最短路径问题课件
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《最短路径问题》课件
查，最后到点B处执行任务，他们应如何走才能使总路
程最短？
l1
∙B ∙A
l2
解析：（1）如图，作点A关于直线l1的对称点A′；
（2）作点B关于直线l2的对称
A′ C
点B′；
B ∙
l1
（3）连接A′B′，分别交直线
∙A D
l2
l1，l2于点C，D，连接AC，BD.
B′
所以先到点C设卡检查，再到点D设卡检查，最后到点
A
B
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
如图所示，将A地抽象为一个点，将草地边和河边抽象
为两条直线.
l1
A
B l2
你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边
形AMNB的周长最小.
A1
l1
作法：分别作点A，B关于直
M
线l1，l2的对称点A1，B1，连 接A1B1分别交直线l1，l2于点M， N，则点M，N即为所求.
B处执行任务，按照这样的路线所走的路程最短.
随堂练习
1.两棵树的位置如图所示，树的底部分别为点A，B， 有一只昆虫沿着A至B的路径在地面爬行，小树的树顶 D处有一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树 顶C处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时，小鸟飞 行路程最短，在图中画出该点的位置.
解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接DC′交AB于 点E，则点E即为所求.
同时使得对直线上任意一点C，满足BC=B′C，就可以
将问题转化为“两点分别在直线两侧的情况”.那么在直
线l上使得满足BC=B′C的点应该怎么找呢？
如图，作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性
13.4.1最短路径问题优秀课件
A BC NhomakorabeaDl
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边.
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A′
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
想一想： 对于问题2，如何将点
B
B“移”到l 的另一侧B′处，满足
典例精析
练习1.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5，EF垂直平分BC，点P 为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（ ）
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
典例精析 (两线一点型)
例2：如图，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃 草，再到河边b处饮水，最后回到营地.请你设计一条放牧路线，使其所 走总路程最短.
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟
转化思想．（重点）
情景引入
请问牛郎织女在河边哪个地方相会，能让他两人走的总路程 最短？
迢迢牵牛星，皎皎河汉女。 纤纤擢素手，札札弄机杼。 终日不成章，泣涕零如雨； 河汉清且浅，相去复几许！ 盈盈一水间，脉脉不得语。
BC =B′C，BC′=B′C′．
B
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
A
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，
C
C′
l
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边.
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A′
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
想一想： 对于问题2，如何将点
B
B“移”到l 的另一侧B′处，满足
典例精析
练习1.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5，EF垂直平分BC，点P 为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（ ）
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
典例精析 (两线一点型)
例2：如图，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃 草，再到河边b处饮水，最后回到营地.请你设计一条放牧路线，使其所 走总路程最短.
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟
转化思想．（重点）
情景引入
请问牛郎织女在河边哪个地方相会，能让他两人走的总路程 最短？
迢迢牵牛星，皎皎河汉女。 纤纤擢素手，札札弄机杼。 终日不成章，泣涕零如雨； 河汉清且浅，相去复几许！ 盈盈一水间，脉脉不得语。
BC =B′C，BC′=B′C′．
B
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
A
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，
C
C′
l
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
《最短路径问题》PPT课件
A
a 3、连接PA，PB，由对称轴 的性质知，PA= P1A，
P1
PB=P2B
∴先到点A处吃草，再到点B
处饮水，最后回到营地，
这时的放牧路线总路程最
短，即 (PB+BA+AP)min
• 证明：
P2
b ∵ PA1+A1B1+B1P
B1 B
.P
河
= P1A1+A1B1+B1P2 > P1A+AB+BP2
前面和右面
D D1
③
A 1 A1
C1
2
4
B1
AC1 =√52+22 =√29
左面和上面
• 1、如图是一个长方体木块，已知 AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁 在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 7 4 。
D
4
C
A
5
B3
• 2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点 与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽 度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面 圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的 最小值为 10cm 。
在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B
的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥
要与河垂直）
.A M
作法： 1、将点B沿垂直与河岸的方
向平移一个河宽到E
N
2、. E连接AE交河对岸与点M,则
.点BM为建桥的位置，MN为 所建的桥。
A C
M ND E
B
• 证明： ∵ AC+CD+DB = AC+CD+CE = AC+CE+CD > AE+CD = AM+ME+CD = AM+NB+MN ∴ AC+CD+DB > AM+NB+MN
《最短路径问题》PPT课件
13.4 课题学习 最短路径问题
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
.
1
学习目标
1.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转 化思想．（重点）
2.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
.
2
导入新课
复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
A．P是m上到A、B距离之和最短的
点，Q是m上到A、B距离相等的点
B．Q是m上到A、B距离之和最短的
点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最
短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等
的点
.
16
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且
OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若
△PQR周长最小，则最小周长是（ A ）
A．10
B．15
C．20
D．30
.
17
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000 米.
C
D 河
A
B
.
18
则点C 即为所求． ACΒιβλιοθήκη B lB′.
9
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
.
1
学习目标
1.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转 化思想．（重点）
2.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
.
2
导入新课
复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
A．P是m上到A、B距离之和最短的
点，Q是m上到A、B距离相等的点
B．Q是m上到A、B距离之和最短的
点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最
短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等
的点
.
16
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且
OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若
△PQR周长最小，则最小周长是（ A ）
A．10
B．15
C．20
D．30
.
17
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000 米.
C
D 河
A
B
.
18
则点C 即为所求． ACΒιβλιοθήκη B lB′.
9
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
最短路径问题-(PPT课件) 公开课
第十三章 轴对称
故事引入
导入新课
复习旧知
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
①
为什么？
②
②最短，因为两点之间，线段最短
A ③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连
接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
3.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
B
A
C
l
联想旧知
B
A
C
l
B′
用旧知解决新知
A
C
l
B
提示：本题也可作A点关于直线l的对称点
典例精析
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动
点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小 值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长 即为BF+EF的最小值.
l2
l2
2.关键： 作对称点，利用轴对称的性质将线段转化， 从而利用“两点之间，线段最短”来解决
作法及思路分析
1.作点A关于直线 l 的对称点A′ ，连接CA′。
B A
l
C
A′
2.由上步可知AC+CB=B_′_A_C_+_C_B_′ ___
思考：当C在直线 l 的什么位置时AC +CB′最短？
3.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
故事引入
导入新课
复习旧知
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
①
为什么？
②
②最短，因为两点之间，线段最短
A ③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连
接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
3.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
B
A
C
l
联想旧知
B
A
C
l
B′
用旧知解决新知
A
C
l
B
提示：本题也可作A点关于直线l的对称点
典例精析
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动
点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小 值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长 即为BF+EF的最小值.
l2
l2
2.关键： 作对称点，利用轴对称的性质将线段转化， 从而利用“两点之间，线段最短”来解决
作法及思路分析
1.作点A关于直线 l 的对称点A′ ，连接CA′。
B A
l
C
A′
2.由上步可知AC+CB=B_′_A_C_+_C_B_′ ___
思考：当C在直线 l 的什么位置时AC +CB′最短？
3.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
最短路径问题 ppt课件
12
图论及其应用 作业 用Dijkstra算法求出下图中从顶点a到其它所有 顶点的最短路径及及长度。
13
图论及其应用
有向图中求最短路径的Dijkstra算法
设Sj是带权有向图G中自顶点1到顶点j的最短有向路的长度 步骤1：置P={1}，T={2,3,…,n}且S1=0，Sj=w1j， j=2,3,…,n 。 步骤2：在T中寻找一点k，使得Sk=min{Sj}，置P=P{k}， T=T- {k}。若T=，终止；否则，转向步骤3。 步骤3：对T中每一点j，置Sj=min {Sj ，Sk+ wkj}，然后转向步 骤2。 算法经过n-1 次循环结束。
6
1-6-8-B
6-8-B
13
10
5
图论及其应用
指定点到其它所有点的最短路径
解决这一问题最著名的方法是 Dijkstra算法，这个算法是由荷 兰计算机科学教授Edsger W.Dijkstra在1959年提出的。 他在1972年获得美国计算机协 会授予的图灵奖，这是计算机 科学中最具声望的奖项之一。
最终，起点上方的最短路线及权值即为起点到终点的最 短路线及长度。
3
图论及其应用
例 使用回溯法求下图中结点1到结点10的最短路径
2-6-9-10 600
1-4-6-9-10 650
4-6-9-10 500
6-9-10
300
9-10
100 5-8-10
400
8-10
150
3-5-8-10 600
7-8-10 275
定义2 已知矩阵A=(aij)m n ，B =(bij)mn，规定C=AB=(dij)mn，
其中dij=min(aij, bij)
13.4最短路径问题 课件
实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
Q
Q
P
P
MA
l Q
P
M
l
C
B
M Q
l
P
M
l
D
2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000米.
C
D 河
新课引入
我们把研究关于“两点之间，线 段最短” “垂线段最短”等问题， 称它们为最短路径问题.最短路径问 题在现实生活中经常碰到，今天我们 就通过几个实际问题,具体体会如何 运用所学知识选择最短路径.
第十三章 轴对称
13.4课题学习 最短路径问题
问题1 相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名 的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，请教一个百思不得其解的问题：
C．通过互联网 D．乘坐火车赴各地了解
解析：本题考查中国近代物质生活的变迁。注意题干信
息“20世纪初”“最快捷的方式”，因此应选B，火车速度 远不及电报快。20世纪30年代民航飞机才在中国出现， 互联网出现在20世纪90年代。 答案：B
问题1 归纳
B A
l
解决实 际问题
B
A
C
l
B′
抽象为数学问题 用旧知解决新知
B
A
C
l
联想旧知
A
C
l
B
问题2
（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条 河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何 处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两 岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
初中八年级数学上册人教版课件：13.4最短路径问题 (共18张ppt)
b
课堂 练习 如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°， ∠B=∠D=90°,在BC，CD上分别找一点M、N， 当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为 多少？
A B M A′ C D A″
N
Thanks
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
l
B′
探究 活动2
如图：牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马， 再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路 线。
N
A
M
B
l
探究 活动 2
如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先 到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮 他确定这一天的最短路线。 F
H N
E
探究 活动 2
最短路线：A
P
Q
B
A/
P
A
N
QB/Biblioteka MBl探究 活动 3
（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的 两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使 从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行 的直线，桥要与河垂直。）
a b
A
M
N
B
探究 活动 3 作法：
1.将点A沿垂直与河岸的 方向平移一个河宽到A‘ A 2. 连接 A ’ B 交河对岸与点 N, 则点N为建桥的位置， MN为所建的桥。
A′
a
b
M
N
B
探究 活动 3
证明：由平移的性质，得 AM∥A’N 且AM=A’N, MN=M'N', AM’∥A’N’, AM’=A’N’, a 所以A.B两地的距离: AM+MN+BN=A’N+MN+BN=A’B+MN M′ 若桥的位置建在M’N’处， A M 连接AC.CD.DB.CE, 则AB两地的距离为： N′ A′ AM’+M’N’+N’B=A’N’+M’N’+N’B =A’N’+N’B+MN N B 在△A’BN'中，∵A’N’+N’B＞A’B ∴A’N’+N’B+MN＞A’B+MN 即AM’+M’N’+N’B ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短。
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较复杂的问题转化为容易解决的问 题，从而作出最短路径的选择。
•问题2 归纳
•抽象为数学问题
•解决实 •际问题
•联想旧知
•A
•用旧知解决新知
•C
•l
•B
•小结归纳
•B
•A
•C
•l
•B′
•转化
•轴对称 •变换
•A
•C
•l
•B
•两点之间，线段最短.
•平移 •变换
•尝试应用：
•1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修
•A'
•M
•N
•M′ •a •b
•N′
•B
•∴AM+MN+BN＝AA′+A′B， • AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′.
•在△A′N′B中，由线段公理知A′N′+BN′ ＞A′B，
•∴AM′ +M′N′ +BN′ ＞ AM+MN+BN.
•总结归纳 ： • 在解决最短路径问题时，我们 通常利用轴对称、平移等变换，把
•B
•A
•l
•C
•B
•两点之间，线段最短.
•分析：
•B
•A
•A
•C
•l
•l
•C
•B
•（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？
•（2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l 的异侧呢 ？
• •（3）利用什么知识可以实现转化目标？
•如图，作点B关于直线 l 的对称点B′ . •当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB′的和最小？
• 如图假定任选位置造桥MN， •A 连接AM和BN，从A到B的路径是 AM+MN+BN，那么折线AMNB在什 么情况下最短呢？
• 由于河宽是固定的，因此当 AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.
•M •a •b
•N •B
•分析：
•A
•A'
•M •a
•A
•C
•l
•b
•N
•B
•B
• 如图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A′， 使AA′等于河宽，则AA′=MN，AM=A′N，问题转化为：当 点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？
•∴AC+BC=AC+B′C=AB′．
•在△AB′C′中，AB′< AC′+B′C′，
•B′
•∴AC+BC < AC′+B′C′，
•即AC+BC最小．
•方法总结：
• 在解决最短路径问题时，我们通常利用 轴对称变换，把复杂问题转化为容易解 决的问题，从而作出最短路径的选择．
•问题1 归纳
•A
•B
•抽象为数学问题 •A
•C
•D •河
•A
•B
•4、如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上 两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周 长最小。
•P
•M ’
•本节课你有什么收获？
•①学习了利用轴对称解决最短路径问题 •②感悟和体会转化的思想
•补偿提 高
• 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山
•脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返
建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图
中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（•D ）
•Q •P
•Q •P
•M •A •P
•l •Q
•M
•l
•C
•B
•M •Q
•l
•P
•M
•l
•D
•2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 •1000米.
•B •A
•l
•C
•B′
• 在连接AB′两点的线中，线段AB′最短. 因此， 线段AB′与直线 l 的交点C的位置即为所求.
•证明：如图.
•在直线 l 上任取另一点C′ ，
•B
•连接AC′ •∵直线 l
是、点BCB′、、BB′′的C对′ ．称轴•，A
•l
• 点C、C′在对称轴上，
•C′ •C
•∴BC=B′C，BC′=B′C′．
•C •山 •Q
•河岸
•P
•A •大桥 •B
•B •A
•l
• 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 •知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 •问题”．
•你能将这个问题抽象为数学问题吗？
•分析：
•B •B
•A
•A
•l
•C •C
•l
•转化为数学问题 •当点C在直线 l 的什么位置时，AC与BC的和最小？
•联想：
• 如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点， •如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B •的距离的和最短？
最短路径问题课件
•新 课 引 入
•
•
• 我们把研究关于“两点之间， 线段最短” “垂线段最短”等问题
，称它们为最短路径问题.最短路径
问题在现实生活中
何运用所学知识选择最短路径.
•第十三章 轴对称
•13.4课题学习 •最短路径问题
• 问题1 相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛 名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 •海伦，请教一个百思不得其解的问题： • 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 处 让马饮水，然后到B地．牧马人到河边的什么地方让马 饮水，可使所走的路径最短？
•B
•l
•C
•l
•解决实 •际问题
•联想旧知
•B
•A
•A •C
•l
•用旧知解决新知
•C
•l
•B′
•B
•问题2
• （造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条 河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何 处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两 岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
•思考： •你能把这个问题转化 •为数学问题吗？
•回P 处，请画出旅游船的最短路径．
•C
•山 •Q
•河岸
•P
•A •大桥 •B
• 思路分析：
• 由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线
•段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为
•一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC
•的同侧，如何在BC上找到 •一点R，使PR与QR 的和最 •小”．
•参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决.
•解：
•A
•A'
•M
•a
•b
•N
•B
• 如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA′等 于河宽，连接A′B交河岸于点N，在点N处造桥MN，此 时路径AM+MN+BN最短.
•证明：
•A
•另任意造桥M′N′， •连接AM′、BN′、A′N′. •由平移性质可知， •AM＝A′N，AM′＝A′N′， •AA′＝MN＝M′ N′.
•问题2 归纳
•抽象为数学问题
•解决实 •际问题
•联想旧知
•A
•用旧知解决新知
•C
•l
•B
•小结归纳
•B
•A
•C
•l
•B′
•转化
•轴对称 •变换
•A
•C
•l
•B
•两点之间，线段最短.
•平移 •变换
•尝试应用：
•1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修
•A'
•M
•N
•M′ •a •b
•N′
•B
•∴AM+MN+BN＝AA′+A′B， • AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′.
•在△A′N′B中，由线段公理知A′N′+BN′ ＞A′B，
•∴AM′ +M′N′ +BN′ ＞ AM+MN+BN.
•总结归纳 ： • 在解决最短路径问题时，我们 通常利用轴对称、平移等变换，把
•B
•A
•l
•C
•B
•两点之间，线段最短.
•分析：
•B
•A
•A
•C
•l
•l
•C
•B
•（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？
•（2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l 的异侧呢 ？
• •（3）利用什么知识可以实现转化目标？
•如图，作点B关于直线 l 的对称点B′ . •当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB′的和最小？
• 如图假定任选位置造桥MN， •A 连接AM和BN，从A到B的路径是 AM+MN+BN，那么折线AMNB在什 么情况下最短呢？
• 由于河宽是固定的，因此当 AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.
•M •a •b
•N •B
•分析：
•A
•A'
•M •a
•A
•C
•l
•b
•N
•B
•B
• 如图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A′， 使AA′等于河宽，则AA′=MN，AM=A′N，问题转化为：当 点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？
•∴AC+BC=AC+B′C=AB′．
•在△AB′C′中，AB′< AC′+B′C′，
•B′
•∴AC+BC < AC′+B′C′，
•即AC+BC最小．
•方法总结：
• 在解决最短路径问题时，我们通常利用 轴对称变换，把复杂问题转化为容易解 决的问题，从而作出最短路径的选择．
•问题1 归纳
•A
•B
•抽象为数学问题 •A
•C
•D •河
•A
•B
•4、如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上 两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周 长最小。
•P
•M ’
•本节课你有什么收获？
•①学习了利用轴对称解决最短路径问题 •②感悟和体会转化的思想
•补偿提 高
• 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山
•脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返
建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图
中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（•D ）
•Q •P
•Q •P
•M •A •P
•l •Q
•M
•l
•C
•B
•M •Q
•l
•P
•M
•l
•D
•2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 •1000米.
•B •A
•l
•C
•B′
• 在连接AB′两点的线中，线段AB′最短. 因此， 线段AB′与直线 l 的交点C的位置即为所求.
•证明：如图.
•在直线 l 上任取另一点C′ ，
•B
•连接AC′ •∵直线 l
是、点BCB′、、BB′′的C对′ ．称轴•，A
•l
• 点C、C′在对称轴上，
•C′ •C
•∴BC=B′C，BC′=B′C′．
•C •山 •Q
•河岸
•P
•A •大桥 •B
•B •A
•l
• 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 •知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 •问题”．
•你能将这个问题抽象为数学问题吗？
•分析：
•B •B
•A
•A
•l
•C •C
•l
•转化为数学问题 •当点C在直线 l 的什么位置时，AC与BC的和最小？
•联想：
• 如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点， •如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B •的距离的和最短？
最短路径问题课件
•新 课 引 入
•
•
• 我们把研究关于“两点之间， 线段最短” “垂线段最短”等问题
，称它们为最短路径问题.最短路径
问题在现实生活中
何运用所学知识选择最短路径.
•第十三章 轴对称
•13.4课题学习 •最短路径问题
• 问题1 相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛 名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 •海伦，请教一个百思不得其解的问题： • 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 处 让马饮水，然后到B地．牧马人到河边的什么地方让马 饮水，可使所走的路径最短？
•B
•l
•C
•l
•解决实 •际问题
•联想旧知
•B
•A
•A •C
•l
•用旧知解决新知
•C
•l
•B′
•B
•问题2
• （造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条 河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何 处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两 岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
•思考： •你能把这个问题转化 •为数学问题吗？
•回P 处，请画出旅游船的最短路径．
•C
•山 •Q
•河岸
•P
•A •大桥 •B
• 思路分析：
• 由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线
•段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为
•一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC
•的同侧，如何在BC上找到 •一点R，使PR与QR 的和最 •小”．
•参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决.
•解：
•A
•A'
•M
•a
•b
•N
•B
• 如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA′等 于河宽，连接A′B交河岸于点N，在点N处造桥MN，此 时路径AM+MN+BN最短.
•证明：
•A
•另任意造桥M′N′， •连接AM′、BN′、A′N′. •由平移性质可知， •AM＝A′N，AM′＝A′N′， •AA′＝MN＝M′ N′.