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微分方程的建模原理及应用引言微分方程是数学中重要的一门学科，它是描述自然界和工程领域中许多现象和过程的数学工具之一。
本文将介绍微分方程的建模原理及其应用，并使用Markdown格式进行编写。
微分方程的定义微分方程是描述变量之间关系的方程，其中包含了变量的导数。
一般形式的微分方程可以写作：$$f(x, y, y', y'', \\ldots, y^n) = 0$$其中，x是自变量，y是因变量，$y', y'', \\ldots, y^n$ 是y的导数，n是方程的阶数。
微分方程的建模原理微分方程的建模原理是将现实世界中的问题转化为数学模型，通过建立微分方程来描述问题的变化规律。
建模的过程需要以下几个步骤：1.问题理解：全面理解实际问题的背景、目标和限制条件。
明确要研究的变量和参数。
2.数学模型的建立：根据问题理解，确定数学函数和变量之间的关系，并找到恰当的微分方程。
3.模型求解：利用数学方法求解微分方程，得到问题的解析解或数值解。
4.模型分析：对模型求解结果进行分析和解释，评估模型的适用性和可靠性。
微分方程的应用领域微分方程在各个科学领域和工程技术中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：物理学•力学：描述物体的运动和力学性质。
•电磁学：描述电荷和电磁场的关系。
•光学：描述光的传播和折射。
经济学•经济增长模型：描述经济产出和经济变量之间的关系。
•消费与储蓄模型：描述个体和国家的消费和储蓄行为。
生物学•生物种群动力学：描述物种数量和环境因素之间的关系。
•神经科学：描述神经元的电信号传递和网络行为。
工程学•电路分析：描述电路中电流和电压之间的关系。
•控制系统：描述系统的稳定性和动态响应。
微分方程的求解方法微分方程的求解方法分为解析解和数值解两种。
解析解解析解是指通过数学方法直接求解微分方程得到的精确解。
常见的求解方法包括：•可分离变量法：将微分方程转化为可分离变量的形式，通过积分求解。
微分方程应用1 引言常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.数学解决实际问题就必须建立模型，而数学建模就是把数学语言描述实际现象的过程.利用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分重要的一步，但是也是最困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过大量调查、收集相关数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题.因此本文先简要介绍了如何建立微分方程模型，并通过具体的实例来简单地介绍了微分方程在数学建模中的应用.2 数学模型简介通常我们把现实问题的一个模拟称为模型．如交通图、地质图、航空模型和建筑模型等．利用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等来模拟现实的模型称为数学模型．数学模型在实际生活中经常碰到，如求不规则图形的面积，可建立定积分的数学模型，求变化率的问题可建立导数模型，统计学中抽样调查，买彩票中奖的概率问题等等．学会建立数学模型对解决实际生活问题会有很大的帮助．建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁．随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济生活到社会生活的各个领域．一般地说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节．3 常微分方程模型3．1 常微分方程的简介微分方程的发展有着渊远的历史．微分方程和微积分产生于同一时代，如苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时就对简单的微分方程用级数来求解.后来，瑞士数学家雅各布·贝努、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程理论.纵观微分方程的发展史，我们发现微分方程与物理、天文学以及日异月新的科学技术有着密切的联系.如牛顿研究天体力学和机械力学的时候，就利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动的规律.后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置.而这些都证明微分方程在改造自然和认识自然方面有着巨大的力量.微分方程是自变量、未知函数及函数的导数(或微分)组成的关系式．在解决实际问题的过程中，我们又得出了常微分方程的概念：如果在一个微分方程中出现的未知函数中只含有一个自变量，那么这个方程则称为常微分方程，也可以简单的叫做微分方程.在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存在满足微分方程关系似的数学模型，需要我们通过求解常微分方程来了解未知函数的性质．常微分方程是解决实际问题的重要工具.3．2 常微分方程模型示例数学模型按照建立模型的数学方法可以分为初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型和规划论模型等．当我们描述实际对象的某些特性随时间(或空间)而演变的过程，分析它的变化规律，预测他的未来性态时，通常要建立对象的动态模型，即微分方程模型．建立微分方程模型就是把物理、化学、生物科学、工程科学和社会科学中的规律和原理用含有待定函数的导数或微分的数学关系式表示出来．下面我们由浅入深地介绍一些微分方程模型．例1 细菌的增长率与总数成正比．如果培养的细菌总数在24h内由100增长为400，那么，前12h后总数是多少？解：第一句话说的是在任何瞬间都成立的事实；第二句话给出的是特定瞬间的信息．如果我们用)y表示总数，第一句话告诉我们(tky dtdy = 它的通解为kt y Ae =A 和k 这两个常数可以由问题中第二句话提供的信息计算出来，即,100)0(=y (3.1) 和 ,400)24(=y (3.2) 其中t 的单位为小时．(3.1)意味着.100)0(0===A Ae y(3.2)意味着.400100)24(24==k e y它给出 .24)4(ln =k 故 .100)(244ln t e t y =要我们求的是200100)12(4ln )2412(==e y 个细菌．例 2 将室内一支读数为 60的温度计放到室外．10min 后，温度计的读数为 70；又过了10min ，读数为 76.先不用计算，推测一下室外的温度.然后利用牛顿的冷却定律计算出正确的答案．牛顿的冷却定律或称加热定律是：将温度为T 的物体放进处于常温m 的介质中时，T 的变化速率正比于T 与周围介质的温度差．在这个数学模型中，假定介质足够大，从而，当放入一个较热或较冷的物体时，m 基本上不受影响．实验证明，这是一个相当好的近似．解 显然，对于这个题首先要做的是了解牛顿定律的含义，这已经做过了。
常微分方程数学建模案例分析常微分方程是运用微积分中的概念与理论研究变化率的方程。
它是数学建模中常用的方法之一，可用于描述各种实际问题，如经济增长、生物扩散、化学反应等。
本文将通过一个关于人群传染病的数学建模案例，分析常微分方程在实际问题中的应用。
假设地有一种传染病，病毒的传播速度与感染者的接触频率有关。
现在我们要研究传染病的传播速度以及控制措施对传染病传播的影响。
为此，我们可以建立如下的数学模型：设N(t)表示时间t时刻的总人口数，而I(t)表示感染者的人口数，S(t)表示易感者的人口数。
根据该模型，易感者的人数随时间的变化率可表示为：dS/dt = -βSI其中，β表示感染率，即感染者每接触到一个易感者，会使其发病的概率。
感染者的人数随时间的变化率可表示为：dI/dt = βSI - γI其中，γ表示恢复率，即感染者每天被治愈的人数。
总人口数随时间的变化率可以通过易感者和感染者的变化率求和得到：dN/dt = dS/dt + dI/dt通过对该方程进行求解，我们可以得到感染者和易感者的人数随时间变化的解析解。
进一步，我们可以通过调节β和γ来研究不同的传播速度和控制措施对传染病传播的影响。
例如，如果β较大，表示感染率较高，此时传染速度会加快，可能导致传染病扩散的速度加快。
反之，如果β较小，表示感染率较低，传染病传播的速度会减慢。
另外，如果γ较大，表示恢复率较高，此时感染者的人数会快速减少，传染病传播的速度会减慢。
相反，如果γ较小，传染病传播的速度会加快。
通过对这些参数的调节，我们可以研究不同的控制措施对传染病传播的影响。
例如，我们可以通过降低感染率β或增加恢复率γ来减缓传染病传播的速度，从而控制疫情的爆发。
在实际应用中，常微分方程数学建模方法可以用于预测传染病的传播趋势，评估各种干预措施的效果。
此外，还可以通过引入更多的变量和参数，建立更复杂的模型，以更好地解释实际问题。
总之，常微分方程是数学建模中常用的方法之一，可以用于描述各种实际问题，如传染病的传播、经济增长等。
常微分方程在数学建模中的应用这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.例1（ 马尔萨斯 （Malthus ） 模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.解 设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ∆+时间段内,人口的增长量为t t rN t N t t N ∆=-∆+)()()(,并设0t t =时刻的人口为0N ,于是|⎪⎩⎪⎨⎧==．，00)(d d N t N rN t N这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为)(00e )(t t r N t N -=,此式表明人口以指数规律随时间无限增长.模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为91006.3⨯,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3⨯=N ,02.0=r ,于是)1961(02.09e1006.3)(-⨯=t t N .这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定年增加一倍（请读者证明这一点）．但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改.;例2（逻辑Logistic 模型） 马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢这主要是地球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小.因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数m N ,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生活空间就越大,食物就越多,从而m N 就越大）,并假设将增长率等于⎪⎪⎭⎫⎝⎛-m N t N r )(1,即净增长率随着)(t N 的增加而减小,当m N t N →)(时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型.解 由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，，000)(1d d N t N N N N r t N 上式就是逻辑模型,该方程可分离变量,其解为,)(00e 11)(t t r m mN N N t N --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=.下面,我们对模型作一简要分析.（1）当∞→t ,m N t N →)(,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值m N ；@（2）当m N N <<0时,01d d >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=N N N r t N m ,这说明)(t N 是时间t 的单调递增函数；（3）由于N N N N N r t N m m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211d d 222,所以当2m N N <时,0d d 22>t N ,t N d d 单增；当2m N N >时,0d d 22<tN ,t N d d 单减,即人口增长率t Nd d 由增变减,在2m N 处最大,也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早会达到零,这是减速生长期；（4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果与实际人口在1930年以前都非常吻合,自从1930年以后,误差愈来愈大,一个明显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口.由此可见该模型的缺点之一是m N 不易确定,事实上,随着一个国家经济的腾飞,它所拥有的食物就越丰富, m N 的值也就越大；(5）用逻辑模型来预测世界未来人口总数.某生物学家估计,029.0=r ,又当人口总数为91006.3⨯时,人口每年以2%的速率增长,由逻辑模型得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m N N r t N N 1d d 1, 即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=m N 91006.31029.002.0, 从而得 91086.9⨯=m N ,即世界人口总数极限值近100亿. ）值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口模型的讨论,原则上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等,逻辑模型有着广泛的应用.二、市场价格模型对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格称为(静态)均衡价格).也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程.例3 试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型解 假设在某一时刻t ,商品的价格为)(t p ,它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格)(t p 的变化率tpd d 与需求和供给之差成正比,并记),(r p f 为需求函数,)(p g 为供给函数（r 为参数）,于是()()[]⎪⎩⎪⎨⎧=-=，，0)0(,d d p p p g r p f tpα 其中0p 为商品在0=t 时刻的价格,α为正常数.若设b ap r p f +-=),(,d cp p g +=)(,则上式变为—⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=，，0)0()()(d d p p d b p c a t pαα ① 其中d c b a ,,,均为正常数,其解为ca db c a d b p t p t c a +-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-)(0e)(α. 下面对所得结果进行讨论:（1）设p 为静态均衡价格 ,则其应满足0)(),(=-p g r p f ,即d p c b p a +=+-,于是得ca db p +-=,从而价格函数)(t p 可写为 。
35微分方程在数学建模中的应用黄 羿（吉首大学湖南吉首416000）摘 要：高等数学在很多领域有着成功的应用，因此，通过建立实际应用模型，将高等数学课程中的微分方程理论与实际相结合，可以增加学生学习新知识的兴趣，提高课堂授课效果。
关键词：数学教学；理论与实际；教学方法中图分类号：O175文献标识码：A 文章编号：1000-9795（2010）04-0315-02收稿日期：5作者简介：黄 羿（），女，湖南岳阳人，从事微分方程与动力系统方向的研究。
一、数学建模与微分方程概述数学建模(Mathematical Modeling)是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，随着计算机的发明和计算机技术的飞速发展，数学的应用日益广泛，数学建模的作用也越来越重要，而且已经渗透到各个领域，可以毫不夸张的说，数学和数学建模无处不在。
经典的数学建模理论认为数学建模一般由下列六个步骤组成。
1.建模准备:包括进行调查研究，明确问题，搜集信息，查阅文献资料，初步确定问题属于哪一类模型。
2.分析与简化:分析问题，分析信息与资料，抓住主要因素，忽略次要因素，简化问题。
3.模型建立:用数学语言刻画所研究问题的因果关系，得到问题的数学描述，通常是所研究问题的主要因素的变量之间的一个关系式或其他的数学结构。
4.模型求解:选择合适的方法求解上述数学模型，多数情况下很难获得其解析解，而只能得到其数值解，这就需要应用各种数值方法，各种软件系统和计算机。
5.模型检验与评价:包括模型是否易于求解，是否能反映和解决实际问题等。
6.模型应用:就是把经过改进的模型及其解应用于实际系统，看是否达到预期的目的.若不够满意，则建模任务尚未完成，仍需继续努力。
二、微分方程在数学建模中的应用(一)人口预测模型由于资源的有限性，当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长。
为了得到人口预测模型，必须首先搞清影响人口增长的因素，而影响人口增长的因素很多。
因此，先把问题简化，建立比较粗糙的模型，再逐步修改，得到较完善的模型。
第六章微分方程及其应用本章知识结构导图§6.1 微分方程的简介微分方程是一门具有悠久历史的学科, 几乎与微积分同时诞生于1676年前后, 至今已有300多年的历史了. 在微分方程发展的初期, 人们主要是针对实际问题提出的各种方程, 用积分的方法求其精确的解析表达式, 这就是人们常说的初等积分法. 这种研究方法一直延续到1841年前后, 其历史有160多年. 促使人们放弃这一研究方法的原因, 归结1841年刘维尔(Liouville 1809-1882)的一篇著名论文, 他证明了大多数微分方程不能用初等积分法求解.在刘维尔这一工作之后, 微分方程进入了基础定理和新型分析方法的研究阶段. 如19世纪中叶, 柯西等人完成了奠定性工作（解的存在性和唯一性定理）, 以及拉格朗日等人对线性微分方程的系统性研究工作; 到19世纪末, 庞加莱和李雅普诺夫分别创立了微分方程的定性理论和稳定性理论, 这代表了一种崭新的研究非线性方程的新方法, 其思想和作法一直深刻地影响到今天.微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法. 物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的微分方程, 如牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律, 能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨幅趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等, 对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的微分方程描述的数学模型的研究. 因此, 微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学, 而且越来越多的应用于社会科学的各个领域.早在十七世纪至十八世纪,微分方程作为牛顿力学的得力助手, 在天体力学和其它机械力学领域内就显示了巨大的功能, 比如科学史上有这样一件大事足以显示微分方程的重要性, 那就是在海王星被实际观测到之前, 这颗行星的存在就被天文学家用微分方程的方法推算出来了. 时至今日, 微分方程在自然科学以及社会科学中越来越表现出它的重要作用.在长期不断的发展过程中, 微分方程一方面直接从与生产实践联系的其他科学技术中汲取活力, 另一方面又不断以全部数学科学的新旧成就来武装自己, 所以微分方程的问题越来越显得多种多样、而方法也越来越显得丰富多彩.在本章, 将简要介绍利用微分方程结合实际问题建立数学模型, 了解微分方程的基本概念, 并研究常见的一阶微分方程与二阶常系数线性微分方程的解法, 最后例举几个微分方程在经济领域中的应用例子.§6.2 利用微分方程建立数学模型利用数学手段研究自然现象和社会现象, 或解决工程技术问题, 一般需要先对问题建立数学模型, 再对它进行分析求解或近似计算, 然后按实际的要求对所得的结果作出分析和探讨. 数学模型最常见的表达方式, 是包含自变量和未知函数的函数方程, 但是很多情形这类方程还包含未知函数的导数（或微分）, 它们就是微分方程. 本节将介绍几个典型的利用微分方程建立数学模型的例子.一、种群增长的马尔萨斯（Malthus ）模型这里要介绍的种群增长模型是基于理想条件下（无局限的环境, 充足养分,无自然灾害）来建立的, 于是仅考虑种群增长率只与自然出生率与自然死亡率有关, 即种群增长率和种群数量成正比.设时刻t 的种群个体数量为()N t ,种群增长率为导数dN dt, 现仅考虑自然出生率和自然死亡率对它的影响，则假设种群增长率和种群数量成正比， 于是可表示成如下数学模型:(1) 其中比例常数k a b =-, a 为自然出生率, b 为自然死亡率, 方程（1）是种群增长的最简单模型, 即马尔萨斯（Malthus ）模型, 该模型当然是一个微分方程.下面来求解方程（1）, 方程（1）要求找到这样一个函数, 它的导数是它本身的常数倍. 我们知道指数函数具有这个特点, 令()kt N t Ce =,有()()ktN t Cke kN t '==, 即任何形如()kt N t Ce =的指数函数都是方程（1）的解. 在§6.3我们将知道方程（1）没有其他解.考虑到实际意义（0C >, 0t ≥）, 方程（1）得到解()ktN t Ce =的函数族，图形如图6.1所示. 方程（1）是在理想条件下的种群增长模型, 它只能反映种群增长初期的增长情况, 当种群数量接近承载能力K 时, 增长率会下降, 这是因为在自然界上各种自然资源会对种群的增长进行限制与影响, 下面我们来介绍另一个更能如实反映种群增长的模型.二、种群增长的逻辑斯谛（Logistic ）模型（2） 其中k 为比例常数, K 为种群承载能力（即表示自然环境条件下所能容许的最大种群数）.方程（2）称为逻辑斯谛（Logistic ）模型, 当然也是一个微分方程, 它是荷兰数学生物学家韦尔侯斯特（Pierre-Francois Verhulst ）在19世纪40年代提出的世界人口增长模型. 关于方程（2）的求解详见§6.4, 现在直接从方程（2）定性分析它的解.首先常量函数()0N t =和()N t K =都是方程的解,这两个解称为平衡解（从实际含义上可以解释为: 如果种群数量为0或达到承载能力K 时, 种群数量不再变化）;然后如果初始种群数量(0)N 在0与K 之间, 则种群增加,如果种群数量超过了承载能力K , 则种群减少; 最后当种群数量接近承载能力（N K →）时, 则种群数量几乎不再增加（或减少）. 因此可以估计出逻辑斯谛模型的解的图形类似于图6.2所示.在20世纪30年代, 生物学家G.F.Gause 用原生动物草履虫做了一个实验, 并分别用马尔萨斯模型与逻辑斯谛模型为实验数据建模. 实验发现: 前几天用马尔萨斯模型比较接近实际测量数据, 但是当第五天起马尔萨斯模型开始很不准确, 而逻辑斯谛模型与实际测量数据却非常吻合.其实种群增长建模还有很多, 如(1)dN N kN c dt K =--与(1)(1)dN N m kN dt K N=--等,这里就不一一介绍了.三、捕猎-食饵模型我们学习了单独生活在某一环境中的种群增长模型, 现在来考察一种更现实的模型, 即考虑同一居住环境下两种种群的相互影响.先考察其中一个种群的情况, 我们称之为被捕食者, 它们有充足的食物; 另一种群称 为捕食者, 它们以被捕食者为食. 被捕食者和捕食者的例子很多, 如野兔和狼, 小鱼和鲨鱼, 蚜虫和瓢虫等等.设()R t 为时刻t 时被捕食者的数量, ()W t 为时刻t 时捕食者的数量. 没有捕食者时， 被捕食者有充足的食物, 假设数量呈指数增长, 即dR kR dt=, 其中k 为正常数. 没有被捕食者, 捕食者种群数量减少的速度和数量成正比, 即dW rW dt =-, 其中r 为正常数. 两种种群共存时, 假设被捕食者种群的死亡主要由于被吃掉, 而捕食者出生率和存活率依赖于它们的食物是否充足, 即被捕食者是否充足. 假设两者遭遇的比率和两种种群数量成正比, 即与乘积RW 成正比（种群数量越多, 二者遭遇的比率也就越大）. 符合上述假设的两个微分方程为其中k , r , a 和b 为正常数, aRW -为减少了被捕食者的自然增长率, bRW 为增加了捕食者的自然增长率.方程（3）称为捕猎-食饵方程，也称为Lotka-Volterra 方程. 这类模型是由两个相关的微分方程的形式组成, 是一对耦合的方程, 不能先解一个方程然后再解另一个方程, 必须同时解两个方程, 关于方程（3）的求解详见§6.4, 这里就不展开了.§6.3 常微分方程的基本概念上述三个模型中的方程（1）、（2）、（3）都含有未知函数的导数, 它们都是本章研究的对象, 即微分方程.【定义1】 凡表示未知函数、未知函数的导数（或微分）与自变量之间的关系的方程称为微分方程. 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程, 未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程, 在微分方程中所含未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶. 由于本章只讨论常微分方程, 以下简称为微分方程或方程.一阶微分方程的一般形式为0),,(='y y x F 或),(y x f y =',n 阶微分方程的一般形式为0),,,,()(='n y y y x F ,其中: x 是自变量，y 是未知函数, (),,n y y '是未知函数的导数, 一阶微分方程中一定含有y ', n 阶微分方程中一定含有()n y .例如在§6.2中的介绍的三个模型中的方程（1）、（2）、（3）都是一阶常微分方程.再如: 3xy y x '+=, xe y y y -=+'+''23, 3320d y dy y dx dx ++=等也都是常微分方程，分别为一阶、二阶、三阶常微分方程.【定义2】 如果函数()y f x =及其导数代入微分方程后能使方程成为恒等式, 则函数()y f x =就称为微分方程的解. 如果微分方程解中含有任意常数, 且相互独立的任意常数的个数与方程的阶数相同, 这样的解称为微分方程的通解; 通解中任意常数取某一特定值时的解, 称为微分方程的特解. 确定微分方程通解中的任意常数的附加条件称为微分方程的初始条件.求微分方程满足初始条件的解的问题, 称为初值问题. 一阶微分方程的初值问题一般可表示为00(,,)0()F x y y y x y '=⎧⎨=⎩ 或 00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩; 二阶微分方程的初值问题一般可表示为0001(,,,)0()()F x y y y y x y y x y '''=⎧⎪=⎨⎪'=⎩, 其中0x , 0y , 1y 是已知值.例如, 一阶微分方程2y x '=的通解为313y x C =+, 其中C 为任意常数. 而满足初始条件(0)0y =的特解为313y x =, 满足初始条件(0)1y =的特解却为3113y x =+. 【例1】 验证一阶微分方程x y y 2='的通解为2Cx y =（C 为任意常数），并求满足初始条件2)1(=y 的特解.【解】 由2Cx y =得方程的左边为Cx y 2=', 而方程的右边为Cx x Cx x y 2222==, 左边=右边, 因此对任意常数C , 函数2Cx y =都是方程xy y 2='解, 即为通解. 将初始条件2)1(=y 代入通解, 得2=C , 故所要求的特解为22x y =.【例2】 验证函数x x e C e C y 221+= (1C ,2C 为两个相互独立的任意常数)是二阶微分方程 023=+'-''y y y 的通解.【解】 由x x e C e C y 221+=得x x e C e C y 2212+='，x x eC e C y 2214+='', 将y , y ',y ''代入方程的左边得)(2)2(3)4(221221221x x x x x x e C e C e C e C e C e C +++-+=0)264()23(2222111=+-++-x x eC C C e C C C , 因此函数x x e C e C y 221+= 是微分方程02=+'-''y y y 的解, 又因为这个解中有两个相互独立的任意常数1C 与2C ，与方程的阶数相同, 所以它是方程的通解.实际上, 并不是任意的微分方程一定有解, 就是有解存在也不一定能用有效的方法求出其解, 以下各节将对一些特定类型的微分方程如何求解进行讨论.习题6.31. 说出下列微分方程的阶数（1）03=+dy y xdx ; （2）xy y 2='; （3）2()20x y yy x ''-+=; （4）139222+=-x dx dy dx y d ; （5）x x y y x cos 822+='-''; （6）04)5(=-x y .2. 验证下列各题中的函数是所给微分方程的通解（或特解）（1）03='-y x y , 3Cx y =;（2）tan (1)xdy y dx =+, sin 1y x =- (初始条件为()02y π=); （3）02=+'-''y y y , xy xe = (初始条件为(0)0y =, (0)1y '=);（4）90y y ''+=, sin3cos3y A x B x =-（其中A 与B 是两个任意的常数）.3. 下面哪个函数是微分方程02=+'+''y y y 的解（1）x y e =; （2）x y e -=; （3）x y xe =; （4）2x y x e-=.4. 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程 (1) 曲线在点),(y x P 处的切线斜率等于该点横坐标的2倍;(2) 曲线在点),(y x P 处的切线斜率与该点的横坐标成反比.5．一质量为m 的物体仅受重力的作用而下落, 如果其初始位置和初始速度都为0, 试写出物体下落的距离S 与时间t 所满足的微分方程.6. 镭元素的衰变满足如下规律: 其衰变的速度与它的现存量成正比, 经验得知镭经过1600年后, 只剩下原始量的一半, 试写出镭现存量与时间t 所满足的微分方程.§6.4 一阶微分方程一阶微分方程的形式很多, 在这一节里主要研究可分离变量的微分方程、齐次型的微分方程及一阶线性微分方程.一、可分离变量的微分方程【定义3】 形如:的一阶微分方程, 称为可分离变量的微分方程. 该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积, 其中一个仅是x 的函数, 另一个仅是y 的函数. 可分离变量的微分方程)()(d d y g x f xy =的求解步骤为: 第一步, 分离变量，得 x x f y d )(d g(y)1= (()0g y ≠), 第二步, 两边积分，有⎰⎰=x x f y d )(d g(y)1 (式中左边对y 积分, 右边对x 积分), 然后求出不定积分, 就得到方程（4）的解, 把这种求解过程叫做分离变量法.【例3】 （1）求方程dx dy y x -=的通解; （2）求该方程满足初始条件(0)2y =的特解. 【解】 （1）第一步, 将方程分离变量, 得xdx ydy -=,第二步, 两边积分, 有⎰⎰-=xdx ydy ，然后求出积分, 得1222121C x y +-=, 故方程的通解为:C y x =+22 (12C C =是任意常数).(2) 将初始条件(0)2y =代入以上通解, 得4=C , 故所要求的特解为:422=+y x .【例4】 求方程y x dxdy 2=的通解. 【解】 第一步, 将方程分离变量, 得dx x ydy 2= ）（0≠y , 第二步, 两边积分, 有⎰⎰=dx x y dy 2,然后求出积分, 得1331ln C x y +=, 从而有 31133131ln x C C x y e e e ey ===+,即 331x Ce y =（其中10cC e =±≠）. 由于0y =也是该微分方程的解，故方程的通解为:331x Ce y =（C 为任意常数）.【例5】 求§6.2中方程(1)dN N kN dt K=-, 即逻辑斯谛模型的通解. 【解】 该方程为可分离变量的微分方程，所以可用分离变量法求解.第一步, 分离变量, 得()KdN kdt N K N =-（0N ≠, N K ≠）, 第二步, 两边积分, 有()KdN kdt N K N =-⎰⎰,即11()()dN kdt N K N +=-⎰⎰, 然后求出积分, 得 1ln ln N N K kt C --=+,故方程的通解为1ktkt CKe N Ce =-(C 为任意常数). 注 0=N 也是微分方程的解，它可看成是满足初始条件(0)0N =的一个特解; 而K N =也是微分方程的解, 但它不是一个特解. 这说明: 微分方程的通解并不是微分方程的全部解.【例6】 求§6.2中方程dR kR aRW dt =-, dW rW bRW dt =-+, 即捕猎-食饵方程 的通解.【解】 这是一对耦合方程, 不能先解一个方程然后再解另一个方程, 必须同时解两个方程, 并只能解出R 与W 之间的关系式.首先, 很显然0R =与0W =是方程的解（这表示如果没有捕食者也没有被捕食者, 则两种种群数量都不会增长）.然后, 把W 看成R 的函数, 则可得到如下微分方程（为可分离变量的微分方程）:dW rW bRWdR kR aRW-+=-, 分离变量, 得()()k aW r bR dW dR W R--+=, 两边积分, 有()()k aW r bR dW dR W R --+=⎰⎰,从而得1ln ln k W aW r R bR C -=-++,即k r aW bR W R Ce +=,这就得到关于W 与R 的一个函数关系式, 也即W 与R 之间必须满足的一个微分方程.二、齐次型的微分方程 【定义4】 形如:的一阶微分方程, 称为齐次型的微分方程, 简称齐次方程.例如0)2()(22=---dy xy x dx y xy 是齐次方程, 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=x y x y x y x y xy x y xy dx dy ϕ212222. 齐次方程的特点是每一项所变量的次数都是相同的.齐次方程)(d yy ϕ=的求解的步骤为:第一步, 把齐次方程化为可分离变量的微分方程, 因为x u y ⋅=,dxdux u dx dy += 将它们代入齐次方程, 得)(u dxduxu ϕ=+, 即u u dxdux-=)(ϕ; 第二步, 用分离变量法, 得⎰⎰=-x dxu u du )(ϕ,然后求出积分;第三步, 换回原变量，再以xyu =代回, 就得所给齐次方程的通解. 【例7】 求微分方程 xyx y y tan +=' 的通解. 【解】 第一步, 变量代换x y u =, 则x u y ⋅=,dxdux u dx dy +=代入原方程, 得 u dx du x tan =; 第二步, 分离变量法, 得tan du dxu x =⎰⎰,有1ln sin ln u x C =+,即sin u Cx =;第三步, 换回原变量, 以xyu =代回, 即得方程的通解: sin yCx x=.【例8】 求微分方程y x y y x -='-2)2(的通解.【解】 原方程可化为xy x yyx y x dx dy 21222--=--=, 这是齐次方程.变量代换x y u =, 则x u y ⋅=,dxdu x u dx dy +=代入以上方程, 得 uudx du x u 212--=+, 即uu u dx du x 21)1(22-+-=, 分离变量, 得x dxu u du u =+--)1(2)21(2, 两边积分, 有211ln 1ln 2u u x C --+=+, 即221xC u u =+-, 换回原变量, 故原方程的通解为:C y xy x =+-22.三、一阶线性微分方程 【定义5】 形如:的微分方程, 称为一阶线性微分方程, 其中()P x , ()Q x 都是x 的连续函数.如果()0Q x ≡, 则方程（6）为：()0dyP x y dx+= （7） 这时称为一阶线性齐次的微分方程, 如果()Q x 不恒为零, 则方程（6）称为一阶线性非齐次的微分方程.例如, 方程x y x dx dy sin 1=+, 是一阶线性非齐次的微分方程, 它对应的一阶线性齐次的微分方程是01=+y xdx dy .1．一阶线性齐次的微分方程()0dyP x y dx+=的通解 一阶线性齐次的微分方程()0dyP x y dx+=的求解步骤为（即分离变量法）: 分离变量, 得dx x P y)(yd -=, 两边积分, 有 1)(ln C dx x P y +-=⎰, 因此，一阶线性齐次的微分方程的通解为:⎰=-xx P C y d )(e , （8）其中1CC e =±, 由于0y =也是方程的解, 所以式中C 可为任意常数.2．一阶线性非齐次的微分方程()()dyP x y Q x dx+=的通解 显然, 当C 为常数时,（8）式不是非齐次微分方程（6）的解, 现在设想一下, 把常数C 换成待定函数()u x 后,（8）式会是方程（6）的解吗? 于是给出如下常数变易法:设⎰=-xx P x u y d )(e )(, 得⎰-⎰--'=dx x P dx x P e x P x u e x u dxdy)()()()()(, 代入方程(6), 得)()()(x Q e x u dx x P ='⎰-,即C dx e x Q x u dx x P +=⎰⎰)()()(,因此, 一阶线性非齐次微分方程的通解为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C x x Q y xx P x x P d e )(e d )(d )(. （9）于是用常数变易法求解一阶线性非齐次微分方程的通解步骤为：第一步, 先求出其对应的齐次微分方程的通解:⎰=-xx P C y d )(e ;第二步, 将通解中的常数C 换成待定函数()u x , 即⎰=-x x P x u y d )(e )(, 求出()u x , 最后写出非齐次微分方程的通解.因此, 一阶线性非齐次微分方程()()dyP x y Q x dx+=的求解方法有两种： 方法一: 用常数变易法求解; 方法二: 直接用公式（9）求解.下面回头来分析一下, 一阶线性非齐次微分方程的通解结构. 由于通解（9）也可写成:()d ()d ()d e e ()e d P x x P x x P x x y C Q x x --⎰⎰⎰=+⎰. 上式右边第一项是非齐次方程（6）所对应的齐次方程（7）的通解, 而第二项是非齐次方程（6）的一个特解（取0C =得到）, 于是有如下定理. 【定理1】 一阶线性非齐次微分方程()()dyP x y Q x dx+=的通解, 是由其对应的齐次方程()0dyP x y dx+=的通解加上非齐次方程本身的一个特解所构成. 【例9】 求一阶线性非齐次微分方程tan cos y y x x '+=的通解. 【解】 方法一（用常数变易法求解）: 第一步, 先求tan 0y y x '+=的通解, 分离变量, 得1sin cos x dy dx y x=-, 两边积分, 有1ln ln cos y x C =+,则tan 0y y x '+=的通解为:cos y C x =;()cos cos u x x x '=,即()u x x C =+,于是原方程tan cos y y x x '+=的通解为:()cos cos y x C cox x x C x =+=+.方法二（直接用公式（9）求解）:将()tan P x x =, ()cos Q x x =直接代入⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C x x Q y xx P x x P d e )(e d )(d )(得: tan d tanxd e cos e d cos 1cos ()cos cos x x x y x x C x dx C x x C x x C x -⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰. 【例10】 求一阶线性非齐次微分方程32(1)1dy y x dx x -=++满足(0)1y =的特解. 【解】 方法一（用常数变易法求解）: 第一步, 先求201dy y dx x -=+的通解, 分离变量, 得21dy dx y x =+, 两边积分, 有1ln 2ln 1y x C =++,则201dy y dx x -=+的通解为: 2(1)y C x =+;()1u x x '=+,即21()2u x x x C =++, 于是原方程的通解为:221()(1)2y x x C x =+++,将条件(0)1y =代入, 得1C =, 因此所求特解为:221(1)(1)2y x x x =+++.方法二（直接用公式（9）求解）:将2()1P x x =-+, 3()(1)Q x x =+直接代入⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C x x Q y x x P x x P d e )(e d )(d )(得: 22d d 3222111e (1)e d (1)(1)(1)()2x x x x y x x C x x dx C x x x C -++⎡⎤⎰⎰⎡⎤=++=+++=+++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰, 同样将条件(0)1y =代入, 得1C =, 因此所要求的特解为:221(1)(1)2y x x x =+++.现将一阶微分方程的的几种常见类型及解法归纳如下（见表6.1）.表6.1 一阶微分方程的几种常见类型及解法习题6.41. 用分离变量法求下列微分方程通解或特解： （1）dx dyx y -=, (1)1y =; （2）)2(2--=y y dxdy ; （3）tan 1dyxy dx -=; （4）21xy dx dy -=; （5）dx e dx xdy y=+; （6）()()01122=+++dx y x dy x y ,(0)0y =. 2. 设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔顶)0(=t 时速度为零, 求降落伞下落速度与时间的函数关系.3．从冰箱中取出一杯50C 的饮料, 把它放在室温200C 的房间内, 20秒后饮料温度升高到100C , 试问:（1）50秒后饮料的温度是多少? (2)需要多长时间饮料的温度升高到150C .4．求下列齐次型微分方程的通解： （1）222y x xy dx dy +=; （2）(1ln ln )dy yy x dx x=+-; （3）dx dy xy dx dy x y =+22; （4）0)1(2)21(=-++dy yxe dx e y xy x. 5．设曲线)(x f y =上任一点处的切线斜率为22+xy, 且经过点)2,1(, 求该曲线方程.6. 求下列一阶线性微分方程的通解或特解： （1）38dy y dx +=, (0)2y =; （2) 2x dyy e dx-=; （3) xxy y ln +='; （4）22cos x y xy e x '-=; （5）sin dy y xdx x x+=; （6）43dx x y dy y +=,(1)1y =. 7. 设曲线上任一点),(y x P 的切线及该点到坐标原点O 的连线OP 与y 轴所围成的面积是常数A , 求这曲线方程.§6.5 二阶常系数线性微分方程在自然科学及工程技术中，线性微分方程有着十分广泛的应用，在上一节我们介绍一阶线性微分方程, 本节主要介绍二阶常系数线性微分方程.【定义6】 形如:)(x f qy y p y =+'+'' （10） 的微分方程, 称为二阶常系数线性微分方程. 其中p ,q 为常数, ()f x 为x 的连续函数.如果()0f x ≡, 则方程（10）为：0=+'+''qy y p y （11）这时称为二阶常系数线性齐次微分方程, 如果()f x 不恒为零, 则方程（10）称为二阶常系数线性非齐次微分方程.例如, 方程369xy y y e '''-+=, 是二阶常系数线性非齐次微分方程, 它对应的二阶常系数线性齐次微分方程是690y y y '''-+=. 下面来分别讨论二阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的解结构及解法.一、二阶常系数线性齐次微分方程1．二阶常系数线性齐次微分方程0=+'+''qy y p y 的解的结构【定义7】 设1()y x ,2()y x 是两个定义在区间(,)a b 内的函数, 若它们的比12()()y x y x 为常数, 则称它们是线性相关的, 否则称它们是线性无关的.例如, 函数1xy e =与22xy e =是线性相关的, 因为12122x x y e y e ==; 而函数1x y e =与2xy e -=是线性无关的, 因为212xx x y e e C y e--==≠.【定理2】（叠加原理） 如果函数)(1x y 和)(2x y 是齐次方程（11）的两个解, 则 )()(2211x y C x y C y += （12） 也是齐次方程（11）的解,其中12,C C 为任意常数; 且当)(1x y 与)(2x y 线性无关时, 式（12）就是齐次方程（11）的通解.例如: 对于方程0y y ''-=, 容易验证1xy e =与2x y e -=是该方程的两个解, 由于它们线性无关, 因此12x xy C e C e -=+就是该方程的通解.至于定理2的证明不难, 利用导数运算性质很容易得到验证, 请读者自行完成. 2．二阶常系数线性齐次微分方程0=+'+''qy y p y 的解法由定理2可知, 求齐次方程（11）的通解, 可归结为求它的两个线性无关的解. 从齐次方程（11）的结构来看, 它的解y 必须与其一阶导数、二阶导数只差一个常数因子, 而具有此特征的最简单的函数就是指数函数rxe （其中r 为常数）.因此, 可设rxy e =为齐次方程（11）的解（r 为待定）, 则rxy re '=,2rxy r e ''=, 把它们代入齐次方程（11）得0)(2=++q pr r e rx , 由于0rx e ≠, 所以有 02=++q pr r . （13） 由于可见, 只要r 满足方程（13）, 函数rx y e =就是齐次方程（11）的解, 我们称方程（13）为齐次方程（11）的特征方程, 满足方程（13）的根为特征根.由于特征方程（13）是一个一元二次方程, 它的两个根1r 与2r 可用公式:1,2r = 求出, 它们有三种不同的情况, 分别对应着齐次方程（11）的通解的三种不同情形, 叙述如下:（1）240p q ->时, 有两个不相等的实根1r 与2r , 这时易验证11r x y e =与22r xy e =就是齐次方程（11）两个线性无关的解, 因此齐次方程（11）的通解为:x r x r e C e C y 2121+=,其中21,C C 为两个相互独立的任意常数.（2）240p q -=时, 有两个相等的实根12r r r ==,这时同样可以验证1rx y e =与2rx y xe =是齐次方程（11）两个线性无关的解, 因此齐次方程（11）的通解为:rx e x C C y )(21+=，其中21,C C 为两个相互独立的任意常数.（3）240p q -<时, 有一对共轭复根1r i αβ=+与2r i αβ=-（0β≠）, 这时可以验证1cos x y e x αβ=与2sin x y e x αβ=就是齐次方程（11）两个线性无关的解, 因此齐次方程（11）的通解为:12(cos sin )x y C x C x e αββ=+，其中21,C C 为两个相互独立的任意常数.综上所述, 求齐次方程0=+'+''qy y p y 的通解步骤为:第一步, 写出齐次方程的特征方程02=++q pr r ;第二步, 求出特征根1r 与2r ;第三步, 根据特征根的不同情形, 按照表6 .2写出齐次方程（11）的通解.表6.2 二阶常系数线性齐次微分方程0=+'+''qy y p y 的通解【例11】 求微分方程032=-'-''y y y 的通解.【解】 所给方程的特征方程为0322=--r r ,求得其特征根为 11r =-与23r =,故所给方程的通解为:x x e C e C y 321+=-.【例12】 求微分方程044=+'-''y y y , 满足条件(0)0y =,(0)1y '=的特解.【解】 所给方程的特征方程为0442=+-r r ,求得其特征根为 221==r r ,故所给方程的通解为:x e x C C y 221)(+=;将初始条件(0)0y =,(0)1y '=代入, 得10C =, 21C =,故所给方程的特解为:x xe y 2=.【例13】 求微分方程22230d y dy y dx dx++=的通解. 【解】 所给方程的特征方程为2230r r ++=,求得它有一对共轭复根为 1,21r =-,故所给方程的通解为:12()x y C C e -=+.二、二阶常系数线性非齐次微分方程1．二阶常系数线性非齐次微分方程)(x f qy y p y =+'+''的解的结构【定理3】 如果函数*y 是非齐次方程)(x f qy y p y =+'+''的一个特解, y 是对应的齐次方程0=+'+''qy y p y 的通解, 那么（14）就是该非齐次方程(10)的通解.与定理1比较, 可以看出, 二阶常系数线性非齐次微分方程与一阶线性非齐次微分方程有相同的解结构.【定理4】 如果函数*1y 与*2y 分别是非齐次方程 )(1x f qy y p y =+'+''与)(2x f qy y p y =+'+''的一个特解, 那么**12y y +就是非齐次方程12()()y py qy f x f x '''++=+的一个特解.定理3与定理4的正确性, 都可由方程解的定义而直接验证, 读者也可以自行完成.2．二阶常系数线性非齐次微分方程)(x f qy y p y =+'+''的解法由定理3可知, 求非齐次方程)(x f qy y p y =+'+''的通解步骤为:第一步, 求出对应齐次方程0=+'+''qy y p y 的通解y ;第二步, 求出非齐次方程)(x f qy y p y =+'+''的一个特解*y ;第三步, 写出所求非齐次方程的通解为*y y y +=. 可以看出, 关键是第二步非齐次方程)(x f qy y p y =+'+''的一个特解如何求. 对此我们不加证明地, 直接用表6.3给出两种常见类型()f x 时的非齐次方程的一个特解.表6.3 二阶常系数线性非齐次微分方程)(x f qy y p y =+'+''的一个特解注：① ()m P x 是一个已知的m 次多项式, ()m Q x 是与()m P x 有相同次数的待定多项式;② ,,,A B αβ 为已知常数, ,a b 为待定常数.【例14】 求微分方程y y x '''+=的一个特解*y .【解】 因为 0()x f x xe = 中的 0λ=恰是特征方程 20r r +=的单根, 故可设 *02()x y x ax b e ax bx =+=+,为方程的一个特解，其中,a b 为待定系数，则*()2y ax b '=+，*()2y a ''=,代入原方程, 得22a ax b x ++=,比较等式两边, 可解得1,12a b ==-, 故原方程的一个特解为：*212y x x =-. 【例15】 求微分方程369x y y y e '''-+=的通解【解】 第一步, 求对应齐次方程690y y y '''-+=的通解y . 因特征方程为2690r r -+=，所以特征根为 123r r ==（是重根）, 故对应齐次方程的通解为：312()x y C C x e =+;第二步, 求原方程的一个特解*y . 因3()xf x e =中的3λ=恰是特征方程的重根, 故可设：。
数学模型方法函数关系可以说是一种变量相依关系的数学模型．数学模型方法是处理科学理论问题的一种经典方法，也是处理各类实际问题的一般方法．掌握数学模型方法是非常必要的．在此，对数学模型方法作一简述．数学模型方法（Mathematical Modeling)称为MM方法．它是针对所考察的问题构造出相应的数学模型，通过对数学模型的研究，使问题得以解决的一种数学方法．一、数学模型的含义数学模型是针对于现实世界的某一特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出必要的简化和假设，运用适当的数学工具，采用形式化语言，概括或近似地表述出来的一种数学结构．它或者能解释特定对象的现实性态，或者能预测对象的未来状态，或者能提供处理对象的最优决策或控制．数学模型既源于现实又高于现实，不是实际原形，而是一种模拟，在数值上可以作为公式应用，可以推广到与原物相近的一类问题，可以作为某事物的数学语言，可译成算法语言，编写程序进入计算机．二、数学模型的建立过程建立一个实际问题的数学模型，需要一定的洞察力和想像力，筛选、抛弃次要因素，突出主要因素，做出适当的抽象和简化．全过程一般分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型到现实对象的循环．可用流程图表示如下：表述根据建立数学模型的目的和掌握的信息，将实际问题翻译成数学问题，用数学语言确切地表述出来．这一个关键的过程，需要对实际问题进行分析，甚至要做调查研究，查找资料，对问题进行简化、假设、数学抽象，运用有关的数学概念、数学符号和数学表达式去表现客观对象及其关系．如果现有的数学工具不够用时，可根据实际情况，大胆创造新的数学概念和方法去表现模型．求解选择适当的方法，求得数学模型的解答．解释数学解答翻译回现实对象，给实际问题的解答．验证检验解答的正确性．例如,哥尼斯堡一条普雷格尔河，这条河有两个支流，在城中心汇合成大河，河中间有一小岛，河上有七座桥，如图1所示．18世纪哥尼斯堡的很多居民总想一次不重复地走过这七座桥，再回到出发点．可是试来试去总是办不到，于是有人写信给当时著名的数学家欧拉，欧拉于1736年，建立了一个数学模型解决了这个问题．他把A、B、C、D这四块陆地抽象为数学中的点，把七座桥抽象为七条线，如图2所示．CB图1 图2人们步行七桥问题，就相当于图2的一笔画问题，即能否将图2所示的图形不重复地一笔画出来，这样抽象并不改变问题的实质．哥尼斯堡七桥问题是一个具体的实际问题，属于数学模型的现实原型．经过理想化抽象所得到的如图2所示的一笔画问题便是七桥问题的数学模型．在一笔画的模型里，只保留了桥与地点的连接方式，而其他一切属性则全部抛弃了．所以从总体上来说，数学模型只是近似地表现了现实原型中的某些属性，而就所要解决的实际问题而言，它是更深刻、更正确、更全面地反映了现实，也正由此，对一笔画问题经过一定的分析和逻辑推理，得到此问题无解的结论之后，可以返回到七桥问题，得出七桥问题的解答，不重复走过七座桥回到出发点是不可能的．数学模型，从广义上讲，一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程式、各种函数关系，以及由公式系列构成的算法系统等等都可以叫做数学模型．从狭义上讲，只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系的结构，才叫做数学模型．在现代应用数学中,数学模型都作狭义解释．而建立数学模型的目的，主要是为了解决具体的实际问题．三、模型的建立研究数学模型，建立数学模型，进而借鉴数学模型，对提高解决实际问题的能力，以及提高数学素养都是十分重要的．建立模型的步骤可分为：(1) 分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示；(2) 根据所给条件，运用数学或物理知识，确定等量关系；(3) 具体写出解析式)(x f y =，并指明定义域．例 重力为P 的物体置于地平面上，设有一与水平方向成α角的拉力F ，使物体由静止开始移动，求物体开始移动时拉力F 与角α之间的函数模型（图3）．解 由物理知，当水平拉力与摩擦力平衡时，物体开始移动，而摩擦力是与正压力αsin F P -成正比的（设摩擦系数为μ），故有)sin (cos αμαF P F -=,即 αμαμsin cos +=P F （0°<α<90°）建立函数模型是一个比较灵活的问题， 无定法可循，只有多做些练习才能逐步掌握． 图3四、数学建模方法数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）．数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的数学模型的一种强有力的数学手段．常用的数学建模方法如下：（一） 机理分析法 从基本理论以及系统的结构数据来推导出数学模型的方法1. 比例分析法 —— 建立变量之间函数关系的最基本、最常用的方法.2. 代数方法——求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法.3. 逻辑方法——是数学理论研究的重要方法，用以解决社会学和经济学等领域的实际问题，在决策论，对策论等学科中得到广泛应用.4. 常微分方程——解决两个变量之间的变化规律，关键是建立“瞬时变化率”的表达式．5. 偏微分方程——解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律．（二） 数据分析法 从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型的方法1. 回归分析法——用于对函数()f x 的一组观测值(,())(1,2,)i i x f x i n ，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法．2. 时序分析法——处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法．(三)仿真和其他方法1. 计算机仿真（模拟）——实质上是统计估计方法，等效于抽样试验．① 离散系统仿真——有一组状态变量．② 连续系统仿真——有解析表达式或系统结构图．2. 因子试验法——在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构．3. 人工现实法——基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统．五、几个数学模型1.如何预报人口的增长人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题，我们经常在报刊上看见关于人口增长的预报，说到未来某个时期全世界(或某地区)的人口将达到多少多少亿．你可能注意到不同报刊对同一时间人口的预报在数字上常有较大的差别，这显然是由于用了不同的人口模型计算的结果．建立模型的目的: 在对出生和死亡的概率作出适当假设的基础上，寻求人口X (t )的变化规律，用它描述人口的发展状况．先看一种最简单的计算方法．要预报未来若干年的人口，最重要的影响因素自然是今年的人口和今后这些年的增长率(即人口出生率减去死亡率)，根据这两个数据进行人口预报是十分容易的．记今年人口为x 0，k 年后人口为x k ，年增长率为r ，则预报公式为x k ＝x 0(1+r )k显然，这个公式的基本前提是年增长率r 保持不变．这个条件在什么情况下才成立，如果不成立又该怎么办?历史上，人口模型的发展过程回答了这个问题．早在18世纪人们就开始进行人口预报工作了，一二百年来发展了许多模型，其中最简单的有两种.2.指数增长模型(马尔萨斯人口模型)英国人口学家马尔萨斯(Malthus l766—1834)根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了著名的人口指数增长模型．这个模型的基本假设是：人口的增长率是常数，或者说，单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比． 记时刻t 的人口为x (t )，初始时刻(t ＝0)的人口为x 0，人口增长率为r ，r 是单位时间内x x (t )的增量与x (t )的比例系数．根据r 是常数的基本假设，t 到t+Δt 时间内人口增量为x (t+Δt ))(t x - = r x (t )Δt于是x (t )满足如下的微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==0)0(x x rxdt dx 由这个线性常系数微分方程容易解出rt e x t x 0)(=表明人口将按指数规律无限增长(r ＞0)．将t 以年为单位离散化，人口以re 为公比的等比数列增长．因为这时r 表示年增长率，通常r <<1，所以可用近似关系r e r +≈1,那么 tr x t x )1()(0+≈可见,前面给出的预报公式不过是指数增长模型离散形式的近似表示．由rt e x t x 0)(= 给出的模型，与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好地吻合．一些人口增长率长期稳定不变的国家和地区用这个模型进行预报，结果也令人满意．但是当人们用19世纪以后许多国家的人口统计资料与指数增长模型比较时，却发现了相当大的差异．显然，用这个模型预报的结果远远超过了实际人口的增长．引起误差的原因是10年增长率r 估计过高．人们还发现，在地广人稀的加拿大领土上，法国移民后代的人口比较符合指数增长模型，而同一血统的法国本土居民人口的增长却远低于这个模型．产生上述现象的主要原因是:随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著．如果当人口较少时(相对于资源而言)人口增长率还可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量后，增长率就会随着人口的继续增加而逐渐减少．许多国家人口增长的实际情况完全证实了这点．看来为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设了．3.阻滞增长模型(Logistic 模型)将增长率r 表示为人口x (t )的函数r (t ) (即增长率相对于固定的人口数x 来说是常数),按照前面的分析r (x )应是x 的减函数．一个最简单的假定是设r (x )为x 的线性函数r (x )= r –sx ， s ＞0，这里r 相当于x=0时的增长率，称固有增长率． 它与指数模型中的增长率r 不同(虽然用了相同的符号)．显然对于任意的x ＞0，增长率r (x )＜r ．为了确定系数s ，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量x m ，称最大人口容量．当x=x m 时增长率应为零，即r (x m )＝0，由此确定出s .人口增长率函数r (x )可以表为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m x x r x r 1)(其中r 、x m 是根据人口统计数据或经验确定的常数．因子⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-m x x 1体现了对人口增长的阻滞作用． 在此的假设下,指数增长模型应修改为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0)0(1 x x x x x r dt dx m 称为阻滞增长模型．此非线性微分方程可用分离变量法求解,结果为rtm me x x x t x -⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=11)(其阻滞增长模型x (t )的曲线如图本世纪初人们曾用这个模型预报美国的人口．直到1930年计算结果都能与实际数据较好地吻合．后来的误差越来越大，一个明显的原因是到1960年美国的实际人口已经突破了用过去数据确定的最大人口容量x m ．由此看来，这个模型的缺点之一是x m 不易准确地得到．事实上，随着生产力的发展和人们认识能力的改变，x m 也是可以改变的．4. 随机性人口模型上面讨论的人口模型都是确定性的，已知初始人口并且给定了生育率、死亡率等数据后，可以确切地预测未来的人口．但是事实上，一个人的出生和死亡应该说是随机事件，无法准确预测．之所以能用确定性模型描述人口的发展，是因为考察的是一个国家或地区的数量很大的人口，用对总数而言的平均生育率、死亡率代替出生、死亡的概率，将人口作为连续变量处理．如果研究对象是一个自然村落或一个家族的人口，数量不大、需作为离散变量看待时，就要利用随机性人口模型来描述其变化过程了.时刻t 的人口用随机变量)(t X 表示，)(t X 只取整数值．记)(t P n 为n t X =)(的概率，=n 0,1,2,…，下面要在对出生和死亡的概率作出适当假设的基础上，寻求)(t P n 的变化规律，并由此得出人口)(t X 的期望和方差，用它们在随机意义下描述人口的发展状况．模型假设 若n t X =)(，对人口在t 到t t ∆+的出生和死亡作如下假设(t ∆很小)：1．出生一人的概率与t ∆成正比，记作t b n ∆；出生二人及二人以上的概率为)(t o ∆．2．死亡一人的概率与t ∆成正比，记作t d n ∆；死亡二人及二人以上的概率为)(t o ∆．3．出生与死亡是相互独立的随机事件．4．进一步设n b 和n d 均与n 成正比，记n b n λ=，n d n μ=，λ和μ分别是单位时间内1=n 时一个人出生和死亡的概率.建模与求解 为了得到)(t P n 的方程，考察随机事件n t t X =∆+)(．根据假设1—3，与出生或死亡一人的概率相比、出生或死亡二人及二人以上的概率，出生一人且死亡一人的概率均可忽略．这样，n t t X =∆+)(可以分解为仅仅三个互不相容的事件之和：1)(-=n t X 且t ∆内出生一人,其概率为t b n ∆；1)(+=n t X 且t ∆内死亡一人，其概率为t d n ∆；n t X =)( 且t ∆内人口未变，其概率为P {人口未变}=1-P{人口增加或减少1人}=t d t b n n ∆-∆-1．按照全概率公式有P {时刻t t ∆+有n 个人}=P {t ∆增加1人}P{时刻t 有n-1个人}+P {t ∆减少1人}P{时刻t 有n+1个人}+P {t ∆人口未变}P{时刻t 有n 个人}.即)1)(()()()(111t d t b t P t d t P t b t P t t P n n n n n n n n ∆-∆-+∆+∆=∆++-- (1)即)()()()()()(111t P d b d t P b t P tt P t t P n n n n n n n n n +-+=∆-∆++--令0→∆t ，可得关于)(t P n 的微分方程：)()()()(1111t P d b t P d t P b dtdP n n n n n n n n +-+=++-- (2) 特别地，在假设4(n b n λ=，n d n μ=)下方程为)()()()1()()1(11t nP t P n t P n dtdP n n n n μλμλ+-++-=+- (3) 若初始时刻(0=t )人口为确定数量0n ，则)(t P n 的初始条件为⎩⎨⎧≠==. ,0, ,1)0(00n n n n P n (4) (3)式对于不同的n 是一组递推方程，在条件(4)下的求解过程非常复杂，并且没有简单的结果．幸而，通常人们对(3)式的解)(t P n 并不关心，感兴趣的只是)(t X 的期望)}({t X E .以下简记期望)(t E )}({t X E =, 0)0(n E =,方差)(t D )}({t X D =. 0)0(=D .而它们可以由(3)、(4)直接得到，因为按照定义，∑∞==1)()(n n t nP t E (5)对(5)求导并将(3)代人得∑∑∑∞=∞=+∞=-+-++-=121111)()()()1()()1(n n n n n n t P n t P n n t P n n dt dE μλμλ (6) 注意到∑∑∑∞=∞=∞=-+=+=-1111)()1()()1()()1(n n k k n n t P n n t P k k t Pn n ∑∑∑∞=∞=∞=+-=-=+1111)()1()()1()()1(n n k k n n t P n n t P k k t Pn n 代入(6)式 ∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=-=+--++=11211)()()()()()1()()1(n n n n n n n n t nP t P n t P n n t P n n dt dE μλμλμλ 利用(5)式，则有)()()()(1t E t nP dt dE n n μλμλ-=-=∑∞= (7) 由于0)0(n E = (8)显然，方程(7)在(8)下的解为rt t e n e n t E 0)(0)(==-μλ,μλ-=r . (9)这个结果与1.4节(3)式表示的指数模型rt e x t x 0)(= (10)形式上完全一致．从含义上看，随机性模型(9)中出生概率λ与死亡概率μ之差r 可称为净增长概率,人口的期望值)(t E 呈指数增长．在人口数量很多的情况下如果将r 视为平均意义上的净增长率，那么)(t E 就可以看成确定性模型(10)中的人口总数)(t x 了。
