第6讲 直线与圆

第六讲直线和圆一、知识梳理1．研究圆与直线的位置关系最常用的方法：①判别式法；②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系．直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种，若22BA C Bb Aa d +++=，则0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ； 0>∆⇔⇔<相交r d2.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为1O ，2O ，半径分别为1r ，2r ，d O O =21． ①条公切线外离421⇔⇔+>r r d ②条公切线外切321⇔⇔+=r r d③条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ④条公切线内切121⇔⇔-=r r d ⑤无公切线内含⇔⇔-<<210r r d3 直线和圆相切：① 圆的方程为222(0)x y r r +=>，点00(,)M x y 在⊙O 上，则过M 的切线方程为200x x y y r +=．② 过圆外一点求圆的切线方程，一般用待定系数法解决．二、例题精讲【例题1】【题目】：已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为( )（A ）22(1)(1)2x y ++-= (B)22(1)(1)2x y -++= (C)22(1)(1)2x y -+-= (D)22(1)(1)2x y +++=【难度分级】： A 类 【试题来源】：北京市【选题意图】（对应知识点）：直线与圆相切 【解题思路】：选择题可用排除法【解法与答案】：圆心在0x y +=上，排除C 、D ，再结合图象，或者验证A 、B 中圆即可．选B【解析】：选择题是一类特殊的考查方式，有其自身的解题规律．做选择题，首先要研究选项，观察共性与区别，确定解题思路；并注意适当应用带入验证法、反例排除法、数形结合法、特值法等，以使解题过程优化，“小题小做”． 【例题2】【题目】：从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）A ．12 B ．35 C．2D ．0 【难度分级】： A 类 【试题来源】：北京市【选题意图】（对应知识点）：切线夹角 【解题思路】：数形结合运用斜率公式【解法与答案】：圆222210x x y y -+-+=化成圆的标准方程为22(1)(1)1x y -+-=．其圆心为(1,1)M ，半径为1，从圆外一点(3,2)P 向这个圆作两条切线，则点P 到圆心M 的距离等于5，每条切线与PM 的夹角的正切值等于21， 所以两切线夹角的正切值为1242tan 1314θ⋅==-，该角的余弦值等于35，选B ．【解析】：本题考查了直线与圆的位置关系及三角函数的相关知识，有一定的综合性，对计算与推理能力也有一定要求．首先，通过配方法把圆的一般方程转化为圆的标准方程，确定圆心和半径，再利用圆的相关性质和三角函数公式，使问题得到解决．特别值得注意的是，直线和圆相切，是直线和圆的位置关系中的特殊情况，也是考查的重点．解决此类问题，要充分利用圆的相关几何性质，数形结合． 【例题3】【题目】：过原点且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（ ） AB ．2 ．CD ．【难度分级】： A 类 【试题来源】：陕西【选题意图】（对应知识点）：直线与圆相交【解题思路】：弦心距、半径及弦长的一半构成直角三角形【解法与答案】：过原点且倾斜角为60︒0y -=， 圆2240x y y +-=化成标准方程为22(2)4x y +-=，圆心(0,2)0y -=的距离为1d ==，因此，弦长为==D ．【解析】：本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离，弦长与半径、弦心距之间的关系．通过配方，把圆的一般方程转化为圆的标准方程，以确定圆心和半径，是数形结合解决直线与圆位置关系问题的基础，要熟练掌握配方法，培养数形结合的意识和思想，提高推理和计算能力，合理应用圆的平面几何性质． 【例题4】【题目】：圆221:20O x y x +-=和圆222:40O x y y +-=的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相交 C ．外切 D 内切 【难度分级】： A 类 【试题来源】：重庆【选题意图】（对应知识点）：圆与圆的位置关系【解题思路】：比较圆心距与两圆半径的和与差的大小关系【解法与答案】：圆221:20O x y x +-=的圆心为(1,0)A 半径为11r =， 圆222:40O x y y +-=的圆心为(0,2)B ，半径为22r =，所以AB =．因为211213r r r r -=<+=，所以两圆相交．选B ．【解析】：本题主要考查圆与圆的位置关系，方法是比较圆心距与两圆半径的和与差的大小关系． 【例题5】【题目】：若⊙22:5O x y +=与⊙221:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是【难度分级】： B 类 【试题来源】：北京【选题意图】（对应知识点）：相交弦长 【解题思路】：运用平面几何知识数形结合解题 【解法与答案】：4,25525,5,52,5,111=∴=⨯==∴==∆AB AC OO A O OA A OO Rt 中在【解析】：本题主要考查对几何图形的观察和应用能力．对圆的切线的几何性质的准确理解是问题解决的关键． 【例题6】【题目】：由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为（ ）A ．1 B． CD ．3 【难度分级】： B 类 【试题来源】：北京【选题意图】（对应知识点）：切线长的最值 【解题思路】：直角三角形勾股定理的应用【解法与答案】：设圆心到直线1y x =+的距离为d ，因为1r =，d ===C ．【解析】：本题考查点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系．从圆外一点引圆的切线，连结该点与圆心的线段、过切线切点的半径及切线长构成直角三角形，满足勾股定理，该性质是本题解决的关键． 【例题7】【题目】：已知过点(3,3)M --的直线l 被圆224210x y y ++-=所截得的弦长为l 的方程．【难度分级】： B 类 【试题来源】：全国【选题意图】（对应知识点）：已知弦长求直线方程 【解题思路】：数形结合【解法与答案】：将圆的方程写成标准形式，得 22(2)25x y ++=， 所以，圆心坐标是(0,2)-，半径长5r =． 因为直线l被圆所截得的弦长为= 即圆心到所求直线l因为直线l 过点(3,3)M --，当直线的斜率不存在时，显然不合题意， 所以可设所求直线l 的方程为3(3)y k x +=+， 即330kx y k -+-=．根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的距离d ==31k -=两边平方，并整理得到22320k k --=，解得12k =-，或2k =． 所以，所求直线l 有两条，它们的方程分别为13(3)2y x +=-+，或32(3)y x +=+【解析】：本题考查了直线与圆的位置关系，具有一定的综合性．解题过程，数形结合的思想方法得到了较好的体现．合理利用圆的相关性质，使得解题过程合理，运算简化． 【例题8】【题目】：已知圆2260x y x y m ++-+=和直线230x y +-=交于P 、Q 两点，且 OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径． 【难度分级】： B 类 【试题来源】：全国【选题意图】（对应知识点）：点到线的距离，直线方程 【解题思路】：合理应用韦达定理，设而不求 【解法与答案】： 由2223060x y x y x y m +-=⎧⎨++-+=⎩消去x ，得2520120y y m -++=设11(,)P x y 、22(,)Q x y ，则1y 、2y 满足条件1212124,5my y y y ++=⋅= ∵OP ⊥OQ ，∴12120x x y y +=而112232,32x y x y =-=-，∴ 1212121296()41545mx x y y y y +=-++=-+⋅ ∴1212154055m m++-+⋅+= ∴3m =，此时△0>，圆心坐标为1(,3)2-， 半径52r =．【解析】：本题考查了直线和圆的位置关系，要认真体会数形结合及方程思想．在解题过程中，采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式是否大于零帮助考虑,体会垂直条件是怎样转化的，以及韦达定理的作用，处理1y 、2y 与1x 、2x 的对称式，在解析几何中经常运用韦达定理来简化计算，我们要认真总结，灵活应用．【例题9】【题目】：一个圆和已知圆2220x y x +-=外切，并与直线l : 0x +=相切于点(3,M ，求该圆的方程．【难度分级】： B 类 【试题来源】：全国【选题意图】（对应知识点）：直线与圆，圆与圆的位置关系 【解题思路】：先设出圆心坐标，再建立方程组 【解法与答案】：已知圆2220x y x +-=方程化为标准形式为 22(1)1x y -+=，其圆心(1,0)P ，半径为1．设所求圆的圆心为(,)C a b ，因为两圆外切，所以1PC =+=1 ①又所求圆与直线l ：0x +=相切于(3,M ，∴直线,1CM l CM l k k ⊥=-，于是1=-，即b =- ② 将②代入①化简，得240a a -=， ∴ 0a =，或4a =．当0a =时，b =-，所求圆方程为(2236x y ++=当4a =时，0b =，所求圆方程为22(4)4x y -+=．【解析】：本题考查了直线与圆及圆与圆的位置关系．我们先设出圆心坐标，再根据已知条件建立方程组，通过解方程组最终实现问题的解决．解题过程，充分体现了待定系数的思想方法．另外，解决与圆有关的问题，要数形结合，充分考虑圆的几何性质，从而使问题求解得到优化． 【例题10】【题目】：已知⊙O 方程为224x y +=，定点(4,0)A ，求过点A 且和⊙O 相切的动圆圆心的轨迹方程．【难度分级】： C 类 【试题来源】：北京【选题意图】（对应知识点）：动圆轨迹方程 【解题思路】：数形结合 【解法与答案】：解法一：设动圆圆心为(,)P x y ，因为动圆过定点A ，所以PA 即动圆半径． 当动圆P 与⊙O 外切时，2PO PA =+； 当动圆P 与⊙O 内切时，2PO PA =-．综合这两种情况，得PO PA -=将此关系式坐标化，得2=．化简可得22(2)13y x --= 解法二：由解法一可得动点P 满足几何关系2PO PA -=． 即P 点到两定点O 、A 的距离差的绝对值为定值2，所以P 点轨迹是以O 、A 为焦点，2为实轴长的双曲线，中心在OA 中点(2,0)，实半轴长1a =，半焦距2c =，虚半轴长b ==所以轨迹方程为22(2)13y x --=． 【解析】：本题以直线和圆的相关知识为背景，考查满足条件的动点轨迹方程问题．解题过程，充分体现和应用了坐标法． 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论． 【例题11】【题目】：已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）．（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程． 【难度分级】： C 类 【试题来源】：全国【选题意图】（对应知识点）：弦长直线系问题 【解题思路】：几何和代数知识转换 【解法与答案】：（1）证明：l 的方程可化为（x +y －4）+m （2x +y －7）=0．∵m ∈R ，∴27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得31x y =⎧⎨=⎩，即l 恒过定点A （3，1）．∵圆心C （1，2），｜AC ＜5（半径），∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点．（2）弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－12，∴l 的方程为2x －y －5=0． 【解析】：本题考查了圆的弦长问题，直线系的知识，进一步考查了参数思想． 解题关键是抓住图形的几何性质，灵活运用几何知识和代数知识将条件恰当转化/推理，达到合乎逻辑、说理充分、陈述严谨． 【例题12】【题目】：实数,x y 满足222410x y x y ++-+=， 求下列各式的最大值和最小值： （1）4yx -；（2）2x y -． 【难度分级】： C 类 【试题来源】：全国【选题意图】（对应知识点）：直线与圆的方程的应用 【解题思路】：几何和代数知识转换【解法与答案】：原方程为22(1)(2)4x y ++-=，表示以(1,2)P -为圆心，2为半径的圆． （1）设4yk x =-，几何意义是：圆上点(,)M x y 与点(4,0)Q 连线的斜率． 由图可知当直线MQ 是圆的切线时，k 取最大值与最小值。