吃草，再到点B
P1
处饮水，最后回到营地，
这时的放牧路线总路程最
短，即 (PB+BA+AP)min
圆柱侧面展开图的宽1m处和长 24m的中点处，即AB长为最短
AB2 由AC勾2 股 B定C理2 得169
路线.(如图)
∴AB=13(m)
问题 7：如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、
宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两
个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口
的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶
处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则
蚂蚁爬行的最短路径是
74 。
D
4
C
A
5
B3
• 2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与
B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度

初中数学中考复习专题 最短路径问题 (24张PPT)

初中数学中考复习专题 最短路径问题 (24张PPT)

【例题分层探究】 问题 1：边 CD 是定值，此问题可转化为计算 CE＋DE 的最小值问题． 问题 2：线段 CD，EF 均为定值，此问题可借助轴对称 求最短路径的方法计算出 DE＋CF 的最小值．
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT） 初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
∵C(0,-5) ∴C′(0,5) ∴直线C′D为y=-7x+5
D(2,-9)
ME
x
AO
B
∴y=0 ， 即-7x+5=0 ∴m=5 ∕ 7
∴x=5 ∕ 7
C D
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
中考链接
24 如图 Z8－3，在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的
A
B l
在直线l上求一 点P，使 PA+PB值最小
作B关于l 的对称点 B＇，连A B＇与l交 点即为P
图形
原理
两点之间线段 最短
PA+PB最小值 为AB
原理
两点之间线段 最短
PA+PB最小值 为AB
问题3
作法
l1
P
分别作点P关于
l2
两直线的对称
在直线l1、l2上 点P＇和P＂，连 分别求点M P＇P＂与两直线
AM+MN+NB的 值最小．
作点A关于l2的 对称点A＇，作 点B关于l1的对 称点B＇，连A ＇B＇交l2于M
，交l1于N．
图形
原理
两点之间线段 最短．
AM+MN+NB 的最小值为线 段A＇B＇的

《最短路径问题》PPT课件

《最短路径问题》PPT课件
13.4 课题学习 最短路径问题
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
.
1
学习目标
1.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转 化思想．（重点）
2.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
.
2
导入新课
复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
A．P是m上到A、B距离之和最短的
点，Q是m上到A、B距离相等的点
B．Q是m上到A、B距离之和最短的
点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最
短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等
的点
.
16
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且
OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若
△PQR周长最小，则最小周长是（ A ）
A．10
B．15
C．20
D．30
.
17
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000 米.
C
D 河
A
B
.
18
则点C 即为所求． ACΒιβλιοθήκη B lB′.
9
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，

人教版数学八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题课件(共27张PPT)

人教版数学八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题课件(共27张PPT)

A∙ 请小组讨论证明这个结论吧！
A′
M′ a M
b
N′
N
∙B
13.4 最短路径问题
证明
证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，
连接AM′，A′N′，N′B.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′. 即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′， 即AM+NB+MN的值最小.
13.4 最短路径问题
解：∵点B 和 点C 关于直线 AD 对称， ∴BF = CF . 求BF + EF 最小值，只需 CF + EF 最小. 连接EC，线段 CE 的长即为 BF + EF 的最 小值. ∵D、E 是等边△ABC 中 BC、AB 的中点， ∴CE = AD = 5. ∴BF+EF的最小值为5.
路程最短？ C
A
D
A1
A C
C1 D1 E
E1 B B1
C1 B
解：如图，作 AA1⊥CD，且 AA1 = 河宽，作 BB1⊥CE，且 BB1 = 河宽， 连接 A1B1，与内河岸相交于 E1，D1. 过 E1，D1作河岸的垂线段 EE1 、 DD1，即为桥.
13.4 最短路径问题
13.4 最短路径问题
学习目标 1. 利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题. 重点
2. 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为
数学问题的思想. 难点

最短路径问题课件ppt

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将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
·B A·
l
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．
A
·
C′ C
B
·
l
B′
探索新知
追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
A
·
C′ C
B
·
l
B′
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
(Ⅰ)两点在一条直线异侧
已知：如图，A，B在直线L的两侧， 在L上求一点P，使得PA+PB最小。
连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
P
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
思考？？？
为什么这样做就能得到最短距 离呢？
根据：两点之间线段最短.
引入新知
引言： 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．

初中数学中考复习专题 最短路径问题 24张

初中数学中考复习专题 最短路径问题 24张
A●
●
A' ●
P
B ● l
最短路径问题是初中阶段图论研究中的经典算 法问题，旨在寻找图（有结点和路径组成的）中两 结点之间的最短路径算法形式包括：
一、确定起点的最短路径问题
二、确定终点的最短路径问题
三、确定起点、终点的最短路径问题
四、全局最短路径问题
问题原型 “将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”
作B关于l 的对称点B ＇,作直线 A B＇与l 交点即为P
．
图形
原理
三角形任意两边 之差小于第三边 ︱PA-PB︱≤AB＇． ︱PA-PB︱最大值 ＝AB＇
问题12 “费马点”
作法
图形
原理
所求点为“费马点”，
既满足
△ABC中每一 内角都小于
∠APB=∠BPC=∠ APC=1200.以AB、
1200，在 △ABC内求一
AM+MN+NB的 值最小．
作点A关于l2的 对称点A＇，作 点B关于l1的对 称点B＇，连A ＇B＇交l2于M
，交l1于N．
图形
原理
两点之间线段 最短．
AM+MN+NB 的最小值为线 段A＇B＇的
长
问题9
作法
A
B l
在直线l上求一 点P，使︱PAPB︱的值最小
连AB， 作AB的 中垂线与 直线l的交 点即为P
AC为边向外作等边 △ABD、△ACE,连
点P，使

CD、BE相交于P，
PA+PB+PC最 点P即为所求点.
小．
两点之间 线段最
短.PA+PB+ PC最小值
=CD.
随堂练习一
如图,已知正方形ABCD，点M为BC边的中点，

题学习最短路径问题PPT课件

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解： 如图13.4--5，作点P关于直线a的对称点P1，关于 直线b的对称点P2，连接P1P2，分别交直线a，b于 点A，B，连接PA，PB.由轴对称的性质知，PA＝ P1A，PB＝P2B，所以先到点A处吃草，再到点B 处饮水，最后回到营地，按这样的路线放牧所走 的总路程最短．
25
解决“两线＋一点”型最短路径问题，要作 两次轴对称，从而构造出最短路径．
导引：(1)连接AB，与l的交点即 为所求分支点M；
(2)作点B关于l的对称点B1， 连接AB1交l于点M，点 M即为分支点．
图13.4--4
19
解：(1)如图13.4--3，连接AB，与l的交点即为所求分支 点M.
(2)如图13.4--4，作点B关于l的对称点B1，连接AB1 交l于点M，点M即为所求分支点．
B A
l
C
B
两点之间，线段最短.
12
分析：
B
A
A
C
l
l
C
B
（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？
（2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l 的异侧呢？
（3）利用什么知识可以实现转化目标？
13
如图，作点B关于直线 l 的对称点B′ . 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB′的和最小？
B A
6
知识点 1 运用“垂线段最短”解决最短路径问题
例1 体育课上，老师测量小明跳远成绩的依据是( C ) A．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且 只有一条 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
7
1 如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条沟将河里 的水从 A处引到田地里去，则应从河边 l 的何处 开口才能使水沟最短，找出开口处的位置并说明 理由.

初中数学中考复习专题 最短路径问题PPT下载

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∵ OE∥BC，∴ Rt△D′OE∽Rt△D′BG, 有 OBGE＝DD′′OB， ∴ OE＝D′DO′·BBG＝D′O·（DB′BC－CG）＝2×6 1＝13， ∴ OF＝OE＋EF＝13＋2＝73. ∴ 点 E 的坐标为13，0，点 F 的坐标为73，0.
，交l1于N．
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图形
原理
两点之间线段 最短．
AM+MN+NB 的最小值为线 段A＇B＇的
长
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问题9
作法
A
B l
在直线l上求一 点P，使︱PAPB︱的值最小
连AB， 作AB的 中垂线与 直线l的交 点即为P
问题10
作法
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1应该认识到，阅读是学校教育的重要 组成部 分，一 个孩子 如果在 十多年 的教育 历程中 没有养 成阅读 的习惯 、兴趣 和能力 ，一旦 离开校 园，很 可能把 书永远 丢弃在 一边， 这样的 结果一 定是我 们所有 的教育 工作者 不想看 到的。 2对教育来说，阅读是最基础的教学手 段，教 育里最 关键、 最重要 的基石 就是阅 读。 3但是现在，我们的教育在一定程度上 ，还不 够重视 阅读， 尤其是 延伸阅 读和课 外阅读 。 4. “山不在高，有仙则名。水不在深 ，有龙 则灵” 四句， 简洁有 力，类 比“斯 是陋室 ，惟吾 德馨” ，说明 陋室也 可借高 尚之士 散发芬 芳 5. 这是一篇托物言志的铭文，本文言 简义丰 、讲究 修辞。 文章骈 散结合 ，以骈 句为主 ，句式 整齐， 节奏分 明，音 韵和谐 。 6.了解和名著有关的作家作品及相关 的诗句 、名言 、成语 和歇后 语等， 能按要 求向他 人推介 某部文 学名著 。 7.能够根据所提供的有关文学名著的 相关语 言信息 推断作 品的作 者、作 品的名 称和人 物形象 ，分析 人物形 象的性 格和作 品的思 想内容 并进行 简要评 价。 8．能够由具体的阅读材料进行拓展和 迁移， 联系相 关的文 学名著 展开分 析，提 出自己 的认识 和看法 ，说出 自己阅 读文学 名著的 感受和 体验。 9巧妙结合故事情节，在尖锐的矛盾冲 突中， 充分深 刻显示 人物复 杂内心 世界， 突出了 对人物 性格的 刻画， 使其有 血有肉 ，栩栩 如生。 10保尔身上的人格特征或完美的精神 操守： 自我献 身的精 神、坚 定不移 的信念 、顽强 坚韧的 意志 11把记叙、描写、抒情和议论有机地 融合为 一体， 充满诗 情画意 。如描 写百草 园的景 致，绘 声绘色 ，令人 神往。 12简·爱人生追求有两个基本旋律：富 有激情 、幻想 、反抗 和坚持 不懈的 精神； 对人间 自由幸 福的渴 望和对 更高精 神境界 的追求 。

最短路径问题探究24页PPT

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谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
最短路径问题探究
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
பைடு நூலகம்

《最短路径问题》PPT

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距离是 C
米. D 河
A
B
4.如图，边长为1的正方形组成的网格中， △AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别 是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当 PA+PB的值最小时，在y 图中画出点P．
B A
OP
x
B'
拓展提升
5.（1）如图①，在AP，使C、D、P三点组成的三角形的
当堂练习
1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、 A′关于直线m对称，A、B关于直线n对 称，直线m与A′B和n分别交A于P、Q， 下A．面P的是说m法上正到确A、的B是距（离之 ） 和最短的
点，Q是m上到A、B距 离相等的点 B．Q是m上到A、B距离之 和最短的
点，P是m上到A、B距 离相等的点
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一
方法总结：此类求线段和的最小值 问题，找准对称点是关键，而后将 求线段长的和转化为求某一线段的 长，而再根据已知条件求解.
例2 如图，在直角坐标系中，点A，
B的坐标分别为（1，4）和（3，0），
点C是y轴上的一个动点，且A，B，C
三点不在同一条直线上A ，当△ABC的
周长最小时点C的坐标是（ ）C′
A．（0，3）
B．（0，2）
C．（0，1）
D．（0，B0′ ）
解析：作B点关于y轴对称点B′，
E
连接AB′，交y轴于点C′，此时
△ABC的周长最小，然后依据点
A与点B′的坐标可得到BE、AE的
长，然后证明△B′C′O为等腰直
方法总结：求三角形周长的最小值， 先确定动点所在的直线和固定点， 而后作某一固定点关于动点所在直 线的对称点，而后将其与另一固定 点连线，连线与动点所在直线的交 点即为三角形周长最小时动点的位 置.
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涉及知识
“两点之间线段最短”，“垂线段最短”， “三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”
角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、
出题背景 圆、坐标轴、抛物线等
解题思路 找对称点实现“折”转“直”.
问题1
A
作法
l
B
在直线l上求一 点P，使 PA+PB值最小
连AB与l 交点即为
P
图形
A
●
P
●
l
●
B
问题2“将军饮马” 作法
、N，使
交点即为M，N
△PMN的周
长最小
图形
原理
两点之间线段 最短．
PM+MN+PN 的最小值为 线段P＇P＂的
长
问题4
作法
l1
Q
P
l2
在直线l1、l2 上分别求点 M、N，使四 边形PQMN 的周长最小
分别作点Q 、P 关于直线l1、l2 的对称点Q＇和 P＇,连Q＇P＇ 与两直线交点
即为M，N
问题10
作法
A
B
作直线
l AB,与直
在直线l上求一 线l的交点
点P，使︱PA- 即为P.
PB︱的值最大.
图形 图形
原理
垂直平分线上的 点到线段两端点 的距离相等． ︱PA-PB︱＝0．
原理
三角形任意两边 之差小于第三 边．︱PA-PB︱
≤AB． ︱PA-PB︱最大值 ＝AB
问题11
作法
A
l B
在直线l上求一 点P，使︱PAPB︱的值最大 ．
AM+MN+NB的 值最小．
作点A关于l2的 对称点A＇，作 点B关于l1的对 称点B＇，连A ＇B＇交l2于M
，交l1于N．
图形
原理
两点之间线段 最短．
AM+MN+NB 的最小值为线 段A＇B＇的
长
问题9
作法
A
B l
在直线l上求一 点P，使︱PAPB︱的值最小
连AB， 作AB的 中垂线与 直线l的交 点即为P
作B关于l 的对称点B ＇,作直线 A B＇与l 交点即为P
．
图形
原理
三角形任意两边 之差小于第三边 ︱PA-PB︱≤AB＇． ︱PA-PB︱最大值 ＝AB＇
问题12 “费马点”
作法
图形
原理
所求点为“费马点”，
既满足
△ABC中每一 内角都小于
∠APB=∠BPC=∠ APC=1200.以AB、
1200，在 △ABC内求一
图形
原理
两点之间线段 最短．
四边形PQMN 周长的最小值
为线段 P＇Q＇的长
问题5“造桥 选址”
A
作法
M
m
n N
B
直线m∥n， 在m、n上分 别求点M、N ，使MN⊥m ，且
将点A向下平移 MN的长度单位 得A＇，连A＇ B，交n于点N
，过N作 NM⊥m于M
AM+MN+BN的
值最小．
图形
原理
两点之间线段 最短．
A
B l
在直线l上求一 点P，使 PA+PB值最小
作B关于l 的对称点 B＇，连A
B＇与l交 点即为P
图形
原理
两点之间线段 最短
PA+PB最小值 为AB
原理
两点之间线段 最短
PA+PB最小值 为AB
问题3
作法
l1
P
分别作点P关于
l2
两直线的对称
在直线l1、l2上 点P＇和P＂，连 分别求点M P＇P＂与两直线
解：作点C关于x轴的对称点C′，连接C'D
y
交x轴于点M，此时MC＋MD的值最小．
C'
∵C(0,-5) ∴C′(0,5) ∴直线C′D为y=-7xAO
B
∴y=0 ， 即-7x+5=0 ∴m=5 ∕ 7
∴x=5 ∕ 7
C D
中考链接
24 如图 Z8－3，在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的
随堂练习四 如图，已知点P是直线x=1上的一动点，点A 的坐标为（0，－2），若△OPA的周长最小,试 在图中确定点P的位置.
O’
● ●
P
随堂练习五 如图，正方形的边长为2，E为AB的中点，P是 BD上一动点．连结AP、EP ，则AP+EP的最小值是
____5___；
P P
中考链接 如图，抛物线y=x2-4x-5与x轴交于A，B两点，与y 轴交于C点，且A（﹣1，0）．点M（m，0）是x轴上 的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值.
顶点 O 在坐标原点，顶点 A，B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，
OA＝3，OB＝4，D 为边 OB 的中点．
(1)若 E 为边 OA 上的一个动点，当△CDE
的周长最小时，求点 E 的坐标；
(2)若 E，F 为边 OA 上的两个动点，且 EF
＝2，当四边形 CDEF 的周长最小时，求点 E，F
AM+MN+BN 的最小值为 A＂B+MN
问题7
作法
l1
P
l2
在l1上求点A ，在l2上求点 B，使PA+AB 值最小．
作点P关于l1的 对称点P＇，作 P＇B⊥l2于B，
交l2于A．
图形
原理
点到直线，垂 线段最短．
PA+AB的最小 值为线段P＇B
的长
问题8
作法
N A
M
l1
l2 B
A为l1上一定 点，B为l2上 一定点，在l2 上求点M， 在l1上求点N ，使
AM+MN+BN 的最小值为 A＇B+MN
问题6
作法
A
B 将点A向右平移
M a N l a个长度单位得
在直线l上求 两点M、N（ M在左），使
A＇，作A＇关 于l的对称点A＂ ， 连A＂B， 交直线l于点N
MN=a，并使 ，将N点向左平
AM+MN+NB的 移个单位得M
值最小．
图形
原理
两点之间线段 最短．
A●
●
A' ●
P
B ● l
最短路径问题是初中阶段图论研究中的经典算 法问题，旨在寻找图（有结点和路径组成的）中两 结点之间的最短路径算法形式包括：
一、确定起点的最短路径问题
二、确定终点的最短路径问题
三、确定起点、终点的最短路径问题
四、全局最短路径问题
问题原型 “将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”
AC为边向外作等边 △ABD、△ACE,连
点P，使
CD、BE相交于P，
PA+PB+PC最 点P即为所求点.
小．
两点之间 线段最
短.PA+PB+ PC最小值
=CD.
随堂练习一
如图,已知正方形ABCD，点M为BC边的中点，
P为对角线BD上的一动点，要使PM+PC的值最小，
请确定点P的位置.
A
D
P
P●
B
M
C
随堂练习二
如图，点A、B位于直线L同侧，定长为a的线段 MN在直线L上滑动，请问当MN滑到何处时，折线 AMNB长度最短？
B1
●
●
●
M A1 ●
N
随堂练习三
2. 如图，点A、B位于直线L同侧，定长为a的 线段MN在直线L上滑动，请问当MN滑到何处时， 折线AMNB长度最短？
A1
●
●
●
M
N
●
A2
的坐标．
图 Z8－3
中考链接
【例题分层探究】 问题 1：△CDE 的三边中哪条边是定值，此类问题可以 转化为什么问题？ 问题 2：当 E，F 是动点时，四边形 CDEF 中的哪条线段 是定值，此类问题可转化为什么问题？